unidad 9 derivada (ii) - … · que debemos optimizar, lo que pone a prueba nuestros conocimientos...

222

Aplicaciones de laderivada (II)9

UNIDAD

i la luz recorre el camino para el que invierte elmenor tiempo, ¿cuál será la trayectoria queseguirá si pasa del aire al agua? Este es un

ejemplo de optimización de una función; en este casodel tiempo empleado por la luz en recorrer un espacio.Optimizar es averiguar el mayor o el menor valor de unafunción, esto es, sus extremos relativos, algo que yasabemos de Primero y que repasamos en la Unidadanterior. Sin embargo, aquí hay que escribir la funciónque debemos optimizar, lo que pone a prueba nuestrosconocimientos matemáticos, pero también nos permitereferirnos a casos concretos que pueden aplicarse ala vida diaria.

Por lo tanto, nuestras herramientas serán por un ladola derivada, ideada por Leibniz y Newton (1643 – 1727)en el siglo XVII, y por otro la construcción de la funciónque se ajuste al problema. Tenemos que ser capacesde transcribir al lenguaje algebraico las situaciones queaparezcan. Combinamos una aplicación de las matemá-ticas puramente mecánica (cálculo de los extremos relativos de una función usando las derivadas)con otra que nos exigirá recordar las fórmulas de longitudes, áreas, volúmenes y otras más paraconstruir las funciones que hay que optimizar.

Si repasamos lo hecho hasta ahora con las funciones, vemos que podemos conocer prácticamentetodo lo que interesa sobre ella. ¿Seremos capaces de representarla gráficamente? Juntando lainformación que se obtiene directamente de la función (dominio, simetrías, puntos de corte conlos ejes, signo de la función, asíntotas), con la que procede de la derivada primera (monotonía,puntos críticos) y de la segunda (curvatura, puntos de inflexión) podemos esbozar una gráficaque nos permite, de un vistazo, conocer el comportamiento de la función.

Acaba la Unidad introduciendo sucintamente, y sólo para los más interesados, los polinomiosde Taylor o desarrollo en serie de Taylor para una función. Dado que para su cálculo sólonecesitamos usar la derivación, se convierte en un buen ejercicio para calcular derivadas deórdenes superiores. También sirve como introducción para el alumnado que vaya a cursar unAnálisis Matemático en un primer curso de Universidad.

Con el estudio de esta Unidad nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes:

1. Optimizar funciones, hallando los valores que hacen que la función sea máxima o mínima.

2. Estudiar y representar gráficamente una función.

S

● Isaac Newton (Wikipedia.org Dominio Público)

223

Optimización de funciones

Estudio y representación de funciones

Información obtenida de la función:1. Dominio2. Simetría3. Puntos de corte con los ejes4. Signo de la función5. Asíntotas

Información obtenida de la derivada primera:6. Monotonía (crecimiento y decrecimiento)7. Puntos críticos (máximos y mínimos)

Información obtenida de la derivada segunda:7. Puntos críticos (máximos y mínimos)8. Curvatura (concavidad y convexidad) y

puntos de inflexión

Aplicaciones de la derivada (II)

PARA SABER MÁS…

Desarrollo en serie de TaylorAproximación de una función por un polinomio

1. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2. ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

224

1. Optimización de funcionesOptimizar una función consiste en buscar los valores de la variable para los que dicha función alcanza su

mayor o menor valor. Esto ocurre habitualmente en sus extremos relativos; por lo tanto, los calcularemos comohacíamos en la Unidad anterior. ¿A qué viene entonces este apartado? Cuando hablamos de calcular los máximosy mínimos damos por hecho que nos dan la función que debemos optimizar, mientras que si decimos optimizarsobreentendemos que hemos de construir la función que se ha de optimizar, que es el paso realmente complicadoy diferente.

El tipo de problemas al que se le puede aplicar la técnica de la optimización de funciones es extensísimo.Habitualmente tendremos que apoyarnos en conocimientos aritméticos, algebraicos o geométricos previos y enuna lectura detallada, que nos permita averiguar cuál será y qué forma tendrá la función que hemos de optimizar.También son de gran ayuda las simetrías que aparezcan en el problema.

Pueden servir de guía las siguientes orientaciones: I. se identifica la función que hay que optimizar; II. se nombran sus variables;III. se escribe matemáticamente la función;IV. se calculan sus extremos relativos.

Para no complicar los cálculos, si en la función se puede sacar factor común algún término constante yqueda simplificada, lo haremos y usaremos esta simplificación.

APLICACIONES DE LA DERIVADA (II)

9UNIDAD

E j e m p l o sE j e m p l o s

1. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima y 28 m de perímetro.

Solución:

Hacemos un gráfico donde escribimos las variables; la función que tenemos que optimizares el área: A(x,y) = x ·y. Surge un contratiempo muy habitual: la función consta de dos variables. Como sólo sabemosmanejar funciones de una variable, hay que encontrar una relación entre las variables, que permita despejaruna en función de la otra. En este caso, dicha relación es el perímetro: 2x + 2y = 28 ⇒ x + y = 14.

Despejamos y sustituimos en la función, que ya será de una variable. Después calculamos sus extremos relativos:

y = 14 – x ⇒ A(x) = x ·(14 – x) = 14x – x 2.

Antes de derivar observemos la función: es una función cuadrática (parábola) cuyo vértice es un máximo (el coeficientede x2 es negativo). La función está bien construida. Si intercambiamos x e y, ni la función ni la relación cambian. Hayuna simetría que nos permite aventurar que el rectángulo de área máxima es un cuadrado. A'(x) = 14 –2x ⇒ A'(x) = 0⇒ x = 7 ⇒ A''(x) = – 2 ⇒ A''(7) = – 2 < 0 (máximo). El área es máxima para x = y = 7 cm. Por lo tanto, el rectángulode área máxima y perímetro 28 cm es un cuadrado de lado 7 cm y área 49 cm2.

Aparte de dar el valor de las variables que optimizan la función, conviene dar también el valor optimizado de dichafunción, y una somera explicación del resultado obtenido.

x

y

225

2. Descomponer el número 81 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primer sumando por el cuadradodel segundo sea máximo.

Solución:

Llamamos x e y a los sumandos. Siguiendo los pasos del ejemplo 1 escribimos:

Función que se debe optimizar: P(x,y) = x ·y 2.

Relación entre las variables: x + y = 81.

Para no tener que desarrollar un binomio despejamos x:x =81–y. Se obtiene: P(y)= 81y 2 – y 3 ⇒ P ' (y) =162y – 3y 2,162y – 3y 2 = 0, y (162 – 3y) = 0, y = 0 (absurda) e y = 54; P '' (y) = 162 – 6y ⇒ P '' (0) = 162 > 0; (mínimo); P '' (54) =– 162 < 0(máximo). Cuando y = 54 y x = 27 (un sumando es igual a la mitad del que está elevado al cuadrado), elproducto es máximo y vale Pmáx = 78732.

Observa que manejamos la variable y igual que la x, porque ambas son ahora variables independientes, siendolas dependientes el producto y la suma. Aparece una solución absurda y descartable, ya que si un número valiesecero, el producto sería cero. Sin embargo, conviene reforzar nuestra opinión con el cálculo posterior, que debecorroborar nuestra afirmación, pues en caso contrario deberíamos pensar que nos hemos confundido. Si al repasarlos cálculos no vemos ningún error, se concluye que el problema planteado no tiene solución, aunque éste no esel presente caso.

3. Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga lamáxima superficie interior posible.

¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero?

¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?

Solución:

Se trata de construir tres lados de un rectángulo (el cuarto es el suelo) de modo que su superficie sea máxima.Llamando x a la base e y a la altura queda:

Función que se debe optimizar: A(x,y) = x ·y.

Relación entre las variables: x + 2y = 10 .

Para evitar fracciones despejamos x: x = 10 – 2y ⇒ A(y) = (10 – 2y) · y = 10y – 2y2; A ' (y) = 10 – 4y ⇒ A ' (y) = 0

a) Máximo para

4. La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman120. Halla los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máximo.

Solución:

Llamando a los números x, y, z, respectivamente, podemos escribir:

y m x m A A mmáx= = = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⋅ = =5

22 5 5 5 5

252

5 252

12 5 2, ; ; , , . b)

⇒ = ⇒ ( ) = − ⇒ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − <y A y A5

24 5

24 0'' '' .

226


9UNIDAD

Al tener 3 variables han de aparecer 2 relaciones para poder despejar dos de ellas en función de la tercera x.Planteamos y resolvemos el sistema siguiente:

5. Se desea construir cajas de embalaje en forma de prisma cuadrangular de modo que la suma de las tres dimensionessea 72. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad de las cajas sea máxima?

Solución:

Al ser un prisma cuadrangular (su base es un cuadrado), sólo hay 2 variables. Usando la fórmula del volumen de unprisma escribimos:

Al no especificarse unidad de medida escribimos u como unidad de longitud y u3 como la de volumen. Observa laregularidad: los rectángulos de área máxima son cuadrados y los prismas cuadrangulares de volumen máximoson hexaedros regulares (cubos).

6. Averigua las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo equilátero de 20 cmde lado.

Solución:

Llamamos 2x a la base del rectángulo para evitar fracciones; usamos elteorema de Pitágoras para averiguar el valor de la altura del triángulo:

y el teorema de Tales o la definición de tangentepara la relación.

