9 PROPORCIONALIDAD NUMRICA

P A R A E M P E Z A R

Escribe tres fracciones equivalentes a 35

.

Las fracciones equivalentes a 35

se obtienen multiplicando numerador y denominador por el mismo numero. As:

35

160

1255

3500

En dos universidades A y B, los exmenes de ingreso han ofrecido los siguientes resultados:

a) Compara las mujeres y los hombres admitidos en cada universidad con el total estableciendo las ra-zones correspondientes.

b) Esas razones, forman alguna proporcin?

a) Universidad A: Hombres admitidos: 246 de un total de 500 personas: 254060

Mujeres admitidas: 254 de un total de 500 personas: 255040

Universidad B: Hombres admitidos: 385 de un total de 500 personas: 368255

Mujeres admitidas: 240 de un total de 500 personas: 264205

b) Como 254060

255040

y 368255

264205

estas razones no forman proporcin.

Cinco amigos quieren ir al cine. La entrada cuesta 5,50 euros y entre todos tienen 26 euros. Pueden sa-car las entradas para los cinco?

Las 5 entradas cuestan 5 5,50 27,50 , luego no pueden sacar las entradas.

Un yogur vale 0,32 euros y tiene 4,1 gramos de protenas por cada 100 gramos.

a) Cunto te costarn 8 yogures?

b) Cuntas protenas tomas al ingerir un yogur de 125 gramos?

a) Los 8 yogures cuestan 8 0,32 2,56 .

b) Las protenas sern: 140,10

1,25 5,125 g.

Magnitudes proporcionales

Problema resuelto

Ana tiene 26 aos, y su hijo, 5. La edad de Ana y la de su hijo, son magnitudes directamente propor-cionales? E inversamente proporcionales?

Si doblamos la edad de Ana, tendr 52 aos. Habrn pasado 26 aos, por lo que la edad de su hijo ser de 31 aos. Esta edadno coincide con el doble de 5 aos ni con la mitad.

Por tanto, las edades no son magnitudes directamente ni inversamente proporcionales.

9.1

4

3

2

1

Universidad A

Hombres admitidos

246

Mujeres admitidas

254

Total

500

Universidad B 385 240 625

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 156

P A R A P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto

Completa esta tabla que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales.

Para obtener c buscamos un nmero que dividido entre 6 d 8. En la tabla indicamos los nmeros por los que multiplicamos ydividimos para obtener todos los datos.

Copia y completa esta tabla que relaciona magnitudes directamente proporcionales.

1a

56

a 65

1,2; 1b2

56

b 660 10;

1c5

56

c 950 18;

2d4

56

d 1260

20

Indica si las siguientes tablas relacionan magnitudes proporcionales, directas o inversas, o magnitudesno proporcionales.

a) c)

b) d)

a) Magnitudes inversamente proporcionales, se cumple siempre A B 105.b) Magnitudes inversamente proporcionales, se cumple siempre A B 60.

c) No son magnitudes proporcionales, no cumplen ni AB

k ni A B k.

d) Magnitudes directamente proporcionales, se cumple siempre AB

12

0,5.

Escribe, en forma de tabla, dos pares de magnitudes directamente proporcionales, dos pares de magni-tudes inversamente proporcionales y dos magnitudes no proporcionales. (Toma como ejemplo el ejerci-cio anterior.)

Magnitudes directamente proporcionales:

Magnitudes inversamente proporcionales:

Magnitudes no proporcionales:

9.5

9.4

9.3

9.2

A 1 6 a b 20

B c 8 16 4 d

A 1 5 b 15 d

B a 6 12 c 24

A 3 5 7 21

B 35 21 15 5

A 4 6 12 60

B 15 10 5 1

A 3 5 7 9

B 7 9 11 13

A 3 5 7 21

B 6 10 14 42

A 1

B 48

6

8

3

16

12

4

20

2,4

A 3 9 12 18

B 8 24 32 48

C 5 10 15 20

D 9 18 27 36

A 6 8 12 16

B 16 12 8 6

C 3 4 6 24

D 16 12 8 2

A 3 4 7 9

B 5 6 8 10

C 4 5 6 7

D 13 14 15 16

6 3 12 20

6 3 12 20

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 157

P A R A A P L I C A R

Un autobs viaja de Madrid a Lisboa a 100 kilmetros por hora de media, y tarda 6 horas.

a) Si va ms despacio, tardar ms tiempo?

b) La velocidad y el tiempo, son magnitudes inversamente proporcionales?

c) Cunto tardar si va a 80 kilmetros por hora?

a) Si va ms despacio, va a MENOS velocidad, tarda MS tiempo.

b) S, son magnitudes inversamente proporcionales.

c) 100 6 80 x 10080

6 x 7,5 7 h y 30 min.

