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Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Santa Fe Departamento Electrotecnia rea Sistemas de Potencia

GENERACIN, TRANSMISIN Y DISTRIBUCIN

DE LA ENERGA ELCTRICA

Plan de Estudios 2005 Quinto ao Ing. Elctrica

Apuntes de la Unidad 4:

Clculo Mecnico de Lneas de Transmisin

Profesor: Dr. Ing. Walter F. Gimnez

JTP: Ing. Elvio Cherri e Ing. Irene Steinmann

Santa Fe, Junio 2009

Generacin, Transmisin y Distribucin de la Energa Elctrica. Unidad 4

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1.- INTRODUCCIN Una lnea area es el conjunto de una instalacin ejecutada para la transmisin area de energa elctrica, formada por soportes y los elementos de conduccin. Los soportes comprenden los postes, sus fundaciones y la puesta a tierra. Los elementos de conduccin comprenden los conductores areos y los aisladores con los respectivos accesorios. Los postes son parte de los soportes y estn constituidos por:

9 Fuste 9 Soporte del cable de guarda 9 Travesao.

Los postes de las lneas areas tienen las funciones siguientes:

9 Postes de suspensin: soportan los conductores en tramos rectilneos. 9 Postes de suspensin angular: cumplen la funcin de los postes de suspensin en puntos de quiebre

de la lnea. 9 Postes angulares: toman la resultante de las fuerzas de traccin de los conductores en los puntos de

quiebre de la lnea. 9 Postes de retencin y postes de retencin angular: resisten las fuerzas de traccin de los

conductores en la direccin de la lnea o bien en la direccin de la resultante total de los tiros y son puntos fijos complementarios de la lnea.

9 Postes terminales: resisten las fuerzas totales de traccin unilateral de los conductores. 9 Postes especiales: cumplen una o ms de las funciones mencionadas anteriormente. 9 Postes arriendados: utilizan riendas para lograr la estabilidad del fuste. 9 Carga til de un poste: es el tiro total admisible, actuante horizontalmente en la cima del poste,

excluida la carga del viento actuante sobre el poste referida a la cima del mismo. [10] 9 Tiros en alto o hacia abajo: son las componentes de las tracciones de los conductores que aparecen

debido a la diferente altura de los puntos de apoyo de los mismos. Actan en la direccin y en el sentido del peso propio del conductor o bien en el sentido opuesto.

9 Cargas adicionales: incluyen las cargas sobre los conductores, aisladores y balizas para radar, debidas al hielo, escarcha y nieve. A lo largo del conductor se asumen uniformemente distribuidas en cada vano.

9 Longitud del vano: es la distancia horizontal entre dos puntos de apoyo consecutivos. (Para la determinacin de la distancia horizontal entre puntos de apoyo de un conductor se debe tener en cuenta en determinados casos el ngulo que forma el travesao).

9 Vano de viento (vano elico, o eolovano) de un poste: es el promedio aritmtico de las longitudes de ambos vanos adyacentes.

9 El equipamiento de un poste: comprende todas aquellas partes que no pertenecen a la estructura del poste o al conductor. Incluye los aisladores y morsetera.

El transporte de la energa elctrica desde los centros de generacin a los centros de consumo se realiza mediante el empleo de cables aislados subterrneos o mediante conductores desnudos en lneas areas. En ambos casos el dimensionamiento est regido por factores elctricos y de sobreelevacin de la temperatura, pero para el clculo de los conductores de lneas areas entra en consideracin, adems, el diseo mecnico, en cuanto al clculo de las tensiones mecnicas a que estarn sometidos por su propio peso, por la accin del viento y por la carga del hielo. Las tensiones mecnicas en los conductores de lneas areas, estn limitadas, entre otras razones, por el problema de la eventual fatiga del material por la presencia de vibraciones en los mismos por accin de brisas relativamente suaves, por las flechas que (de resultar excesivas) encarecern la instalacin por el mayor costo de cada uno de los soportes o torres de suspensin (dado que habra que darles mayor altura) y sus respectivas fundaciones.


