unidad iii:congruencia y semejanza universidad nacional autÓnoma de mÉxico colegio de ciencias y...
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UNIDAD III:CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO
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PROPÓSITOS DE LA UNIDAD:
Ilustrar el papel de la
demostración en los resultados de
la geometría, e iniciar al alumno en
el método deductivo.
Trabajar la congruencia y semejanza de
triángulos, así como el teorema de
Pitágoras
APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO
DE LA UNIDAD DOS.
Al finalizar la unidad el alumno debe:
Reconocer la importancia de la
demostración para aceptar o
rechazar conjeturas.
Utilizar correctamente la nomenclatura
utilizada por el profesor.
Explicar la diferencia entre
igualdad y congruencia.
Conocer los tipos de ángulos que se
forman entre dos rectas paralelas cortadas
por una transversal ó secante e identificará
aquellos que son congruentes.
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Justificar la suma de los ángulos
interiores y exteriores de cualquier
triángulo.
Justificar la expresión para encontrar el
ángulo exterior de un triángulo como suma
de los ángulos interiores no adyacentes a
él.
Aplicar los criterios de
congruencia de triángulos para
justificar congruencia entre
segmentos, ángulos y triángulos.
Utilizar los conocimientos
adquiridos en esta unidad, en la
resolución de algunos problemas.
Identificar el ángulo central
correspondiente a un ángulo inscrito en una
circunferencia.
Aplicar los criterios de semejanza para
justificar la semejanza entre triángulos y la
proporcionalidad entre sus lados
respectivos
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TEMÁTICA DE LA TERCERA UNIDAD
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
3.1).Congruencia
3.1.1).Congruencia de complementos y suplementos de ángulos congruentes.
3.1.2).Congruencia de ángulos opuestos por el vértice. Justificación.
3.1.3).Construcción de la recta paralela a otra por un punto dado.
3.1.3.1).Postulado de las rectas paralelas.
3.1.4).Congruencia de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una
secante.
3.1.5).Ángulos internos y el ángulo externo de un triángulo.
3.1.5.1).Relación entre el ángulo externo y el ángulo interno. Justificación.
3.1.5.2).Suma de ángulos interiores de un triángulo. Justificación.
3.1.5.3).Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono regular.
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3.1.6).Congruencia de triángulos.
3.1.6.1).Criterios de congruencia de triángulos.
3.1.7).Justificación de las construcciones de:
3.1.7.1).Bisectriz de un ángulo
3.1.7.2).Mediatriz de un segmento.
3.1.7.3).Perpendicular a una recta
3.1.8).Teorema del triángulo isósceles y su recíproco.Justificación.
3.1.9).Relación entre el ángulo central e inscrito en una circunferencia.
Justificación.
3.2).-Semejanza y teorema de Pitágoras
3.2.1).-División de un segmento en n partes iguales. Construcciones.
3.2.2).-Teorema de Thales y su recíproco
3.2.3).-Criterios de semejanza de triángulos.
3.2.4).-Teorema de la altura de un triángulo rectángulo. Justificación.
3.2.5).-Teorema de Pitágoras y su recíproco. Justificación
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3.1).Traza dos rectas paralelas L1 y L2, cortadas por una secante L3, simboliza
los ángulos correspondientes e indica sus características.
L3
L1
L2
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3.2).Traza dos rectas paralelas L1 y L2 cortadas por una secante L3, simboliza los ángulos alternos internos e indica sus características.
L3
L1
L2
108
3.3).Traza dos rectas paralelas L1 y L2 cortadas por una secante L3, simboliza
los ángulos alternos externos e indica sus características.
L3
L1
L2
a b
c d
f e
g h
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3.4).En un triángulo acutángulo, probar que la suma de los ángulos interiores del triángulo, es igual a 180°. Probar que: < n + < m + < k = 180°
m
k n
f
Prueba que: < n + < m + < k = 180°
< f = < n por ser alternos internos
< m = < m por identidad
< g = < k por ser alternos internos
Por lo que: < n + < m + < k = 180°
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3.5). Probar que todo ángulo exterior de un triángulo, siempre es igual a la
suma de los interiores a el.
