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Cx

x

Cuu

3

2tan

12

tan3ln

51

313ln

51

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI-NORTE

ESTELÍ, NICARAGUA

Integral indefinida. Métodos de integración

Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte1

“La Educación es una obra de infinito amor”

Integral indefinida. Métodos de integración .

El cálculo integral tiene sus orígenes en la antigua Grecia, uno de los principales problemas de su origen fue poder calcular áreas de regiones limitadas por curvas.

Cauchy, a principios del siglo XIX; Riemann, a mediados del mismo siglo; y Lebesgue, a principios del siglo XX, han sido los matemáticos a cuyos esfuerzos se deben los sucesivos refinamientos que ha tenido la teoría de la medida como continuación natural del cálculo integral.


UNIDAD I. “LA INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN”

INTRODUCCIÓN

El análisis matemático está constituido por dos grandes ramas: El Cálculo Diferencial y El Cálculo Integral. Estas dos grandes ramas, surgieron en distintas épocas, por distintas matemáticos y para resolver distintos problemas.

EL CÁLCULO INTEGRAL

La palabra Integrar tiene dos acepciones, la más profunda y fundamental coincide con el significado corriente de la palabra: se usa para indicar el “total de algo” o “una suma de partes”.

El segundo significado de la palabra integrar en matemáticas es “hallar una función conociendo su derivada”. En esta unidad se estudiará el proceso inverso, es decir, dada la derivada de , hallar la función .


PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Una función es una antiderivada de otra función , se cumple que

La antiderivada de una función también se conoce con el nombre de primitiva de la función.

Las antiderivadas de una función no son únicas, ya que forman una familia de funciones cuya representación gráfica se diferencia una de otra solamente en un número.

Ejemplo:

es una antiderivada de

. Algunas son:


X

Y

-4

-3/4

0

1

Al conjunto de todas las antiderivadas de una función f; se le llama integral indefinida de f y se representa por el símbolo .

Ejemplo:

Familia de DerivadasSimbólicamente la integral indefinida será

al despejar dy se obtiene

,entonces

INTEGRAL INDEFINIDA. DEFINICIÓN

sí y solo sí es la constante de integración

Significado de la notación de la integral indefinida:


Denota la variable respecto a la cual se realiza el proceso de integración

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. Factor de Integración

2. Integral de una constante

Ejemplo:

3. Integral Indefinida de una Potencia

si n es un número racional, entonces para .

Ejemplo:

a.

b.

c.

d.4. Integral del múltiplo constante

.


Ejemplo:

5. Integral de una suma o diferencia algebraica de dos ó más funciones

Ejemplo:

Nota Aclaratoria. Otra alternativa de solución es considerar la suma y/o diferencia algebraica de funciones como una sola función, procediendo a integrar de forma directa.

Ejemplo:

6. Integral de la Función Nula

PROPIEDADES ADICIONALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA


7.

Ejemplo:

8.

Ejemplo:

a.

b.

9.

Ejemplo:


Observación.

Al calcular la integral indefinida no importa cual sea el símbolo empleado para la variable de integración, ya que por ejemplo , entre otras, dan lugar a la misma función F.

Ejercicios Propuestos

I- Hallar la integral indefinida de cada función algebraica

a. R/

b. R/

c. R/

d. R/

e. R/

f. R/

g. R/

h. R/


i. R/

j. R/

II- Verificar en cada uno de los ejercicios anteriores que la respuesta es la antiderivada de la función dada.

Ejemplo:

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Los Métodos de Integración que se desarrollan a continuación, permiten calcular gran parte de las integrales que se estudian en este curso.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

La Integración por sustitución tiene su fundamento en la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.


El Método de Integración por Sustitución consiste en introducir una variable U que sustituye a una expresión apropiada en función de x, de forma que la integral se transforme en otra integral de variable U más fácil de integrar.

Definición. Si F es una antiderivada de f y g es una función derivable, entonces:

Ejemplos:

a- Evaluar

Solución.

Primero, se reescribe la integral como

Segundo, se identifica a u;

Tercero, se deriva a u y se despeja

Cuarto, se realiza el cambio de variable aplicando la definición


b- Hallar la integral de la siguiente función

c- Evaluar

Como la integral queda en función de dos variables, se procede a encontrar el valor de x despejándola en U para luego sustituirla en la integral.

