Unidad 6

Cálculo de máximos y mínimos

Objetivos

Al terminar la unidad, el alumno:

Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente.Usará la derivada para calcular los extremos locales de una función.Empleará la primera y segunda derivada para estudiar la concavidad

locales de una función.Usará los conceptos de extremos locales, así como de concavidad para resolver problemas en economía y en administración.

2

233

Matemáticas

Introducción

El problema fundamental asociado al uso de funciones para modelar problemas económicos consiste en calcular los valores de la variable independiente para los cuales la función toma un valor que se puede

considerar máximo o mínimo de la función en cierto contexto. Se resuelve este problema de optimización con el uso de la derivada de la función.

En esta unidad se desarrollan criterios basados en la primera y segunda

se estudian otros criterios que permiten determinar los intervalos donde la función crece, o decrece, su tipo de concavidad y los puntos donde la concavidad cambia, aspectos que son importantes para conocer el comportamiento de la función en su dominio.

6.1. Funciones crecientes y decrecientes

algunos valores de las variables x y y, que después se representan en un sistema

la función. Este método puede llevar a cometer algunos errores.Por ejemplo, los puntos (–1,0), (0,–1) y (1,0) son puntos de la función

y = (x+1)3(x–1). Con base en estos puntos se podría tentativamente conclui r que la gráf ica tiene la forma mostrada en la f igura 1b, pero de hecho, la forma verdadera es la mostrada en la f igura 1a.

1a. 1b.

Figura 6.1. Ambas curvas pasan por los puntos (–1,0), (0,–1) y (1,0).

234

Unidad 6

cuando se mira de izquierda a derecha, es decir, hasta qué punto la función decrece para comenzar a crecer, o sea, “ ir hacia arriba” . La derivada de la función suministra información en este sentido.

y = f (xObsérvese que conforme x aumenta (de izquierda a derecha) en el intervalo I1 entre a y b, los valores de y = f (x) también aumentan y la curva se levanta.

x1 y x2 son dos puntos cualquiera en I1, tales que x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2) y se dice que f es creciente en el intervalo I1.

Al contrario, en el intervalo I2, comprendido entre c y d, los valores de y decrecen a medida que x crece. Es decir, si x3 < x4, entonces f (x3) > f (x4) y se dice que f es decreciente en I2.

I1 I

2

f creciente f decreciente

Figura 6.2. Naturaleza creciente o decreciente de una función.

En general se tiene que:

x crece, y x aumenta.

Una función es creciente en el intervalo I si para dos números x1, x2 cualesquiera en I, tales que x

1< x

2, se tiene que f (x

1) < f (x

2).

Una función es decreciente en el intervalo I si para dos números x1, x2

cualesquiera en I, tales que x1< x2, se tiene que f (x1) > f (x2).

y

xa x x b c x x d

y = f (x)

2

235

Matemáticas

y x x1823

3

Figura 6.3. Naturaleza creciente y decreciente de y = 18x –23

x3.

crece y en dónde decrece, pero si sólo se tiene su expresión algebraica y lo que se quiere es precisamente saber en qué intervalos crece y en qué intervalos

el de la primera derivada .

del intervalo donde la función está creciendo y en otro donde la función está decreciendo, se puede ver que en el punto donde la curva está creciendo el ángulo que forma la recta tangente con el eje x es un ángulo agudo, lo que hace que la tangente de este ángulo sea positiva y por lo tanto la pendiente de la recta tangente también sea positiva.

Al contrario, en el punto donde la curva decrece, la recta tangente forma un ángulo obtuso con el eje positivo de las x y por lo tanto la pendiente de esta recta es negativa.

Figura 6.4a. f crece en x = c Figura 6.4b. f decrece en x = c

Decreciente Creciente Decreciente

236

Unidad 6

Como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es precisamente la derivada de la función en ese punto, se tiene el siguiente criterio:

Ejemplo 1

Aplicando el criterio de la primera derivada (1) ¿cuáles son los intervalos

donde la función f(x) = x2 crece, y cuáles donde decrece?

Solución: como la derivada de la función es f (x) = 2x se resuelven las desigualdades:

( )

( )

i

ii

2 0 0

2 0 0

x x

x x

x mayores que 0.

Por (i i) afirmamos que la función decrece para todos los valores de x menores que 0.

que es precisamente una parábola.

Figura 6.5. y = x2

Criterio de la primera derivada para localizar intervalos donde la función crece o decrece.Si f x a x b f a x b para entonces es creciente en ( ) ,0 Si f x a x b f a x b para entonces es decreciente en ( ) ,0 (1)

Si f (x) = 0 para a < x < b, entonces f es constante en a < x < b

2

237

Matemáticas

Observemos que cuando x = 0 la parábola ni crece ni decrece. A la izquierda de 0 la función viene decreciendo y a la derecha la función crece.

Ejemplo 2

¿Dónde crece y dónde decrece la función y x x1823

3 ?

Solución: siguiendo el criterio (1) derivamos la función y = 18 –2x2 e igualamos a cero.

