UNIDAD DIDÁCTICA: " FUNCIONES"

OBJETIVOS DE LA ETAPA

Entre todos los objetivos de la etapa de secundaria obligatoria una unidad didáctica sobre gráficas de funciones puede contribuir a desarrollar en los alumnos los siguientes:

Formarse una imagen ajustada de sí mismo, de sus características y posibilidades y actuar de forma autónoma valorando el esfuerzo y la superación de dificultades.

Relacionarse con otras personas e integrarse de forma participativa en actividades de grupo con actitudes solidarias y tolerantes, libres de inhibiciones y prejuicios.

Conocer y valorar el desarrollo científico y tecnológico, sus aplicaciones e incidencias en el medio físico, natural y social.

Interpretar y producir con propiedad, autonomía y creatividad, mensajes que utilicen códigos artísticos, científicos y técnicos.

Elaborar estrategias de identificación y resolución de problemas en los diversos campos del conocimiento y la experiencia, contrastándolas y reflexionando sobre el proceso seguido.

Obtener y seleccionar información, tratarla de forma autónoma y crítica y transmitiría a los demás de manera organizada e inteligente.

La unidad didáctica se centrará principalmente en desarrollar las capacidades de los últimos tres objetivos.

OBJETIVOS DEL ÁREA

Los objetivos del área de Matemáticas son:

1. Utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la realidad.

2. Comprender e interpretar distintas formas de expresión matemática e incorporarla al lenguaje y a los modos de argumentación habituales.

3. Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, resolverlos y analizar los resultados utilizando los recursos apropiamos.

4. Reflexionar sobre las propias estrategias utilizadas en toas actividades matemáticas. 5. Incorporar hábitos y actitudes propios de la actividad matemática. 6. Reconocer el papel de los recursos en el propio aprendizaje.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

1. Interpretar datos representados en tablas o gráficamente, considerando para ello la situación de la que son extraídos.

2. Elegir adecuadamente las unidades en cada uno de los ejes de coordenadas según el fenómeno estudiado y sistematizar la recogida de información.

3. Relacionar entre sí las distintas formas de expresar una función: usando una tabla numérica, a partir de una gráfica, por descripción de una situación o mediante expresiones algebraicas muy sencillas.

4. Reconocer y, describir algunas características globales de las funciones: crecimiento, continuidad, extremos, tendencias y puntos de corte con los ejes.

5. Utilizar adecuadamente los términos propios de las funciones y tener un sentido crítico ante informaciones gráficas o numéricas sobre fenómenos presentados en los medios de comunicación.

6. Interpretar funciones, comparando sus gráficas representadas sobre los mismos ejes.

CONTENIDOS

CONCEPTOS:

1. Funciones expresadas mediante gráficas. 2. Funciones dadas a partir de tablas de datos. 3. Descripciones verbales y expresiones algebraicas de funciones sencillas. 4. Características globales de las funciones.

Matizando aún más los conceptos básicos a estudiar son:

A. Variables o magnitudes que se relacionan. B. Variable dependiente e independiente. C. Pendiente, ordenada al origen.D. Unidades de medida. Graduación de los ejes. Escala. E. Función Lineal.F. Interpretación y gráfica.G. Continuidad-discontinuidad. H. Crecimiento-decrecimiento. I. Ceros o raíces de la funciónJ. Máximos-mínimos.K. Función cuadrática.L. Representación gráfica, coordenadas del vértice.M.Forma polinómica y canónica.

PROCEDIMIENTOS:

1. Elaboración e interpretación (de tablas a partir de un conjunto de datos, de gráficas o de expresiones funcionales, teniendo en cuenta el contexto en el que se producen.

2. Reconocimiento de relaciones entre magnitudes. 3. Interpretación y utilización del lenguaje gráfico teniendo presente la situación que se quiere representar y

emplear el vocabulario y los símbolos adecuados. 4. Uso de expresiones algebraicas para describir funciones en casos sencillos. 5. Reconocimiento de intervalos de crecimiento y decrecimiento. 6. Identificación e interpretación del significado de los valores extremos de una función. 7. Identificación de gráficas de funciones continuas y discontinuas. 8. Reconocimiento de los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas. 9. Selección de las unidades y las escalas más convenientes. 10. Reconocimiento de las tendencias de algunas funciones. 11. Sistematización de la toma de datos.