Función a optimizar

Relación entre las variabl

: .A x y xy,( ) = 2

ees: ó .

yx

tg yx

y x

A x x x

1010 3

1060

103 10

2 3 10

−= =

−⇒ = −( )

( ) = −( )⇒

º

ff xA x

x x f x x f x x

f x f

( ) = ( )= − ( ) = − ⇒ ( ) = ⇒ =

( ) = − ⇒2 3

10 10 2 0 5

2

2 ; ' ' ;

'' '

'' 5 2 0( ) = − < (máximo). El área es máxima cuando la base del rrectángulo mide cm

y su altura cm, valiendo

b x

y

= =

=

2 10

5 3 AA Amáx = ( ) = ≅5 50 3 86 6, cm . 2

h = − =400 100 10 3

x

y

Función a optimizarRelaciones entre l

: .V x y A h x ybase,( ) = ⋅ = 2

aas variables: Despejamos

2 7272 2 72 22 3

x yy y x V x x x

+ == − ⇒ ( ) = −

.: ;

V x x x V x x x

x absurda x V' ; '

, ;( ) = − ( ) = ⇒ −( ) = ⇒

⇒ = ( ) =

144 6 0 6 24 00 24

2

'''( ) ''( ) ; ''( ) .x x V mínimo V máximo= − ⇒ = < ( ) = − ( )144 12 0 144 0 24 144 LLa caja tiene capacidad máxima para , valiendo x y u Vmá= = 24 xx V u= ( ) =24 13824 3.

y z xy z x

z x y x P x+ = −+ = −

⎫⎬⎭⇒ = = − ( )60

2 3 12060 2; . La función queda: == − ( ) = −

( ) = −( ) = ⇒ = (

60 2 120 6

0 6 20 0 0

2 3 2x x P x x x

P x x x x absurda

; ' ,

' ; )) = ( ) = − ⇒ ( ) = >

( ) = −, '' ''

''x P x x P

P20 120 12 0 120 0

20 12; (mínimo);

00 0< (máximo).


Relaciones entre las v

: .P x y z x y z( , , ) = ⋅ ⋅

aariables: x y zx y z+ + =+ + =

⎧⎨⎩

602 3 120

x

y

10

h20

10-x

y

60º

227

Simplificamos la función para el cálculo, aunque el resultado de la optimización hay que hallarlo en la función sinsimplificar.

7. Una empresa desea un recipiente para envasar un litro de un producto líquido. Quieren que sea o un prisma rectocon base un hexágono regular o un cilindro. Averigua qué forma ha de tener la base para que el gasto de materialsea mínimo. Solución:

El gasto en material vendrá dado por la superficie de las figuras. Como tanto el prisma como el cilindro son cuerposrectos, la superficie puede separarse en superficie lateral (que son rectángulos) y superficie de las bases (el hexágonoregular o un círculo). El volumen del recipiente (1000 cm3) proporciona la relación entre las variables. Prisma hexagonal:Función a optimizarRelación entre las

: .S S Slateral bases= +vvariables: .

Base hexagonal: , sie

V A h

AP a

base

hexágonop

=

=⋅

·

2nndo el perímetro y la apotema, que se obtiene usandoP ap el teorema de

Pitágoras. Queda .Ax x

xh =⋅

=6 3

22

3 32

2

Función aa optimizar

Relación entre l

: .S x y xy x xy x, ·( ) = + = +6 2 3 32

6 3 32

2

aas variables: .3 32

1000 20003 3

4000 33

3 3 3

22

2

x y yx

S xx

x

· = ⇒ =

( ) = + =33

4000 93

3

4000 9

4000 18

2 2

2

xx f x

S xx

x

f xx

x

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇒ ( ) = ( )

= + ⇒

( ) = − + ⇒' ff x x

f xx

f

' ,

'' ''

( ) = ⇒ = = ≅

( ) = + ⇒

0 400018

10 29

6 057

8000 18 4000

3 3

3

cm;

11854 0 10 2

9

2000

3

3 3⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = < =

=

(mínimo). Cuando cm e x

y

mín

33 400018

3 400018

3 10 4912

23

3

·,= ⋅ = ≅

racionalizando

mínx cm, se tiiene el gasto mínimo que vale

S S x y x xmín mín mín mín m= ( ) =, ·6 3 íín mín mínx x+ = ≅3 3 9 3 571 9112 2 , cm .2

xy x

ap

2

x

y

2πx

x

228


9UNIDAD

Se gasta menos material usando un cilindro. Al aumentar el número de lados del polígono regular base del prisma,disminuye la superficie total. Si el número de lados es infinito, el polígono es un círculo ( ver Actividad 5).

8. ¿Qué dimensiones tiene el cono de volumen máximo y generatriz 1m?

Solución:

9. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima cuyos vértices están sobre la parábola y = x2 y la recta y = 4.Indica también las coordenadas de dichos vértices.Solución:Función a optimizarRelación entre las variables

: .:

A bh= 24−− =

= − ⇒ ( ) = −h b

h b A b b

2

24 8 2, pues es un punto de la parábola.

bb A b b A b b

b A

3 2 28 6 0 8 6 0

43

2 33

2 33

; ' '

; ''

( ) = − ⇒ ( ) = ⇒ − =

⇒ = =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ == − < ⇒

=

8 3 0

2 4

El área es máxima para un

rectángulo de base b 333

83

32 39

u, altura u, siendo u . Las coordenad2h Amáx= = aas de los vértices del

rectángulo de área máxima son − 2 333

43

2 33

43

2 33

4 2 33

4, , , ,⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝, , y ⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟.


Relación entr

: .V r h A h r hbase,( ) = ⋅ =13

13

2π

ee las variables: h r r h V h h h f hV h2 2 2 2 21 1

31+ = = − ( ) = −( ) ⇒ ( ) = (, ·π ))

= − ⇒

( ) = − ⇒ ( ) = ⇒ = = ⇒ ( ) = − ⇒⎛

⎝⎜⎜

π3

1 3 0 13

33

6 33

3

2

h h

f h h f h h f h h f' ' '' ''⎞⎞

⎠⎟⎟ = − < ⇒

= =

2 3 0

33

23

el volumen es

máximo cuando m y m, yh r el volumen máximo vale m3V Vmáx =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

33

2 327π .

Cilindro :Función a optimizaar

Relación entre las variables

: .

:

S x y xy x

x y

,( ) = +

=

2 2

1

2

2

π π

π 0000 1000

2000 22

1000

2

2 2

⇒ =

( ) = + ⇒ ( ) = ( )= + ⇒ ( ) =

yx

S xx

x f xS x

xx f x

π

π π

.

' −− + ⇒ ( ) = ⇒ = ≅

( ) = + ⇒

1000 2 0 500 5 419

2000 2

23

3

xx f x x

f xx

f

ππ

π

' ,

''

cm;

''' 500 6 0 5003 3π

ππ

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = < ⇒ =el gasto es mínimo para exmín

cm,

y

x

mín

racionalizando

mín

= =

= = ≅

1000500

2 500 2 10 839

2

23

3

ππ

π, valiendo S S x y x x x xmín mín mín mín mín mín mín= ( ) = ⋅ + = ≅, 2 2 2 62 2π π π 5553 581, cm .2

g=1h

r

h

b

4

(-b,4)

(b,4-h)

229

Ciertas técnicas pueden servir de gran ayuda. En concreto, si la función es positiva y viene dada por una raízcuadrada, podemos usar su cuadrado, evitando cálculos más complicados. Este resultado se puede enunciardel siguiente modo:

Si f, función continua, derivable al menos dos veces y positiva en x0, tiene un extremo relativo en x0, f 2 tiene elmismo extremo relativo en x0.

Este teorema lo usamos para hallar el extremo pero, lógicamente, el valor óptimo de la función lo calcularemosen la función de partida, no en su cuadrado.

Demostración: como tiene un extremo relativo en , 0f x f x' 0(( ) = ( )0 0 y tendrá un valor determinado.

Hagamos

sgn ''f x

g x(( ) = ( )⎡⎣ ⎤⎦ ( ) = ( )⋅ ( ) ⇒ ( ) = ( )⋅ ( )f x g x f x f x g x f x f x20 0 02 2. Así, ' ' ' ' == ( ) = ( ) =

= ( )⎡⎣ ⎤⎦ + ( )⋅ ( ) ⇒

0 0

2 2

0

2

, pues f x g x

f x f x f x g

' , ''

' '' '' xx f x f x f x f x f x g x0 02

0 0 0 0 02 2 2( ) = ( )⎡⎣ ⎤⎦ + ( )⋅ ( ) = ( )⋅ ( ) ⇒ (' '' '' sgn '' )) = ( )sgn ''f x0 .


10. Demuestra que de todos los rectángulos de área fija a, el cuadrado es el que tiene el círculo circunscrito de áreamínima.

Solución:

Función a optimizarRelación entre las va

: .A x y x y,( ) = +( )π 2 2

rriables: 4

4 162

82

2

2

2

xy a

y ax

A x x ax

A x x ax

=

= ⇒ ( ) = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒ ( ) = −

.

'π π 33

42 2

4

0

16 22 3

8

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒ ( ) = ⇒

⇒ = ⇒ = ( ) = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒

A x

x a x a A x ax

A a

'

; '' ''π22

2 6 8 0⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +( ) = > ⇒π π el área es mínima cuando la

base valle y la altura . Se trata de un cuadrado.2 2x a y aa

a= = =

dx

yr

2x

2y

2x

yh

x

11. ¿Qué dimensiones tiene el triángulo isósceles de área máxima y perímetro 60 m?Solución: El área de un triángulo es . Como hay que hallar lA b h

tr = ⋅2

aa longitud de los lados, escribimos y en función de b h x

e . Para evitar fracciones y obtenemos .y b x h y x= = −2 2 2

Funcción a optimizarRelación entre las varia

: .A x y x y x,( ) = ⋅ −2 2

bbles: 2 2 60 30 30

30 900 602 2

x y x y y x

A x x x x x x A

+ = ⇒ + = ⇒ = −

( ) = ⋅ −( ) − = − ⇒· xx x x x x

A x

( )⎡⎣ ⎤⎦ = −( ) = −

( )⎡⎣ ⎤⎦

2 2 2 3

2

900 60 900 60 .

