Unidad 7Fuente de campo magnéticoLey de biot-savartEn 1819 Hans Christian Oersted, descubre que un conductor donde circula una corriente produce una variación en la dirección de la aguja de una brújula. De estas observaciones y experimentos cuantitativos (realizados por Jean-Baptiste biot y Félix Savart) se llegó a una expresión matemática que permite encontrar el valor del campo ∂ B⃑ en algún punto P del espacio asociada a un elemento ∂s⃑ de un alambre por el cual circula corriente eléctrica I :

La magnitud ∂ B⃑∝ r−2 donde r es la distancia de ∂ s⃑ a P. El vector ∂ B⃑ es perpendicular ∂ s⃑ (que apunta en dirección a la corriente

I), como del vector unitario, dirigido desde ∂ s⃑ hasta P. La magnitud ∂ B⃑ ∝ I y ∂s del elemento de longitud ∂ s⃑. La magnitud ∂ B⃑ ∝ sin θ, donde el ángulo formado entre ∂ s⃑ y r̂.

Las observaciones se resumen en la ley de Biot-Savart:

∂ B⃑=μ04 π

I ∂ s⃑×r̂r2

B⃑=μ04 π

q v⃑× r̂r2

Donde μ0 se llama permeabilidad del espacio vacío y su valor es:

μ⃑o=4 π ×10−7T ∙m / A

Para determinar total de B⃑ que se crea en algún punto por una corriente de tamaño finito:

B⃑=μo I4 π∫

∂ s⃑× B⃑r2

La unidad SI del campo es igual a 1T=1N / A ∙m

Existen diferencias entre el campo eléctrico y magneto:

1) El campo E es radial y el del campo B es perpendicular tanto del elemento ∂ s⃑ como el vector unitario r̂ . Es decir la dirección que toman los campos son diferentes

2) El campo eléctrico puede partir de una carga aislada. En cambio, el campo no necesita de un flujo de cargas para que exista campo magnético o un conjunto de partículas cargadas en movimiento.

La similitud que se le puede encontrar es que ambos varían con el r−2.

fuerza magnética entre dos conductores paralelos.

Ley de ampere:En 1820 el danés Hans Christian Oersted descubre la existencia de un campo magnético alrededor conductor que lleva una corriente eléctrica. Poco después de esto descubrimiento, Adré-Marie Ampère propone la relación general entre la I en un alambre de forma aleatoria y el B en torno a él, obteniendo una expresión matemática de esta relación. Si consideramos la experiencia realizada por oersted, donde se observa el cambio que experimenta la dirección de la aguja de una brújula en la proximidad de un hilo conductor con corriente. Entonces, al

envolver al alambre de brújulas, sus agujas indicaban la misma dirección que tiene el campo B de la tierra si el conductor no tiene corriente, pero al instante de que un conductor transporte corriente todas agujas desviaban tangencial al círculo que describía las agujas. De esta experiencia se concluye los siguientes resultados:

1. Las líneas de B⃑ forman círculos alrededor del alambre o hilo conductor. (Esta observación es congruente con la regla de la mano derecha, y es de importancia porque nos facilita obtener la orientación del campo magnético en el caso que la corriente cambie de dirección y viceversa).

2. La trayectoria circular cerrada seguida por el campo B alrededor de un hilo conductor puede ser descripta por segmentos de longitud Δs distribuidas a lo largo de dicha trayectoria. Que están definidas por la longitud de las agujas.

3. El B es tangencial a la trayectoria circular y paralelo al elemento Δs en cualquier punto de la trayectoria circular. Además de ser perpendicular con respecto a la dirección de la corriente.

4. La magnitud B será la misma en cualquier punto de la trayectoria circular concéntrica en el alambre, por su simetría.

5. Las líneas de campo son muy diferentes a las líneas de campo electro, porque las líneas B forman circunferencia continúas cerradas centradas en el alambre, mientras que las líneas E comienzan en un punto y terminan en otro.

Entonces al recorrer la trayectoria circular, evaluamos el producto B∥ ∙ Δs y sumamos todas esas cantidades, y obtenemos:

∑ B∥ ∙ Δs

Donde la longitud Δs se elige de tal manera que B∥ sea constante

Pasando al límite Δs → 0, esta relación se convierte en:

∮ B⃑ ∙∂ s⃑

Donde ∂s⃑ es un vector de longitud infinitesimal y el producto vectorial garantiza que se tome la componente paralela B⃑. El símbolo ∮ . significa que la integración se lleva a través de una trayectoria cerrada. Esta integral se llama integral de línea.Como el campo es constante y a su ves B⃑∥ ∂ s⃑ la ecuación que se presenta es:

∮ B⃑ ∙∂ s⃑=∮B∂s cos (0 º )=¿∮B∂s=¿B∮∂ s=μ0 I2πr

(2πr )=μ0 I ¿¿

Donde ∮∂ s=2πr es la circunferencia de la trayectoria circular.

