Unidad 8Árboles B

•Bibliografía: “Algoritmos y Estructuras de datos” de Aguilar y Martinez. Unidad 16

•Autor: Ing Rolando Simon Titiosky.

Problemas de los AVL• Como los datos a buscar están en RAM, los

AVL tienen una Eficiencia F(n)= log n.

• Cuando se tienen un conjunto masivo de datos (ej 1millon de Registros de Clientes de un banco), los datos estarán ubicados en Discos.– El Tiempo de Acceso a disco es notablemente

superior que el de RAM.– Es necesario minimizar estos accesos al disco

y maximizar el uso de RAM

Definición de Árbol B

• Solución: Árboles de Búsqueda m–arios.• Pueden tener hasta m subárboles por padre.• Las claves se organizan en AVL• Objetivo: Que la altura del árbol sea lo suficientemente

pequeña, pues el número de iteraciones y acceso a disco dependerá de ello.

• El Árbol B es una solución particular de esta tecnología

6363 7373

2020 3030

2222 2525 292944 1313 1515 1616 3333 3434

4545 6262

4141 4242 4747 5252

3939

Características del Árbol B• No tienen subárboles vacíos • El Árbol siempre está perfectamente equilibrado.• Pagina: nombre de sus nodos. Se los accede en bloque.

– Todas las Paginas están en el mismo nivel• CantidadDeClavesPorPagina=NumeroDeRamas–1• Todas las Paginas internas, menos la raiz, tienen a lo

sumo m ramas (no vacías) y como mínimo m/2 ramas• La Raiz tiene como máximo m claves, y puede tener

ninguna si el árbol esta vacío.

6363 7373

2020 3030

2222 2525 292944 1313 1515 1616 3333 3434

4545 6262

4141 4242 4747 5252

3939

Definición de Árbol B• Las claves dividen el espacio de claves como en el AVL

– Y estas claves, son las claves de Búsqueda.• Los Árboles que estudiaremos serán de orden m=5

– Un orden mayor aumenta considerablemente la complejidad de la Inserción y Borrado.

– Un Orden menor disminuye la eficiencia de Búsqueda– Numero Máximo de Claves de un Nodo es 4– Numero Máximo de Ramas de un Nodo es 5

• Se rastrea el camino de búsqueda al igual que en el Árbol de Búsqueda.

< a> a< b

> b< c

> c

<d

a b c d

>d

Proceso de Formación de un Árbol B• Un Árbol B crecen “Hacia Arriba”, hacia la raiz

– Las claves que se insertan, siempre van en un nodo hoja.• Por ser perfectamente equilibrado, toda hoja está al mismo nivel.

• Pasos del algoritmo para Insertar una nueva clave:1. Se Busca la clave a insertar en el Árbol. Para lo cual desciende por el

camino de búsqueda hasta una hoja. 2. Si no está en el árbol Entonces Empieza la Inserción. 3. ¿Está Llena la pagina? – Hay Lugar: Entonces Insertar en ese Nodo y finaliza el proceso– Se llenó: No se puede insertar allí:

• Se divide la pagina en dos al mismo nivel que todas las demás. Excepto la clave mediana (es la clave ubicada en la posición 3)

• Con esta clave mediana se sube por el camino de Búsqueda y se comienza el proceso desde el paso 1 nuevamente.

• Esta proceso de ascensión de la clave mediana puede llegar hasta el nodo raiz, que también se partirá y su Mediana, subiendo, será la nueva raiz de todo el árbol B.

Ejemplo de Inserción en Árbol B m=5Secuencia de Inserción: 6,11,5,4,8,9,12,21

44 55 66 1111 44 55 88 1111

66

1ro: 6, 11, 5, 4 2do:8

44 55

66

88 99 1111 1212

3ro: 9, 12

44 55 88 99 1212 2121

66 1111

4to: 21

Búsqueda de una Clave en Árbol B

• Las claves de un nodo B, son claves de búsqueda que dividen el espacio de búsqueda con los Ptrs

• Hay que inspeccionar en cada hoja todas las claves de que consta para definir:– La Posición propia de la clave– El ptr a la rama que nos llevara a la clave

• La función buscar() desciende por el árbol por la ruta determinada por la clave y los nodos.– Una función auxiliar buscarNodo() realiza la inserción

de cada nodo particular.

