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Unidad Didactica:LIMITES Y CONTINUIDAD
Master Universitario de Profesorado de Educacion Secundaria
Especialidad de Matematicas
Universidad de Valencia
Curso 2013-2014
Begona Soler de Dios
PROFESOR: Miguel Sanchez Sanchez, IES Lluıs Vives
TUTOR: Dr. Mauricio Contreras del Rincon, UV
Dime y lo olvido, ensename y lo recuerdo,
involucrame y lo aprendo.
Benjamin Franklin
Contenido
1. Introduccion 2
1.1. Adecuacion al contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Objetivos didacticos 4
3. Competencias basicas a desarrollar 6
4. Contenidos 7
5. Planteamiento metodologico y orientaciones didacticas 8
5.1. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2. Orientaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6. Actividades a desarrollar en la clase 10
7. Organizacion del tiempo y del espacio 27
8. Recursos y materiales 29
9. Criterios, procedimientos y actividades de evaluacion 30
10.Reflexion y evaluacion de la UD 34
Bibliografıa 36
1 Introduccion
La unidad didactica que se presenta a continuacion esta disenada para ser implementada
durante 10 sesiones en el curso de Primero de Bachillerato de Ciencias y Tecnologıa.
El concepto de lımite de una funcion, junto con el concepto de continuidad, forman par-
te del bloque de analisis matematico dentro del currıculum del primer curso [BOE, 2007]
[DOGV, 2008], es decir, es posterior al bloque de Aritmetica y Algebra y al de Geometrıa,
por lo que temporalmente se ubica en el tercer trimestre del curso, antes del bloque de Es-
tadıstica y Probabilidad. Concretamente se encuentra localizado entre los temas de funciones
reales y la aproximacion al concepto de derivada.
El Analisis Matematico es una amplia y compleja rama de la Matematica moderna que
ocupo gran parte del trabajo de cientıficos desde el siglo XVII. Wallis, Barrow, Newton o
Leibnitz fueron algunos de los que lo estudiaron y se les considera ”padres”del Analisis mo-
derno.
Durante la Educacion Secundaria Obligatoria, los alumnos han ido conociendo y estudiando
diferentes tipos de funciones, algunas de ellas contınuas, como las polinomicas, y otras no,
como las de proporcionalidad inversa. En esta unidad se realiza el estudio de la continuidad
y discontinuidades de una funcion, analizando las condiciones que deben verificarse en cada
caso.
Como paso previo se introduce el concepto de lımite de una funcion en un punto junto
con la idea de lımite lateral y se desarrollan los procedimientos de calculo de lımites de los
tipos de funciones conocidas por los alumnos y los metodos de resolucion de las indetermi-
naciones que estos tipos de funciones pueden presentar.
Este estudio previo de lımites va ligado al concepto de continuidad, uno lleva a otro y
tambien es un primer paso para llegar en la unidad siguiente al concepto de la derivada de
una funcion en un punto.
1.1 Adecuacion al contexto 3
1.1. Adecuacion al contexto
La presente Unidad Didactica va dirigida al grupo de Primero de Bachillerato B del I.E.S
Lluıs Vives de Valencia. Cocretamente se trata de un grupo de lınea en valenciano y del
bachillerato cientıfico-tecnico en regimen diurno.
El grupo consta de 33 alumnos, 13 chicos y 20 chicas, con edades comprendidas entre los
16 y los 17 anos. Estos alumnos estan juntos por primer ano ya que las clases se forman
nuevamente en el bachillerato pero algunos de ellos habıan coincidido en el misma aula en
cursos anteriores o simplemente se conocıan de pertenecer al mismo centro, hay tambien
unos pocos que provienen de centros privados o concertados y este es el primer ano en el
instituto.
En la clase solamente hay dos repetidores, no tiene alumnos de otros paıses y como cu-
riosidad decir que habıa un hermano y una hermana y un par de gemelas.
Respecto a la clase indicar que era muy pequena, con una diminuta ventana exterior. Por
lo tanto, los alumnos tenıan que estar organizados en tres grandes filas que dificultaban su
concentracion.
Finalmente anadir que el aula disponıa de todos los recursos necesarios para llevar a ca-
bo la unidad didactica: proyector, pizarra...