La expresión μ0 I es la corriente total encerrada por la curva cerrada, llamada anillo amperiano o es la corriente total que pasa por los alambres que perforan la superficie limitada por el anillo.A pesar que fue calcula para el caso especial de una trayectoria circular cerrada que rodea un alambre, es validad para cualquier forma de trayectoria cerrada que rodea a una corriente.La ley es muy útil para calcular campos en situaciones que se presenta alta simetría, para que ∮ B⃑ ∙∂ s⃑=B∮∂s. además de ser validad solo en situaciones que la corriente y el campo sean estacionarias y no cambien con el tiempo, y donde no estén presentes materiales magnéticos.Su uso es similar a la ley de gauss.La integral de línea de B⃑∙ ∂ s⃑ alrededor de cualquier anillo amperiano es igual a μ0 I donde I es la corriente total que pasa a través de cualquier superficie limitada por el anillo amperiano.

Unidad 8Ley inducción de Faraday:Tiene sus orígenes en los experimentos realizados por el inglés Michael Faraday 1831 y por EE.UU. Joseph Henry aproximadamente en el mismo año, aunque Faraday fue primero en publicarla, lo cual le da la prioridad en el descubrimiento, demostrando que es posible inducir una fem en un circuito utilizando un campo B variable.

Uno de esos experimentos consiste en dos circuitos sin conexiones entre sí,

pero relacionados a partir de un anillo de hierro que actúa como amplificador de campo magnético. El primer circuito se compone de un interruptor, batería y una bobina enrollado alrededor del anillo de hierro. En cambio, el segundo circuito se forma por un amperímetro o un galvanómetro para medir la presencia de corriente en el caso de exista, y una segunda bobina enrollada por el mismo anillo de hierro. La idea original era obtener corriente constante que se produciría en la B2 que sería detectado por el galvanómetro por una variación en sus valores, producido por un campo magnético constante en la primara bobina en el momento de cerrar el primer circuito. Pero no se tiene el efecto deseado, hasta que se observar detenidamente, en el momento de cerrar o abrir el circuito primario, la aguja del galvanómetro se desviaba en una dirección cuando se cerraba y en dirección opuesta cuando se abría, poniendo en evidencia la existencia de corriente en el segundo circuito. De esto Faraday concluye que, aunque no se produzca corriente a partir de un campo magnético constante en un conductor, un campo variable si puede generar corriente eléctrica, llamada corriente inducida. Cuando cambia el campo magnético a través de la B2, y se induce en ella una corriente como si estuviera conectada a una fuente fem, por esto se dice:El campo B variable induce una fem

Si se consideramos otro experimento como el de una espira conductora conectado a un amperímetro o galvanómetro e introducimos un imán recto en la espira con su polo norte hacia el mismo. Ocurre que, al mover el imán hacia la espira, desvía en una dirección la aguja del galvanómetro demostrando que pasa corriente por la espira. Ahora, si el imán se mueve alejándose de la bobina la aguja del galvanómetro se desviará en sentido opuesto lo que indica que la corriente cambio de sentido de circulación. Además, cuando más rápido se mueva al imán, mayor será lectura registrada en el medidor.Con varios experimentos de este tipo se demuestra que lo que importa es el movimiento relativo entre imán y la espira. Es decir, no existe diferencia en que movamos la espira hacia el imán o el imán hacia la espira. Mientras que en el primer experimento es la rapidez con la cual cambia la corriente y no su intensidad.Entonces la causa de la fem inducida es el imán en movimiento o la corriente cambiante.Pero tienen algo en común, donde Faraday se percató que la fem inducida en estos experimentos se producían cuando el flujo magnético cambiaba con el tiempo a través de la espira/s. Esta idea surge considerando el hecho que el campo magnético tanto de un imán como el de un conductor que trasporta corriente,

puede ser representado como líneas de campo magnético, de la misma forma que se representa el campo eléctrico de una carga o una distribución de carga continua. Entonces, el flujo magnético es el número de líneas de campo magnético que atraviesan una superficie. Esta superficie es la encerrada por la espira o la bobina.Por lo tanto, cualquiera de las situaciones experimentales anteriormente, el número de líneas de campo magnético que pasan a través de la espira o bobina cambian con el tiempo por lo que el flujo magnético cambiará también con el tiempo. En efecto, lo que induce la fem en el anillo es el cambio en el número de líneas de campo que pasan a través del circuito cerrado, y cuanto mayor sea ese cambio en el tiempo, más intenso será la fem inducida. Específicamente, lo que determina la fem es la velocidad de cambio de las líneas de campo B que pasan a través de un anillo.En termino de flujo magnético, la fem inducida en un circuito está dada por la ley de la inducción de Faraday:La fem inducida es igual al negativo de la velocidad con que cambia con el tiempo el flujo magnético a través del circuito.En términos matemáticos, la ley de Faraday es:

ε=−∂ΦB

∂t

Si la bobina consta de N vueltas muy apretadas, de manera que el mismo flujo pase a través de cada una, entonces aparece una fem inducida en cada vuelta, y la fem inducida total va a ser igual a la suma de los valores individuales:

ε=−N∂ΦB

∂ t

Imaginemos que una espira que encierra una superficie A, esté sumergida en un campo magnético uniforme. El flujo magnético a través de la espira es igual a BAcos(θ); por esto, la fem inducida puede expresarse como:

ε=−∂∂ t

(BA cosθ )

De este resultado se observa que el flujo magnético puede variar de muchas formas, como:

La magnitud del campo magnético cambia con el tiempo por desplazamiento del anillo dentro del campo uniforme.

