Unidad didctica para la interpretacin de la integral definida

como el rea de una regin plana, mediante la modelacin de las

funciones en Geogebra

Yetza Ximena Daz Pinzn

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Matemticas

Bogot, Colombia

2015

Unidad didctica para la interpretacin de la integral definida

como el rea de una regin plana, mediante la modelacin de las

funciones en Geogebra

Yetza Ximena Daz Pinzn

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al ttulo de:

Magister en Enseanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Directora:

Myriam Margarita Acevedo Caicedo

Magister en Matemticas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Matemticas

Bogot, Colombia

2015

(Dedicatoria o lema)

A la mxima creacin de la naturaleza: mi Lucci

Agradecimientos

Agradezco a Dios por poner en mi camino los planes y las personas adecuadas:

A la profesora Myriam Caicedo para compartirme sus conocimientos e ideas con paciencia

y dedicacin.

A mi familia y amigos por no permitirme retroceder.

Resumen y Abstract IX

Resumen

En la experiencia como docente del curso de Clculo integral en el nivel universitario, he

evidenciado, en diferentes grupos de estudiantes, dificultades relacionadas con la

comprensin, interpretacin y aplicacin del concepto de integral definida. Aparte de lo

anterior, al analizar la discusin del tema, antes mencionado, en libros de texto

comnmente utilizados por los docentes, se observ, que esta discusin es esquemtica,

formal y poco profunda. Teniendo en cuenta esta problemtica, en la unidad didctica que

se presenta en este trabajo se plantea una aproximacin intuitiva y secuencial al concepto.

Se describen, en el marco que fundamenta la unidad, elementos relacionados con la

historia y la epistemologa del concepto de integral, enfatizando en el anlisis de los

obstculos epistemolgicos y didcticos asociados a ellos y en los aspectos disciplinares

relativos a la teora de integracin y en particular a la introduccin del concepto de integral

definida.

La unidad didctica se inicia con actividades relacionadas con la determinacin de reas

de regiones planas (regulares e irregulares), por recubrimiento, y propone

secuencialmente situaciones que permiten aproximarse al concepto formal de integral

definida, haciendo nfasis en procesos de visualizacin y generalizacin, con el apoyo del

software Geogebra.

Palabras claves: Inscrito, circunscrito, recubrimiento, rea, suma de Riemann, integral

definida.

X

Unidad didctica para la interpretacin de la integral definida como el rea de una regin plana, mediante la modelacin de las funciones en Geogebra

Abstract

Teaching experience in the course of integral calculus at the university level, I have shown,

in different groups of students, difficulties related to the understanding, interpretation and

application of the concept of definite integral. Apart from the above, in analyzing the

discussion of the topic, above, in textbooks commonly used by teachers, it was noted that

this discussion is schematic formal and shallow. Given this problem, in the teaching unit is

presented in this paper, intuitive and sequential approach to the concept arises.

Are described under underlying unity, elements related to the history and epistemology of

the concept of comprehensive, emphasizing the analysis of epistemological and didactic

obstacles associated with them and the disciplinary aspects of the theory of integration and

in particular the introduction of the concept of definite integral.

The teaching unit begins with determining related areas of flat regions (regular and

irregular), for coating activities and proposes sequentially situations that allow approaching

the formal concept of definite integral, emphasizing visualization and generalization

processes, with Geogebra support software.

Keywords: Inscribed, circumscribed, covering, area, Sum of Riemann, definite integral.

XI

Contenido

Pg.

Agradecimientos ............................................................................................................................... VII

Resumen ........................................................................................................................................... IX

Abstract .............................................................................................................................................. X

Contenido .......................................................................................................................................... XI

Lista de figuras ............................................................................................................................... XIV

Introduccin ........................................................................................................................................ 1

1. Marco Histrico .......................................................................................................................... 4

1.1. Orgenes del clculo ........................................................................................ 4 1.2. La matemtica Griega...................................................................................... 4

1.2.1. Eudoxo de Cnido (408 A.C-355 A.C). .................................................... 5 1.2.2. Arqumedes de Siracusa (287-212 A.C.) ............................................... 9

1.3. La matemtica del siglo XVI........................................................................... 13 1.3.1. Simn Stevin (1548 - 1620). ................................................................ 14 1.3.2. Johannes Kepler (1571 - 1630). .......................................................... 14 1.3.3. Galileo Galilei (1564 - 1642). ............................................................... 15 1.3.4. Bonaventura Cavalieri. (1598-1645) ................................................... 16 1.3.5. Pierre de Fermat (1601 - 1665) ........................................................... 17

1.4. La matemtica del siglo XVII.......................................................................... 18 1.5. La matemtica del siglo XIX .......................................................................... 19

1.5.1. Agustin Louis Cauchy. (1789 - 1857) .................................................. 19 1.5.2. Bernhard Riemann (1826 1866) ........................................................ 20 1.5.3. Camille Jordan (1838 - 1932) .............................................................. 20

2. Marco Epistemolgico .............................................................................................................. 22

2.1. Dificultades y Obstculos Cognitivos. ................................................................ 22 2.1.1. Obstculos epistemolgicos ................................................................ 24 2.1.2. Obstculos Didcticos ......................................................................... 32 2.1.3. Revisin de Textos .............................................................................. 35 2.1.4. Prueba Diagnstica ............................................................................. 40 2.1.5. Anlisis de resultados de la prueba diagnstica. ................................. 41

XII

Unidad didctica para la interpretacin de la integral definida como el rea de una regin plana, mediante la modelacin de las funciones en Geogebra

3. Marco Disciplinar ...................................................................................................................... 53

3.1. reas de regiones rectangulares y triangulares. ................................................ 53 3.1.1. Postulado de la adicin de reas. ............................................................ 55 3.1.2. Definicin axiomtica de rea ................................................................. 56

3.2. El rea de regiones ms generales .................................................................. 57 3.3. rea de regiones planas limitadas por diferentes tipos de curvas. Sumas de Riemann. .................................................................................................................. 59

3.3.1. Sumas superiores e inferiores de Riemman ............................................ 63 3.4. Propiedades de la integral definida. .................................................................. 69 3.5. Funciones escalonadas. ................................................................................... 72

3.5.1. Integrales definidas de funciones escalonadas ........................................ 72 3.5.2. Propiedades de la integral definida de una funcin escalonada. ............. 75

3.6. Funciones Riemann Integrables - . ....................................... 81 3.7. Primer Teorema fundamental del clculo. ........................................................ 85 3.8. Segundo teorema fundamental del clculo. ...................................................... 87

3.8.1. Regla de Barrow. .................................................................................... 88 3.9. Funciones Jordan integrables. ......................................................................... 89

3.9.1.