Ejercicios propuestos

Hallar la integral de cada función por el método de sustitución


a- R/

b- R/

c- R/

d- R/

e- R/

f- R/

g- R/

h- R/

i- R/

INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

I- Tabla de integrales inmediatas para funciones trigonométricas directas.

a.

b.

c.

d.

e.

f.


g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

o.

p.

q.

r.

s.

t.

Ejemplos:

a- Evaluar


b- Evaluar

c- Evaluar

Nota: Recuérdese de las fórmulas de ángulo doble que:

d- Evaluar



I- Hallar la integral de cada función

a- R/

b- R/

c- R/

d- R/

e- R/

f- R/

g- R/

h- R/

i- R/

j- R/

II- Tabla de Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas.


Formas que contienen:

a-

b-

c-

Cuando a = número real

d-

e-

f-

III- Tabla de integrales de funciones trigonométricas inversas

g-

h-

i-

j-


k-

l-

Ejemplos:

1. Calcular

Se agrupan los términos en función de la variable, se extrae factor común y se hace completación de cuadrados

, entonces como:

de donde

donde se factoriza el Trinomio Cuadrado

Perfecto y se reduce a

obtenemos una integral de la

forma de donde

Aplicando la fórmula


2. Calcular dividir todo el integrado por 2

al introducir 2 a la raíz es 22

hacemos un cambio de variable

De otra manera

3. Calcular

Sustituyendo

Prueba. Derivamos el resultado obtenido


4. Calcular


Calcule las siguientes integrales

a- R/

b- R/


c- R/

d- R/

e- R/

f- R/

g- R/

h- R/

i- R/

INTEGRACIÓN POR PARTES

Una razón para transformar una integral en otra, es la de producir una integral que sea más fácil de evaluar. Una de las formas generales de evaluar para lograr dicha trasformación es el Método de Integración por Partes.El procedimiento de integración por parte tiene su fundamento en la regla de la derivación del producto de dos funciones. Sí u y v son funciones derivables de x entonces la diferencial del producto (u.v)´ =udv+vdu

Despejamos y nos queda: Fórmula para la Integración por Partes

La correcta utilización del método de integración por partes consiste en saber identificar cuál de los elementos del integrando será “u” y cuál será “dv”.


Cuando se aplica la fórmula para la integración por partes a una integral, se empieza por hacer que una parte del integrando corresponda a u según éste orden, la primera prioridad será para las funciones inversas, siguen en orden las funciones logarítmicas, luego las algebraicas y la última prioridad corresponde a las funciones exponenciales. Después de elegir a u, se toma el resto del integrando como dv,el cual debe incluir a la diferencial dx.

¿Para qué se hace u? y ¿Para qué se hace dv?se hace u para derivar y encontrar du y se hace dv para integrar y encontrar “v” para luego sustituir todos estos elementos en la fórmula de integración por partes.

Ejemplos:

Determine la integral de cada función usando integración por partes.

a-

Solución:

Sea :

Luego:

b-


Solución:

Sea:

Luego

c- En este ejemplo requiere usar dos veces el método , hacemos

e integrando por partes

nos queda otra integración por partes.


Hacemos

d) En este ejemplo aplicamos integración por partes repetidas, pero con un giro diferente

Hacemos

e integrando por partes

a)

Ahora integramos por partes la integral del lado derecho de la ecuación a-

Hacemos

e- Integrando por partes

b-

Sustituyendo ahora la ecuación b- en el lado derecho de la ecuación a-, obtenemos:


Sumando a ambos lados tenemos:

Factor común en el miembro derecho

Dividimos ambos lados entre 2 y agregamos la constante de integración


Evalué las siguientes integrales aplicando el método de integración por partes

a. R/

b. R/

c. R/

d. R/

e. R/

f. R/


g. R/

h. R/

i. R/

j. R/

INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

Integrales de Funciones hiperbólicas directas.

Ciertas combinaciones de ex y e-x aparecen tan frecuentemente en aplicaciones de matemática que reciben nombres especiales. Dos de esas funciones son la función seno hiperbólico y la función coseno hiperbólico.