El área encerrada por un anillo cambia con el tiempo El ángulo existente entre el campo magnético la normal puede cambiar con

el tiempoAdemás de:

Al variar una corriente en un circuito cercano Al mover un imán en relación con el anillo

La ley de Faraday nos permite entender que produce la fem inducida, pero no explica los procesos físicos que segui para obtener esa fem inducida, es decir como la produce.

Ley de LenzPoco después de que Faraday propusiera su ley de inducción, Heinrich Friedrich Lenz ideó una regla que permite determinar la dirección y el sentido de una corriente inducida en una espira, propuesta en 1834:Explicando los procesos físicos que sigue para obtener la fem inducidaLa polaridad de la fem inducida es tal que esta tiende a producir una corriente que crea un campo magnético que se opone a la variación de flujo del campo magnético quien produce la corriente inducida.Además, no solo se aplica cuando hay corriente también es posible aplicar cuando el circuito está abierto, es decir cuando no hay corriente, entonces el anunciado queda:Una fem siempre está en una dirección que se opone al cambio en el flujo que la produjo.

Luego, al aplicar esta ley al experimento del movimiento relativo del imán y de la espira podemos observar que no presenta flujo magnético siempre y cuando el imán está alejado de la misma, pero luego de acercarlo el flujo magnético aumente, esto sucede cuando el lado norte del imán que presenta campo magnético pasa a través de la espira. Induciendo así una corriente en la espira en una determino sentido, de modo que el flujo magnético producida por la corriente inducida se oponga al del imán. Entonces, el campo inducido tiende a disminuir el flujo que

atraviesa la espira. Del mismo modo si el imán se mueve en sentido opuesto, el flujo también disminuye, pero la corriente inducida tendría un sentido opuesto. La idea es que se opone al cambio, que el aumento del flujo magnético a través de la espira.

En otras palabras, cuando el polo norte de un imán se aproxima a una espira, la corriente inducida circulará en un sentido tal que la cara enfrentada al polo norte del imán sea también norte, con lo que ejercerá una acción magnética repulsiva sobre el imán, lo que es preciso vence para que se mantenga el fenómeno de la inducción. ahora, si el polo norte del imán se aleja de la espira, la corriente inducida debe producir un momento magnético inducido en la espira que se oponga a este cambio. Por este resultado la ley de Lenz es una

consecuencia de la conservación de la energía, ya que si la corriente fuera opuesta al sentido indicado, el momento magnético inducido de la espira atraería al imán acelerándolo. Es decir, al someter al imán un empuje a una gran distancia, la fuerza debido a la corriente inducida estaría dirigida hacia la espira, lo que aumentaría la velocidad del imán, aumentaría la variación del flujo magnético por unidad de tiempo, aumentaría la corriente inducida y con ello, aumentaría la fuerza que actúa sobre el imán, y así sucesivamente. Por tanto, el sistema estaría adquiriendo energía sin ninguna fuente que lo suministre.

Podemos decir que el fenómeno de la inducción magnética se rige de dos leyes. Ley de Lenz: cualitativa, que nos da el sentido de la corriente. Ley de Faraday: cuantitativa, que nos da el valor de la corriente

inducida.

Campo eléctrico inducidoSe observa que partir del movimiento relativo de un imán y de una espira, el flujo magnético a través de la espira es variable siempre cuando el imán se encuentra en movimiento, induciendo así, según Faraday una fem inducida.Supongamos ahora que la espira está sumergida en un campo magnético variable que se puede obtener a partir de un electroimán cuando en él se varia la corriente. Por lo tanto, el flujo magnético a través de la espira varia con el tiempo. Como consecuencia inducirá una fem que produce una corriente. Pero cuando se estudia le corriente desde el punto de vista microscópico, ésta se relaciona con el campo eléctrico que aplica una fuerza eléctrica sobre los portadores en diversos puntos de

la espira. Entonces, la corriente inducida implica la presencia de un campo eléctrico inducido, que debe ser tangente a la espira de radio r, ya que esta es la dirección en la cual se mueve las cargas en el alambre en respuesta a la fuerza eléctrica. Aparte de que la magnitud del campo magnético en cualquier punto de la espira es

constante por simetría. Por lo tanto, el trabajo invertido por el campo eléctrico al mover una carga de prueba q una vez alrededor de la espira es igual a qε. Puesto que la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga es q E⃗, el trabajo invertido por el campo eléctrico al mover una carga una vez alrededor de la espira es qE(2πr), siendo 2πr la circunferencia de la espira. Al igualar entre si estas dos expresiones para W y cancelado el factor q, obtenemos:

ε=E (2πr ) ε(2πr )

=E

Con este resultado, además de la ecuación de Faraday y del hecho que para una espira circular ΦB=BA=Bπ r2 el campo eléctrico inducido se puede expresar de la forma:

E= 12 πr

∂ΦB

∂ t=−r2

∂ B∂ t

Si se conoce la variación del campo magnético, será fácil calcular el campo eléctrico inducido.Por otro lado, el lado derecho de la ecuación puede ser expresado como una integral de línea de E alrededor de la espira, lo cual puede escribirse para los casos más generales, es decir para campo E no constantes o cuando la trayectoria elegida no sea circular, entonces:

ε=∮ E⃗ ∂ l⃗

Donde el campo eléctrico no es conservativo para un flujo magnético variable con el tiempo, ya que, de serlo, la integral de línea de E⃗ ∂ l⃗ en una espira serial igual a cero. Por ello, la integral de línea de E⃗ ∂ l⃗ será igual a la fem inducida, la cual es igual a la variación del flujo magnético con el tiempo:

∮E∂ l=−∂ϕ∂ t

El campo inducida E⃗es un campo no conservativo generado por un campo magnético cambiante.