Un ganadero tiene 26 vacas y para alimentarlas gasta 312 kilogramos de pienso cada da.

a) Si compra 4 vacas y tiene que alimentar a las 30, cunto pienso necesita diariamente?

b) Si despus vende 8, cunto pienso necesitar en ese momento?

Es una relacin de proporcionalidad directa.

a) 32162

3x0 x 312

26 30 360 kg

b) Si vende 8, le quedan 30 8 22 vacas.

32162

2x2 x 312

26 22 264 kg

Clasifica las siguientes magnitudes en directa o inversamente proporcionales o no proporcionales.

Son proporcionales las medidas del lado de un cuadrado y la superficie del mismo? Justifica tu res-puesta.

No lo son. Por ejemplo, si el lado de un cuadrado mide 2 m, su superficie mide 4 m2.

Si midiera el lado 3 m, su superficie sera 9 m2, luego no son ni directa ni inversamente proporcionales.

La cantidad diaria recomendada de protenas al da para un chico de 10 aos es de 36 gramos, y parauno de 20 aos, de 56 gramos.

Son magnitudes directamente proporcionales? E inversamente proporcionales? Razona las respuestas.

13

06

25

06 y tampoco 10 36 20 56, luego no son ni directa ni inversamente proporcionales.

Una promocin inmobiliaria vende pisos de 1, 2 y 3 habitaciones a 150000, 300000 y 400000 euros, res-pectivamente.

Son los precios directamente proporcionales al nmero de habitaciones de los pisos? Razona la res-puesta.

150

1000

3002000

4003000 no se cumple la igualdad en todos, no son directamente proporcionales.

9.11

9.10

9.9

9.8

9.7

9.6

Magnitud A

Cantidad de fruta

Velocidad de un tren

Pginas de un libro

Alumnos de un colegio

Temperatura de un enfermo

Magnitud B

Precio pagado por ella

Tiempo empleado en un trayecto

Precio del libro

Alumnas del mismo colegio

Cantidad de medicinas que toma

Directamente proporcionales: Solo la re-lacin 1.

Inversamente proporcionales: Solo la relacin 2.

No son proporcionales las magnitudes3, 4 y 5.

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 158

Magnitudes directamente proporcionales

P A R A P R A C T I C A R

Copia y completa estas tablas para que sus valores correspondan a magnitudes directamente propor-cionales, y calcula la razn de proporcionalidad.

a)

b)

c)

Copia y completa la tabla con los valores 2, 3, 7 y 10,5 de manera que sean cantidades de dos magni-tudes directamente proporcionales.

Cul es la razn de proporcionalidad?

La razn de proporcionalidad es 23

.

Ejercicio resuelto

Los valores 5, 8, x y 12, correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales, forman unaproporcin de modo que 5 es a 8 como x es a 12.

Cunto vale x?

5x

182 x 5

812 x 7,5

Los valores 7, 35, x y 49 corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales, de modo que 7y 35 son directamente proporcionales a x y 49, respectivamente. Cunto vale x?

375

4x9 x 7

3549 9,8

En una relacin de magnitudes directamente proporcionales sabemos que 36 y x son directamente pro-porcionales a 12 y 80. Cunto vale x?

3x6

18

20 x 36

1280

240

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

Para atender a 24 personas discapacitadas en una residencia colaboran 8 voluntarios. Si el nmero devoluntarios aumenta a 12, a cuntas personas pueden atender?