Dividimos por 60:: ; f xA x

x x f x x x f x x absu( ) =( )⎡⎣ ⎤⎦ = − ( ) = − ⇒ ( ) = ⇒ =

2

2 3 2

6015 30 3 0 0' ' rrda x

f x x f f

( ) =

( ) = − ⇒ ( ) = > ( ) = −

,

'' '' ''

10

30 6 0 30 0 10

;

(mínimo); 330 02 20

< ⇒

= = =

El área del triángulo es máxima cuando cm b x y ((aparte de isósceles es equilátero), valiendo A Amáx = ( ) =10 1100 3 173 205≅ , cm .2

230


9UNIDAD

Hay que tener cuidado con este procedimiento, porque no se aplica cuando la función sea la suma de dos omás raíces cuadradas.

Encuentra las coordenadas de los puntos de la parábola y x= 22 que están a la mínima distancia del punto (0,5).Soluciónn

dist P Q

:

,La distancia entre dos puntos se calcula con ( ) = xx x y y

dist x y x y

2 12

2 12

2 5

−( ) + −( )

( ) = + −(

.

: Función a optimizar , ))=

( ) = + −( ) =

2

2

2 2 25

.

: .Relación entre las variables y x

dist x x x xx x f x dist x x x

f x x x f x

4 2 2 4 2

3

9 25 9 25

4 18

− + ⇒ ( ) = ( )⎡⎣ ⎤⎦ = − + ⇒

( ) = − ⇒ ( )' ' == ⇒ −( ) = ⇒=

= ±

⎧⎨⎪

⎩⎪

⇒ ( ) = − ⇒

( ) = − <

0 2 2 9 00

32

12 18

0 18 0

2 2x xx

xf x x

f m

''

'' ááximo

f mínimo

( )

±⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= > ( )

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒'' 3

236 0

Los puntos de la parrábola que están a la mínima distancia del punto

(0,

y x= 2

55) son .

Demuestra que de todos lo

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

92

32

92

, , ,

ss rectángulos inscritos en un círculo, el cuadrado es el dde área máxima.

Llamamos al diámetro del círculSolución

d

:oo, a la base e a la altura del rectángulo. El diámetrx y oo del círculo es constante

y los que variarán son e . x y HHay que demostrar que el área máxima se tiene cuando .x y=

FFunción a optimizar

Relación entre las variabl

: .A x y xy,( ) =

ees: .x y d

y d x f x A x x d x d x x

f

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

+ =

= − ⇒ ( ) = ( )⎡⎣ ⎤⎦ = −( ) = − ;

' xx d x x f x x d x x absurda x d

f x

( ) = − ⇒ ( ) = ⇒ −( ) = ⇒ = ( ) =

( )

2 4 0 2 0 02

2 3 2 2' , ;

'' == − ⇒ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − < ⇒2 122

4 02 2 2d x f d d'' el área es máxima para el cuaadrado que tiene .x y d= =2

d

x

y

12.

13.

231

Para saber más...

Función a optimizar: .f x t th d x

vh x

v

f x

( ) = + =+ −( )

++

(

1 212 2

1

22 2

2

' )) =− −( )

+ −( )+

+⇒ ( ) =

− −( )+ −

2

2

22

1

1 12 2

2 22 2

1 12

d x

v h d x

xv h x

f xv

d x

h d' ·

xx vx

h xf x

d x

v h d x

xv h x( )

++

⇒ ( ) = ⇒−( )

+ −( )=

+⇒

22 2

2 21 1

2 22 2

2 2

1 0· '

usanddo a la definición de seno en un triángulo rectángulo, obttendríamos: , lo que nossen i d x

h d xsen r x

h x� �= −

+ −( )=

+12 2

22 2

; lleva a que

. Calculemos con cuidado la dsen iv

sen rv

� �

1 2

= eerivada segunda: f xv

h d x d xd x

h d'' ·

·

( ) =

+ −( ) + −( ) − −( )+ −1

1

12 2

12 xx

h d x v

h x x xh x

h x

f xv

h

( )+ −( )

+

+ −+

+⇒

( ) =+

2

12 2

2

22 2

22 2

22 2

1

12

1

1

··

'' ·dd x d x

h d xv

h x x

h x

−( ) − −( )

+ −( )⎡⎣

⎤⎦

+ + −

+⎡⎣ ⎤⎦

=2 2

12 2

32 2

22 2 2

22 2

32

1 1·vv

h

h d xv

h

h xf x

1

12

12 2

32 2

22

22 2

32

1 0· · ''+ −( )⎡

⎣⎤⎦

++⎡⎣ ⎤⎦

⇒ ( ) > para ttodo valor de ; luego, la suma de

tiempos es mínima cuan

x

ddo .

En Óptica se usa el índice de refracc

sen iv

sen rv

� �

1 2

=

iión en lugar de la velocidad ( velocidad de lan cv

v cn

c= ⇒ = = luz en el aire, velocidad de la luz en el

medio). En e

v =

sste caso la relación queda .n sen i n sen r1 2⋅ = ⋅� �


14. Se desea sujetar dos postes de alturas 8 y 3 m, separados entre sí 22 m, anclando al suelo un único cable de acero, de modo que elgasto en cable sea el mínimo.

Solución:

La función a optimizar (la longitud del cable) es:

Aquí no sirve elevar al cuadrado, pues al desarrollar el binomio, el doble producto será otra raíz cuadrada.Hay que derivarlo tal y como está.

Puede adoptarse otra estrategia basada en la simetría: hacemos otro gráfico, en el que reflejamos el postede 3m, de modo que los extremos de ambos postes se unen mediante una recta, que es la distancia máscorta entre dos puntos. El punto de corte de dicha recta con el eje OX nos dará la distancia a la que hayque anclar el cable al suelo. La recta que pasa por (0,8) y (22,–3) es:

Por lo tanto, hay que clavar el cable en el suelo al 16m del poste de 8m y a 6m del poste de 3m.

15. Si la luz sigue el camino para el que el tiempo invertido en recorrerlo es mínimo, averigua qué relación habrá entre el ángulo de incidencia( i^ ) y el de refracción ( r^ ), cuando la luz pasa de un medio en el que se mueve con velocidad v1 a otro en el que su velocidad es v2.

Solución:

Hacemos un gráfico y escribimos las variables. Suponemos que la luz sale de un puntoP, del medio 1, incide en el punto I y llega al punto Q del medio 2. Al ser la velocidadconstante t = s_v . El espacio recorrido en cada medio se calcula usando el teoremade Pitágoras. La función a optimizar es la suma de los tiempos invertidos en recorrercada tramo.

Como los senos de los ángulos dependen de x y no se pueden considerar constantes, es preferible no usarlos al escribir la función, ya quepuede llevarnos a error al derivar.

Este ejemplo intenta poner de relieve la suma importancia de la optimización en la Física. Mediante el cálculo variacional, que consisteen una generalización de la optimización, se interpretan las leyes físicas a partir de máximos o mínimos.

r y x x x: ; .= − + − + = ⇒ =12

8 12

8 0 16 corta al eje OX en el punto

f x x x( ) = + −( ) + +8 22 32 2 2 2

232

No estaría de más que el alumnado repasase sus conocimientos geométricos adquiridos en cursos anteriores,pues le serán de ayuda para la resolución de este tipo de problemas.


9UNIDAD

1. Dada la función f (x) = 1_x , se pide:

a) Halla la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto (a, f (a)), para a > 0.b) Halla los puntos de corte de dicha recta tangente con los dos ejes de coordenadas.c) ¿Para qué valor de a > 0 es mínima la distancia entre los puntos hallados en b)?

2. Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón dedimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenien-temente la lámina se construye una caja (ver figura adjunta). Calcula x paraque el volumen de dicha caja sea máximo.

3. Los vértices de un rectángulo son (0,0), (x0,0), (x0,y0) y (0,y0). Halla el rectángulo de área mínima de entre todos losque tienen las coordenadas del vértice (x0,y0) positivas y están sobre la curva y = 4__

x2 + 1.

4. Demuestra la ley de la reflexión i^ = r^ mediante estos dos caminos:a) el usado para demostrar la ley de la refracción;b) la simetría de la situación.Nota: ahora sólo hay un medio, por lo que los dos puntos estarán a la misma

altura h.

5. ¿Con cuál base se gasta menos material para la construcción de un recipiente con forma de prisma de volumen1000 cm3, cuando es un cuadrado o un octógono regular?

6. Determina las dimensiones de una lata de conservas que tenga forma de cilindro recto de área total 150 cm2 yvolumen máximo.

7. El número de unidades diarias que se pueden fabricar de un determinado producto es 100x√y__

, siendo x el númerode empleados e y el número de máquinas. Si se dispone de 81000 € para afrontar los gastos, y el coste por empleadoes de 1800 € y por máquina es de 3000 €, averigua cuántos empleados se pueden contratar y cuántas máquinas sepueden comprar para que la producción sea máxima.

8. Hay que recorrer los 1000 km que separan A de B (ver gráfico). Si lo hacemosdirectamente, campo a través, nuestra velocidad máxima es de 50 km/h. Tambiénpodemos dirigirnos por carretera a C, que dista 600 km de A y 800 km de B, y queestá comunicada con ambas por carretera. Los puntos A, B y C forman un triángulorectángulo. Determina la ruta que hace que el tiempo invertido sea mínima, si lavelocidad máxima en la carretera es de 100 km/h.