Definición: La función seno hiperbólico está definida por:

Senhx = e x – e -x El dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales. 2

Definición: La función coseno hiperbólico está definida por:

Coshx = e x + e -x El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es el 2 Conjunto de todos los números en el intervalo [1, + ) Estas combinaciones particulares de exponenciales familiares son útiles en ciertas aplicaciones del cálculo y también son eficaces para evaluar ciertas integrales. Las otras cuatro funciones hiperbólicas: la tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas se definen:

tanhx = senhx = e x – e -x coshx ex + e-x

cothx = coshx = e x + e -x (x ≠ 0) senhx ex – e-x

sechx = 1___ = ___2___ coshx ex + e-x

cschx = ___1__ = ___2____ (x ≠ 0) senhx ex – e-x

Tabla de Integrales de Funciones Hiperbólicas Directas

a) ∫ senhxdx = coshx + C b) ∫ coshxdx = senhx + C

c) ∫ tanhxdx = ln lcoshxl + C d) ∫ cothxdx = ln |senhx| + C


e) ∫ sechxdx = tan-1 |senhx| + C f) ∫ cschxdx = ln | tanh x | + C 2 g) ∫ senh2xdx = 1 senh 2x – x + C h) ∫ cosh2xdx = 1 senh 2x + x + C 4 2 4 2 i) ∫ tanh 2 xdx = x – tanhx + C j) ∫ coth 2 xdx = x – cothx + C

k) ∫ sech2xdx = tanhx + C l) ∫ csch2xdx = - cothx + C

m) ∫ sechxtanhxdx = - Sechx + C n) ∫ cschxcothxdx = - cschx + C

Ejemplos:

a) Demostrar que ∫ tanhxdx = ln lcoshx l + C

Solución ∫tanhxdx = dx =

Hacemos u = coshx

du = senhxdx = du = ln |u | + C dx = du = ln |coshx| + C L. q. q. d

senhx

b) Evaluar ∫ cosh 3xdx

∫ cosh3xdx = ∫coshu 1 du = 1 ∫coshudu 3 3

Hacemos u = 3x = 1 senhu + C du = 3dx 3


∫ ∫

∫

dx = du = 1 senh3x + C 3 3

c) Evaluar ∫ senh3cosh2xdx

Solución: Descomponer senh3x en senh2x . senhx

∫senh2x . cosh2x (senhxdx), como cosh2x – senh2x = 1 entonces senh2x = cosh2x - 1

∫ (cosh2x – 1) cosh2x (senhxdx) = ∫ cosh4x (senhxdx) - ∫cosh2x(senhxdx)Hacemos u = cosh u4senhx du - u2 senhx _du_ senhx senhxdu = senhxdx ∫ u4du - ∫ u4 dudx = _du_ senhx = u 5 – u 3 + C

5 3 = 1 cosh5x – 1 cosh3x + C 5 3

d) Evaluar ∫xsenh2(x2)dx = xsenh2udu dx

Hacemos u = x2 = 1 ∫ senh2udu aplicando formulas du = 2xdx 2

=

= 1 senh2x2 – x 2 + C 8 4



∫∫∫

∫

∫

Hallar la integral de cada función

a) ∫ x2senhx3dx R / 1coshx3 + C 3

b) ∫ tanhxln(coshx)dx R/ ln2coshx + C

c) ∫ tanh23xdx R / x – 1 tanh3x + C 3

d) sech x tanh x dx R / 2sech x + C x

e) senhx dx R / - 1 sech2x + C cosh3x 2

f) senh x dx R / 2 cosh x + C x

g) ∫ sech4x dx R / tanhx – 1 tanh3x + C 3

h) ∫ cosh23udu R / 1 senh6u + 3u + C 12 2 i) ∫senh3x dx R / 1 cosh3x – coshx + C

3 j) senh(lnx)dx R / cosh(lnx) + C x

INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Las funciones hiperbólica inversas se pueden aplicar en integración, y algunas veces su uso simplifica los cálculos considerablemente. Debe notarse, que al usarlas no se calculan nuevos tipos de integrales. Solamente se obtienen nuevas formas de los resultados. Por ejemplo Dx(senh -1u) = 1 Dx U U2 + 1

de lo cual obtenemos la fórmula de integración


∫

∫∫

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

du__ = senh-1u + C √ u2 +1

Tabla de integrales que dan como resultado funciones hiperbólicas inversas.

