Escuela Normal Superior Del Sur De Tamaulipas.

Maestra:

NICASIO SEGURA MARIA DE LA LUZ.

Unidad didáctica de matemáticas

de 9ºUso de ecuaciones cuadráticas.

Contenidos:

Rotación y translación de figuras.Relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.Teorema de Pitágoras.Calculo de probabilidad.

Contenido 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas.

La ecuación queda de la forma: ax2+bx=0

1. se da la ecuación x2+3x=0

2. Sacamos factor común: x(x+3)=0

3. Si el producto de x por x-3 es cero, ha de ser cero alguno de los factores: x=0 ó x-3=0

4. Las dos soluciones serán: x=0 y x=-3 

Ejercicio.

Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

El área de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado? 

El triple del área de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es igual a cero. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado? 

Ecuaciones de la forma ax2

=bxEn equipo resuelvan el siguiente problema: La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un año mayor, da como resultado cinco veces la edad del primero. ¿Cuáles son las edades de Luis y de su hermano?

Ecuaciones de la forma ax2+ bx + c =0.

1.- A un cuadrado (Fig. A) se le aumenta 7 cm de largo y 3 cm de ancho, con lo que se forma un rectángulo (Fig. B) cuya área es x2+10x+21. Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica.

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido (Fig. B)? Base: _________ altura: _____________ Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+10x+21 Si el área de un rectángulo similar al de la figura B, es x2+9x+18, ¿cuántos centímetros se le aumentó de largo y cuántos de ancho? Si el área x2+9x+18 es igual a 40 cm2, ¿cuántos centímetros mide de largo y cuántos centímetros mide de ancho el rectángulo?

2.- Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografía y colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un rectángulo cuya área es 72 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que se forma?

resuelve por factorización las siguientes ecuaciones como :

a) x2 + 6x +8 = 0b) m2 + 10m + 21 = 0c) x2 - 10x + 25 = 0d) x2 = - 6x - 9e) 12x +36 = - x2

Actividad.a) ¿Cuántos metros mide por lado el siguiente cuadrado?

b) ¿Cuántos centímetros mide la base y cuántos centímetros mide la altura del siguiente paralelogramo?

b) ¿Cuántos centímetros mide la base y cuántos centímetros mide la altura del siguiente paralelogramo?

c) ¿Cuáles son las dimensiones del siguiente rectángulo?

Encuentren una ecuación cuyas soluciones sean por ejemplo:1. x1 = 3, x2= -12. x1 = 5, x2= 73. x1 = -4, x2= -14. x1 = -4, x2= 3

Contenido: 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

La rotación es un movimiento angular de cada uno de los puntos a partir de un punto que es el centro de giro. Para este movimiento es necesario dar un ángulo y el punto centro de giro.

Video sobre la rotación de figuras.

Translación de Figuras.es un movimiento en el plano de tal forma que a cada punto de la figura le corresponde un vector de traslación, (una distancia, una dirección y un sentido de la traslación)

Simetría axial y central.

La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo.

Video sobre la Simetría axial

Simetría central

Es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

1. El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

2. b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

1.- completen las siguientes figuras de manera que ¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

1era. Actividad.Realiza los siguientes ejercicios.

¿Qué figura se formará en el tercer dibujo?¿A qué distancia de m estará el punto B’ en la primera figura?¿Cuál va a ser la medida de los lados simétricos en cada figura?¿Cuánto medirá el ángulo B’?¿Cuál va a ser la medida de los ángulos O’ y P’ en la segunda figura?¿Qué figura se formó en cada caso?Las figuras anteriores ¿tienen otros ejes de simetría, además de m? Trázalos.¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

Tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea “q” como eje de simetría. Al terminar los trazos, respondan las preguntas.

2da. Actividad.

a) Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores.

b) ¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto de la original?

3ra. Actividad.Realiza los siguientes ejercicios.