Probar que: < a = < b + < c
Prueba: Se toma uno de los ángulos exteriores del triángulo, prolongando cualquiera de sus
lados.
b
c d
b
c d a
111
Prueba:
a + d = 180°; por formar ángulo llano
b + c + d = 180°; Porque la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
igual a 180°.
a + d = b + c + d; Si dos cantidades son iguales a una tercera, esas dos
cantidades son iguales entre si (Propiedad transitiva).
a = b + c; Si en una igualdad hay un término común en ambos miembros, ese
término común se elimina.
Por lo tanto, todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los
ángulos interiores no adyacentes a él.
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3.6).En un triángulo acutángulo, probar que la suma de los ángulos exteriores
es igual a 360°..
Probar que: < a + < b + < c = 360°
3.7).Si se tiene uno de los ángulos exteriores de un triángulo con medida de 132°
y uno de los ángulos interiores con medida 65°. Determina la medida de los
ángulos faltantes, tanto interiores como exteriores.
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3.8).Si se tiene uno de los ángulos exteriores de un triángulo con medida de 144°
y uno de los ángulos interiores con medida 56°. Determina la medida de los
ángulos faltantes, tanto interiores como exteriores.
3.9).Si se tiene uno de los ángulos exteriores de un triángulo con medida de 128°
24’32”y uno de los ángulos interiores con medida 62°28’46”. Determina la medida
de los ángulos faltantes, tanto interiores como exteriores.
3.10).En un triángulo se tiene que uno de los ángulos exteriores es 118°24’16”,
determina las medidas de los otros exteriores si uno de los interiores mide
78°20’12”
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SEMEJANZA DE FIGURAS Y TEOREMA DE PITÁGORAS
¿Cuál crees que sea la forma más sencilla para plantear ejemplos de semejanzas entre
figuras?
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¡Efectivamente pensaste bien!.
Es cuando se obtienen amplificaciones de dichas figuras, como en los ejemplos
anteriores.
Las pantallas mismas en la exhibición de películas en los cines, las pantallas de
las computadoras, las imágenes de fotografías, etc. ¡TODO ESTÁ HECHO A
ESCALA! ¿ Estás de acuerdo? Bueno sigamos adelante.
La geometría se ha encargado de hacer el estudio de todas las características y
condiciones que se necesitan para reproducir las figuras, haciendo variar
únicamente su tamaño, pero conservando su forma.
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SEMEJANZA DE FIGURAS
Uno de los conceptos fundamentales de la geometría es la semejanza de figuras
y habiendo investigado sobre el tema debes de estar de acuerdo que: El concepto
de semejanza, está apoyado en las razones o relaciones que es posible
establecer entre los ángulos correspondientes u homólogos, y los segmentos que
representan sus lados.
Por ejemplo:
Si consideramos el par de triángulos que se ve en los extremos y si tenemos como objetivo escribir sus correspondencias, tenemos:
A A'; B B'; CC';
´ ´ ´
a b c
a b c
A
B
C
c a
b
A'
B'
C'
a' c'
b'
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Las expresiones que se escribieron anteriormente nos permiten indicar que:
Los ángulos correspondientes de figuras semejantes son iguales.
Los lados homólogos de figuras semejantes son proporcionales.
Razones o relaciones: Son utilizadas en la comparación de cantidades apoyadas
por la división. Razón de dos cantidades es el cociente de la primera por la
segunda.
Por ejemplo:
En la figura que sigue, se tiene la representación de una recámara mediante
escala. ¿Qué significado tendrá que dicha figura esté hecha a una escala de 1
100
(de uno a cien)?.
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Al medir el ancho y el largo del dibujo, se encontró que podemos escribir las proporciones que a continuación se indican:
x7
1001
También: 1(x) = 100(7) X = 700 y para el largo: Largo: 700 Cm = 7 metros
x
4
100
1
de donde: 1(x) = 4 (100) x = 400 Las medidas reales de la recámara son: Ancho: 400 Cm = 4 metros
En los planos para la construcción, se acostumbra utilizar escalas como 1 a 50 y
1 a 100 para las plantas o las fachadas. Esto significa que 1 Cm del dibujo es
igual a 50 cm. de la realidad y que 1 Cm del dibujo representa 100 Cm de lo que
se quiere construir respectivamente.