2 Objetivos didacticos
En primer lugar empezaremos nombrando los principales focos de interes para el aprendizaje
sobre los cuales se van a clasificar los objetivos especıficos que se espera que el alumnado
alcance:
Introduccion a la idea de lımite de una funcion.
Calculo de lımites.
Relacion del concepto de lımite con el de continuidad.
Ası, los objetivos especıficos serıan:
1. INTRODUCCION A LA IDEA DE LIMITE DE UNA FUNCION:
a) Diferenciar y entender la idea de lımite de una funcion en un punto y en el infinito
a partir de una tabla de valores (calculadora) o una grafica.
b) Distinguir los lımites laterales e interpretarlos.
c) Relacionar el concepto de lımite con fenomenos en los que intervenga.
2. CALCULO DE LIMITES:
a) Argumentar la existencia o no del lımite de una funcion y determinarlo cuando
sea posible a partir de sus lımites laterales o por sustitucion directa.
b) Conocer las propiedades de los lımites de operaciones con funciones que simplifican
el calculo de estos.
c) Reconocer las indeterminaciones y aprender a resolverlas.
d) Expresar graficamente lımites que se han estudiado analıticamente.
5
3. RELACION DEL CONCEPTO DE LIMITE CON EL DE CONTINUIDAD:
a) Expresar de manera intuitiva los conceptos de continuidad y discontinuidad de
una funcion en un punto despues de argumentar que tiene sentido el estudio de
la continuidad en dicho punto.
b) Justificar si una funcion es continua o no a partir del estudio de sus lımites late-
rales.
c) Identificar graficamente los diferentes tipos de discontinuidades.
d) Relacionar los diferentes tipos de discontinuidad de una funcion con los lımites
laterales y con la funcion en ese punto.
e) Establecer el criterio de continuidad de una funcion en un punto.
3 Competencias basicas a desarrollar
Con las diferentes materias del currıculo se pretende que los alumnos y las alumnas alcan-
cen los objetivos educativos oportunos y, consecuentemente, que adquieran las competencias
basicas establecidas.
Concretamente, en el currıculo espanol se identifican las siguientes ocho competencias basicas
[LOE, 2006] que se relacionan con nuestros objetivos didacticos:
1. Competencia en comunicacion linguıstica:
Saber expresar los resultados obtenidos. Incorporar lo esencial del lenguaje matematico
a la expresion habitual y la adecuada precision en su uso.
2. Competencia matematica:
Resolver los ejercicios correctamente e interpretar los resultados.
3. Competencia en el conocimiento y la interaccion con el mundo fısico:
Relacionar los contenidos y conceptos con el mundo que nos rodea, ver aplicaciones.
Posibilitar la comprension de los sucesos matematicos y la prediccion de consecuencias.
4. Tratamiento de la informacion y competencia digital:
Utilizar las nuevas tecnologıas para resolver los ejercicios y ver ejemplos. Es decir,
desarrollar habilidades para procesar la informacion y transformarla en conocimiento.
5. Competencia social y ciudadana:
Trabajo en equipo para la resolucion de ejercicios y para aprender a aceptar otros
puntos de vista y formas de trabajar.
6. Competencia cultural y artıstica:
El conocimiento del concepto de lımite ayuda en el analisis de determinadas produc-
ciones artısticas.
7. Competencia para aprender a aprender.
8. Autonomıa e iniciativa personal:
Planear, gestionar recursos y valorar resultados.
4 Contenidos
Los contenidos a desarrollar en el aula seran los siguientes:
CONCEPTUALES:
• Lımite de una funcion en un punto.
• Lımites laterales.
• Calculo de lımites.
• Lımites infinitos.
• Lımites en el infinito.
• Lımites de sucesiones de numeros reales.
• Continuidad y discontinuidades.
PROCEDIMENTALES:
• Calcular lımites laterales en funciones definidad a trozos.
• Calcular lımites en un punto y en el infinito en los que haya distintas indetermi-
naciones.
• Estudiar la continuidad de una funcion y clasificar las discontinuidades.
• Determinar los lımites y clasificar las discontinuidades de una funcion de la que
se conoce su representacion grafica.
• Calcular lımites de sucesiones.
ACTITUDINALES:
• Valoracion positiva de las tecnicas para calcular lımites y resolver indetermina-
ciones.