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En la prctica, en base a experiencias recogidas de lneas areas de transmisin de energa elctrica existentes, para cada tipo de conductores para evitar las eventuales averas que en caso contrario se podran producir en tales electroductos. A tal efecto, para los trabajos prcticos de clculo mecnico de conductores, se utilizarn:

9 Anexo I de la Especificacin Tcnica GC-IE-T-N 1, de la ex Agua y Energa, para lneas areas de transmisin.

9 Reglamento Tcnico y Normas Generales para el Proyecto y Ejecucin de Obras de Electrificacin Rural de la Secretara de Energa, para redes de electrificacin rural.

A continuacin nos ocuparemos de analizar mecnicamente el comportamiento de los conductores para lneas elctricas areas, y cmo encarar los clculos de las tensiones mecnicas y flechas de los mismos. 2.- CLCULO MECNICO DE CONDUCTORES 2.1.- CLCULO DE UN CABLE SUSPENDIDO LIBREMENTE ENTRE DOS PUNTOS FIJOS UBICADOS A IGUAL NIVEL Supongamos la situacin simple de tener suspendido un cable flexible entre dos puntos fijos, pero que las vinculaciones del cable a los puntos fijos, sean de articulacin libre. Los cables conductores pueden, con buena aproximacin, asimilarse a hilos extensibles, elsticos y dilatables por el calor. La dinmica de estos sistemas, a parte de no estar completamente estudiada, exige desarrollos matemticos muy complicados. En virtud de tal circunstancia, nos limitaremos a dar una somera idea de los fenmenos dinmicos en las lneas. No conviene olvidar la gran importancia que estos fenmenos tienen en la vida de las lneas, ya que dan lugar a esfuerzos superiores a los estticos a que se hallan sometidos, conductores, ataduras, y soportes y tambin a fenmenos de fatiga. Por el contrario, la esttica de la lnea es bastante simple y permite ciertas aproximaciones que no por ser bastante cmodas, resultan menos vlidas. Despreciamos por ejemplo la resistencia del cable a flexin y consideramos cada conductor como un hilo perfectamente flexible, extensible, elstico y dilatable. Dicho conductor, se encuentra sometido a los siguientes esfuerzos:

9 Su peso propio. 9 Su tensin mecnica. 9 Sobrecargas eventuales debidas a la accin del viento o del hielo. 9 Vibraciones. 9 Variaciones de temperatura

Hemos de sealar, que si bien la flexin del cable es despreciable en la mayor parte del vano, tiene sin embargo gran importancia en las proximidades de los puntos de sujecin del conductor. Dado que existe gran incertidumbre sobre las propiedades del cable en este sentido, la solucin del problema se basa en hechos puramente experimentales. Se puede incluso demostrar que la extensibilidad del cable no tiene gran inters mientras no se trate de determinar ms que la forma tomada por ste (y no los esfuerzos de los que es objeto) por lo que asimilaremos el cable, en nuestro estudio geomtrico, a un hilo pesado, inextensible y perfectamente flexible. 2.1.1. GEOMETRA DEL VANO La forma que toma un hilo perfectamente flexible, inextensible, sometido a un campo de fuerzas uniforme (fuerzas constante en magnitud y direccin, en todo punto del espacio), tendido entre dos puntos A y B es una catenaria situada en el plano definido por los dos puntos A y B y la direccin comn de las fuerzas del campo. Adoptaremos la distancia horizontal entre los dos puntos fijos equivalente a la longitud de un vano, es decir, ser la distancia a entre dos soportes normales.


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Fig.1: Conductor suspendido desde dos puntos de amarre a un mismo nivel

Siendo: A = Punto de sujecin izquierdo

B = Punto de sujecin derecho a = Distancia horizontal entre los puntos A y B h = Altura del punto en estudio dl = Elemento diferencial de longitud F = Fuerza actuante en un extremo del diferencial F+dF = Fuerzas actuantes en el otro extremo G.dl = Peso del elemento diferencial

Al analizar el comportamiento del conductor, podemos limitarnos a tomar un elemento infinitesimal dl en un punto del conductor y estudiar su comportamiento. Separando ficticiamente el segmento dl de la cuerda, y para mantener el equilibrio, debemos incluir dos fuerzas (tensiones en los extremos M y M, no mostrados en la figura), tal como se indica en la figura siguiente.