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LA ESCALA ADECUADA PARA UNA REPRODUCCIÓNLa relación que existe entre un objeto real y su representación o modelo a escala que se haga de él, determina la escala que se debe de emplear.
Si por ejemplo:
3.11).Lee cuidadosamente los enunciados de los problemas que siguen y considerando los conceptos comentados resuelve correctamente.
3.11.1).Si en tu cuaderno en borrador quisieras representar un libro de la bibliografía que utilizas para investigar lo indicado en los trabajos y se sugiere utilizar una escala de 1 a 5 y consideramos la relación en centímetros, 1 Cm en el dibujo debe representar 5 Cm en lo real. Ver figura que sigue y escribe las medidas reales
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3.11.2).Una persona observa un mapa de carreteras y mide sobre él con una regla la distancia entre dos poblaciones encontrando 6 Cm. Si la escala a la que está dibujado el mapa es 1 a 10000000. ¿Cuál es la distancia real en kilómetros entre las dos poblaciones?
3.12).Utilizando el concepto que tienes de semejanza, forma las proporciones
que correspondan, determina lo que se pide y verifica los resultados.
3.12.1).La escala de un plano, para la construcción de una casa, es de 1 a 100,
¿Qué medidas reales tendrá una recámara cuyas medidas en el plano, son de
5.3 Cm por 5.75 cm?
3.12.2).La sombra de una casa es de 16 metros. Si a la misma hora la sombra
de un poste cercano a la casa con 1 metro de altura, hace una sombra de 3.5
metros. ¿Cuál es la altura de la casa? Véase la figura que sigue:
121
1 m
3.5 m
16 m
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3.13).Dos triángulos isósceles son semejantes. Si la base de uno de los
triángulos mide 3 Cm y la del otro mide 12 Cm. ¿Cuánto medirán los lados del
segundo triángulo, si un lado del primero es de 4 Cm?
3.14).Dos ángulos están en la razón de 4 a 5 y cuya suma es 54 o . Determine la
magnitud de cada uno de los ángulos.
Procedamos a resolver:
Llamemos 4 x al primer ángulo
Llamemos 5 x al segundo ángulo
Entonces: 4 x + 5 x = 54 o Ahora síguele y determina:
3.14.1). El valor de x
3.14.2). El valor de cada ángulo
3.14.3).Verifica la razón del primero al segundo de los ángulos
3.14.4).Haga el trazo de los ángulos.
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3.15).Dos ángulos están en la razón de 3 a 2 y son coplementarios.
3.15.1).Determina la magnitud de cada uno de los ángulos.
3.15.2).Verifica la razón
3.15.3).Construya la gráfica
3.16).Los ángulos de un triángulo están en la razón de 3 a 4 a 5.
3.16.1).Calcular los grados de cada ángulo.
3.16.2).Verificar las razones de los ángulos.
3.17).Tres ángulos están en la razón de 4 a 3 a 2.
3.17.1).Encuentra sus valores si el primero y el tercero son suplementarios.
3.17.2).Verifica las razones.
3.17.3).Haz la gráfica correspondiente.
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3.18).Los tres lados de un triángulo miden 3, 5 y 8 centímetros. Un segundo
triángulo que es semejante al primero tiene como lado menor midiendo 2
centímetros.
3.18.1).Escribe las razones que se forman al considerar la semejanza del primero
al segundo triángulo.
3.18.2).-Determina las medidas de los lados de los triángulos.
3.18.3).-Haz el trazo de los triángulos.
Sabiendo que si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo,
entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales.
Por ejemplo: En el triángulo ABC:
B C
A
D E
si DE BC, entonces:AD AE
=DB EC
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3.19).Considera las figura que se indican y los datos que se dan en cada caso y
determina lo que te pide.
3.19.1).Toma en cuenta la figura y los datos que siguen, resuelve determinando
el valor de x, si DE BC y verifica el resultado.
B C
A
D E
x
12
28
14
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3.19.2).-Toma en cuenta la figura que sigue y los datos que se indican, resuelve
determinando el valor de
x, si DE BC y verifica el resultado.
A
D E
B C
x
X + 4
5 12
3.20).Si los lados de un triángulo miden 5, 7 y 10 cm y el perímetro de otro
triángulo semejante al primero es de 16 Cm. ¿Cuánto miden los lados del
segundo triángulo?