1.- Organizados en parejas, averigüen cuáles transformaciones se realizaron para pasar de la figura original a la final. En cada uno de los casos, señalen con líneas punteadas las transformaciones que identificaron.

Caso 1

Caso 2

En cada caso, escribe qué tipo o tipos de transformaciones sufrió la primera figura para obtener la segunda. Trapecio isósceles: ________________________________________________ Cuadrilátero PQRS: __________________________________________________ Pentágono ABCDE: __________________________________________________

Solución.

Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los

cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

Actividad 1.1.- Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente triángulo.Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor. 

Actividad 2.resuelvan el siguiente problema:Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados.

1. ¿Cuánto mide el área de cada una de las plazas?

2. Encuentren qué relaciones hay entre las áreas de las tres plazas.

3. ¿Qué figura geométrica representa el jardín?

 

Actividad 3 Reunidos en binas, comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qué relación hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1.

Con base en la relación que encontraron y considerando la figura 3, elaboren una

conclusión

Figura 3.

Actividad 2.1. En la misma bina, analicen las siguientes figuras y comprueben algebraicamente que la suma de las áreas sombreadas de la figura A es igual al área sombreada en la figura B.

Con base en la equivalencia que encontraron y considerando la figura C, alabaren una conclusión.

Figura 3

Actividad 3. equipos calculen el área de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada triángulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide.

No. Figura

Suma de las áreas de los cuadrados con las medidas de los lados

menores

Área del cuadrado con la medida del lado mayor

Nombre del triángulo por la medida de sus

ángulos

Nombre del triángulo por la medida de sus

lados

1

2

3

4

la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los otros dos lados

a2 + b2 = c2

Contenido: 9.2.5 Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras.

Video de Teorema de Pitágoras.

Video de la aplicación del teorema de Pitágoras.

Actividad 1.1.- Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora. 1.-Un albañil apoya una escalera de 5 m de largo contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 m del muro. Calculen a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera. 2.-En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48 m y 64 m.

3.- ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje en forma de rombo, si cada lado mide 26 m y la diagonal menor 40 m?  4.- El pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte del pueblo A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km al este de B.¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C? 

Actividad 2.1.- Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Individualmente, calculen el perímetro de cada uno.

Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos

eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la

suma).Actividad 1.1.- De la siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tres de tus compañeros más cercanos.

1.- Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en…el número 5? _____________ un número menor que 4? _____________ un múltiplo de 2? _______________ un número impar? _________________ un número que no sea impar? un número impar o par? _____________

2.- lanza el tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede sobre la superficie plana, …

sea color rojo? ___________ no sea de color rojo? sea color verde o rojo? ___________

sea color verde o blanco o rojo? ___________

Actividad 2. Resuelvan el siguiente problema:

Se tienen dos dados, uno azul y otro rojo, que tienen sus caras marcadas con puntos del uno al seis. El experimento consiste en lanzar simultáneamente los dos dados. Los resultados posibles del experimento son parejas de números en los cuales el primero es el número de puntos del dado rojo y el segundo del azul. Completen la tabla.

D A D O A Z U L

1 2 3 4 5 6

DADO ROJO

1 1,1

2 2,2

3

4

5 5,4

6 6,5

¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento? _________________________________________________________¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos? _________________________________________________________

Anoten los resultados que hacen falta en la siguiente tabla.

EVENTO RESULTADOS POSIBLES

PROBABILIDAD

A {La suma es dos}

B {La suma es tres}

C {La suma es siete} 6 6/36

D {La suma es diez}

E {La suma es 3 o 10}

F {La suma es mayor que 10 o múltiplo de 4}

Respecto a la tabla anterior.

a) ¿Qué evento tiene mayor probabilidad? _______________

b) ¿Qué evento tiene menor probabilidad? _______________

c) Formulen un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente excluyentes. _________________________________

d) Formulen un evento compuesto por dos eventos que NO sean mutuamente excluyentes. _________________________________