a) du__ = senh-1u + C √ u2 +1

b) du__ = cosh-1u + C √ u2 -1

c) du__ = tanh-1u + C si |u | < 1 = 1 ln 1+ u + C si u ≠ 1 √ 1 - u2 coth-1u + C si |u | > 1 2 1- u

d) __du___ = - sech-1 | u | + C u √ 1- u2

e) __du___ = - csch-1 | u | + C u √ 1+ u2

Ejemplos

a) Evaluar __dx __ = dx = 1 du √4x2 + 1 √ (2x)2 +1 √ u2 + 1 2

Hacemos u = 2x = 1 ____1____ du aplicando fórmula du = 2dx 2 √ u2 + 1 du = du

2 = 1 senh-1u + C


∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫∫

∫∫

∫

2 = 1 senh-12x + C 2

b) __e x __ dx = __e x ___ dx = hacemos u = ex

16 – e2x 42 – (ex)2 du = exdx dx = du ex

__e x ___ du = ___1_____ du = aplicando fórmula 42 – u2 ex 42 – u2

= 1 tanh-1 u + C = 1 tanh-1 e x + C a a 4 4

c) Evaluar ___dx ____ = ___dx / 5____ = 1 _dx _____ x √ x2 + 25 x x2/25 + 25/25 5 x (x/5)2 + 1

Aplicamos la fórmula 1 senh-1 x + C 5 5

En este ejemplo se divide entre 5 para obtener la fórmula deseada.


Utilice las funciones hiperbólicas inversas para evaluar las integrales de los siguientes problemas.

a) __dx _____ x 4 - 9x2

R/ -1 sech-1 (3/2 x ) + C 2

b) __dx _____ 25 + 9x2

R / 1 senh-1 3x + C 3 5


∫

∫

∫

∫

∫

∫

c) __dx _____ x2+ 9 R / senh-1 + C

d) __e x _ ____ dx e2x + 91

R / senh-1ex + C

e) __1_____ dx 1- e2x

R / -sech-1ex + C

f) __1_____ dx 81+ 16x2

R / 1 senh-1 4 x + C 4 9

g) __1____ dx

R / 1 tanh-1 2 x + C 14 7

h) __e x _ ____ dx e2x - 16

R / cosh-1 (ex/ 4) + C

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

El método de sustitución trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrados ciertas expresiones algebraicas tales como a2 – u2 , a2 + u2 y u2 - a2 a > 0 estas se eliminan mediante sustituciones adecuadas.

Si la Integral Contiene entonces se sustituye y se utiliza la identidad. a2 – u2 u = asenθ 1- sen2θ = Cos2θ

a2 + u2 u = atanθ 1+ tan2θ = Sec2θ


u2 - a2 u = asecθ Sec2θ -1 = tan2θ

La Sustitución u = asenθ significa, en términos mas precisos, la sustitución trigonométrica inversa

θ = sen -1 u , - П ≤ θ ≤ П donde │u │ ≤ a a 2 2

Por ejemplo, supóngase que una integral contiene la expresión a2 – u2 . Entonces la sustitución implica:

a2 – u2 = a2 – (asenθ)2 = a2 – a2sen2θ

= a2 (1-sen2θ) = a2cos2θ = acosθ , θ ≥ 0

Triángulos de Referencia

a) Triángulo de referencia para la sustitución u = asenθ

a u θ

a2 - u2

b) Triángulo de referencia para la sustitución u = atanθ

a a2 + u2

a u


∫

∫

∫

∫ ∫

c) Triángulo de referencia para la sustitución u = asecθ

u u2 - a2

θ a

Ejemplos

1) Determine 9-x 2 dx = 9 – (3sen θ ) dx x 3senθ

usando a2 – u2 , u= asenθ , a = 3 , u = x , x = 3senθ, dx = 3cosθdθ

= 3cosθdθ = = =

3senθ

3 =

3 ∫ cscθdθ – 3 ∫ senθdθ = 3ln │cscθ – cotθ │ + 3 cosθ + C

Para volver a la variable x se usa un triángulo rectángulo de referencia y aplicamos las razones trigonométricas.