El nmero de personas discapacitadas y el nmero de voluntarios son magnitudes directamente proporcionales. Si aplicamos elmtodo de reduccin a la unidad, resulta:Si 8 voluntarios atienden a 24 personas discapacitadas, 1 voluntario atender a: 24 : 8 3 personas.Para saber a cuntas personas atienden 12 voluntarios: 12 3 36.Pueden atender a 36 personas.

9.17

9.16

9.15

9.14

9.13

9.12

A 5 8 11 14

D 1 1,6 2,2 2,8

B 4 12 24 18

E 7 21 42 31,5

C 4 6 14 30

F 6 9 21 45

Magnitud A 2 7

Magnitud B 3 10,5

A 5 8

B x 12

Razn de proporcionalidad: AD

5

Razn de proporcionalidad: BE

47

Razn de proporcionalidad: CF

23

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 159

En una oferta de videojuegos, Luis ha comprado 3 juegos por 19,50 euros.

a) Si los juegos cuestan lo mismo, cunto cuestan 7 videojuegos?

b) Cuntos videojuegos ha comprado Lola, si se ha gastado 32,50 euros?

a) 7 videojuegos cuestan 7 6,5 45,5 .

b) 32,5 : 6,5 5 videojuegos compr Lola.

Ramn, Rita y Roberto estn haciendo una coleccin de cromos. Rita compra 6 sobres y le salen 42 cromos.

a) Cuntos sobres ha comprado Ramn si le han salido 63 cromos?

b) Cuntos cromos tendr Roberto si ha comprado 9 sobres?

Si hay 42 cromos en 6 sobres, hay 42 : 6 7 cromos en cada sobre.

a) 63 : 7 9, Ramn compr 9 sobres.

b) 9 7 63, Roberto tendr 63 cromos.

La siguiente tabla muestra el precio de un aparcamiento segn las horas que se deje el coche.

a) Qu magnitudes estn relacionadas en la tabla?

b) Comprueba si las cantidades corresponden a magnitudes directamente proporcionales.

a) Se relacionan las horas de estacionamiento de un coche, con el precio pagado.

b) 1,

120

2,240

3,340

4,440 luego no son magnitudes directamente proporcionales.

Porcentajes. Disminuciones e incrementos

P A R A P R A C T I C A R

Calcula los siguientes porcentajes.

a) 12 % de 450 c) 16 % de 4750

b) 9 % de 600 d) 6 % de 1300

a) 12 % de 450 0,12 450 54 c) 16 % de 4750 0,16 4750 760

b) 9 % de 600 0,09 600 54 d) 6 % de 1300 0,06 1300 78

Si se ha calculado un porcentaje de 1550 y ha resultado 186, de qu porcentaje se trata?

10

x0

1158560

x 1010551086

12, se trata del 12 %.

El 24 % de una cantidad es 144. De qu cantidad se trata?

12040

14

x4

x 10024144 600, que es la cantidad.

9.23

9.22

9.21

9.20

9.19

9.18

1N. de horas 2 3 4 Ms de 5

1,20Precio (e) 2,40 3,40 4,40 + 0,50 por hora

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 160

Qu es mayor, el 8 % del 20 % de 500, o el 4 % del 40 % de 500?

8 % del 20 % de 500 0,08 (0,20 500) 0,08 100 8

4 % del 40 % de 500 0,04 (0,40 500) 0,04 200 8. As que son iguales.

Ejercicio resuelto

Despus de aplicar una disminucin del 17 % a una cantidad se obtiene 1 667,47.

A qu cantidad se le ha aplicado esa disminucin?

18030

166

x7,47

x 1667,4

873

100 2009

Esa disminucin se le ha aplicado a 2009.

Si a una cantidad se le aplica una disminucin del 64 % y se obtiene 85,32, cul es esa cantidad?

Si se disminuye un 64 %, queda 100 64, un 36 %. 13060

85

x,32 x 100

3685,32 237

Si a 325 se le aplica una disminucin porcentual y se obtiene 123,5, qu disminucin se le ha aplicado?

132235,5

10

x0

x 123,3525

100 38, es decir, 123,5 es el 38 % de 325, luego la disminucin es 100 38 62 %.

Ejercicio resuelto

Tras aplicarle un incremento porcentual al nmero 1 585, se obtiene 1 711,8.

Qu incremento se le ha aplicado?