Nota: Además, la presencia del campo eléctrico no tiene nada que ver con la

presencia de la espira de alambre; si retiramos completamente la espira, el campe eléctrico seguirá estado presente.

Los anillos pueden ser reemplazados por trayectoria circulares de radio r que encierra u espacio en la que el campo B está cambiando y es perpendiculares al mismo. La razón de cambio es ∂B/∂t suponiendo que es la misma en todos los puntos. En esta misma superficie aparece un flujo que cambia con una razón de cambio ∂Φ/∂t.

Se habla de que el campo eléctrico no es continuo, es decir comienza en un punto y terminan en otro, por lo que la integral de línea para una trayectoria cerrada en un campo eléctrico conservativo será igual a cero, pero según la ley de Faraday esto es distinto a cero porque el campo E no es conservativo y es posible que haya campo E para una trayectoria circular.

Los campos eléctricos inducidos que se crean por el proceso de inducción no están asociados con las cargas sino con un flujo magnético cambiante en este caso. Una diferencia más evidente es que las líneas de campo para este son anillos cerrados y las de cargas no.

Los campos eléctricos no conservativos producidos por inducción no pueden describirse mediante un potencial eléctrico. Un argumento similar puede ser aplicado para campos magnético y, en consecuencia, el potencial magnético no tiene sentido.

Inductancia

Autoinducción:Consideremos un circuito formado por un interruptor, una resistencia y una fuente de fem. el circuito que se observa esta en perspectiva para mostrar las orientaciones de algunas líneas de campo magnético debido a la corriente en el circuito. Cuando el interruptor se cierra, la corriente no salta inmediatamente de cero a su valor máximo εR

. Para describir este efecto se puede

utilizar la ley de Faraday. Es decir, conforme la corriente aumenta con el tiempo, el flujo magnético debido a esta corriente, a través

de la espira, también aumento. Entonces el flujo creciente produce una fem inducida en la misma espira, que establecerá una corriente, que según la ley de Lenz esta formaría un campo magnético de tal manera que se opondría al cambio en el campo magnético original. Por lo tanto, la fem inducida es en sentido opuesto

a la dirección de la fem de la batería, lo que da como resultado un incremento gradual, en vez de instantáneo, de la corriente, hasta que alcanza su valor máximo final. Este efecto se la llama autoinducción debido que el flujo magnético a través del circuito y la fem inducida resultante surgen del mismo circuito. La fem establecida en este caso se llama fem autoinducida.Según la ley de Faraday podemos obtener cuantitativamente este valor, lo cual dice que la fem inducida es igual al negativo de la rapidez de cambio del flujo magnético con el tiempo. Que a su vez es proporcional campo magnético y que luego es proporcional a la corriente del circuito. Debido a eso, una fem autoinducida siempre es proporcional a la rapidez de cambio de la corriente con el tiempo. Para cualquier espira de alambre, se puede escribir esta proporcionalidad como:

ε=−∂ΦB

∂t=−L ∂ I

∂ t⇒Φ=LI donde Les constante

donde L es la constante de proporcionalidad llamada inducción de la espira que depende de la geometría de la espira y de otras características físicas.Para una bobina con espacios cerrados con N vueltas que lleva una corriente I la ley de Faraday dice que:

ε=−N∂ΦB

∂ t=−L ∂ I

∂t⟹NΦ=LI

donde se supone que pasa el mismo flujo magnético a través de cada una de las vueltas y L es la inductancia de toda la bobina.De la ecuación 1 también se escribe:

L=−ε / ∂ I∂t

De esto se concluye que la R mide la oposición de la corriente; sin embargo, la inductancia es una medida de oposición al cambio en la corriente.Siendo esta ecuación para bobinas de todos los tamaños y formas, ya sea que estén apretados o no, que haya hierro u otros materiales en su núcleo. Es análoga a la relación:

C= qV

Si no hay otros materiales similares como el hierro, L, lo mismo que C depende solo de la geometría del aparato. En un inductor la presencia de un campo magnético es la característica importante, que se corresponde de un campo eléctrico en un condensador.La unidad de la inductancia la obtenemos de la definición de L:

L=−ε / ∂ I∂t

[ L ]=[ε ]/ [ i ][ t ]

= [volt ] [s ][ A ]

=henry=[ H ]

Los submúltiplos son:

milihenry=1.10−3

microhenry=1.10−6

La polaridad de la fem inducida se puede encontrar mediante el uso de la ley de Lenz. Supongamos que pasa por una corriente una corriente constante, producida por una batería, la corriente comienza a disminuir, esta es la disminución a que debe oponerse la autoinducción, para lograrlo, fem debe estar en el mismo sentido de la corriente.Cuando la corriente aumenta, fem inducida debe ir en sentido opuesto a la corriente. En ambos casos la fem autoinducida obra oponiéndose al cambio de la corriente. en cambio, el signo se refiere a que la fem inducida y la corriente cambiante con el tiempo son opuestos, porque L siempre es positivo.