3 = 3 ln │3/x – 9-x2/x │ + 3 9-x 2 + C x 3

θ = 3 ln │3- 9-x2 / x │ + 9-x2 + C

9 – x2

2) Determine 2___ dx usamos a2 + u2 ; u = atanθ 4+5x2

a = 2 , u = 5 x ˆ u = 2tanθ

5 x = 2tanθ


∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

x = 2 tanθ 5

dx = 2 sec2θ dθ 5 Sustituimos ____2____ . 2 sec2θ dθ = 4 sec 2 θ ___ dθ

4 + (2tanθ)2 5 5 4 + 4tan2θ

4 ___sec 2 θ dθ = 4 sec 2 θ dθ = 4 sec 2 θ dθ5 4(1 + tan2 θ) 5 4sec2θ 5 2secθ

= __4 __ secθdθ = 2 secθdθ = 2 ln │secθ + tanθ │ + C 2 5 5 5

4+5x2 θ 2 = 2 ln 4+5x 2 + _5 x + C 5 2 2

5 x

= 2 ln 4+5x 2 + 5 x + C 5 2

c) Determine ___ dx_______ usando u2 – a2 , u = asecθ x 16x2 - 25

a = 5 , x = 4x u = 5secθ x = 5 secθ 4

4x = 5secθ dx = 5 secθtanθdθ 4Sustituimos

5 secθ . tanθ 4________________________ dθ = 5 . 4 ___ secθ . tanθ_____ dθ 5 secθ (5secθ)2 - 25 4 5 secθ 25sec2 θ - 25


∫ ∫ ∫

∫

4

Secθ tanθ______ = _____sec θ tan θ__ dθ = secθ tanθ dθsecθ 25 (sec2θ -1 ) secθ 25tan2θ 5 secθ tanθ

= 1 dθ = 1 θ + C 5 5

= 1 sec-1 θ + C 1 Sec-14x + C 5 5 5

4x . 16x2 - 25 . . Esto es porque no conocemos a θ, de acuerdo θ a la fórmula usada u2 – a2 corresponde

5 u = asecθ ; para hallar θ = sec-1 u a

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las sustituciones hiperbólicas se usan de manera semejante que las trigonométricas. Las tres sustituciones hiperbólicas básicas son las siguientes:

Si la Integral Contiene entonces se sustituye y se utiliza la identidad. a2 – u2 u = atanhθ 1- tanh2θ = Sech2θ

a2 + u2 u = asenhθ 1+ senh2θ = Cosh2θ

u2 - a2 u = acoshθ cosh2θ -1 = Senh2θ

Ejemplo:


∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫∫

Determine _ 1 __ dx x2 -1

Utilizamos u2 – a2 , u = acoshθ , cosh2θ – 1 = senh2θ donde u = x ^ a = 1 , entonces x = acoshθ ˆ dx = senhθdθ

Hacemos la sustitución en la integral.

__ _ 1 ____ senhθ dθ = ___senhθ___ dθ = __senhθ dθ (coshθ)2 -1 cosh2θ -1 senh2θ

senhθ dθ = dθ = θ +c = cosh-1x + C senhθ

Ejercicios Propuesto

Utilice sustituciones trigonométricas e hiperbólicas para evaluar las integrales dadas.

a) 1- 4x 2 dx R / 1-4x2 - ln 1+ 1-4 x 2 + C x 2x

b) _ x 2 __ dx 25-x2

R/ 25 sen-1 1 x – 1x 25-x2 + C 2 5 2

c) ___dx____ (4x2 - 9)3/2

R / -1x (4x2 -9)-1 + C 9


∫∫

∫

∫∫∫

d) 9 – x 2 dx x2

R / - 9 – x 2 - sen-1 x + C x 3

e) x2 x2-1 dx R / 1 x (2x2 – 1) x2 – 1 – 1 ln │x + x2 – 1 │+ C 8 8

f) sec 2 x dx (4- tan2x )3/2

R / tanx ___ + C 4 – tan2x

g) ___1___ dx x x2 + 9

R / 1 ln x 2 +9 - 3 + C 3 x

h) __ 1__ dx 25 + x2

R / senh-1 1 x + C 5

i)R / cosh-1 1 x - x 2 – 4 + C 2 x

j) R / 1 x (1+2x2 ) 1 + x2 - 1 senh-1x + C 8

INTEGRALES QUE CONTIENEN UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2 + bx + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado.

