unidad iv
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Algebra vectorial
SANDRA ELISA REYES VELÁZQUEZ.
¿Cuál es una magnitud escalar?Una cantidad escalar queda descrita completamente por su magnitud, es decir por un número y una unidad de medida.
¿Cuál es una magnitud vectorial?Una cantidad vectorial requiere, para ser descrita completamente,de una magnitud, de una dirección y de un sentido, es decir, de unnúmero con su unidad de medida, de un ángulo y de su orientación.
Diferencias entre un escalar y un vector.
Escalar Vector
NOTA: Una cantidad escalar no modifica sus efectos aun que cambie de posición o forma,
mientras que en la vectorial toda alteración es importante.
Ejemplos de un Vector
UN
IDA
DES
Masa
Tiempo
Longitud
Temperatura
Densidad
Área
Volumen
Potencia
Etcétera
EJEM
PLO
20 Kg.
2 horas
10 metros
30° centígrados
2 kg/m2
50 m2
70 cm3
5 w
30 calorías
Ejemplos de un escalarU
NID
AD
ESFuerza
Velocidad
Desplazamiento
Aceleración
Etcétera
EJEM
PLO
5 N a 30 °
30 m/s al sur
30 m hacia el norte
10 m/s2 hacia el este
Vector UnitarioConcepto:
Cualquier vector distinto de cero puede dar lugar a un vector unitario umultiplicado por el reciproco de su magnitud. Los vectores unitarios apuntanen las direcciones x, y y z son convenientes para expresar los vectores enfunción de sus componentes rectangulares. Usualmente se escriben i, j y k,respectivamente.
EjerciciosEfectúa las siguientes operaciones con los vectores siguientes:
a) 5, 6, 1 Operaciones:
b) -6, 6, -1 1.- a+b+c
c) 1, -6, -7 2.-a-b
3.- axc
4.- a∙b
5.-axb
Operación 1: a+b+ca) 5i, 6j, k b) -6i, 6j, -k c) i, -6j, -7k
(5i +6j + k )+(−6i+6j −k)+(i -6j -7k )=
6j,-7k
Procedimiento:
1. Se agregan las literales i, j, k según corresponda.
2. Se agrupan los términos semejantes y se suman o restan según sea el caso.
-
Operación 2: a-b a) 5i, 6j, k b) -6i, 6j, -k
(5i, 6j, k)-(-6i, 6j, -k)=
5i+6j+k+6i-6j+k=
11i+2k
Procedimiento:
1. Se agregan las literales i, j, k según corresponda.
2. En la resta el signo negativo cambia los signos de los números que se encuentran a la derecha del signo.
3. Se agrupan los términos semejantes y se suman o restan según sea el caso.
Operación 3: axc
a) 5i, 6j, k c) i, -6j, -7k
axc Matriz
https://youtu.be/fmAhi1N-uL8 Explicación.
i j k
5 6 1
1 -6 -7
6 1 5 1 5 6
-6 -7 1 -7 1 -6i- j+ k
[ -42 - -6 ]i - [ -35 - 1 ]j + [ -30 - 6 ] k
[ -42 + 6 ]i - [ -35 -1 ]j + [ -30 -6 ] k
-36 i + 36 j -36 k
Resultado
Operación 4: a∙ba) 5i, 6j, k b) -6i, 6j, -k
Operaciones
< 5, 6, 1 >< −6, 6, −1 >
5 −6 + 6 6 + 1 −1 =
−30 + 36 − 1 = 5
Resultado
5
Operación 5: axb
i j k
5 6 1
-6 6 -1
Matriz6 1 5 1 5 6
6 -1 -6 -1 -6 6i- j+ k
Determinantes
[ -6 - 6 ]i - [ -5 - -6 ]j + [ 30 - -36 ] k
[ -6 -6 ]i - [ -5 + 6 ]j + [ 30 + 36 ] k
Operaciones
-12 i -1 j + 66 k
Resultado
a) 5i, 6j, k b) -6i, 6j, -k
https://youtu.be/fmAhi1N-uL8 Explicación
Procedimiento del Producto cruz
1.- Se hace una matriz donde de ponen los valores de i,j y k
2.- Hacen tres determinantes una por cada literal y se excluyen los valores la misma.
3.- Se hacen multiplicaciones cruzadas en cada determinante.
4.- El resultado de las flechas rojas se le resta al de las flechas azules.
5.- Se efectúan operaciones, respetando signos y términos semejantes.
i j k
5 6 1
-6 6 -1
Matriz
6 1 5 1 5 6
6 -1 -6 -1 -6 6i- j+ k
Determinantes
6 1 5 1 5 6
6 -1 -6 -1 -6 6i- j+ k
Determinantes
[ -6 - 6 ]i - [ -5 - -6 ]j + [ 30 - -36 ] k
[ -6 -6 ]i - [ -5 + 6 ]j + [ 30 + 36 ] k
Operaciones
Procedimiento del Producto Punto.1.- Se eliminan las literales i, j y k
< 5, 6, 1 >< −6, 6, −1 >
2.- Se multiplican los eficientes de i entre si, después los de j y al final las de k.5 −6 + 6 6 + 1 −1
3.- Se efectúan operaciones y suman los resultados.−30 + 36 − 1 = 5
Método gráfico.Resuelve por el método gráfico las siguientes operaciones con los vectores indicados.
Vectores. Operaciones:
a) 6,-12 1.- a+b
b) 6,-1 2.- a+b-c
c) -6, 1 3.- a-b+c
4.- -a+b+c
Vectores de forma gráfica
Operación 1: a+ba) 6,-12 b) 6,-1
Operación 2a) 6,-12 b) 6,-1 c) -6, 1
Operación 3a) 6,-12 b) 6,-1 c) -6, 1
Operación 4: a) 6,-12 b) 6,-1 c) -6, 1
Procedimiento del método gráfico1.- Se gráfica en primer vector partiendo del origen del plano cartesiano.
2.- El segundo vector de grafica partiendo de donde se termino el vector anterior y así sucesivamente, hasta graficar todos.
3.- Para terminar unimos el punto final del último vector graficado con el origen.
4.- El vector que resultará de dicha unión se conoce como resultante y es el resultado de la suma o resta que se efectua.
Problema.Determina cuales de los siguientes vectores tiene la misma dirección.
a) 6,5
b) -12, 10
c) 18, -15
d) -24,-20
Grafica
Los vectores que tienen la misma dirección son el b con el d y el a con el c.
ProblemaEl modulo del vector a es igual a 35, determina el valor de x si el vector a es igual a x, -6. Represéntalo gráficamente.
𝑥 = (35)2 − (−6)2= 1225 − 36
𝑥 = 1189
𝑥 = 34.48
Grafica