• Predisposicion para aprender conceptos, relaciones y tecnicas nuevas para resolver
problemas.
• Valoracion positiva del uso de las nuevas tecnologıas para la determinacion de
lımites y la representacion de funciones.
5 Planteamiento metodologico y
orientaciones didacticas
5.1. Metodologıa
En lo que respecta a la metodologıa hay que diferenciar entre la metodologıa aplicada a la
hora de explicar los conceptos teoricos y la aplicada a la realizacion de actividades.
La sesion suele comenzar con unas preguntas o actividades que hagan que el alumno se
introduzta en el tema, es el llamado Inquiry Based Learning, a partir de la cuestion guiamos
al alumno en su aprendizaje para que el descubra los conceptos que se explicaran posterior-
mente o para que a partir de su realizacion surja una duda que se resolvera mas tarde.
Posteriormente se hara la explicacion teorica a partir de un ejemplo o de una tabla de
datos, es decir, mediante induccion. Tambie se podra hacer mediante explicacion clasica,
donde sera la profesora la que explique, intentando implicar al alumno en las explicaciones
para que se desarrolle su propio conocimiento y la explicacion no se convierta en una mera
instruccion. Para complementar las explicaciones se utilizara el programa de software libre
GEOGEBRA (al igual como en la resolucion de problemas) en el aula, de esta forma mostra-
temos de forma grafica los concentos teoricos explicados, y ası facilitaremos su comprension.
En cuanto a las actividades que aparecen despues de las explicaciones, acompanaremos cada
una de una breve explicacion, incluso se haran ejemplos en la pizarra para indicar el objetivo
y pautas de realizacion.
El trabajo individual y la realizacion de ejercicios sera primordial para afianzar los con-
tenidos explicados en la pizarra. Se llevara un seguimiento de las actividades desarrolladas
en casa y en el aula por todos los alumnos, se verificaran los resultados a traves de la co-
rreccion y del control de los errores para subsanarlos en la mayor brevedad y que dejen de
cometerlos. De esta forma, los alumnos se sentiran parte del proceso y se mostraran mas
participativos. Tambien es positivo mandar realizar ciertos ejercicios por parejas para que
desarrollen mas la cooperacion y puedan discutir los resultados.
5.2 Orientaciones 9
5.2. Orientaciones
Lımite de una funcion en un punto:
Poner ejemplos de diversos lımites laterales: que coincidan entre sı y con la funcion en
dicho punto; que coincidan entre sı pero no con la funcion, y ver que en ambos casos
sı existe el lımite de la funcion en el punto estudiado.
Para una mejor comprension del concepto de lımite proponemos a los estudiantes
calculos de lımites con ayuda de la calculadora.
Tambien ayuda el ofrecerles la grafica de una funcion para que obtengan el valor de un
lımite en un punto.
Lımites en el infinito:
Es recomendable que previamente a definir el concepto en el infinito, el estudiante
estime el valor de funciones racionales para valores grandes en valor absoluto de la
variable.
Observar que, aunque a veces coincidan, los lımites en mas infinito y en menos infinito
no son lo mismo.
Continuidad de una funcion en un punto y en un intervalo:
Insistir en la estrechısima relacion que hay entre lımite y continuidad.
Proponer ejemplos de funciones definidas a trozos que sean continuas y otras disconti-
nuas. En estas funciones no deben olvidarse de estudiar la continuidad en los intervalos
de definicion de cada trozo, ademas de en los extremos de dichos intervalos.
Todos los calculos deberıan estar acompanados de su correspondiente interpretacion
grafica.
6 Actividades a desarrollar en la clase
Las actividades de ensenanza-aprendizaje constituyen las experiencias activas seleccionadas
para desarrollar los contenidos y lograr los objetivos propuestos al inicio de la UD.
Para la seleccion de las actividades se ha tenido en cuenta la facilidad y la dificultad y
el ir de lo conocido a lo desconocido. Todas las actividades estan planteadas para que los
estudiantes se mantengan dinamicos y atentos durante la sesion, son necesarias ya que estan
escogidas estrategicamente para que salgan los errores mas comunes.