18 – 2x2 = 0 x2 = 9 donde las soluciones son: x = 3 y x = –3

Marcamos estos valores sobre un segmento de recta

Tomamos un valor antes de –3, entre –3 y 3 y después de 3 evaluando la primera derivada.

f (–4) = 18 – 2(–4)2 = –14 como f < 0 la función es decreciente en (– , –3)f (0) = 18 – 2(0)2 = 18 como f > 0 la función es creciente en (–3, 3)f (4) = 18 – 2(4)2 = –14 como f < 0 la función es decreciente en (3, ). La

Ejercicio 1

decreciente o constante) en cada uno de los intervalos señalados.

1.

y

xx x x x x x x

–3 3

238

Unidad 6

2.

En los ejercicios 3 a 7 halla los intervalos donde la función dada es creciente o decreciente.

3. ( ) f x x x3 23

2

4. ( ) f x x x2 33 2

5. ( ) f x x2 5

6. f x x x( )12

4 2

7. f (x) = x4 – 8x2

8. Una empresa ha identificado que su ingreso mensual en pesos está dado por:

I(x) = 100x – x2 pesos. Determina los intervalos donde la función ingreso es creciente o

decreciente.

9. La utilidad de una fábrica por la producción y venta de x unidades de cierto artículo ha sido determinada por:

U(x) = 80x – x2 – 500 pesos.

Encuentra los intervalos donde la función de util idad es creciente y los intervalos donde es decreciente.

10. Una compañía de discos estima que el costo total semanal de producción de x discos es:

C(x) = 350 + 20x pesos.

Señala los intervalos donde la función de costo total es creciente y el intervalo donde es decreciente.

x

3

1

y

2

239

Matemáticas

6.2. Criterio de la primera derivada para obtener extremos locales

compleja que muestra algunas de las cosas que se deben conocer para poder

Figura 6.6.

Los máximos y mínimos locales o relativos se denominan extremos locales o extremos relativos de la función. Un máximo local o relativo en una función se presenta en un punto que es más alto que cualquier otro que esté cerca. Un mínimo local o relativo en una función se presenta en un punto que es más bajo que cualquier otro punto cercano.

x1, f (x1)) y (x3, f (x3)) un mínimo relativo en el punto (x4, f (x4)).

máximo absoluto o el mínimo absoluto de una función en un intervalo como el valor más grande o más pequeño de la función en ese intervalo, resulta que los extremos locales no siempre coinciden con estos valores. Por

de la función se da en el punto (x5, f (x5)), en tanto que su mínimo absoluto se da en (x2, f (x2)).

Los extremos locales de una función se conocen cuando sabemos los intervalos donde la función crece o decrece, porque los máximos relativos, tal

f(x)

xx x x x x(x2, f(x2))

(x1, f(x1))

(x3, f(x3))

(x4, f(x4))

(x5, f(x5))

240

Unidad 6

crecer y empieza a decrecer, y los mínimos relativos se dan en los puntos donde la función deja de decrecer y empieza a crecer.

Se sabe que una función es creciente cuando su primera derivada es positiva y es decreciente cuando la primera derivada es negativa, por lo tanto los únicos puntos donde la función puede tener extremos locales son aquellos donde la derivada es cero (si existe).

Por lo tanto, si la función tiene extremos locales, éstos se dan en los valores críticos. Por consiguiente, para determinar los extremos locales de una función basta conocer los valores críticos e interpretar el signo de la derivada antes y después del valor crítico. Concretamente, se tiene el siguiente algoritmo para localizar los extremos relativos de una función:

Obsérvese que el algoritmo anterior, además de hallar los extremos relativos, determina los intervalos donde la función crece o decrece.

Un valor c, en el dominio de f, se l lama valor crítico si f (c) = 0 o f (c) no existe.El punto (c, f (c)), que corresponde a un valor crítico, se denomina punto crítico .

Algoritmo para hallar los extremos locales (criteri o de la 1a derivada):

1. Se calcula la derivada de la función.2. Se encuentran los valores críticos resolviendo la ecuación f (x) = 0

o bien donde la derivada no existe.3. Se marcan los valores críticos en la recta numérica. En cada uno de los

intervalos creados por esos puntos, se toma un valor cualquiera y se halla el signo de la derivada en esos puntos.

4. Se observa el signo obtenido en el inciso anterior, antes y después del valor crítico, y se aplica el siguiente criterio: (i) Si los signos son (+) (–) se tiene un máximo local. (ii) Si los signos son (–) (+) se tiene un mínimo local. (iii) En los otros casos (+) (+) y (–) (–) no existe extremo local.

2

241

Matemáticas

Ejemplo 3

Determina los extremos locales de la función y = (x + 1)3(x –1) y esboza

Solución: seguimos los pasos dados por el criterio de la primera derivada para hallar extremos locales:

1. Como la función es un producto: f (x) = (x + 1)3(1) + (x – 1)3(x + 1)2(1) factorizamos ( ) ( )x x1 3 12 ( )

(

x

x

1

simplificamos 11 4 2

2

2) ( )x

factorizamos (( ) ( )x x1 2 12

2. Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación: f x

x x

x x

x x

( )

( ) ( )

,

0

2 1 2 1 0

1 0 2 1 0

1 1 2

2

3. Marcamos los puntos críticos sobre una recta:

Tomamos un valor en cada uno de los tres intervalos que quedaron determinados y hallamos el signo de la derivada:

A la izquierda de –1 tomamos, por ejemplo, el valor –2 que al evaluarla en la derivada de f es:

f (–2) = 2(–2 + 1)2(2(–2) –1) = –10

Es decir, su signo es –.

