METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES

Método de Intervalo

Método de Bisección

PASO 1.- Alija los valores iniciales inferior xi y superior xs.

PASO 2.- La primera aproximación a la raíz xr se determina como:xr = xi + xs.

2

PASO 3.- Calcule f(xi), f(xr) para determinar en que subintervalo cae la raíz.

PASO 4.- a ) Si f(xi) f(xr) o, la raíz se encuentra en este subintervalo entonces xs. = xr, continúe el paso 2.

b)Si f(xi) f(xr) 0, la raíz se encuentra en el subintervalo superior, entonces xi = xr, continúe el paso 2.

PASO 5.- Cuando Ea , el cálculo termina.

Ej. Determine el coeficiente de rozamiento c =? Necesario para que un paracaidista de masa = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s, después de una caída libre de t = 10 seg. La aceleración de la gravedad es de 9.8 m/s2. La ecuación a utilizar es:

f(c) = gm/c ( 1 – e-(c/m) t ) – v = 0

Solución analítica:

Aproximación gráfica:

f(c) = 9.8 (68.1)/c ( 1- e –(c/68.1) ) –40 = 667.38/c ( 1-e(-0.146843) ) – 40

c f ( c )

4 34.115

8 17.653

12 6.067

16 -2.269

20 -8.401

b)bisección

xi = 12, xs = 16xr = (12+16)/2 = 14, xr = xs

f(xi) = f(12) = 6.067f(xr) = f(14) = 1.5687

f(xi) f(xr) = (6.067)( 1.5687) 0, la raíz se encuentra en el subintervalo superior, xi = xr

n = 2xi = 14, xs = 16 , xr = 15f(xi) = f(14) = 1.5687f(xr) = f(15) = -0.4248

f(xi) f(xr) = (1.5687)( -0.4248) 0, la raíz se encuentra en este subientervalo, xs = xr

Ea = {15-14/15} x 100 = 6.667 %

n = 3

xi = 14, xs = 15 , , xr = 14.5f(xi) = f(14) = 1.5687f(xi) =f(14.5)= 0.5523

f(xi) f(xi) 0, xi = xr

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

-20

-10

0

10

20

30

40

Aproximación gráfica

Series2

c

f(c

)

Ea = {14.5-15/14.5} x 100 = 3.448 %

n = 4 xi = 14.5, xs = 15 , , xr = 14.75f(xi) = f(14.5) = 0.5523f(xi) =f(14.75)= 0.05896

f(xi) f(xi) 0, xi = xr

Ea = {14.75-14.5/14.75} x 100 = 1.695 %

n = 5

xi = 14.75, xs = 15 , , xr = 14.875f(xi) = f(14.75) = 0.5896f(xi) =f(14.87)= -0.1841f(xi) f(xi) 0, xs= xr

Ea = {14.875-14.75/14.875} x 100= 0.840 %

n = 6xi = 14.75, xs = 14.875 , , xr = 14.8125

Ea = {14.8125-14.875/14.8126} x 100= 0.4219 %

Ea

0.422% 0.5 %

xr = 14.8125

iteración Xi Xs Xr Ea %1 12 16 14 6.6672 14 16 12 3.4483 14 15 14.5 1.6954 14.5 15 14.75 0.4805 14.75 15 14.875 0.4226 14.75 14.875 14.8125

Método de aproximaciones sucesivas

Los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren de un solo valor para predecir la raíz.

La ecuación f(x)= 0 se arregla de tal modo que x quede del lado izquierdo de la ecuación:

X = g (x ) (2.7)

Ejemplo:

f(x) = x2 –2x + 3 = 0

reordenando : x = x 2 + 3 2

f(x) = sen x = o

reordenando: x = sen x + x

Requerimos de un valor inicial xi, que se puede usar para obtener una aproximación de xi + 1, expresándolo por la forma iterativa:

xi + 1 = g (xi ) ( 2.8 )

El error de aproximación:

Ea = xi + 1 - xi x 100 x i + 1

Esquema gráfico de la convergencia de la iteración del punto fijo:

Use el método de aproximaciones sucesivas ( iteración del punto fijo para localizar la raíz de f (x) = e-x – x, x0 = 0, Ea = 0.5% )

X = e-x = g ( x )