10

x0

11751815,8

x 100

15187511,8

108, luego el aumento es 108 100 8%

Si a 621 se le aplica un incremento porcentual y se obtiene 912,87, qu incremento se le ha aplicado?

10

x0

91

622,187 x 100

629112,87 147, luego el aumento es 147 100 47 %.

Si a una cantidad se le aplica un incremento del 27 % y se obtiene 4414,52, cul es esa cantidad?

11

02

07

441

x4,52 4414,

15227 100 3476

P A R A A P L I C A R

En un bosque de 25 000 rboles, un 60 % son hayas. Qu cantidad de rboles hay que no son hayas?

No son hayas 100 60 40 %. As: 0,40 25 000 10 000 rboles no son hayas.

En un gramo de cierta pomada hay 15 miligramos de cido.

a) Qu cantidad de cido hay en un tubo de 30 gramos de pomada?

b) Cul es el porcentaje de cido en la composicin de la pomada?

c) Cul es el porcentaje de la composicin que no es cido?

a) 310

gg

1x5

mmgg

x 301 15 450 mg de cido.

b) 10

105

0

10x0

x 1510

01000

1,5 %

c) 100 1,5 98,5 % de la pomada no es cido.

9.32

9.31

9.30

9.29

9.28

9.27

9.26

9.25

9.24

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 161

En un colegio de 800 alumnos, 608 asisten a actividades extraescolares. En otro colegio de 900 alumnosasisten 675.

a) En qu colegio hay un porcentaje mayor de alumnos que asisten a actividades extraescolares?

b) Qu porcentaje no asiste a actividades extraescolares en cada colegio?

a) 86

00

08

10

x0

x 60880

0100 76 %;

960705

10

x0

x 67590

0100 75 %, luego el porcentaje mayor corresponde

al primer colegio.

b) En el primer colegio, 100 76 24 % y en el segundo colegio, 100 75 25%.

Qu porcentaje de descuento le han hecho a Sofa al comprar estos pantalones?

75

06

10x0

x 5670100 80, como pag el 80 % del precio, el descuento fue el 20 %.

Un pas cobra por las importaciones un impuesto del 21 %. Un comerciante ha hecho una importacinpor la que pag, con el impuesto incluido, 181 500 euros. Cul era la cantidad antes del impuesto?

Si el impuesto es el 21%: 112010

181

x500 x 100

112811 500 150 000

Un empresario ofrece el 40 % de sus ganancias a Cruz Roja. Estas ganancias corresponden al 9 % de sufacturacin, que ha supuesto 85 200 euros. Qu cantidad de dinero va a recibir Cruz Roja?

Hay que calcular el 40 % del 9 % de 85 200: 0,40 (0,09 85 200) 0,40 (7668) 3067,28 .

Magnitudes inversamente proporcionales

P A R A P R A C T I C A R

Copia y completa estas tablas para que sus valores correspondan a magnitudes inversamente propor-cionales y calcula la constante de proporcionalidad inversa.

a)

b)

c)

9.37

9.36

9.35

9.34

9.33

A 0,256

D 25

1,6

4

5

1,28

3,2

2

B 12

E 12

9

16

8

18

6

24

C 0,8

F 36

1

28,8

3,2

9

15

1,92

Constantes de proporcionalidad inversa: 1,6 4 6,4

Constantes de proporcionalidad inversa: 6 24 144

Constantes de proporcionalidad inversa: 0,8 36 28,8

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 162

Copia y completa la tabla con los valores 3, 3,5, 9 y 10,5 de manera que sean cantidades de dos mag-nitudes inversamente proporcionales.

Cul es la constante de proporcionalidad inversa?

La constante de proporcionalidad inversa es 31,5.

Ejercicio resuelto

Los valores 12, 5, x y 30 corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales, de modo que 12es a 5 como x es a 30. Cunto vale x?

12 5 x 30 x 2

Los valores 36, 8, 24 y x corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales, de modo que 36y 8 son inversamente proporcionales a 24 y a x. Cunto vale x?

36 8 24 x x 3624

8 12

En una relacin de magnitudes inversamente proporcionales sabemos que 15 y 12 son inversamente pro-porcionales a x y a 32,5. Cunto vale x?