A c t i v i d a d e s

233

9. Se desea cortar una encimera con forma de trapecio isósceles, de forma quetenga área máxima. La altura debe ser 60 cm y la longitud del perímetro menosla longitud de la base mayor 280 cm. Determina las longitudes de todos loslados del trapecio.

10. Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentralas dimensiones de la ventana de área máxima si su perímetro es de 10 m

11. La temperatura T de una reacción química viene dada, en función del tiempo t (medido en horas)por la expresión T(t ) = 2t – t 2, para 0 ≤ t ≤ 2 horas. ¿Qué temperatura habrá a los 15 minutos? ¿En qué momentovolverá a alcanzarse esta misma temperatura? Halla las temperaturas máxima y mínima y los momentos en los quese producen.

12. El consumo en combustible de un barco navegando a una velocidad de x nudos (millas/h) viene dado por

l /h. Calcula la velocidad más económica y el coste equivalente.

13. Un granjero dispone de 3 000 € para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río, usando a éstecomo un lado del área cercada, es decir, construirá 3 cercas. El coste de la cerca paralela al río es de 5 € pormetro instalado, y el de la cerca para cada uno de los dos lados restantes es de 3 € por metro instalado. Calculalas dimensiones del área máxima que puede ser cercada.

14. La función del coste total de producción de x unidades de un determinado producto es . Define la

función del coste medio por unidad con . ¿A qué nivel de producción será mínimo el coste medio por

unidad?

15. Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 m2. El metro lineal de tramos horizontal cuesta 5 €,mientras que el metro lineal de tramos vertical cuesta 10 €. Determina:

a) las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo.

b) ¿Cuánto cuesta el marco?

C x C xx

( ) ( )=

C x xx

( ) = +2

60450

C x xx

( ) = +2

60450

234

2. Estudio y representación de funcionesConforme avanzamos en su estudio, aparecen funciones cada vez más complejas, que requieren de métodos

más sofisticados para su tratamiento. De poco o de nada sirven las tablas de valores; debemos desechar lapretensión de conocer exactamente lo que hace punto a punto.

Localmente tenemos que centrarnos en los puntos que realmente caracterizan a la función, como son los puntoscríticos y los de inflexión. El estudio global debe comprender el estudio de las asíntotas, del signo de la función,etc. Nuestra pregunta será ahora qué es necesario estudiar de la función para conocerla con detalle. Despuésqueda el proceso de ajustar convenientemente toda la información obtenida, de modo que no aparezcan resultadoscontradictorios.

Los pasos para efectuar el estudio y la representación gráfica de una función son los siguientes:

1. Cálculo del dominio de la función.2. Estudio de la simetría y de la periodicidad. 3. Cálculo de los puntos de corte de la función con los ejes de coordenadas.4. Estudio del signo de la función.5. Cálculo de las asíntotas y de la forma en la que la función se acerca a ella.6. Estudio de la monotonía (crecimiento y decrecimiento).7. Cálculo de los puntos críticos (máximos y mínimos relativos).8. Estudio de la curvatura (concavidad y convexidad) y cálculo de los puntos de inflexión.

Los 5 primeros pasos se efectúan directamente en la función; 6º y 7º de la derivada primera; 8º de la derivadasegunda (también en el 7º podemos necesitar esta derivada). Terminamos con la representación gráfica de la función.

Lógicamente, las informaciones obtenidas en los distintos pasos deben ser coherentes unas con otras y nocontradecirse. Si ocurre esto último, hay que pensar que nos hemos confundido en algún punto y repetiremos loscálculos hasta que desaparezcan las incongruencias. Recordemos cómo se calculan estos pasos.

1. Dominio de la función.

Los casos en los que el dominio es distinto a � son los siguientes:

2. Simetría y periodicidad.f es par si f (–x) = f (x) ⇒ es simétrica respecto al eje OY.

f es impar si f (–x) =– f (x) ⇒ es simétrica respecto al origen decoordenadas.

La función par coincide al doblarla respecto al eje OY. La imparcoincide si trazamos rectas que pasen por el origen de coordenadas,o bien, doblando primero por el eje OY y después por el OX. Si nose verifica ninguna de las igualdades anteriores, la función no essimétrica.

Función

Cálculo del dominio

f x NUM xDEN x

( ) ( )( )

= DEN X Dom f R x R DEN x( ) { / ( )= ⇒ = − ∈ =0 0 }}.

( ) ( ) ( )f x RADICANDO x RAD x= ≥ 0⇒⇒ = ∈ ≥=

Dom f x R RAD xf x ARGUMENTO x

{ / ( ) }.( ) log ( )

0 ARG X Dom f x R ARG x( ) { / ( ) }.> ⇒ = ∈ >0 0


9UNIDAD

235

Una función es periódica cuando f (x + T) = f (x), siendo T el período. Lasfunciones trigonométricas son las funciones periódicas más habituales, y seránaquellas para las que estudiaremos este punto. De Primero de Bachilleratoconocemos sus propiedades, que usaremos cuando sea necesario. Se puedenconstruir otras funciones periódicas, como Mantisa (x) = x – Ent (x) (gráfica de laizquierda), definida como, siendo Ent (x) la parte entera del número.

Si la función es periódica, sólo hay que estudiar su comportamiento en un período, pues luego no hay más querepetirla indefinidamente.

3. Puntos de corte de la función con los ejes de coordenadas.

Para averiguar las coordenadas de los puntos de corte de la función con el eje OX hay que igualar la funcióna cero. Escribimos abreviadamente: f ∩OX 3 f (x ) = 0. Tendremos tantos puntos de corte como solucionestenga la ecuación f (x ) = 0.

Para hallar el punto de corte de la función con el eje OY hay que sustituir en la función la x por 0 (cero). Escribimosabreviadamente f ∩OY 3 x = 0 3 (0, f (0 ) ) . Tendremos uno o ningún punto de corte, dependiendo de laexistencia de f (0) . Si al resolver la ecuación f (x ) = 0 apareciera la solución x = 0, el punto de corte con el ejeOY es el origen de coordenadas (0,0).

4. Signo de la función.

Para estudiarlo hay que resolver la inecuación f(x)s 0. Para hacerlo usaremos distintas estrategias dependiendodel tipo de función, aunque las dos fundamentales son las siguientes:

I. Si la función es polinómica, se resuelve la ecuación f (x ) = 0, descomponiéndose la recta real en intervalosdados por las soluciones de dicha ecuación.

II. Si la función es un cociente de polinomios, se igualan numerador y denominador a cero por separado

y se descompone la recta real en intervalos dados por las soluciones de ambas ecuaciones.

Los demás puntos (asíntotas, monotonía, puntos críticos, curvatura y puntos de inflexión) ya han sido tratadosen la lección anterior y en la presente, por lo que no repetiremos lo ya dicho.

Para la representación se suele proceder de la forma siguiente:

1. Marcamos los puntos de corte y los críticos. En estos últimos hacemos un arco: < para un máximo y =para un mínimo.

2. Representamos las asíntotas y el comportamiento de la función en sus proximidades.

3. Unimos los puntos y las líneas ya representadas.

Habitualmente las representaciones no suelen hacerse estrictamente a escala, ya que lo que interesa es destacarlas propiedades más relevantes de la función, que pueden ser desvirtuadas por dicha escala.

NUM XDEN X

( )( )

==

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

00

236


9UNIDAD

16. Estudia y representa la función y = x 3 -- 4x 2 + 4x .Solución: 1) Dominio: como es un polinomio, Dom y = ℜ.

2) Simetría:

3) Puntos de corte con los ejes:

4) Signo: y = x (x -- 2)2. Como x = 2 es solución doble, no influye en el signo, puesto que el factor está elevadoal cuadrado, siendo siempre positivo (salvo en x = 2 que sería cero). Hay que descomponer la recta real en dos trozos.

5) Asíntotas. AV: no tiene asíntotas verticales por ser una función polinómica.

Al ser una función polinómica de grado superior al primero, no tiene asíntotas de ningún tipo. Los límites en el infinito permiten averiguar hacia dónde va la función.

6) Monotonía:

7) Puntos Críticos: máximo en el punto y un mínimo en (2,0).

8) Curvatura: .

Te recordamos que todas las ordenadas de los puntos se calculan en la función, no en sus derivadas.

y x y x x'' '' . ,= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ⎛⎝⎜

⎞6 8 0 6 8 0 43

43

1627

Punto de inflexión ⎠⎠⎟

23

3227

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y x x y x x x x' ' , .= − + ⇒ = ⇒ − + = ⇒ = =3 8 4 0 3 8 4 0 23

22 2

AH : lím límcuando

cuandox xx x x x

xx→±∞ →±∞

− +( ) ≈ =−∞ → −∞∞ →∞

3 2 34 4,

,⎧⎧⎨⎩

⇒

= − +→±∞

No tiene asíntota horizontal.

A Ob : límm x x xx

3 24 4xx

xx

xx x

≈ = = ∞⇒→±∞ →±∞lím lím No tiene asíntota oblicua.

32

f OX y x x x x x x x x doble∩ ⇒ = ⇒ − + = ⇒ − +( ) = ⇒ = = ( )⇒ ( )0 4 4 0 4 4 0 0 2 0 0 2 03 2 2 , , ; ,(( )→ ⇒ (f OY∩ 0,

y x x x x x x xy x

y x( )

( )( )

− = −( ) − −( ) + −( ) = − − −≠≠ −⎧⎨⎩

⇒3 2 3 24 4 4 4 No es siimétrica.