X1 + 1 = e-xi

X0 = 0, x1 = e-0 = 1 ; x1 = 1X2 = e-x1 = e-1 = 0.367879X3 = e-x2 = e-0.367879 = 0.692200X4 = e-x3 = e-0.692200 = 0.500473X5 = e-x4 = e-0.500473 = 0.606243X6 = e-x5 = e-0.606243 = 0.545396X7 = e-x6 = e-0.545396 = 0.579612

I xi Ea (%)0 1 171.831 0.367879 46.92 0.692200 38.33 0.500473 17.44 0.606243 ** 0.579612 *

12 0.566400 0.355

ITERACION Y CONVERGENCIA DE ECUACIONES , CONDICION LIPSCHITZ

El método de aproximaciones sucesivas, método iterativo, y también conocido como método de punto fijo, es uno de los métodos mas sencillos e ilustra(a diferencia del método de bisección) el caso cuando no se tiene garantía de obtener la solución. Por tal motivo, el tema central aquí es el concepto de convergencia de una sucesión de aproximaciones.

Velocidad de convergencia. Sea {xn}nα =1 una sucesión de aproximaciones que

convergen a s, de forma que limn→∞

xn=s. Si la sucesión de errores{Єn}n

α=1(donde Єn =

Xn – s) satisface

limn→∞

Єn+1❑

Єn❑α = K, K>0

Para algunos números fijos α, K, entonces α es el orden de convergencia para {xn}, y K es la constante asintótica o factor de convergencia.

En base a la definición anterior, destacamos los casos para cuando α=1, y α=2 que corresponden a convergencia lineal, y convergencia cuadrática respectivamente.

CONDICION DE LIPSCHITZ

En matemática, una función f : M → N entreespacios métricos M y N es llamada Lipschitz continua (o se dice que satisface una condición de Lipschitz) si existe una constante K > 0 tal que d(f(x), f(y)) ≤ K d(x, y) para todo x y y en M. En tal caso, K es llamada la constante Lipschitz de la función. El nombre viene del matemático alemán Rudolf Lipschitz.

Características y resultados principales

• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua y por tanto continua.

• Las funciones Lipschitz continuas con constante Lipschitz K = 1 son llamadas funciones cortas y con K < 1 reciben el nombre de contracciones. Estas últimas son las que permiten aplicar el teorema del punto fijo de Banach.

• La condición de Lipschitz es una hipótesis importante para demostrar la existencia y unicidad de soluciones para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Esta condición por sí sola nos asegura la existencia de soluciones (Teorema de Peano), pero para poder confirmar también la unicidad de la solución necesitamos también continuidad de la función (Teorema de Picard-Lindelöf).

• Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f : U → R es una función Lipschitz continua a valores reales, entonces siempre existe una función Lipschitz continua M → R que extiende f y tiene la misma constante Lipschitz que f.(ver también teorema de Kirszbraun).

• Una función Lipschitz continua f : I → R, donde I es un intervalo en R, es casi por todo diferenciable (siempre, excepto en un conjunto de medida de Lebesgue cero). Si K es la constante Lipschitz de f, entonces |(f’)(x)| ≤ K toda vez que la derivada exista. Contrariamente, si f : I → R es una función diferenciable con derivada

acotada, |(f’)(x)| ≤ L para toda x en I, entonces f es Lipschitz continua con constante Lipschitz K ≤ L, una consecuencia del teorema del valor medio.

Definiciones relacionadas

Estas definiciones se requieren en el Teorema de Picard-Lindelöf y en resultados relacionados con él.

• Localidad Lipschitz: Dados M, N, espacios métricos, se dice que una función es localmente lipschitz si para todo punto de M existe un entorno donde la función cumple la condición Lipschitz.

• Función Lipschitz respecto una variable: Dados M, N, L espacios métricos, se dice que una función es localmente Lipschitz respecto x sii cumple la condición Lipschitz para puntos de N.

METODOS DE INTERPOLACION

Método de Newton – Raphson

Este método se puede obtener mediante el siguiente gráfico:

Si el valor inicial de la raíz es xi , podemos trazar una tangente desde el punto { xi, f(xi) }.

El punto donde está tangente cruza el eje x, representa una aproximación de la raíz.

De la figura la primera derivada es x , es equivalente a la pendiente.

f´(x) = f(xi) – 0 xi - xi + 1

Reordenando:

Xi +1 = xi - f(xi) Fórmula de Newton-Raphson f´( xi )

Esta ecuación también puede obtenerse mediante la serie de Taylor.

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h 2 + f”’(xi)h 3 + .....fn(xi)h n 2! 3! n!