15 x 12 32,5 x 12 15

32,5 26

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

En un puerto, 10 gras descargan un barco en 18 horas.

En cuntas horas descargarn el barco 6 gras?

El nmero de gras y el tiempo que tardan son magnitudes inversamente proporcionales. Si aplicamos el mtodo de reduccina la unidad, resulta:

Si 10 gras descargan el barco en 18 h, 1 gra lo descargar en:

18 10 180 h

Si 1 gra tarda 180 h, 6 gras tardarn:

18

60

30

Luego lo descargan en 30 h.

Unos agricultores embalan su cosecha anual de trigo en sacos de 60 kilogramos y utilizan 3780 sacos.

Si utilizaran sacos de 70 kilogramos, cuntos necesitaran?

60 3780 70 x 60 70

3780 3240 sacos

9.43

9.42

9.41

9.40

9.39

9.38

Magnitud A 3 9

Magnitud B 10,5 3,5

A

B

12

5

x

30

A

B

36

8

24

x

A

B

15

x

12

32,5

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 163

Para pintar un edificio se han empleado 500 botes de 30 kilogramos de pintura.

Cuntos botes de pintura se emplearan si fueran de 40 kilogramos?

500 30 x 40 50040

30 x 375 botes

Una fbrica de caramelos vende su produccin en cajas de 300 gramos y utiliza 750 cajas.

Si deciden hacer las cajas de 200 gramos, cuntas cajas necesitaran para envasar su produccin?

300 750 200 x 30020

0750 x 1125 cajas

Un gasoducto transporta la produccin diaria de un pozo petrolfero. Si el caudal es de 450 litros porminuto, el transporte dura 4 horas.

a) Cunto durar el transporte si se aumenta el caudal hasta 600 litros por minuto?

b) Cul es el caudal si el transporte tarda 9 horas?

a) 450 4 600 x 456000

4 3 h b) 400 4 x 9 450

9 4 x 200 L

Matemticas cotidianas

P A R A A P L I C A R

La poblacin de un pequeo pas ha aumentado en el ltimo siglo un 35%. Si actualmente es de 1046250habitantes, cul era la poblacin hace un siglo?

11

03

05

1 046

x250 x 100

1130546 250 775 000 habitantes

Actividades finales

C L C U L O M E N T A L

Calcula estos porcentajes utilizando las fracciones decimales correspondientes.

a) El 10 % de 3527 b) El 10 % de 4569 c) El 20 % de 645

a) 110 de 3527

351207

352,7 b) 110 de 4569

451609

456,9 c) 12000

de 645 15

de 645 129

Calcula mentalmente.

a) El 50 % de 648 b) El 50 % de 3580 c) El 25 % de 1544

a) 324 b) 1790 c) 386

Calcula mentalmente.

a) El 75 % de 208 b) El 75 % de 420

a) 126 b) 315

9.50

9.49

9.48

9.47

9.46

9.45

9.44

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 164

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Copia y completa la tabla para que las cantidades correspondan a magnitudes directamente proporcio-nales.

Cul es la razn de proporcionalidad?

La razn de proporcionalidad es 160

35

0,6.

Copia y completa la tabla para que las cantidades correspondientes estn en proporcionalidad inversa.

Sabemos que el 12 % de una cierta cantidad es 101,4. De qu cantidad se trata?

0,12 x 101,4 x 101,4 : 0,12 845

Una cantidad ha aumentado un 27 % y, despus del aumento, resulta ser 5715. Qu cantidad era an-tes del aumento?

11

02

07

57

x15 x 100

1257715

4500

Una cantidad ha disminuido un 8 % y, despus de la disminucin, resulta ser 9476. Qu cantidad eraantes de la disminucin?

19020

94

x76 x 100

929476 10 300

Compara los siguientes porcentajes. Decide en cada caso cul es el mayor.

a) El 3 % del 15 % de 600 o el 5 % del 6 % de 900

b) El 8 % del 22 % de 800 o el 11 % del 18 % de 700

a) 0,03 (0,15 600) 0,03 90 2,7 0,05 (0,06 900) 0,05 54 2,7De modo que son iguales.

b) 0,08 (0,22 800) 0,08 176 14,08 0,08 (0,18 700) 0,08 126 13,86

As que el mayor es el primero.