ACTITUDES:

1. Valoración de la utilidad del lenguaje gráfico para representar situaciones de la vida cotidiana y cuestiones de las diferentes ciencias.

2. Interés por conocer las relaciones existentes entre el lenguaje gráfico y otros lenguajes matemáticos. 3. Curiosidad para buscar y encontrar relaciones entre magnitudes. 4. Actitud crítica ante el uso del lenguaje gráfico en informaciones del ámbito social, político y económico.

METODOLOGÍA

La metodología que vamos a usar en la exposición de este tema, consistirá en que a partir de actividades propuestas al alumno, deduciremos las consecuencias que nos interesen y, que nos permitan introducir los conceptos, de acuerdo con los contenidos y objetivos propuestos en la presente unidad didáctica.

Las actividades en el aula, serán realizadas en grupos de cuatro alumnos, permitiendo a cada grupo, con planteamientos diferentes de los ejercicios, exponerlos en clase.

Cada alumno tendrá en su cuaderno individual las actividades realizadas tanto individualmente como en grupo.

Para conseguir que el aluminio emplee el lenguaje matemático preciso en cada situación, le daremos libertad para que inicialmente utilice su vocabulario, pero conforme vayamos avanzando en el tema haremos más exigible un correcto lenguaje matemático.

Todos los días dejaremos una cuestión pendiente para que el alumno individualmente la inicie y lo complete en casa.

Daremos gran importancia a que el alumno vaya adquiriendo confianza en sus conocimientos y razonamientos.

Después de realizar algunas actividades de presentación-motivación, que nos sirvan para detectar las ideas previas que tienen los alumnos, se les repartirá un esquema con todos los conceptos básicos que vamos a estudiar en una gráfica.

El esquema servirá de guía para el estudio de todas las gráficas, y en cada ejercicio se responderá a las cuestiones propuestas en él y se intentará que estudien todas las características posibles de la gráfica.

Después de realizar las actividades que desarrollan el tema se propondrá a los alumnos que utilicen el esquema para realizar el estudio de una gráfica que aparezca en un medio de comunicación (periódico, revista, etc.).

Otra actividad propuesta al alumno será que busquen una gráfica e intenten proponer cuestiones sobre ella que posteriormente serán respondidas por sus compañeros.

Al final de la unidad didáctica se presentan tres actividades propuestas por los alumnos.

Esquema: ESTUDIO DE UNA GRÁFICA:

1. Variables o magnitudes que se relacionan. 2. Variable dependiente y variable independiente. 3. Graduación de los ejes. Unidad de medida y escala. 4. Continuidad-Discontinuidad:

- En la gráfica ¿hay puntos o líneas?

-¿Tiene sentido unir los puntos?

5. Crecimiento y decrecimiento:

-¿Cuándo aumenta y cuándo disminuye la función?

6. Máximos y mínimos. 7. Periodicidad.

-¿Se repite la forma de la gráfica?

8. Tendencia:

-¿Qué ocurre para valores muy grandes?

9. Título de la gráfica 10. Tabla que relaciona las variables. 11. Comentario sobre la gráfica.

ACTIVIDADES

De las actividades propuestas, se ha relacionado con situaciones cotidianas….

Alquilando coches

BOLSAS DE AZÚCAR

LA FAMILIA

TEMPERATURA

BOLAS

LLAMADAS TELEFÓNICAS

BOTES DE REFRESCOS

DADOS AZULES Y ROJOS

EL MUELLE

CONSUMO DE COMBUSTIBLE

PASEO DE DOS AMIGOS

LA EXCURSIÓN

HISTORIAS

SALARIO

DE CAMPING

De estas actividades, unas serán para presentar el tema otras irán incluidas como trabajo práctico y otras para la evaluación. Sin dejar de lado los ejercicios tradicionales para la resolución de función.