Codificación de la Inserción en Árbol B

• EL Algoritmo de Inserción se implementa con varias funciones Auxiliares.– Insertar(): es la interfaz de operación.– Empujar():es la función recursiva encargada de

realizar efectivamente la inserción.– buscarNodo(): Determina la rama por donde bajar

para encontrar la clave.– meterHoja(): en caso de insertar una clave sin

division de pagina.– dividirNodo(): Divide el Nodo y determina la clave que

ascendera en el estructura

Eliminación de una clave en Árbol B

• Propiedad de los Árbol B: Si una clave no está en la hoja, su predecesora o sucesora en el Arbol, si lo está (45 no esta, el 32 y el 48 si)– Se procede a sustituirla por la clave sucesora o

predecesora que si está en una hoja.– Pero si la hoja queda con menos del mínimo de

claves, hay que mover claves para restablecer la estructura del Árbol B

4545

1616 2626

151555 99

7979 172172

24241818 2222 4848 5757 8282 1261262929 3232 192192 232232

Algoritmo de Eliminación de una clave en Árbol B• 1er Caso: La Hoja del Sucesor tiene mas del mínimo

– Buscar la Clave y su Sucesor.– Sustituir la clave de búsqueda con la clave sucesora que está en una hoja.

• 2do Caso: La Hoja del Sucesor tiene menos del mínimo, pero los Adyacentes mas.– Examinar los nodos adyacentes al Nodo a Borrar– Si uno de ellos tiene mas claves que la mínima, se puede subir la clave

elegida al nodo Antecedente.– Se baja del Nodo Antecedente la clave hacia el Nodo Problema

• 3er Caso: La Hoja del Sucesor y los Adyacentes tiene menos del mínimo– Tomar el Nodo Problema, el Nodo contiguo y la clave mediana de ambos

(procedente del nodo Antecedente) y se los combina para formar un único Nodo.

– Si deja al Nodo Antecedente menos del mínimo del claves, el proceso se propaga hacia arriba.

– El limite este caso es bajar la Raiz: la altura del Árbol B disminuye.

4545

1616 2626

151555 99

7979 172172

24241818 2222 4848 5757 8282 1261262929 3232 192192 232232

Eliminacion de un Árbol B. Ejemplo

4545

1818 2626

151555 99

7979 172172

24242222 4848 5757 8282 1261262929 3232 192192 232232

4545

1616 2626

151555 99

7979 172172

24241818 2222 4848 5757 8282 1261262929 3232 192192 232232

1er Caso: Elimina 16

2do Caso: Elimina 244545

1515 2626

55 99

7979 172172

22221818 4848 5757 8282 1261262929 3232 192192 232232

Eliminacion de un Árbol B. Ejemplo

3do Caso: Elimina 221515 2626

55 99 1818 2929 3232

2626

151555 99 1818 2929 3232

4545

1515 2626

55 99

7979 172172

22221818 4848 5757 8282 1261262929 3232 192192 232232

4545

2626 7979 172172 45452626 7979 172172

1ero 2do

3ero 4to

45452626 7979 172172

151555 99 1818 2929 3232 4848 5757 8282 126126 192192 232232

Codificación Eliminacion Árbol B

• EL Algoritmo de Eliminación implementa varias funciones Auxiliares.– buscarNodo(): Determina la posición de la

clave en el arbol.– sucesor(): encuentra la clave inmediata si no

es un nodo hoja.– quitar(): si es un nodo hola, quita la clave de

allí.– restablecer():restaura el orden del árbol B.– eliminarRegistro():controla todo el proceso de

borrado.

B-tree

10

7 16

94 14 19

4 71 9 14 1610 19

Figura1 – Un ABB o Binary Search Tree con datos almacenados en las hojas

Observacion

• Almacenar datos solamente en las hojas; todas las hojas están a un mismo nivel.– Nodos interior y exterior tienen diferente

estructura.– Nodo interior almacena una clave y dos

punteros a subarboles.– El camino de búsqueda tiene a lo más largo

de : lg n– Puede almacenar multiples datos en una

hoja.

M-Tree

• Una generalización del modelo BST– Todo nodo interior tiene M punteros a

subtrees y M-1 claves• El BST previo podría haberse llamado “2-tree” o

“M-tree de orden 2”

– si M crece, la altura decrece: lgM n

Un M-tree de orden 3

Figura 2 (siguiente) muestra los mismos datos que Figura 1, almacenando un M-way tree de orden 3. En este ejemplo, M = 3 y h = 2, de manera que el árbol puede soportar 9 leaves.

4 71 9 14 1610 19

9 16

4 7 10 14 19

Figura 2 – Un M-Way tree de orden 3

22 36 48

6 12 18 26 32 42 54

24

68

10

121416

181920

2224

262830

3234

363840

424446

485052

5456

Figura 3 – searching en un M-way tree de orden 4

Un ejemplo

• Consideremos almacenar 107 items en un BST y en un M-way tree de orden 10.

