unidad ii calculo diferencial -...

131

II. DIFERENCIAL

II.1. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES

II.1.1. NOCION INTUITIVA DE LIMITE

II.1.2. DEFINICION DE LIMITE

II.1.3. ALGEBRA DE LIMITES

II.1.4. LIMITES LATERALES

II.1.5. LIMITES AL INFINITO E INDETERMINADOS

II.1.6. CONTINUIDAD

II.1.7. TIPOS DE DISCONTINUIDAD

II.2. DERIVADAS

II.2.1. CURVAS SUAVES

II.2.2. DEFINICION DE DERIVADA

II.2.3. ALGEBRA DE DERIVADAS POLINOMICAS

II.2.4. DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS

II.2.5. OTRAS REGLAS DE DERIVADA

II.2.6. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

II.2.7. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO

II.2.8. DERIVADAS DE OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

II.3. APLICACIONES

II.3.1. MAXIMOS Y MINIMOS

II.3.2. GRAFICA DE FUNCIONES

II.3.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

II.3.4. APROXIMACION AFIN

132

II CALCULO DIFERENCIAL

En esta unidad revisaremos sistemáticamente los conceptos fundamentales del cálculo

diferencial de funciones reales y su aplicabilidad, especialmente en lo relacionado a la

gráfica de curvas.

El cálculo diferencial es una herramienta matemática que se formalizó con los estudios de

Newton y Leibniz alrededor de 1700. Sus orígenes se encuentran muy ligados a

aplicaciones físicas, especialmente de la mecánica y cinemática, en especial al movimiento

de partículas, descripción de la trayectoria de cuerpos en caída libre, mecánica celeste, etc.

Posteriormente, los conceptos introducidos desde la física a la matemática, fueron

generalizados y se les encontró un sinnúmero de aplicaciones en áreas tan diversas como la

economía, biología, química, etc.

La esencia del cálculo diferencial descansa en encontrar las propiedades gráficas de curvas

asociadas a funciones con aspecto "suave", esto que no presentan cambios bruscos.

Procesos como la degradación de material radioactivo, difusión de soluciones,

desplazamiento de cuerpos, comportamiento de la producción, crecimiento de una

población, entre otras, normalmente se pueden describir por medio del uso de funciones

con una característica de este tipo.

Para encontrar estas propiedades de las curvas, en el cálculo diferencial se postula estudiar

lo que sucede en la cercanía de cada punto. Nace así el importante concepto de límites de

funciones reales, que lo estudiaremos con detención en el primer capítulo (LIMITES Y

CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES).

Establecida la noción de cercanía, es posible estudiar la suavidad de las curvas, lo que se

realiza con el concepto de DERIVADAS y es estudiado en el capítulo segundo.

Finalmente, los conceptos teóricos de esta unidad encuentran sus aplicaciones en la

búsqueda de máximos y mínimos de una función, la construcción de una gráfica sin

necesidad de construir laboriosas tablas de valores, la solución de problemas de

optimización y la aproximación lineal de curvas, todo lo cual será analizado en el tercer y

último capítulo de la unidad: APLICACIONES.

133

II.1. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES

En este capítulo se entregaran las bases conceptuales del cálculo diferencial. Es esencial por

parte del lector conocer la definición y terminología asociada a las funciones reales, el

sistema cartesiano y la evaluación de funciones.

Al finalizar el capítulo, se debe ser capaz de:

• Comprender los conceptos de límite y continuidad.

• Conocer las definiciones formales de límite y continuidad

• Determinar si un límite existe o no.

• Calcular límites de funciones reales, tanto polinómicas como especiales.

• Estimar comportamientos asintóticos de funciones.

• Determinar si una función es continua o no en un punto.

• Diferenciar tipos de discontinuidades.

134

II.1.1. NOCION INTUITIVA DE LIMITE

Aún cuando el concepto de límite es básico en el cálculo diferencial de Newton y Leibniz,

su nacimiento se encuentra ligado al cálculo integral, objeto de estudio de la próxima

unidad. Los orígenes se remontan a tiempos de Eudoxo (400 a. C.) y Arquímedes (350 a.

C.) en el método de exhaución para medir áreas y volúmenes de figuras geométricas y que

dio la primera aproximación del número pi, π.

Como muchas de las siguientes ideas de las matemáticas que nos preocuparemos, el

concepto de límite, surge de la necesidad de realizar explicaciones de fenómenos físicos.

Para ilustrar de lo que estamos hablando, consideremos la diferencia entre velocidad media

y velocidad instantánea. Específicamente consideremos las especificaciones técnicas del

Tren Bólido de los franceses, el TGV 325. Este tren une París con Toulouse a una

velocidad media de 200 km / h, pero alcanza velocidades instantáneas superiores a los 450

km / h en algunos puntos del trayecto. De hecho, el 5 de diciembre de 1988, alcanzó la

velocidad histórica de 482,4 km/h en el kilómetro 166 de la vía. La mayor velocidad

alcanzada por un tren en el mundo. En estas afirmaciones, ¿hay alguna contradicción?.

La respuesta es que ninguna, en efecto, la velocidad media, se refiere a dividir la longitud

total de la vía por la cantidad de horas que se demora el tren en realizar el trayecto. Sin

embargo, esté parte del reposo, acelera, disminuye la velocidad, vuelve a acelerar, se

detiene, reanuda su camino, etc. Es decir, experimenta distintos cambios de velocidad a lo

largo de su trayecto. Si nos interesa conocer la velocidad que tiene el tren en un instante de

tiempo determinado tenemos que considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños,

por ejemplo no todo el trayecto sino un minuto, medir el trayecto recorrido en este intervalo

de tiempo y dividir distancia / por 1 minuto; posteriormente podemos considerar un

segundo, etc. Al considerar un intervalo de tiempo cada vez menor, pero que no puede

llegar a ser nada (cero), estamos midiendo la velocidad instantánea. Aquí surge el concepto

de límite.

Se entiende por límite a una cantidad constante a la que se aproxima otra variable sin llegar

nunca a alcanzarla, pero cuya diferencia con ella puede llegar a ser, en valor absoluto, tan

pequeña como se quiera.

EJEMPLO II.1.1.1.

A modo de ejemplo, para ilustrar el concepto de límite, consideremos la siguiente secuencia

de números reales:

135

1.

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.000001

0.0000001

0.00000001

M

claramente esta secuencia de números se acerca más y más al número cero, aún cuando

jamás alcance esa cifra. En efecto, no es difícil percatarse que el término general de esta

secuencia de números reales es 1/10n, así tenemos la siguiente correspondencia:

Valor de n Número real asociado

0 1

1 0.1

2 0.01

3 0.001

4 0.0001

5 0.00001

6 0.000001

7 0.0000001

M M

Claramente entre más grande sea el valor de n, el número real asociado será más cercano a

cero, por ejemplo, para n = 20, el número asociado es 0.00000000000000000001 y para n =

30 es 0.000000000000000000000000000001 y para n = 100 es 0.0…(99 ceros)1. Sin

embargo, por muy grande que sea el valor de n y por lo tanto, por muy pequeño que sea el

valor del número real asociado, éste no será jamás el valor cero, sólo se acercará, o en

términos más matemáticos, el límite será cero.

Al lector interesado en seguir explotando estas ideas se lo remite a los excelentes textos de

Spivak, Thomas / Fineey o Apostol, citados en la bibliografía.

Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo diferencial, el de límite es el más

importante pues a partir de él se construyen los demás conceptos. Sin embargo, también es

el concepto más difícil de definir. La idea de aproximarse a un punto o a un valor tan

136

cercano como se quiera y aún así nunca alcanzarlo no es aparentemente atractiva desde el

punto de vista intuitivo. Sin embargo, de hecho, conceptos del tipo de límite se utilizan

frecuentemente en razonamientos y conversaciones ajenas a la matemática.

Una función f tiende hacia el límite L cerca de xo, si se puede hacer que f(x) esté tan cerca

como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de xo, pero siendo distinto

de xo. Se dice que f tiene a L cuando x se acerca o tiende a xo.

EJEMPLO II.1.1.2.

Las tres gráficas siguientes son ejemplos de funciones que tienen como límite a L, cuando

x tiende a xo.

En la primera gráfica se tiene que el límite coincide con la imagen de la función en xo, en

cambio en la segunda, la función no tiene imagen en xo, por último, en la tercera gráfica,

el límite es distinto al valor de la imagen en xo.

En cualquiera de estos tres casos, el límite existe en xo y es igual al valor L. Sin embargo, el

primer caso es tan especial e importante que se dice que la función es continua (su gráfica

no tiene ni cortes, ni saltos en xo). Estas funciones son tan importantes que las estudiaremos

en una sección especialmente dedicadas a ellas.

Una analogía muy útil para ilustrar el concepto de límite consiste en imaginarse la situación

del tiro al blanco. El valor del límite L, lo consideramos como el blanco, xo, aquel ángulo

que permite al tirador acertar en el blanco, f(x) la trayectoria del tiro. Evidentemente, entre

más se acerque el tirador a xo en el dominio de la función f, más certero será su tiro.

137

A continuación vamos a revisar un ejemplo que nos ilustre sobre funciones que no cumplen

con tener un valor límite asociado a un punto determinado.

EJEMPLO II.1.1.3.

Las tres gráficas siguientes son ejemplos de funciones que no tienen como límite a L,

cuando x tiende a xo.

En el caso de la primera función presentada, el límite no existe, pues la función aún

cuando tiende a valores finitos por la derecha y la izquierda, estos son distintos entre sí. En

el segundo caso, acontece algo parecido, pues la función tiene un conportamiento asitótico

distinto a derecha e izquierda. Se dice que la primera función tiene una discontinuidad de

salto finito, en cambio la segunda función tiene una discontinuidad de salto infinito en xo.

Por último, la tercera función no tiende a L, cuando x tiene a xo, sino al valor f(xo).

Las notaciones universalmente utilizadas para representar que f tiene a L cuando x se

acerca a xo, son las siguientes:

LxfxxsiLxf

Lxflim

o

o

xx

o

xx

→

→

→→→

=

)(,)(

)(

EJEMPLO II.1.1.4.

Exprese en símbolos las siguientes proposiciones:

• 4x tiende a 8 cuando x tiende a 2: 842

=→

xlimx

• El límite de la función f(x) es 5 cuando x tiende a cero: 5)(0

=→

xflimx

• Cuando x se acerca a –1, f(x) tiende a 100: 100)(1

=−→

xflimx

EJEMPLO II.1.1.5.

Considere la función real f: ℝ → ℝ, f(x) = x2⋅ sen(1/x), esta función tiene como límite

cuando x tiende a cero, el valor L = 0. Al observar el gráfico de esta función en el intervalo

138

[-1, 1], se aprecia que en términos generales efectivamente la curva de f se acerca a al valor

cero del codominio.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

Si realizamos un primer acercamiento de la gráfica en el intervalo [-0.5, 0.5], se observa

que las oscilaciones que presenta gráfica en torno al cero, efectivamente disminuyen.

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

Un nuevo acercamiento, esta vez en el intervalo [-0.1: 0.1] no muestra mayor claridad en la

evolución de las oscilaciones de la grafica en torno a cero.

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

Por último, si se gráfica la función en el intervalo [-0.01, 0.01], se observa la siguiente

situación que termina por confirmar que el límite de la función f(x) = x2⋅ sen(1/x) es cero,

cuando x tiende a cero.

-0.0001

-8e-005

-6e-005

-4e-005

-2e-005

0

2e-005

4e-005

6e-005

8e-005

0.0001

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

139

EJEMPLO II.1.1.6.

En este ejemplo ilustraremos la apariencia correspondiente a una función que no tiene

límite en un punto determinado. Consideramos la función f: ℝ → ℝ, f(x) = sen(1/x). La

apariencia general de esta función en el intervalo [-1, 1] es la siguiente:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Al realizar un acercamiento al intervalo [-0.5, 0.5] se observa que en torno al cero existe un

comportamiento anomalo, efectivamente la frecuencia de las oscilaciones aumentan

produciendose la sensación de aglomeramiento observada en la grafica anterior, pero la

curva se acerca de distinta manera al cero por la izquierda de la curva con respecto a la

derecha e la curva.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Un último acercamiento, mostrando la gráfica en el intervalo [-0.1, 0.1] nos ilustra esta

situación con mayor claridad.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 De esta manera, se confirma que no existe el límite de f(x) = sen(1/x) cuando x se acerca al

cero.

140

ACTIVIDAD II.1.1.7.

1. Indique cual de las siguientes gráficas corresponden a una función que tenga a L como

límite cuando x tiende a xo.

Solución:

Sólo la función mostrada en b), representa una que tiene a L como límite cuando x se

acerca a xo.

2. Interprete en palabras los siguientes símbolos.

a) 00

=→

xlimx

b) 1010

=→

xlimx

c) 11

−=−→

xlimx

d) 5)(1

=−→

xflimx

Solución:

a) Límite cuando x tiende a cero de x es cero.

b) Límite de x, cuando x tiende a 10 es 10.

c) Límite de x, cuando x tiende a –1, es igual a –1

d) Límite de la función f(x), cuando x tiende a –1 es cinco.

3. Exprese en símbolos las siguientes proposiciones

a) El límite de la función g(x) es 10 cuando x ce acerca a 0.

b) F(x) tiende a 5, cuando x se acerca a cero.

c) Si x tiende a 10, entonces f(x) tiende a cero.

Solución:

a) 10)(0

=→

xglimx

b) 5)(0

=→

xFlimx

c) 0)(10

=→

xflimx

141

RESUMEN

En la presente sección se revisa el concepto intuitivo de límite, como idea de cercanía.

Comprender esta importante idea es paso previo para poder definir formalmente el

concepto de límite de una función en un punto particular. El concepto de límite será la

piedra angular utilizada para construir el concepto de derivada de una función, a partir del

cual gira todo el cálculo diferencial.

AUTOEVALUACION

Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1. Todas las funciones reales tienen un valor límite para cada uno de los elementos de su

dominio.

2. Si una función tiene límite en un punto xo, entonces es invertible.

3. La función f(x) = 1 / x no tiene límite cuando x se acerca a cero.

4. La función f(x) = x, tiene límite para cada valor de x.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Falso.

3. Verdadero.

4. Verdadero.

GLOSARIO

Codominio: Conjunto de llegada de una función.

Constante: Número real que no modifica su valor en función de cambios de parámetros.

Discontinuidad: Propiedad de una curva, que establece el corte de ella.

Dominio: Conjunto de partida de una función.

Función: Relación que asocia a cada preimagen a lo sumo una única imagen.

Función Real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.

Gráfica: Representación en el plano de una función.

142

Imagen: Elemento del codominio de una función que se encuentra asociado a un elemento

particular del dominio.

Proposición: Expresión de la cual se puede determinar sin ambigüedad si es verdadera o

falsa.

Valor absoluto: distancia de un número real al cero. El número sin signo.

Variable: Número real que modifica su valor de acuerdo a cambios de parámetros.

Límite: Valor del codominio de una función que representa la tendencia de las imágenes

vecinas de la función.

Número Real: Número natural, entero, racional o irracoional.

SIMBOLOS

f(x) : función f con variable x.

π : Número irracional pi, 3.141596…

= : Igual que.

Lxflimoxx

=→

)( : Límite de F cuando x tiende a xo es L

ℝ : Conjunto de los números reales.

⊆ : Subconjunto.

143

II.1.2. DEFINICION DE LIMITE

En la presente sección, vamos a definir formalmente el concepto de límite. Como el límite

de una función real involucra el concepto de cercanía, implícitamente la definición debe

contemplar distancias de números, la que se mide en términos del valor absoluto de

números reales.

DEFINICION: La función f tiende hacia al límite L en xo significa que para todo ε > 0

existe algún δ > 0 tal que, para todo x, si 0 < |x – xo| < δ, entonces |f(x) – L| < ε. Lo que se

denota por

Lxflimoxx

=→

)(

Lo que escrito en la simbología aprendida en el curso anterior se expresa por medio de:

(∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – xo| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε))

Tal como lo señala Spivak en su libro, esta definición es tan importante que no es posible

continuar sin que se la aprenda de memoria y la comprenda. Su uso para realizar

demostraciones es casi mecánico y sólo se reduce a un trabajo algebraico después de

formularla.

EJEMPLO II.1.2.1.

Aplicando la definición de límite muestre que efectivamente se cumple que el límite de la

función f(x) = (2x2 – x – 3) / (x + 1) es –5 cuando x tiende a –1. Esto es, que

51

32 2

1−=

+−−

−→ xxxlim

x

En efecto, dado ε > 0, consideremos δ = ε / 2, se tiene entonces: |x + 1| < δ ⇒ |x + 1| < ε

/ 2. Lo que queremos es construir a partir de esta relación, la definición de límite para esta

función f(x), el punto xo = - 1 y el valor de límite L = - 5, esto es

(∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – (-1)| < δ ⇒ |f(x) – (-5)| < ε))

Esto se logra sólo en base a un arreglo algebraico, que aunque parece artificioso, es en

realidad muy simple:

|x + 1| < δ ⇒ |x + 1| < ε / 2

⇒ 2|x + 1| < ε

⇒ 2)1(

)1( 2

++

xx < ε

⇒ 21

122

+++

xxx < ε

144

⇒ 1

242 2

+++

xxx < ε

⇒ 1

5532 2

+++−−

xxxx < ε

⇒ 51

32 2

++

−−x

xx < ε

Así, (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – (-1)| < δ ⇒ |f(x) – (-5)| < ε)) lo que demuestra que

efectivamente se tiene

51

32 2

1−=

+−−

−→ xxxlim

x

El lector debe advertir que todo el truco consiste en expresar la relación a la cual se desea

llegar utilizando la definición de límite y después retroceder por medio de identidades

algebraicas hasta llegar a las expresiones iniciales.

Si lo que se quiere es afirmar que la función f no tiende hacia L en xo, se debe negar

correctamente la definición anterior:

Si no es verdad que para todo ε > 0 existe algún δ > 0 tal que, para todo x, si 0 < |x – xo| <

δ, entonces |f(x) – L| < ε; entonces e cumple que: Existe un ε > 0 tal que para todo δ > 0

existe algún x, para el cual se cumple que 0 < |x – xo| < δ, pero no |f(x) – L| < ε.

EJEMPLO II.1.2.2.

Consideremos la función f: ℝ → ℝ, f(x) = 1 / x. El límite de f(x) no existe cuando x tiende

a 0. En efecto, consideremos el caso de ε = 0.1, entonces para todo δ >0, se tiene que si 0 <

|x| < δ, entonces |1 / x | > 1 / δ ∧ |1 / x | > 0.1, siempre y cuando x < 10.

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

Prácticamente todas las evaluaciones de límites que realizaremos a continuación

descansaran al final en la evaluación del límite de la función identidad: f(x) = x; esto es,

nos interesa calcular el límite

145

xlimoxx→

Es tan importante la evaluación de este límite, que lo estableceremos como un teorema, aún

cuando es trivial percatarse de que el límite es el punto al cual tiende x, esto es (xo), por

tratarse de la función identidad.

TEOREMA

oxxxxlim

o

=→

Demostración:

Resulta claro que (∀ ε > 0)((∃ δ > 0, δ = ε)(0 < |x – xo| < δ ⇒ |f(x) – xo| < ε)).

EJEMPLO II.1.2.3.

Evalúe los siguientes límites:

00

=→

xlimx

1010

=→

xlimx

11

−=−→

xlimx

TEOREMA. Una función real f: ℝ → ℝ, no puede tender hacia dos límites diferentes en

xo. En otras palabras, si f tiende a L en xo y f tiende a M en xo, entonces L = M.

Demostración: Por hipótesis, se sabe que L y M son números reales tales que son límites

de f en xo, lo que aplicando la definición de límite significa que:

(∀ ε > 0)((∃ δL > 0)(0 < |x – xo| < δL ⇒ |f(x) – L| < ε))

y

(∀ ε > 0)((∃ δM > 0)(0 < |x – xo| < δM ⇒ |f(x) – M| < ε))

Si consideramos δ = min{δL, δM}, se tiene que

(∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – xo| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε ∧ |f(x) – M| < ε))

Supongamos, por reducción al absurdo, que L ≠ M, entonces 0 < |L – M| =|L – f(x) + f(x)

– M| ≤ |L – f(x)| + |f(x) – M| = |f(x) – L| + |f(x) – M| < ε + ε = 2ε, cada vez que 0 < |x – xo| <

δ. Como lo anterior es válido para todo ε > 0, en particular lo es para ε = |L – M| / 2, se

tiene así que

|L – M| < 2ε = |L – M|,

lo cual es una contradicción. Esta contradicción provino de suponer que L ≠ M, por lo

tanto, necesariamente la negación debe ser cierta, esto significa que L = M tal como se

146

quería demostrar. Tenemos así que el límite de una función real, cuando existe, debe ser

único.

ACTIVIDAD II.1.2.4.

1. Utilizando la definición de límite, demuestre que:

a) ( ) 9152

=−→

xlimx

b) ( ) 342

1−=−

→xlim

x

c) ( ) 033

=−→

xlimx

d) ( ) 615 2

1=+

→xlim

x

e) 2112

1=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

→ xxlim

x

Solución:

a) Queremos demostrar que (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 2| < δ ⇒ |5x – 1 – 9| < ε)), o lo

que es equivalente: (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 2| < δ ⇒ 5|x – 2| < ε)).Ahora, si

consideramos δ = ε / 5, se tiene:

(∀ ε > 0)((∃ δ > 0, δ = ε / 5)(0 < |x – 2| < δ ⇒ |5x – 1 – 9| = 5|x – 2|< 5 ⋅ ε/ 5 = ε))

b) Se quiere demostrar que (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |x2 – 4 – 3| < ε)), o

equivalentemente, (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |x2 – 1| < ε)).

Se debe observar que se desea acotar |x2 – 1| = |x – 1| ⋅ |x + 1|. El primer factor |x – 1|, se

puede acotar por la hipótesis |x – 1| < δ, en cambio el segundo factor requiere de algú

trabajo extra, en este caso como |x – 1| < δ, se tiene que -δ < x – 1 < δ ⇒ 2 - δ < x + 1 <

δ + 2. Así |x + 1| < δ + 2, si |x – 1| < δ. Luego, basta escoger δ tal que δ(δ + 2) = ε,

entonces se tiene:

(∀ ε > 0)((∃ δ > 0), δ solución de la ecuación δ(δ +2) =ε)(0 < |x – 1| < δ ⇒

|x2 – 4 + 3| = |x – 1|⋅|x + 1| < δ(δ + 2) =ε)

c) (∀ ε > 0)((∃ δ > 0, δ = ε)(0 < |x – 3| < δ ⇒ |x – 3| < ε))

d) Se quiere demostrar que (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |5x2 + 1 – 6| = 5|x2 – 1| =

5|x – 1| ⋅ |x + 1| < ε)). Se tiene que si |x – 1| < δ, entonces -δ < x – 1 < δ ⇒ x + 1 < δ +

2, de donde; al considerar δ como solución de la ecuación 5δ(δ + 2) = ε, se tiene que:

(∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |5x2 + 1 – 6| = 5|x2 – 1| = 5|x – 1| ⋅ |x + 1| < 5 δ(δ + 2)

= ε))

e) (∀ ε > 0)((∃ δ > 0, δ = ε)(0 < |x – 1| < δ ⇒ |(x2 – 1) / (x – 1) - 2| = |x + 1 – 2| = |x – 1| =

δ < ε))

147

2. Determinar un número δ > 0, tal que se satisfaga la definición de límite, esto es que

|f(x) – L| < ε, para x tal que |x – xo| < δ, considerandos los valores ε, L y xo dados para

cada función f(x)

a) f(x) = 1 – 2x, xo = -1, L = 3, ε = 0.01

b) f(x) = 1 / x, xo = 2, L = ½, ε = 0.002

c) f(x) = (x – 1) / (x + 1), xo = 1, L = 1, ε = 0.01

Solución:

a) |1 – 2x – 3| = 2 ⋅ |x + 1 | < 2 δ = 0.01 ⇒ δ = 0.005

b) |1/x – ½| = |2 – x | / 2|x| = |x – 2| / 2|x| < δ / 2|x| = 0.002. Pero 0 < |x – 2| < δ ⇒ - δ < x –

2 < δ ⇒ 2 - δ < x. Así δ / 2 |x| < δ / 2(2 - δ) = 0.002 y δ es la solución de la ecuación

planteada.

c) | (x – 1) / (x + 1) – 1| = 2 / |x + 1| < 2 / (2 - δ ) = 0.005 ⇒ δ debe ser la solución de la

ecuación formulada.

EJERCICIOS II.1.2.8.

1. Verifique los siguientes límites, aplicando la definición.

a) 441

=→x

lim

b) 44

=→

xlimx

c) 83

2−=

−→xlim

x

d) ( ) 3323

=−→

xlimx

e) ( ) 5654 2

1=+−

→xxlim

x

2. Determinar un número δ > 0, tal que se satisfaga la definición de límite, esto es que

|f(x) – L| < ε, para x tal que |x – xo| < δ, considerandos los valores ε, L y xo dados para

cada función f(x)

a) f(x) = 2x + 3, xo = 1, L = 5, ε = 0.001

b) f(x) = (x2 – 9) / (x + 3), xo = -3, L = -6, ε = 0.01

c) f(x) = x2, xo = 1, L = 1, ε = 0.01

RESPUESTAS

1.

a) δ puede ser cualquier número real mayor que cero

b) δ = ε

c) δ satisface la ecuación δ((δ + 2)2 + 2δ) = ε

d) δ = ε / 2

e) δ satisface la ecuación δ(4(1+ δ) –1) = ε

148

2.

a) δ = 0.0006

b) δ = 0.398

c) δ = ( 101 -10) / 10

RESUMEN

En esta sección se establece la definición formal del límite de una función real, evaluándose

algunos límites básicos como es el caso del límite de la función identidad. Se establece un

criterio para determinar cuando un valor L no es el límite de una función f(x) y se termina

la sección presentando el importante teorema de unicidad del límite, esto es que una

función real puede tener a lo más un único límite en un punto xo (si el límite existe,

entonces debe ser único).

AUTOEVALUACION


1. El límite de una función puede no ser único.

2. La definición de límite postula encontrar valores de la imagen de la función cercanos a

L, en la medida que las preimagenes respectivas se acercan al punto xo.

3. La función f(x) = 1/ x no tiene límite en 0.

4. La función f(x) = x, tiene como límite cuando x tiende a x0, el valor xo.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Verdadero.

3. Verdadero.

4. Verdadero.

GLOSARIO

Identidad Algebraica: Igualdad entre expresiones algebraicas, que corresponde a una

tautología.

Función: Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.

Función identidad: Función que relaciona un elemento consigo mismo.

Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los reales.

149

Hipótesis: Proposición que se asume como verdadera. Estipula las condiciones en que es

válido un teorema o afirmación.

Límite: Elemento del codominio de una función al cual se acercan los valores de la imagen

de una función, cuyas preimagenes se acercan al mismo tiempo a un valor en el dominio.

Número Real: Número natural, entero, racional o irracional.

Reducción al absurdo: Proceso de racionamiento que consiste en suponer que es cierto la

negación de lo que se quiere demostrar, hasta forzar un absurdo. Esto implica que la

afirmación de lo que se quiere demostrar es cierta.

Teorema: Proposición que debe ser demostrada.

Valor absoluto: Distancia de un número al cero. El número sin signo.

SIMBOLOS


< : Menor que.

≤ : Menor o igual que.

= : Igual que.

Lxflimoxx

=→



⇒ : Implica.

ε : Epsilón.

δ : Delta.

150

|x| : Valor absoluto de x.

∀ : Para todo.

∃ : Existe.

≠ : Distinto que.

∧ : Y.

151

II.1.3. ALGEBRA DE LIMITES

Debido a lo complejo de la definición, no es posible estar utilizando la definición de límite

cada vez que queremos calcular uno. Afortunadamente existen varios teoremas nos

facilitaran la evaluación y que se conocen como el álgebra de límites. Estos teoremas

establecen que el límite es invariante ante la suma, diferencia, producto y cuociente de

funciones, siempre y cuando los límites individuales existan. De esta manera,

estableceremos que para calcular el límite de la mayoría de las funciones reales, sólo se

debe reemplazar en la función como preimagén el valor xo al cual tienden los valores de x

en el dominio.