Actividades para la adquisición de nuevos conocimientos

Alquilando coches

Necesitamos alquilar un coche durante todo un día. Pedimos presupuesto a dos agencias distintas y nos ofertan las siguientes tarifas de precios:

Agencia MUNDA: 1200 ptas. fijas más 40 ptas. por cada kilómetro que recorramos.Agencia POLEY: 1500 ptas. fijas más 30 ptas. por cada kilómetro que recorramos.

¿Cuánto costaría realizar un viaje de 350 km. con cada una de las agencias?, ¿a cuánto nos sale al final cada kilómetro recorrido, durante el viaje anterior, en cada una de las agencias?

Construye una tabla considerando que recorremos 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300 km, en la que se refleje el coste total del alquiler y el coste total por kilómetro recorrido en ambas agencias. Estudia las variaciones medias y comenta. Representa los valores de la tabla en cuatro gráficos diferentes.

Construye las fórmulas de dos funciones que nos den el coste total del alquiler, en cada agencia, en función de los kilómetros que realicemos. Represéntalas en unos mismos ejes y compara ambas ofertas.

Construye las fórmulas de dos funciones que nos den el coste total de cada kilómetro recorrido, para cada agencia, en función de los kilómetros que realicemos. Represéntalas en unos mismos ejes de coordenadas y compara ambas gráficas.

BOLSAS DE AZÚCAR

Cada punto de este gráfico representa una bolsa de azúcar.

A. ¿Qué bolsa es la más pesada? B. ¿Qué bolsa es la más barata? C. ¿Qué bolsas tienen el mismo peso? D. ¿Qué bolsas tienen el mismo precio? E. ¿Qué bolsa sale mejor de precio: F ó C?. ¿Por

qué?.

COMENTARIO SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

La C fue incorrecta en general porque detectaron una de las dos parejas.

LA FAMILIA

En el gráfico de abajo tenemos una fotografía de la familia López: Juan es el abuelo, los hijos de Bella y José son Pablo que va a la guardería, Pepe está estudiando 3º de Humanidades, Alicia que estudia medicina y Luis.

¿Quién está

representado por cada uno de los puntos del diagrama de la derecha?

¿Es apropiada la escala utilizada? Razona la respuesta.

(Realiza las hipótesis que consideres oportunas)

Realiza una representación de toda la familia donde representes en el eje horizontal la edad y el eje vertical la altura de cada uno de ellos.

COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

En esta gráfica se deben analizar dos aspectos:

a)Identificar cada punto de la gráfica con cada miembro de la familia.

b)Analizar si la escala utilizada es o no correcta.

TEMPERATURAS

En un pueblo del interior se han tomado distintas mediciones de la temperatura a lo largo de un día de Enero. Éstas vienen reflejadas en la gráfica:

Comenta su significado y completa la siguiente tabla:

Hora del día 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Temperatura (ºC)

BOLAS

Si A y B representan bolas de distinto material y tamaño, a la vista de los diagramas, indica si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:

Nota: Elige el diagrama adecuado a la vista de las magnitudes que vayas a comparar en cada caso.

A. La que tiene más volumen, tiene más peso. B. La que tiene menos peso, tiene más volumen. C. La que tiene más peso, cae más rápidamente. D. La que tiene más volumen cae más rápidamente.

LLAMADAS TELEFÓNICAS

Un fin de semana cinco personas hicieron llamadas telefónicas a varias partes del país. Anotaron el coste de sus llamadas y el tiempo que estuvieron en el teléfono en la siguiente gráfica:

Responde razonadamente las siguientes cuestiones:

A. ¿Qué variables se están relacionando? B. ¿Quién pagó más por la llamada? C. ¿Quién pagó menos por la llamada?

D. ¿Quién habló durante más tiempo? E. ¿Quién puso una conferencia? F. ¿Quién realizó una llamada local? G. ¿Quiénes realizaron llamadas aproximadamente a la misma distancia? H. Marca otros puntos que representen a personas que realicen llamadas locales de distintas duraciones. I. Realiza un gráfico con todas las posibles llamadas telefónicas realizadas dentro de España en un fin de

semana. Explica claramente las suposiciones que haces.

COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

La metodología a evaluar:

1. Trabajo individualizado, contestando a las 8 cuestiones. 2. La corrección del ejercicio por parte del profesor. 3. Los alumnos la trabajan en grupo teniendo que llegar como grupo a unificar el resultado. 4. Una puesta en común de los resultados de todos los grupos. 5. Los alumnos deben sacar de las guías telefónicas las diferentes tarifas (locales, provinciales y nacionales) de

un fin de semana.

BOTES DE REFRESCOS

El número de botes de refrescos vendidos a través de una máquina en una estación de cercanías está indicado por la tabla siguiente:

Hora del día 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Temperatura (ºC)

A. Haz una representación gráfica. B. ¿Cuál es la hora de mayor consumo? C. ¿Cuántos se han consumido hasta las 11 h.? D. Si la capacidad de la máquina es de 100 botes, ¿a qué hora se ha rellenado? E. ¿Puede representar una situación real esa tabla? ¿Por qué? F. Realiza otra tabla suponiendo que la máquina se coloca en el patio de tu centro.

DADOS AZULES Y ROJOS

Vamos a lanzar un par de dados sobre una mesa, uno azul y otro rojo y sumaremos sus resultados. Podemos representar los lanzamientos situando un punto en la trama:

A. ¿Qué representa el punto marcado? B. Representa los posibles resultados de obtención de 9.

¿Qué se observa gráficamente?. ¿Se pueden unir los Puntos obtenidos? Razona tu respuesta.

EL MUELLE

Si colgamos un muelle por un extremo y, aplicamos un peso en el otro, se produce un alargamiento que se refleja en la tabla:

Peso (g.) 100 200 300 400

Alargamiento (cm.)

A. Representa estos datos. B. Indica el alargamiento producido al colocar un peso de 500 gramos. C. ¿Qué peso correspondería a un alargamiento de 12,5 cm? D. Da alguna relación entre peso y el alargamiento. E. ¿Estarían sobre una misma recta los datos representados? ¿Por qué?

CONSUMO DE COMBUSTIBLE

El gasoil que hay en un depósito de un autobús viene representado por la siguiente gráfica:

A. ¿Cuántos litros tenía el depósito al salir? B. ¿Cuántos litros tenía a su llagada? C. ¿Cuándo puso el conductor por primera vez gasoil?

¿Cuántos litros tenía el depósito? D. ¿Cuántos litros consumió durante el viaje? E. ¿Qué ocurrió en el km. 250?

PASEO DE DOS AMIGOS

Rafa y Alicia son compañeros de clase y quedan un día para salir. Rafa sale de su casa y recoge a Alicia, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en una cafetería a tomar un refresco. Al regreso se acercan a casa de unos compañeros a recoger unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa. La gráfica del paseo viene aquí representada.

RESPONDE:

1. ¿Qué variables se relacionan? 2. ¿Cuál es la variable dependiente y la variable independiente? 3. ¿Cuánto dista la casa de Alicia de la de Rafa? 4. ¿Cuánto tiempo esperó Rafa a que bajara Alicia? 5. ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la cafetería? 6. ¿A qué hora salieron de la cafetería? 7. ¿A qué casa regresaron? 8. ¿Cuánto tiempo pasearon los dos juntos? 9. ¿Cuándo pasearon más deprisa: de la cafetería a casa de sus amigos o de ésta al final del paseo? ¿Por qué?

LA EXCURSIÓN

Se alquila un microbús de 12 plazas para realizar una excursión, por un total de 36.000 pesos:

A. Haz una tabla del precio de la excursión por persona, en función de las plazas cubiertas. B. Representa los datos de la tabla en un diagrama (número de pasajeros-precio). C. ¿Puedes establecer alguna relación entre las dos variables? D. ¿La variable independiente es discreta o continua? E. ¿Tiene sentido unir mediante una línea los puntos de la gráfica? ¿Por qué?