E j e m p l oE j e m p l o

(−∞, 0) (0,∞)− {2}sgn y -- +

(−∞, 2/3) (2/3, 2) (2,∞)sgn y í + -- +

y C v D b C v

(−∞, 4/3) (4/3, ∞)

sgn y íí -- +y ∩ #

237

17. Estudia y representa la función Solución: 1) Dominio: como es un polinomio, Dom y = ℜ.

2) Simetría:


Aunque usemos la Regla de Ruffini para resolver la ecuación y = 0, no obtenemos los puntos de corte. Sólopuede hacerse con métodos numéricos superiores al nivel de este curso. Debemos esperar y esbozar la gráficade la función con el resto de los datos.

4) Signo: no puede estudiarse.5) Asíntotas: No tiene asíntotas de ningún tipo por ser un polinomio y la función se aproxima a∞ cuando x tiende a

±∞, pues

6) Monotonía:

7)

8)

A la vista de la gráfica, observamos que la función corta al eje OX, en un punto del intervalo (2,x2). Como f (4)= – 1_3 < 0 yf (5)= 45__

4 > 0, sabemos, por el teorema de Bolzano, que el otro punto de corte está en el intervalo (4,5).El valor absoluto puede producir modificaciones insospechadas en las funciones. Si

queremos representar , bastará con reflejar la parte negativa y

hacerla positiva. Esto es así porque tomamos el valor absoluto al valor de la función,como un todo. Sin embargo, la cosa cambia si sólo tomamos el valor absoluto de unaparte de la función.

y x x x= − − +4 3

2

12 65

Curvatura :

Puntos de in

y x x y x x x x'' '' , .= − − ⇒ = ⇒ − − = ⇒ = − =2 22 0 2 0 1 2

fflexión : −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 174

2 53

, ; , .

Puntos críticos : mínimos en y y máxi x y x x y x1 1 2 2, ,( )( ) ( )( ) mmo en (0, 5), con y x y x1 23 61 1 997( ) ≅ ( ) ≅ −, ; , .

y x x x y x x x

x x

' '

, ;

= − − ⇒ = ⇒ − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ⇒

= = − ≅ −

3 2 2

1

3 22 0

3 22 0

0 3 1054

1 81; xx23 105

43 31= + ≅ , .

lím lím .x x

x x x x→±∞ →±∞

− − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ = ∞

4 32

4

12 65

12

f OX y No se pueden hallarf OY y∩∩

⇒ = ⇒⇒ = ⇒ ( )

⎧⎨⎪

⎩⎪

00 5 0 5( ) ,

.

y x x x x x x xy x

y x( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

− = − − − − − + = + − +≠≠ −⎧⎨⎩

⇒4 3

24 3

2

12 65

12 65 NNo es simétrica.

y x x x= − − +4 3

2

12 65.

(−∞, x1) (x1, 0) (0, x2) (x2,∞)sgn y í -- + -- +

y Db Cv Db Cv

(−∞, − 1) (−1, 2) (2,∞)sgn y íí + -- +

y # ∩ #

238


9UNIDAD

Estudia y representa la función

Hay que

yxx

Solución

=−+

72

.

:

ddescomponer la función para estudiarla mejor: y

xx=

− −− +

72

,,

,

si x

xx

si x

DEN Dom y

<

−+

≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

≠ ⇒ =

0

72

0

0

.

Dominio : .

1)

2)

�

Simetría : es par, simétricay xxx

xx

y x−( ) = − −− +

=−+

= ( )⇒72

72

respecto al eje OY.

Puntos de corte con los ejes : 3)f ∩OOX y NUM x

f OY y

⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ ( ) −( )⇒ ( ) = − ⇒ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨

0 0 7 7 0 7 0

0 72

0 72

, , ,

,∩⎪⎪

⎩⎪

= ⇒ = ±>

⎧⎨⎩

⇒

.

Signo :

Asíntotas :

4)

5)

NUM xDEN

0 70

AV : No tiene; AH : No tlímxx

límxx

yx x H→±∞ →±∞

−+

≈ = ⇒ =72

1 1. iiene AOb por tener horizontal.

sgn sgny yxxH−( ) = −+

−72

1⎛⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

−+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ < → ±∞⇒ <sgn ,9

20

xx y yHcuando .

Monoton6) íía : Es continua en , pues , � lim limx x

y y y→ →− +

= = ( ) = −0 0

0 72

ppero derivable en : � -

' ;

{ }

0

0 92

942

0

yx

x

−

=

( ) = −− +( )

= − yyx

y yx

si x

x

' ' ',

0 92

94

0

92

0

2

0

2+

=

( ) =+( )

= ⇒ /∃ ( ) =

−− +( )

< ⇒

. Tenemos :yy

xsi x y

'

, '

<

+( )> ⇒ >

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒ −

0

92

0 02

y es decreciente de ∞∞( ) ∞( ), ,0 0 y creciente de . No tiene puntos críticos7) ,, porque .

Curvatura :

y

yx

x

x

'

'',

≠

=

−− +( )

<

−+

018

20

182

3

8)si

(( )>

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒ <3 0

0,

''si x

y en todo . No tiene puntos de in� fflexión, pues .

Observa la gran diferencia con la fu

y '' ≠ 0

nnción

, representada a la derecha.y xx

= −+

72

18.

( −∞, −7) (−7, 7) (7,∞)sgn y + – +

239

Estudia y representa la función .

Sep

yx x

xSolución

=− +

−

2 5 45

:

aaramos la función si

siy

x xx

x

x xx

x=

+ +− −

<

− +−

≥

⎧

⎨⎪⎪

2

2

5 45

0

5 45

0

,

,⎩⎩⎪⎪

= ⇒ = ⇒ = ± ⇒

para estudiarla mejor.

Dominio: 1) DEN x x0 5 5 DDom y

y xx x

xx x

x

= −

−( ) = −( ) − − +− −

=− +

� {±5}.

Simetría: 2) 2 25 4

55 4−−

⇒5

par, simétrica respecto a OY.

Puntos de corte con3) los ejes: f OX y

x x x xx

∩ ⇒ = ⇒+ + = ⇒ = − = − ⇒ −( ) −( )−

05 4 0 4 1 4 0 1 05

2

2

, , , ,xx x x

f OY y

+ = ⇒ = = ⇒ ( ) ( )⎧⎨⎪

⎩⎪

⇒ = − ⇒ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨4 0 1 4 1 0 4 0

0 45

0 45

, , , ,

( ) ,∩

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

= ⇒ = − −= ⇒ = ±

⎧⎨⎩

Signo:

Asín

4)

5)

NUM xDEN x

0 4 1 1 40 5

, , ,

ttotas: AV: x

x xx

x xx

x

= − ⇒

+ +− −

= = ∞

+ +−

→− +

→−

−

+

5

5 45

40

5 45

2

5

2

lím

límxx

x

x xx

xx

x−= = −∞

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

= ⇒

− +−

== = −∞

−

→ −

→

−

+54

0

5

5 45

405

2

5

; lím

lím22

2

5 45

40

5 45

− +−

= = ∞

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− +−

≈

+

→±∞

xx

x xxx x

AH: lím lím→→±∞ →±∞

= = ∞⇒xx

xx

2

lím no tiene AH.

AOb: Hay que separar los límites en y en .

−∞ ∞

= + +− −

≈→−∞

m x xx xx

lím lí2

25 4

5mm lím lím

x x x

xx

n x xx

xx→−∞ →−∞ →−∞−

= − = + +− −

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − −

=2

2

2

1 5 45

45

; 00 . Así cuando .

Se acerca del modo sigu

y x xOb = − → −∞

iiente: cuando .

sgn sgny yx

y y xOb Ob−( ) =− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟> ⇒ > → −∞4

50

; m x xx x

xx

n x xxx x x

= + +−

≈ = = − +−→∞ →∞ →∞

lím lím lím2

2

2

2

25 45

1 5 455

45

0−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

= ⇒ = →∞→∞

xx

y x xx Oblím cuando . Se acerca

ddel modo siguiente: cuasgn sgny yx

y yOb Ob−( ) =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟> ⇒ >4

50 nndo .

Monotonía: la función es continua en , p

x

x

→∞

=6) 0 eero no es derivable.

y x xx

x

' 0 10 215

212

2

0

−

=

( ) = − + +− −( )

= −225

0 10 215

2125

02

2

02

;

y x xx

y

y

xx

' ' .

'

−

=

( ) = − +−( )

= ⇒ /∃ ( )

=

− ++ +− −( )

< ⇒= ⇒ = − −> − −{ }

⎧⎨⎩

− +

10 215

00 7 30 5

10

2

2

xx

xNUM xDEN en

x x

,,

si �

2215

00 3 70 52x

xNUM xDEN en−( )

< ⇒= ⇒ => −{ }

⎧⎨⎩

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ ,

,.

si �

19.

(−∞,−5) (−5,−4) (−4,−1) (−1,1) (1,4) (4,5) (5,∞)

sgn y++= + +

− = − −−= + +

− = − −−= + +

− = − ++= +

(--∞,--7) (--7,--3)--{ 5 } (--7,3)--{ 0 } (3,7)-- { 5 } (7,∞)sgn y í -- + + -- +

y Db Cv Cv Db Cv

240


9UNIDAD

7) Puntos críticos: máximos en y ; mínimos −( ) ( )3 1 3 1, , een y .