El primer teorema que estudiaremos tiene relación con las funciones constantes, es decir

aquellas que asocian a todo número real una misma imagen.

TEOREMA. Sea f: ℝ → ℝ una función constante, esto es f(x) = c, para alguna constante c

en ℝ. Entonces

cclimxflimoo xxxx

==→→

)(

Es decir, el límite de una función real constante, tendiendo a cualquier valor del dominio,

es igual a la constante.

Demostración: Es claro que ε > 0, así se puede afirmar que: (∀ε > 0)(|f(x) – c| = |c – c| = 0

< ε), de donde se cumple la definición de límite:

(∀ε > 0)((∃ δ >0)(0 < |x – xo| < δ ⇒ |f(x) – c| < ε))

donde δ puede ser cualquier valor real positivo.

EJEMPLO II.1.3.1.

Evaluemos el límite cuando x tiende a 0 de la función constante f : ℝ → ℝ, que a cada

número real le asocia el valor constante f(x) = 10.

10100

=→x

lim

Se debe observar que este límite es válido para cualquier otro valor de tendencia, así se

tiene también que

101010

=−→x

lim

10102

=→x

lim

Recordamos en este punto, que en la sección anterior ya habíamos demostrado que el límite

de la función identidad es: oxxxxlim

o

=→

.

152

TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, tales que existen sus límites en xo, entonces

el límite de la suma de estas dos funciones existe y es igual a la suma de los límites de cada

función. Esto es:

)()())()(( xglimxflimxgxflimooo xxxxxx →→→

+=+

Demostración: Como existen los límites de f y g en xo, se tiene entonces que para todo ε >

0, existen δf >0 y δg > 0 tales que:

(∀ε > 0)((∃δf > 0)(0<|x – xo|< δf ⇒ |f(x) – L| < ε / 2) y

(∀ε > 0)((∃δg > 0)(0<|x – xo|< δg ⇒ |g(x) – M| < ε / 2).

Aquí, se supone que: Lxflimoxx

=→

)( ∧ Mxglimoxx

=→

)( , de esto se tiene para todo ε > 0, existe

δ > 0, δ = min{δf, δg}, tal que:

0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) + g(x) – L – M| ≤ |f(x) – L| + |g(x) – M| < ε / 2 + ε / 2 = ε

Así: (∀ε > 0)((∃δ > 0, δ = min{δf, δg})(0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) + g(x) – (L + M) | < ε) de

donde

)()())()(( xglimxflimMLxgxflimooo xxxxxx →→→

+=+=+

lo que termina por demostrar el teorema.

De una forma completamente análoga, se puede demostrar que:

TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, tales que existen sus límites en xo, entonces

el límite de la diferencia de estas dos funciones existe y es igual a la diferencia de los

límites de cada función. Esto es:


−=−

EJEMPLO II.1.3.2.

Evaluemos los siguientes límites:

4222)2(222

=+=+=+→→→ xxx

limxlimxlim

0222)2(222

=−=−=−→→→ xxx

limxlimxlim

TEOREMA Sean f y g dos funciones reales, tales que existen sus límites en xo, entonces el

límite del producto entre estas dos funciones existe y es igual al producto de los límites de

cada función. Esto es:


⋅=⋅

Demostración: Como es tradicional en este tipo de demostraciones, partimos usando la

hipótesis de que existen los límites de f y g en xo, esto es que para todo ε > 0, existen δf > 0

y δg > 0 tales que:

153

(∀ε > 0)((∃δf > 0)(0<|x – xo|< δf ⇒ |f(x) – L| < ε ) y

(∀ε > 0)((∃δg > 0)(0<|x – xo|< δg ⇒ |g(x) – M| < ε ).


=→

)( ∧ Mxglimoxx

=→

)( , de lo anterior se tiene para todo ε > 0,

existe δ > 0, δ = min{δf, δg}, tal que:

0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) ⋅ g(x) – L ⋅ M| = | (f(x) – L)(g(x) – M) + L(g(x) – M) + M(f(x) – L)|

≤ |(f(x) – L)(g(x) – M)| + |L(g(x) – M)| + |(f(x) – l)M|

= |f(x) – L| ⋅ |g(x) – M| + |L| ⋅ |g(x) – M| + |f(x) – l| ⋅ |M|

≤ εε +|L|ε + ε |M|

Así: (∀ε > 0)((∃δ > 0, δ = min{δf, δg})(0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) ⋅ g(x) – (L ⋅ M) | < ε)

de donde

)()())()(( xglimxflimMLxgxflimooo xxxxxx →→→

⋅=⋅=⋅

lo que demuestra el teorema.

Se debe observar que en esta demostración, no debería ser difícil para el lector verificar la

afirmación de que f(x) ⋅ g(x) – L ⋅ M = (f(x) – L)(g(x) – M) + L(g(x) – M) + M(f(x) – L),

pues es en ella donde descansa toda la demostración.

TEOREMA. Sea f : ℝ → ℝ una función real, tal que existe su límite en xo, entonces el

límite del producto entre esta función y una constante existe y es igual al producto del

límite de la función por la constante. Esto es:

)())(( xflimcxfclimoo xxxx →→

⋅=⋅

Demostración: Como el límite de f en xo existe, se tiene que para todo ε > 0, existen δ > 0

tal que:

(∀ε > 0)((∃δ > 0)(0<|x – xo|< δ ⇒ |f(x) – L| < ε / |c|)


=→

)( , de lo anterior se tiene para todo ε > 0, existe δ > 0, tal

que:

0<|x – xo|< δ ⇒ |c ⋅ f(x) – c ⋅ L| = | c (f(x) – L)|

= |c| ⋅ |f(x) – L|

≤ |c| ⋅ ε / |c|

= ε

Así: (∀ε > 0)((∃δ > 0)(0<|x – xo|< δ ⇒ |c ⋅ f(x) ⋅ – (c ⋅ L) | < ε)

de donde

)())(( xflimcLcxfclimoo xxxx →→

⋅=⋅=⋅

154

lo que termina por demostrar el teorema.

EJEMPLO II.1.3.3.

Evalúe los siguientes límites:

22222

2

2⋅=⋅=⋅=

→→→→xlimxlimxxlimxlim

xxxx

10255522

=⋅==→→

xlimxlimxx

2121023253535)35( 22

22

2

22

2

2−=−=⋅−⋅=−=−=−

→→→→→xlimxlimxlimxlimxxlim

xxxxx

TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, tales que existen sus límites en xo y el limite

de g en xo es distinto de cero, entonces el límite del cuociente entre estas dos funciones

existe y es igual al cuociente de los límites de cada función. Esto es:

)(

)(

)()(

xglim

xflim

xgxflim

o

o

oxx

xx

xx→

→

→=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

siempre y cuando, 0)( ≠→

xglimoxx

.

Demostración: Para probar este teorema, vamos a demostrar que )(

1)(

1xglimxg

limo

oxx

xx→

→=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,

siempre que 0)( ≠→

xglimoxx

. Utilizando el teorema anterior, quedaría demostrada la

afirmación del cuociente de límites.

En efecto, supongamos que límite de la función g existe cuando x tiende a xo y es igual a M

≠ 0, esto es, Mxglimoxx

=→

)( , aplicando la definición de límite se tiene entonces:

(∀ε > 0)((∃δg > 0)(0<|x – xo|< δg ⇒ |g(x) – M| < ε ).

Dado ε > 0, consideremos δ > 0, tal que δ = min{M / 2, ε ⋅ M2 / 2}. Se tiene entonces que si

|x – xo| < δ, entonces: |M| - |g(x)| < |M – g(x)| < |M| / 2, de donde |g(x)| > |M| / 2 y así 1 /

|g(x)| < 2 / |M|. En consecuencia, se tiene que:

εε

=⋅⋅<⋅

−=

−=−

212

)()(

)()(1

)(1

2MMMMxg

xgMMxg

xgMMxg

EJEMPLO II.1.3.4.

Evalúe el siguiente límite: )1()1( 2

1 −−

→ xxlim

xComo el límite de x – 1 cuando x tiende a 1 es cero,

no se puede aplicar directamente el teorema del cuociente de límites, por esta razón, se

busca factorizar para poder eliminar la parte que genera la división por cero: x – 1.

155

2111)1()1(

)1)(1()1()1(

1111

2

1=+=+=+=

−+−

=−−

→→→→→ xxxxxlimxlimxlim

xxxlim

xxlim

EJEMPLO II.1.3.5.

Calcule el límite

41

82

19299

)1(

)23(

)1()23(

2

3

2

32

2

3==

−+−

=−

+−=

−+−

→

→

→ xlim

xxlim

xxxlim

x

x

x

TEOREMA. El límite de la suma algebraica de dos, tres y, en general, de un número finito

de funciones es igual a la suma de los límites de cada función. Esto es:

)()()())()()(( 2121 xflimxflimxflimxfxfxflim nxxxxxxnxx oooo →→→→+++=+++ KK

De la misma manera, el límite del producto algebraico de dos, tres y, en general, de un

número finito de funciones es igual al producto de los límites de cada función. Esto es:

)()()())()()(( 2121 xflimxflimxflimxfxfxflim nxxxxxxnxx oooo →→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ KK

EJEMPLO II.1.3.6.

Determinar el límite: 1→x

lim (2x – x +x2) = 21→x

lim x - 1→x

lim x + (1→x

lim x)2 = 2 ⋅ 1 – 1 + 1 = 2

El siguiente teorema, conocido como teorema de la función compuesta nos ofrece una

ayuda para calcular límites de funciones compuestas. Frente a este tipo de casos, basta con

ir introduciendo el límite dentro de la composición de funciones.

TEOREMA. Sean f: ℝ → ℝ y g: ℝ → ℝ dos funciones reales tales que oxx

lim→

f(x) = M y

Mxlim→

g(x) = L. Entonces oxx

lim→

g o f(x) = oxx

lim→

g(f(x)) = g(oxx

lim→

f(x)) = L.

EJEMPLO II.1.3.7.

Calcule el límite 121

−→

xlimx

. Aplicamos el teorema de la función compuesta de la

siguiente manera: 121

−→

xlimx

= 12)12(1

−=−→

xlimx

=1.

EJEMPLO II.1.3.8.

Determine el límite 1→x

lim |1-2x|. Para ello, utilizamos el teorema de la función compuesta e

introducimos el límite dentro del valor absoluto.

1→xlim |1-2x| = |

1→xlim (1 – 2x)| = |1 - 2

1→xlim x| = |1 – 2 ⋅ 1| = |1 – 2| = |-1| = 1

156

ACTIVIDAD II.1.3.9.

1. Calcule los siguientes límites:

a) )34( 2

2−+

→xxlim

x

b) 43

1221 ++

+−→ xx

xlimx

c) )472( 23

3+−+

→xxxlim

x

d) 7256

3

2

1 ++−+

→ xxxxlim

x

e) 283

2 −−

→ xxlim

x

f) 283

2 ++

−→ xxlim

x

g) 4

22

2

2 −−+

−→ xxxlim

x

h) 84

3

2

2 +−

−→ xxlim

x

i) 2325

2 −−

→ xxlim

x

j) 37296

3 +−

→ xxlim

x

k) 37296

0 +−

→ xxlim

x

Solución:

a) ( ) ( ) 9384324234)34( 2

2

2

2

2

2=−+=−⋅+=−+=−+

→→→xlimxlimxxlim

xxx

b) ( )

( ) ( ) 21

43112

4)1(3)1(1)1(2

43

12

4312

2

1

2

1

121

−=

+−+−

=+−+−

+−⋅=

++

+=

+++

−→−→

−→

−→ xlimxlim

xlim

xxxlim

xx

x

x

c) ( ) ( ) ( ) 2421182737323472)472( 23

3

2

3

3

3

23

3=−+=⋅−⋅+=+−+=+−+

→→→→xlimxlimxlimxxxlim

xxxx

d) ( ) ( )( ) ( ) 5

1102

721561

72

56

7256

1

3

1

1

2

13

2

1==

++−+

=++

−+=

++−+

→→

→→

→ xlimxlim

xlimxlim

xxxxlim

xx

xx

x

e) ( )( )( ) ( ) 12444422242

2422

28 22

2

2

2

3

2=++=+⋅+=++=

−++−

=−−

→→→xxlim

xxxxlim

xxlim

xxx

f) ( )42)2(

)42)(2(28 2

2

2

2

3

2+−=

++−+

=++

−→−→−→xxlim

xxxxlim

xxlim

xxx = 4 + 4 + 4 = 12

157

g) ( )( )( )( ) 4

343

21

2212

42

222

2

2=

−−

=−−

=−+−+

=−−+

−→−→−→ xxlim

xxxxlim

xxxlim

xxx

h) ( )( )( )( ) 3

112

442

2422

2284

22223

2

2−=

−=

+−−

=+−+

+−=

+−

−→−→−→ xxxlim

xxxxxlim

xxlim

xxx

i) )16842()2(

)16842)(2(232 234

2

234

2

5

2++++=

−++++−

=−−

→→→xxxxlim

xxxxxxlim

xxlim

xxx = 16

+ 16 + 16 + 16 +16 = 80

j) ( )( )9327)3(

)93)(3)(27()3(

)27)(27(3729 23

3

23

3

33

3

6

3+++=

−++−+

=+

−+=

+−

→→→→xxxlim

xxxxxlim

xxxlim

xxlim

xxxx

=

k) ( )( ) 243

3729

3

729

3729

0

6

06

0−=

−=

+

−=

+−

→

→

→ xlim

xlim

xxlim

x

x

x

2. Encuentre los valores de los siguientes límites:

a) 2352

2 −+

→ ttlim

t

b) 1

1322

2

1 +−+

→ rrrlim

r

c) 23

42

2

2 +−−

→ yyylim

y

d) 32

3

3 3227−−

−→ xx

xlimx

e) 48

2

3

2 −−

→ hhlim

h

f) hhlim

h

110

−+→

g) 0,0

>−+

→x

hxhxlim

h

h) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+→1

111

0 hhlimh

i) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+→ xhxhlimh

1110

j) h

hlimh

1)1( 2/3

0

−+→

Solución:

a) 2/349

223522

23)(

52)(

2352

2352

2

2

22==

−⋅+⋅

=−

+=

−+

=−+

→

→

→→ tlim

tlim

ttlim

ttlim

t

t

tt

158

b) 22/411

132)1(

)132(

1132

1132

2

1

2

12

2

12

2

1==

+−+

=+

−+=

+−+

=+

−+

→

→

→→ rlim

rrlim

rrrlim

rrrlim

r

r

rr

c) 412

)1)(2()2)(2(

234

222

2

2=

−+

=−−+−

=+−

−→→→ y

ylimyyyylim

yyylim

yyy = 2

d) 3332

33

2

33

2

3

34/34/27

193

)1)(3()93)(3(

3227

==+

++=

+−++−

=−−

−→→→ x

xxlimxx

xxxlimxx

xlimxxx

e) 34

122

42)2)(2(

)42)(2(48 2

2

2

22

3

2==

+++

=+−

++−=

−−

→→→ hhhlim

hhhhhlim

hhlim

hhh

f) 11

1)11(11

1111110000 ++

=++

=++++

⋅−+

=−+

→→→→ hlim

hhhlim

hh

hhlim

hhlim

hhhh = ½

g) xxxhx

limxhxxhx

hxhxlim

hxhxlim

hhh +=

++=

++++

⋅−+

=−+

→→→

11000

h) )11(11

111111

111

000 hhhhlim

hh

hhhlim

hhlim

hhh +++−

=++++

⋅++−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+ →→→= -1/2

i) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ →→→ )(1

)(1111

000 hxxlim

hxxh

hlim

xhxhlim

hhh = - 1 / x2

j) 1)1(

33)1)1((

1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(

2/3

2

02/3

3

02/3

2/32/3

0

2/3

0 ++++

=++

−+=

++++

⋅−+

=−+

→→→→ hhhlim

hhhlim

hh

hhlim

hhlim

hhhh

= 3/2

3. Evalúe los siguientes límites:

a) 11

−→

xlimx

b) 21

−→

xxlimx

c) )cos(

)sen(10 x

xlimx

+→

d) )cos(xlimx π→

e) )2/sen(xlimx π→

f) )(0

xtanlimx→

g) )sen(0 x

xlimx→

h) xxlim

x 2)sen(

0→

i) x

xtanlimx 2

)3(0→

j) x

xxlimx

)sen()cos(20→

159

k) )3sen()5sen(

0 xxlim

x→

l) xx

xlimx +→ 20 2

)2sen(

Solución:

a) 0|11|1111

=−=−=−→→

xlimxlimxx

b) 1|1||21|122111

=−=−⋅=−⋅=−→→→

xlimxlimxxlimxxx

c) 11

01)cos(

))sen(1(

)cos()sen(1

0

0

0=

+=

+=

+

→

→

→ xlim

xlim

xxlim

x

x

x

d) 1)cos( −=→

xlimx π

e) 1)2/sen()2/sen( ==→

ππ

xlimx

f) 0)0()(0

==→

tanxtanlimx

g) 111

)sen(1

)sen(0

0===

→

→

xxlimx

xlim

x

x

h) 2/1121)sen(

21

2)sen(

00=⋅==

→→ xxlim

xxlim

xx

i) 2/31123

)3cos(1

3)3sen(

23

)3cos()3sen(

21)3(

21

2)3(

00000=⋅⋅====

→→→→→ xlim

xxlim

xxxlim

xxtanlim

xxtanlim

xxxxx

j) 2112)sen())(cos(2)sen()cos(2000

=⋅⋅==→→→ x

xlimxlimx

xxlimxxx

k) 3/5

3)3sen(3

5)5sen(5

)3sen(

)5sen(

)3sen()5sen(

0

0

0

0

0===

→

→

→

→

→

xxlim

xxlim

xxlim

xxlim

xxlim

x

x

x

x

x

l) 212

)2sen(212

1)2sen()12()2sen(

2)2sen(

000020=⋅=

+=

+=

+ →→→→→ xxlim

xlim

xxlim

xxxlim

xxxlim

xxxxx


a) )12(1

−→

xxlimx

b) )1)(12(32

+−→

xxlimx

c) 2

2)1)(12(3 +−

→xxlim

x

d) 2

1)3( +

−→xlim

x

e) 100

2)3( +

−→xlim

x

f) 23

2 ++

→ xxlim

x

160

g) 5252

5 +−

→ xxlim

x

h) 5252

5 −−

→ xxlim

x

i) 255

25 −−

→ xxlim

x

j) 1

22

2

1 −−+

→ xxxlim

x

Solución:

a) 1)12(1

=−→

xxlimx

b) 27)1)(12(32

=+−→

xxlimx

c) 81)1)(12(3 2

2=+−

→xxlim

x

d) 4)3( 2

1=+

−→xlim

x

e) 1)3( 100

2=+

−→xlim

x

f) 23

2 ++

→ xxlim

x = 5 / 4

g) 5252

5 +−

→ xxlim

x = 0 / 10 = 0

h) 10)5()5(

)5)(5(525

55

2

5=+=

−+−

=−−

→→→xlim

xxxlim

xxlim

xxx

i) 101

51

)5)(5(5

255

5525=

+=

+−−

=−−

→→→ xlim

xxxlim

xxlim

xxx

j) 23

12

)1)(1()1)(2(

12

112

2

1=

++

=+−−+

=−−+

→→→ xxlim

xxxxlim

xxxlim

xxx



a) xlimx

22→

b) 44→x

lim

c) )13(1

−→

xlimx

d) 2

5xlim

x→

e) )13(3/1

−→

xlimx

f) )2(22

xxlimx

−→

g) 101

4)3( +

−→xlim

x

161

h) )96( 2

1++

−→xxlim

x

i) )1723( 23

1−−+

→xxxlim

x

j) )12(32

−→

xxlimx

k) )12(3 2

2−

→xxlim

x


a) 1

522

2

1 +++

→ xxxlim

x

b) x

xlimx +

−→ 2

22

c) xx

xxxlimx 23

242

23

0 ++−

→

d) 242

2 −−

→ xxlim

x

e) 113

1 −−

→ xxlim

x

f) 201265

2

2

2 +−+−

→ xxxxlim

x

g) 253

1032

2

2 −−−+

→ xxxxlim

x

h) )3)(2(

44 23

2 −+++

−→ uuuuulim

u

i) 623

2

23

2 −−++

−→ yyyyylim

y

j) h

xhxlimh

33

0

)( −+→

k) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−→ 31 13

11

xxlimx

3. Calcule los siguientes limites

a) 0,11

1>

−−

→n

xxlim

n

x

b) xxlim

x

110

−+→

c) 22312

4 −−−+

→ xxlim

x

d) qqx

ppxlimx −+

−+→ 22

22

0

162

e) 113

1 −−

→ xxlim

x

f) ax

axlimmm

ax −−

→

g) x

xxlimx

11 2

0

−++→

4. Calcule los siguientes límites

a) ( ))tg()cos()sen(22

xcsxlimx

+−→π

b) )()sen(

0 xtanxlim

x→

c) 2

2

0

)3/(senx

xlimx→

d) )cos(10 x

xlimx −→

e) )(cot0

xanxlimx→

f) )3sen()cos(21

3 ππ −−

→ xxlim

x

g) )2()1(1

ztanxlimx

π−→

h) x

xaxalimx

)sen()sen(0

−−+→

i) 30

)sen()(x

xxtanlimx

−→

RESPUETAS

1.

a) 4

b) 4

c) 2

d) 25

e) 0

f) 0

g) –1

h) 4

i) –15

j) 18

k) 36

163

2.

a) 4

b) 0

c) ½

d) 4

e) 3

f) 1/8

g) 1

h) 0

i) –2/5

j) 3x2

k) -1

3.

a) n

b) ½

c) 2 2 /3

d) q/p

e) 2/3

f) maa /

h) ½

4.

a) 2

b) 1

c) 1/9

d) 2/ 2

e) 1

f) 3

g) 2 / π

h) 2cos(a)

i) ½

RESUMEN

En la presente sección se revisan los principales teoremas del álgebra de límites, esto es,

que el límite de una función constante es la constante, el límite de la suma de dos funciones

es la suma de los límites, el límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de

límites, el límite del producto de dos funciones es el producto de los límites, en particular el

164

límite del producto de una función por una constante es el límite de la función producto la

constante y que el límite del cuociente de dos funciones es el cuociente de los límites

siempre y cuando ambos límites existan y no exista división por cero.

Se generalizan los resultados a sumas y productos de más de dos funciones y a la potencia

no entera de funciones, por ejemplo a raíces, con el cálculo de límites de funciones

compuestas.

AUTOEVALUACION


1. El limite sobre un valor absoluto entre dentro del valor absoluto.

2. El límite de la suma de dos funciones corresponde a la suma de las dos funciones.

3. El límite del producto de dos funciones es igual al límite de la primera función por la

segunda más el limite de la segunda función por la primera.

4. El límite de la suma de más de dos funciones no se encuentra definido.

RESPUESTAS

1. Verdadero.

2. Verdadero.

3. Falso.

4. Falso.

GLOSARIO

Álgebra de límites: Conjunto de propiedades que regulan la suma, diferencia producto, y

cuociente de límites.

Cuociente de funciones: Función formada por la división de las imágenes de dos funciones.

Diferencia de funciones: Función formada por la diferencia de las imágenes de dos

funciones.



Función constante: Función cuyo recorrido es un único valor.

165

Función Identidad: Función que asocia a cada elemento del dominio consigo mismo.

Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjunto de los reales.

Hipótesis: proposición que se asume verdadera.

Imagen: Elemento del codominio de una función asociado con un elemento particular del

dominio.

Límite: Valor del codominio al cual se acercan las imágenes de una función, cuando las

preimagenes se acercan a un elemento determinado del dominio.

Número real: Número natural, entero, racional o irracional.

Preimagen: Elemento del dominio de una función asociado con un elemento particular del

recorrido.

Producto de funciones: Función formada por el producto de las imágenes de dos funciones.

Suma de funciones: Función formada por la suma de las imágenes de dos funciones.

Teorema: Proposición cuyo valor de verdad debe probarse.

SIMBOLOS


< : Menor que.


= : Igual que.

> : Mayor que.

Lxflimoxx

=→


166


⇒ : Implica.

ε : Epsilón.

δ : Delta.


∀ : Para todo.

∃ : Existe.

+ : Suma.

- : Resta.

⋅ : Producto.

/ : División.

∧ : Y.

min : mínimo.

167

II.1.4. LIMITES LATERALES

Cuando en la definición de límite de una función se establece que f(x) tiende a L cuando x

tiende a xo, debemos considerar valores de x que sean mayores que xo y valores que sean

menores que xo. Sin embargo, en muchas ocasiones debemos considerar sólo valores de x

que son mayores que xo (que están a la derecha de xo) o bien que sólo son menores de xo

(que están a la izquierda de xo). Esto nos lleva a las siguientes definiciones de límites

laterales:

DEFINICION: Sea f: ℝ → ℝ una función real definida en un intervalo abierto ]c, xo[. Un

número es el límite de f(x) cuando c tiende a xo por la izquierda, si (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(-δ <

x – xo < 0 ⇒ |f(x) – L| < ε)). En tal caso se escribe

Lxflimoxx

=−→

)(

EJEMPLO II.1.4.1.

Encuentre el límite por la izquierda de la función real:

f(x) = ⎩⎨⎧

≥<

1,51,3 2

xxx

cuando x tiende a 1. Esto es: )(1

xflimx −→

. Para ello, debemos observar que la función f(x)

asume la expresión 3x2 cuando x se encuentra a la izquierda de 1 (x < 1). Por lo tanto, se

tiene:

)(1

xflimx −→

= 2

13xlim

x −→=3

Se debe observar la sutileza de la notación. El signo menos se encuentra después del

número 1 (uno). Si estuviera antes, estaríamos frente al límite cuando x tiene a – 1 (menos

uno): )(1

xflimx −→

≠ )(1

xflimx −→

.

De manera análoga se define el límite de una función real cuando x tiende a xo por la

derecha.

DEFINICION: Sea f: ℝ → ℝ una función real definida en un intervalo abierto ]xo, c[. Un

número es el límite de f(x) cuando c tiende a xo por la derecha, si (∀ ε > 0)((∃ δ > 0)(0 < x

– xo < δ ⇒ |f(x) – L| < ε)). En tal caso se escribe

Lxflimoxx

=+→

)(

168

EJEMPLO II.1.4.2.

Encuentre el límite por la derecha de la función real:

f(x) = ⎩⎨⎧

≥<

1,51,3 2

xxx

cuando x tiende a 1. Esto es: )(1

xflimx +→

. Para ello, debemos observar que la función f(x)

asume la expresión 5 cuando x se encuentra a la derecha de 1 (x > 1). Por lo tanto, se tiene:

)(1

xflimx +→

= 51+→x

lim = 5

Cada vez que nos encontramos frente a funciones definidas por tramos, debemos ocupar

los límites laterales para conocer la tendencia de una función. El siguiente teorema nos

entrega un criterio para conocer si una función de este tipo tiene o no definido el límite

tradicional, conociendo los límites laterales.

TEOREMA. Sea f: ℝ → ℝ una función real. Supongamos que existen los límites laterales

de f cuando x tiende a xo, esto es, existen: )(xflimoxx −→

y )(xflimoxx +→

. Si los límites laterales

son iguales, entonces el límite de f cuando x tiende a xo, existe y es igual al valor de los

límites laterales. Si los límites laterales son distintos, entonces el límite de f cuando x

tiende a xo no existe.

EJEMPLO II.1.4.3.

Considere la función real f: ℝ → ℝ, definida por

⎩⎨⎧

>+≤−

=3,23,12

)(xxxx

xf

Entonces el limite de f cuando x tiende a 3 existe pues, ambos límites laterales en 3 existen

y son iguales:

)(5)(33

xflimxflimxx +− →→==

EJEMPLO II.1.4.4.

Considere la función real f: ℝ → ℝ, definida por

⎩⎨⎧

>≤−

=3,23,12

)(xxxx

xf

Entonces el limite de f cuando x tiende a 3 no existe pues, los límites laterales en el punto x

= 3 existen pero son distintos:

)(65)(33

xflimxflimxx +− →→=≠=

169

ACTIVIDAD II.1.4.5.