Entre –1 y 1

2 tomamos, por ejemplo, el 0 y calculamos la derivada en

este punto:

f (0) = 2(0 + 1)2(0 –1) = –2

Es decir, el signo es –.

1/2–1

242

Unidad 6

En el intervalo después de 1/2 escogemos, por ejemplo, el 1, cuya derivada es:

f (1) = 2(1 + 1)2(2 – 1) = 8

Es decir, el signo es +.

Colocamos toda esta información sobre la recta numérica:

4. En el valor crítico xningún extremo local. En el valor crítico xque existe un mínimo local en el punto (1/2, –27/16).

Figura 6.7. y = (x + 1)3(x – 1).

Ejemplo 4

Si y xx

41

, usemos el criterio de la primera derivada para encontrar

dónde se presentan los extremos relativos, dónde la función crece y dónde decrece.

Solución: realizamos los cuatro pasos que indica el algoritmo:

1. Escribimos la función en la forma y = x + 4(x + 1)–1 para obtener la derivada:

2

243

Matemáticas

y x

x 1 4 1 1

4

12

2( )

( )

yx

x

x x

x

x x

x

(

( (

( ((

)

) )

) )

)

1 4

1

2 3

1

3 1

1

2

2

2

2

2

2. Resolver y = 0 es equivalente a resolver (x + 3)(x – 1) = 0. Al resolver la ecuación anterior obtenemos que x = –3 y x = 1 son valores críticos. Los valores para los cuales la derivada no existe son los valores donde el denominador se anula, esto es, cuando (x + 1)2 = 0. Es decir, cuando x = –1. Como el valor –1 no pertenece al dominio de la función no puede ser un valor crítico con lo que los valores críticos de esta función son sólo los valores –3 y 1.

3. Marcamos los valores críticos en una recta y calculamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos que quedan determinados.

Como el denominador de la derivada es un cuadrado, su signo es siempre positivo, por lo tanto el signo de la derivada depende exclusivamente del signo del numerador (x + 3)(x – 1).

En el intervalo antes de –3 escogemos, por ejemplo, el valor – 4 y se tiene (– 4 + 3)(– 4 –1) = 5, por lo tanto tiene signo +.

Entre –3 y 1 seleccionamos 0 cuyo numerador es (0 + 3)(0 –1) = –3, es decir, tiene el signo –.

Para el intervalo después de 1, seleccionamos, por ejemplo, el 2 y se tiene (2 + 3)(2 –1) = 5, es decir, tiene signo +.

4.

De esta forma tenemos que los puntos críticos de esta función son los puntos (–3, –5) donde hay un máximo local y (1, 3) donde hay un mínimo local. Además la función decrece entre –3 y 1, y crece en los demás intervalos.

Plasmamos esta información sobre la recta numérica:

Creciente Decreciente Creciente

244

Unidad 6

Figura 6.8. y xx

41

Ejemplo 5

¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos

locales de la función f x x( )2

3 ?

Solución: tenemos que la derivada de la función es:

f '(x)=23

x–1/3

2

33 x

Cuando x = 0, f (x f(x) sí lo está. Así, 0 es un valor crítico y no hay ningún otro. Si x < 0, entonces f (x) < 0. Si x > 0, entonces f (x) > 0. Por lo tanto, se tiene un mínimo relativo, que también es absoluto en (0, 0).

Figura 6.9. y = x2/3

(–3, –5)

(1, 3)

(0, 0)

2

245

Matemáticas

Ejemplo 6

Encuentra los extremos relativos de la función y = f (x) = x2ex.

Solución: la derivada es f (x) = x2ex + ex(2x) = xex (x+2)

Como ex es distinto de cero, los únicos valores que anulan la derivada son 0 y –2.

tenemos:

Diagrama de signos para f (x) = xex(x + 2)

De este diagrama concluimos que en x = –2 existe un máximo relativo y en x = 0 un mínimo relativo.

Figura 6.10. y = x2ex

Ejercicio 2

En los ejercicios 1 a 7 encuentra los intervalos donde la función dada crece y donde decrece. Además encuentra los extremos locales de la función.

1. f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7

2. f (x) = x4 + 8x3 + 18x2

3. f (x) = (x – 1)

(0, 0)

(–2, 0.54)

246

Unidad 6

6.3. Criterio de la segunda derivadaAsí como el signo de la primera derivada tiene una relación directa con el

comportamiento de la función en el sentido de que si la derivada es positiva la función crece y si es negativa la función decrece, la segunda derivada proporciona también información, donde a través de su signo se puede describir la forma de la curva, esto es, su concavidad. Si una función tiene una segunda derivada f , ésta se puede util izar para determinar los intervalos de concavidad

hacia arriba si está sobre sus rectas tangentes, de igual forma, es cóncava hacia

Figura 6.11.