Curvatura:

−( ) ( )

=− −( )

> ⇒

7 9 7 98

503

, ,

'',

8) yx

si xNUM >>

= ⇒ = − ( )⎧⎨⎩

−( )< ⇒

>= ⇒ =

00 5

85

000 53

DEN x raíz triple

xsi x

NUMDEN x ra, ííz triple( )⎧⎨⎩

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

No tiene puntos de inflexión. Su reprresentación está abajo. A su lado, y para que sirva de commparación está

representada .y x xx

= − +−

2 5 45

20. Estudia y representa la función

Solución:

5) Asíntotas: AA VV:

AH:

6) Monotonía: f x xx

NUM xDEN en

'( ) = −

−( )= ⇒ => − ±{ }

⎧⎨⎪

⎩⎪36

9

0 00 32 2 �

lím lím cuandox x H H

xx

xx

y f yx

x→±∞ →±∞

+−

≈ = ⇒ = − =−

> → ±∞2

2

2

2 299

1 1 189

0; .. No tiene AOb por tener AH.

x

xxxx

x

x

= −

+−

= = ∞

+−

= = −∞

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

→− +

→− −

−

+

3

99

180

99

180

3

2

2

3

2

2

lím

lím;; x

xxxx

x

x

=

+−

= = −∞

+−

= = ∞

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

→ −

→ +

−

+

3

99

90

99

90

3

2

2

3

2

2

lím

lím

f x xx

( ) .= +−

2

299

1)

2)

Dominio :

Simetría :

DEN x Dom f

f xx

= ⇒ = ± ⇒ = − −{ }

− =−

0 3 3 3� , .

( ) (( ) +

−( ) −= +

−= ⇒

2

2

2

2

99

99x

xx

f x( ) es par, simétrica respecto al eje .

Puntos de corte con los ejes :

OY

f OX f x x3)

∩ ⇒ = ⇒ + ≠( ) 0 92 000 1 0 1

0

⇒⇒ = − ⇒ −( )

⎧⎨⎪

⎩⎪>

No corta al eje OXf OY f

NUMDE

∩ ( ) ,

4) Signo : NN x= ⇒ = ±

⎧⎨⎩ 0 3

(−∞, −3) (− 3, 3) (3,∞)sgn f + -- +

(−∞, 0)-{-3} (0, ∞)-{3}sgn f í + --

f Cv Db

(−∞, −5) (−5, 5)−{ 5 } (5,∞)sgn y íí + -- +

y # ∩ #

241

7) Puntos críticos: máximo en (0, -- 1).

8) Curvatura:


Solución:

6) Monotonía:

7) Puntos críticos: mínimo en

8) Curvatura:

Puntos de inflexión: − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟27 3

120 0 27 3

12, ; ( , ); , ..

yx x

xNUM xDEN

'' , ,=−( )+( )

= ⇒ = −>

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 27

90 27 0 270

2

2 3

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 16

3 16

, , . y máximo en

y x

x

NUM xDEN

' = −

+( )= ⇒ = ±>

⎧⎨⎩

99

0 30

2

2 2

5) Asíntotas : No tiene AV; lím lím límx x x

xx

xx→±∞ →±∞ ←±∞+

≈ =2 291xx

y

y y xx

x y yx y

H

HH

= ⇒ =

− =+

< → −∞⇒ <> →∞⇒

0 0

9002

;

,,

cuandocuando >>

⎧⎨⎩ yH

. No tiene AOb por tener AH.

1)

2)

Dominio :

Simetría :

DEN Dom y

y x xx

xx

> ⇒ =

− = −−( ) +

= −

0

92 2

�.

( )++

= − ⇒9

y x( ) impar, simétrica respecto del origen de coordenaadas.

. 3) Puntos de corte con los ejes : f OX y x∩ ⇒ = ⇒ = ⇒ ( )0 0 0 0,

44) Signo : NUM xDEN

= ⇒ =>

⎧⎨⎩

0 00

f x x

x

NUMDEN x

''( ) = +

−( )>= ⇒ = ±

⎧⎨⎩

108 3249

00 3

2

2 3 (triple)

No tiene puntos de inflexión.

y xx

=+2 9

.

(−∞, − 3) (−3, 3) (3,∞)sgn f íí + -- +

f # ∩ #

(−∞, 0) (0, ∞)sgn y -- +

(−∞, −3) (−3, 3) (3,∞)sgn y í -- + --

y Db Cv Db

(−∞, −FG2G7 ) (−FG2G7 , 0) (0,FG2G7 ) (FG2G7 ,∞)sgn y íí -- + -- +

y ∩ # ∩ #

242


9UNIDAD


Solución:

1) Dominio: Dom y = ℝ.

2) Simetría: es par, simétrica respecto del eje OY.

3) Puntos de corte:

4) Signo: la función es siempre positiva.

5) Asíntotas: no tiene AV; AH: en toda la recta real.

No tiene A Ob por tener horizontal.

6) Monotonía:

7) Puntos críticos: máximo en ( 0,1).

8) Curvatura:

Puntos de inflexión:

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−22

22

1 22

112, , , .e

e e y

y e x y xx'' ''= −( )⇒ = ⇒ = ± = ±−2 2 1 0 12

22

2 2

y xe y xx' '= − ⇒ = ⇒ =−2 0 02

lím e líme

y y y yx

x

x x H H→±∞

−

→±∞= = ⇒ = > >

2

2

1 0 0 0 e pues

f OX y e No corta al eje OXf OY y e

x∩∩

⇒ = ⇒ > ⇒⇒ = = ⇒ ( )

⎧⎨⎪

⎩⎪

−0 00 1 0 1

2

0( ) ,

y x e e y xx x( ) ( )− = = = ⇒− −( ) −2 2

y e x= − 2.

(−∞, 0) ( 0, ∞)sgn y í + --

y Cv Db

−∞ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟, 2

2−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

22

22

, 22

, ∞⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

sgn y íí + -- +y # ∩ #

243

Estudia y representa la función .

D

y xx

Solución

=+

ln

:

2

2 1

1) oominio: {0}.

Simetría:

ARGUMENTO Dom y

y xx

> ⇒ = −

− =−

0 �

2) ( ) ln (( )−( ) +

=+

= ⇒2

22

21 1xx

xy x OYln ( ) par, simétrica respecto de .


f OX y xx

∩ ⇒ = ⇒+

= ⇒ =01

1 02

2 11 0⇒ la función no corta a , y como no existe ( ), tampocOX y oo corta a .

Signo: la función es siempre negativa,

OY

4) ppues al ser con lo que .

A

x x xx

xx

2 22

2

2

211

11

0< + ⇒+

<+

<ln

5) ssíntotas:

AV: lim ; AH: limx xx

xxx x

=+

= −∞→ →±∞

010

2

2

2

2, ln++

≈ = = ⇒ =→±∞1

1 0 02

2lim . La función se acerca a la

x Hxx

yln ln

asíntota por debajo, pues . No tiene AOb.ln xx

2

2 10

+<

6)

7)

Monotonía:

No tiene pu

yx x

NUMDEN x

' =+( )

>= ⇒ =

⎧⎨⎩

21

00 02

nntos críticos, pues .

Curvatura:

y

yx

x

'

''

≠

=− +( )

+

02 3 12

38)

xxy

( )< ⇒2 0 es y no tiene puntos de inflexión.

Estudia y r

∩

eepresenta la función .

Dominio:

f x xx

SoluciónR

( ) = −2 1

:

1) AAD x

DEN O xDom f

≥ ⇒ ∈ −∞ −( ] ∞[ )= ⇒ =

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ = −∞ −( ] ∞[ )0 1 1

01 1

, ,, ,

∪∪ .

2) Simetría: impar, simétricaf xx

xx

xf x−( ) =

−( ) −−

= − − = − ( )⇒2 21 1 respecto al origen de coordenadas.

Puntos de corte: 3) ; no corta a .

Signo:

f OX f x x OY∩ ⇒ ( ) = ⇒ = ± ⇒ −( ) ( )0 1 1 0 1 0, , ,

4) .

Asíntotas: no t

NUM enDEN x

> −∞ −( ) ∞( )= ⇒ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

0 1 10 0

, ,∪

5) iiene AV ; AH: lim limlim

0 1 12

∉( ) − ≈ ⇒= − ⇒

→±∞ →±∞

→−∞Dom f x

xxx

xx

y

x x

x HH

x H

x

xx

y x

= − → −∞

= ⇒ = →∞

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ →∞

1

1 1

cuando

lim cuando.

23.

24.

(−∞, 0) ( 0, ∞)sgn y í -- +

y Db Cv

(−∞, −1) (1, ∞)sgn f -- +

244


9UNIDAD

No tiene AOb. Hay que separar en y en para ver cómo s−∞ ∞ ee acerca a la asíntota horizontal:

lim

x H

xx

y→−∞

= − ⇒ = −1 11

1 1

cuando x

xx

y cuando xf y

x H

H

→−∞

= ⇒ = →∞

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

>

→∞lim

luego cuanddo e cuando .

Monotonía:

x f y x

f xx x

f

H→−∞ < →∞

( ) =−

⇒6) ' 112 2

'' , ,> ⇒ −∞ −( ) ∞( )0 1 1f es creciente en .

No tiene puntos

∪

7) ccríticos.

Curvatura: 8) f x x

x x

NUM x'' ( ) = −

−( )= ⇒ = ±3 2

1

02

3 23

2

223

1 1

0 1 0 1

∉ −∞ −( ) ∞( )= ⇒ = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

, ,

, ,

∪

DEN x.

No tiene puntos de innflexión.

Estudia y representa la función .f x senxx

( ) =−2 cos

SSoluciónDom f x x

:cos1) = − >�, pues para todo valor de .2 0

22) Simetría: parf xsen x

xsenx

xf x( ) = −( )

− −( )=

−= ( )⇒

2 2cos cos,, simétrica respecto de .