Un grupo de 8 alumnos va a exponer un trabajo sobre pintura. Realizan un estudio de forma que cadauno analiza 3 libros. Si el grupo estuviera formado por 6, cuntos libros debera analizar cada uno?

8 3 6 x 86 3 x 4 libros

En una tienda, durante las rebajas, encontramos el siguiente anuncio:

a) Tienen las dos prendas el mismo descuento?b) De qu descuento se trata en tanto por ciento?

a) Pantalones: 19500

10

x0

x 10105090

60

Camisas: 4204

10x0

x 10040

24 60

S, a las dos prendas se les aplica la misma rebaja, ya que el resultado es el mismo.

b) Se trata de 100 60 40 % de rebajas.

9.58

9.57

9.56

9.55

9.54

9.53

9.52

9.51

Magnitud A 6 21

Magnitud B 10 35

24

40

27

45

A

B

12

10

15

8

20

6

5

24

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 165

El servicio forestal de un bosque pblico de 30 hectreas tienen un presupuesto de mantenimiento queles permite gastar 2500 euros por hectrea. En cierto momento, las autoridades aumentan la superficiedel bosque hasta llegar a 40 hectreas, pero el presupuesto no se modifica. Cunto podr gastar aho-ra el servicio forestal del bosque por hectrea?

30 25 000 40 x 30 4205 000 x 18 750 Puede gastar 18 750

P A R A R E F O R Z A R

Copia y completa estas tablas para que sus valores correspondan a magnitudes proporcionales.

a) Directamente proporcionales. b) Inversamente proporcionales.

Cuatro nmeros forman una proporcin inversa cuya constante de proporcionalidad inversa es 270. Sa-bemos que los nmeros son enteros. Dos de ellos son 6 y 10.

a) Cules pueden ser los otros?

b) Hay ms de una solucin?

a) Si la constante de proporcionalidad es 270, el producto de los pares de nmeros debe ser 270, por lo que como 6 y 10 no

dan producto 270, no pueden emparejarse, entonces: 6 x 270 x 2760

45 y 10 y 270 y 21700

27.

b) Con 6 y 10 formando parte de la proporcin, no.

La cantidad diaria recomendada de calcio al da para una chica de 13 aos es de 800 miligramos, y parauna mujer de 40 aos, de 600 miligramos.

Qu magnitudes se estn relacionando? Razona si son directa o inversamente proporcionales.

Se relacionan las magnitudes edad y necesidad de calcio del organismo.

81030

64000

, adems, 13 800 40 600, as que no son ni directa ni indirectamente proporcionales.

Si a 480 se le aplica una disminucin porcentual del 34 %, qu cantidad resulta?

48

x0

16060

x 48100066

316,80

Si a 2340 se le aplica un incremento porcentual del 29 %, qu cantidad se obtiene?

23

x40

11

0209

x 2341000129

3018,6

El 36 % de los miembros de un club deportivo son menores de 24 aos y son 108 personas.

Cuntos miembros tiene el club?

10

x8

13060

x 10836100 300 miembros

Llenamos un camin con 1600 cajas, cada una de las cuales tiene 24 botellas de refrescos. Luego llena-mos otro camin con 1200 cajas, pero cada una de estas tiene 36 botellas. Disponen los dos camionesde la misma capacidad? Qu tipo de relacin tienen estas dos magnitudes?

1600 24 38 400 botellas 1200 36 43 200 botellasNo, el segundo camin tiene ms capacidad.La relacin es inversamente proporcional.

9.66

9.65

9.64

9.63

9.62

9.61

9.60

9.59

A

C

0,28

2

1,4

10

2,8

20

3,36

24

B

D

7

1,5

14

0,75

28

0,375

70

0,15

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 166

Por un piso se ha pagado de alquiler, en tres meses, 2625 euros.

a) Cunto se habr pagado despus de 7 meses?

b) Si se ha pagado, en total, 13 125 euros, cunto ha durado el alquiler del piso?