4. f (x) = x

x

2

2

5. f (x) = x3 – 3x2 – 24x + 32

6. f (x) = (x2 – 4)2/3

7. f (x) = xx32

2

8. Una organización no gubernamental de protección del ambiente ha estimado que la concentración de oxígeno en un estanque contaminado con un residuo orgánico está dada por:

f tt t

t( )

2

2

1

1 entre 0 t donde t es tiempo

Determina en qué tiempo se alcanza la concentración más baja de oxígeno.

P Q

a b ca

2

247

Matemáticas

Si una función es creciente en un intervalo, ésta puede tener cualquier tipo de concavidad, igualmente sucede con una función decreciente. En consecuencia, tenemos:

función creciente, como la derivada nos proporciona la pendiente de la recta

creciendo al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva.

función decreciente; aquí las pendientes de las rectas tangentes están decreciendo al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva.

Sea una función f derivable en un intervalo I f es: Cóncava hacia arriba si f es creciente en I. Cóncava hacia abajo si f es decreciente en I.

Como la f mide la razón de cambio de la pendientede la recta tangente a la curva de la función f ; entonces, si f > 0 en el intervalo I, las pendientes de las rectas tangentes de f crecen, por lo tanto, la función es cóncava hacia arriba en I. Si f < 0, las rectas tangentes decrecen y la función es cóncava hacia abajo en I. Se establece entonces el siguiente criterio para la prueba de concavidad:

Si f > 0 en el intervalo I, entonces f es cóncava hacia arriba en I. Si f < 0 en el intervalo I, entonces f es cóncava hacia abajo en I.

Ejemplo 7

Analicemos la concavidad de la parábola y = x2

Solución: calculamos la segunda derivada: como y = 2x, entonces y = 2 que es siempre posi tiva, l o que signi f i ca que la parábola es cóncava hacia arriba.

248

Unidad 6

Figura 6.12. y = x2

puntos P y Q6.11 cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en P, y de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en Q.

Los puntos P y Q

Ejemplo 8

Dada la función f x x x( )13

9 33 :

a) Analicemos su concavidad.

c) ¿Cuáles son los extremos locales?

Solución: la primera derivada de la función es: f (x) = x2 –9

La segunda derivada es f (x) = 2x

a) La concavidad es hacia arriba cuando la segunda derivada es positiva, es decir, cuando:

f (x) = 2x > 0, x > 0

La concavidad es hacia abajo cuando la segunda derivada es negativa, es decir, cuando:

f (x) = 2x < 0, x < 0

2

249

Matemáticas

f (x) = 2x = 0, x = 0

Luego en x

c) En los extremos locales la primera derivada se anula. Esto es:

f (x) = x2 – 9 x2 – 9 = 0 (x + 3) (x – 3) = 0 x = – 3, x = 3

Como la primera derivada en – 4 es positiva, en 0 es negativa y en 4 es

caracterizar los valores críticos:

En –3 se tiene (+) (–), luego en x = –3 hay un máximo; en 3 se pasa de (–) (+), luego en x = 3 hay un mínimo.

Figura 6.13. f x x x( )13

9 33

Intervalos de concavidad:

Para determinar los intervalos de concavidad uti l izamos el siguiente procedimiento:

1. Calcular f 2. Determinar los valores de x para los cuales f

Creciente Decreciente Creciente

+ +

250

Unidad 6

El criterio de la segunda derivada. Sea c un valor crítico de f, es decir, f (c) = 0 y f existe, entonces:

Si f (c) > 0, entonces f tiene un mínimo local en x = c. Si f (c) < 0, entonces f tiene un máximo local en x = c. Si f (c

y se utiliza el criterio de la primera derivada.

El algoritmo para hallar extremos locales aplicando el criterio de segunda. derivada es:

1. Calcular f .2. Igualar f a cero y determinar los valores para la variable en cuestión. Éstos son los valores críticos.3. Calcular f . Evaluar en f los valores críticos.4. De acuerdo con el signo de la f , se aplica el criterio.

Ejemplo 9Empleamos el criterio de la segunda derivada para localizar los máximos y

mínimos locales de la función f(x) = x4 – 2x2 + 3.

Solución: localicemos los valores críticos igualando la primera derivada de la función a 0:

f x x x

x x

x x x

'( )

( )

( ) ( )

4 4

4 1

4 1 1 0

3

2

Los puntos críticos son x = 0, x = 1, x = –1

3. Calcular el signo de f en cada uno de los intervalos hallados en el paso anterior. Es decir, se calcula f (c), donde c es cualquier punto de prueba conveniente en el intervalo.

4. Aplicar entonces el criterio:

Si f (c) > 0, f es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Si f (c) < 0, f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

local la concavidad de la curva es hacia abajo. En el punto donde existe un mínimo local la concavidad es hacia arriba.

La relación entre máximos locales y concavidad hacia abajo y mínimos locales y concavidad hacia arriba no es casualidad de la función del ejemplo 8, sino que es una situación general que se conoce como el criterio de la segunda derivada.