1. Calcule los siguientes límites laterales

a) 1

121 −

−+→ x

xlimx

b) )1( 2

1−+

+→xxlim

x

c) 4

232

2

2 −

+−+→ x

xxlimx

d) 2

2

2 24

xxxlim

x −+

−−→

e) 20

11x

xlimx

++→

f) 20

11x

xlimx

+−→

g) 2

2

2 564

xxxlim

x +−

−−→

h) )16( 2

4xxlim

x−−

−→

Solución:

a) 1

121 −

−+→ x

xlimx

= 11

1 +−

+→ xxlim

x = 0 / 2 = 0

b) )1( 2

1−+

+→xxlim

x = 1

c) 4

232

2

2 −

+−+→ x

xxlimx

= 4

)1)(2(22 −

−−+→ x

xxlimx

= 2

)1()2(2 +

−−+→ x

xxlimx

= 0

d) 2

2

2 24

xxxlim

x −+

−−→

= )1)(2(

)2)(2(2 +−−

+−−→ xx

xxlimx

= 0

e) 20

11x

xlimx

++→

= 20

11x

xlimx

++→

= 1

f) 20

11x

xlimx

+−→

= 20

11x

xlimx

++→

= 1

g) 2

2

2 564

xxxlim

x +−

−−→

=

h) )16( 2

4xxlim

x−−

−→ = 4

2. Considere la función con la gráfica mostrada. Indique cuál de las siguientes

afirmaciones es cierta

170

a) 1)(

1=

+−→xflim

x

b) )(2

xflimx→

no existe

c) )(2

xflimx→

= 2

d) )(0

xflimx +→

= )(0

xflimx −→

e) 1)(1

=+→

xflimx

f) )(1

xflimx→

no existe

g) )(xflimoxx→

existe para todo xo comprendido entre –1 y +1.

h) )(xflimoxx→

existe para todo xo comprendido entre 1 y 3.

Solución.

a) Verdadero.

b) Falso.

c) Falso.

d) Verdadero.

e) Verdadero.

f) Verdadero.

g) Falso.

h) Verdadero.


1. Determine el valor de los siguientes límites laterales.

a) ||0 x

xlimx +→

b) ||0 x

xlimx −→

c) ||1 x

xlimx +−→

d) ||1 x

xlimx −−→

171

e) |3|

92

3 −−

+→ xxlim

x

f) |3|

92

3 −−

−→ xxlim

x

g) |2|

|84|2

2 −−

−→ xxxlim

x

2. Evaluando los límites laterales, determine si existen los límites de las funciones

siguientes en los puntos que se indican.

a) Estudiar el límite en x = 1.

⎩⎨⎧

≥<

=1,

1,3)( 2 xx

xxxf

b) Estudiar el límite en x = 2.

⎩⎨⎧

≥<

=1,

1,3)( 2 xx

xxxf

c) Estudiar el límite en x = 1.

⎩⎨⎧

≥<−

=1,

1,23)( 2 xx

xxxf

RESPUESTAS

1.

a) 1

b) –1

c) -1

d) -1

e) 6

f) –6

g) 16

2.

a) No

b) Si

c) Si.

RESUMEN

En la presente sección se revisan las definiciones de límites laterales, utilizadas para

evaluar límites en funciones definidas por tramos. Se postula y demuestra el teorema que

establece que si los dos límites laterales existen y son iguales, entonces el límite de la

función existe y es igual al valor común de los límites laterales. Recíprocamente, si los dos

172

límites laterales existen, pero son distintos, entonces no existe el límite de la función en el

punto considerado.

AUTOEVALUACION


1. Si los limites laterales existen, entonces el límite existe.

2. Si el límite no existe, entonces los límites laterales no existen.

3. )(1

xflimx −→

corresponde al límite lateral por la izquierda.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Falso.

3. Falso.

GLOSARIO

Función: Relación que asocia a cada preimagen una único elemento del codominio.

Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.

Intervalo abierto: Subconjunto de los números reales que contiene a todos los números que

se encuentran entre otros dos sin incluirlos.

Límite : Elemento del codominio de una función al que se acercan las imágenes en la

medida que las preimagenes tienden a un elemento del dominio.

Límite lateral : Límite donde la tendencia se restringe sólo a un lado del punto (el izquierdo

o el derecho).

SIMBOLOS


< : Menor que.


= : Igual que.

173

> : Mayor que.

Lxflimoxx

=→


Lxflimoxx

=+→

)( : Límite de f cuando x tiende a xo por la derecha es L.

Lxflimoxx

=−→

)( : Límite de f cuando x tiende a xo por la izquierda es L.


⇒ : Implica.

ε : Epsilón.

δ : Delta.


∀ : Para todo.

∃ : Existe.

174

II.1.5. LIMITES AL INFINITO E INDETERMINADOS

Existe una clase de límites cuyo resultado no son números reales, como es el caso del

límite cuando x tiende a cero de la función 1 / x. En este caso, la división por cero nos lleva

a un número muy grande, por eso decimos que este límite tiende a ∞ (infinito). Si tomamos

el límite por la derecha, tiende a + ∞, en cambio, si tomamos el límite por la izquierda,

tiende a - ∞. Esta clase de límites se conoce como indeterminados.

Notemos que un límite indeterminado no significa que el límite no exista, sino que tiende a

∞, +∞ o -∞. Por ejemplo, el límite cuando x tiende a cero de la función definida por

tramos:

⎩⎨⎧

≥<

=0,20,1

)(xx

xf ,

No existe, pues el límite por la derecha es distinto al límite por la izquierda de la función

en cero.

A continuación definiremos formalmente los conceptos de límite indeterminado, infinito o

tendencia al infinito.

DEFINICION: Decimos que f(x) tiende a infinito cuando x → a, y escribimos f(x) → ∞

cuando x → a ( ∞=→

)(xflimax

), si para todo número M > 0 existe δ > 0 tal que |f(x)| > M,

para todos los números reales x tales que 0 < |x – a| < δ.

En esta definición no se establece si la función f(x) tiende a infinito positivo o negativo. En

otras palabras, podemos tener que f(x) → + ∞ o que f(x) → - ∞ como casos especiales de

f(x) → ∞. En efecto, si f(x) → + ∞ cuando x → a, decimos que f tiende a infinito positivo

cuando x tiende al punto a. La única modificación requerida en la definición anterior es el

reemplazo de |f(x)| > M por f(x) > M.

EJEMPLO II.1.5.1.

Se tiene que: +∞=→ 20

1x

limx

. Para probar esto, consideremos que f(x) > M, o

equivalentemente, 1 / x2 > M. Claramente 1 / M < x2, por lo que se tiene δ = 1 / M , para

que se satisfaga la definición.

El lector debe observar las diferencias notables que existen entre las formas 0 / c y c / 0. La

primera es cero, mientras que la segunda es ∞.

175

En efecto, cuando x tiende a cero, se tiene:

• Forma 0 / c = 0: 00

=→ c

xlimx

• Forma c / o = ∞: ∞=→ x

climx 0

Además de los límites indeterminados o infinitos, se tiene los límites al infinito. Esto es

cuando una función tiende a un número L, pero cuando x se acerca a +∞ o -∞. A

continuación presentamos la definición formal de esto.

DEFINICION: Decimos que f(x) → c cuando x → ∞, si para todo ε > 0 existe un número

M > 0, tal que |f(x) – c| < ε para todos los x que cumplen la condición |x| > M.

Cuando el límite al infinito es a + ∞ o a - ∞, se tiene la siguiente definición:

DEFINICION: Sea f: ℝ → ℝ una función real. Si (∀ ε > 0)((∃ A > 0)(x > A ⇒ |f(x) – L| <

ε)), entonces se dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende a +∞. En tal caso se escribe

Lxflimx

=+∞→

)(

Si (∀ ε > 0)((∃ A > 0)(- x < A ⇒ |f(x) – L| < ε)), entonces se dice que L es el límite de f(x)

cuando x tiende a -∞. En tal caso se escribe

Lxflimx

=−∞→

)(

EJEMPLO II.1.5.2.

Se tiene, en virtud de la unicidad del límite:

01=

∞→ xlimx

, 01=

+∞→ xlimx

y 01=

−∞→ xlimx

.

Cuando x tiende a ∞, se tiene las típicas formas siguientes.

• Forma ∞ / c = ∞: ∞=∞→ c

xlimx

• Forma c / ∞ = 0: 0=∞→ x

climx

• Forma c + ∞ = ∞: ∞=+∞→

)( xclimx

• Forma c ⋅ ∞ = ∞: ∞=∞⋅∞→

)(climx

176

Si el límite no cae en una de estas, puede corresponder a una formas indeterminada, como

es el caso de ∞ / ∞, donde puede ocurrir cualquier cosa.

Para evaluar límites al infinito de formas indeterminadas consistentes en cuocientes de

polinomios, se emplea un artificio que consiste en dividir por la mayor potencia de x a cada

uno de los términos del numerador y denominador de la función.

EJEMPLO II.1.5.3.

Evaluar: 4523

+−

+∞→ xxlim

x. Para ello dividimos por la mayor potencia que en este caso es x y se

tiene: 4523

+−

+∞→ xxlim

x=

xxlim

x /45/23

+−

+∞→ =3 /5

EJEMPLO II.1.5.4.

Evaluar: 4523 2

+−

+∞→ xxlim

x. Para ello dividimos por la mayor potencia que en este caso es x2 y

se tiene: 4523 2

+−

+∞→ xxlim

x= 2

2

/4/5/23

xxxlim

x +−

+∞→ =3 / 0 = ∞.

Una aplicación a la gráfica de curvas de funciones de los límites al infinito y los límites

infinitos, lo encontramos en el concepto de asintotas.

DEFINICION: Si ±∞=−→

)(xflimoxx

o ±∞=+→

)(xflimoxx

, entonces la recta x = xo se llama

asintota vertical del gráfico de f.

EJEMPLO II.1.5.5.

La función f(x) = 1 / (x – 1) tiene una asintota vertical en x = 1.

-40

-20

0

20

40

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

177

La función f(x) = (x + 3) / (x2 – 9) tiene una asintota vertical en x = 3.

-40

-20

0

20

40

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La función f(x) = 1 / (x2 – 4) tiene asintotas verticales en x = 2 y x = -2.

-40

-20

0

20

40

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

La función f(x) = 1/ x2 tiene una asintota vertical en x = 0

0

20

40

60

80

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Si f es una función tal que ∞=

∞→)(xflim

x y 0)( =−−

∞→bmxxflim

x, entonces la recta y = mx

+ b se llama asintota oblicua del gráfico f.

EJEMPLO II.1.5.6.

El gráfico de la función f(x) = 1 / (1 + x2) tiene al eje x como asintota horizontal.

178

-1

0

1

2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 El gráfico de la función f(x) = (2x2 + 1) / x tiene a la recta y = 2x como asintota.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Por último, si el límite es a + ∞ o a - ∞, estamos en presencia de una asintota horizontal.

El próximo teorema establece uno de los límites al infinito más importantes, debido a la

gran cantidad de aplicaciones con que cuenta.

TEOREMA. La función f(x) = (1 + 1 / x)x tiende al límite e (el número de Euler), cuando x

tiende a infinito, es decir: exlim x

x=+

∞→)/11( .

La gráfica siguiente ilustra la función (1 + 1 / x)x, notar que además se tiene que esta

función posee una asintota en cero,

0

1

2

3

4

5

-100 -50 0 50 100

179

EJEMPLO II.1.5.7.

Evalúe los siguientes límites: 555 1111111111 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→∞→∞→

+

∞→ xlim

xlim

xxlim

xlim

x

x

x

x

x

x

x= e ⋅ 1 = e

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→∞→

33 1111x

x

x

x xlim

xlim e3

22/2/2

2/11

2/1121 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→∞→∞→

x

x

x

x

x

x xlim

xlim

xlim = e2

3

13 +

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ x

x xxlim =

3

141 +

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+− x

x xxlim =

4)1(

141

+−

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

x

x xlim =

)1(

141

−

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

x

x xlim ⋅

4

141 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

∞→ xlimx

= e4 ⋅ 1 = e4

ACTIVIDAD II.1.5.8.

1. Evalúe los siguientes límites.

a) 1342

++

∞→ xxlim

x

b) 1342 2

++

∞→ xxlim

x

Solución:

a) 2/3

b) ∞


a) 2

21n

nlimn

+++∞→

K

b) 3

222 21n

nlimn

+++∞→

K

Solución:

a) 1

b) 2

3. Determine asintotas para las siguientes funciones

a) f(x) = 1 / (x – 1)

b) f(x) = 1 / (x2 – 1)

c) f(x) = 1 / x(x - 2)(x + 5)

d) f(x) = 1 / (x – 2) + x2

e) f(x) = 1 + 2/(x2 + 1)

f) f(x) = 1 + (x – 3) / (x + 1)

180

Solución

a) x =1, y = 0

b) x =1, x = -1, y = 0

c) x =0, x = 2, x = -5

d) x =2

e) y = 1

f) x = 1, y =1

4. Calcule los siguientes límites

a) 511

+

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x

x xlim

b) x

x xlim ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→

11

c) x

x xxlim ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+∞→ 1

Solución:

a) e

b) –e

c) 1/e

EJERCICIO II.1.5.9.

1. Evalúe los límites siguientes

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

∞→ 2

412xx

limx

b) 53

1243

23

−+−

∞→ xxxlim

x

c) x

xlimx

1+∞→

d) 52

12

+−+

∞→ xxxlim

x

e) 4

1233

2

+−−

∞→ xxxlim

x

f) 3 3

2

13

+

−+∞→ x

xlimx

g) 1

12

++

+∞→ xxlim

x

h) 1

12

++

−∞→ xxlim

x

181

i) ( )11 22 −−+∞→

xxlimx

j) ( )xxxlimx

−++∞→

12

k) ( )xxxlimx

−+−∞→

12

2. Determine asintotas para las siguientes funciones

a) f(x) = x + 1/x

b) f(x) = 8 / (4 – x2)

c) f(x) = (x2 – 3) / (2x – 4)

RESPUESTAS

1.

a) 2

b) 4/3

c) 1

d) ∞

e) 0

f) 1

g) 1

h) –1

i) 0

j) ½

k) -∞

2.

a) x = 0, y = x

b) y = 0, x =2, x = -2

c) x = 2, y =x /2 +1

RESUMEN

En la presente sección se definen y estudian los límites infinitos y los límites al infinito. En

particular se analiza el concepto de asintota de una función y el límite que da origen al

número de Euler.

AUTOEVALUACION


1. Toda función tiene una asintota.

2. Las asintotas verticales no pertenecen al dominio de una función real.

182

3. Un límite que no existe es un límite infinito.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Verdadero.

3. Falso.

GLOSARIO


Función Real: Función donde el dominio y codominio son subconjuntos de los números

reales.

Límite: Elemento del codominio de una función al cual tienden sus imágenes en la medida

que las preimagenes se acercan a un elemento del dominio.

Número de Euler: Número irracional, igual a 2.71..

Número real: número natural, entero, racional o irracioanl.

SIMBOLOS

∞ : infinito.

+∞ : infinito positivo.

-∞ : infinito negativo.


< : Menor que.


= : Igual que.

> : Mayor que.

183

Lxflimoxx

=→


Lxflimoxx

=+→


Lxflimoxx

=−→


Lxflimx

=+∞→

)( : Límite de f cuando x tiende a +∞

Lxflimx

=−∞→

)( : Límite de f cuando x tiende a -∞


⇒ : Implica.

ε : Epsilón.

δ : Delta.


∀ : Para todo.

∃ : Existe.

184

II.1.6. CONTINUIDAD

En el lenguaje cotidiano, decimos que un cierto fenómeno o proceso es “continuo” para

expresar que no se interrumpe o que no tiene cambios bruscos. En matemática, la palabra

“continuo” tiene un sentido análogo. El concepto de continuidad es muy importante en el

cálculo y como se verá más adelante se encuentra presente en innumerables aplicaciones.

Si f: ℝ → ℝ es una función real cualquiera, no tiene por que cumplirse necesariamente que

el límite de f cuando x tiende a xo sea igual a f evaluado en xo, f(xo), esto es

)()( oxxxfxflim

o

=→

Esto puede dejar de ser cierto de muchas maneras, por ejemplo f puede no estar definido en

xo, o bien el límite de f en xo puede no existir, o bien f esta definido y el límite existe en xo,

pero ambos valores son distintos.

Como resulta natural considerar que las funciones que tienen uno de los tres

comportamientos anteriores son anormales, se decidió calificar con un nombre especial a

aquellas funciones que no presentan uno de estos problemas. El calificativo adoptado ha

sido de funciones continuas.

DEFINICION. La función f : ℝ → ℝ es continua en xo si )()( oxxxfxflim

o

=→

. La función f

es continua si es continua para cada xo que pertenezca a su dominio. Si f no es continua en

xo, se dice que f es discontinua en xo o que xo es un punto de discontinuidad de f.

De la definición anterior se deduce en forma inmediata que si f es una función y xo ∈ ℝ,

entonces f es continua en xo si y sólo si:

• f está definida en xo.

• )(xflimoxx→

existe

• )()( oxxxfxflim

o

=→

Gráficamente una función es continua, cuando la curva que describe no contiene

interrupciones, ni saltos, ni oscilaciones indefinidas. Se debe observar sin embargo que el

concepto de continuidad es puntual, esto es, es válido sólo para un punto específico de la

curva. Si queremos que toda la curva no presente este tipo de problemas, se debe estudiar la

continuidad en cada uno de los puntos del dominio de la función.

185

Como la definición de continuidad se encuentra dada en términos de límites, mediante los

teoremas del álgebra de límites se puede establecer la continuidad de un gran número de

funciones.

EJEMPLO II.1.6.1.

f(x) = 1 / (1 + x2)

-1

0

1

2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

EJEMPLO II.1.6.2.

f(x) = 3x2 +5x -3

-20-10

0102030405060708090

100

-6 -4 -2 0 2 4

EJEMPLO II.1.6.3.

f(x) = sen(1/x) no es continua en 0

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

186

EJEMPLO II.1.6.4.

F(x) = 1 cuando x es racional 0 cuando x no es racional es continua sólo en cero

0

-4 -2 0 2 4 Muchas de las funciones ya conocidas son continuas. Entre estas podemos citar a las

funciones polinomiales, las funciones racionales (cuocientes de polinomios), la función

valor absoluto |x|, la función raíz cuadrada en cada número positivo, etc.

TEOREMA

Si f y g son dos funciones reales continuas en xo, entonces f + g, f – g, f ⋅ g y f / g , g(xo) ≠0

son también continuas en xo.

La demostración de este teorema descansa en las propiedades de los límites.

EJEMPLO II.1.6.5.

F(x) = x4 – 2x3 – 4x2 + 2x + 3 es continua.

-20-10

0102030405060708090

100

-2 0 2 4

El próximo teorema establece el importante resultado de que si una función f es continua,

entonces al evaluar un límite sobre esta función, el límite puede entrar al argumento de la

función. Esto es: TEOREMA

Si g es continua en xo, y f es continua en g(xo), entonces f o g es continua en xo.

187

EJEMPLO II.1.6.6.

F(x) = 12 +x es una función continua en todo punto x ∈ ℝ.

El último teorema que veremos en esta sección trata sobre una de las propiedades más

importantes de las funciones continuas.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Si f es continua en el intervalo [a, b] y p es un número

que está entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ [a, b] tal que f(c) = p.

EJEMPLO II.1.6.7.

Consideremos f(x) = x2. Como f es continua en el intervalo [1, 2] y además se tiene que

f(1) = 1 y f(2) = 4, entonces existe c ∈ [1, 2] tal que f(c) = 2.

ACTIVIDAD II.1.6.7.8.

1. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en ℝ:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−<=

=33332320

)(xxxxx

xf

b) f(x) = x ⋅ sen(1/x)

c) f(x) = cox(x) / x

d) f(x) = (x + 1) / |x – 1|

e) f(x) = (x – 9)2 ⋅ sen3(1 / (x – 9))

f)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥<<−≤<

≤−

=

2021210

0

)(

xxxxx

xx

xf

g)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>++=

<−

=0103700

0)4cos()6cos(

)(2

2

xxxx

xx

xx

xf

Solución:

a) No es continua en 3.

b) Continua en todo ℝ

c) No es continua en cero.

d) No es continua en 1

e) Continua en todo ℝ.

188

f) Continua en todo ℝ

g) No es continua en cero.

2. Determine los valores de a y b de modo que f sea continua en ℝ.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<++

≤=

5521

2)( 2

xbxbxax

xaxxf

Solución:

a = 1 /21, b = - 23 / 42.

RESUMEN

En la presente sección se define el concepto de funciones continuas, aquellas funciones

cuya gráfica no experimenta cortes, ni saltos; estableciéndose un conjunto de resultados

sobre este tipo de funciones. Lo más relevante es que el límite de una función continua

puede introducirse como argumento de la función para su evaluación.

AUTOEVALUACION


1. Todas las funciones reales son continuas.

2. Sumas de funciones continuas no tiene por que ser una función continua.

3. Composición de funciones continuas es también continua.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Falso.

3. Verdadero.

GLOSARIO



Función real: función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de números reales.

Límite: Elemento del codominio de una función al cual tienden las imágenes cuando las

preimagenes se acercan a un punto determinado.

189

SIMBOLOS


< : Menor que.


= : Igual que.

> : Mayor que.

Lxflimoxx

=→


Lxflimoxx

=+→


Lxflimoxx

=−→


Lxflimx

=+∞→

)( : Límite de f cuando x tiende a +∞

Lxflimx

=−∞→

)( : Límite de f cuando x tiende a -∞



Sen(x) : Función seno.

Cos(x) : Función coseno.

Tan(x) : Función tangente.

190

II.1.7. TIPOS DE DISCONTINUIDAD

Una función f: ℝ → ℝ, que no es continua en un punto xo, verifica uno de las siguientes

situaciones:

• )(xflimoxx→

no existe y en tal caso se dice que la discontinuidad en xo es esencial, o bien

• )(xflimoxx→

≠ f(xo), en este caso se dice que la discontinuidad en xo es removible o

evitable.

La razón de estos nombres es porque en el caso de presentarse una discontinuidad

removible, basta con redefinir la función, asignando el valor del límite como imagen de xo,

para convertirla en una función continua en xo. En cambio, si la función f presenta una

discontinuidad esencial en xo, no hay ninguna redefinición posible que la transforme en una

función continua en xo.

EJEMPLO II.1.7.1.

La discontinuidad de la función real

⎩⎨⎧

=≠⋅

=0,10,)/sen(

)(xxxx

xfπ

es removible, pues basta con redefinir la imagen en x = 0 como cero, para que la función

sea continua, como se aprecia en la grafica:

⎩⎨⎧

=≠⋅

=0,00,)/sen(

)(xxxx

xfπ

0

0 EJEMPLO II.1.7.2.

La función

⎩⎨⎧

=≠−

=3,53,2

)(2

xxxx

xf

también tiene una discontinuidad removible, pues basta con redefinir f(3) = 9 – 6 = 3, para

que la función sea continua.

191

-10

0

10

20

30

40

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 EJEMPLO II.1.7.3.

La función

⎩⎨⎧

∉∈

=racionalesxracionalesx

xf,0,1

)(

tiene una discontinuidad esencial en todos sus puntos. No es posible redefinir la función

para que sea continua.

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

EJERCICIO II.1.7.4.

La función:

⎩⎨⎧

=≠−−

=3,03,)3/()2(

)(2

xxxxx

xf

también tiene una discontinuidad esencial en x =3, pues ni siquiera existe el límite en ese

punto.

-10

0

10

20

30

40

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

192

ACTIVIDAD II.1.7.5.

1. Clasifique la discontinuidad de la siguiente función. En caso de ser removible, redefina

la función para que sea continua.

⎩⎨⎧

=≠−

=3,13,)3(

)(2

xxxx

xf

Solución:

La función es continua para todos los números reales distintos de 3, por tratarse de un

polinomio. En x = 3, nos encontramos frente a un punto de discordinación de la definición

que debe ser estudiado con detención. El límite de la función existe en x = 3 y es igual a 0,

que es distinto de f(3) = 1, por lo que la función presenta una discontinuidad removible.

La redefinición de la función de manera de lograr una función continua es:

⎩⎨⎧

=≠−

=3,03,)3(

)(2

xxxx

xf



⎩⎨⎧

=≠−

=3,13,)3/(1

)(2

xxxx

xf

Solución:

La función presenta una discontinuidad esencial en x = 3, pues el límite de la función en

ese punto es infinito.



⎩⎨⎧

≤>−

=3,13,)3(

)(2

xxxx

xf

Solución:

La función presenta una discontinuidad esencial en x = 3, pues el límite no existe en ese

punto.

RESUMEN

En esta sección se definen los dos tipos de discontinuidades que puede presentar una

función: la removible y la esencial, dependiendo si es posible modificar o no la función

para que se transforme en continua.

AUTOEVALUACION


1. Toda función discontinua puede redefinirse para que sea continua.

193

2. Si la discontinuidad es esencial, entonces no existe el límite de la función de dicho

punto.

3. Si la discontinuidad es removible, entonces existe el límite de la función.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Verdadero.

3. Verdadero.

GLOSARIO


Función real: Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de números reales.

Imagen: Elemento del codominio de una función asociado con un elemento del dominio.

Límite: valor del codominio de la función al cual se acercan las imágenes en la medida que

las preimagenes tienden a un valor.

SIMBOLOS

)(xflimoxx→

: Límite de f cuando x tiende a xo.

= : Igual que.

≠ : Distinto que.

ℝ : Conjunto de números reales.

194

II.2. DERIVADAS

En este capítulo abordaremos el estudio de las derivadas de funciones reales, lo que nos

permitirá "medir" el grado de suavidad que presenta una curva en un punto determinado. Al

finalizar el capítulo, ud. deberá ser capaz de:

• Comprender e interpretar el concepto de pendiente de una curva en un punto.

• Conocer la definición formal de derivada.

• Derivar funciones polinomicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

• Aplicar el álgebra de derivadas pare calcular derivadas de funciones.

• Derivar funciones compuestas.

• Derivar más de un grado una fucnión.

195

II.2.1. CURVAS SUAVES

La apariencia de la curva producto de gráfica de una función continua, puede tener un

aspecto que varia desde cambios abruptos a suaves. En efecto, en un punto determinado,

una curva puede presentar una variación tan brusca como la correspondiente al valor

absoluto, o tan suave como la asociada a una función trigonométrica. En los ejemplos

siguientes ilustramos sobre la curva asociada a estas funciones.

EJEMPLO II.2.1.1.

Consideremos la función valor absoluto: | ⋅ | : ℝ → ℝ, x a |x|, esta función no es suave

en x = 0, donde se presenta una arista.

0

2

4

6

8

10

-10 -5 0 5 10

EJEMPLO II.2.1.2.

La función cos : ℝ → ℝ, que asocia a cada número real x, el valor de cos(x), es suave en

cada uno de sus puntos.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4

En general, una función tipo serrucho no será suave en los puntos correspondientes a los

vértices de cada diente, mientras que una función ondulatoria será suave en cada uno de los

puntos de su dominio.

Incluso, existe un fenómeno tan extraño como la función de Riemann, que no es suave en

ningún punto, pese a ser continua en todos.

196

EJEMPLO II.2.1.3.

La función de Riemann se define como un serrucho en el cual, cada uno de sus dientes

tiene también una forma de serrucho, y los dientes de estos, también tienen más dientes,

etc. El la figura adjunta se muestra un esbozo de esta curva.

Observemos que estamos restringiendo nuestra discusión a funciones continuas, por lo que

no se admiten saltos, ni la no existencia de límites en un punto.

Que una curva sea suave, significa que pequeños cambios en el dominio de la función,

provoca un pequeño cambio en la imagen de ella. Así una perturbación en la preimagen,

no traerá grandes diferencias en la imagen final de la función.

Cuando una curva no es suave, pequeñas perturbaciones en la preimagen, pueden provocar

grandes cambios en los valores de la imagen de una función.

Esta interpretación de curvas suaves, ha llevado a clasificar los fenómenos presentes en la

naturaleza entre los continuos y diferenciables (curvas suaves) de aquellos caóticos (curvas

continuas, pero no suaves).