En general, el objetivo es convertir ax2 + bx + c en una suma o en una diferencia de cuadrados (u2 +

a2 ó a2 – u2 ) para que se pueda usar el método de sustitución trigonométrica.


∫

∫ ∫ ∫∫ ) ) ∫

Recordemos el proceso de completar cuadrado en un polinomio de segundo grado, cuando a= 1 en el polinomio ax2 + bx + c, se completa con la expresión ( b/2)2 , a ≠ 0.

Ejemplo. Completar el cuadrado en 3x2 + 12x + 20

3x2 + 12 x +20 agrupamos ( 3x2 + 12x) + 20

extraemos factor común 3(x2 + 4x) + 20 y se completa el cuadrado

= 3[x2 + 4x + (4/2)2 ] + 20 – 3 (4/2)2

= 3 (x2 + 4x + 4) +20 -12

= 3(x2 + 4x +4 ) +8

= 3 (x+2)2 + 8

Ejemplos

a) Determine ____1 ____ dx 9x2 + 6x +5

Solución

____1 ____ dx = ____1 ____ dx = ___ 1 ______ dx 9x2 + 6x +5 9 (x2 + 6x +5 9 (x2 + 2 x ) + 5 9 3

= __ _____________ 1 _______________ dx = ________1__________ dx 9 [ x2 + 2 x + 2/3 2 ] + 5 – 9 2/3 2 9 (x2 + 2 x + 1 ) + 5 -1 3 2 2 3 9


( (

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫∫ ∫ ∫∫ ∫

(x+4)2 + 9

∫

= _______1_____ dx Aplicando la tabla de integrales que dan como resultado funciones

9 ( x + 1 ) 2 + 4 trigonométricas inversas. 3

u = 3 ( x + 1 ) , a = 2 3

u = 3x +1 du = 3dx

dx = du 3 = __ 1__ du = 1 __1___ du = 1 ( 1 tan -1 u + C ) u2 + 4 3 3 u2 + 4 3 2 2

= 1 tan-1 (3x +1) + C 6 2

b) Determine ____dx____ x2 + 8x + 25

Solución

____dx____ = ________dx_________ = ___dx ___ x2 + 8x + 25 (x2 + 8x + 16) + 25 -16 (x+4)2 + 9

por sustitución trigonométrica = _3sec 2 θdθ__ = _3sec 2 θdθ_ = _ 3sec 2 θdθ_ (3tanθ)2 + 9 9tan2θ + 9 9 (tan2θ +1)

u = x = x + 4 = 3tanθ = _ 3sec 2 θdθ = sec 2 θ dθ = secθdθdx = 3sec2θdθ 3 (sec2θ ) secθ

= ln │sec + tan │ + C x +4 = ln (x+4) 2 + 9 + x+4 + C = ln (x+4) 2 + 9 + x + 4 + C 3 3 3 3


Evalúe las siguientes integrales


∫

∫

∫∫

∫

∫

∫

a) __x 2 ___ dx R / 3 sen-1 (x -1) -2 1- (x-1)2 - 1 (x-1) 1-(x-1)2 + C 2x - x2 2 2

b) ____1____ dx R / tan-1(x+2) + C x2 + 4x + 5

c) 1___ dx R / sen-1 1 (x-2) + C 4x - x2 2

____ 1_____ dx R / 1 tan-1 1 (x+2) + C d) x2 + 4x + 13 3 3

e) _2x + 3 __ dx R / -2 9-8x-x2 - 5 sen-1 1(x+4) + C 9-8x-x2 5

f) x+4 dx R / 1 ln │(x+3)2 + 9│ + 1tan-1 x+3 + C x2 + 6x + 18 2 3 3

g) x+ 4 dx R / 1(7x-12) (6x-x2)-1/2 + C (6x –x2)3/2 9

h) 1 dx R / 1 ln x + 2 - x___ + C (x2 + 4)2 32 x – 2 8(x2 – 4)

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR EL MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES

Toda función racional se puede integrar en términos de funciones elementales. Recuerde que una función racional f(x) es aquella que se expresa como cociente de dos polinomios. Es decir, f(x) = P(x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios. El método de fracciones


∫

∫

Q(x)

parciales es una técnica algebraica que descompone R(x) en una suma de términos.