Periodicidad:

OY

f xsen

+( ) =2πxx

xsenx

xf x T

+( )− +( )

=−

= ( )⇒22 2 2

ππcos cos

periódica, de período == 2π .

Estudiamos la periodicidad por ser una función ttrigonométrica. El período, si hay varias funciones trigonnométricas involucradas y la función total es periódiica, coincidirá con el mayor de los períodos de las funcioones que aparecen. Como su período es 2 , reduciremπ oos el estudio al intervalo .

Puntos de corte co0 2, π[ ]

3) nn los ejes: f OX f x senx x∩ ⇒ ( ) = ⇒ = ⇒ = ⇒ ( ) ( )0 0 0 2 0 0 0 2, , , , , ,π π π ππ

π π

, ,, , .

0 0 00 0 20

( )⇒ ⇒ ( )= ⇒ =>

⎧⎨⎩

f OyNUM xDEN

∩

4)

5)

Signo: .

NNo tiene asíntotas de ningún tipo, pues ni su denominador se anula, ni se pueden calcular lim .

Monotoní

xf x

→±∞( )

6) aa: f x xx

NUM x arc

DEN' cos

coscos ,( ) = −

−( )=

= ⇒ = =

>

⎧⎨⎪2 1

20 1

2 353

02

π π

⎩⎩⎪

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

.

Puntos críticos: máximo en 7) π π π3 3 3

,f ,, , ,33

53

53

53

33

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠, mínimo en π π πf ⎟⎟⎟

( ) = −

.

Curvatura y puntos de inflexión: 8) f xsenx

''cos2 xx

xNUM xDEN

+( )−( )

== ⇒ =>

⎧⎨⎩

12

0 0 203cos

, ,π π.

Puntos de infllexión .0 0 0 2 0, , , , ,( ) ( ) ( )π π

25.

(0, π) (0, 2π)sgn f (x) + --

(−∞, −1) (1, ∞)sgn f '' -- +

f ⋂ ⋃

1=Hy

1−=Hy

1

1−

(0,π/3) (π/3,5π/3) (π ,2π)sgn f í(x) + – +

f Cv Db Cv

(0, π) (π, 2π)sgn f íí (x) -- +

f ⋂ ⋃

245

Estudia y representa .

Dominio:

f x tgxx

Solución

( ) = +1cos

:

1) escribiendo en función del y tenemos: tgx senx x f xcos ( ) == +

= ⇒ = ⇒ = ±+( )

∈ ⇒

senx xx

DEN x xn

n f

coscos

cos ,

2

20 02 1

2

.

Dom π

� == − ± +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−( ) = −( )+ −( )

� 2 12

n

f xsen x x

π .

Simetría: 2)cos

cos22 2−( )= − + ≠ ( )

≠ − ( )⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

xsenx x

xf x

f xcos

cosno es simétrica.

Periodicidad: f xsen x x

xse+( ) = +( )+ +( )

+( )=2

2 222π

π ππ

coscos

nnx xx

f x T+ = ( )⇒ =coscos2 2es periódica de período .

Si

π

hhubiéramos dejado la tangente, de período , hubiera dadoπ igual, porque el período del coseno es mayor que ;

π por lo que 2 es el período común. Por esta razón restrπ iingiremos el estudio a un período y no a toda la recta reaal.

Como las asíntotas verticales son múltiplos imparres de , tomaremos el intervalo , de anchurπ π π2 2

52

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

aa 2 , y que

nos permitirá tener entero el patrón a r

π

eepetir, ya que en el intervalo sólo entran dos asín0 2, π[ ] ttotas verticales.

Puntos de corte con los ejes: 3) f OX∩ ⇒⇒ ( ) = ⇒ = − ⇒ = ⇒ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

f x x senx x0 34

54

34

0 54

0cos , , , ,π π π π .

. Como y , usamos ef OY f T∩ ⇒ ( ) = ⇒ ( ) ∉⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=0 1 0 1 02

52

2, ,π ππ ll punto .

Signo:

2 0

0 34

54

0

π

π π

,

,

( )

= ⇒ =

>

⎧⎨⎪

⎩⎪4)

5)

NUM x

DEN Asíntotas:

AV: lim ; x f x xx

= ⇒ ( ) = = ∞ =→⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

π ππ2

10

3

222

10

52

103

252

⇒ ( ) = − = −∞ = ⇒ ( ) = = ∞→

+→⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−lim ; lim .

x x

f x x f xπ π

π

Al no poderse calcular los límites en no tiene ni a±∞ ssíntotas horizontales ni oblicuas.

Monotonía: 6) f x' ( ) = 11 0 1

02

32

2

3+ + ⇒

> − ≤

= ⇒ =sen x senx x

x

NUM pues senx x

DEN xcos

cos

, cos

,π π⎧⎧⎨⎪

⎩⎪

( )

.

No tiene puntos críticos. es impract

7)8) f x'' iicable. Por lo tanto, usaremos los datos conocidos para essbozar la función.

26.

(π/2,3π/4) (3π/4,5π/4) (5π/4,5π/2)sgn f + – +

(π/2,3π/2) (3π/2,5π/2)sgn f í(x) – +

f Db Cv

246


9UNIDAD

A veces no se puede seguir estrictamente el proceso y hay qque echar mano de nuestros conocimientos.

Aunque somos consscientes de su dificultad, para profundizar en tus conocimmientos te proponemos estudiar y

representar sf xsenx

x( ) = , ii

si.

Dominio: , pero

x

xSolución

DEN x f

≠

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

= ⇒ =

0

1 0

0 0

,:

1) 00 00

10

( ) = ( ) = = ⇒ =→

ind x Dom f

f

L Hôpital

x

`coslim .

Simetría:

�

2) −−( ) = −( )−

= = ( )⇒xsen x

xsenx

xf x OYpar, simétrica respecto de .

No es periódica: f xsen x

xsenx

xf x+( ) = +( )

+=

+≠ ( )2

22 2

ππ

π π..

Puntos de corte con los ejes: 3)

f OX senx x k∩ ⇒ = ⇒ = ±0 π ,, ,, ,

.

Signo: sólo c

k N kf OY f

∈ ⇒ ±( )⇒ ( )( ) = ( )

π 00 0 0 1∩

4) oonsideramos la semirrecta , ya que es par.

+� = ∞( )0,NUUM x k k NDEN

= ⇒ = ∈>

⎧⎨⎩

00

π , . Vemos que el signo va alternándose:: en es positiva, negativa en ,

otra vez p

0 2, ,π π π( ) ( )oositiva en y así sucesivamente.

No tiene AV, p2 3π π,( )

5) eero sí AH:

lim lim− ≤ ≤ ⇒ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟≤ ⎛

→∞ →∞

1 1 1x

senxx x x

senxxx x ⎝⎝⎜

⎞⎠⎟≤ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⇒ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= ⇒ =

→∞ →∞lim lim . No sabemos

x x Hxsenx

xy1 0 0 cómo se acerca

a ella porque va alternando su signoo.

Monotonía: =6) f x x x senxx

NUM x tgxDEN en R' cos( ) − ⇒

= ⇒ => −2

00 0{{ }

⎧⎨⎩

. La ecuación = sólo se puede resolver numéricamx tgx eente.

Una solución es = ; aquí no sirve pues x f0 0' ( ) = 000

000 3 0

ind senxx

indL Hôpital

x

L Hôpital

x( ) = − = ( ) = −

→ →

´ ´ colim lim ss 'xx

f3

02 = −∞⇒ /∃ ( ). De acuerdo con el teorema de Rolle,, como , hay - puntos dentro de lf f f n ci0 2 0 1( ) = ( ) = ( ) = =π π … oos intervalos en los cuales . 0 2 0, , , , 'π π π( ) ( ) ( ) =… f ci DDebido a la alternancia del signo, los máximos aparecen cuuando es positiva y los mínimos cuando es negat

ff iiva. proporciona otra ecuación trascendente que nof x'' ( ) podemos resolver. Sin

embargo, gracias a la anteriorr discusión con el teorema de Rolle, conocemos la forma dee la función. Otro dato impor-

tante es darse cuenta dde que la amplitud va disminuyendo rápidamente: f π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟== ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=2 5

22

592

29π

ππ

ππ

, ,f f …

La representaciónn es:

27.

247

Estudia y representa las funciones: ; a) b)y x x= −3 3 .

Estudia y representa las funciones:

y xx

y

=−

=

2

2 4

11

a)++

=−( )

xy

xx2

2

3

8 1; .

Estudia y representa las funcione

b)

ss: ; .

Representa las funcion

a) b)y x x y xx

= − =−

2 4 242

ees: ; .

Estudia y representa

a) b)y xx

yx

x=

−=

−

3

2

3

21 1

las funciones: ; .

E

a) b)y x x f xx x

x= − =

−( ) −( )4 22

2 3( )

sstudia y representa las funciones: ; a) b)yex=

+1

1ff x e x

f x

x( ) = −

( ) =

.

Estudia y representa las funciones: a) ee x y senx xx− +( ) = +2 1 ; .

Para profundizar en tus con

b) cos

oocimientos estudia y representa las funciones: a) f x( ) == ( ) = −cos lnxx

g x x; .b) 2 1

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.


248


9UNIDAD

Desarrollo en serie de Taylor

Puede que alguna vez te hayas preguntado cómo podemos calcular e 2,5, sen22º o √ 7__

. Parece que todo consiste enapretar teclas en la calculadora. ¿Cómo lo hace la calculadora? Halla sumas con sus circuitos integrados. Vamos adesentrañar alguna de estas sumas.