2

251

Matemáticas

Calculamos la segunda derivada f (x) = 12x2 – 4 = 4(3x2 – 1)Se sustituyen los puntos críticos para ver los signos y aplicar el criterio

de la segunda derivada. f (0) = – 4 < 0

Se deduce que el punto crítico en x = 0 es un máximo local. Como f ''(1) = 8 > 0 se concluye que el punto crítico x = 1 es un mínimo local. Finalmente, como f '' x = –1 es un mínimo local.

f

Figura 6.14. x4 – 2x2 + 3

Ejemplo 10

¿Dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función f (x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8? ¿Cuáles son los extremos relativos y los puntos de

Solución: la primera derivada es:

f x x x x

x x x

x x

'( )

( )

( )

4 24 36

4 6 9

4 3

3 2

2

2

El valor de f (x) = 0, cuando x = 0, x = –3. Como f (0) = –8 y f (–3) = 19, los puntos críticos son (0,–8) y (–3,19).

(–1, 2)

(0, 3)

(1, 2)

252

Unidad 6

La segunda derivada (que se calcula a partir de la forma no factorizada de la primera derivada) es:

f (x)=12x2+ 48x + 36 =12(x2+ 4x +3) = 12(x + 3) (x+1)

Al calcular la segunda derivada en los valores críticos 0 y –3 se obtiene: f

f

''

''

( )

( )

0 36 0

3 0

minimo en (0, 8)

punto de inflexion en (( 3,19)

Para determinar los intervalos de concavidad utilizamos el procedimiento e igualamos la segunda derivada a cero:

f (x) = 0 12x2 + 48x + 36 = 0 12(x + 3)(x + 1) = 0

resolviendo, tenemos que en x = –3 (obtenido anteriormente) y x = –1 f

son (–3, 19) y (–1, 3).

Por lo tanto los intervalos a analizar son:

i) (– , –3), si tomamos x = – 4, f (– 4) = 12(– 4 + 3)(– 4 + 1) = 36, como f (– 4) > 0,

entonces la función es concava hacia arriba en el intervalo indicado.

ii) (–3, –1), si tomamos x = –2, f (–2) = 12(–2 +3 )(–2 + 1) = – 12 como f (–2) < 0,

entonces la función es cóncava hacia abajo en el intervalo.

iii) (–1, ), si tomamos x = 0, f (0) = 12(0 + 3)(0 + 1) = 36, como f (0) > 0,

entonces la función es cóncava hacia arriba en el intervalo.

El análisis de crecimiento y decrecimiento (utilizamos criterio de primera derivada), así como de concavidad se resume en la tabla 1, en la cual observamos que se indica también el intervalo (0, ) pues en x = 0 existe un punto mínimo.

mínimo

2

253

Matemáticas

Tabla 6.1. Análisis del crecimiento y de la concavidad de la función f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 –8

Intervalo f '(x) f ''(x) Crecimiento o Concavidad de f decrecimiento de f(– , –3) – + Decreciente Cóncava hacia arriba(–3, –1) – – Decreciente Cóncava hacia abajo(–1, 0) – + Decreciente Cóncava hacia arriba(0, ) + + Creciente Cóncava hacia arriba

Figura 6.15. x4 + 8x3 +18x2 –8

Ejemplo 11

¿Dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función f (x) = x5 + 6? ¿Cuáles son los extremos relativos y los

Solución:

f x x

x

x

'( ) 5

5 0

0

4

4

Cuando x = 0, f (0) = 6, por lo que el punto crítico es (0,6). Calculamos ahora

la segunda derivada y evaluamos el valor crítico:

f (x) = 20x3,

254

Unidad 6

cuando x = 0, f (0) = 20(0)3 = 0, sabemos que si f = 0 existe un punto de

i) (– , 0), si tomamos x = –2, f (–2) = 20(–2)3 = –160, como f (–2) < 0, entonces la función es cóncava hacia abajo.

ii) (0, ), si tomamos x = 2, f (2) = 20(2)3 = 160, entonces la función es cóncava hacia arriba.

Se resume en la siguiente tabla: los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como el análisis de concavidad, siguiendo el procedimiento para determinar concavidad:

Intervalos f (x) f (x) Crecimiento o Concavidad decrecimiento de f de f

( – , 0) + – creciente cóncava hacia abajo

(0, ) + + creciente cóncava hacia arriba

Se concluye también que la función no tiene extremos relativos, siempre crece.

Figura 6.16. f (x) = x5 + 6

(0, 6)

2

255

Matemáticas

6.4. Máximos y mínimos absolutosEn la mayoría de los problemas de optimización que aparecen en la práctica,

el objetivo que se pretende es calcular el máximo absoluto o el mínimo absoluto de una función en cierto intervalo de valores.

El máximo absoluto de una función en un intervalo es el mayor valor de la función en ese intervalo. El mínimo absoluto es el menor valor de la función en ese intervalo.

El máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función, cuando existen, se presentan en los extremos locales o en los extremos del intervalo, razón por la cual sólo se requiere calcular los valores críticos de la función y calcular

Ejercicio 3

1. f xx

( ))(

6

32 es

cóncava hacia arriba o hacia abajo.

2. Calcula los puntos de inf lexión y determina la concavidad de f (x) = x4 + x3 –3x2 + 1

En los ejercicios 3 a 8 emplea el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos y los mínimos relativos de la función dada.