• La altura de los BST será lg(107) ~ 24.• La altura de M-Way tree será log(107 )

= 7 (asumiendo que almacenamos justamente 1 record por leaf)

B-Tree Definition

A B-Tree of order M is an M-Way tree with the following constraints1. The root is either a leaf or

has between 2 and M subtrees2. All interior node (except maybe the root) have

between M / 2 and M subtrees (I.e. each interior node is at least “half full”

3. All leaves are at the same level. A leaf must store between L / 2 and L data elements, where L is a fixed constant >= 1 (I.e. each leaf is at least half full,except when the tree has fewer than L/2 elements)

A B-Tree example

• The following figure (also figure 3) shows a B-Tree with M = 4 and L = 3

• The root node can have between 2 and M=4 subtrees

• Each other interior node can have between M / 2 = 4 / 2 = 2 and M = 4 subtrees and up

to M – 1 = 3 keys.• Each exterior node (leaf) can hold between L / 2 = 3 / 2 = 2 and L = 3 data elements

22 36 48

6 12 18 26 32 42 54

24

68

10

121416

181920

2224

262830

3234

363840

424446

485052

5456

Figure 4 – A B-Tree with M = 4 and L = 3

Designing a B-Tree

• Recall that M-way trees (and therefore B-trees) are often used when there is too much data to fit in memory. Therefore each node and leaf access costs one disk access.

• When designing a B-Tree (choosing the values of M and L), we need to consider the size of the data stored in the leaves, the size of the key and pointers stored in the interior nodes and the size of a disk block

Student Record Example

Suppose our B-Tree stores student records which contain name, address, etc. and other data totaling 1024 bytes.

Further assume that the key to each student record (ssn??) is 8 bytes long.

Assume also that a pointer (really a disk block number, not a memory address) requires 4 bytes

And finally, assume that our disk block is 4096 bytes

Calculating L

L is the number of data records that can be stored in each leaf. Since we want to do just one disk access per leaf, this is the same as the number of data records per disk block.

Since a disk block is 4096 and a data record is 1024, we choose L = 4096 / 1024 = 4 data records per leaf.

Calculating M

Each interior node contains M pointers and M-1 keys. To maximize M (and therefore keep the tree flat and wide) and yet do just one disk access, we have the following relationship

4M + 8 ( M – 1) <= 409612M <= 4104 M <= 342

So choose the largest possible M (making tree as shallow as possible) of 342.

Performance of our B-Tree

With M = 342 the height of our tree for N students will be log342 N/L .

For example, with N = 100,000 (about 10 times the size of UMBC student population) the height of the tree with M = 342 would be no more than 2, because

log342(25000) = 2So any student record can be found in 3 disk

accesses. If the root of the B-Tree is stored in memory, then only 2 disk access is needed

Insertion of X in a B-Tree

• Search to find which leaf X belongs in.• If leaf has room (fewer than L elements), add it

(and write back to disk).• If leaf full, split into two leaves, each with half of

elements. (write new leaves to disk)– Update the keys in the parent– if parent was already full, split in same manner– splits may propagate all the way to the root, in which

case, the root is split (this is how the tree grows in height)

Insert 33 into this B-Tree

22 36 48

6 12 18 26 32 42 54

24

68

10

121416

181920

2224

262830

3234

363840

424446

485052

5456

Figure 5 – before inserting 33

Inserting 33

• Traversing the tree from the root, we find that 33 is less than 36 and is greater than 33, leading us to the 2nd subtree. Since 32 is greater than 32 we are led to the 3rd leaf (the one containing 32 and 34).

• Since there is room for an additional data item in the leaf it is inserted (in sorted order which means reorganizing the leaf)

After inserting 33

22 36 48

6 12 18 26 32 42 54

24

68

10

121416

181920

2224

262830

323334

363840

424446

485052

5456

Figure 6 – after inserting 33

Now insert 35

• This item also belongs in the 3rd leaf of the 2nd subtree. However, that leaf is full.

• Split the leaf in two and update the parent to get the tree in figure 7.

After inserting 35

22 36 48

6 12 18 26 32 34 42 54

24

68

10

121416

181920

2224

262830

3233

363840

424446

485052

5456

Figure 7 – after inserting 35

3435

Inserting 21

• This item belongs in the 4th leaf of the 1st subtree (the leaf containing 18, 19, 20).

• Since the leaf is full, we split it and update the keys in the parent.

• However, the parent is also full, so it must be split and its parent (the root) updated.

• But this would give the root 5 subtrees which is not allowed, so the root must also be split.

• This is the only way the tree grows in height

After inserting 2122

6

24

68

10

121416

1819

2021

262830

3233

363840

424446

485052

5456

Figure 8 – after inserting 21

3435

18 36 48

12 20 26 32 34 42 54

2224

B-tree Deletion• Find leaf containing element to be deleted.• If that leaf is still full enough (still has L / 2

elements after remove) write it back to disk without that element. Then change the key in the ancestor if necessary.

• If leaf is now too empty (has less than L / 2 elements), borrow an element from a neighbor.– If neighbor would be too empty, combine two

leaves into one.– This combining requires updating the parent

which may now have too few subtrees.– If necessary, continue the combining up the tree