Truncando la serie de Taylor hasta la primera derivada:

f(x1 +1) = f(xi) +f´(xi) (x1 +1 - xi)

en el que se intersecta con el eje x, f(x1 +1) = 0

0 = f(xi) +f´(xi) (x1 +1 - xi)

Xi +1 = xi - f(xi) que es la ec. ( 2.9 ) f´( xi )

Ejemplo

Encuentre la raíz de tgx-x = 0, en x 1.5 , = 0.01%

Solución:

3.1416 x 4.71

f(x) = tan x – 0.1 = 0f´(x) = sec2 – 0.1f´(x) = 1 - 0.1 cos2 x

x0 = 3.5x1 = X0 - f(x0) f´( x0 )

Sustituyendo:

3.5 – tan 3.5 – 0.1 (3.5) 1 - 0.1 cos2 3.5

x1 = 3.476422 = 3.468356

Ea = 3.476422 – 3.5 x 100 % = 0.678226 3.476422

x2 = x1 – f(x1) f´( x1 )

Sustituyendo:

3.476422 – tan 3.476422 – 0.1 (3.476422) 1 - 0.1 cos2 3.476422

x2 = 3.476140

Ea = 3.476140 – 3.476422 x 100 % = 0.008% 3.476140

Ea

0.008 % 0.01 %

x = 3.476140

La siguiente fórmula atribuida a Francis se aplica a un vertedor con concentraciones:

Q = 3.33 ( B –0.2 +1) (H3)1/2

Donde:

Q = cantidad de agua que pasa por el vertedor (pie3/s)B = ancho del vertedor en piesH = carga sobre la cresta del vertedor

Si B = 3 y Q = 12 , calcule los valores con el método de Newton- Raphson.

Se requiere utilizar como valor inicial H0 =B/2

Solución :

f(x) = Q – 3.33(B-0.2+1)(H3)1/2 = 0f´(x) =Q –10H3/2 + 0.666H5/2

= Q-3.33BH3/2+ 0.666H5/2

= -3.33(3/2)H1/2+ 0.666(5/2)H3/2

= -5BH1/2 + 1.66H3/2

= -15H1/2 + 1.665 H3/2

H0 = x0 = 3/2 = 1.5

x1 = X0 - f(x) f´( x)

H1 = H0 – f(H) f´(H)

f(H) = 12-10(1.5)3/2 + 0.666 (1.5)5/2 = -4.5359

f´(H) = -15(1.5)1/2 + 1.665 (1.5)3/2 = -15.3125

H1 = 1.5 – 4.5359 = 1.2037 15.3125

f(H) = 12-10(1.2037)3/2 + 0.6666 (1.2037)5/2

f´(H) = -15(1.2037)1/2 + 1.665(1.2037)3/2

H2 = 1.2037 – -10.14784 -14.2581

H2 = 1.1933H3 = 1.1933

Método de la Secante

Consiste en aproximar la derivada f´(x1) , mediante una diferencia dividida finita regresiva, como se muestra en la siguiente figura:

f´(x1) = f(x1) - f(x1 -1) xi - x1 -1

Sustituyendo esta aproximación en la ecuación (2.9), obtenemos la siguiente ecuación iterativa:

x1 +1 = xi - f(x1) - (x1 -1) ( 2.10 ) f(x1) - f(x1 -1)

Se requiere de dos valores iniciales, xo , x1

X2 = x1 - f(x1) - (x1 - xo) f(x1)-f( xo)

X3 = x2 - f(x2) - (x2 – x1) f(x2)-f( x1)

hasta que se cumpla la tolerancia Ea

1. Un proyectil de m = 2 grs, ha sido lanzado verticalmente al aire y está descendiendo, a su velocidad terminal, que se determina mediante mg = fD.

El modelo matemático que relaciona todas las variables y constantes es :

mg = 1.4 x 10-5 v1.5 + 1.15 x 10-5 v2

1000

donde:

v = velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derecho. Representa la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza de presión. Determinar la velocidad terminal, por el método de la secante, con valores iniciales de Vo = 30, V1 = 30.1 y = 0.1%.