Fig. 2: Conductor suspendido desde dos puntos de amarre a un mismo nivel

Si nos propusiramos aislar ficticiamente el segmento dl de la cuerda, para mantener el equilibrio, debemos imaginar incluidas dos fuerzas F y F + dF, tal como se indic en la figura 1. En la figura 2 se puede observar la existencia de tres fuerzas, las dos anteriores ms G dL que representa al peso del elemento diferencial. Descomponiendo estas fuerzas segn los ejes coordenados, tendremos las componentes sobre ambas direcciones. Para que el sistema de fuerzas permanezca en equilibrio, la sumatoria de las proyecciones sobre el eje X de abscisas debe ser nula:

( )dH+H + H - = 0 = xC luego queda:

0 = dH Es decir, se ha demostrado que el valor de H es constante a todo lo largo del vano a de la cuerda bajo estudio.


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La sumatoria de las proyecciones de la fuerzas sobre el eje Y, tambin debe ser nula para que el sistema sea equilibrado:

( ) dl .G - dV+V + V - = 0 = yC dl .G - dV = 0

es decir: dl .G = dV (1)

Fig. 3: Descomposicin del elemento diferencial de longitud de conductor.

Considerando el tringulo rectngulo de la figura 3, tenemos:

dy + dx = 22dl multiplicando y dividiendo el miembro de la derecha de la expresin anterior por dx, resulta:

dx . dxdy + 1 = 2

2

dl

Haciendo:

22

2

y = dxdy

Luego:

dx . y + 1 = dl 2 Introduciendo este valor de dl en la expresin (1), nos queda:

dx . y + 1 .G = 2dV y + 1 .G = 2

dxdV

(2)

Como la derivada de la componente vertical de la fuerza con respecto a X en cualquier punto de la cuerda, es igual a la tangente a sta en el punto en estudio, con la ayuda de la figura 3, se tiene:

HV = tg=

dxdy = y

dxdy . H = V

Si derivamos la expresin anterior con respecto a X, resulta:

d . H = dxdV

2

2

dxy

(3)

Igualando los segundos miembros de las expresiones (2) y (3), se tiene:

22

2

y + 1 .G = d . H dxy

2

22 d .

GH = y + 1

dxy


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Por razones de simplicidad, que ms adelante explicaremos, hacemos:

m =

mkgkgh =

GH (4)

El valor de h es la relacin entre la componente horizontal de la fuerza H sobre el punto del conductor elegido para el estudio y el peso propio del cable G por metro de longitud. Introduciendo h en la ecuacin (T 2.12), se tiene:

y + 1 = y .h 2 (5) Si transitoriamente hacemos:

z = y su derivada es:

dxdz = y

y su elevacin al cuadrado es: 22 z = y

As, la ecuacin (5) nos queda:

z + 1 = dxdz .h 2

operando:

hdx =

z + 1 2dz

integrando esta expresin:

z + 1

dz = 2 hdx

C + (z)h sen arc = hx (6)

recordando que:

dxdy = z = y

De la figura 4, deducimos que:

0 = C 0 = dxdy = z 0 = x para

luego, la (6) queda:

(z)h sen arc = hx

entonces:

hx sen = z

h Como,

y = z

hx sen =

dxdy

h

dx . hx sen =dy

h Integrando la anterior:


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1C + hxh cosh =y

(7) Se puede escribir:

2e + e =

hxh cos

hx-x

h para X = 0 :

( ) 1 = 2

1 + 1 = 0h cos

Si por razones de comodidad, hacemos: = y 0 = x para 0 h

entonces la constante de integracin C1 ser nula.