Cuando la curva es suave, se presentan varias propiedades muy deseables: es fácil

aproximar la función en el entorno de un punto por una recta que es la curva más sencilla

que puede existir, se puede predecir el comportamiento futuro de la curva, se puede estimar

la rango de variación de la curva en un intervalo determinado, etc. Es tan importante el

concepto de suavidad de una curva, que su estudio reclama un capítulo completo de la

matemática. Se habla de la derivada de una función, que corresponde a la pendiente de la

recta que es tangente a una curva en un punto determinado. Para medir la suavidad de una

curva, nos preocupamos de la existencia de esta derivada y de que a su vez no tenga

cambios bruscos (la segunda derivada), después de la tercera, etc.

197

Cuando una función continua no es derivable, entonces su curva no es suave en el punto

considerado. Conviene insistir en que el concepto de suavidad de una curva es puntual, esto

es, siempre se encuentra asociado a un punto específico de la curva. Sólo si se ha

determinado que la curva es suave en todos y cada uno de los puntos de su dominio,

hablamos de que la curva es suave.

RESUMEN

En la presente sección revisamos el concepto de suavidad de una curva en un punto, su

interpretación como cambios proporcionales entre lo que ocurre en las imágenes con las

preimagenes, y su relación con el concepto de derivada.

AUTOEVALUACION


1. Si una función no es continua, entonces no puede ser suave.

2. Toda función continua es suave.

3. La suavidad es un concepto puntual.

4. Si una curva es suave, pequeños cambios en el dominio provocan pequeños cambios en

la imagen de la función.

RESPUESTAS

1. Verdadero.

2. Falso.

3. Verdadero.

4. Verdadero.

GLOSARIO



Función continua: función cuya gráfica no presenta saltos ni vacíos.

Función real: función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.

Función trigonométrica: función cuya relación es una expresión trigonométrica.

198

Función valor absoluto: función cuya relación es un valor absoluto.

Imagen: elemento del codominio de una función, asociado con un elemento particular del

dominio.

Límite: Valor del codominio de una función, al cual se acercan las imágenes de esta en la

medida que sus preimagenes se acercan a un punto determinado.

Números reales: números naturales, enteros, racionales o irracionales.

Preimagen: valor del dominio de una función asociado con un elemento particular del

codominio.

Valor absoluto: distancia de un número real al cero, el número sin signo.

199

II.2.2. DEFINICION DE DERIVADA

En geometría se define una recta tangente a una circunferencia como aquella recta que toca

a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular al radio en ese punto. En la presente

sección vamos a extender la noción de recta tangente a cualquier clase de curva.

Para definir en forma precisa la noción de recta tangente debemos recurrir al concepto de

límite. Consideremos la función mostrada en la figura.

Deseamos determinar la recta tangente a la curva en el punto (xo, f(xo)). Para ello

consideremos sobre la curva una secuencia de puntos que se acerca cada vez más a (xo,

f(xo)), digamos: (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)), etc, y definamos las rectas L1, L2, L3, que

unen a (xo, f(xo)) con (x1, f(x1)), (xo, f(xo)) con (x2, f(x2)), (xo, f(xo)) con (x3, f(x3)), etc.

La pendiente de la recta Ln, que une los puntos (xo, f(xo)) con (xn, f(xn)) se encuentra

determinada por la expresión

on

on

xxxfxf

−− )()(

Las rectas Ln tenderán a la recta tangente de la curva en (xo, f(xo)), en la medida que (xn,

f(xn)) se acerque a al punto (xo, f(xo)). De esta manera, la pendiente de la recta tangente a

la curva en el punto (xo, f(xo)) debe ser el valor límite.

200

on

on

xx xxxfxf

limon −

−→

)()(

Antes de entregar la definición de derivada de f en un punto, que nos entregará la pendiente

de la recta tangente a la curva en el punto considerado, notemos que el límite anterior

puede ser expresado en la forma equivalente

hxfhxf

limxx

xfxflim oo

hon

on

xx on

)()()()(0

−+=

−−

→→

Que expresa que xn = xo + h es una perturbación del punto xo y por lo tanto, buscamos las

perturbaciones que en el límite sean cero.

DEFINICION

La función f: ℝ → ℝ es derivable en xo si h

xfhxflim oo

h

)()(0

−+→

existe. En este caso, el

límite se designa por f’(xo) o dxxdf o )(

y recibe el nombre de derivada de f en xo. Se dice

también que f es derivable si f es derivable en todos los puntos xo del dominio de f.

Si el límite h

xfhxflim oo

h

)()(0

−+→

no existe, entonces diremos que f(x) no es derivable en

xo. En este caso no hay recta tangente a la curva en el punto considerado.

EJEMPLO II.2.2.1.

La función real f(x) = x es derivable en xo = 2. En efecto

f’(x)= 1122)2()2(0000===

−+=

−+→→→→ hhhh

limhhlim

hhlim

hfhflim

Así la derivada de f(x) en x = 2 es 1. Observe que f(x) = x, la función identidad en realidad

es derivable en todo ℝ.

EJEMPLO II.2.2.2.

La función real f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x2 – 5x + 1 es derivable en xo = 5. En efecto, aplicando

la definición de derivada, se tiene que:

F’(x) = h

fhflimh

)5()5(0

−+→

=h

hhlimh

155521)5(5)5(2 22

0

−⋅+⋅−++−+→

=h

hhhlimh

1555215555452 222

0

−⋅+⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅+⋅→

201

= h

hhlimh

2

0

15 +⋅→

= h

hhlimh

)15(0

+→

= )15(0

hlimh

+→

= 15

Así f’(5) = 15

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15

EJEMPLO II.2.2.3.

La función f(x) = |x| no es derivable en xo = 0. En efecto, la función valor absoluto se

define por tramos de la siguientes manera:

⎩⎨⎧

≥<−

=0,0,

)(xxxx

xf

Por lo tanto, se tiene que los límites laterales de f(x) en cero son los siguientes:

)1(||)0()0(−=

−==

−+−→−→−→−→ ohohohoh

limhhlim

hhlim

hfhflim = - 1

)1(||)0()0(+→+→+→+→

===−+

ohohohohlim

hhlim

hhlim

hfhflim = + 1

como ambos límites laterales son distintos entre si, se tiene queh

fhflimoh

)0()0( −+→

no

existe y por lo tanto la función valor absoluto no es derivable en cero.

0

2

4

6

8

10

-10 -5 0 5 10

202

TEOREMA. La derivada de una función constante en xo es cero. Esto es 0)(=

dxcd

Demostración. Sea f: ℝ → ℝ, f(x) = c, se tiene entonces que

000)()(0000

===−

=−+

→→→→ hhh

oo

hlim

hlim

hcclim

hxfhxf

lim

así f’(xo) = 0.

TEOREMA. La derivada de una función lineal coincide con la pendiente de la línea recta.

Esto es abaxdxd

=+ )(

Demostración. Sea f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, entonces

f´(x)= aalimhahlim

hbaxbhxa

limh

xfhxflim

hh

oo

h

oo

h===

−−++=

−+→→→→ 0000

)()()(

TEOREMA. La derivada de la función cuadrática f: ℝ → ℝ, f(x) = x2, en xo es 2xo. Esto

es xxdxd 2)( 2 =

Demostración:

hxfhxf

lim oo

h

)()(0

−+→

= h

xhxlim oo

h

22

0

)( −+→

= h

xhhxxlim ooo

h

222

0

2 −++→

= h

hhxlim o

h

2

0

2 +→

= )2(0

hxlim oh+

→

= 2xo

TEOREMA. La derivada de la función cúbica f: ℝ → ℝ, f(x) = x3, en xo es 3 2ox . Esto es

23 3)( xxdxd

=

Demostración:

hxfhxf

lim oo

h

)()(0

−+→

= h

xhxlim oo

h

33

0

)( −+→

= h

xhhxhxxlim ooo

h

33223

0

33 −+++→

= h

hhxhxlim oo

h

322

0

33 ++→

= )33( 22

0hhxxlim ooh

++→

= 23 ox

203

II.2.2.5. ACTIVIDAD

1. Determine la derivada de las siguientes funciones.

a) f(x) = x

b) f(x) = 10

c) f(x) = 3x – 5

d) f(x) = 5x + 10

e) f(x) = 100 – x

f) f(x) = x2

g) f(x) = x3

Solución:

a) f’(x) = 1

b) f’(x) = 0

c) f’(x) = 3

d) f’(x) = 5

e) f’(x) = -1

f) f’(x) = 2x

g) f’(x) = 3x2

2. Utilizando la definición de derivada, calcule la derivada en el punto indicado

a) f(x) = - 4x, en xo = 1

b) f(x) = - x, en xo = -1

c) f(x) = 3 – 5x, en xo = 0

d) f(x) = 3 – x2, en xo = -1

e) f(x) = 3 – x2, en xo = 1

f) f(x) = 3 – x2, en xo = 2

g) f(x) = x2 – 3x + 1, en xo = 0

Solución:

a) f'(1) = - 4

b) f'(-1) = -1

c) f'(0) = - 5

d) f'(-1) = 2

e) f'(1) = - 2

f) f'(2) = - 4

g) f'(0) = - 3

3. Define la recta tangente a la curva en el punto indicado

a) f(x) = x3, en xo = 8

b) f(x) = 2x2 + 4x – 3, en xo = 1

c) f(x) = x3 – 6x2 + 5x, en el origen.

204

d) f(x) = x3 – 3x + 1 en xo = 0

Solución:

a) y = 192x – 1024

b) y = 8x – 5

c) y = 5x

d) y = -3x + 1

4. Calcule la derivada en el punto indicado y bosqueje la gráfica de la curva y de la recta

tangente al punto considerado.

a) f(x) = 2x, xo = 3

b) f(x) = 3x2 + 4, xo = 1

c) f(x) = 3x2 + 4, xo = 2

d) f(x) = 3x2 + 4, xo = -1

Solución:

a) f'(3) = 2, y = 2x

-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4 b) f´(1) = 6, y = 6x +1

-40

-20

0

20

40

60

80

-4 -2 0 2 4 c) f'(2) = 12, y = 12x – 8

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-4 -2 0 2 4 d) f'(-1) = - 6, y = - 6x + 1

205

-40

-20

0

20

40

60

80

-4 -2 0 2 4

II.2.2.6. EJERCICIOS

1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones

a) f(x) = 100

b) f(x) = -5

c) f(x) = 0

d) f(x) = 10 – x

e) f(x) = 10 – 2x

f) f(x) = 100x + 100

g) f(x) = x3

Solución

a) f’(x) = 0

b) f’(x) = 0

c) f’(x) = 0

d) f’(x) = -1

e) f’(x) = -2

f) f’(x) = 100

g) f’(x) = 3x2

2. Utilizando la definición de derivada, determine la derivada de las siguientes funciones.

a) f(x) = 3x

b) f(x) = 5x / 3

c) f(x) = 3 – 5x

d) f(x) = x – 5

e) f(x) = 4/3 – 5x

f) f(x) = 3 – x2

g) f(x) = 4 / (x2 + 2)

h) f(x) = 5x2 – x + 2

3. Defina la recta tangente a la curva en el punto indicado

a) f(x) = x2 + x –1, xo = 1

b) f(x) = x2 + 3x, xo = -1

c) f(x) = -x3 + 3x + 1, xo = 3

d) f(x) = (x + 1) / ( x – 2), xo = 3

206

e) f(x) = x−3 , xo = -1

f) f(x) = x4 – 2x + 5, xo = -1

RESPUESTAS

1.

a) f’(x) = 3

b) f’(x) = 5/3

c) f’(x) = – 5

d) f’(x) = 1

e) f’(x) = – 5

f) f’(x) = -2x

g) f’(x) = -8x / (x2 + 2)2

h) f’(x) = 10x – 1

2.

a) f'(x) = 3

b) f'(x) = 5 / 3

c) f'(x) = - 5

d) f'(x) = 1

e) f'(x) = - 5

f) f'(x) = - 2x

g) f'(x) = -8x / (x2 + 2)

h) f'(x) = 10x - 1

3.

a) y = 3x – 2

b) y = x –1

c) y = -24x + 55

d) y = - 3x + 13

e) y = - x / 4 + 7 / 4

f) y = - 6x + 2

RESUMEN

En esta sección se analiza la definición de derivada, que establece que el valor de la

derivada en un punto en particular de la curva, corresponde a la pendiente de la recta

tangente a la curva en dicho punto. Se concluye la sección revisando algunos teoremas

básicos que establecen la derivada para la función constante, la función identidad, la

función lineal, la función cuadrática y la función cúbica.

207

AUTOEVALUACION


1. La derivada de una función constante es cero.

2. La derivada de la función identidad es la misma función identidad.

3. La derivada es la recta tangente a una curva.

4. La pendiente de la recta tangente de una curva es la misma para todos los puntos de una

curva.

RESPUESTAS

1. Verdadero

2. Falso.

3. Falso.

4. Falso.

GLOSARIO



Función constante: Función cuya imagen es un único elemento.

Función cuadrática: Función cuya relación es un polinomio de grado dos.

Función cúbica: Función cuya relación es un polinomio de grado tres.

Función identidad: Función que asocia a cada preimagen consigo misma.

Función lineal: Función cuya relación es un polinomio de grado uno.


Función valor absoluto: Función cuya relación es una expresión en valor absoluto.

Límite: Valor del codominio al cual se acercan las imágenes de una fucnión en la medida

que sus preimagenes tienden a un valor fijo.

Perpendicular: Recta que cruza a una curva formando un ángulo recto.

208

Recta tangente: Recta que toca a una curva en un solo punto.

SIMBOLOS

f(x) : función f evaluada en x.

)(xfdxd : Derivada de f en x.

f'(x) : derivada de f en x.

)(xflimoxx→


ℝ : Conjunto de los números reales

= : igual que

209

II.2.3. ALGEBRA DE DERIVADAS POLINOMICAS

En la presente sección demostraremos tres teoremas básicos que nos ayudaran en el cálculo

de las derivadas de funciones reales. Estos teoremas establecen la forma de calcular la

derivada de la suma de dos funciones, del producto de una función por una constante y la

derivada de una función polinomica. A continuación veremos el primero de estos

teoremas, el cual establece que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las

derivadas.

TEOREMA Si f y g son dos funciones reales derivables en xo, entonces f + g es derivable

en xo y se tiene (f + g)’(xo)=f’(xo) + g’(xo). Esto es, la derivada de la suma de dos funciones

es igual a la suma de las derivadas.

Demostración: La demostración se basa en aplicar la definición de la derivada y

propiedades conocidas de los límites.

(f + g)’(xo) = h

xgfhxgflim oo

h

))(())((0

+−++→

= h

xgxfhxghxflim oooo

h

)()()()(0

−−+++→

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++

−+→ h

xghxgh

xfhxflim oooo

h

)()()()(0

=h

xghxglim

hxfhxf

lim oo

h

oo

h

)()()()(00

−++

−+→→

= f’(xo) + g’(xo)

Lo que demuestra el teorema.

EJEMPLO II.2.3.1.

Determine la derivada de las siguientes funciones reales.

dxd (x + 100) =

dxd (x) +

dxd (100) = 1 + 0 = 1

dxd (x3 + x2) =

dxd (x3) +

dxd (x2) = 3x2 + 2x

EJEMPLO II.2.3.2.

Suponga que se conoce que las derivadas de las siguientes funciones reales son las que se

indican:

dxd (4x3) = 12x2

210

dxd (2x - 5) = 2

dxd (x2) = 2x

Entonces la derivada de la suma de estas tres funciones, esta dada por la aplicación

sucesiva del teorema anterior y la asociatividad de la suma de funciones:

dxd (4x3 + 2x – 5 + x2) =

dxd (4x3) +

dxd (2x – 5) +

dxd (x2) = 12x2 + 2 + 2x

El segundo teorema que veremos, establece que la derivada del producto de una función

real por una constante se calcula multiplicando la derivada de la función por la constante, o

bien sacando la constante fuera de la derivada.

TEOREMA. Si g(x) = c ⋅ f(x) y f es derivable en xo, entonces g también es derivable en xo

y g’(xo) = c ⋅ f’(xo)

Demostración: Nuevamente la demostración se realiza aplicando la definición de derivada,

junto con usar las propiedades de los límites.

g’(xo) = h

xghxglim oo

h

)()(0

−+→

= h

xfchxfclim oo

h

))(())((0

⋅−+⋅→

= h

xfchxfclim oo

h

)()(0

⋅−+⋅→

= h

xfchfcxfclim oo

h

)()()(0

⋅−⋅+⋅→

= h

hfclimh

)(0

⋅→

= hhflimc

h

)(0→

⋅

= f’(xo)

Los ejemplos siguientes nos ilustran sobre el uso de los teoremas anteriores para encontrar

la derivada de polinomios.

EJEMPLO II.2.3.3.


dxd (f(x) – g(x)) =

dxd f(x) +

dxd (-g(x)) =

dxd f(x) –

dxd g(x)

211

dxd (4x3) = 4

dxd (x3) = 4 ⋅ 3x2 = 12x2

dxd (10x) = 10

dxd (x) = 10 ⋅ 1 = 10

dxd (10x2) = 10

dxd (x2) = 10 ⋅ 2x = 20x

EJEMPLO II.2.3.4.


dxd (10x + 5) =

dxd (10x) +

dxd (5) = 10

dxd (x) + 0 = 10 ⋅ 1 = 10

dxd (4x3 – 3x2) =

dxd (4x3) -

dxd (3x2) = 4

dxd (x3) – 3

dxd (x2) = 4 ⋅ 3x2 – 3 ⋅ 2x = 12x2 – 6x

TEOREMA Sea f(x) = xn para algún número natural n, entonces f’(xo) = nxon-1, para todo

xo.

Demostración: Se efectúa aplicando inducción matemática. Para ello, suponemos que el

conjunto S = {n ∈ N: si f(x) = xn ⇒ f'(x) = nxn-1}. Claramente S esta contenido en N. Se

tiene además que se cumplen las dos condiciones del principio de inducción matemática:

• 1 ∈ S

• n ∈ S ⇒ dxd xn = nxn-1

⇒ dxd xn+1 =

dxd xn ⋅ x + xn

dxd x

⇒ dxd xn+1 = nxn-1 ⋅ x + xn ⋅ 1

⇒ dxd xn+1 = nxn + xn

⇒ dxd xn+1 = (n + 1)xn

⇒ n + 1 ∈ S

De esta manera N = S y se ha demostrado el teorema.

EJEMPLO II.2.3.5.

Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

f(x) = x100 ⇒ f’(x) = 100x99

f(x) = 10x10 ⇒ f’(x) = 10 dxd (x10) = 10 ⋅ 10x9 = 100x9

212

f(x) = x5 + 2x4 ⇒ f’(x) = dxd (x5) +

dxd (2x4) = 5x4 + 2

dxd (x4) = 5x4 + 2 ⋅ 4 x3 = 5x4 + 8x3

El teorema anterior, como demostraremos más adelante, se puede generalizar a potencias de

cualquier número real.

EJEMPLO II.2.3.6.

Evalúe las derivadas de las funciones reales siguientes:

f(x) = x-2 ⇒ f’(x) = -2x-3

f(x) = x3/2 ⇒ f’(x) = 3/2 ⋅ x1/2

f(x) = x = x½ ⇒ f’(x) = ½ x-½ = x2

1

f(x) = xπ ⇒ f’(x) = πxπ-1

Para finalizar con esta sección introducimos el concepto de derivadas de orden superior.

Así como se define la deriva de una función, conocida como derivada de primer orden,

podemos encontrar la derivada de segundo orden o segunda derivada de f, que consiste en

derivar la primera derivada. De la misma manera, derivando la segunda derivada, se

encuentra la tercera derivada de una función, o derivada de tercer orden, etc.

La segunda derivada de una función se denota por f''(x) o 2

2

dxd f(x), la tercera deriva de una

función se denota por f'''(x) o 3

3

dxd f(x). En general la n – ésima derivada se denota por f(n)x

o n

n

dxd f(x).

EJEMPLO II.2.3.7.

Encuentre la primera, segunda y tercera derivada de las funciones reales siguientes:

• f(x) = 5x3 – x2 + 1

f'(x) = 15x2 – 2x

f''(x) = 30x – 2

f'''(x) = 30

• f(x) = 2x2 + 1000

f'(x) = 4x

f''(x) = 4

f'''(x) = 0

• f(x) = x100

213

f'(x) = 100x99

f''(x) = 9900x98

f''' (x) = 970200x97

• f(x) = 1

f'(x) = 0

f''(x) = 0

f'''(x) = 0

Es interesante observar que para anular un polinomio de grado n, basta con derivar n + 1

veces.

EJEMPLO II.2.3.8.

Derive hasta encontrar la función nula: f(x) = x4 – 10x3 + 5x – 3.

f'(x) = 4x3 – 30x2 + 5

f''(x) = 12x2 – 60x

f'''(x) = 24x – 60

f(iv)(x) = 24

f(v)(x) = 0

ACTIVIDAD II.2.3.9.

1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = 9x3 – 3x2 + 10x + 9

b) f(x) = 10x5 – x4 + 3x3 – 6x2

c) f(x) = 6x2 + 6x + 3

d) f(x) = x3 + 9x2 – 8x + 5

e) xxxf −= 3)(

f) f(x) = 4x5/4 + 6x3 + 2x1/2

g) 23)( xxf =

h) 62)( xxxf =

i) f(x) = x100 – 1

Solución:

a) f’(x) = 27x2 – 6x + 10

b) f’(x) = 50x4 – 4x3 + 9x2 – 12x

c) f’(x) = 12x + 6

d) f’(x) = 3x2 + 18x – 8

e) xxxf −= 3)(

f) f’(x) = 5x1/4 + 18x2 + x -1/2

214

g) 23)( xxf =

h) 62)( xxxf =

i) f’(x) = 100x99

2. Determine la derivada de las siguientes funciones reales:

a) f(x) = x5/3 + 2x4/3 – 3x-1/3

b) f(x) = x-2/3 + x–4/3 – 2x4/7

c) f(x) = x3/2 + 2x3/5 – 4x4/7

d) 12/13/4 2243)( −−+= xxxxf

e) 5

42)(2/12/12/3 −+−

=xxxxf

f) 2/54/13/2

5252)( xxxxf −+= −

g) 4/11213/8

83 4)( xxxxf −+= −

h) 2

2/12/32/5 23)(x

xxxxf +−=

i) 5 23 2 532)( xxxxxxf −+=

j) 33323

101

71

41)( xxxxxxxf +−=

Solución:

a) f(x) = x5/3 + 2x4/3 – 3x-1/3

b) f(x) = x-2/3 + x–4/3 – 2x4/7

c) f(x) = x3/2 + 2x3/5 – 4x4/7

d) 12/13/4 2243)( −−+= xxxxf

e) 5

42)(2/12/12/3 −+−

=xxxxf

f) 2/54/13/2

5252)( xxxxf −+= −

g) 4/11213/8

83 4)( xxxxf −+= −

h) 2

2/12/32/5 23)(x

xxxxf +−=

i) 5 23 2 532)( xxxxxxf −+=

j) 33323

101

71

41)( xxxxxxxf +−=

3. Encuentre la primera, segunda y tercera derivada de las funciones siguientes:

a) f(x) = 10x2 – 5x + 1

b) f(x) = 10x10 + 5

215

Solución:

a) f´(x) = 20x – 5, f''(x) = 20, f'''(x) = 0

b) f'(x) = 100x9, f''(x) = 900x8, f'''(x) = 7200x7.


1. Derive las siguientes funciones:

a) f(x) = x2 + 3x – 4

b) f(x) = x14 + 10x2 + 7x – 4

c) f(x) = x-2 - 4x-5 + 3x-8

d) f(x) = x3 + 2x2 – 3x + 5 – 2x-1 + 4x-2

e) f(x) = x2 + 2x – 1/x2

f) f(x) = 2x3 + 5x2 – 3x + 7

g) f(x) = x8 + 2x6 – 4x3 + 6x + 9

h) f(x) = 2x-1 – 3x-5 + 2x2 – 7

i) f(x) = x5 + 12x – 1 + 3x-4 – 5x-7

j) 43 23)(

xxxxf −−=

k) 34

8532)(x

xxxf +−=

l) 743)(x

xf =

2. Derive las siguientes funciones reales:

a) y = x4 + 3x2 – 6

b) y = 6x3 – x2

c) y = x5 / (a + b) – x2 / (a – b) – x

d) y = (x3 – x2 + 1) /5

e) y = 2ax3 – x2 / b + c

f) y = 6x7/2 + 4x5/2 + 2x

RESPUESTAS

1.

a) f’(x) = x + 3

b) f’(x) = 14x13 + 20x + 7

c) f’(x) = 2x- - 20x-4 + 24x-7

d) f’(x) = 3x2 + 4x – 3 +2x-2 - 8x-3

e) f’(x) = 2x + 2 + 2/x3

f) f’(x) = 6x2 + 10x – 3

g) f’(x) = 8x7 + 12x5 – 12x2 + 6

h) f’(x) = -2x-2 – 15x-4 + 4x

216

i) f’(x) = 5x4 + 12 - 12x-5 + 35x-8

j) 43 23)(

xxxxf −−=

k) 34

8532)(x

xxxf +−=

l) 743)(x

xf =

2.

a) y’ = 4x3 + 6x

b) y’ = 18x2 – 2x

c) y’ = 5x4 / (a + b) – 2x / (a – b) – 1

d) y’ = (3x2 – 2x) / 5

e) y’ = 6ax2 – 2x / b

f) y’ = 21x5/2 + 10x3/2 + 2

RESUMEN

En la presente sección se revisan los teoremas que establecen el calculo de derivadas en

polinomios, como la derivada de la suma, la derivada del producto por escalar y la derivada

d ela potencia n – ésima de x. Además se define el concepto de derivada de derivada o

segunda derivada y la derivada de la segunda derivada o tercera derivada de f.

AUTOEVALUACION


1. La derivada de la suma de dos funciones corresponde a la suma de las derivadas.

2. La derivada de la función nula corresponde a la misma función nula.

3. La segunda derivada de una función es la derivada de la derivada de la función.

4. Se debe derivar n veces para anular un polinomio de grado n.

RESPUESTAS

1. Verdadero.

2. Verdadero.

3. Verdadero.

4. Falso.

GLOSARIO


Función polinómica: Función cuya relación es un polinomio.

217

Función real: Función cuyo conjunto de partida y de llegada son subconjuntos de números

reales.

Límite: Elemento del codominio de una función al cual se acercan las imágenes de esta en

la medida que las preimagenes tienden a un valor fijo.

Número natural: El tipo de número que se utiliza para contar: 1, 2, 3, etc.

Número real: Números naturales, enteros, racionales o irracionales.

SIMBOLOS




)(xflimoxx→


ℝ : Conjunto de los números reales

N : Conjunto de los números naturales.

= : igual que

f''(x) : segunda derivada de f.

2

2

dxd f(x): segunda derivada de f.

f'''(x) : tercera derivada de f.

3

3

dxd f(x) : tercera derivada de f.

218

f(n)(x) : derivada de orden n de f.

n

n

dxd f(x) : derivada de orden n de f.

219

II.2.4. DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS

Para derivar funciones compuestas existe un teorema especial, llamado regla de la cadena,

el cual establece que para derivar f o g, debemos derivar f y evaluarlo en g y esto

multiplicarlo por la derivada de g.

TEOREMA

Sean f y g dos funciones reales tales que la función compuesta f o g se encuentra bien

definida, entonces:

dxd (f o g)(x) =

dxd f(g(x)) = f’(g(x)) ⋅

dxd g(x) = f’(g(x)) ⋅ g’(x)

La regla de la cadena, tiene múltiples aplicaciones, la primera de ellas es que nos permite

derivar polinomios elevados a potencias sin necesidad de desarrollar los polinomios.

EJEMPLO II.2.4.1.

Determine la derivada de f(x) = (x2 + 5x)4

f'(x) = 4(x2 + 5x)3 (2x + 5)

El teorema se conoce como regla de la cadena porque literalmente se construye una cadena

de derivadas al actuar sobre varias funciones compuestas.

EJEMPLO II.2.4.2.

Derivar f(x) = ((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)4

f'(x) = 4((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)3 ⋅ ((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)

= 4((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)3 (4(x2 + 5x)3 (x2 + 5x) + 2x + 5)

= 4((x2 + 5x)4 + x2 + 5x)3 ⋅(4(x2 + 5x)3(2x + 5) + 2x + 5).

ACTIVIDAD II.2.4.3.