Solución:

f(x) = f(x) = 2(9.81) = 1.4 x 10-5 v1.5 - 1.15 x 10-5 v2 = 0 1000

f(v) = 0.1962-1.4 x 10-5 v1.5 - 1.15 x 10-5 v2 = 0

1era iteración:

Vo = 30, V1 = 30.1

V2 = V1 – f(V1)( V1 - Vo ) f(V1)- f(V0)

f(V0) = 0.1962-1.4 x 10-5 (30)1.5 - 1.15 x 10-5 (30)2 = 6.9695 x10-3

f(V1) = 0.1962-1.4 x 10-5 (30.1)1.5 - 1.15 x 10-5 (30.1)2

= 6.8889 x10-3

V2 = 30.1 – 6.8889 x10 -3 (30.1-30) = 38.6470 6.8889 x10-3 - 6.9695 x10-3

Ea = 38.6470 – 30.1 x 100 = 22.1% 38.6470

2da iteración

V1 = 30.1, V2 = 38.6470f(V1)= 6.8889x10-3

f(V2)= -9.1702410-4

V3 = 37.64045Ea = 2.67%

3era iteración

V2 = 38.6470 , V3 = 37.64045f(V2)= -9.17024 x10-4

f(V3)= 9.372617 x10-5

V4 = 37.73353Ea = 0.24%

4ta iteración

V3 = 37.64045, V4 = 37.73353f(V3)= 9.372617 x10-5

f(V4) = 1.04766 x 10-6

V5 =37.7346 = V

Ea = 0.00278 %,

Ejemplo 2

Para el diseño de tuberías, en el transporte de flujo de fluidos, uno de los parámetros importantes a considerar, es el factor de fricción de Fanning, cantidad a dimensional que depende de otro parámetro a dimensional , el número de Reynolds, Re. Una de las ecuaciones para determinar el factor de fricción es la de Von Karman:

1 = 4 log10 (Re f ) –0.4f

Los valores típicos del número de Reynolds va de 10,000 hasta 500,000: 10,000 Re 500,000 para flujo turbulento y valores típicos para el factor de fricción de Fanning; 0.01 f 0.01. Determine f por el método de la secante.

Fo = 0.0049 , f1 = 0.0050, = 0.1%

Re = r

Solución:

1 = 4 log10 (105 x f ) +0.4f

Re = 100,000

1er iteración

f(f0) = 1 - 4 log10 (105 x0.0049 ) +0.4 0.0049

f(f0) = -0.6946

f(f1) = 1 - 4 log10 (105 x0.0050 ) +0.4 0.0050

f(f1) = -0.8558

f2 = f1 - f(f1)( f1 - f0 ) f(f1)- (f0)

f2 = 0.0050 – (-0.8558)(0.0050-0.0049) (-0.8558)+( 0.6946 )

f2 = 0.004469

Ea = 0.004469 – 0.0050 x 100 = 11.88% 0.004469

2da iteración

f(f2) = 1 - 4 log10 (105 x 4.469x10-3) +0.4 4.469x10-3

f(f2) = 0.05831

f(f3) = 1 - 4 log10 (105 x 4.506x10-3) +0.4 0.004506

f(f3) = -0.0103

3er iteración

f3 = f2 - f(f2) (f2 – f1) f(f2) – f(f1)

f3 = 4.469x10-3 – (0.05831)( 4.469x10 -3 – 0.0050) 0.0583 + 0.0050f3 = 0.0049581

Ea = 0.004502 – 0.004469 x 100 = 0.73% 0.004502

METODO DE AITKEN

En análisis numérico, el método o proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia. Lleva el nombre de Alexander Aitken, quien introdujo este método en 1926. Su forma primitiva era conocida por Kōwa Seki (finales del siglo XVII) y fue encontrado en la rectificación del círculo, es decir, el cálculo de pi. Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesión que converge linealmente.

Definición

Dada una sucesión , se calcula la nueva sucesión

definida como

.

Si se emplea el operador Δ de las diferencias progresivas definido como

Δxn = xn + 1 − xn.Δ2xn = Δ(Δxn) = xn + 2 − 2xn + 1 + xn

también puede escribirse como:

Propiedades

El proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia, y en particular un caso de transformación no lineal de una sucesión.

x converge linealmente a si existe un número μ ∈ (0, 1) tal que

El método de Aitken acelerará la sucesión xn si y sólo si

Aunque la nueva sucesión no converge en general de forma cuadrática, se puede demostrar que para un método de punto fijo, es decir, para una sucesión x(n + 1) = f(xn) para alguna función iterada f, convergiendo hacia un punto fijo, la convergencia es cuadrática. En este caso, la técnica se conoce como método de Steffensen.

APLICACIONES

1.- Modelos Poblacionales

2.- Determinación De Valores Característicos