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3.21).Para determinar lo que se pide en los siguientes enunciados, se trazan las
figuras que se indican abajo. Considera lo que se da y determina lo que se pide.
3.21.1).Para medir una laguna, se trazan los triángulos semejantes ABC y
DEA.¿Cuál es su longitud?
A B
C
Teniendo AB = 200 m BC = 140 m AD = 420 m
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3.21.2).Para medir la longitud de un cerro, se han trazado los triángulos
semejantes que siguen. ¿Cuál es la longitud del cerro?
D
A
B
C
x
9 0 m
1 6 0 m
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TEOREMA DE PITÁGORAS
La semejanza entre triángulos que hemos visto hasta ahora, es de gran ayuda
para demostrar el teorema de Pitágoras que a la letra indica:
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
siempre es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Veamos la demostración:
Primero tracemos la figura que necesitamos:
A B
C
a
c
b
D y x
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Esta es la figura que al descomponerla salen tres triángulos rectángulos.
Que al realizar la semejanza tenemos las proporciones que siguen:
1 ~ 2 1 ~ 3
a b c
h y b
a b c
x h a
b
y
h a
h a
b
c
1 2 3
x
2 ~ 3
h y b
x h a
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Ya que los lados de triángulos semejantes son proporcionales.
De las anteriores proporciones, escribimos las que siguen:
a c
x a ; de donde a2 = cx
b c
y b ; de donde b2 = cy
Ahora:
a2 + b2 = cx + cy; Sumando los primeros miembros y los segundos miembros
a2 + b2 = c(x + y); Factorizando el segundo miembro de la igualdad anterior
Fijándose en la figura completa de arriba, tenemos:
x + y = c
Entonces: a2 + b2 = c(c)
y a2 + b2 = c2
El producto de extremos es igual al producto de los medios.
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Por lo tanto:
En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
Al tener la expresión que representa al teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
Podemos escribir
2 2 2a b c
C = 2 2a b
También a2 = c2- b2
Entonces:
a = 2 2c b
Y también: b2= c2- a2
b = 2 2c b
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Las tres últimas expresiones las bautizaremos como corolarios que se pueden
escribir como:
Si la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa, entonces:
La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los
catetos
Cualquiera de los catetos es igual a la raíz cuadrada de la diferencia del
cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del cateto conocido.
En los casos que siguen toma lo que se da y determina lo que se pide
A B
C
a
c
b
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3.22).Haciendo el dibujo que corresponde y considerando el triángulo anterior,
resuelve los casos que siguen:
3.22.1).Si b = 21 Cm y c= 28 Cm; determina el lado a
3.22.2).Si c = 84 Cm y a = 13 Cm; determina el lado b
3.22.3).Si a = 25 cm. y b = 20 Cm determina el la hipotenusa.
3.22.4).Si la hipotenusa del triángulo mide 9 Cm y uno de los catetos mide 7 Cm.
Determina el cateto faltante.
3.22.5).Si los catetos del triángulo miden 2 y 12 Cm. Determina el valor de la
hipotenusa.
3.23).En el triángulo rectángulo que se presenta enseguida, toma los datos que
dan, utiliza el teorema de Pitágoras y calcula el valor de x y de h.
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3.24).Prueba que las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son 36, 48
y 60 Cm. Si la respuesta es positiva, hacer su trazo.
3.25).Dos Personas parten del mismo punto y al mismo tiempo, por dos caminos
que son perpendiculares. Una de las personas camina a 3 Km. por hora y la otra
lo hace a 4 Km. por hora. Si caminan durante 10 horas.
3.25.1). Haciendo los trazos de los triángulos rectángulos cada hora caminada y
midiendo con la escala ¿Cuál es la distancia que los separa?.
3.25.2). Ocupando el teorema de Pitágoras verifica las mediciones realizadas y
el resultado final.
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“P.D. RECUERDA: LA DIFERENCIA ENTRE UN BUEN ESTUDIANTE Y
UN MAGNÍFICO ESTUDIANTE, ES EL PEQUEÑO ESFUERZO EXTRA QUE
ESTE HACE” ¡HAGÁMOSLO JUNTOS!