7/25/2019 UNIDAD I Aristteles Sistemas Axiomticos

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UNIDAD I:

La concepcin aristotlica de la ciencia

Aristteles inaugura el criterio de que una ciencia terica est constituida por un conjunto

de proposiciones lgicamente sistematizables, a saber: las proposiciones se dividen en

principios (que a su vez se clasifican en principios comunes o axiomas y principios

propios) y en consecuencias lgicas de los principios o teoremas

!os principios comunes son verdades que se refieren a cualquier g"nero de objetos #j:los principios lgicos, de no contradiccin, de identidad, del tercero excluido !os

principios propios en cambio no, son espec$ficos de un g"nero de entidad

La geometra de Euclides como cristalizacin de la axiomtica clsica

!os puntos de partida de los razonamientos de #uclides constan de principios y

proposiciones que se dividen respectivamente en definiciones, postulados, axiomas y

problemas y teoremas #uclides usa en total %&' definiciones, axiomas, postulados y* proposiciones demostradas #n la metodolog$a euclideana no +ay t"rminos

primitivos, pues #uclides pretende que de la totalidad de los t"rminos se ofrezca una

definicin

#jemplos:

Definiciones: -punto es lo que no tiene partes./ -l$nea es una longitud sin

anc+ura./ -superficie es aquello que slo tiene longitud y anc+ura./ -los extremosde una superficie son l$neas., etc"tera

ostulados: % 0razar una l$nea recta de un punto cualquiera a un punto cualquiera

' 1roducir una recta finita continuamente en l$nea recta

& 2ibujar un c$rculo con cualquier centro y distancia

0odos los ngulos rectos son iguales entre s$

3i una l$nea recta corta a otras dos de manera que la suma de los ngulos interiores de

un mismo lado sea menor que dos ngulos rectos, entonces dic+as rectas, prolongadas

suficientemente, se cortarn del mismo lado de la primera l$nea recta en que seencuentren aquellos ngulos cuya suma es menor que dos rectos

Axiomas: -las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre s$./ -sia iguales se agregan iguales, los totales son iguales./ -si a iguales se sustraen

iguales, los restos son iguales./ -las cosas que coinciden entre s$ son iguales entre

s$./ -el todo es mayor que la parte.

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El surgimiento de las geometras no euclidianas!

!a pre+istoria de las geometr$as no euclidianas comienza con el intento de mostrar el 4postulado de #uclides

2esde el punto de vista actual lo que resulta de todos estos intentos de demostrar el

postulado 4 es que ninguno consigui +acerlo a partir de los cuatro anteriores sino que,explicita o impl$citamente, usaron alg5n otro postulado, adems de los cuatro primeros

3e intenta pro"ar el # postulado por reduccin al a"surdo en este intento surgen dosnuevas geometr$as que son las no euclidianas:

!a geometra $iper"lica: (3acc+eri) existen varias rectas paralelas que pasen por un

punto exterior a una dada 3e cambia el sendito de paralelas, se le da otra definicin (estaes la que vemos)

!a geometra elptica: 2ada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta

que pase por el punto y sea paralela a la recta dada

0ambi"n estuvo el intento de negar el 4 postulado 3uponiendo que se iba a encontrar unacontradiccin, pero la contradiccin nunca se encontr

6auss: es el 5nico en sospec+ar que el 4 postulado es independiente de los otros cuatro yque no se pod$a demostrar, ni en forma directa ni por el absurdo, porque no estaba

implicado por los otros cuatro postulados

1ero 6auss, no ten$a pruebas de que era independiente #l +ec+o de deduzca ninguna

contradiccin no quiere decir que no est" implicada

2os sentidos de la expresin -geometr$a no eucl$dea.

% se llama geometr$a no euclidiana a cualquier sistema geom"trico en el cual se

demuestre al menos un teorema %ue es incompati"le con un teorema de la

geometr$a de #uclides 7 en este sentido +ay muc+as geometr$as no euclideas' la geometr$a no euclidiana es la geometr$a que se obtiene remplazando el 4

postulado por su negacin #ste es el sentido de !obac+evs8y y 6auss Ac +ay

que distinguir otros dos sentidos:

las que se obtienen manteniendo los cuatro primeros postulado y remplazando el4 (!obac+evs8y) -por un punto exterior a una recta pasan ms de una paralela.

(geometr$a +iperblica)

las que se obtienen remplazando el quinto y modificando alguno de los otrospostulados

El programa logicista

&omponentes de los sistemas axiomticos

ropiedades de los sistemas axiomticos

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El formalismo de 'il"ert

#l texto Grundlagen der Geometrie(Fundamentos de la geometra), que 9ilbert publicen %;;, sustituye los tradicionales axiomas de #uclides por sistema formal de '%

axiomas #vitan las debilidades identificadas en los de #uclides, cuya obra clsicaElementossegu$a siendo usada como libro de texto en aquel momento

#l enfoque de 9ilbert marc el cam"io al sistema axiomticomoderno! Los axiomasno se toman como (erdades e(identes!!a geometr$a puede tratar de cosas, sobre las

que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado expl$cito

a los conceptos indefinidos

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#ste enfoque +a tenido "xito e influencia en relacin con el trabajo de 9ilbert en el

lgebra y el anlisis funcional, pero no +a conseguido cuajar igual con sus intereses en

f$sica y lgica

El tra"a,o de -.del

9ilbert y los matemticos de talento que trabajaron con "l en esta empresa estaban

dedicados al proyecto 3u intento de dar soporte a la matemtica axiomatizada con

principios definidos, que eliminar$a las incertidumbres tericas, iba sin embargo a acabaren derrota

6deldemostr que no se pod$a demostrar la completitud de ning5n sistema formal no

contradictorio que fuera suficientemente amplio para incluir al menos la aritm"tica, slo

mediante sus propios axiomas #n %;&% su teorema de la incompletitudmostr que elambicioso plan de 9ilbert era imposible tal como se planteaba #l segundo requisito no

pod$a combinarse con el primero de forma razonable, mientras el sistema axiomtico sea

genuinamente finito

3in embargo, el teorema de completitud no dice nada al respecto de la demostracin de lacompletitud de la matemtica mediante un sistema formal diferente !os logros

posteriores de la teor$a de la demostracincomo m$nimo clarificaron la relacin de la

consistencia con las teor$as de inter"s principal para los matemticos

/e puede (er %ue el primer teorema de -odel da una demostracin de

incompati"ilidad: el sistema no puede ser axiomtico0 consistente + completo a la

(ez! ude tener dos de esas propiedades pero no las tres a la (ez! 1o puedo tener una

aritmtica %ue sea consistente + completa0 pero no axiomtica! /i es axiomtica +

consistente0 es incompleta + si es axiomtica + completa es inconsistente! Entonces0lo usual es o "ien tra"a,ar con una aritmtica no axiomatizada0 %ue puede ser

consistente + completa0 o "ien tra"a,ar con una axiomtica consistente pero %ue es

incompleta! Es ese0 en esencia0 el resultado de -odel!

http://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttp://es.wikipedia.org/wiki/1931http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_incompletitud_de_G%C3%B6delhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_demostraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttp://es.wikipedia.org/wiki/1931http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_incompletitud_de_G%C3%B6delhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_demostraci%C3%B3n