Hay diferentes tipos de actividades a lo largo de todo el temario, hay destinadas a introducir
el tema, en las sesiones 1 y 2 se hacen preguntas para motivar a los estudiantes y para que
entren en la dinamica de la clase; hay actividades de conocimientos previos formuladas como
preguntas para que los estudiantes reflexionen sobre lo que sucede (esto se puede observar
en la sesion 7); son comunes las actividades de refuerzo que aparecen tras cada introduccion
teorica, estas ayudaran a los estudiantes a afianzar el concepto que se acaba de explicar y
tambien hay actividades de ampliacion, como las que aparecen en la sesion 6.
A continuacion se incluye el Power Point con las actividades de ensenanza-aprendizaje desa-
rrolladas en la clase auque no solamente son estas las que se han hecho en clase ya que la
correccion de ejercicios y representacion grafica de las funciones con Geogebra tambien lo
son. Tambien aparecen diapositivas de apoyo para las explicaciones mas teoricas.
Indicar que no se debe utilizar el siguiente Power Point como unico recurso durante la
explicacion, es un mero apoyo. Cada diapositiva requerira su pertinente explicacion teorica,
con sus ejemplos graficos utilizando Geogebra o la pizarra.
SESIÓN 1
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
¿Hacia dónde se aproximan los vehículos a lo largo de esta carretera cuando se acercan a la montaña?
2
¿Hacia dónde se aproxima el avión cuando aterriza?
3
Sea la función f(x)=1/x. Calcula los siguientes valores: f(1) f(0.5) f(0.3) f(0.1) f(0.001) f(0.0001) f(0.00000001)
¿Qué sucede? ¿Podrías intuir cual será el valor de f(0.0000000000001)? ¿Por qué?
4
Si queremos estudiar a qué valor tiende una función cuando la variable independiente toma valores próximos a un número real dado, resulta imprescindible introducir un nuevo concepto, el de límite de una función en un punto.
5
“El límite de una función f(x) cuando x tiende a 2 (por la derecha y por la izquierda) es igual a 4” y
se escribe como
6
Calcula: f(1.1) f(1.001) f(1.00001) f(1.000001) f(0.9) f(0.999) f(0.99999) f(0.999999)
7
x f(x)
1.1 0.1
1.001 0.001
1.00001 0.00001
1.000001 0.000001
x f(x)
0.9 -0.1
0.999 -0.001
0.99999 -0.00001
0.999999 -0.000001
8
9
10
11
No existe
12
1. Dando valores cada vez más próximos a los puntos indicados, estima en cada caso el valor de los límites siguientes:
13
2. A partir de la función de la figura, calcula:
a) f(-3), f(-2), f(3)
b) Los límites laterales
y el límite de la función
en -3, -2 y 3.
14
SESIÓN 2
LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO
Analiza el comportamiento de la
función cuando x tiende a 0:
Esto equivale a calcular . En este caso se puede
afirmar que no hay tal límite ya que si x toma valores
próximos a 0, los números no se aproximan a ningún
número.
16
Si se construye una tabla de valores y se dibuja la función f cerca
de x=0 se ve que cuando x toma valores cada vez más próximos a
0, los correspondientes valores de f se hacen cada vez mayores.
Esta situación se resume diciendo que:
“el límite de f cuando tiende a 0 es más infinito” y se escribe
como
17
Si a es un número real, significa que
siempre que x tome valores próximos a a (por los dos lados), los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se define
Si a es un número real, significa que
siempre que x tome valores próximos a a, pero menores que a, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se definen
, y .
18
1. Calcula los límites siguientes:
19
Además de considerar el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a un punto, también es muy útil en multitud de ocasiones estudiar el comportamiento cuando esta variable toma valores muy grandes en valor absoluto.
Calcula el valor de para x=1000
Substituyendo obtenemos que : f(1000)=1,99988… Podríamos haber estimado el resultado de forma más simple si tenemos en cuenta que el numerador es prácticamente 2 y el denominador es prácticamente 1.
20
2. Calcula los límites siguientes:
21
SESIONES 3/4
CÁLCULO DE LÍMITES E INDETERMINACIONES
EXPRESIONES QUE TIENDEN A INFINITO O A 0:
TIPO EJEMPLO
23
OPERACIONES CON LÍMITES:
Si dos funciones f y g cumplen que en un punto x=a, y ,
pudiendo ser a, b y c infinito, se cumple que:
24
EXPRESIONES INDETERMINADAS:
Si los resultados que se obtienen no tienen sentido en R, se dice que el límite está
indeterminado y hace falta manipular la expresión de la función para conseguir
otra equivalente en la que las operaciones que aparezcan se puedan realizar.