Calculo de la autoinducción:Supongamos para ello una bobina (solenoide) con N vueltas, sin hierro y longitud l devanados uniformemente. Además, l es mucho mayor que el radio del devanado.Las líneas de campo de cada vuelta del solenoide pasan a través de todas las vueltas, de modo una fem inducida en cada vuelta se opone al cambio en la corriente.El campo magnético en un solenoide de estas características, de longitud l, por el que circula una corriente I es:

B=μoη I

En donde η es el número de vuelta por unidad de longitud N / l. Si el solenoide posee un área A, el flujo magnético a través de cada vuelta:

ΦB=BA=μoη IA N ΦB=NBA= (nl )BA=l μoη2 IA

Sustituyendo en la expresión conseguida de autoinducción:

L= NΦI

=l μoη2 A=μoη

2V

Vemos que solo depende de factores geométricos de construcción. Si se duplica η también se duplica ΦB que pasa a través de cada vuelta.

Inductancia mutuaSucede en forma simple, cuando colocamos dos espiras enfrentadas entre sí. Donde en una de ellas pasa una corriente, produciendo en otra un flujo magnético

cambiante con el tiempo por la presencia corriente variable. Esta situación induce una fem a través de un proceso llamado inducción mutua. Dicho de otra manera, tenemos dos bobinas enfrentada, la bobina 1 con N 1 vueltas y la bobina 2 con N 2 vueltas. En primer lugar, en la bobina 1 pasa una corriente I 1 variable con el tiempo, que generara por ley de biot-savart y ley de ampere, un campo magnético variable B1 con el tiempo debido a la corriente que la

produce; en segundo lugar, en la bobina 2 se genera un flujo magnético variable en el tiempo causado por la corriente I 1 y que pasa a través de la bobina 2, esta representa como Φ12(en 1 la produce y en la dos se ubica). Si las bobinas están fijas, N 2Φ12 que es el flujo total a través de la bobina 2 es proporcional a la corriente I 1 en la bobina 1; la constante de proporcionalidad se llama inductancia mutua, M 12:

M 21=N 2Φ21

I 1

Si la corriente I 1 varia con el tiempo, según la ley de Faraday y la ecuación anterior, la fem inducida por la bobina 1 en la bobina 2 es:

ε 2=−N2

∂Φ21

∂t=−N2

∂∂t ( M 12 I 1

N2)=−M 12

∂ I 1∂t

siendoΦ12=M 21 I1N 2

Esto relaciona el cambio de la corriente en la bobina 1 con la fem que se induce en la bobina 2. La inductancia mutua de la bobina 2 con respecto a la bobina 1 es una constante. Mientras que esta constante no depende de I 1, dependerá de otros factores, como:

Geometría Tamaño Numero de vueltas Posiciones relativas de las bobinas

Núcleo: Hierro Otros materiales ferromagnéticos Aire

Considere la situación inversa: cuando la corriente en la bobina 2 induce una fem en la bobina 1. En este caso:

ε 1=−M 12

∂I 2∂ t

Donde M 12 es la inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la bobina 2.En la inducción mutua, la fem inducida en una bobina siempre es proporcional a la rapidez con que cambia la corriente con el tiempo. A pesar que ambas constantes fueron tratadas por separado, puede demostrarse que son iguales. Por lo tanto:

M 21=M 12=M

Energía almacenada en un campo magnético.Tomemos un circuito RL que esta forma por una resistencia y un inductor, este último puede ser un solenoide, con una gran inductancia, para evitar que la

corriente en el circuito aumente o disminuya instantáneamente. En otras palabras, un inductor en un circuito se opone a los cambios de la corriente dentro de dicho circuito. Mientras que la resistencia se opone al paso de la corriente. Por lo que el inductor hace que el circuito sea lento en reaccionar a los cambios en el voltaje. Si

recorremos este circuito a la manecilla del reloj aplicando aplicando Kirchhoff, obtenemos como resultado esta ecuación:

ε−IR−L ∂ I∂ t

=0

Luego, al multiplicar la expresión obtenemos el siguiente resultado:

εI−I 2R−LI ∂ I∂t

=0

Nota: (Proporcionando más energía que un circuito sin inductor, porque parte de la energía además de estar presente como energía interna en la resistencia del circuito, la otra parte se presenta como energía almacenada en el campo magnético del inductor)La energía puede almacenarse en el campo magnético. En otras palabras, consideremos dos hilos conductores, rígidos y largos, que conducen en la misma dirección. Los alambres se atraen entre si y el trabajo realizado para separarlos se almacena en al campo que los rodea. Podemos recuperar esa energía magnética almacenada adicional dejando que los alambres regresen a su estado original.

Donde εI es la velocidad con la que entrega energía al circuito la fuente de la fem. O sea, si la carga ∂q pasa por la fuente de fem en un tiempo ∂t, la fuente efectúa un trabajo sobre ella en la cantidad (ε∂q) /∂t. en pocas palabras tenemos εI.