1. Determine las derivadas de las siguientes funciones reales:

a) f(x) = (x2 + 8)12

b) f(x) = (2x – 1)15

c) f(x) = (2x2 – 5x)11

d) f(x) = (x3 – x2 + 3x + 6)5

e) f(x) = (x + 3)1/4

f) f(x) = (x2 + 3)1/3

g) f(x) = (3x2 + 9x + 2)-1/3

h) 45)( 2 ++= xxxf

220

i) ( )32 45)( ++= xxxf

Solución

a) f’(x) = 24(x2 + 8)11x

b) f’(x) = 30(2x – 1)14

c) f’(x) = 11(2x2 – 5x)(4x – 5)

d) f’(x) = 5(x3 – x2 + 3x + 6)4(3x2 – 2x + 3)

e) f’(x) = ¼(x + 3)-3/4

f) f’(x) = 2/3(x2 + 3)-4/3x

g) f’(x) = –(3x2 + 9x + 2)-4/3(2x + 3)

h) f’(x) = ½(x2 + 5x + 4)-½ (2x + 5)

i) f’(x) = 3/2(x2 + 5x + 4)½ (2x + 5)

2. Determine las derivadas de las siguientes funciones:

a) ( ) 5/1)( xxxf +=

b) ( )6121)( ++= xxf

c) 23 312)( xxxxf −+++=

d) f(x) = ((2x + 1)5 + (x2 – 3)5)2/5

e) 11)( 2 +++= xxxf

Solución:

a) f’(x) = 1/5(x + x )-4/5(1 + ½x–½)

b) f’(x) = 3(1 + 12 +x )5(2x + 1)-½

c) f’(x) = ½ (x3 + 2x + 1)-½(3x2 + 2) – (3 – x2)-½x

d) 2/5((2x + 1)5 + (x2 – 3)5)-3/5 (5(2x + 1)4 + 5(x2 – 3)42x)

e) ½(1 + (x +(x2 + 1)½)½ )–½ ⋅ ½(x + (x2 + 1)½)-½ (1 + (x2 + 1)-½ )



a) f(x) = (x2 + 2x – 1)2

b) f(x) = (x3 + 7x2 – 8x – 6)2

c) f(x) = (x7 – 2x + 3x-2)2

d) f(x) = (x2 + x + 1)3


a) f(x) = (2x + 3)9

b) f(x) = (x3 + 4x2 – 3x + 7)5

c) f(x) = (x3 + 2x – 3 + x-2)4

d) f(x) = (x2 + 4x – 3)6

e) f(x) = (2x + 1)-4

221

f) f(x) = (x4 + 5x – 6x-1)3

g) f(x) = (2 – 5x)4

h) f(x) = (x2 – 3x + 2)-5

i) f(x) = (x2 + 2 –x-2)-1

j) f(x) = (3x3 + 2x2 – 6x-4)-4

k) f(x) = (((x2 + x)3 + x)4 + x)5

RESPUESTAS

1.

a) f’(x) = 2(x2 + 2x – 1)(2x + 2)

b) f’(x) = 2(x3 + 7x2 – 8x – 6)(3x2 + 14x - 8)

c) f’(x) = 2(x7 – 2x + 3x-2)(7x6 – 2 + 6x)

d) f’(x) = 3(x2 + x + 1)3(2x + 1)

2.

a) f’(x) = 9(2x + 3)82

b) f’(x) = 5(x3 + 4x2 – 3x + 7)4(3x2 + 8x –3)

c) f’(x) = 4(x3 + 2x – 3 + x-2)3(3x2 + 2 +2x)

d) f’(x) = 6(x2 + 4x – 3)5(2x + 4)

e) f’(x) = -4(2x + 1)-52

f) f’(x) = 3(x4 + 5x – 6x-1)2(4x3 + 5 +6x-2)

g) f’(x) = 4(2 – 5x)3(-5)

h) f’(x) = -5(x2 – 3x + 2)-6(2x – 3)

i) f’(x) = -(x2 + 2 –x-2)-2(2x +2x-3)

j) f’(x) = -4(3x3 + 2x2 – 6x-4)-5(9x2 + 4x + 2x-5)

k) f’(x) = 5(((x2 + x)3 + x)4 + x)4(4((x2 + x)3 + x)3(3(x2 + x)2(2x + 1) + 1) + 1)

RESUMEN

En la presente sección se estudia la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.

AUTOEVALUACION


1. La derivada de f o g es f' o g'.

2. La regla de la cadena se utiliza para calcular derivada de funciones compuestas.

3. La regla de la cadena sólo se puede aplicar a la composición de dos funciones.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Verdadero.

222

3. Falso.

GLOSARIO


Función compuesta: función construida por la evaluación de una función sobre otra.


SIMBOLOS




f o g : f compuesto con g.

223

II.2.5. OTRAS REGLAS DE DERIVADA

Además de calcular la derivada de suma de funciones, producto por escalar y funciones

compuestas, debemos conocer formulas para poder calcular la derivada del producto de dos

funciones reales y el cuociente de dos funciones. A continuación veremos los teoremas

respectivos.

Lamentablemente, las derivadas del producto y cuociente de dos funciones, no tienen el

comportamiento esperado. En efecto, la intuición nos haría esperar que la derivada del

producto de dos funciones fuese el producto de las derivadas, mientras que la derivada del

cuociente fuese el cuociente de las derivadas. En realidad, las formulas son mucho más

complejas que esto, como veremos a continuación.

TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, entonces la derivada del producto de f con g

se encuentra dada por la formula:

(f ⋅ g)’(x) = f’(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g’(x)

Esto es, la derivada de la primera función por la segunda sin derivar mas la primera

función sin derivar, multiplicada por la derivada de la segunda.

Demostración. Aplicando la definición de la derivada y las propiedades de los límites de

funciones reales, se tiene:

(f ⋅ g)’(x) = h

xgfhxgflimh

)()(0

⋅−+⋅→

= h

xgxfhxghxflimh

)()()()(0

⋅−+⋅+→

=h

xgxfhxgxfhxgxfhxghxflimh

)()()()()()()()(0

⋅−+⋅++⋅−+⋅+→

= h

xgxfhxgxflimh

hxgxfhxghxflimhh

)()()()()()()()(00

⋅−+⋅+

+⋅−+⋅+→→

= h

xghxgxflimh

hxgxfhxflimhh

))()()(()())()((00

−++

+−+→→

= h

xghxglimxfhxglimh

xfhxflimhhh

)()()()()()(000

−+⋅++⋅

−+→→→

=f’(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g’(x)

Lo que concluye la demostración del teorema.

224

EJEMPLO II.2.5.1.

Determine las derivadas de las siguientes funciones:

• f(x) = (x2 – 4)(3x + 1) ⇒ f’(x) = dxd (x2 – 4) ⋅ (3x + 1) + (x2 – 4) ⋅

dxd (3x + 1)

= 2x ⋅ (3x + 1) + (x2 – 4) ⋅ 3

• f(x) = (4x + 4)3(x2 – 1)8 ⇒ f´(x) = dxd (4x + 4)3 ⋅ (x2 – 1)8 + (4x + 4)3 ⋅

dxd (x2 – 1)8

= 3(4x + 4)2

dxd (4x + 4) ⋅ (x2 – 1)8 + (4x + 4)3 ⋅ 8(x2 – 1)7

dxd (x2 – 1)

= 3(4x + 4)2 ⋅ 4 ⋅ (x2 – 1)8 + (4x + 4)3 ⋅ 8(x2 – 1)7 ⋅ 2x

= (12(x2 – 1) + 16x(4x + 4))(4x + 4)2(x2 – 1)7

= (12x2 – 12 + 64x2 + 64x)(4x + 4)2(x2 – 1)7

= (76x2 + 64x2 – 12)(4x + 4)2(x2 – 1)7

• f(x) = (x2 + x + 1)7(8 – x3)4 ⇒

f'(x) = dxd (x2 + x + 1)7 ⋅ (8 – x3)4 + (x2 + x + 1)7 ⋅

dxd (8 – x3)4

= 7(x2 + x + 1)6

dxd (x2 + x + 1) ⋅ (8 – x3)4 + (x2 + x + 1)7 ⋅ 4(8 – x3)3

dxd (8 – x3)

= 7(x2 + x + 1)6(2x + 1) ⋅ (8 – x3)4 + (x2 + x + 1)7 ⋅ 4(8 – x3)3(-3x2)

= (7(2x + 1)(8 – x3) – 12x2(x2 + x + 1)) (x2 + x + 1)6(8 – x3)3

= ((14x + 7)(8 – x3) – 12x4 – 12x3 – 12x2)(x2 + x + 1)6(8 – x3)3

= (112x + 56 – 14x4 – 7x3 – 12x4 – 12x3 – 12x2)(x2 + x + 1)6(8 – x3)3

= (56 + 112x – 12x2 – 19x3 – 26x4)(x2 + x + 1)6(8 – x3)3

TEOREMA. Sean f y g dos funciones reales, entonces la derivada del cuociente f / g, se

encuentra dada por

(f / g)’(x) = 2))(()(')()()('

xgxgxfxgxf ⋅−⋅

Esto es, la derivada de la primera función (el numerador) por la segunda función (el

denominador) sin derivar menos la primera función multiplicada por la derivada de la

segunda función. Todo partido por el cuadrado de la función denominador del cuociente.

Demostración.

(f / g)’(x) = h

xgfhxgflimh

))(/())(/(0

−+→

= h

xgxf

hxghxf

limh

)()(

)()(

0

−++

→

225

=)()(

)()()()(0 xghxgh

hxgxfxghxflimh ⋅+⋅

+−+→

= )()(

)()()()()()()()(0 xghxgh

hxgxfxfxgxfxgxghxflimh ⋅+⋅

+−+−+→

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

+−+

⋅⋅+→ h

xgxfhxgxfh

xgxfxghxfxghxg

limh

)()()()()()()()()()(

10

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

+−+

⋅⋅+ →→→ h

xgxfhxgxflimh

xgxfxghxflimxghxg

limhhh

)()()()()()()()()()(

1000

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

+−+

⋅→→ h

xghxgxflimh

xgxfhxflimxg hh

))()()(()())()(())((

1002

= h

xghxglimxfxgh

xfhxflimxg hh

))()(()()())()(())((

1002

−+−⋅

−+⋅

→→

= ( ))(')()()('))((

12 xgxfxgxf

xg−⋅

= 2))(()(')()()´(

xgxgxfxgxf −

Lo que termina por demostrar el teorema.

Es muy importante observar, que la formula de la derivada del cuociente de funciones no

es conmutativa, esto es, importa el orden de las funciones para aplicar la formula.

EJEMPLO II.2.5.2.

Determine la derivada de la siguiente función:

f(x) = (x2 – 5x) / (x3 – 3x + 1)

f'(x) = (dxd (x2 – 5x) ⋅ (x3 – 3x + 1) – (x2 – 5x)

dxd (x3 – 3x + 1)) / (x3 – 3x + 1)2

= ((2x – 5)(x3 – 3x + 1) – (x2 – 5x)(3x2 – 3)) / (x3 – 3x + 1)2

Cuando se quiere encontrar la derivada de una función con combinaciones de productos y

cuocientes de otras funciones, es vital ser ordenados para aplicar correctamente las

formulas anteriores.

EJEMPLO II.2.5.3.

Encuentre la derivada de la función real:

f(x) = (3x – 5)(x2 + 1) / (x2 – 1)

f'(x) = (dxd ((3x – 5)(x2 + 1)) ⋅ (x2 – 1) – (3x – 5)(x2 + 1)

dxd (x2 – 1) ) / (x2 – 1)2

= ((dxd (3x – 5)⋅(x2 + 1) + (3x – 5)

dxd (x2 + 1))(x2– 1) – (3x – 5)(x2 + 1)2x) / (x2 – 1)2

226

= ((3(x2 + 1) +(3x – 5)2x)(x2 – 1) – (3x – 5)(x2 + 1)2x) / (x2 – 1)2

ACTIVIDAD II.2.5.4.

1. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) xx

xxf++

= 3

2 2)(

b) 1

1)( 2 +=

xxf

c) 2

)( 3 −=

xxxf

d) xx

xxf++

= 4

1)(

e) 1

352)( 2

23

++++

=x

xxxxf

Solución:

a) f’(x) = dxd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

xxx

3

2 2 = (dxd (x2 + 2) ⋅ (x3 + x) – (x2 + 2)

dxd (x3 + x)) / (x3 + x)2

= 23

223

)()13)(2()(2

xxxxxxx

+++−+ = 23

22424

)(26322

xxxxxxx

+−−−−+ = 23

24

)(25

xxxx

+−−− =

23

24

)(25

xxxx+

++−

b) f’(x) = dxd (1/(x2 + 1)) = - 2x / (x2 + 1)2

c) f’(x) = dxd (x / (x3 – 2)) = 23

23

)2(32

−⋅−−

xxxx = 23

33

)2(32

−−−

xxx = 23

3

)2(22

−−−

xx = 23

3

)2()1(2

−+

−x

x

d) f’(x) = dxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

xxx4

1 = 24

34

)()14)(1()(

xxxxxx

+++−+ = 24

344

)(144

xxxxxxx

+−−−−+ =

24

34

)(143

xxxx

+−−− = 24

34

)(143

xxxx

+++

−

e) f’(x) = dxd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+++1

3522

23

xxxx = 22

2322

)1(2)352()1)(543(

++++−+++

xxxxxxxx =

22

24

)1(522

++−−

xxxx


a) f(x) = (2x + 1)(3x – 2)5

b) f(x) = (x – 1)10(x2 – 3x)6

c) f(x) = (x2 – 2x + 7)(x4 – x2 + x)6

d) 1)( 2 += xxxf

227

e) 3 43 2)2()( xxxxf ++=

f) 4)1()( 31 ++= − xxxf

g) f(x) = (x + 3)(x – 3)4(x + 2)8

h) f(x) = (2x – 3)(x2 + 1)5(4x + 5)10

i) 3 23)3()( +−+= xxxxf

j) f(x) = (2x + 1)8(x2 + x)4(x4 – 3x)1/3

Solución:

a) f’(x) = dxd (2x + 1)(3x – 2)5 = 2(3x – 2)5 + (2x + 1) ⋅ 5 ⋅ (3x – 2)4 = (2(3x – 2) + 5(2x +

1))(3x – 2)4 = (6x – 4 + 10x + 5)(3x – 2)4 = (16x + 1)(3x – 2)4

b) f’(x) = dxd ((x – 1)10(x2 – 3x)6) = 10(x – 1)9(x2 – 3x)6 + (x – 1)106(x2 – 3x)5(2x – 3) =

(10(x2 – 3x) + 6(x – 1)(2x – 5))(x – 1)5(x2 – 3x)5 = (10x2 – 30x +12x2 – 12x – 30x +

30)(x – 1)5(x2 – 3x)5 = (22x2 – 72x + 30)(x – 1)5(x2 – 3x)5

c) f’(x) = dxd ((x2 – 2x + 7)(x4 – x2 + x)6) = (2x – 2)(x4 – x2 + x)6 + (x2 – 2x + 7)6(x4 – x2 +

x)5(4x3 – 2x + 1) = ((2x – 2)(x4 – x2 + x) + 6(x2 – 2x + 7)(4x3 – 2x +1))(x4 – x2 + x)5 =

(2x5 – 2x3 + 2x2 – 2x4 + 2x2 – 2x + 24x5 – 48x4 + 168x3)(x4 – x2 + x)5 = (26x5 – 50x4 +

154x3 + 34x2 – 98x + 42)(x4 – x2 + x)5

d) f’(x) = dxd (x2 1+x ) = 2x ⋅ 1+x +x2 ⋅ 1 / 2 1+x = (2x ⋅ (x + 1) + x2) / 2 1+x =

(2x2 + 2x + x2) / 2 1+x = (3x2 + 2x) / 2 1+x

e) f’(x) = dxd ((x3 + 2) 3 4 2xx + ) = 3x2 ⋅ 3 4 2xx + + (x3 + 2) ⋅ 1 / 3 ⋅ (x4 + 2x)-2/3(4x3 + 2)

f) f’(x) = dxd

g) f’(x) = dxd ((x + 3)(x – 3)4(x + 2)8) = (x – 3)4(x + 2)8 + (x + 3)(4(x – 3)3(x + 2)8 + 8(x –

3)4(x + 2)7) = (x – 3)4(x + 2)8 + 4(x + 3)(x – 3)3(x + 2)8 + 8(x + 3)(x – 3)4(x + 2)7 = ((x

– 3)(x + 2) + 4(x + 3)(x + 2) + 8(x + 3)(x – 3))(x – 3)3(x + 2)7 = (x2 – x – 6 + 4x2 + 20x

+ 24 + 8x2 – 72)(x – 3)3(x + 2)7 = (13x2 + 19x + 54)(x – 3)3(x + 2)7

h) f’(x) = dxd ((2x – 3)(x2 + 1)5(4x + 5)10) = 2(x2 + 1)5(4x + 5)10 + (2x – 3)(5(x2 + 1)42x(4x

+ 5)10 + (x2 + 1)510(4x + 5)94) = ((2(x2 + 1)(4x + 5) + 2x(2x – 3)(4x + 5) + (2x –

3)40(x2 + 1))(x2 + 1)4(4x + 5)9 = ((2x2 + 2)(4x + 5) + (4x2 – 6x)(4x + 5) + (80x –

120)(x2 + 1))(x2 + 1)4(4x + 5)9 = (8x3 + 8x + 10x2 + 10 + 16x3 – 24x2 + 20x2 – 30x +

80x3 – 120x2 + 80x – 120)(x2 + 1)4(4x + 5)9 = (104x3 – 114x2 + 58x – 110)(x2 + 1)4(4x

+ 5)9

228

i) f’(x) = dxd ((x + 3) 3−x 3 2+x ) = 3−x 3 2+x + (x + 3)( 3 2+x / 2 3−x +

3−x / 3( 3 2+x )2

j) f’(x) = dxd ((2x + 1)8(x2 + x)4(x4 – 3x)1/3) = 8(2x + 1)72(x2 + x)4(x4 – 3x)1/3 + (2x +

1)8(4(x2 + x)3(2x + 1)(x4 – 3x)1/3 + (x2 + x)4 ⋅ 1/3 ⋅ (x4 – 3x)-2/3 ⋅ (4x3 – 3)) = (16(x2 + x)

+ (2x + 1)(8x + 4) + (x2 + x)(x4 – 3x)(4x3 – 3)/ 3))(2x + 1)7(x2 + x)3(x4 – 3x)-2/3

3. Determine las derivadas de las siguientes funciones

a) 1

4)(3

++

=xxxf

b) 1

)(2

+=

xxxf

c) 11)(

2

3 3

+

+=

xxxf

d) xxxxxf

−−+

= 2

12)1()(

Solución:

a) f’(x) = (½ (x3 + 4)-½ 3x2(x + 1) – (x3 + 4)½) / (x + 1)2 = (3x3 – 3x2 – 2x3 – 8) / 2(x3 + 4)½

(x + 1)2 = x3 + 3x2 – 8 / 2(x3 + 4)½ (x + 1)2

b) f’(x) = (2x(x + 1)½ - x2/2(x + 1)–½ ) / (x + 1) = (4x(x + 1) – x2) / 2(x + 1)3/2 = (3x2 + 4x)

/ 2(x + 1)3/2

c) f’(x) = (1/3(x3 + 1)-2/3(3x2)(x2 + 1)½ - (x3 + 1)1/3 ⋅ ½ (x2 + 1)-½ ⋅ 2x) / (x2 + 1) = (x2(x2 +

1) – (x3 + 1)x) / (x2 + 1)(x3 + 1)2/3(x2 + 1)½ = (x4 + x2 – x4 – x) / (x2 + 1)(x3 + 1)2/3(x2 +

1)½ = (x2 – x) / (x2 + 1)3/2(x3 + 1)2/3

d) f’(x) = (((2x – 1)½ + (x + 1) ⋅ ½ ⋅ (2x – 1)–½ ⋅ 2)(x2 – x) – (x + 1)(2x – 1)½ (2x – 1)) /

(x2 – x)2 = (((2x – 1) + (x + 1))(x2 – x) – 8x + 1)(3x – 1)2) / (x2 – x)2 (2x – 1)½ = (3x3 –

3x2 – 4x3 + 4x2 – x – 4x2 + 4x – 1) / (x2 – x)2(2x – 1) ½ = (-x3 – 3x2 + 3x – 1) / (x2 –

x)2(2x – 1)½



a) f(x) = (x2 + 2x)(3x + 1)

b) f(x) = (2x3 + 6x)(7x – 5)

c) f(x) = (x3 + 6x2 – 2x + 1)(x2 + 3x – 5)

d) f(x) = (x4 + 2x – 3)(x6 – 7x5 + 8x3 + 9x2 + 1)

e) f(x) = (x2 + 2x – 6)(3x – 2)(x2 + 5)

f) f(x) = (2x2 + x-2)(x2 – 3)(4x + 1)


229

a) f(x) = (2x + 3)2(x2 + 1)

b) f(x) = (x2 + 1)2(x3 – 2x)2

c) f(x) = (x3 + 2x – 6)3(x2 – 4x + 5)7

d) f(x) = (x2 – x-1 + 1)(x3 + 2x –6)7

e) f(x) = (x + 5)2(3x – 6)3(7x2 + 1)4

f) f(x) = (2x2 + 6x – 1)3(x2 + 5)5(x2 – 7)6

3. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) x

xxxf 432)(2 +−

=

b) 4

23 234)(x

xxxxf −+−=

c) 3223)(

+−

=xxxf

d) 11)( 2

2

−+

=xxxf

e) 11)(

+−

=xxxf

f) 2

3 53)(x

xxxf +−=

g) 3425)(

+−

=xxxf

h) 22

1)( 2 +++

=xx

xxf

i) 3

23 2432)(x

xxxxf −+−=

j) 2332)(

−+

=xxxf

k) 1

)( 2 +=

xxxf

l) 32432)( 2

2

+−+−

=xxxxxf


a) )52(32

1)( −++

= xxxxf

b) )1(1

6)( 22

2

++++−

= xxx

xxxf

c) )6(132)( −++

= xx

xxf

d) )5(621)( 2

2

++−

= xx

xxf

230

e) 2

2

)62()23()(

−−

=xxxf

f) 2

232

)62()43)(12()(

+−+−+

=x

xxxxxf

g) 312

22

)()2()(−+

+=

xxxxf

h) 22

32

)2()1()(

++

=xxxf

i) 22

1

)3()62()(−

−

+−

=x

xxf

j) 7

4

)1()62()(

+−

=xxxf

k) 223

121

)2()()(

−−

−−

−+

=xxxxxf

RESPUESTAS

1.

a) f’(x) = 9x2 + 14x + 2

b) f’(x) = 56x3 – 30x2 + 84x – 30

c) f’(x) = 5x4 + 36x3 + 33x2 – 70x + 13

d) f’(x) = (4x3 + 2)(x6 – 7x5 + 8x3 + 9x2 + 1) + (x4 + 2x – 3)(6x5 – 35x4 + 24x2 + 18x)

e) f’(x) = (2x + 2)(3x – 2)(x2 + 5) + (x2 + 2x – 6)(9x2 – 4x + 15)

f) f’(x) = 40x4 + 8x3 – 72x2 – 12x + 4 + 12x-2 + 6x-3

2.

a) f´(x) = (8x2 + 6x + 4)(2x + 3)

b) f’(x) = (x2 + 1)(x3 – 2x)(10x4 – 6x2 – 4)

c) f’(x) = (23x4 – 64x3 + 79x2 – 164x + 198)(x3 + 2x – 6)2(x2 – 4x + 5)6

d) f’(x) = (23x4 + 33x2 – 33x – 12x-1+ 14)(x3 + 2x – 6)6

e) f’(x) = (273x3 + 735x2 – 1665x + 33)(x + 5)(3x - 6)2(7x2 + 1)3

f) f’(x) = (57x5 + 150x4 – 66x3 – 96x2 – 410x – 630)(2x2 + 6x – 1)2(x2 + 5)4(x2 – 7)5

3.

a) f’(x) = (2x2 – 4) / x2

b) f’(x) = (-x3 + 8x2 – 9x + 8) / x5

c) f’(x) = 13 / (2x + 3)2

d) f’(x) = - 4x / (x2 – 1)2

e) f’(x) = 2 / (x + 1)2

f) f’(x) = (x3 + 3x – 10) / x3

g) f’(x) = 23 / (4x + 3)2

231

h) f’(x) = - (x2 + 2x) / (x2 + 2x + 2)2

i) f’(x) = (3x2 – 8x + 6) / x4

j) f’(x) = - 13 / (3x – 2)2

k) f’(x) = (1 – x2) / (x2 + 1)2

l) f’(x) = - (x2 – 4x + 1) / (x2 – 2x + 3)2

4.

a) f’(x) = (4x2 + 12x + 1) / (2x + 3)2

b) f’(x) = (x2 – 10x – 1)(x2 + x + 1) / (x2 + 1)2 + (x2 – x + 6)(2x + 1) / (x2 + 1)

c) f’(x) = (3x2 + 2x + 32) / (3x + 1)2

d) f’(x) = (6x4 + 24x3 + 8x2 + 48x + 10) / (2x + 6)2

e) f’(x) = (-84x + 56) / (2x – 6)3

f) f’(x) = (12x5 + 68x4 + 88x3 + 48x2 + 76x – 100) / (2x + 6)3

g) f’(x) = (-2x3 – 12x + 7 + 6x-2)(x2 + 2) / (x2 + x-1)4

h) f’(x) = (x2 + 1)2(2x3 + 8x) / (x2 + 2)3

i) f’(x) = (6x2 – 24x – 6)(x2 + 3) / (2x – 6)2

j) f’(x) = (2x – 6)3(50 – 6x) / (x + 1)8

k) f’(x) = (x3 – 2x-2)(4x4 + 7x + 12x-1 + 6x-4) / (x-1 + x2)2

RESUMEN

En esta sección se estudian los teoremas que permiten calcular la derivada del producto y

cuociente de funciones.

AUTOEVALUACION


1. La derivada de f ⋅ g es el producto de las derivadas.

2. La derivada de f / g es f' / g'

3. La derivada de f ⋅ g / h = f' ⋅ g' / h'

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Falso.

3. falso.

GLOSARIO


232

Límite: Elemento del codominio de una función al cual se acercan las imágenes de esta en

la medida que las preimagenes tienden a un valor fijo.


SIMBOLOS




⇒ : Implica.

= : Igual que.

233

II.2.6. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

La derivada más sencilla de recordar es la correspondiente a la función exponencial, en

efecto, consideremos la función:

f: ℝ → ℝ

x a ex

Entonces, la derivada de f se encuentra dada por

f´(x) = ex

Es decir, la derivada de una función exponencial corresponde a la misma función

exponencial.

La notación aplicada para las funciones exponenciales, puede ser ex o exp(x), por lo que es

posible escribir esta regla de derivación de varias maneras:

dxd ex = ex

dxd exp(x) = exp(x)

Por supuesto, para evaluar derivadas que involucren funciones exponenciales, pero que

tengan argumentos más complejos, es necesario aplicar la regla de la cadena.

EJEMPLO II.2.6.1.

Determinar la derivada de la función real:

f(x) = exp(3x2+5x+1)

f'(x) =exp(3x2+5x+1)(6x+6)

Se debe observar además, que en algunos casos es posible aplicar los teoremas del álgebra

de derivadas y las propiedades de la función exponencial como una alternativa a la regla

de la cadena.

EJEMPLO II.2.6.2.

Encontrar la derivada de la función exponencial:

f(x) = exp(x2+5)

Por la regla de la cadena, sabemos que: f'(x) = exp(x2+5)2x. Aplicando el álgebra de

derivadas y las propiedades de la función exponencial, se tiene

f'(x) = dxd exp(x2+5) =

dxd (exp(x2) ⋅ e5) = e5

dxd exp(x2) = e5exp(x2)2x =exp(x2+5)2x

Que corresponde al mismo resultado encontrado por la aplicación de la regla de la cadena.

234

Cuando la base no corresponde al número de Euler, es posible utilizar la función

logaritmo, como función inversa de la exponencial, para escribir:

Ax = exp(ln(Ax)) = exp(x ⋅ ln(A))

Lo que nos lleva a la siguiente formula de derivada:

dxd Ax =

dxd exp(x ⋅ ln(A)) = exp(x ⋅ ln(A)) ⋅ ln(A) = exp(ln(Ax)) ⋅ ln(A) = Ax ⋅ ln(A)

EJEMPLO II.2.6.3.