TIPO
25
RESOLUCIÓN DE EJEMPLOS DE INDETERMINACIONES:
26
SESIÓN 5
INDETERMINACIONES II:
Ya que las funciones son sucesiones, podemos aplicar todo lo visto anteriormente. No obstante, en las sucesiones solamente tiene sentido estudiar el límite en el infinito. A continuación estudiaremos como resolver algunas indeterminaciones que aparecen normalmente en el cálculo de límites de sucesiones, aunque las técnicas aquí planteadas se pueden aplicar a cualquier función de variable real.
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INDETERMINACIÓN
Se multiplica y se divide la sucesión por el conjugado de la
diferencia:
=
La indeterminación se ha convertido en otra equivalente de la
forma que ya sabemos resolver. Resultado=1\2
Calcula
Para resolver una indeterminación del tipo , manipulamos las expresiones que intervengan para eliminarla
o para transformarla en una conocida, como .
29
1. Calcula los límites siguientes:
30
INDETERMINACIÓN
¿Converge a algún valor la siguiente sucesión:
?
31
n
1 2
10 2,5937
100 2,7048
500 2,7156
1000 2,7169
5000 2,7180
10000 2,7181
1000000 2,718268
9999999999 2,718281
En general, si siendo una sucesión que tiende
a más infinito, se verifica que 32
37 38
39 40
SESIÓN 7
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO
¿Qué sucede en x=1, x=2 y en x=3?
42
La idea de continuidad de una función f en a tiene como objeto traducir matemáticamente la idea intuitiva de que
no hace falta levantar el lápiz del papel en dibujar la gráfica de f cuando pasamos por el punto (a,f(a)), es decir, la gráfica no presenta saltos
en pasar por este punto.
43
Analiza las discontinuidades de la siguiente función:
44
f es continua en 1, pero no lo es ni en 2 ni en 3.
45
Se observa que en 1 existe el límite de f y se
cumple que
46
Se observa también que en 2 existe el límite de f: , pero no es igual a f(2)=1
47
En 3 NO existe el límite, ya que f presenta un salto
48
Una función f es continua en el punto x=a si
1 • Que exista
2 • Que exista f(a)
3
• Que ambos números coincidan, es decir, que
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Según la condición que no se cumpla habrá un tipo de discontinuidad u otro:
INEVITABLES O ESENCIALES DE SALTO INFINITO
son ∞
50
6,5≠3
INEVITABLES O ESENCIALES DE SALTO FINITO
51
4≠1
EVITABLES
pero finito
52
Indica el tipo de discontinuidad que presenta la siguiente función:
53
SESIÓN 8
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO II
(EJERCICIOS)
1. Calcula el valor de m para que sea continua la función:
55
2. Calcula el valor de k para que sea continua la función en x=1:
56
3. Calcula el valor de a y b para que sea continua la siguiente función:
57
4. Calcula el valor de m y n para que sea continua la siguiente función:
58
SESIÓN 9
REPASO
SESIÓN 10
CONTROL
7 Organizacion del tiempo y del espacio
La presente UD tiene una duracion de 10 sesiones (+1 de revision), todas ellas de 50 minutos.
Sesion 1: Lımite de una funcion en un punto:
Esta sesion empieza con unas preguntas de reflexion a las que se debe dedicar un
par de minutos antes de empezar la explicacion. Durante media hora se explicara el
lımite de una funcion en un punto y durante los ultimos 15 minutos se dara tiempo
para hacer el ultimo ejercicio que se corregira antes de terminar la clase.
Sesion 2: Lımites infinitos y lımites en el infinito:
Esta sesion tiene la misma estructura que la anterior pero repetida dos veces. La
primera parte esta dedicada a lımites infinitos y la segunda a lımites en el infinito.
En cada una de ellas se explicara durante unos diez minutos y se realizaran ejercicios
durante unos cinco.
Sesion 3/4: Calculo de lımites e indeterminaciones:
Se han juntado dos sesiones ya que este apartado es muy largo. Primero se expli-
caran las expresiones que tienden a 0 o a infinito mediante ejemplos con Geogrebra,
no solamente con la tabla. Esto nos ocupara media hora. Para terminar la clase se ha-
blara de las operaciones con lımites y se hara una introduccion a las indeterminaciones.