El segundo termino I 2 ε, es la velocidad con la que se disipa la energía en el resistor.Esta energía surge en forma de energía interna asociada a las vibraciones atómicos en el resistor.Por último, la energía no disipada en el resistor, se almacena en el campo magnético. Donde el ultimo termino representa la velocidad a la cual se almacena la energía en el campo magnético, este es LI ∂ I∂ t . Si U B representa la energía almacenada en el inductor en cualquier instante; entonces la velocidad a la cual se almacena energía con éste término:

∂U B

∂ t=LI ∂ I

∂ t=¿∂U B=LI ∂ I

La energía total almacenada en cualquier instante de tiempo desde I=0 a I=ε/R (aumento gradual), obtenemos:

U B=∫∂U B=∫0

I

LI ∂ I=L∫0

I

I ∂ I=12L I 2

Donde L es una constante por eso es retirado de la ecuación. Esta ecuación representa la energía total almacenada en una inductancia L que lleva una corriente I. Se observa que esta ecuación es similar a la energía almacenada en el campo magnético de un capacitor:

U e=12C ΔV 2

Densidad de energía.Para determinar la densidad de energía de un campo magnético (energía por unidad de volumen) uB. Consideremos una porción de longitud l cerca del centro de un solenoide muy largo alejados de sus extremos, el volumen encerrado por la porción L será AL, donde A es el área de sección transversal del solenoide. La energía almacenada debe estar almacenada completamente dentro de este volumen del solenoide, porque el campo magnético en el exterior del solenoide es casi cero. Además, deberá estar uniformemente distribuida porque el campo es uniforme dentro del solenoide. Entonces, se puede escribir dicha densidad como:

uB=U B

AL=¿

Donde U B es igual 12 LI2 reemplazando, se tiene:

uB=

12LI 2

AL

Para expresarla en términos de campo magnético, despejemos I de la ecuación (B=μo∈¿) y luego se reemplaza en la ecuación anterior. Además, también se reemplaza L por μon

2 LA y finalmente se obtiene:

uB=(μon

2 LA )AL ( B

μon )2

=12B2

μo

Esta ecuación da la densidad de energía almacenada en cualquier punto (en el vacío o en una sustancia no magnética) en donde la inducción magnética sea B⃗ . La ecuación se cumple para todas las configuraciones del campo magnético, aun cuando se dedujo para un solenoide.Es muy similar a la densidad de energía eléctrica (en un vacío) en cualquier punto dentro de un campo eléctrico, cuya ecuación es:

uE=12ϵ oE

2

Tanto la ecuación uB como uE son proporcionales al cuadrado de la cantidad de campo apropiada B o E. El inductor desempeña, en los campos magnético, un papel semejante al capacitor de placas paralelos en los campos eléctricos.

Inductancia en serie y en paralelo Al igual para el capacitor y la resistencia, tenemos un circuito formado por varias bobinas, donde es posible calcular el valor de una única inductancia que reemplace a todo el conjunto, este será la inductancia equivalente.

Inductancia en serie:Por definición de inductancia tenemos y además la misma corriente pasa por todas ellas, entonces resulta:

V=V 1+V 2+V 3=L1∂ I∂ t

+L2∂ I∂ t

+L3∂ I∂t

=L ∂ I∂ t

Luego

V= (L1+L2+L3 )∂ I∂t

=Leq∂I∂t

Entonces para bobinas en serie resultan en:

Leq=L1+L2+L3generalizando para nbobinasen serie seráLeq=∑1

n

Li

Inductancia en paralelo:Para un circuito con inductores en paralelo la tensión es la misma, por lo que:

I=I 1+ I 2+ I3

Como al definición de inductancia tenemos ∂ I∂ t =VL . Luego reemplazando y

despejando:

∂ I∂ t

=∂ I 1∂ t

+∂ I 2∂ t

+∂ I 3∂ t

De donde se obtiene:

VLeq

=V 1

L1+V 2

L2+V 3

L3es decir 1

Leq= 1L1

+ 1L2

+ 1L3

Para n bobinas en paralelo sera:

∑1

n 1Li

Circuito RLTenemos un circuito que esta formado por una resistencia, un inductor, y dos interruptores S2 y S1 desconectado en t<0. El inductor puede ser un solenoide de muchas vueltas, con una gran inductancia, para evitar que la corriente en el circuito aumente o disminuya instantáneamente. En otras palabras, un inductor en un circuito se opone a los cambios de la corriente dentro de dicho circuito. Mientras que la resistencia se opone al paso de la corriente. Con frecuencia se puede

despreciar la autoinducción del resto del circuito en comparación con la de un inductor de este tipo. Justo después de encerrar el interruptor S2 en el tiempo t=0 que conecta la batería, la corriente comienza a fluir a un ritmo de variación ∂ I /∂t aumentando desde I=0 a Imax=

εR y en el inductor se forma una fem inducida que

según la ley de Lenz su polaridad será de tal manera que se opone al crecimiento de la corriente producida por la fem de la batería. Aplicando la ley de mallas de Kirchhoff a este circuito, recorriendo en el sentido de las manecillas de reloj, resulta:

ε−I R−L ∂ I∂ t

=0 (1 )o I R+L ∂I∂ t

=ε (2)

Donde RI es la caída de potencia a través del resistor e I es la corriente en el circuito en cualquier instante. Para resolver esta ecuación debemos hallar la función i(t) de modo que esta y su primera derivada se sustituyan en la ecuación (1), entonces reordenando la ecuación (1) se obtiene:

∂ I(ε−RI )

=∂tL

Integrando esta ecuación:

∫0

I ∂ I(ε−RI )