Encontrar la derivada de la función:

f(x) = 10x

f'(x) = 10x ⋅ ln(10)

La misma técnica puede utilizarse para calcular funciones más complejas, donde aparece la

variable x tanto en la base como en la potencia.

EJEMPLO II.2.6.4.

Derivar la función real:

f(x) = xx

f'(x) = dxd xx

= dxd exp(ln(xx))

= dxd exp(x ⋅ ln(x))

= exp(x ⋅ ln(x)) dxd (x ⋅ ln(x))

= exp(x ⋅ ln(x)) (1 ⋅ ln(x) + x ⋅ dxd ln(x))

= exp(ln(xx) (ln(x) + x ⋅ dxd ln(x))

= xx(ln(x) + x ⋅ dxd ln(x))

Ahora, para terminar este ejemplo, nos falta conocer la derivada de la función logaritmo

natural.

La formula de la derivada de la función logaritmo natural es un poco más compleja que la

de la función exponencial. En efecto, si f es una función real tal que:

235

f(x) : ℝ → ℝ

x a ln(x)

Entonces, su derivada se encuentra dada por la relación:

f'(x) = 1 / x

Para encontrar la derivada de funciones logaritmo natural con argumentos más complejos,

aplicamos la regla de la cadena.

EJEMPLO II.2.6.5.

Determine la derivada de la función real:

f(x) = ln(x3 + 3x2 + 5x + 1)

f'(x) = 1 / (x3 + 3x2 + 5x + 1) ⋅ (3x2 + 6x + 5) = (3x2 + 6x + 5) / (x3 + 3x2 + 5x + 1)

En el caso de querer encontrar la derivada de funciones logarítmicas en bases que no sean

la natural, aplicamos la propiedad de los logaritmos de cambio de base:

logb(x) = ln(x) / ln(b)

EJEMPLO II.2.6.6.

Determine la derivada de la función logaritmo:

f(x) = log(3x2 + 1)

f´(x) = dxd ln(3x2 + 1) / ln(10)

= 1 / ln(10) ⋅ dxd ln(3x2 + 1)

= 1 / ln(10) ⋅ 1 / (3x2 + 1) ⋅ dxd (3x2 + 1)

= 1/ ln(10) ⋅ 1 / (3x2 + 1) ⋅ 6x

= 6x / ln(10)(3x2 + 1)

Antes de comenzar con las actividades, se insta al lector a verificar que el resultado del

ejemplo II.2.6.4. es f'(x) = xx(ln(x) + 1)

ACTIVIDAD II.2.6.7.


a) f(x) = ln(3x + b)2

b) f(x) = ln(ax + 2)

c) f(x) = ln(3x2 + b)

236

d) f(x) = ln (2xn)

e) f(x) = ln(2x3 – 3x2 + 5)

f) f(x) = ln( x2 / (3 + x2))

g) f(x) = ln 222 x−

h) f(x) = 2x ⋅ ln(x)

i) f(x) = ln(x3 + 1)

j) f(x) = ln(x – 1)

k) f(x) = ln(2x3)

l) f(x) = ln 21 x−

m) f(x) = x ⋅ ln(x) – 2x

n) f(x) = ln(x4)

o) f(x) = x ⋅ ln(x)

Solución:

a) a) f’(x) = 6 / (3x + b)

b) f’(x) = a / (ax + 2)

c) f’(x) = 6x / (3x2 + b)

d) f’(x) = n / x

e) f’(x) = 6x(x – 1) / (2x3 – 3x2 + 5)

f) f’(x) = 6 / x(3 + x2)

g) f’(x) = - 2x / (3 – 2x2)

h) f’(x) = 2 + 2ln(x)

i) f’(x) = 3x2 / (x3 + 1)

j) f’(x) = 1 / (x – 1)

k) f’(x) = 3 / x

l) f’(x) = x / (x2 – 1)

m) f’(x) = ln(x) – 1

n) f’(x) = 4 / x

o) f’(x) = 1 + ln(x)


a) f(x) = log(3 / x)

b) f(x) = log(2x + 1)

Solución:

a) f´(x) = - log(e) / x

b) f’(x) = 2log(e) / (2x + 1)


a) f(x) = e2x

b) f(x) = 7nx

237

c) f(x) = 3 / ex

d) f(x) = 2xe

Solución:

a) f’(x) =2e2x

b) f’(x) = n7nx ⋅ ln(7)

c) f’(x) = - 3ex / e2x

d) f’(x) = 2x ⋅2xe

RESUMEN

TABLA RESUMEN DERIVADAS

FUNCIONES EXPONENCIAL Y

LOGARITMICA

f(x) f’(x)

ex ex

Ln(x) 1 / x

ax ax ln(A)

logb(x) 1 / x ⋅ ln(b)

AUTOEVALUACION


1. La derivada de una función exponencial de cualquier base es ella misma.

2. La derivada de una función logarítmica no se encuentra definida en cero.

3. La derivada de xx es xxx-1= xx.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Verdadero.

3. Falso.

GLOSARIO

Algebra de Derivadas: Conjunto de teoremas que establecen la manera de calcular la

derivada de suma, producto y cuociente de funciones.

238


Función Exponencial: Función cuya relación es una expresión exponencial.

Función Inversa: Relación que asocia a cada imagen de una función su respectiva

preimagen.

Función Logaritmo: Función cuya relación es una expresión logarítmica.

Función Logaritmo Natural: Función cuya relación es una expresión logaritmo natural.


Número de Euler: Número irracional correspondiente a 2.71…

Regla de la Cadena: Teorema que establece la manera calcular la derivada de una

composición de funciones.

SIMBOLOS


f(x) : Función real.

f'(x) : Primera derivada de una función real.

dxd : Derivada de una función.

ln(x) : Función logaritmo natural.

logb(x) : Función logaritmo en base b.

exp(x) : Función exponencial.

ex : Función exponencial.

= : Igual que.

239

II.2.7. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO

Las derivadas de las funciones trigonométricas seno y coseno se encuentran muy

relacionadas entre si. En efecto, veremos a continuación que la derivada de la función seno

es la función coseno, mientras que la derivada de la función coseno es el inverso aditivo de

la función seno.

La deducción de estas derivadas se basa en propiedades de las funciones trigonométricas

estudiadas en el capítulo I, y propiedades de los límites de funciones reales.

Teorema : Derivada de función seno es la función coseno.

dxd (sen(x)) = cos(x)

Demostración:

dxd (sen(x)) =

hxhxlim

h

)sen()sen(0

−+→

= h

xhxhxlimh

)sen()sen()cos()cos()sen(0

−⋅+⋅→

= h

hxlimh

xhxlimhh

)sen()cos()sen()cos()sen(00 →→

+−⋅

= h

hxlimh

hxlimhh

)sen()cos()1)(cos()sen(00 →→

+−⋅

= h

hlimxhhlimx

hh

)sen()cos()1)(cos()sen(00 →→

+−

= 1)cos(1)cos(1)cos()1)(cos()sen(

0⋅+

++

⋅−

→x

hh

hhlimx

h

= )cos()1)(cos()1)(cos()sen(

2

0x

hhhlimx

h+

+−

→

= )cos()1)(cos(

)sen()sen(2

0x

hhhlimx

h+

+→

= )cos(1)cos(

)sen()sen()sen(0

xh

hh

hlimxh

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅→

= )cos(1)cos(

)sen()sen()sen(00

xh

hlimh

hlimxhh

++

⋅→→

= )cos(201)sen( xx +⋅⋅

= 0 + cos(x)

= cos(x)

Lo que demuestra el teorema.

240

EJEMPLO II.2.7.1.

Determine las derivadas de las siguientes funciones:

• f(x) = a sen(bx + c) ⇒ f’(x) = a cos(bx + c) ⋅ b

• f(x) = sen(x2 + 5x + 1) ⇒ f´(x) = cos(x2 + 5x + 1) ⋅ (2x + 5)

• f(x) = 10sen2(x) + 5sen(x2) ⇒ f’(x) = 20sen(x) ⋅ cos(x) + 5sen(x2) ⋅ 2x

= 20sen(x) ⋅ cos(x) + 10sen(x2) ⋅ x

El razonamiento para encontrar la derivada de la función coseno es bastante parecido y lo

revisamos a continuación.

Teorema. Derivada función coseno es el inverso aditivo de la función seno.

dxd (cos(x)) = - sen(x)

Demostración:

dxd (cos(x)) =

hxhxlim

h

)cos()cos(0

−+→

= h

xhxhxlimh

)cos()sen()sen()cos()cos(0

−⋅−⋅→

= h

hxlimh

xhxlimhh

)sen()sen()cos()cos()cos(00 →→

−−⋅

= h

hxlimh

hxlimhh

)sen()sen()1)(cos()cos(00 →→

−−⋅

= h

hlimxhhlimx

hh

)sen()sen()1)(cos()cos(00 →→

−−

= 1)sen(1)cos(1)cos()1)(cos()cos(

0⋅−

++

⋅−

→x

hh

hhlimx

h

= )sen()1)(cos()1)(cos()cos(

2

0x

hhhlimx

h−

+−

→

= )sen()1)(cos(

)sen()cos(2

0x

hhhlimx

h−

+→

= )sen(1)cos(

)sen()sen()cos(0

xh

hh

hlimxh

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅→

= )sen(1)cos(

)sen()sen()cos(00

xh

hlimh

hlimxhh

−+

⋅→→

= )sen(201)cos( xx −⋅⋅

= 0 – sen(x)

= - sen(x)

241

EJEMPLO II.2.7.2.

Determine la derivada de la siguientes funciones:

• f(x) = cos(3x – 5) ⇒ f'(x) = - sen (3x – 5) ⋅ 3

• f(x) = cos(x2 + x + 1) ⇒ f'(x) = - sen(x2 + x + 1) ⋅ (2x + 1)

• f(x) = cos2(x) ⇒ f'(x) = dxd cos2(x)

= dxd ½ (1 + cos(2x))

= - 1/2 sen(2x)⋅ 2

= - sen(2x)

Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen la importante propiedad de que sus

cuartas derivadas, recuperan la función original. En efecto, si f(x) = sen(x), entonces:

f´(x) = cos(x)

f´´(x) = - sen(x)

f'''(x) = - cos(x)

fiv(x) = sen(x)

De la misma forma, si f(x) = cos(x), se tiene:

f'(x) = - sen(x)

f´´(x) = - cos(x)

f´´´(x) = sen(x)

fiv(x) = cos(x)

EJEMPLO II.2.7.3.

Encuentre la primera, segunda, tercera y cuarta derivada de la función siguiente:

• f(x) = sen(x2 + x + 1) ⇒ f'(x) = cos(x2 + x + 1)(2x + 1)

f''(x) = - sen(x2 + x + 1) ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x + 1) + cos(x2 + x + 1)2

= - sen(x2 + x + 1) (2x + 1)2 + 2cos(x2 + x + 1)

f'''(x) = - cos(x2 + x + 1)(2x + 1)3 – sen(x2 + x + 1)2(2x + 1)2 – 2sen(x2 + x +1)(2x + 1)

= - cos(x2 + x + 1)(2x + 1)3 – 6sen(x2 + x + 1)(2x + 1)

fiv(x) = sen(x2 + x + 1)(2x + 1)4 – cos(x2 + x + 1)3(2x + 1)22 – 6cos(x2 + x + 1)(2x + 1)2 –

6sen(x2 + x + 1)2

= sen(x2 + x + 1)(2x + 1)4 – 12cos(x2 + x + 1)(2x + 1)2 – 12sen(x2 + x + 1)

Para encontrar la derivada de combinaciones de funciones seno y coseno, se aplican todas

las reglas conocidas del álgebra de derivadas.

242

EJEMPLO II.2.7.4.

Encuentre la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:

• f(x) = sen(2x) ⋅ cos(3x) ⇒ f'(x) = dxd sen(2x) ⋅ cos(3x) + sen(2x)

dxd cos(3x)

= 2 cos(2x) ⋅ cos(3x) – sen(2x) sen(3x) 3

= 2 cos(2x)cos(3x) – 3 sen(2x)sen(3x)

• f(x) = sen(3x) + cos(2x) ⇒ f'(x) = 3cos(3x) – 3sen(2x)

• f(x) = tan(x) ⇒ f'(x) = dxd (sen(x) / cos(x))

= (dxd sen(x) ⋅ cos(x) – sen(x)

dxd cos(x) ) / cos2(x)

= (cos(x) ⋅ cos(x) + sen(x) ⋅ sen(x) ) / cos2(x)

= (cos2(x) + sen2(x)) / cos2(x)

= 1 / cos2(x)

= sec2(x)

La regla de la cadena, también es aplicable en el caso de encontrarnos con la composición

de funciones trigonométricas, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO II.2.7.5.

Determine la derivada de la función compuesta:

f(x) = sen(sen(x)) ⇒ f'(x) = cos(sen(x)) ⋅ cos(x)

ACTIVIDAD II.2.7.6.

1. Encontrar la derivada de las funciones presentadas a continuación. Este problema y los

dos siguientes, fueron sugeridos por Michael Spivak en su libro CALCULUS; en donde

este autor, con delicado sentido de humor, invitaba a sus lectores a imitarlo en la

velocidad de resolución (según él no más de 20 minutos).

a) f(x) = sen(x + x2)

b) f(x) = sen(x) + sen(x2)

c) f(x) = sen(cos(x))

d) f(x) = sen(sen(x))

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxxf )cos(sen)(

f) x

xxf ))sen(cos()( =

g) f(x) = sen(x + sen(x))

h) f(x) = sen( cos (sen(x)))

243

Solución:

a) f’(x) = cos(x + x2) ⋅ dxd (x + x2) = cos(x +x2) ⋅ (1 + 2x)

b) f’(x) = cos(x) + cos(x2) ⋅ 2x

c) f’(x) = dxd (sen(cos(x)) = cos(cos(x)) ⋅

dxd (cos(x)) = - cos(cos(x)) ⋅ sen(x)

d) f’(x) = dxd (sen(sen(x)) = cos(sen(x)) ⋅

dxd (sen(x)) = cos(sen(x)) ⋅ cos(x)

e) f’(x) = dxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xx)cos(sen = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

xx)cos(cos

dxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xx)cos( = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

xx)cos(cos ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

2

)cos()sen(x

xxx = - ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xx)cos(cos ⋅ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

2

)cos()sen(x

xxx

f) f’(x) = (-cos(cos(x)) ⋅ sen(x) ⋅ x – sen(cos(x)) / x2 = - cos(cos(x)) ⋅ sen(x) / x –

sen(cos(x)) / x2

g) f’(x) = cos(x + sen(x)) ⋅ (1 + cos(x))

h) f’(x) = cos(cos(sen(x))) ⋅ dxd cos(sen(x)) = - cos(cos(sen(x))) ⋅ sen(sen(x)) ⋅

dxd sen(x) =

- cos(cos(sen(x))) ⋅ sen(sen(x)) ⋅ cos (x)

2. Hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas:

a) f(x) = sen((x + 1)2(x + 2))

b) f(x) = sen3(x2 + sen(x))

c) f(x) = sen2((x + sen(x))2)

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)cos(sen)( 3

3

xxxf

e) f(x) = sen(x⋅sen(x)) + sen(sen(x2))

f) 231))(cos()( xxf =

g) f(x) = sen2(x)sen(x2)sen2(x2)

h) f(x) = (x +sen5(x))6

i) f(x) = sen(sen(sen(sen(sen(x)))))

j) f(x) = sen((sen7(x7)+1)7)

k) f(x) = sen(x2 + sen(x2 + sen(x2)))

l) f(x) = sen(6cos(6sen(6cos(6x))))

Solución:

a) f’(x) = cos((x + 1)2(x + 2)) ⋅ dxd ((x + 1)2(x + 2)) = cos((x + 1)2(x + 2)) ⋅ (2(x + 1)(x + 2)

+ (x + 1)2) = cos((x + 1)2(x + 2)) ⋅ (2x2 + 6x + 4 + x2 + 2x + 1) = cos((x + 1)2(x + 2)) ⋅

(3x2 + 8x +5)

b) f’(x) = 3sen2(x2 + sen(x)) ⋅ cos(x2 + sen(x)) ⋅ (2x + cos(x))

244

c) f’(x) = 2sen((x + sen(x))2) ⋅ cos((x + sen(x))2) ⋅ dxd ((x + sen(x))2) = 2sen((x + sen(x))2) ⋅

cos((x + sen(x))2) ⋅ 2(x + sen(x)) ⋅ dxd (x + sen(x)) = 2sen((x + sen(x))2) ⋅ cos((x +

sen(x))2) ⋅ 2(x + sen(x)) ⋅ (1 + cos(x))

d) f’(x) = cos(x3 / cos(x3)) ⋅ dxd (x3 / cos(x3)) = cos(x3 / cos(x3)) ⋅ (3x2cos(x3) –

x3sen(x3)3x2) / cos2(x3)

e) f’(x) = cos(x ⋅ sen(x)) ⋅ (sen(x) + x ⋅ cos(x)) + cos(sen(x2)) ⋅ cos(x2) ⋅ 2x

f) f´(x) = -312 1312

))(cos( −x sen(x)

g) f’(x) = dxd (sen2(x) ⋅ sen3(x2)) =

dxd sen2(x) ⋅ sen3(x2) + sen2(x) ⋅

dxd sen3(x2) =

2sen(x)cos(x)sen3(x2) + sen2(x)3sen2(x2)cos(x2)2x = 2sen(x)cos(x)sen3(x2) + 6sen2(x)

sen2(x2)cos(x2)x

h) f’(x) = 6(x + sen5(x))5 ⋅ dxd (x + sen5(x)) = 6(x + sen5(x))5 ⋅ (1 + 5sen4(x)cos(x))

i) f´(x) = dxd sen(sen(sen(sen(sen(x))))) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅

dxd sen(sen(sen(sen(x)))) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅ cos(sen(sen(sen(x)))) ⋅

dxd sen(sen(sen(x))) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅ cos(sen(sen(sen(x)))) ⋅

cos(sen(sen(x))) ⋅ dxd sen(sen(x)) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅ cos(sen(sen(sen(x)))) ⋅

cos(sen(sen(x))) ⋅ cos(sen(x)) ⋅ dxd sen(x) = cos(sen(sen(sen(sen(x))))) ⋅

cos(sen(sen(sen(x)))) ⋅ cos(sen(sen(x))) ⋅ cos(sen(x)) ⋅cos(x)

j) f’(x) = dxd sen((sen7(x7) + 1)7) = cos((sen7(x7) + 1)7) ⋅

dxd ((sen7(x7) + 1)7) = cos(sen7(x7)

+ 1)7) ⋅ 7(sen7(x7) + 1)6 ⋅ dxd (sen7(x7) + 1) = cos(sen7(x7) + 1)7) ⋅ 7(sen7(x7) + 1)6 ⋅

(7sen6(x7)cos(x7)7x6) = 73 ⋅ cos(sen7(x7) + 1)7) ⋅ (sen7(x7) + 1)6 ⋅ sen6(x7) ⋅ cos(x7) ⋅ x6

k) f’(x) = dxd sen(x2 + sen(x2 + sen(x2))) = cos(x2 + sen(x2 + sen(x2))) ⋅

dxd (x2 + sen(x2 +

sen(x2))) = cos(x2 + sen(x2 + sen(x2))) ⋅ (2x + cos(x2 + sen(x2)) ⋅ dxd (x2 + sen(x2)) =

cos(x2 + sen(x2 + sen(x2))) ⋅ (2x + cos(x2 + sen(x2)) ⋅ (2x + cos(x2) ⋅ 2x)

245

l) f’(x) = dxd sen(6cos(6sen(6cos(6x)))) = cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅

dxd (6cos(6sen(6cos(6x)))) = - 6cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅ sen(6sen(6cos(6x))) ⋅

dxd (6sen(6cos(6x))) = - 62 ⋅ cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅ sen(6sen(6cos(6x))) ⋅

cos(6cos(6x)) ⋅ dxd (6cos(6x)) = - 62 ⋅ cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅ sen(6sen(6cos(6x))) ⋅

cos(6cos(6x)) ⋅ (-6 ⋅sen(6x) ⋅ 6) = 64 ⋅ cos(6cos(6sen(6cos(6x)))) ⋅ sen(6sen(6cos(6x))) ⋅

cos(6cos(6x)) ⋅ sen(6x)


a) )sen(1

)(sen)sen()(22

xxxxf

+=

b)

)sen(2

1)(

xxx

xf

+−

=

c)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)sen(sen

sen)(3

3

xx

xxf

d)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

)sen(sen

sen)(

xxxx

xxf

Solución:

a) f’(x) = ((2xcos(x2)sen2(x) + 2sen(x2)sen(x)cos(x))(1 + sen(x)) – sen(x2)sen2(x)cos(x)) /

(1 + sen(x))2 = (2xcos(x2)sen2(x) + 2sen(x2)sen(x)cos(x)) / (1 + sen(x)) –

sen(x2)sen2(x)cos(x)) / (1 + sen(x))2

b) f’(x) = - (1 + 2(1 + cos(x)) / (x + sen(x))2) / (x – 2 / (x + sen(x))2

c) f'(x) = cos(x3 / sen(x3 / sen(x))) ⋅ (3x2 sen(x3 / sen(x)) – x3cos(x3 / sen(x)) (3x2sen(x) –

x3cos(x)) / sen2(x)) / sen2(x3 / sen(x))

d) Sea A = x –sen(x / (x – sen(x))). Entonces f'(x) = cos(x / A)(A + x(1 – cos(x/(x –

sen(x)))(sen(x) + cos(x)) / A2


1. Determine las derivadas de las siguientes funciones reales

a) f(x) = 4 ⋅ sen(2x)

b) f(x) = 3 ⋅ cos(x / 2)

c) f(x) = 3 ⋅ sen2(x / 2)

246

d) f(x) = 4 ⋅ cos(x / 3)

e) f(x) = )sen(x

f) f(x) = cos(3 / x)

g) f(x) = sen(3 / x)

h) f(x) = sen(1 – x2)

i) f(x) = sen2(x – 2)

2. Derive las siguientes funciones trigonométricas.

a) f(x) = cos(x) / x

b) f(x) = cos(2x) ⋅ sen(x)

c) f(x) = 2sen(2x)cos2(x)

d) f(x) = cos(x) + x ⋅ sen(x)

e) f(x) = 3sen(x) – x ⋅ cos(x)

f) f(x) = 6sen(x)cos(x)

g) f(x) = 4sen(x)cos(x)

h) f(x) = 2cos(x) / (x + 1)

3. Encuentre las primeras y segundas derivadas de las siguientes funciones reales

a) f(x) = sen(3x)

b) f(x) = cos2(2 + x)

c) f(x) = x ⋅ sen(x)

4. Determine las derivadas de las siguientes funciones.

a) f(x) = esen(3x)

b) f(x) = e-x ⋅ cos(x)

c) f(x) = esen(2x)

d) f(x) = ln(sen(2x))

RESPUESTAS

1.

a) f’(x) = 8 cos(2x)

b) f’(x) = -3/2 ⋅ sen(x / 2)

c) f’(x) = 3sen(x/2) ⋅ cos(x/2)

d) f’(x) = -4/3 ⋅ sen(x/3)

e) f’(x) = cos(x) / 2 )sen(x

f) f’(x) = 3sen(3/x) / x2

g) f’(x) = -3cos(3/x) / x2

h) f’(x) = -2(1 – x)cos(1 – x)2

i) f’(x) = 2sen(x – 2)cos(x – 2)

247

2.

a) f’(x) = - (x ⋅ sen(x) + cos(x)) / x2

b) f’(x) = cos(x)cos(2x) – 2sen(2x)sen(x)

c) f’(x) = -4sen(2x)cos(x)sen(x) + 4cos2(x)cos(2x)

d) f’(x) = x ⋅ cos(x)

e) f’(x) = 2cos(x) + x sen(x)

f) f’(x) = -6sen2(x) + 6cos2(x)

g) f’(x) = -4sen2(x) + 4cos2(x)

h) f’(x) = (2(x + 1)sen(x) – 2cos(x)) / (x + 1)2

3.

a) f’(x) = 3cos(3x), f’’(x) = - 9sen(3x)

b) f’(x) = - 2cos(2 + x)sen(2 + x), f’’(x) = -2cos2(2 + x) + 2sen2(2 + x)

c) f’(x) = x ⋅ cos(x) + sen(x), f’’(x) = - x ⋅ sen(x) + 2cos(x)

4.

a) f’(x) = 3esen(3x) ⋅ cos(3x)

b) f’(x) = - (cos(x) + sen(x)) / ex

c) f’(x) = 2esen(2x) ⋅ cos(2x)

d) f´(x) = 2cot(2x)

RESUMEN

En esta sección se deducen las formulas para las derivadas de funciones seno y coseno.

Estas establecen que la derivada de la función seno es coseno, mientras que la derivada de

la función coseno es el inverso aditivo de la función seno.

AUTOEVALUACION


1. La derivada de cos(x) es sen(x)

2. La derivada de sen(x) es cos(x)

3. La segunda derivada de una función seno o coseno, devuelve la función original.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Verdadero.

3. Falso.

248

GLOSARIO

Algebra de derivadas: Conjuntos de teoremas que permiten calcular derivadas sobre sumas,

productos o cuocientes de funciones.


Función Compuesta: Función definida como la evaluación de una función en otra.


Función Trigonométrica: Función cuya relación es una expresión trigonométrica.

Inverso Aditivo: Número real que sumado al número con que se encuentra asociado

produce el neutro aditivo, cero.

Regla de la Cadena: Teorema que permite calcular la derivada de funciones compuestas.

SIMBOLOS

dxd : Primera derivada


f'(x) : Primera deriva.

f''(x) : Segunda derivada.

f'''(x) : Tercera derivada

fiv(x) : Cuarta derivada

sen(x) : Función seno.

cos(x) : Función coseno.

249

tan(x) : Función tangente.

⇒ : Implica

= : Igual que.


250

II.2.8. DERIVADAS DE OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

A continuación nos valdremos del álgebra de las derivadas para encontrar expresiones que

nos permitan calcular la derivada de las restantes funciones trigonométricas: tangente,

secante, cosecante y cotangente.

TEOREMA. La derivada de la función tangente es secante cuadrado. Esto es,

dxd tan(x) = sec2(x)

Demostración

dxd tan(x) =

dxd sen(x) / cos(x)

= (cos(x) ⋅ cos(x) – sen(x) ⋅ (- sen(x)) / cos2(x)

= (cos2(x) + sen2(x)) / cos2(x)

= 1 / cos2(x)

= sec2(x)

EJEMPLO II.2.8.1.


f(x) = 5 ⋅ tan(x2 + x )

f'(x) = 5 ⋅ sec2(x2 + x) ⋅ (2x + 1)

TEOREMA. La derivada de la función secante es secante por tangente. Esto es,

dxd sec(x) = sec(x) ⋅ tan(x)

Demostración:

dxd sec(x) =

dxd 1 / cos(x)

= - (- sen(x)) / cos2(x)

= sen(x) / cos2(x)

= 1 / cos(x) ⋅ sen(x) / cos(x)

= sec(x) ⋅ tan(x)

EJEMPLO II.2.8.2.


f(x) = sec(x2)

251

f'(x) = sec(x2) ⋅ tan(x2) ⋅ 2x

TEOREMA. La derivada de la función cotangente es menos cosecante al cuadrado. Esto

es,

dxd cotan(x) = - cosec2(x)

Demostración:

dxd cotan(x) =

dxd cos(x) / sen(x)

= (- sen(x) ⋅ sen(x) – cos(x) ⋅ cos(x)) / sen2(x)

= - (sen2(x) + cos2(x)) / sen2(x)

= - 1 / sen2(x)

= - cosec2(x)

EJEMPLO II.2.8.3.


f(x) = cotan(x2 + 2x )

f'(x) = - cosec2(x2 + 2x) ⋅ (2x + 2)

TEOREMA. La derivada de la función cosecante es menos cosecante por cotangente. Esto

es,

dxd cosec(x) = cosec(x) cotan(x)

Demostración:

dxd cosec(x) =

dxd (1 / sen(x))

= - cos(x) / sen2(x)

= - 1 / sen(x) ⋅ cos(x) / sen(x)

= - cosec(x) ⋅ cotan(x)

EJEMPLO II.2.8.4.


f(x) = cosec(sen(x) + 1)

f'(x) = - cosec(sen(x) + 1) ⋅ cotan(sen(x) + 1) ⋅ cos(x)

252

ACTIVIDAD II.2.8.5.