HISTORIA

Inventa una historia para cada una de las gráficas siguientes:

En la segunda gráfica, elige también las magnitudes, las unidades y las escalas.

SALARIO

Un oficial gana 1.500 pesos. a la hora y su ayudante 1.000 pesos. a la hora. Un día, el ayudante empieza a trabajar a las 8 de la mañana y el oficial a las 10.

A. ¿Cuánto dinero lleva ganado cada uno a las 10 y las 11 de la mañana? B. El oficial y, su ayudante siguen trabajando hasta las 15 horas. Construye una tabla en la que reflejes hora a

hora el dinero que va ganando cada uno de ellos. C. Representa gráficamente los valores de la tabla. ¿A qué hora han ganado la misma cantidad? D. ¿Puedes deducir la expresión algebraica o fórmula que determina lo que gana el oficial según las horas

trabajadas? ¿Y de su ayudante?

DE CAMPING

Varios amigos deciden ir al camping y llevan una cuerda para delimitar su territorio. Se colocan junto a un riachuelo por lo que el recinto rectangular que forman con los 50 m de cuerda sólo tiene tres lados (2 anchos y 1 largo).

A. Si deciden formar un recinto de 15 m de anchura ¿cuál será su longitud? B. ¿Cómo cambia la longitud cuando varía la anchura? C. ¿Cuál será el área del recinto según su anchura? D. Dibuja una gráfica aproximada que describa B) y

C).

LA PESETA

Dada la gráfica:

A. ¿Qué se representa en cada eje? B. ¿Cuál es la moneda más valiosa, el dólar o el

marco?

C. ¿Por qué en la gráfica peseta/dólar los puntos no coinciden con los días justos? D. Ordena de mayor a menor el valor de la peseta, marco y dólar. E. ¿Cuál ha sido el día más favorable para la peseta en la gráfica peseta/dólar? ¿y en peseta/marco?

BANCO EXTERIOR

A. ¿Cuáles son las magnitudes que se relacionan? B. ¿En qué unidades están expresadas? C. ¿Hay continuidad en la gráfica? D. ¿Cuál es la escala utilizada? E. ¿Es la escala adecuada o se debería usar otra? F. ¿Cuánto precio tienen las acciones del Banco Exterior en

Julio del 96? G. ¿Cuándo se alcanza el máximo? H. ¿Cuál es el máximo precio que adoptan? I. ¿Cuándo se alcanza el mínimo? J. ¿Cuál es el precio que adoptan? K. ¿Qué pasa durante el mes de Junio de 1996?

MORTALIDAD

Dada la gráfica:

1. ¿Qué magnitudes se relacionan? 2. ¿Cuál es la graduación horizontal? 3. ¿Y la vertical? 4. ¿En qué año es más alta la tasa de mortalidad? 5. ¿Qué sentido tiene unir los puntos? 6. ¿Qué tanto por mil de mortalidad hay en 1900? 7. ¿Qué ocurre desde 1943 a 1963

aproximadamente? 8. ¿En qué año es más baja la tasa de mortalidad? 9. Haz un comentario sobre la gráfica. 10. ¿Qué otros datos se pueden extraer de la

gráfica?

Concepto de función

Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y.

x es la variable independiente (en el ejemplo del ciclista el tiempo).y es la variable dependiente (en el ejemplo la distancia respecto al punto de partida).La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función de x, lo que se escribe y = f(x).

  Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas:

La distancia recorrida por un móvil al transcurrir el tiempo.El volumen de un líquido al aumentar la temperatura.El impuesto de circulación que paga un vehículo en una ciudad según la cilindrada del motor del mismo.

El volumen de una esfera al variar la longitud del radio de la misma.

Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:     La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).     La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y.El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición de la función.Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que puedan cuantificarse los valores de las dos variables.

¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función?

De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una función y la derecha no. Observa:

En ésta a cada valor de x de la variable independiente (ejede abscisas) le corresponde un único valor imagen y de

la variable dependiente (ordenadas).

En ésta hay algunos valores de la variable independiente x a los que corresponden más de un valor de la dependiente, lo

que contradice la definición de función.

Tipos de funciones:

Clasificación de funciones

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la

variable independiente son: la adic ión, sustracción, mult ipl icación, divis ión,

potenciación y radicación.

Las func iones a lgebra icas pueden ser :

Funciones expl íc itas

Si se pueden obtener las imágenes de x por s imple sust i tuc ión.

f (x ) = 5x − 2

Funciones impl íc itas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por s imple sust i tuc ión, s ino que es prec iso

e fectuar operac iones .

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen def inidas por un pol inomio.

f (x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + a 2 x³ +· · · + a n x n

Su domin io es , es dec i r , cua lqu ier número rea l t iene imagen.

Func iones constantes

El cr iter io viene dado por un número real .

f(x)= k

La gráf ica es una recta hor izonta l para le la a a l e je de absc isas .

Funciones pol inómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráf ica es una recta ob l icua, que queda def in ida por dos puntos de la func ión.

Func ión a f ín .

Func ión l inea l .

Func ión ident idad .

Func iones cuadrát icas

f(x) = ax² + bx +c

Son func iones po l inómicas es de segundo grado, s iendo su gráf ica una parábo la .

Func iones a t rozos

Son func iones def in idas por d is t in tos cr i ter ios , según los in terva los que se cons ideren.

Func iones en va lor abso luto .

Func ión parte entera de x .

Func ión mant isa .

Func ión s igno .

Funciones racionales

El c r i ter io v iene dado por un coc iente entre po l inomios :

E l domin io lo forman todos los números rea les excepto los va lores de x que anu lan e l

denominador .

Funciones radicales

El c r i ter io v iene dado por la var iab le x ba jo e l s igno rad ica l .

E l domin io de una func ión i r rac iona l de índ ice impar es R .

E l domin io de una func ión i r rac iona l de índ ice par está formado por todos los va lores

que hacen que e l rad icando sea mayor o igua l que cero .

Funciones trascendentes

La variable independiente f igura como exponente, o como índice de la raíz, o

se hal la afectada del s igno logaritmo o de cualquiera de los s ignos que emplea la

tr igonometría.

Función exponencia l

Sea a un número real posit ivo. La función que a cada número real x le hace

corresponder la potencia a x se l lama función exponencial de base a y exponente x .

Funciones logar í tmicas

La func ión logar í tmica en base a es la func ión inversa de la exponenc ia l en base a .

Funciones tr igonométr icas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Dominio  En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.  Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función.  Si la función es la que a cada alumno/a de 4ºA le asocia la nota del examen que hizo el día 14 de Diciembre, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de 4ºA que hicieron ese citado examen.

 Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

Obtención del dominio de definición a partir de la gráfica.

  Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición. Esto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica; y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio.  En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo del eje para que sea bien visible la escala del eje de abscisas). En este caso tenemos que Dom f = (- , 2) U (2, 7] De una manera vulgar, podríamos decir que si aplastámos la gráfica sobre el eje Ox y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f.

Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas. Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:

FUNCIONES POLINÓMICAS:

  Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

f(x)= 3x5- 8x + 1;   D(f) = R

g(x)= 2x + 3;   D(g) = R

h(x)=½ ;   D(h) = R

Variaciones de una función. Esto es el Crecimiento-Decrecimiento de la función y Máximos y mínimos.

1.Crecimiento y Decrecimiento.

  Un determinado parásito se reproduce dividiéndose en dos cada segundo. La función que determina el número de parásitos que hay en cada segundo de tiempo que transcurre es la representada a la derecha, y por el sistema de reproducción del parásito es obvio que a medida que pasa el tiempo hay mayor número de ellos. Es decir, al aumentar el valor de la variable x, también aumenta el valor de la variable y. Esto es que la función es estrictamente creciente.

