Unidad I

Ingeniera en Control y Gestin AmbientalMatemticas II:Clculo diferencial e Integral

Catedrtico:I.Q. Ivn de Jess Vilchis CuessiUnidad IIIClculo DiferencialEl incremento de una variable que pasa de un valor numrico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el smbolo x, que se lee delta x.

Si en y = f(x) la variable independiente x toma un incremento x, entonces y indicar el incremento correspondiente de la funcin f(x) (o sea, de la variable dependiente y).

El incremento y siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el incremento x.

Incrementos Definicin formal

Si est definida sobre un intervalo abierto (a,b),entonces para cada dos puntos distintos y de podemos considerar el cociente de diferencias llamado cociente incremental.

Sea f una funcin real definida en un intervalo abierto, y supongamos que c (a,b). Diremos que f es diferenciable en c siempre que el lmite existe. El limite, designado por f(c) se llama derivada de f en c .

Concepto de Derivada

En la Figura se observa una parte de la grafica de una funcin . Las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente x, f(x) y (x+h), f (x+h) . En el triangulo rectangular que se forma cuya hipotenusa es el segmento P y Q , la altura es f (x+h) + f( x) y representa la diferencia de las ordenadas de los puntos P y Q entonces el cociente de diferencias.Interpretacin Geomtrica de la Derivada

Representa la tangente trigonomtrica del ngulo que forma P y Q con la horizontal.

El nmero real se denomina pendiente de la curva entre P y Q da un mtodo para valorar la inclinacin de esta lnea.

Sea f una funcin que tiene derivada en x, por lo que cociente de diferencias tiende a cierto lmite f(x) cuando h tiende a cero.

En la interpretacin geomtrica al tnder h a cero, el punto P permanece fijo pero Q se mueve hacia P a lo largo de la curva y la recta PQ se mueve cambiando su direccin de manera que la tangente del ngulo alfa tiende al lmite f(x) .

Por esta razn parece natural tomar como pendiente de una curva en el punto el nmero f(x) .

Primer Paso:

Se sustituye en la funcin x por x + x, y se calcula el nuevo valor de la funcin y + y.

Segundo Paso:

Se resta el valor dado de la funcin del nuevo valor y se obtiene y (incremento de la funcin).

Tercer Paso:

Se divide y por x (incremento de la variable independiente).

Cuarto Paso:

Se calcula el lmite de este cociente cuando x tiende a cero. El lmite hallado es la derivada buscada.

Regla General Para la Derivacin