La segunda sesion empieza con un recordatorio de la clase anterior y mediante ejemplos
se resolveran ejercicios de indeterminaciones. El primero de cada tipo lo realizara el
docente en la pizarra y el resto saldran los alumnos.
Sesion 5: Indeterminaciones II:
La sesion se divide en dos, como en la sesion segunda.
Sesion 6: Ejercicios:
Los alumnos tendran los ejercicios desde el dıa anterior por lo que en esta clase se
28 7 Organizacion del tiempo y del espacio
les dara 15 minutos para que resuelvan solos o por parejas algunos mas y posterior-
mente saldran a la pizarra para hacerlos.
Sesion 7: Continuidad de una funcion en un punto:
Sesion dedicada exclusivamente a explicacion teorica.
Sesion 8: Continuidad de una funcion en un punto y en un intervalo II (ejercicios):
Los alumnos se dividiran en 4 grupos y resolveran cada grupo un ejercicio. Poste-
riormente uno de los componentes de cada grupo saldra a la pizarra para explicarlo.
Sesion 9: Repaso:
Sesion dedicada a revisar todo lo hecho.
Sesion 10: Control.
Sesion 11: Correccion del control y resultados.
En cuanto a los espacios utilizados para el desarrollo de la unidad, sera siempre el aula
ordinaria de la clase, donde contamos con un ordenador y proyector.
8 Recursos y materiales
Los recursos y materiales utilizados a lo largo de la Unidad Didactica seran:
Ordenador.
Geogebra (Programa de Software libre).
Proyector.
Power Point de unidad.
Pizarra.
Tizas blancas y de colores.
Calculadora
Cuadernos de los alumnos para la realizacion de los ejercicios.
Fotocopias de las actividades propuestas por la profesora.
Las fotocopias de las actividades propuestas por la profesora estan dentro del propio Po-
wer Point adjunto en el apartado 6. Tras cada explicacion teorica habra unas actividades
a resolver por lo tanto es necesario que sean entregadas a los alumnos para que tengan los
enunciados sobre la mesa y puedan trabajar con mas libertad.
9 Criterios, procedimientos y actividades
de evaluacion
La evaluacion de la unidad constara de un control que valdra el 80 % y del comportamiento
en clase mas la predisposicion a resolver ejercicios que tendra un valor de un 20 % del total
de la nota.
El control constara de tres apartados claramente diferenciados y la nota sera sobre ocho:
A. Obtener los lımites laterales de una funcion en un punto y determinar la
existencia o no existencia de un lımite.
Este apartado constara de dos ejercicios, uno de calculo de lımites y otro de identifica-
cion visual, cada uno de ellos valdra un punto.
1. Calcula los siguientes lımites: (1 pto.)
lımx→−∞
(−x5 + x3 + 2
)
lımx→0+
(x− 2
x2
)
2. La grafica siguiente representa una funcion f(x), calcula: (1 pto.)
f(2)
lımx→2
f(x)
f(3)
lımx→3
f(x)
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B. Calcular lımites de funciones y de sucesiones, resolviendo indeterminaciones
en algunos casos.
El ejercicio vale 3,5 puntos, 0,5 cada apartado, se valorara que indiquen el tipo de inde-
terminacion que presenta.
3. Calcula: (3,5 pto.)
lımx→−2
x2 − 4
x + 2
lımx→+2
x2 + 4
x− 2
lımx→+∞
(√x2 + x + 1−
√x2 − x + 1
)
lımx→+∞
(1 +
2x
x
)x
lımx→+∞
(1 + 2x
2 + 3x
)x
lımx→+∞
(1 +
1
x + 4
)(x+4)∆2
32 9 Criterios, procedimientos y actividades de evaluacion
lımx→+∞
(1− 1
x
)x
C. Determinar y clasificar las discontinuidades de una funcion definida a tro-
zos o no.
Este ejercicio vale un punto y medio, se valora que la resolucion sea formal, indicando lımites.