3. f (x) = 2x3 + 3x2 –12x

4. f (x) = –3x5 + 5x3 5. f (x) = x(2x – 3)2

6. f (x) = 10 – 4x3 + 3x4

7. f (x) = x2 – 4x + 3

8. f xx

x( )

2 92

En los ejercicios 9 y 10 determina dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función dada. Determina los extremos

9. f (x) = x2 – 6x + 1

10. f (x) = x3 – 3x2 + 2

256

Unidad 6

las imágenes de estos valores y las de los extremos de los intervalos donde se está trabajando, compararlos y tomar el mayor y el menor valor que corresponden al máximo y al mínimo absoluto. El siguiente ejemplo aclara el procedimiento.

Ejemplo 12

¿Cuál es el máximo y el mínimo absolutos de la función f (x) = x5 – 5x4 + 1 en el intervalo 0 x 5?

Solución: calculamos los valores críticos igualando la derivada de la función a 0:

f x x x

x x

'( )

( )

5 20

5 4 0

4 3

3

Los puntos críticos son x = 0, x = 4.Calculamos las imágenes en los valores críticos y en los extremos del

intervalo: f(0) = 1; f(4) = –255; f(5) = 1

Luego el máximo absoluto de la función en el intervalo dado, se da en x = 0 y x = 5 y es igual a 1. El mínimo absoluto se da en x = 4 y vale –255.

Figura 6.17. f (x) = x5 – 5x4 + 1.

(0, 1)

(4, –255)

(5, 1)

2

257

Matemáticas

Ejemplo 13

Localiza el máximo y el mínimo absolutos de la función f xx

( )( )

11 2

en el intervalo x 0

Solución: calculemos los valores críticos de la función. Reescribimos la función de la forma f (x) = (x + 1)–2 y calculamos su derivada:

f x

x'( )

( )

2

1 3

La derivada nunca se anula, pero no existe en x = –1, dado que el denominador se hace cero y además no es un punto del dominio de la función.

Como la derivada de la función para los valores considerados, x 0, es siempre negativa, se deduce que la función está siempre decreciendo, razón por la cual el máximo absoluto se presenta en x = 0 y vale f (0) = 1, y no existe mínimo absoluto.

Ejemplo 14

En cierta empresa el costo de la fabricación en pesos de x artículos está dado por la función C(x) = 7x2 – 42x + 63. ¿En qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad?

Solución: el costo medio de producción está dado por la función

C xx x

xx

xm( )7 42 63

7 42632

. Como la variable que determina el

número de artículos toma valores mayores que cero, para calcular el mínimo

absoluto de la función costo medio, calculamos su derivada C xxm ' ( ) 763

2 y

la igualamos a cero para obtener 7x2 = 63, por lo tanto x = 3. Como el signo de

la derivada es negativo antes de 3 y positivo después de 3 la función costo medio tiene un mínimo en 3, que es a su vez el mínimo absoluto de esta función. Por lo tanto, el costo medio mínimo se da cuando se han fabricado tres unidades y vale C

m(3) = 21 + 42 + 21 = 84 pesos por unidad.

Ejercicio 4

Determina el máximo y el mínimo absoluto de la función dada en el intervalo indicado en los siguientes cinco ejercicios:

258

Unidad 6

1. f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 en el intervalo –3 x 0.

2. f x x x x( ) 3 221

230 20 en el intervalo 1 x 6.

3. f x xx

( ) 2 16 en el intervalo x > 0.

4. f (x) = –2x3 –6x2 + 5 en el intervalo –3 x

5. f (x) = –x2/3 + 1 en el intervalo –1 x

6. En una fábrica se producen x unidades de lámparas, el costo total de fabricación es C(x) = 3x2 + 5x + 75 pesos. ¿En qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad?

7. La compañía Electrón ha encontrado que su ingreso total anual I(x) (expresado en miles de pesos) es una función del precio x (en pesos), dada por:

I(x) = –50x2 + 500x

a) Determina el precio que debe cobrarse para maximizar el ingreso total (lo que se busca es el máximo absoluto).

b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total anual?

Ejercicios resueltos1. Determina los intervalos donde la función dada es creciente y donde

es decreciente:

f x

x xx

( )2 3

1

Solución: calculamos la derivada de la función:

f x

x x x xx

'( )( )( ) ( )( )

( )1 2 3 3 1

1

2

2

x x

x

2

2

2 3

1( )

( )( )( )

x xx3 1

1 2

Como el denominador es siempre positivo, el signo de la derivada es el

mismo signo del numerador: (x + 3) (x – 1)

2

259

Matemáticas

Sobre un segmento de recta marcamos los valores en los cuales se anula el numerador: x = – 3, x = 1

Y calculamos el signo de la derivada para un valor antes de – 3, para un valor entre – 3 y 1, y para un valor después de 1. Concretamente tenemos que:

i) Signo f (– 4) = signo (– 4 + 3)(– 4 –1) = (–)(–) = + Como f (x) > 0 para x < –3, entonces la función es creciente en (– , – 3).

ii) Signo f (0) = signo (0 + 3)(0 –1) = (+)(–) = – Como f (x) < 0 para los valores x tales que –3 < x < 1, entonces la

función es decreciente en (– 3, 1).

iii) Signo f (2) = signo (2 + 3)(2 –1) = (+)(+) = + Como f (x) > 0 para x > 1 entonces f es creciente en el intervalo

(1, ).

2. En la siguiente función halla los extremos locales de g(x) = (x2 –9)2

con el criterio de la segunda derivada.