En un mes se pagar: 2625 : 3 875

a) En 7 meses: 7 875 6125 b) 13 125 : 875 15 meses

Un grupo de cooperantes reparte el agua de un camin cisterna entre los habitantes de una zona de-srtica. Si embotellaran el agua en botellas de 1,5 litros, necesitaran 28 000 botellas.

Si utilizaran garrafas de 5 litros, cuntas garrafas necesitaran?

1,5 28 000 5 x x 1,5 268 000 8400 garrafas

Una impresora imprime 4 folios por minuto y termina un trabajo en 90 minutos. Se necesita terminarun trabajo similar en una hora cambiando de impresora. Cuntos folios debe imprimir por minuto lanueva impresora?

4 90 x 60 x 46090 6 folios por minuto

P A R A A M P L I A R

El coste inicial de un artculo es de 540 euros. Hay que pagar un IVA del 16 %, pero se consigue una re-baja del 5 % sobre el precio inicial. Cunto hay que pagar por el artculo?

540 , con una rebaja del 5 % 54x0

19050

x 54100095

513, si se le aplica un IVA del 16%:

51

x3

11

0106

x 51310

0116 595,08

Un juego educativo para ordenador cuesta 69,60 euros incluido el 16 % de IVA.

El margen comercial del vendedor es del 30 %. A qu precio compr el juego el comerciante?

11

01

06

69

x,60 x 100

11669,60 60 euros

El precio sin IVA es 60, como el margen es 30 % 110300

6x0 x 60

131000

46,15

Una empresa aplica a sus facturas un descuento por pagos adelantados y un aumento por pagos retra-sados. Aplica un 0,25 % por da para pagos adelantados y un 0,35 % para pagos retrasados. Calcula cun-to pagar por una factura de 720 euros si se paga con 22 das de adelanto. Y si se paga con 20 dasde retraso?

Si se adelanta el pago 22 das, el descuento es 22 0,25 5,5 %.Si se retrasa el pago 20 das, el aumento es 20 0,25 5 %. As:

Pago con el 5,5 % de descuento: 72

x0

9140,05

x 720100

94,5 680,4 .

Pago con el 5 % de aumento: 72

x0

110005

x 72010

0105 756 .

Una empresa de telfonos mviles debe entregar un pedido en 20 das. Los responsables calculan quepara hacerlo deben fabricar 3000 telfonos diarios, pero tienen una avera en la fbrica y empiezan eltrabajo con 4 das de retraso.

Cuntos telfonos deben fabricar al da para poder entregar el pedido a tiempo?

20 300 16 x 2016300 x 3750 telfonos

9.73

9.72

9.71

9.70

9.69

9.68

9.67

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 167

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Audiencias televisivasLa siguiente tabla muestra las audiencias de cinco programas de televisin emitidos en un cierto da.

a) Explica qu entiendes por los datos aportados en cada una de las columnas.b) Indica una razn por la que los programas Teatro para todos y Dibujos animados tienen diferente n-

mero de espectadores y, sin embargo, la misma cuota de pantalla.c) Crees que los datos correspondientes a las columnas de espectadores y de cuota son directamente

proporcionales?

a) El nmero de espectadores es la cantidad total de personas que hay viendo ese programa y la cuota de pantalla es el por-centaje con respecto a todos los espectadores que hay en ese momento viendo televisin.

b) Porque tambin hay menos personas viendo la televisin cuando emiten dibujos animados y el porcentaje es el mismo.c) No, porque deberan ser siempre el mismo nmero de espectadores totales para que esto sucediera.

La factura de la libreraUn centro escolar compra en una librera cinco diccionarios de ingls y cuatro de francs.Se quiere saber a cunto ascender la factura teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:

Cada diccionario de ingls cuesta 27 euros. Cada diccionario de francs cuesta 32 euros. La papelera hace un descuento del 15 % sobre el precio de los libros solicitados a los centros docen-

tes clientes. El transporte de los libros asciende a 12 euros. El IVA de los libros es del 5 %. El IVA del transporte es del 16 %.Escribe un modelo de factura en el que se dejen claros todos los conceptos que intervienen en el pre-cio final.