1. Determine la derivada de las siguientes funciones reales.

a) f(x) = tan(3x + 5)

b) f(x) = sec(x2)

c) f(x) = cosec3(x/3)

d) f(x) = 2x + cotan(2x)

e) f(x) = tan(x) + cotan(x)

Solución:

a) f'(x) = 3sec2(3x + 5)

b) f'(x) = sec(x2)tan(x2) ⋅ 2x

c) f'(x) = - cosec3(x / 3) cotan(x /3)

d) f'(x) = 2 – 2cosec2(2x)

e) f'(x) = sec2(x) – cosec2(x)

2. Evalúe las siguientes derivadas de funciones trigonométricas.

a) f(x) = tan(3x2 + 5x – 1)cotan(2x + 4)

b) f(x) = tan3(x – 5)

c) f(x) = cosec(2x3 – x2)cotan(x - 1)

d) f(x) = sec2(2x – 1)

e) f(x) = cosec3(2x – 1)

f) f(x) = sec(x)tan(x)

g) f(x) = cosec(x2 + 1) / tan(3x – 1) + cos(x – 1) / tan(2x – 1)

h) f(x) = cosec2(x) – sec2(x)

Solución:

a) f'(x) = sec2(3x2 + 5x – 1)(6x + 5)cotan(2x + 4) – tan(3x2 + 5x – 1)cosec2(2x + 4)2

b) f'(x) = 3tan2(x – 5) sec2(x – 5)

c) f'(x) = - cosec(2x3 – x2)cotan(2x3 – x2)(6x2 – 2x)cotan(x – 1) – cosec(2x3 – x2)cosec2(x

– 1)

d) f'(x) = - 4sec2(2x – 1)tan(2x – 1)

e) f'(x) = -6cosec3(2x – 1)cotan(2x – 1)

f) f'(x) = sec(x) tan2(x) + sec3(x)

g) f'(x) =

h) f'(x) = -2cosec2(x)cotan(x) – 2sec2(x)tan(x)

3. Determine la segunda derivada de las siguientes funciones.

a) f(x) = sec(x)

b) f(x) = sec2(x)

Solución:

a) f'(x) = sec(x)tan(x) ⇒ f''(x) = sec(x) tan2(x) + sec3(x)

b) f'(x) = 2sec2(x)tan(x) ⇒ f''(x) = - 4sec2(x )tan(x )

253

EJERCICIO II.2.8.8.

1. Evalúe las siguientes derivadas de funciones trigonométricas.

a) f(x) = tan(2x)

b) f(x) = sec(x2)

c) f(x) = tan(1 - x)2

d) f(x) = tan((2 – x) / (2 + x))

e) f(x) = cotan( x / 3)

f) f(x) = tan(x) – 2x

g) f(x) = 2 / )sec(x

h) f(x) = x ⋅ cotan(x)

i) f(x) = x2 tan(ax3)

2. Calcule las siguientes derivadas

a) f(x) = ln(ln(tan(x)))

b) f(x) = etan(x)

c) f(x) = ln(sec(2x))

RESPUESTAS

1.

a) f’(x) = 2sec2(2x)

b) f’(x) = 2x ⋅ sec(x2)tan(x2)

c) f’(x) = -2(1 – x)sec2(1- x)2

d) f’(x) = - 4 /(2 + x)2 ⋅ sec2((2 – x) / (2 + x))

e) f’(x) = - cosec2( x / 3) / 6 x

f) f’(x) = sec2(x) – 2

g) f’(x) = tan(x) / )sec(x

h) f’(x) = -x ⋅ cosec2(x) + cotan(x)

i) f’(x) = 3ax4 ⋅ sec2(ax3) + 2x ⋅ tan(ax3)

2.

a) f’(x) = sec2(x) / tan(x)ln(tan(x))

b) f’(x) = etan(x) ⋅ sec2(x)

c) f’(x) = 2cotan(2x)

254

RESUMEN

TABLA RESUMEN DERIVADAS TRIGONOMETRICAS

Funciones trigonométricas con

nombres que no empiezan con “co”

Funciones trigonométricas cuyos

nombres comienzan con “co”

f(x) f’(x) f(x) f’(x)

sen(x) cos(x) cos(x) - sen(x)

sec(x) sec(x)tan(x) cosec(x) - cosec(x)cotan(x)

tan(x) sec2(x) cotan(x) - cosec2(x)

AUTOEVALUACION


1. Derivada de tangente es cotangente.

2. Derivada de cotangente es menos cosecante al cuadrado.

3. Derivada de secante es tangente al cuadrado.

4. Derivada de cosecante es menos cosecante por cotangente.

RESPUESTAS

1. Falso

2. Verdadero.

3. Falso

4. Verdadero.

GLOSARIO

Algebra de Derivadas: Conjunto de teoremas que establecen procedimientos de cálculo de

derivadas para suma, producto o cuociente de funciones reales.

Función : Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.

Función Real : Función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales.

Función trigonométrica : Función cuya relación es una expresión trigonométrica.

SIMBOLOS

255

dxd : Primera derivada.

f(x) : función real.

f'(x) : Primera derivada.


tan(x) : Tangente.

sec(x) : Secante.

cotan(x) : cotangente.

cosec(x) : cosecante.

sen(x) : seno

cos(x) : coseno.

256

II.3. APLICACIONES

En este capítulo vamos a ilustrar la forma de aplicar el concepto de derivada para resolver

problemas prácticos de la matemática. Al finalizar el capítulo, el lector deberá ser capaz de:

• Encontrar los máximos y mínimos de una función real.

• Determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente.

• Encontrar los puntos de inflexión de una curva.

• Determinar los intervalos de concavidad.

• Esbozar la gráfica de una curva.

• Resolver problemas sencillos de optimización.

• Aproximar una curva con la recta tangente a la curva en un punto.

257

II.3.1. MAXIMOS Y MINIMOS

Históricamente, esta aplicación de la derivada fue la causa determinante de su

descubrimiento. Fue por el siglo XVII, después de los aportes de Descartes, que los

problemas de las tangentes cobraron importancia. La idea central descansaba en el

razonamiento de que en el curso regular de cualquier acontecimiento o la conexión entre

relaciones cuantitativas puede expresarse por medio de una función y, por lo tanto, por

medio de una curva. Pero puede resultar de importancia la investigación de en qué puntos

de esta curva se alcanzan los valores más alto y más bajo. Estos valores extremos se

designan con el nombre de máximos y mínimos.

En la figura se observa inmediatamente que el trozo de curva comprendido entre x1 y x2

posee un máximo y un mínimo. Además se observa que tanto en el punto más alto como en

el más bajo de la curva, las tangentes son horizontales, es decir, paralelas al eje de las x.

Leibniz se percató en 1684 que para encontrar los máximos y mínimos de una función,

había que localizar aquellos puntos que tenían derivada igual a cero, pues así se obtiene una

tangente a la curva paralela al eje de las x. Este resultado, junto con el algoritmo para

calcular derivadas, fue publicado en la revista “Acta Eruditorum” en enero de 1684, bajo el

nombre de “Über Maxima und Minima usw”. De esta manera, para encontrar un máximo o

un mínimo, debemos plantear la ecuación:

f’(x) = 0

para luego despejar el valor (o los valores) de x. Para determinar si el punto encontrado

corresponde a un máximo, o bien a un mínimo, Leibniz adjunto otras reglas que permiten

reconocer cuál de los valores extremos se presenta, distinción que muchas veces puede

conseguirse mediante un simple bosquejo de la curva o resultar evidente por cualquier otra

circunstancia.

Antes de revisar con detención la técnica para localizar los máximos y mínimos de una

función real, conviene que formalicemos la terminología más común de este tópico.

258

DEFINICION: Sea f: ℝ → ℝ una función real, y xo un elemento del domino de f, entonces

diremos que xo es un punto:

• Máximo global estricto, si f(xo) > f(x) ∀ x ∈ dom(f). De esta manera no hay ninguna

otra imagen mayor que f(xo).

• Máximo global, si f(xo) ≥ f(x), ∀x ∈ dom(f). De esta manera pueden haber otras

imágenes que alcancen el mismo valor que f(xo).

• Máximo relativo estricto, si f(xo) > f(x) ∀x ∈ ]a, b[ ⊆ dom(f). Esto significa que un

intervalo del dominio f(xo) es la imagen mayor.

• Máximo relativo, si f(xo) ≥ f(x) ∀ x ∈ ]a, b[ ⊆ dom(f). Lo que significa que en un

intervalo del dominio de f, pueden haber otras imágenes que alcancen el valor f(xo).

De manera análoga, se definen los conceptos de mínimo global estricto, mínimo global,

mínimo relativo estricto y mínimo relativo.

EJEMPLO II.3.1.1.

La función f : ℝ → ℝ, alcanza un máximo global estricto en xo.

EJEMPLO II.3.1.2.

La función f : ℝ → ℝ, alcanza un mínimo global en xo.

EJEMPLO II.3.1.3.

La función f : ℝ → ℝ, alcanza un mínimo relativo estricto en xo.

259

Se dice que f alcanza un punto de máximo (global / relativo, estricto) en xo o que xo es un

punto de máximo (global / relativo, estricto) para f, según lo que se desee recalcar más (la

función o el punto). Por supuesto, lo anterior es válido también para el caso de mínimo.

Sin una función alcanza un valor de máximo o mínimo (global / relativo, estricto) en un

punto xo, se dice que xo es un valor extremo de f.

Aquellos puntos del dominio de una función, tales que la primera derivada se anula sobre

ellos, se conocen como puntos críticos. Esto es, xo es punto crítico de f, si y sólo f'(xo) = 0.

TEOREMA: Si xo es punto de valor extremo de f, entonces xo es punto critico.

De esta manera si, xo es un punto critico, entonces xo es un candidato a ser punto extremo

de la función. Por lo tanto, para encontrar los posibles puntos críticos de una función,

debemos localizar aquellos puntos que anulan la primera derivada.

EJEMPLO II.3.1.4.

Los candidatos a puntos extremos de la función real f: ℝ → ℝ, definida por la relación f(x)

= x3/3 – 3x2 / 2 + 2x + 5, se determinan planteando la ecuación f'(x) = 0 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0

⇒ (x – 1)(x – 2) = 0 ⇒ x = 1 ∨ x = 2, son los puntos críticos de la función.

Una vez localizado el conjunto de posibles puntos críticos, debemos contar con un

mecanismo adicional que nos permita decidir si el punto critico xo es de máximo, o de

mínimo. Para ello, existen dos caminos:

• Criterio determinación intervalos de crecimiento o decrecimiento (primera derivada)

• Criterio concavidad de la función (segunda derivada).

260

El criterio de determinación de los intervalos de crecimiento y / o decrecimiento, se basa en

el hecho conocido de que si un punto xo es de máximo, entonces a la izquierda del punto, la

función debe ser creciente, mientras que a la derecha debe ser decreciente. De la misma

manera, si un punto xo es de mínimo, entonces a la izquierda del punto la función debe ser

decreciente, mientras que a la derecha debe ser creciente. Traducido a primeras derivadas

esto significa que:

• Un punto xo es punto de máximo, si (∀x < xo)(f´(x) >0) ∧ (∀x > xo)(f'(x) < 0).

• Un punto xo es punto de mínimo, si (∀x < xo)(f´(x) <0) ∧ (∀x > xo)(f'(x) > 0).

Aquí xo es un punto crítico (f'(xo) = 0).

EJEMPLO II.3.1.5.

Determine los puntos de máximo y mínimo de la siguiente función real: f(x) = x3/3 – 3x2 /

2 + 2x + 5.

f'(x) = x2 – 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).

Puntos críticos: x = 1 y x = 2.

f'(x) = (x – 1)(x – 2) > 0 ⇒ (x – 1 > 0 ∧ x – 2> 0) ∨ (x – 1< 0 ∧ x – 2 < 2)

⇒ (x > 1 ∧ x > 2) ∨ (x < 1 ∧ x < 2)

⇒ x > 2 ∨ x < 1

Mientras que f'(x) < 0 ⇒ 1 < x < 2.

Como f'(x) > 0 cuando x < 1 ∧ f'(x) < 0 cuando x > 1, x = 1 es un punto de máximo. De la

misma forma, como f'(x) < 0 cuando x < 2 ∧ f'(x) > 0 cuando x > 2, se tiene que x = 2 es un

punto de mínimo.

El criterio de concavidad de una función, se basa en el hecho de que una función que es

cóncava hacia abajo sobre un punto extremo xo, debe tener un máximo en xo, mientras que

si es cóncava hacia arriba, debe tener un punto de mínimo. En la figura adjunta se ilustra

sobre ambas situaciones.

En términos de la segunda derivada, se puede demostrar que si f''(x) = 0, entonces x es

punto de inflexión (donde cambia la concavidad de la función), mientras que si f''(x) > 0,

261

entonces la función es cóncava hacia arriba en x, por último, si f''(x) < 0, entonces la

función f es cóncava hacia abajo en x.

De esta manera, el criterio es el siguiente:

• Un punto xo es punto de máximo, si f''(xo) < 0.

• Un punto xo es punto de mínimo, si f''(xo) > 0.

• Un punto xo es punto de inflexión, si f''(xo) = 0.

Aquí xo es un punto crítico (f'(xo) = 0).

EJEMPLO II.3.1.6.

Determine los puntos de máximo y mínimo de la siguiente función real.

f(x) = x3/3 – 3x2 / 2 + 2x + 5.

f'(x) = x2 – 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).


Como f''(x) = 2x – 3, se tiene que f''(1) = 2 – 3 = - 1 < 0 ⇒ x = 1 punto de máximo,

mientras que f''(2) = 4 – 3 = 1 > 0 ⇒ x = 2 es punto de mínimo.

En la discusión anterior, hemos supuesto implícitamente que la función es bastante suave

como para que existan la primera y segunda derivada. En esta situación podemos aplicar los

criterios vistos para determinar primero los puntos críticos (candidatos a extremos) y

después clasificarlos. Sin embargo, este método sólo nos permite encontrar extremos

relativos y no absolutos.

EJEMPLO II.3.1.7.

La figura representa la gráfica de una función con valores extremos relativos y no

absolutos.

Cuando el dominio de la función no es todo ℝ o un intervalo infinito, sino que el dominio

se encuentra bien acotado, entonces es posible determinar los extremos absolutos. Para ello,

buscamos los extremos relativos por el método visto y a esto le agregamos los extremos del

262

intervalo como candidatos a extremos absolutos. Entre los puntos críticos y la frontera del

dominio, se encuentran los extremos globales que se determinan por comparación.

EJEMPLO II.3.1.8.

Determine los máximos y mínimos globales de la siguiente función:

f : [0,4] → ℝ

f(x) = x3/3 – 3x2 / 2 + 2x + 5.

f'(x) = x2 – 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).


Puntos frontera del intervalo: 0 y 4.

f(0) = 5 ⇒ Mínimo Global.

f(1) = 35 / 6

f(2) = 17 / 3

f(4) = 31 / 3 ⇒ Máximo global.

La misma técnica de simple comparación se puede aplicar en el caso de que en un punto no

exista la primera y / o segunda derivada.

ACTIVIDAD II.3.1.9.

1. Para cada una de las siguientes funciones, determine el máximo y mínimo global en los

intervalos indicados, encontrando los puntos críticos de las funciones y comparando con

los valores en los extremos.

a) f(x) = x3 – x2 –8x + 1, x ∈ [-2, 2]

b) f(x) = x5 + x + 1, x ∈ [-1, 1]

c) f(x) = 3x4 – 8x3 + 6x2, x ∈ [-1/2, 1/2]

d) f(x) = 1 / (x5 + x + 1), x ∈ [-1/2, 1]

e) f(x) = (x + 1) / (x2 + 1), x ∈ [-1, 1/2]

f) f(x) = x / (x2 – 1), x ∈ [0, 5]

Solución:

a)

Buscamos primero los puntos críticos de la función, para ello igualamos la primera

derivada a cero: f’(x) = 3x2 – 2x – 8 = 0.

La ecuación 3x2 – 2x – 8 = 0 es una ecuación cuadrática con a = 3, b = -2 y c = - 8, y tiene

como solución a x = 2 y x = - 4 / 3, que corresponden a los puntos críticos de la función en

el intervalo [-2, 2]. Evaluamos ahora los puntos críticos y el valor extremo que falta del

intervalo (x = - 2).

263

f(2) = 23 –22 – 8 ⋅ 2 + 1 = 8 – 4 – 16 + 1 = 9 – 20 = - 11

f(-4 / 3) = -64 / 27 – 16 / 9 + 32 / 3 + 1 = (-64 – 48 + 288 + 27) / 27 = (-112 + 315) / 27 =

203 / 27

f(-2) = - 8 – 4 + 8 + 1 = - 3

Con los resultados de estas evaluaciones, queda claro que la función tiene un máximo

global en x = - 4 /3 y un mínimo global en x = 2, tan como se aprecia en el gráfico de la

función.

-10

-5

0

5

10

-2 -1 0 1 2

b)

Esta función no tiene puntos criticos, pues f’(x) = 5x4 + 1 = 0 no tiene soluciones reales.

Procedemos a evaluar la función en los extremos del intervalo, esto es en x = 1 y x = 1:

f(-1) = -1 – 1 + 1 = -1

f(1) = 3

Así la función tiene un mínimo global en x = 1 y un máximo en x = 1 tal como se aprecia

en el gráfico.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 0 1

c)

Como f’(x) = 12x3 – 24x2 + 12x, se tiene que:

f’(x) = 0 ⇒ 12x3 – 24x2 + 12x = 0

⇒ 12x(x2 – 2x + 1) = 0

⇒ 12x(x – 1)2 = 0

⇒ x = 0 ∨ x = 1

264

Son los puntos criticos de la función, pero como sólo consideramos el intervalo [-½ , ½], el

único punto crítico considerado es x = 0. Procedemos a evaluar a la función en x = 0 y los

extremos del intervalo x = - ½ y x = ½:

f(-1/2) = 3/16 + 8 /8 + 6 /4 = 43 /16

f(0) = 0

f(1/2) = 3 / 16 – 8 / 8 + 6 / 4 = 11 / 16

De las evaluaciones anteriores, se concluye que la función tiene su máximo global en x = -

½ y su mínimo en x = 0, como se aprecia en la figura.

-1

0

1

2

3

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5

d)

La función no tiene puntos críticos. En efecto, f’(x) = - (5x4 + 1) / (x5 + x + 1)2 = 0 ⇒ x ∉

ℝ. Luego, sólo resta evaluar en los extremos del intervalo, exto es en los puntos x = - ½ y x

= 1. Se tiene:

f(-1/2) = 1 / (-1/32 – ½ + 1) = 1 / (-1/32 + ½) = 1 / (-1 + 16)/32 = 32 / 15

f(1) = 1 / (1 + 1 + 1) = 1/3

La gráfica corrobora que en x = -1/2 nos encontramos en la presencia de un máximo global,

mientras que en x = 1, de un mínimo global.

-1

0

1

2

3

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

e)

Localisemos primero los puntos críticos de f, para ello igualemos la primera derivada a cero

y encontremos las raices de la ecuación que pertenecen al intervalo [-1, ½]

f’(x) = 0 ⇒ ((x2 + 1) – (x + 1)2x) / (x2 + 1)2 = 0

⇒ x2 + 1 – 2x2 – 2x = 0

⇒ -x2 – 2x + 1 = 0

265

⇒ x = - (2 ± 2 2 ) / 2

⇒ x = - 1 + 2 ∨ x = - 1 - 2

pero x = - 1 - 2 ∉ [-1, ½], mientras que x = - 1 + 2 ∈ [-1, ½] es el único punto crítico

de la función en el intervalo. Evaluamos en este punto y los puntos extremos del intervalo:

f(-1) = 0

f(½) = 3/2 / 5/5 = 3/2 ⋅ 4/5 = 6/5

f(-1 + 2 ) = 2 / (1 -2 2 + 2 + 1) = 2 / (4 - 2 2 ) ⋅ (4 + 2 2 ) / (4 + 2 2 ) = (4 2 +

4) (16 – 8) = ( 2 + 1) / 2.

Luego, x = -1 es un punto de mínimo global y x = - 1 + 2 es de máximo global, como se

aprecia en la gráfica.

-1

0

1

2

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5

f)

f’(x) = 0 ⇒ (x2 – 1 – x ⋅ 2x) / (x2 – 1)2

⇒ - (x2 + 1) / (x2 – 1)2 = 0

⇒ no hay puntos criticos.

Al evaluar en los extremosdel intervalo, se tiene que f(0) = 0, que como muestra la gráfica

corresponde a un máximo local, y f(5) = 5/24, que es un mínimo local.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5

2. Encuentre y clasifique los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones

reales:

a) f(x) = x3

b) f(x) = 1 – x2/3, x ∈ [-8, 8]

266

c) f(x) = - (x – 1)2 + 2

d) f(x) = x3 + 3x2 – 9x, x ∈ [-4, 4]

e) f(x) = x3 – 3x2 + 2

f) f(x) = x4 – 2x2 + 1, x ∈[-3, 2]

g) f(x) = 3x4 – 4x3 – 6x2 + 12x, x ∈]-2, 2[

h) f(x) = 3x4 – 4x3 – 48x2 + 144x, x ∈ ]-4, 3]

i) f(x) = x6 – 3x2, x ∈ [-1, 2]

j) 4/3)10()( −= xxxf

k) f(x) = x2/3 + 16x1/3, x ∈ [-8, 8]

Solución

a)

La función f(x) = x3 tiene sólo un punto de inflexión en x = 0, no tiene ni máximos, ni

mínimos. Como se aprecia en la gráfica, siempre es creciente.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

b)

Esta función tiene un máximo global en x = 0, como se aprecia en su gráfica. En x = 8 y x =

- 1, los extremos del intervalo, tiene mínimo global.

-3

-2

-1

0

1

2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

c)

El único punto crítico se encuentra en x = 1, que corresponde a un máximo global.

267

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 d)

f’(x) = 3x2 + 6x – 9 = 0 ⇒ x = - 3 ∨ x = 1

f’’(x) = 6x + 6

f’’(-3) = - 12 < 0

f’’(1) = 12 > 0

Puntos críticos x = - 3 (máximo global) y x = 1 (mínimo global).

-8

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

e)

f’(x) = 3x2 – 6x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2 son los puntos críticos de la función. Como f’’(x) = 6x

– 6, se tiene que f’’(0) = - 6 < 0 (máximo local) y f’’(2) = 6 > 0 (mínimo local).

-24

-16

-8

0

8

16

24

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f)

Localizamos primero los puntos críticos:

f´(x) = 0 ⇒ 4x3 – 4x = 0

⇒ 4x(x2 – 1) = 0

268

⇒ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -1

Ahora, como f’’(x) = 12x2 – 4 = 4(3x2 – 1), se tiene que f(0) = - 4 < 0 (punto de máximo),

f(1) = f(-1) = 8 > 0 (punto de mínimo). El máximo global se encuentra en x = -3.

-8

0

8

16

24

32

40

48

56

64

-3 -2 -1 0 1 2 g) Localizamos los puntos críticos de la función:

f’(x) = 0 ⇒ 12x3 – 12x2 – 12x + 12 = 0

⇒ 12(x3 – x2 – x + 1) = 0

⇒ 12(x2(x – 1) – (x – 1)) = 0

⇒ 12(x2 – 1)(x – 1) = 0

⇒ 12(x – 1)2(x + 1) = 0

⇒ x = 1 ∨ x = - 1

Ahora, clasificamos los puntos críticos, evaluando en la segunda derivada de la función:

f’’(x) = 36x2 – 24x – 12

f’’(1) = 36 – 24 – 12 = 0 punto de inflexión.

f’’(-1) = 36 + 24 – 12 ) 48 > 0 punto de mínimo local.

Se observa que en este caso los extremos del intervalo no pertenecen al dominio de la

función, por lo que no se pueden considerar para encontrar valores extremos globales de la

función.

-16

-8

0

8

16

24

32

-2 -1 0 1 2 h)

f’(x) = 0 ⇒ 12x3 – 12x2 – 96x + 144 = 0

⇒ 12(x3 – x2 – 8x + 12) = 0

⇒ 12(x – 2)(x + 3)(x – 2) = 0

⇒ x = 2 ∨ x = - 3 son los puntos críticos de esta función.

Clasificación de puntos críticos, utilizando la segunda derivada:

269

f´´(x) = 36x2 – 24x – 96

f’’(2) = 0, punto de inflexión.

f’’(-3) = 324 + 72 – 96 > 0 punto de mínimo (global)

Se tiene además que x = 3 es el máximo global.

-550-500-450-400-350-300-250-200-150-100-50

050

100150

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

i) Puntos críticos: f’(x) = 0 ⇒ 6x5 – 6x = 0

⇒ 6x(x4 – 1) = 6x(x2 – 1)(x2 + 1) = 6x(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0

⇒ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -1

f´´(x) = 30x4 – 6. Luego f’’(0) = - 6 < 0, punto de máximo local, f’’(1) = f’’(-1) = 24 > 0,

punto de mínimo. Se tiene que en x = 2 esta el máximo global.

-505

10152025303540455055

-1 0 1 2 j)

-5

0

5

10

15

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f'(x) = (x – 10)3/4/2x½ + 3x½ / 4(x – 10)1/4 = (5x – 20) / 4x½(x – 10)1/4 = 0 ⇒ x = 4 punto

crítico, pero este no pertenece al domino de la función.

Punto de mínimo global: x = 10.

k)

270

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x = 0 punto de mínimo absoluto.

x = 8 ∧ = - 8 puntos de máximo absoluto.

3. Encuentre los valores extremos relativos y absolutos de la función definida por tramos

siguiente:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈+−∈=−∈−−∈−−∈+−

=

]4,1[2/32/[1,0]

02/1[0,1]]1,2[2/1[2,4[2

)(

2

2

xxxxx

xxxxx

xf

Solución:

Como esta función no es derivable en el intervalo [-4, 4], debemos encontrar los máximos y

mínimos por simple evaluación y graficando. Se concluye que la función tiene su máximo

absoluto en x = - 4, el mínimo absoluto en x = 4, máximos relativos en x = - 1 y x = 1,

mínimo relativo en x = - 2.


1. Encuentre el máximo y mínimo absoluto de las siguientes funciones reales en el

intervalo indicado:

271

a) f(x) = x2 + 2x – 4, x ∈[-4, 3]

b) f(x) = -2x2 + x –3, x ∈ [-1, 6]

c) f(x) = 2x3 – x2 + 2, x ∈ [-2, 1]

d) f(x) = x3 + 2x2 + 18x, x ∈ [-1, 2]

e) f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 4, x ∈ [-5, 6]

f) f(x) = x4 – 2x2 + 1, x ∈ [-2, 1]

g) f(x) = x4 – 2x2 + 1, x ∈ [0, 5]

h) f(x) = x4 – 2x2 + 1, x ∈[-5, 5]

i) f(x) = x / (x + 1), x ∈ [-1/2, 1]

j) f(x) = (x + 3) / (x – 2), x ∈ [-3, 1]

RESPUESTAS

1.

a) Máximo absoluto en x = 3, mínimo en x = -1

b) Máximo absoluto en x = 6, mínimo en x = -1

c) Máximo absoluto en x = 1, mínimo en x = -2

d) Máximo absoluto en x = 2, mínimo en x = -2

e) Máximo absoluto en x = 6, mínimo en x = - 3

f) Máximo absoluto en x = -2, mínimo en x = 1 y x = -1

g) Máximo absoluto en x = 5, mínimo en x = 1.

h) Máximo absoluto en x = 5 y x = - 5, mínimo en x = 1 y x = -1.

i) Máximo absoluto en x = 1, mínimo en x = -½

j) Máximo absoluto en x = -3, mínimo en x = 1.

RESUMEN

En esta sección se revisan criterios basados en la primera y segunda derivada para encontrar

los puntos extremos de una función y posteriormente clasificar si se tratan de máximos o

mínimos.

AUTOEVALUACION

Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones.