4. Calcula a y b para que la funcion sea contınua en todos los numeros reales: (1,5 pto.)
f(x) =
x2 − 1→ x < 0
ax + b→ 0 ≤ x ≤ 3
−2→ x > 3
El ultimo ejercicio utiliza la grafica del ejercicio 2 y vale un punto. Se tiene que argumentar
el tipo de discontinuidad que representa, no solamente hay que decir el tipo de discontinuidad.
5. Indica el tipo de discontinuidad que presenta la siguiente grafica, argumentando, e in-
dica tambien el dominio y recorrido de la funcion: (1 pto.)
33
En la correccion de los ejercicios se valoraran los siguientes puntos:
Uso de estrategias y tecnicas de resolucion de problemas, como el analisis de el enun-
ciado, el ensayo y error sistematico, la division del ejercicio en partes ası como la
comprobacion de la coherencia de la solucion.
Expresar, utilizando el lenguaje matematico adecuado a su nivel, el procedimiento que
se ha seguido en la resolucion del problema.
Resolver el ejercicio escogiendo el tipo de calculo mas adecuado y dar significado a las
operaciones, metodos y resultados obtenidos.
10 Reflexion y evaluacion de la UD
A continuacion vamos a realizar una evaluacion de ciertas cuestiones acerca del funciona-
miento y puesta en practica de la Unidad Didactica. Con ello pretendemos reflexionar sobre
el proceso de ensenanza-aprendizaje, los objetivos y contenidos propuestos, las actividades,
los tiempos de aprendizaje, es decir, una valoracion del desarrollo de la misma, con la inten-
cion de detectar posibles errores y poder darles solucion para el futuro, y/o reforzar, si cabe,
los aciertos.
¿Se han conseguido o no los objetivos propuestos?
La gran mayorıa de los estudiantes ha llegado a los objetivos propuestos. Solamen-
te un 20 % de la clase no ha llegado a ellos y ha sido debido a factores externos, como
intercambios de idiomas durante la realizacion de la actividad.
¿Se ha impartido ıntegramente la unidad?
Sı, se ha cumplido completamente la programacion. Algunas veces faltaba tiempo para
corregir ejercicios pero los alumnos los entregaban, es decir, la unidad se ha impartido
ıntegramente.
¿Has modificado el planteamiento inicial? ¿Por que?
Sı, he dedicado parte de la clase de repaso a corregir los ejercicios de la clase an-
terior. Esto ha sido principalmente por falta de tiempo. La clase de repaso ha durado
menos.
¿Que actitud han mantenido los/as alumnos/as durante las sesiones?
Depende del dıa. Los dıas que eran mas teoricos o con menos recursos visuales era
mas difıcil dar clase. Generalemnte el ambiente ha sido muy positivo y destinado a
aprender.
¿Que hubieses suprimido y/o incorporado?
No suprimirıa nada pero incorporarıa una sesion mas de ejercicios antes de la clase
de repaso.
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¿Piensas que la metodologıa fue la adecuada?
Pienso que sı. Los alumnos se involucraron bastante y se mantuvieron activos durante
todas las sesiones, llegando a los objetivos propuestos.
¿Que tipo de interacciones se mantuvieron?
Se mantuvieron interacciones positivas entre el profesor y los alumnos en las preguntas
de Inquiry Based Learning, todos colaboraban y opinaban, durante los ejercicios tam-
bien se mantuvieron relaciones positivas entre los mismos alumnos ya que se ayudaban
y se preguntaban las dudas entre ellos.
¿Hubo participacion?, ¿individualismo? o ¿cooperacion?
Hubo de todo. Participacion en cuanto a responder preguntas lanzadas al aire, indivi-
dualismo en la resolucion de ciertos ejercicios y cooperacion en algunos que indicaba
que los resolvieran por parejas y en grupos.
Bibliografıa
[BOE, 2007] BOE (2007). Real decreto 1496/2006, de 2 de noviembre, por el que se establece
la estructura del bachillerato y se fijan sus ensenanzas mınimas. In Boletın Oficial del
Estado num. 206, pages 68–70.
[DOGV, 2008] DOGV (2008). Decreto 102/2008, de 11 de julio, del consell, por el que se
establece el currıculo del bachillerato en la comunitat valenciana. In Diari Oficial de la
Generalitat Valenciana num. 5806, pages 173–178.
[LOE, 2006] LOE (2006). Ley orgAnica 2/2006, de 3 de mayo, de educacion. In Boletın
Oficial del Estado num. 106.