Factura:

A U T O E V A L U A C I N

Escribe un ejemplo de dos magnitudes que sean directamente proporcionales, otras dos que sean in-versamente proporcionales y otras dos que no sean proporcionales.

Directamente proporcionales:a) Cantidad de leche ............................................. Precio pagado por la leche.

Nmero de cajas iguales de bombones ............ Peso total de los bombones de las cajas.Inversamente proporcionales:b) Trabajadores de una obra ................................. Tiempo de terminacin de la obra.

Capacidad de unos recipientes ......................... Nmero de recipientes necesarios para envasar una cantidad fija de lquido.No proporcionales:c) Edad de un padre .............................................. Edad de un hijo.

Peso de una persona ......................................... Veces que va al cine en un mes.

9.A1

9.75

9.74

AUDIENCIAS - Los programas ms vistos (viernes, 4 de octubre)

Canal

1

3

4

5

3

6

Programa

Informativo

Concurso

Cine en casa

Las Noticias

Teatro para todos

Dibujos animados

N.o de espectadores

4 001 000

3 500 000

3 246 000

2 945 000

2 823 000

2 755 000

Cuota de pantalla

28,3

24,5

25,6

30,1

22,4

22,4

Diccionario de Ingls 27 euros 5 135

Unidades Total

Diccionario de Francs 32 4 128

263

Descuento (15 %) 223,55

IVA (5 %) 234,67

Transporte 12 euros 16 % 13,92

TOTAL: 248,59

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 168

Copia y completa la tabla, sabiendo que las magnitudes son directamente proporcionales.

Cul es la razn de proporcionalidad?

La razn de proporcionalidad es 212355

53

.

Copia y completa la tabla, sabiendo que las magnitudes son inversamente proporcionales.

Cul es la constante de proporcionalidad inversa?

La constante de proporcionalidad inversa es 180 1,5 270.

Calcula el valor de x en:a) El 13 % de 1605 es x. c) El 4 % de disminucin de 765 es x.b) El 56 % de incremento de 1754 es x. d) El x % de 575 es 92.

a) 11030

16

x05 x 13

1010605 280,65 c)

19060

76

x5

x 96107065

734,40

b) 11

05

06

17

x54 x 156

1010754

2736,24 d) 10

x0

59725

16

Para construir una valla de 32 metros se han pagado 464 euros.Qu longitud tiene una valla igual que la anterior cuya construccin cost 609 euros?

43624

60

x9

x 32466409

42 m

En qu tienda es mayor el ahorro en los electrodomsticos de una vivienda?

Primera tienda: 1020 0,88 897,6 .

Segunda tienda: 780 1,16 904,8 .

Se ahorra ms en la primera tienda.

Tres amigos forman un grupo de msica. Para ensayar alquilan un local y pagan 290 euros cada uno.Si se incorporan al grupo dos amigos ms, cunto pagar entonces cada uno de los componentes delgrupo?

Es proporcionalidad inversa. Pagan por el local: 3 290 870 . Si son 5, paga cada uno 870 : 5 174 .

U N R I N C N P A R A P E N S A R

Imagina que la tecla de dividir de tu calculadora est estropeada. Halla el cociente y el resto de estas divi-siones sin usarla.

Hay distintas formas de dividir con una calculadora en estas condiciones. A continuacin mostramos el modo de hacerlo utilizando ni-camente las teclas, y .Para hallar el cociente y el resto de la divisin 19 : 4 vamos a pulsar la siguiente secuencia de teclas:

19 4 En la pantalla han ido apareciendo sucesivamente 15, 11, 7 y 3. Podemos concluir que el cociente es 4 y el resto es 3.Del mismo modo tras pulsar tres veces la tecla de igual en la siguiente secuencia:30 8 aparece el nmero 6 que es menor que 8, luego el cociente es 3 y el resto es 6.59 9 nos indica que el resto de dividir 59 entre 9 es 5 y el cociente es 6.276 34 nos muestra que el cociente de la divisin 276 : 34 es 8 y el resto 4.

9.A7

9.A6

9.A5

9.A4

9.A3

9.A2

A

B

10

6

12,5

7,5

15

9

225

135

A

B

180

1,5

108

2,5

45

6

30

9

112297_SOL_U09 11/7/08 12:32 Pgina 169