Fig. 4: Conductor suspendido desde puntos de amarre al mismo nivel.

Finalmente, la expresin (7) queda:

hxh cosh =y

[m] (8) Es decir que, una cuerda pesada, flexible, inextensible, colgada entre dos puntos a un mismo nivel toma la forma de la catenaria, segn la ecuacin anterior. Nota: y0 = h es una ordenada al origen cmoda, que no tiene un significado fsico real. No confundir con la altura

libre del conductor con respecto al nivel natural del terreno. En definitiva, h es la altura del vrtice de la catenaria con respecto al origen de coordenadas. (Fsicamente, el origen de coordenada as definido siempre queda muy por debajo del nivel del terreno).

Fig. 5: Ilustracin sobre el concepto de h .

ALGUNAS DEFINICIONES:


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Fig. 6: ngulo max en el punto de amarre.

Sea B (Figura 6) el punto de amarre del conductor a la cadena de aisladores. En ese punto, la fuerza a la que se encuentra sometido el conductor, vale FB. Luego, en el vrtice de la catenaria (en el centro del vano para el caso de puntos de amarre ubicados al mismo nivel), la fuerza sobre el conductor se puede expresar con suficiente aproximacin:

maxB cos . F = VFH = (9) donde max es el ngulo que forma H y FB en el punto de amarre B. Notar que max es un ngulo que vara desde cero, en el vrtice de la catenaria, hasta max en cualquiera de los dos puntos de amarre al mismo nivel. Como max es muy pequeo, con mucha aproximacin se puede considerar:

1 cos cos max (10) Ahora definimos a la tensin mecnica del conductor, en general, como la relacin: [ ][ ]22 mm S kg F mmkg =p (11) donde: P = tensin mecnica en el conductor, en kg/mm2

F = fuerza total sobre el conductor, en kg S = seccin transversal del conductor, en. mm2

Pero introduciendo los valores (9) y (10) en (11), se tiene:

= 2V mmkg

SF

SH p

y la ecuacin (4) se puede modificar de la siguiente manera:

[ ][ ][ ]

[ ] mm S mkgG

Skg F

= GF

GH m

2

2V

V

==mmh (12)

Definimos como carga especfica del conductor, a la relacin:

[ ]22 mm SkgG

mm . mkg g

=

m

Es decir, G es el peso del conductor por unidad de longitud y por unidad de seccin transversal.

[ ][ ][ ]

[ ] mm S mkgG

Skg F

= GF

GH m

2

2V

V

==mmh


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Finalmente, la ecuacin (12) se puede expresar:

[ ]

2

2

mm . mkg g

p h mm

kg

m

Ejemplo 1: Clculo prctico de h. La tensin mecnica de los conductores ms utilizados en la construccin de lneas de transmisin, suele ser:

mmkg 25 p 2cu y mm

kg 10 p 2al El peso del conductor por unidad de seccin y por metro de longitud, de acuerdo a catlogos de fabricantes de cables, vale:

mm.mkg 0,01 g 2cu y mm.m

kg 0,003 g 2al Luego:

m 500 2

mm . mkg 01,0

mmkg 25

h2

2

cu y m 333 3 mm.mkg 003,0

mmkg 10

h2

2

al

Ejemplo 2: Simplificacin de la ecuacin (8). Dado que los vanos constructivos de las lneas areas de transmisin quedan comprendido normalmente entre 100 y 300 m, podemos efectuar el siguiente razonamiento prctico:

m 150 ... 50 2a =x

tomando un vano promedio del orden de 200 m:

333 0,033 m0003

m 100 x h

Si retornamos a la ecuacin de la catenaria (8):

hxh cosh =y

[m] y desarrollamos la funcin coseno hiperblico en serie de potencias:

( ) ... + !.2hx

+ ... + !6

hx

+ !4

hx

+ !2

hx

+ 1 = hxh cos

.2642

n

n

considerando que:

1 6! . h

x 1 4! . h

x 1 hx 6

6

4

4

es lgico suponer que los trminos superiores sern mucho menores todava, por lo tanto podemos despreciar los trminos superiores, a partir del tercero (que est elevado a la cuarta potencia) quedando reducida la ecuacin (8) a:

2! . h

x + 1 hxh cos 2

2

Entonces, la ecuacin de la catenaria, se puede reducir a:

2! . h

x + 1 .h =y 22

[m]

o bien: h.2

x +h =y 2

[m]


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que es la ecuacin de una parbola. Siendo h la distancia vertical entre el punto ms bajo de la cuerda (siempre y cuando los puntos de amarre estn al mismo nivel) o vrtice de la catenaria y el eje de abscisas, resulta que la flecha de la cuerda (figura 5) ser:

h - h . 2

x +h =h -y = f2

[m]

h - h.2

x +h =h -y = f2

[m]

h.2

x = f2

[m]

Este es el valor de la flecha f para cualquier punto de la parbola. Para el caso particular (que es el que interesa en la mayora de los casos prcticos) del vrtice de la parbola (siempre y cuando los puntos de amarre estn al mismo nivel) resulta:

2a =x max [m]

h.2

x +h = y max2

max [m]

h - h.2

x +h =h - y = f max2

maxmax [m]

h.2

x =h - y = f max2

maxmax [m]

h.2

2a

= f

2

max

[m]

h.8

= f2

maxa

[m]

pero como:

g

h p [m] para la flecha mxima ser:

. 8

g . a = f2

max p [m]

2.1.2.- EVALUACIN DE LA TENSIN MECNICA A LO LARGO DEL CONDUCTOR: La tensin mecnica en una cuerda vara a lo largo del vano, de punto en punto, siendo menor en magnitud cuando su direccin es paralela al eje de abscisas, y aumentar a medida que aumenta el ngulo (figura 6).

SF = p

Como:

pp = cos H

despejando: cos . p = pH

Por otra parte se tiene la igualdad

cos = cos 2 con lo cual


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cos

p = cos

p = p2

HH

Como:

1 = sen + cos 22 y tg=

cos 2

2

2sen

entonces

1 + tg . p = cos

sen + cos . p = cos

1 . p = p 2H222

H2H

pero: 2

2

dxdy =

tg

as que

1 + dxdy . p = 1 + tg . p = p

2

H2

H

(13)

recordando que 2.hx +h =

2

y es la ecuacin de la parbola, si derivamos esta ecuacin:

hx =

2.h2.x =

dxdy

elevando al cuadrado y reemplazando este valor en la expresin (13):

1 + hx . p =

2

H

p (14) Como ya se analiz:

1 hx 1

hx

2

entonces p = ph Ejemplo 3: Segn lo ya visto, para el aluminio, con vanos del orden de 200 m:

2adm mmkg 10 =p

Al

y ( ) 2Al m.mm

kg 0,003 g entonces

( )m 333 3

m.mmkg0,003

mmkg10

g

p=h

2

2

Al

adm Al ==

Si x = 100 m, entonces

0,030m3333

m 100=hx

reemplazando valores en la ecuacin (14), se tiene:

( ) 0004498,1.p1 + 0,003 . p = p H2H = Es decir que, al suponer p ph se comete un error de aproximadamente:

0,04495%=1001,0004498

1,0004498 - 1,000 y por consiguiente F H, o bien: p ph Ejemplo 4: Calcular el error aproximado que se comete al considerar p ph durante el proyecto de una lnea area de 500 kV, que se prev construir con un vano de 500 m con lo cual x = 250 m. As:


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0,075m3333

m 250=hx

reemplazando valores en la ecuacin (14) se tiene:

( ) 0028901,1.p1 + 0,075 . p = p H2H = Es decir que, al suponer p ph se comete un error de aproximadamente:

0,18012%=1001,0028901

1,0028901 - 1,000 2.2.- CLCULO DE UN CABLE SUSPENDIDO LIBREMENTE ENTRE DOS PUNTOS FIJOS UBICADOS A DISTINTO NIVEL Tenemos a menudo el caso de que los dos puntos fijos de suspensin de la cuerda estn a distintos niveles siendo h la diferencia de nivel entre los puntos de amarre superior e inferior B y A.