Para calcular una integral de la forma P(x) dx , donde P(x) y Q(x) son polinomios se Q(x)

tienen los siguientes casos:

Caso 1

Cuando f(x) = P(x) es impropia, o sea que el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x) , Q(x)

se logran fracciones parciales mediante la división de P(x) entre Q(x) obteniéndose un cociente C(x) y un residuo R(x) de lo cual se sabe que f(x) = P(x) = C(x) + R(x)

Q(x) Q(x)

Ejemplos:

a) Evalúe 2x3 dx primero dividimos P(x) por Q(x) para obtener el cociente C(x) x2 – 4 y el residuo R(x).

Recordando las técnicas algebraicas, para dividir polinomios, el dividendo y el divisor deben estar ordenados y completos.

2x3 + 0x2 + 0x x2 + 0x – 4 -2x 3 + 0x 2 + 8x 2x 8x

C(x) = 2x R(x) = 8x

Ahora apliquemos el teorema y resolver la integral obtenida

f(x) = P(x) = C(x) + R (x) Q(x) Q (x)


= =

= hacemos u = x2-4 du = 2xdx dx = du

2x= = x2 + C1 + 8

, donde C= C1 + C2

b) Evalúe

-4x2 + 0x+5 2x +34x 2 + 6x -2x+3 6x + 5 - 6x - 9

-4

Hacemos u=2x+3

du= 2dx dx =

= , en donde C = C1 + C2

Caso 2

Cuando es propia, osea que el grado de P(x) es menor que el grado Q(x). De este

caso se tiene a su vez dos situaciones:


2.1 Si el denominador Q(x) tiene solo factores lineales repetidos y no repetidos ax+b.

A cada factor ax+b de Q(x) que aparezca “n” veces se le hace corresponder la suma parcial

donde A1 , A2 , A3 , ….. An son constantes a buscarse.

Ejemplo de factor lineal no repetido.

Determine primero se factoriza el denominador

, Ahora encontramos el valor de A y B

, buscamos el m.c.d (x+2) (x-1) y nos queda

3 = A (x-1) + B (x+2) Sustituyendo B en 1 A + B = 03 = Ax - A + Bx + 2B A + 1 = 0 A = -13 = (Ax + Bx) – A + 2B Otra manera de encontrar A y B es sustituyendo los 3 = (A + B) x – A + 2B valores de x = -2 x=1 3 = A (x-1) 3 = B(x+2)Formamos un sistema de Ecuaciones 3 = A (-2 – 1) 3 = B (1+2)1 A + B = 0 B=3/3 3 = -3A 3 = 3B2 -A + 2B = 3 B=1 A = -1 B = 1 3B = 3

Sustituimos los valores de A y B y resolvemos la integral

= -


Hacemos u= x+2 u = x-1 = - du = dx du = dx = -

= , donde C = C1 + C2

Ejemplo de factor lineal repetido

Determine En este ejemplo tenemos factores lineales repetidos y no

repetidos.

=

1 A + B = 1 sustituyendo A = 1 B = 0 en 2 2 -3A–2B+C = 0 -3A–2B+C = 03 3A + B – C + D = -4 - 3(1) – 2(0) + C = 04 -A = -1 / (-1) -3 + C = 0 A = 1 C = 3Sustituyendo A = 1 en 1 sustituyendo A, B y C en 3A+B = 1 3A+ B – C + D = -41+B = 1 3(1) + 0- 3+ D = -4B = 0 D = -4


=

Hacemos u = x-1 =

du = dx =

=

=

= , donde C = C1 + C2 + C3 + C4

2.2 Si el denominador Q(x) tiene solo factores cuadráticos ax2+ bx+c La parte de la descomposición en fracciones parciales de f(x) correspondiente al factor cuadrático irreducible ax2+bx+c de multiplicidad “n” es una suma de “n” fracciones parciales de la forma

donde

A1, A2, …, An y B1, B2, ….Bn son constantes a buscarse

Ejemplo:

a) Determine

Solución

m. c. d = (x2 + 1)2


A=0 , B=2 , A+C = 0 ; B+D = 3 , C = 0 , D = 1

Usando una sustitución =

Trigonométrica tenemos =

u = x = atan , a = 1 =

dx = sec2d =

1 =

x

=

También puede ocurrir que el denominador Q(x) tenga factores lineales y cuadráticos a la vez, en este caso se usan ambos métodos.