= 1L∫0

t

∂ t

Luego,

−1Rln( ε−RI

ε )= tL=¿ ln( ε−RI

ε )=−R tL=¿ ( ε−RI

ε )=e−R t

L

(1−RεI )=e

−tτ =¿ I=R

ε(1−e

−tτ )(3)

Donde τ= LR es la constante de tiempo del circuito LR. Esto representa el tiempo

requerido para que la corriente I almacene (1−e−1)=0.63 o 63% de su valor máximo (ε/R). Es un elemento útil para comparar el tiempo de respuesta de diferentes circuitos. Cuanto mayor es la inductancia o menor la resistencia, más tiempo exige el establecimiento de la corriente. La expresión en (3), muestra como la corriente no aumenta de manera instantánea hasta su valor de equilibrio final cuando el interruptor se cierra, sino que aumenta de acuerdo con una función exponencial. El valor de equilibrio de la corriente, se presenta cuando t⟶∞, es igual a ε/R, que se verifica haciendo ∂I/∂t=0.Ahora, si se acciona el interruptor S2 al punto b de manera que se elimine la batería del circuito, de modo que el circuito queda descrito por la resistencia y el inductor. Con ε=o la ecuación (2) resulta:

IR+L ∂I∂ t

=0

Reordenando esta ecuación e integrando:

∂ II

=−RL

∂ t luego∫Io

I ∂ II

=−RL ∫

0

t

∂ t

De la integración resulta:

ln ( II o )=−RL t o sea I=I o e

−t /τ

NOTA:

Una diferencia de este circuito RL con el circuito RC es que es inversamente proporcional a R, a pesar de ser similares.Si se quita el inductor, la corriente aumentaría o disminuiría inmediatamente a su valor máximo I=ε/R o igual a cero respectivamente.

Circuito LC (oscilador eléctrico):Es una situación ideal de oscilación electromagnético. Semejante al sistema masa-resorte. O sea, que la resistencia del circuito es R=0, es decir, no existe transferencia de energía en energía interna. Por lo cual no pierde energía y el proceso se mantendrá permanente. Este circuito está formado en serie por un interruptor abierto en el tiempo t<o, un inductor en el cual no pasa ninguna corriente en ese tiempo y un capacitor inicialmente cargado con una carga máxima Qmax. Como el

circuito no posee batería que provea una fem, la energía almacenada en el circuito proviene en uno o ambos componentes mencionados. En este caso, como se supone que el capacitor está cargado totalmente en t<0, la energía almacenada se encontrara en el campo eléctrico del capacitor que es igual a:

U E=12Q2

Cpara t<0

Mientras que la energía almacenada en el inductor es inicialmente cero, porque la corriente es igual a cero, por lo tanto:

U B=12LI 2 para t<0 lacorriente I=0

En el momento de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, el capacitor comienza a descargarse, disminuyendo la carga Q almacenada en el capacitor como también la energía almacenada del mismo. Esta energía es transferida al campo magnético que aparece alrededor del inductor debido a la corriente I=∂I/∂t que es igual a la razón de cambio de la carga del capacitor. En otras palabras, el campo eléctrico disminuye; el campo magnético se forma y aumente a medida que la corriente I=∂I/∂t aumenta desde 0; y por último la energía se transfiere del campo eléctrico del capacitor que disminuye al campo magnético del inductor que aumenta.

Cuando el capacitor este totalmente descargado, la energía almacenada será igual a cero. Entonces la corriente alanzará su valor máximo y la energía almacenada pasará completamente en el campo magnético del inductor esta será:

U B=12LI 2 para t→∞ lacorriente I=Imax yQ=0

La corriente continua en la misma dirección, disminuyendo en magnitud. Finalmente, el capacitor se cargará totalmente, pero con la polaridad invertida a la polaridad inicial y la energía almacenada regresar completamente al campo eléctrico del capacitor. Para así la corriente y la energía almacenada en el inductor vuelva a su estado inicial.

De esto se puede observar: Que en cada medio ciclo, la polaridad como el sentido de la corriente

cambian. La energía oscila entre el inductor y el capacitor. En los tiempos parciales entre t=0 y t=T/4 la energía U E=U B, como también

entre el t=1/2 y t=3/4. Si el sistema no presenta resistencia de ningún tipo, la energía no se disipa y

el proceso seguirá un ciclo respetivo. O sea, será permanente indefinidamente.

La energía total del circuito oscilante LC ideal que existe en cualquier instante de tiempo, está dada por:

U=UB+U E=12L I 2+ 1

2Q2

C=const . (t⟶∞ ) porquela R=0

(nohay transformacionde energia porefecto joule .)

Aunque Q e I varían con el tiempo.