Fig. 7: Cuerda suspendida de dos puntos fijos a distintos niveles.

Resulta as que, prolongando el arco de la parbola (o catenaria), desde el punto A hasta el C que se encuentra al mismo nivel de B, estaremos en presencia del arco CAVB que es el estudiado anteriormente, simplemente corresponde a un vano ficticio a1. En estas condiciones tambin tendremos la flecha ficticia f, . Aclaremos que el punto A que puede estar ubicado a la izquierda, en el mismo punto V o a su derecha; todo depende de como est posicionado el punto A con respecto al B. Utilizaremos el ndice (primo) para todo lo ficticio y sin subndice para lo imaginario As, la flecha f, vale:

8.haf

21=

y como:

gp=h

entonces queda:


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8.pg.af

21=

De la figura anterior, se tiene que: m . 2a1 = y nma += (15)

entonces si se reemplaza queda: ( )

8.p.g4.m=

2.h.g2.mf

22

= o bien:

2.hmf

2

= (16) Por otra parte, la flecha correspondiente a la parbola AVD es:

( )2.h

m-af2

1 = (17) De la figura anterior, se tiene la siguiente relacin:

1f-f=h Introduciendo 16 y 17 en la anterior queda

2.hm2.a.ma-

2.hm=h

222 + operando

222 m2.a.mam=h.2.h + reordenando

2.a.m=h.2.h+a 2 queda:

2.ah2.h.a=m

2 + (18)

De 15 se puede decir que:

m-a=n entonces incorporando 18 queda:

2.ah2.h.a-a=n

2 +

operando

2.ah.2.ha2.a=n

22

se llega al valor:

2.ah.2.ha=n

2 (19)

2.2.1.- ANLISIS DE LA FLECHA En la figura 8, resulta:

cos.a=a 2

cos.ah= tg

2

ah= tg

siendo a2 la distancia entre los puntos de amarre A y B.


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Fig. 8: Concepto de flecha inclinada.

A partir de la figura anterior, se puede escribir que la diferencia entre las alturas de suspensin del cable es:

AB yy=h As, aplicando la ecuacin de la parbola para determinar la diferencia de altura h queda:

2

2

2

2

2.h2a-m

+1h.- 2.h

2a+m

+1h.=h

Operando

h.2

2a-m - 2.h -

2am 2.h .h

=h 2

22

22

++

Simplificando y reagrupando

2a-m -

2am .

2.h1 =h

22

+

Desarrollando los cuadrados

4

a - 2a . m . 2 m -

4a

2a.m2. m .

2.h1 =h

22

22

+++

simplificando entonces obtenemos la diferencia de altura que se buscaba:

ha . m a . m . 2 .

2.h1 =h

= (20) Ahora buscamos la flecha vertical en el centro del vano real que en la figura 9 es f , as que:

JB y - 2h - y =f

Introduciendo nuevamente la ecuacin de una parbola para determinar la altura de los puntos B y j, se tiene:

+

++ 2

2

2

2

2.hm 1 .h -

2h -

2.h2am

1 .h =f

Operando y reagrupando


15 / 26

+

+++

2

22

2

222

2.hm 2.h .h -

2h -

2.h4

a .am m 2.h .h =f

Operando y reagrupando nuevamente

2h -

2.h

m - 2.h - 4

a .am m 2.h =f

222

22 +++ simplificando queda

2h -

8.ha

2.h.am =f

2 + Ahora si recordamos (20):

2.ha . m

2h =

entonces se tiene

8.ha

2h -

8.ha

2h =f

22

=+ y como:

gp h =

se llega a que la flecha real vertical es:

p . 8g . a f

2

= Recordando que la relacin entre la flecha real inclinada y la real vertical segn la figura 7 es:

cos . f =f se tiene que, la flecha real inclinada es

cos . p . 8g . a =f

2

Se puede establecer como recomendacin que el campo de aplicacin de las distintas expresiones para obtener exactitudes razonables es el que se detalla a continuacin:

a = 0 ... 1000 m ecuacion de la parabola & & a = 1000 ... 2000 m ecuacion de la catenaria &

a 2000 m ecuacion de la cuerda elastica & & 2.2.2.- LONGITUD DEL CONDUCTOR

Fig. 9: Elemento dl de longitud de conductor.