Solución : calculamos la derivada de la función:

g (x) = 2(x2 – 9)(2x)

y la igualamos a 0 para hallar los puntos críticos:

2 9 2 0

9 0 2 0

3 3 0 0

3 3 0

2

2

1 2

( )( )

( )( )

, ,

x x

x x

x x x

x x x

la función:

g x x x x''( ) ( ) ( )4 9 4 22

12 32( )x y calculamos su signo en cada uno de los valores críticos:

(i) g (x1) = g (–3) = 72 > 0(ii) g (x2) = g (3) = 72 > 0(iii) g (x3) = g (0) = –36 < 0

–4

3

0

1

2 valores para analizar

puntos criticos

260

Unidad 6

Aplicando el criterio de la segunda derivada, decimos que la función tiene valores mínimos relativos en x = – 3 y x = 3 con un valor g (–3) = g (3) = 0

A su vez tiene el máximo relativo en x = 0 con valor g (0) = 81

3. Encuentra el máximo y el mínimo absoluto (si existen) de la función

f x x x x x( ) ,10 24 15 3 1 16 5 4

Solución: como los valores absolutos de una función se dan en los extremos locales o en los extremos del intervalo, calculamos la derivada:

f (x) = 60x5 + 120x4 + 60x3

y la igualamos a cero para hallar los valores críticos:

60 2 1 0

0 2 1 1 0

0

1

3 2

3 2 2

1

2

x x x

x x x x

x

x

( )

( )

2

261

Matemáticas

Ahora calculamos las imágenes de los valores críticos y de los extremos del intervalo para obtener los valores absolutos:

f

f

f

( )

( )

( )

0 3

1 4

1 52

Por lo tanto el máximo absoluto de la función en el intervalo [–1, 1] es 52 y se da cuando x = 1; el mínimo absoluto es 3 y se da cuando x = 0.

4. El comité de campaña de cierto político que aspira a la gobernatura de una entidad del país realizó un estudio que indica que su candidatura después de t meses de iniciada su campaña tendrá el apoyo de:

V t t t t( ) ( )%129

6 63 1 0803 2 de los votantes para 0 t 12

Si la elección es el 2 de julio, ¿cuándo debería anunciar el político su candidatura si necesita más de 50% de los votos para ser electo?

Solución: se trata de hallar el máximo absoluto de la función V(t) en el intervalo 0 t 12, razón por la cual calculamos la derivada de la función:

V t t t'( ) ( )

1

293 12 632

y resolvemos la ecuación V (t) = 0:

129

3 12 63 0

4 21 0

7 3 0

7 3

2

2

( )

( )( )

t t

t t

t t

t t

Como t debe ser positivo, el único punto crítico que nos interesa analizar es t = 7.

Calculamos las imágenes de la función en los extremos del intervalo t = 0, t =12 y en el valor crítico t = 7:

V V V( ) % . %; ( ) . %; ( ) . %0

1 08029

37 24 12 33 52 7 50 76

262

Unidad 6

El porcentaje mayor lo alcanza en el 7º mes y es de 50.76% por lo que puede ganar la elección si lanza su candidatura el 2 de diciembre del año anterior.

Ejercicios propuestosPara las funciones siguientes encuentra los intervalos de crecimiento y

1. f (x) = 4 – 5x3 + 3x5

2. f (x) = x2(2x

3. f (x) = x2(2x2 – 3x – 12)

de la segunda derivada.4. f (x) = (x – 5)2

5. f (x) = 2 – 4x3 + x4

6. f (x) = 3 – 3x2 + x3

7. En una fábrica se ha hecho un estimativo donde el costo total de utilización

de sus instalaciones está dado por C x x x( ) 5 000 151

22 , donde x es el

número de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad?

En los ejercicios 8 y 9 encuentra el máximo y el mínimo absolutos (si existen) de la función dada en el intervalo indicado.

8. f x x x( )1

39 23 en el intervalo – 4 x 4

9. f x xx

( )1

en el intervalo x > 0

2

263

Matemáticas

Autoevaluación

1.

a) Positiva en (– , 1) y en (3, ) y negativa en (1, 3).b) Positiva en (– , 2) y negativa en (2, ).c) Negativa en (– , 2) y positiva en (2, ).d) Ninguna de las anteriores.

2.

a) Positiva en (– , 0) y en (2, ) y negativa en (0, 2).b) Negativa en (– , 0) y en (2, ) y positiva en (0, 2).c) Positiva en (– , –1), en (–2, 0) y en (2, ) y negativa en (–1, –2) y

en (0, 2).d) Ninguna de las anteriores.

y

x1 2 3

y

4 2 20 x

264

Unidad 6

3. Son puntos críticos de la función f(x)=x4 – 4x3+10:

a) x =10b) x = 0 y x=3c) x = –3d) Ninguno de los anteriores.

4. La segunda derivada de la función f (x) es positiva en (– , 0) y negativa en (0,

a) Creciente en (– , 0) y decreciente en (0, ).b) Cóncava hacia abajo en (– , 0) y hacia arriba en (0, ).c) Cóncava hacia arriba en (– , 0) y hacia abajo en (0, ).d) Ninguna de las anteriores.