1. Una función creciente a la derecha de un punto xo y decreciente a la izquierda de este,

tiene un máximo en xo.

2. Si una función es cóncava hacia arriba en un punto critico xo, entonces xo es un punto

de mínimo.

3. Si xo es punto de inflexión, entonces es punto de máximo o de mínimo.

4. Si f(xo) = 0 ∧ f'(xo) = 0, entonces xo es punto de mínimo.

272

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Verdadero.

3. Falso.

4. Falso.

GLOSARIO

Dominio : Conjunto de partida de una función.

Función : Relación que asocia a cada preimagen una única imagen.

Función Real: Función cuyo domino y codominio son subconjuntos de los números reales.

Imagen: Valor del codominio de una función asociado con un elemento particular del

dominio.

SIMBOLOS


∀ : Para todo.

≥ : mayor o igual que.

> : mayor que.

< : menor que.

= : Igual que.

⊆ : subconjunto de.

∨ : O.

273

∧ : Y.

⇒ : Implica.




274

II.3.2. GRAFICA DE FUNCIONES

Para graficar una función sin construir la laboriosa tabla de valores, podemos exprimir la

información proporcionada por los criterios de la primera y segunda derivada.

Con la información de la primera derivada, tenemos información sobre los puntos críticos,

los puntos donde la función es creciente y donde es decreciente. En efecto, si f'(x) = 0,

entonces sabemos que x es un punto critico (posible punto de valor extremo para la

función), si f'(x) > 0, entonces f es creciente en x, mientras que si f'(x) < 0, entonces al ser

la pendiente negativa de la recta tangente a la curva se tiene que la función es decreciente.

EJEMPLO II.3.2.1.

Determine los puntos críticos, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

siguiente función real:

f : ℝ → ℝ

f(x) = 3x5 – 5x3

Para ello, calculamos primero la primera derivada de la función,

f´(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2 – 1).

Ahora, se tiene:

• f'(x) = 0 ⇒ 15x2(x2 – 1) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = - 1, son los puntos críticos de la

función.

• f'(x) > 0 ⇒ 15x2(x2 – 1) > 0 ⇒ x2 – 1 > 0 ⇒ x2 > 1 ⇒ x > 1 ∨ x < -1, son los intervalos

de decrecimiento (observe que hay un detalle para x = 0).

• f'(x) < 0 ⇒ x ∈ ]-1, 1[, por ser el intervalo complemento de lo anterior (analice lo que

ocurre en x = 0 con más detención, pues lo intervalos en realidad son dos: ]-1, 0[ y ]0,

1[).

El procedimiento anterior puede ser bastante engorroso en la practica, todos recordamos lo

laborioso que puede llegar a ser resolver inecuaciones. Para simplificar el procedimiento

de calculo, podemos utilizar la continuidad de la función derivada, f'. En efecto, partimos

encontrando aquellos puntos que anulan la primera derivada, f'(x) = 0, lo que nos permite

separar el dominio de la función en varios intervalos. En cada uno de estos intervalos, la

función se encuentra o sobre el eje x, o bajo el eje x, lo que se puede determinar evaluando

en un punto conveniente y representativo. En el ejemplo siguiente, ilustramos esta técnica y

la manera de presentar un resumen de toda la información conseguida utilizando una tabla.

275

EJEMPLO II.3.2.2.

Estudiamos la misma función real del ejemplo anterior:

f : ℝ → ℝ

f(x) = 3x5 – 5x3

Con la primera derivada:

f´(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2 – 1).

Los puntos que anulan esta derivada, sabemos que son –1, 0 y 1, los cuales nos particionan

el dominio de la función en los siguientes cuatro intervalos intervalos: ]-∞, -1[, ]-1, 0[, ]0,

1[ y ]1, +∞[. La pregunta es en cuáles de ellos la primera derivada es positiva y en cuales es

negativa.

Para responder a la pregunta, escogemos puntos emblemáticos en cada intervalo, como por

ejemplo x = -2, para el primero; x = -1/2, para el segundo; x = ½ para el tercero y x = 2

para el cuarto. Se tienen los siguientes resultados de las evaluaciones:

• f'(-2) = 15 ⋅ 4 ⋅ 3 > 0, función creciente en este intervalo.

• f( -1/2) = 15 ⋅ ¼ ⋅ -3/4 < 0, decreciente.

• f(1/2 ) = 15 ⋅ ¼ ⋅ -3/4 < 0, decreciente.

• f(2) = 15 ⋅ 4 ⋅ 3 > 0, función creciente.

Toda esta información, la podemos resumir en la siguiente tabla:

x -1 0 1

f' +++++++++ 0 --------------- 0 --------------- 0 +++++++++

Creciente máx Decreciente ? Decreciente mín Creciente

En esta tabla, se ha rellenado con signos +++ aquellos intervalos donde se sabe que la

derivada es positiva, y con signos --- donde la derivada es negativa. Loa puntos donde se

anula la derivada se ha recalcado y además se ha reservado una fila completa para escribir

la interpretación de la primera derivada en palabras. Se han clasificado los puntos críticos

en base a la información del comportamiento de la función a la izquierda y derecha del

punto.

276

El bosquejo anterior muestra una primera aproximación a la función, en términos de la

información conseguida hasta ahora.

La siguiente información que puede ser de interés, es la relativa a la concavidad de la

función. En este punto entramos a la interpretación de la segunda derivada. Se sabe que si:

• f''(x) = 0 ⇒ x es punto de inflexión (cambio de concavidad).

• f''(x) > 0 ⇒ x es punto de concavidad hacia arriba.

• f''(x) < 0 ⇒ x es punto de concavidad hacia abajo.

Con la misma técnica para descomponer el dominio de la función utilizado en la primera

derivada, se completa una tabla para la segunda derivada.

EJEMPLO II.3.2.3.

Proseguimos con la misma función real:

f : ℝ → ℝ

f(x) = 3x5 – 5x3

Con la primera derivada:

f´(x) = 15x4 – 15x2 = 15x2(x2 – 1).

Y segunda derivada:

f''(x) = 60x3 – 30x = 30x(2x2 – 1).

Se tiene que f''(x) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1/ 2 ∨ x = -1/ 2 , son los puntos de inflexión de la

curva. Pasamos a evaluar en puntos emblemáticos de cada uno de los intervalos definidos

por estos puntos: ]-∞, -1/ 2 [, ]- 1/ 2 , 0 [. ]0, 1/ 2 [, y ] 1/ 2 , +∞[, lo que nos da:

• f''(-2) = -60 ⋅ 7 < 0, cóncava hacia abajo.

• f''(-1/2) = - 15 ⋅ -1/2 > 0, cóncava hacia arriba.

• f''(1/2) = 15 ⋅ -1/2 < 0, cóncava hacia abajo.

• f''(2) = 60 ⋅ 7 > 0, cóncava hacia arriba.

Con esta información, completamos la siguiente tabla:

x -1/ 2 0 1/ 2

f'' ----------- 0 +++++++ 0 ---------- 0 ++++++++

∩ ∪ ∩ ∪

Lo que nos permite mejorar nuestro bosquejo de la curva de la siguiente manera:

277

Con toda la información acumulada hasta ahora, podemos confeccionar una tabla donde

integremos todo nuestro conocimiento de la función. Además podemos agregar

información nueva, como las imágenes de la función de los puntos críticos y de inflexión,

además de los puntos donde la función se anula (si es que es posible encontrarlos).

EJEMPLO II:3.2.4.

Proseguimos con la misma función real estudiada en los ejemplos anteriores:

f : ℝ → ℝ

f(x) = 3x5 – 5x3

f(x) = 3x5 – 5x3 = 0 ⇒ x3(3x2 – 5) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = - 3/5 ∨ x = 3/5 , son los puntos

de la imagen que cruzan al eje x.

Las evaluaciones de la función en los puntos críticos y de inflexiones:

• f(-1) = -3 + 5 = 2

• f(-1/ 2 ) = -3/4 2 +5/2 2 = 7/4 2

• f(0) = 0

• f(1/ 2 ) = 3/4 2 - 5/2 2 = -7/4 2

• f(1) = 3 – 5 = -2

La tabla que podemos construir adquiere la siguiente forma:

x -√5/3

-1 -1/√2

0 1/√2

1 √5/3

f 0 2 7/4√2

0 -7/4√2

-2 0

f' +++++++++++ 0 ------------------ 0 ------------------ 0 +++++++++++

f'' -------------------------------- 0 +++ 0 ---- 0 ++++++++++++++++++

Creciente max Decreciente Decreciente min Creciente

Cóncava hacia abajo Infl Arriba infl Abajo Infl Cóncava arriba

278

El bosquejo de la gráfica asociada con esta función lo presentamos a continuación:

Por último, mostramos la verdadera gráfica de la función, el lector debe observar el

parecido del bosquejo con la gráfica.

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-5 0 5

ACTIVIDAD II.3.2.5.

1. Grafique en forma aproximada las siguientes funciones reales.

a) f(x) = 2x3 – 3x2 – 72x

b) f(x) = x3 – 3x + 2

c) f(x) = x3 + 12x2 + 45x + 1

d) f(x) = x4 – 2x2 + 1

e) f(x) = 3x4 + 4x3 – 6x2 – 12x

f) f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 1

g) f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 3

Solución

a) f(x) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = ¾ (1 + 65 ) ∨ x = ¾ (1 - 65 )

f’(x) = 0 ⇒ x = 4 ∨ x = - 3

f’’(x) = 0 ⇒ x = ½

279

x ¾ -3 0 ½ 4 ¾

f +++ 0 +++++++++++ 0 --------------------------------- 0 +++

f’ +++++++++++ 0 --------------------------------- 0 +++++++++++

f’’ ----------------------------------------------- 0 +++++++++++++++++++

Creciente max Decreciente Min Creciente

Cóncava hacia abajo infl Cóncava hacia arriba

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10 -5 0 5 10

b)

f'(x) = 3x2 – 3 = 0 ⇒ = 1 ∨ x = -1, puntos críticos.

f''(x) = 6x ⇒ x = 0 Punto de inflexión.

x -2 -1 0 1

f 0 0

f' +++++++++++ 0 ------------------- 0 +++

f'' --------------------------------- 0 +++++++++++

Creciente Decreciente Cre

Cóncava hacia abajo Cóncava arriba

0

250

-5 0 5

c)

f'(x) = 3x2 + 24x + 45 = 0 ⇒ x = - 5 ∨ x = -3, puntos críticos.

f''(x) = 6x + 24 ⇒ x = - 4, punto de inflexión.

280

x -5 -4 -3

f

f' +++ 0 ------------------- 0 +++

f'' ------------------- 0 +++++++++++

Cre Decreciente Cre

Cóncava abajo Cóncava arriba

-2500

250500750

10001250150017502000225025002750

-10 -5 0 5 10

d)

f'(x) = 4x3 – 4x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = - 1, puntos críticos.

f''(x) = 12x2 – 4 ⇒ x = 1 / 3 ∨ x = - 1 / 3 , puntos de inflexión.

x -1 -1/ 3 0 1 / 3 1

f 1 1 1

f' ----- 0 +++++++++++++ 0 ---------------------- 0 +++

f'' +++++++++++ 0 ------------------- 0 +++++++++++

Dec Creciente Decreciente Cre

Cóncava arriba Cóncava abajo Cóncava arriba

0

2500

5000

7500

10000

-10 -5 0 5 10

e)

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-5 0 5

281

f)

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-5 0 5 g)

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 5

2. Trace la gráfica aproximada de las siguientes funciones.

a) 1

)( 2

2

+=

xxxf

b) 3

)( 2 +=

xxxf

c) 1

)( 2 −=

xxxf

d) )1(

2)(+−

=xx

xxf

e) 2

12)(xx

xf +=

f) xx

xf 11)( 3 −=

Solución:

a)

-1

0

1

2

-10 -5 0 5 10 b)

282

-1

0

1

2

-10 -5 0 5 10 c)

-10

-5

0

5

10

-10 -5 0 5 10 d)

-10

-5

0

5

10

-10 -5 0 5 10 e)

-10

-5

0

5

10

-10 -5 0 5 10 f)

-10

-5

0

5

10

-10 -5 0 5 10 3. Trace la gráfica de la función dada y determine los máximos y mínimos relativos y los

puntos de inflexión.

a) f(x) = x2 – 10x + 30

b) f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 10

c) f(x) = x4 – 6x3 + 54x – 81

283

d) f(x) = 1 – x2 – x6

e) f(x) = 1 – 4 / x + 4 / x2

f) f(x) = x2 + 16 / x

g) f(x) = x + 4 / x2

h) f(x) = x3(x + 1)3

i) f(x) = x4(x – 2)3

j) xxxf −+= 82)( 2

Solución:

a) f'(x) = 2x – 10 = 0 ⇒ x = 5, f''(x) = 2 ⇒ f''(5) > 0 ⇒ x = 5 punto de mínimo. No hay

puntos de inflexión.

-5

0

5

10

15

20

25

-5 0 5 10 b) f'(x) = 3x2 – 18x + 24 = 0 ⇒ x = 4 ∨ x = 2 puntos críticos. f''(x) = 6x – 18 ⇒ f''(4) = 24

– 18 = 6 > 0 ⇒ x = 4 punto de mínimo, f''(2) = 12 – 18 = - 6 < 0 ⇒ x =2 punto de

máximo, f''(x) = 0 ⇒ x = 3 punto de inflexión.

-10

-5

0

5

10

15

20

-10 -5 0 5 10 c) f'(x) = 4x3 – 18x2 + 108x = 0 ⇒ x = 0, f''(x) = 12x2 – 36x + 108 = 0 no tiene solución

por lo que no hay puntos de inflexión, además f''(0) = 108 > 0 ⇒ x = 0 punto de

mínimo.

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

-5 0 5 d) f'(x) = -2x – 6x5 = 0 ⇒ x = 0, f''(0) = - 2 < 0 ⇒ x = 0 punto de máximo. No hay puntos

de inflexión.

284

-10

-5

0

5

-5 0 5 e) f'(x) = 4 / x2 – 12/x3 = 0 ⇒ x = 3, f''(x) = - 8 / x3 + 36 / x4 ⇒ f''(3) = 1 / 9 > 0 ⇒ x = 3

punto de mínimo, f''(x) = 0 ⇒ x = 9 / 2 punto de inflexión.

-5

0

5

10

15

-5 0 5 f) x = 2 punto de mínimo, no hay puntos de inflexión.

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-5 0 5 g) x = 2 punto de mínimo, no hay puntos de inflexión.

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-5 0 5 h) x = 0 punto de inflexión, x = - 1 y x = - ½ puntos de mínimo.

0

5

0 i) x = 0 punto de inflexión, x = 2 y x = 8/7 puntos de mínimo.

285

-10

-5

0

5

-5 0 5 j) x = 2 ∨ x = -2 puntos de mínimo, no hay puntos de inflexión.

-5

0

5

10

15

20

25

-10 -5 0 5 10

4. Trace la gráfica de una función derivable que posea las siguientes propiedades:

a)

f(0) = f(5) = f’(3) = f’(-2) = 0

f´´(x) > 0, cuando x < 0

f’’(x) > 0, cuando x > 5

f’’(x) < 0, cuando x ∈ ]0, 5[

b)

f(0) = 10, f(6) = 15

f(10) = f’(6) = f’(10) = 0

f’’(x) < 0, cuando x < 9

f’’(9) = 0

f’’(x) > 0, cuando x > 9

c)

f(0) = f’’(0) = 0, f’(0) = 1

f’ decreciente en ]0, +∞[

f’ creciente en ]-∞, 0[

2)( =+∞→

xflimx

, 1)( −=−∞→

xflimx

d)

f(0) = f(10) = f’’(2) = 0, f(6) = 6

f’(x) = 1 cuando x ≤ 0

f(6) es un máximo absoluto

f’’(x) < 0, cuando x > 10

f’ es creciente en ]0, 2[

Solución

286

a)

x -2 0 3 5

f ------------------- 0 +++++++++++ 0 -----

f’ ----- 0 +++++++++++ 0 -------------------

f’’ +++++++++++ 0 ------------------- 0 +++

Dec Creciente Decreciente

Cóncava arriba Cóncava abajo arr

b)

x 0 6 9 10

f +++ 10 +++ 15 +++++++++++ 0 +++

f’ +++++++++++ 0 ------------------- 0 +++

f’’ --------------------------------- 0 +++++++++++

Creciente Decreciente Cre

Cóncava hacia abajo Con arriba

c)

x -∞ 0 +∞

f -1 ----- 0 +++ 2

f’ +++++++ 1 ------------

f’’ +++++++ 0 ------------

Creciente Decrecie

Arriba Con.abajo

287

d)

x 0 2 6 10

f 0 6 0 -----

f’ +++++++++++ 0 +++ 0 -------------------

f’’ +++++++++++ 0 +++++++++++ 0 ----

Cre Creciente Decreciente

Cóncava arriba Aba

RESUMEN

En esta sección se analiza una técnica para bosquejar la gráfica de una función real, en base

a la información proveniente de la primera y segunda derivada.

AUTOEVALUACION


1. Para graficar una función real sólo se cuenta con el método de las tablas de valores.

2. La segunda derivada se utiliza para encontrar la concavidad de la función.

3. A partir de las derivadas no es posible estimar si la curva es creciente o decreciente

4. La primera derivada sólo se utiliza para conocer los puntos críticos de una función.

288

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Verdadero.

3. Falso.

4. Falso.

GLOSARIO




Imagen: Elemento del codominio de una función asociado con un elemento particular del

dominio.

Inecuación: Relación matemática entre dos expresiones con una incógnita, por medio de

una desigualdad.

Tabla de Valores: Conjunto de pares de valores (preimagen, imagen) de una función que

permiten graficar un esbozo de la curva.

SIMBOLOS





∨ : o.

⇒ : Implica.

289

> : mayor que.

< : menor que.

= : igual que.

290

II.3.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

Una aplicación directa de las derivadas a problemas de ingeniería lo encontramos en la

optimización, esto es, encontrar la manera de maximizar o minimizar una variable para

conveniencia de un cierto objetivo.

En todo problema de optimización, se debe identificar la función objetivo que se busca

maximizar o minimizar, para posteriormente buscar los puntos críticos de ella y determinar

si corresponden a la respuesta buscada o no.

Ilustraremos la solución de un problema de optimización por medio del siguiente ejemplo.

EJEMPLO II.3.3.1.

Suponga que las ventas, S(x) de cierta compañía pueden aproximarse por la fórmula S(x) =

3600(x / (x + 1)), donde x es el gasto diario de promoción en pesos. Suponiendo que la

función de costo está dada por C(x) = x + K, donde K es una constante que representa los

costos diarios fijos, encuentre el valor de x que maximiza las utilidades de la compañía.

Solución:

Las utilidades de la compañía se encuentran dadas por

Utilidades = Ventas – Costos ⇒ U(x) = S(x) – C(x)

⇒ U(x) = 3600(x / (x + 1)) – x – K

Aquí, se observa que U(x) es la función objetivo que debemos maximizar, para ello

buscamos los puntos críticos de la función, igualando la primera derivada a cero.

⇒ U'(x) = 3600((x + 1) – x) / (x + 1)2 – 1 = 0

⇒ 3600 / (x + 1)2 – 1 = 0

⇒ 3600 = (x + 1)2

⇒ x + 1 = ±60

⇒ x = ±60 – 1

⇒ x = 59 ∨ x = - 61

Por descarte, tenemos que la respuesta es x = 59.

El lector, debe percatarse que para resolver este tipo de problemas, se requiere poder

interpretar correctamente los enunciados, el paso posterior consiste en aplicar las técnicas

de derivación a la función objetivo, f(x), y resolver la ecuación f'(x) = 0.

Se dejan varios problemas, para ensayar la interpretación de este tipo de enunciados, pues

los problemas de cálculo en sí, no son significativos.

291

ACTIVIDAD II.3.3.2.

1. Suponga que la función de demanda d, de una mercancía está dada por d(x) = 20000 –

4x y la función de costo está dada por c(x) = 2x + 106. Suponga además que el gobierno

grava las ventas con un impuesto de t por ciento por cada unidad. Determine, en

términos de t, la cantidad de producción que maximizará las utilidades. Determine

también el valor de t que maximiza la renta del gobierno por concepto de impuestos, es

decir tx.

Solución:

U(x) = (200000 – 4x) (1 – t) – 2x – 100000

2. Suponga que se quiere cercar un jardín rectangular que tiene en un costado una pared de

piedra de 100 m de largo. ¿Qué dimensiones tiene el jardín si se emplea una cerca de

200 m de longitud y el área del jardín ha de ser máxima?. ¿Cuáles son las dimensiones

si se usa una cerca de 250 m de longitud?.

Solución:

f(x) = x(300 – 2x), 100 ≥ 300 – 2x ≥ 0.


1. Exprese el número 8 como la suma de dos números positivos tales que la suma del

cuadrado del primero y el cubo del segundo sea lo más pequeña posible.

2. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máximo perímetro que puede inscribirse

en un círculo de radio 4.

3. Halle la distancia mínima entre el punto (1, -2) y un punto sobre la recta dada pos 3x +

y + 5 = 0

4. Encuentre la velocidad y aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una

línea recta tal que s(t) = t3 – 9t2 + 15t + 12. Determine también los extremos de la

velocidad y aceleración en el intervalo de tiempo [0, 6].

5. Se desea construir una caja rectangular de un pedazo de cartón de 24 cm de largo y 9

cm de ancho, cortando un cuadrado en cada esquina y doblando hacia arriba los lados.

Encuentre las dimensiones que maximizan el volumen.

6. Encuentre las dimensiones más económicas de una caja abierta (sin tapa) con fondo

cuadrado, si el volumen debe ser 4m3 y el centímetro cuadrado del fondo cuesta el

doble que el centímetro cuadrado de los lados.

7. Al negociar el precio p de un artículo, la satisfacción del vendedor aumenta con un

incremento del precio, mientras que la satisfacción del cliente disminuye con un

aumento del precio. Una forma posible de expresar la satisfacción del vendedor es por p

– V y la del comprador es por C – p, donde V y C son constantes tales que C > V. Bajo

ciertas condiciones económicas parece razonable suponer que el precio final convenido

292

pf debe maximizar la cantidad (p – V)(C – p). ¿Cuál es el valor de pf en términos de C

y V?.

8. Las funciones de renta y costo de una empresa están dadas por R(x) = -11/54x2

+235/108x – 28/27, x ∈ [2, 5] y C(x) = 3/4x + 1, x ∈ [2, 5], donde x es el producto en

miles de unidades. Encuentre la cantidad de producto que minimiza el costo, la cantidad

que maximiza la renta y la cantidad que maximiza las utilidades. ¿Hay alguna relación

entre esos valores?

9. Encuentre la cantidad (como número entero) de producto que maximiza la renta total

cuando el precio por n mil unidades está dado por 400 / (900 + n2).

10. Un cable ha de unir un punto A en una de las riberas de un río sin curvas de 2 km de

ancho a un punto B, que se encuentra a 5 km de A río arriba pero en el otro lado. El

cable debe ir primero bajo el agua (en línea recta) desde A hasta un punto C al otro lado

del río y luego bajo tierra desde C a B. ¿Dónde debe estar C para minimizar el precio si

cuesta $5.000.- por metro llevar el cable bajo agua y $3.000.- por metro llevarlo bajo

tierra?

11. El costo de operar cierto camión es de 6 + v/10 pesos por kilómetro cuando el camión

viaja a la velocidad constante de v km/h. Suponga que el conductor gana $400.- por

hora. ¿Cuál es la velocidad más económica en un viaje de 700 km?

RESPUESTAS

1. x = 6, y = 2

2. x = y = 2 2

3. x = -4/5, y = - 13/5

4. velocidad máxima – 15 ⋅ 35, aceleración máxima en x = 6

5. x = 3

6. x = 3 4

7. pf = (c – v)2 / 4

8. Máximiza utilidades x = 2 / 7, máximiza renta x = 44 / 235. Minimiza costo x = 5.

9. n = 10

10. x = 1.5

11. v = 20 10

RESUMEN

En la presente sección se revisan algunos problemas de optimización, que consiste en la

aplicación natural del concepto de derivadas, máximos y mínimos a problemas de

ingeniería.

293

GLOSARIO

Función: Relación que asocia a cada preimagen una única variable.

Variable: Número que se expresa como función de otros por medio de una relación.

SIMBOLOS


f'(x) : primera derivada.

= : igual que.

± : positivo o negativo.

∨ : o.

⇒ : implica.

294

II.3.4. APROXIMACION AFIN

Debido a que la derivada de una función en xo, se define en términos del límite del

cuociente de las imágenes de la función por las preimagenes, esto es:

o

o

xx

oo

ho xxxfxf

limh

xfhxflimxf

o −−

=−+

=→→

)()()()()('

0.

Debido a esta definición, podemos decir que cuando x se encuentra cerca de xo, entonces

(f(x) – f(xo)) / (x – xo) esta cerca de f'(xo), o equivalentemente:

o

o

xxxfxf

−− )()(

≈ f'(xo) ⇒ f(x) ≈ f(xo) + f'(xo)(x – xo)

Esta aproximación se conoce como aproximación afín de una función y es mejor en la

medida de que x se encuentre lo más cerca de xo posible.

La fórmula de aproximación es especialmente útil cuando f(x) es difícil de calcular en

comparación con f(xo) y f'(xo), como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO II.3.4.1.

Suponga que f(x) = x ,xo 0 100 y x = 101. Entonces, como f'(xo) = ox1 , la fórmula de

aproximación afín toma la forma:

x ≈ ox +ox2

1 (x –xo)

Reemplazando por los valores de x y xo, se tiene:

101 ≈ 100 + 10021 (101 - 100)

101 ≈ 10 + 1 / 20 ⋅ 1

101 ≈10.05

El verdadero valor de 101 es 10.04988…..

Este método no sólo se puede utilizar para aproximar raíces, sino que también, funciones

logarítmicas, trigonométricas, o incluso expresiones polinomicas de cierta complejidad.

ACTIVIDAD II.3.4.2.

1. Utilice el método de aproximación afín para encontrar una aproximación a 84 .

Solución:

84 ≈ 81 + 812

1 (84 - 81)

84 ≈ 9 + 1 / 18 ⋅ 3

295

84 ≈ 9.1667

El verdadero valor de 84 es 9.1651..

2. Utilice el método de aproximación afín para encontrar una aproximación a 5.81 .

Compare su resultado con el obtenido en el problema anterior.

Solución:

5.81 ≈ 81 + 812

1 (81.5 - 81)

5.81 ≈ 9 + 1 / 18 ⋅ 0.5

5.81 ≈ 9 + 1 /36

5.81 ≈ 9.027778

El verdadero valor de 5.81 es 9.027735….

3. Utilice el método de aproximación afín para encontrar una aproximación a 5 33 .

Solución:

Sea f(x) = 5 x

f(x) ≈ f(xo) + f'(xo)(x – xo)

5 x ≈ 5ox +

45 )(51

ox(x –xo)

5 33 ≈ 5 32 + 45 )32(5

1 (33 - 32)

5 33 ≈ 2 + 1 / 80 ⋅ 1

5 33 ≈ 1.0125

El verdadero valor de 5 33 es 2.012346…..

4. Encuentre una formula para aproximar una función logaritmo natural.

Solución:

f(x) ≈ f(xo) + f'(xo)(x – xo)

ln(x) ≈ ln(xo) + 1/xo ⋅ (x – xo)

RESUMEN

En la presente sección se revisa un procedimiento para encontrar la aproximación de

funciones en base a la definición de derivada, conocido como aproximación afín.

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AUTOEVALUACION

Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones

1. La aproximación afín sólo se puede aplicar cuando la función tiene primera derivada.

2. Se necesita conocer la función en varios puntos para poder aplicar la aproximación afín.

RESPUESTAS

1. Verdadero.

2. Falso.

GLOSARIO

Imagen: Elemento del codominio de una función asociado con un elemento del dominio.


Límite: Valor del codominio al cual se acercan las imágenes de una función cuando las

preimagenes tienden a un valor fijo.

Preimagen: Elemento del dominio de una función asociado con un elemento del codominio.

SIMBOLOS

≈ : aproximadamente

= : igual que.

⇒ : implica.


f'(x) : primera derivada.

oxxlim→

: limite cuando x tiende a xo.

unidad ii calculo diferencial -...

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