El desarrollo en serie de Taylor consiste en un polinomio tal que el valor de la función y del polinomio en el puntoen el que desarrollamos coinciden; también la derivada primera de la función y la del polinomio; las derivadas segundasde ambos, las terceras y así sucesivamente:

Por supuesto, f ha de ser continua y derivable tantas veces como sea necesario.

Como es la expresión general de un polinomio

de grado n en un punto x = a, tendremos que:

Podremos escribir entonces que:

El símbolo Σ (sumatorio)es el característico de las series, que no son más que sumas de sucesiones.

Ésta es la expresión para un polinomio de grado n, pero se generaliza sin problemas para los polinomios infinitos.Cuando a = 0 la fórmula se simplifica y queda:

Por lo tanto, hallar el polinomio de Taylor consiste en calcular las derivadas de la función y evaluarlas.

f x f f xf

xf

xf

nx

fnn( ) = ( ) + ( ) ⋅ +

( )⋅ +

( )⋅ + +

( )⋅ =0 0

02

03

02 3''' '''

! !

( (

…ii

i

i

n

ix

00

( )⋅

=∑ !

.

f x f a f a x af a

x af a

nx a

fnn( ) = ( ) + ( ) ⋅ −( ) + ( )

⋅ −( ) + +( )

⋅ −( ) ='''

! !

( (

22 …

iii

i

n ai

x a( )⋅ −( )

=∑ !

.0

p a a f a p a a a x a na x a p a a a fnn( ) = = ( ) ( ) = + −( ) + + −( ) ⇒ ( ) = ⇒ =−

0 1 21

1 12; ' '… '' ;

'' ''( )

a

p x a a x a n n a x a p a ann

( )

( ) = + ⋅ −( ) + + ⋅ −( ) −( ) ⇒ =−2 2 3 1 22 32

2… ⇒⇒ =( )

( ) = ⋅ + + −( ) ⋅ −( ) −( ) ⇒−

af a

p x a n n n a x a p ann

2

33

2

3 1 2

'';

''' ! · '''… (( ) = ⋅ ⇒ =( )

( ) = ⋅ ⇒ ( ) = ⋅ ⇒ =

333 3!

'''!

! !( ((

a af a

p x n a p a n a af an

nn

n n

n

... (( )n !

.

p x a a x a a x a a x a a x ann( ) = + −( ) + −( ) + −( ) + + −( )0 1 2

23

3 …

p a f a p a f a p a f a p a f a p an( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ); ' ' ; '' '' ; ''' ''' (… == ( )f an( .

Para saber más...

Calcula el polinomio de Taylor de grado cuatro en parax = 0 las funciones: ; ; a) b) c)f x e g x x yx( ) = ( ) = +( ) =ln 1 coss

:x

Solucióne ex x

.

Como al derivar siempre se obtiene a) ,, por lo que

f f f e

a a a

0 0 0 1

1 12

0

0 1 2

( ) = ( ) = ( ) = = =

= = =

' ''

; ;

…

aa a e x x x x

a g a f

x3 4

0 1

13

14

12 3 4

0 1 0

= = ⇒ ≅ + + + +

= ( ) = = =

!;

! ! !

ln ; '

.

b) 00 11

1 0 11

1 12

0

02

0

2( ) =+

= ( ) = −+( )

= − ⇒ = −

( ) =

= =x

fx

a

f

x x

; ''

'''

;

221

2 23

13

0 31

3 343

0

3 4

0

4+( )

= ⇒ = = ( ) = −+( )

= − ⇒ = − = −= =

xa f

xa

x

IV

x!

; ! ! !!

114

12 3 4

0 0 1 0

2 3 4

0 1

⇒

⇒ +( ) ≅ − + −

= ( ) = = = (

n .

cos ; '

x x x x x

a y a fc) )) = − = ( ) = − = − ⇒ = −

( ) =

= =senx f x a

f senx

x x0 0 20 0 1 12

0

; '' cos

'''

;

xxIV

xa f x a x x x= == ⇒ = ( ) = = ⇒ = ⇒ ≅ − +0 3 0 4

2 4

0 0 0 1 14

12 4

; cos!

cos!

.

Calculaa el polinomio de Taylor de grado cuatro en para las x = 0 ffunciones: ; ; .a) b) c)f x x g x senx y x

Solu( ) = + ( ) = = +1 13

cción

a f a fx

fxx

:

; ' ; ''a) 0 10

0 1 1 0 12 1

12

0 1

4 1= ( ) = = = ( ) =

+= ( ) = −

+(= ))= − ⇒ = −

( ) =+( )

= ⇒ = =

=

=

3

0

2

5

0

3

14

18

0 3

8 1

38

38

31

16

x

x

a

fx

a '''!

; ffx

aIV

x

0 15

16 1

1516

1516

45287

0

4( ) = −+( )

= − ⇒ =−

= −

=!

.

Por lo ttanto, .

1 1 12

18

116

5128

0 0 0

2 3 4

0 1

+ ≅ + − + −

= ( ) = = (

x x x x x

a f a fb) ; ' )) = = ( ) = − = ⇒ =

( ) = −= =

=

cos ; '' ;

''' cos

x f senx a

f x

x x

x

0 0 2

0

1 0 0 0

0 == − ⇒ = − ( ) = = ⇒ = ⇒ ≅ −

= (

=1 1

30 0 0

3

0

3 0 4

3

0

a f senx a senx x x

a y

IVx!

;!

.

c) )) = = ( ) =+( )

= ( ) = −+( )

= − ⇒ =

= =

1 0 1

3 1

13

0 29 1

291 23

0

53

0

2; ' ; ''a fx

fx

ax x

−−

( ) =+( )

= ⇒ = ( ) = −=

19

0 1027 1

1027

581

0 8081

83

0

3

;

''' ; fx

a fx

IV

118081

0 1 0113

0

0 1+( )

= − ⇒ = ( ) = = ( ) ==

xa y a f

x

; '

249

28.

29.


El último ejemplo parece desconcertante: los valores no se parecen todo lo que esperamos a lo obtenido con la calculadora.¿Por qué? El desarrollo consta de infinitos términos; al tomar sólo 5 despreciamos términos cuya suma puede ser importante.Este problema es el de convergencia de la serie, esto es, cuantos términos hay que sumar para que el resto (suma de todoslos que despreciamos) sea realmente despreciable frente a los que consideramos.

Otro problema es el del radio de convergencia, pues no todos los valores de x pueden usarse en el desarrollo.Estos dos problemas superan el nivel de este libro.

250


9UNIDAD

=+( )

= ( ) = −+( )

= − ⇒ = − ⇒ + ≅

= =

1

3 1

13

0 29 1

29

10243

123

0

53

0

43

xf

xa x

x x

; '' 113

29

1027

10243

2 3 4

+ − + −x x x x .

Usando los desarrollos obtenidos en los ejemplos anteriores, calcula el valor que se obtieene para .

;

eSolución

e e

, ln ,:

,

2 2

1 1 12

16

124

6524

2 70831= ≅ + + + + = = ; ln ln ,2 1 1 1 12

13

14

712

0 5833

2 1 1 1 12

18

116

512

= +( ) ≅ − + − = =

= + ≅ + − + −88

179128

1 3984= = , .

30.

a) b) c) ; ; f x x g x Shx e e h x Chx e ex x x x

( ) = + ( ) = = − ( ) = = +− −

12

4

22.

Nota: Shx y Chx son el seno y el coseno hiperbólico.

24. Halla, en x = 0, el polinomio de Taylor de grado tres de las siguientes funciones:


R e c u e r d a

� Optimización de funciones

● Optimizar una función consiste en buscar sus extremos relativos.

● El problema habitual es construir la función a optimizar, para lo que no hay regla fija. Conviene efectuar unalectura detallada del problema. Si es de índole geométrica, no viene mal hacer un esbozo gráfico, para identificarlas variables.Pueden servir de guía las siguientes orientaciones: i. se identifica la función que hay que optimizar; ii. se nombran sus variables;iii. se escribe matemáticamente la función;iv. se calculan sus extremos relativos.

● Si la función es positiva y consiste en una raíz cuadrada, podemos usar para los cálculos el cuadrado de lafunción.

● Conviene usar las simetrías que aparezcan en el problema.

251

Simetría( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

−=−

=−

xfxfxfxf Periodicidad

( ) ( )xfTxf =+

f < 0 f > 0

2. Asíntotas verticales1. Asíntotas horizontales

3. As íntotas o blicuas

MonotoníaMínimo relativo ( ) ( ) 00 00 >= x''fyx'f

Máximo relativo ( ) ( ) 00 00 <= x''fyx'f

Curvaturaf es ∪ donde ( ) 0>x''f

f es ∩ donde ( ) 0<x''f

Punto de inflexión ( ) 00 =x''f

( )0

0

=⇒=⇒

xOYfxfOXf

∩∩

fDom

∪

∩

� Estudio y representación de funciones

● Las funciones que tienen asíntotas están muy determinadas por éstas, por lo que casi pueden representarse conlos 5 primeros puntos. Los otros 3 restantes sirven para verificar nuestras suposiciones. Por supuesto, la informaciónobtenida en uno de los pasos anteriores no puede estar en contradicción con otra procedente de otro paso distinto.

� Desarrollo en serie de TaylorSe trata de buscar el polinomio que mejor se aproxima a una función f. Su expresión es:

f x f a f a x af a

x af a

x af( ) = ( ) + ( ) ⋅ −( ) + ( )

⋅ −( ) +( )

⋅ −( ) + +''' '''

!

(

2 32 3 …

nnna

nx a( )

⋅ −( )!

.

unidad 9 derivada (ii) - … · que debemos optimizar, lo que pone a prueba nuestros conocimientos...

Documents