                             Si x1<x2   =>   f(x1)<f(x2)

(Se mantiene entre los valores de la variable dependiente la desigualdad que existía entre los valores de la dependiente).

  Al aumentar la altura por encima del nivel del mar a la que nos encontremos, la presión atmosférica va disminuyendo, además no uniformemente, sino que al principio disminuye más rápidamente que después.

 Es decir, al aumentar el valor de la variable x, ahora disminuye el valor de la variable y o imagen. Esto es que la función es estrictamente decreciente.

                                         Si x1<x2   =>   f(x1)>f(x2)

(ahora, entre las imágenes, se invierte la desigualdad que existía entre los valores de la variable independiente)

  Pero la mayoría de las funciones no van a ser siempre creciente o siempre decreciente, sino todo lo contrario, es decir, que se presentarán como la que se muestra en la gráfica de la derecha, que tiene trozos en los que su comportamiento es creciente, y trozos en los que su comportamiento es decreciente. El estudio del crecimiento-decrecimiento de una función lo haremos por intervalos del dominio, indicando en cuáles es creciente y en cuáles decreciente.

 A partir de la gráfica se ve claro el crecimiento-decrecimiento de una manera intuitiva, pero siempre mirándola de izquierda a derecha que es como va aumentando la variable independiente x. 

2.Máximos y mínimos relativos.

 Debido precisamente a esos cambios que vemos en algunas funciones, que en determinados puntos del eje de abscisas pasan de crecer a decrecer o viceversa nos aparecen los extremos relativos (máximos relativos y mínimos relativos).

Una función f tiene un máximo relativo en el punto x0 del eje de abscisas si la función pasa de ser creciente a la izquierda de x0 a ser decreciente a la derecha de x0. Es decir, f tiene en x0 un máximo relativo si  f(x0) > f(x) para cualquier x de un entorno cercano a x0.

Sería el caso de la función representada aquí, tendría en 2 un máximo relativo.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto x0 del eje de abscisas si la función pasa de ser decreciente a la izquierda de x0 a ser creciente a la derecha de x0. Es decir, f tiene en x0 un mínimo relativo si  f(x0) < f(x) para cualquier x de un entorno cercano a x0.

Aquí vemos que en x=2 hay un mínimo relativo, la función pasa de ser decreciente a creciente.

 Una función puede tener varios extremos relativos, de entre ellos, si existe, llamaremos máximo absoluto al valor x0 que cumpla f(x0) >  f(x)  para cualquier x del dominio, y análogamente llamaremos mínimo absoluto, si existe, al valor x0 que cumpla f(x0) <  f(x)  para cualquier x del dominio.  

ACTIVIDADES:

1. Estudia el crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de las funciones que se dan en esta página.

2. Observa en esta gráfica que el número de viajeros en una línea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la mañana.

¿El crecimiento de la función es igual entre las 6 y las 7 que entre las 7 y las 8?

Indica los tramos en los que la función es decreciente y los tramos en los que es creciente.

¿En qué tramo no hay variación en el número de viajeros?¿Cómo dirías que es la función en ese tramo?

¿En qué momento hubo un número máximo de viajeros?

3. La siguiente gráfica nos muestra el nivel de ruido que se produce en un cruce

de grandes avenidas de una ciudad:

¿Cuándo crece el nivel de ruido? ¿Cuándo decrece? Indica los instantes de tiempo en los cuales la intensidad del

ruido es máxima o mínima

Si aplicamos lo visto hasta el momento al mismo tiempo, tendremos una expresión (llamada canónica) f(x) = a (x + (-Vx))2 + Vy donde el vértice será (Vx;Vy). a representa la concavidad de la parábola, al ser positiva el vértice es el valor mínimo de la función, si es negativa, la concavidad se invierte y el vértice es el máximo. La abertura de las ramas de la parábola depende del valor absoluto de a. Cuanto mayor

es el valor absoluto, más cera están las ramas de la parábola del eje