Formalmente hablando ∂U∂t =0, por lo tanto la ecuación anterior resulta:

∂U∂t

= ∂∂t ( 12 L I 2+ 1

2Q2

C )=LI ∂ I∂ t

+QC

∂Q∂t

=0

Como la corriente I en el circuito es igual a la rapidez a la cual cambia la carga en el capacitor. En este caso:

I= ∂Q∂ t

y ∂ I∂ t

= ∂2Q∂t 2

Y al sustituir en la ecuación se obtiene:

L ∂Q∂t

∂2Q∂t 2

+QC

∂Q∂ t

=0⇒ L ∂2Q∂t 2

+QC

=0⇒ ∂2Q∂t2

+ 1LC

Q=0

Que tiene una solución similar a la ecuación del sistema masa resorte debido a su semejanza:

d2 xd t 2

+ Kmx=0 d

2 xd t 2

=−Km

x=−ω2 x

donde k es laconstante del resorte y ω=√K /m

Que describe la oscilación mecánica de una partícula en un resorte.Cuya solución es:

X=Acos (ωt+θ )

Donde A es la amplitud y ϕ es la constante de fases arbitraria. Puesto que q corresponde a x podemos escribir la solución para el oscilador LC ideal, por lo tanto:

Q=Qmaxcos (ωt+θ )

Donde Qmax es la carga máxima que puede almacenar el condensador C y ω es la frecuencia angular de las oscilaciones electromagnética.Se sabe que:

I=dQd t

= dd t (Qmaxcos (ωt+θ ) )=−ωQmax sen (ωt+θ )

Siguiendo derivando:

d2Qd t2

= dd t (−ωQmax sen (ωt+θ ) )=−ω2Qmaxcos (ωt+θ )

Sustituyendo en la ecuación de oscilación electromagnético RL ideal:

L ∂2Q∂t 2

+QC

=−Lω2Qmaxcos (ωt+θ )+ 1CQmaxcos (ωt+θ )=0

Luego,

(−Lω2+1C )(Qmaxcos (ωt+θ ))=0=¿(−Lω2+

1C )=0=¿ω=√ 1

LC

Donde ω es la frecuencia natural de oscilación del circuito LC.El ángulo de fase θ queda determinado con las condiciones iniciales para t=0. O sea I=0 y Q=Qmax, entonces:

I=∂Q∂ t

=−ωQmax sen (ωt+θ )=−ωQmax senθ=0

Lo que demuestra que θ=0, que también es consistente con la ecuación y con la condición de que Q=Qmax en t=0. Por lo tanto:

Q=Qmaxcos (ωt+θ )=Qmaxcos (ωt )=Qmaxdondecos (ωt )=1

Se muestra una gráfica de Q(t) e I(t) con sus correspondientes máximos y tiempos. De esto se observa que la corriente está 90º fuera de fase con la carga.La energía eléctrica almacenada en el circuito LC, y haciendo uso de las ecuaciones anteriores, la ecuación de la energía total resulta en:

U=UE+UB=12L Imax

2 sen2 (ωt )+ 12Qmax2

Ccos2 (ωt )

Se puede notar que las energías máximas son lo mismo, por lo que la suma es constante.

analogía con el sistema oscilatorio resorte-masa.El comportamiento de este sistema con el circuito oscilatorio LC son similares, donde la energía potencial 12 K x2 almacenada en el resorte estirado es análoga a la

energía potencial Qmax2

2C almacenada en el capacitor. La energía cinética 12mv2 del

bloque en movimiento es análoga a la energía mecánica 12 LI2 almacenada en el

inductor, que requiere la presencia de cargas en movimientos. Donde:

Q↔x I ↔v (velocidad ) ΔV ↔F (fuerza )

C↔1/K ( coif . resorte )L↔m (masa ) I= ∂Q∂t

↔v=∂x∂ t

∂ I∂ t

=∂2Q∂t 2

↔a= ∂ x∂t

=∂2 x∂t 2

(aceleracion )

Circuito RLC.Es un circuito LC con una resistencia que representa todas las resistencias del circuito. Semejante a un sistema masa-resorte amortiguado. Debido a este resistor, la energía electromagnética total U disminuye con el

tiempo, porque se convierte en energía interna dentro del resistor con una velocidad de I 2R. Entonces:

∂U∂t

=−I2 R

Donde el signo negativo nos indica que la energía U del circuito disminuye con el tiempo.Sustituyendo este resultado en la ecuación derivada de energía del circuito LC:

∂U∂t

=LI ∂ I∂t

+QC

∂Q∂ t

=−I 2R

Si se sustituye I por ∂Q /∂ t y ∂ I /∂t por ∂2Q /∂ t2y luego dividimos por I, se obtienes:

L ∂2Q∂t 2

+ ∂Q∂t

R+QC

=0circuito RLC

Que es la ecuación que describe la oscilación LC amortiguada, análoga a la ecuación mecánica:

m ∂2 x∂ t2

+ ∂ x∂t

b+Kx=0 sistema resorte−masa amortiguado

Donde R corresponde a b, el resto de las expresiones ya se establecieron sus respectivas analogías.La solución de la ecuación diferencial, para condición inicial en el cual la carga en el condensador es máxima, es:

Q=Qmaxe−R2L tcos (ω' t+θ )

Siendo:

ω '=√ω2−( R2L )

2

Donde ω’≪ω=1/√LC ( de laoscilacion noamortiguada ), pero en la mayoría de los casos ω’=ω con error despreciable.

Otras observaciones:

R≪√4 L/C, la frecuencia ω’ de oscilación amortiguada se acerca a la frecuencia de oscilador no amortiguado.

R≫1 las oscilaciones se amortiguan con mayor rapidez. Si el valor R>Rc=√4 L/C no se presentan oscilaciones. Se dice que un

sistema con R=R c esta críticamente amortiguado. Si R≫Rc (por exceso) se dice que el sistema está sobre amortiguado.

(grafica)