5. Si f (x) no existe en x = 0, entonces:

a) En x = b) En x = 0 existe un punto máximo.c) En x = 0 existe un punto mínimo.d) No se puede concluir.

2

265

Matemáticas

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. En el intervalo (x1, x2) decreciente, (x2, x3) decreciente, (x3, x4) creciente, (x4, x5) constante, (x5, x6) creciente, (x6, x7), decreciente.

2. En (– , ) es creciente.

3. (

(

(

, )

, )

, )

0

0 1

1

f

f

f

es creciente.

esdecreciente.

escreciente.

4. ( , )

( , )

( , )

0

0 1

1

f

f

f

esdecreciente.

escreciente.

esdecreciente..

5. (

(

, )

, )

0

0

decreciente.

creciente.

6. (– , –1) f es decreciente. (–1, 0) f es creciente. (0, 1) f es decreciente. (1, ) f es creciente.

7. (– , –2) f es decreciente. (–2, 0) f es creciente. (0, 2) f es decreciente. (2, ) f es creciente.

8. I(x) es creciente si x < 50 y decreciente si x > 50.

9. U(x) creciente si x < 40 y decreciente si x > 40.

10. C(x) es creciente en (– , ).

266

Unidad 6

Ejercicio 2

1. (– , –2) f es creciente x = –2 máximo local. (–2, 1) f es decreciente (1, ) f es creciente x = 1 mínimo local.

2. (– , 0) f es decreciente x = 0 mínimo local. (0, ) f es creciente

3. (– , ) creciente No hay máximo ni mínimo local.

4. (– , 0) creciente (0, 4) decreciente x = 0 máximo local. (4, ) creciente x = 4 mínimo local.

(0, –8)

2

267

Matemáticas

5. (– , –2) creciente x = – 2 máximo local. (–2, 4) decreciente x = 4 mínimo local. (4, ) creciente

6. (– , –2) f es decreciente x = – 2 mínimo local. (–2, 0) f es creciente x = 2 mínimo local. (0, 2) f es decreciente x = 0 máximo local. (2, ) f es creciente

7. (– , 0) f es creciente x = 4 mínimo local. (0, 4) f es decreciente (4, ) f es creciente.

8. En t = 1 se hace mínima.

(–2, 0) (2, 0)

(0, 2.27)

(4, 2)

268

Unidad 6

Ejercicio 3

1. (

(

, )

, )

0

0

concava hacia arriba.

concava hacia abajo.

2. (

( )

( )

, )

,

,

1

1 1 2

1 2

concava hacia arriba.

concava haciaabajo.

cooncava hacia arriba.

x = –1 x = 1

2

3. Es mínimo relativo en x = 1 Es máximo relativo en x = –2

4. Es mínimo relativo en x = –1 Es máximo relativo en x = 1

5. Es mínimo relativo en x = 3

2

Es máximo relativo en x = 1

2

(–2, 13)

(1, –14)

2

269

Matemáticas

6. Máximo relativo en x = 1

7. Mínimo relativo en x = 2

8. Mínimo relativo en x = 3 Máximo relativo en x = –3

9. (

(

, )

, ) .

3

3

f

f f

esdecreciente.

es creciente es concavahaciaarrriba

Hay un minimo relativo en

.

x 3

(3, –8)

(–3, –3)

(3, 3)

270

Unidad 6

10. , )

, )

(

(

es creciente y concava hacia abajo.

es dec

0

0 1

f

f rreciente y concava hacia abajo.

es decreciente yconc( , )1 2 f aava hacia arriba.

(2, escreciente y concava h) f aacia arriba.

hay punto de inflexion.

x

x

1

0 mmaximo relativo.

minimo relativo.x 2

Ejercicio 4

1. x = –2 máximo absoluto. x = 1 mínimo absoluto.

2. x = 2 máximo absoluto. x = 5 mínimo absoluto.

3. x = 2 mínimo absoluto.

4. x = –2 mínimo absoluto. x = 0 máximo absoluto.

(0, 2)(1, 0)

(2, –2)

2

271

Matemáticas

5. x = 8 mínimo absoluto

6. Al producir 5 lámparas.

7. a) El precio máximo es de $5.00. b) El ingreso máximo total anual es de $1 250.00.

(0, 5)

(–2, –3)

(8, –3)

272

Unidad 6

Respuestas a los ejercicios propuestos1. (– , –1) creciente x (–1, 1) decreciente x = 1 mínimo. (1, ) creciente x = –1 máximo.

2. (– , 0) creciente x = 0 máximo.

(0, 3) decreciente x = 3

2 (3, ) creciente x = 3 mínimo.

3. (– , –1.26) decreciente. (–1.26, 0) creciente. (0, ) decreciente.

(2.38, ) creciente. x = –1.26 mínimo. x = 0 máximo. x = 2.38 mínimo. x x

32

272

,

(0, 0)

(3, –27)

2

273

Matemáticas

4. x = 5 mínimo.

5. x = 3 mínimo.

6. x = 0 máximo. x = 2 mínimo.

7. Cuando se producen 100 unidades.

8. x = 3 mínimo absoluto. x = –3 máximo absoluto.

9. x = 1 mínimo absoluto.

Respuestas a la autoevaluación1. c)2. a)3. b)4. c)5. d)

(3, –27)