Ejemplo: Determine

Solución

m. c. d. = x (2x2 + 1)


2 A + B = 0 ; C = 0 , A = 1

Sust. A = 1 en 2 A + B = 0

2(1) + B = 0

B = -2

Hacemos u = 2x2+1

du = 4xdx

= donde C = C1+C2


Evaluar las siguientes integrales

a) R /

b) R /

c) R /

d) R /

e) R /


f) R /

g) R /

h) R /

i) R /

INTEGRALES RACIONALES DE SENOS Y COSENOS

La sustitución permite reducir el problema de calcular la integral de cualquier función racional de senx y cosx al de hallar la integral de una función racional de u.Esta a su vez puede resolverse mediante el método de descomposición en fracciones parciales. La aplicación de este método es siempre laboriosa, se utiliza solo cuando han fallado otros métodos más sencillos.

Definición: Si un integrando es una expresión racional en senx y cosx, las siguientes sustituciones lo transforman en una expresión racional en u:

donde

Ejemplo de ¿Cómo deducir la expresión ?

Sea y sea se realiza la siguiente sustitución

se multiplica ambos miembros por por conveniencia


despejamos separamos

como entonces nos queda L. q . q. d

Ejemplos1) Evaluar

Solución: se sustituye dx por y por

=

Usando la tabla de integrales de funciones trigonométricas inversas nos queda

=


2) Evaluar

Solución

=

= Hacemos v = 1+u

dv = du=

=

3) Evaluar

Solución

=

= Resolvemos esta integral aplicando al método de fracciones parciales

Factorizamos dando como resultado

=


m.c.d =

1 3A + B = 0 2 -A + 3B = 2 * 3 3A + B = 0 -3A +9B = 6 10 B = 6 ; Sustituimos en 1

entonces

Hacemos



Evalúe las Siguientes Integrales:

R /

R /

R /

R /

R /

R /

R /

INTEGRALES DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS


Algunas integrales trigonométricas se pueden evaluar sin integrar por partes. Si n es un entero positivo impar, se escribe Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica para obtener una integral más fácil.

Ejemplo: Evaluar

Solución : = =

Hacemos

senxdudx

Para potencias impares de cos x se escribe y se utiliza la identidad , para obtener una integral mas sencilla.

Cuando el integrando es xsenn o bien , para n par, se utiliza la identidad

trigonométrica ,

Ejemplo : Evaluar

Solución:

= se aplica otra vez la identidad y se escribe

y se sustituye en la integral

Hacemos u = 2x

du = 2dx


y u = 4x

= du = 4dx

Integrales de la Forma

Si uno de los exponentes m ó n es impar se utiliza la identidad trigonométrica

Ejemplo: Evaluar

Solución:

Hacemos

=

Si los exponentes m y n son pares se usan las identidades trigonométricas

Ejemplo : Evaluar Solución


=

=

Se aplica otra vez la identidad y se escribe hacemos

=

hacemos

Integrales del tipo ó

Cuando el exponente m es impar según la integral se separan los factores ó y se usan las identidades trigonométricas ó

Luego se realiza un cambio de variable conveniente.


Ejemplo. Evaluar Solución:

Hacemos

Cuando el exponente n es par se separan los factores sec2x ó csc2x y se utilizan las identidades trigonométricas ó y luego se realiza un cambio de variable conveniente.

Ejemplo Evaluar

Solución

Hacemos

Cuando el exponente m es par y el exponente n es impar se usa el método de integración por partes.

- Para las integrales de potencias hiperbólicas se consideran situaciones similares usando las identidades hiperbólicas análogas a las trigonométricas.



Evalúe las siguientes integrales:


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