En general la longitud del conductor en un vano ser calculada de la siguiente manera:

.dxdxdy1dydx = dl

222

+=+

pero:

hx =

dxdy

entonces


16 / 26

21

2

hx+1dx.= dl

(21)

Recordando el desarrollo segn el binomio de Newton y siendo a = 1 y b = x/h, queda:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ......+.b.a3!

2n1-nn+.b.a2!

1-nn+.bn.a+a=b+a 33-n22-n1-nnn

e rescribiendo 21 queda:

+

+

...hx..1

2!

121.

21

hx..1

21+1dx.=dl

2222121

21

21

Si despreciamos, por ser muy pequeos, los trminos de orden superior, entonces la anterior se reduce a:

+

...

hx..1

21+1dx.=dl

22

1-21

y recordando que:

gp=h

entonces

.dx ... hg..1

21+1=dl

22

1-21

+

Integrando a todo lo largo del vano:

[ ] 2a

2a

32

2a

2a

2a+

2a-

22

2a+

2a-

L

0 3x.

pg.

21x.dx

pg..x

21 + dx=dl

+

+

+=

operando y reagrupando

2a+

2a-

23

pg.

23x

2a

2a=L

+

+

332

2a--

2a

pg.

61a=L

+

8a+

8a

pg.

61a=L

332

4a.

pg.

61a=L

32

+

se llega a que 23

pg.

24a+a=L

(22)

que no es otra cosa que la longitud de la parbola entre los puntos de amarre A y B:

+

2

2411a=L

ha


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2.3.- ECUACIN DE ESTADO Nos proponemos analizar la influencia de la temperatura y la carga especfica segn determinados estados reglamentarios. Supongamos a los estados 1 y 2 con L1, g1 y t1, y L2, g2 y t2; respectivamente. Recordemos que g representa la carga especfica sobre el conductor. Entonces se puede escribir que

2

1

13

1 pg

.24a+a=L

y 2

2

23

2 pg

.24a+a=L

cuyas unidades son:

gp=

SGSF

=GF=

GH=h

.mmmkg

mmkg

2

2

Es decir, partiendo del estado 1, suponemos que pasamos al estado 2 con la condicin: , luego, como el conductor se calent y por consiguiente se dilat, se produjo un alargamiento:

12 t t 2

1

132

2

23

12 pg.

24aa

pg.

24a+a=L-L=L

2

1

1

2

2

23

pg

pg

.24a=L (23)

Este alargamiento se ha supuesto producido exclusivamente por la incidencia de: 9 = coeficiente de dilatacin trmica del material, en 1/C. 9 E = mdulo de elasticidad del material, en kg/mm2

Podemos analizar este mismo efecto por otro tipo de razonamiento, es decir, podemos partir del anlisis de las influencias parciales sobre el alargamiento L, a saber: 2.3.1.- INFLUENCIA DE LA DILATACIN DEL MATERIAL: Primero estudiaremos la influencia del coeficiente de dilatacin trmica del material de que est constituido el cable. Supongamos que el cable pasa de estar en un estado 1 a un estado 2, de mayor temperatura que el primero. Entonces, para , el calentamiento habr producido un alargamiento por dilatacin del material, de valor: 12 t t

t . L . = L 1 ( )121 tt . L . = L donde: L = alargamiento del cable por dilatacin del material, en m ;

= coeficiente de dilatacin trmica del material, en 1/C. L1 = longitud del conductor (longitud de la parbola) a la temperatura , en m ; t 1

Al producirse este alargamiento por dilatacin del material, creci un poco la flecha del conductor, por lo tanto la tensin mecnica p disminuye un poco, precisamente en una cuanta:

1 2 p p = p como:

negativo es P p p 1 2 Esta disminucin de la tensin mecnica afectar, por su parte, a la longitud del conductor, por la accin del mdulo de elasticidad, constituyendo una segunda influencia, que pasamos a analizar. 2.3.2.- INFLUENCIA DEL MDULO DE ELASTICIDAD DEL MATERIAL:


18 / 26

El paso del estado 1 al 2, haba producido a partir de un aumento de la temperatura: ( ) 0 t t=t 1 2 ; una disminucin de la tensin: ( ) 0 p p = p 1 2 El acortamiento elstico por esta disminucin en la traccin mecnica, vale:

1 2E L L = L 1

12E L . E

pp = L

1E .LEp = L

que es la Ley de Hooke para un material trabajando por debajo del lmite elstico. donde: LE = acortamiento elstico del cable debido al mdulo de elasticidad del material, en m ;

E = mdulo de elasticidad del material, en kg.mm-2; L1 = longitud del conductor (longitud de la parbola) a la temperatura t1, en m ; p/E = relacin adimensional.

2.3.3.- ECUACIN DE ESTADO El efecto total del cambio de condiciones ser la suma de los efectos individuales de las dos anteriores:

ELLL += ( ) 112121 .LE

pp + tt.L.L = (24) El alargamiento calculado de esta forma, obviamente debe ser igual al determinado anteriormente mediante la expresin 23. Recordndola:

=

2

1

1

2

2

23

pg

pg

24aL (23)

Igualando los segundos miembros de las ecuaciones 23 y 24:

( )L a24

gp

gp

= .L t - t + p pE

L3

2

2

21

1

2

1 2 12 1

1=

. .

Esta ecuacin es denominada ecuacin de estado completa (o ecuacin de cambio de estado). Aunque se est considerando a la parbola, como una simplificacin de la catenaria. Ejemplo 5: Si retomamos el anlisis de la longitud L de la parbola, ecuacin22, podremos compararla con la longitud a del vano, a saber:

23

pg.

24a+aL

=

podemos considerar que por ejemplo, para el aluminio, resulta: -2

adm kg.mm 10p Al -1-2

Al .mkg.mm 0,003g Ahora, para un vano de 500 m por ejemplo:

23

100,003.

24500+500L

=

m 500,468746L = El suponer introduce un error: aL

0,093% = 100500,4687

0,4687.100LL =

Es decir que para vanos a 500 m , se puede considerar:


19 / 26

123

1 .Laa que ya La Ahora, para un vano de 1000 m por ejemplo:

23

100,003.

241000+1000L

= m 1003,75L =

El suponer introduce un error: aL 0,375% = 100

1003,75m 3,75.100

LL =

Es decir que para vanos a 500 m, se puede considerar: 1

231 .Laa que ya La

A partir de los dos ejemplos precedentes, en la ecuacin antes analizada, la ecuacin de estado completa:

( ) 1121212

1

1

2

2

23

L.E

pp + t-t..L = pg

pg

24a

se la puede reducir considerando . As, con suficiente aproximacin se puede reducir a:

123

1 .Laa que ya La

( )a24

gp

gp

= t - t + p pE

22

2

21

1

2

2 12 1

.

que resulta ser la ecuacin de estado simplificada (o de cambio de estado). 2.3.3.1.- Anlisis de la ecuacin de estado para vanos pequeos Para efectuar este anlisis, hacemos tender a cero el vano a en la ecuacin general de cambio de estado simplificada:

( )E

pp + t-t. = pg

pg

24a 12

12

2

1

1

2

2

22

Si para: el primer miembro de la ecuacin tiende a cero, resultando en el lmite: a 0( )

Epp + t-t. = 0 1212

por lo tanto:

( )E

pp = t-t. 1212

Se puede apreciar en esta ecuacin que no interviene la carga especfica g, luego la influencia predominante es la de la temperatura t. Es decir que para vanos tendiendo a cero (o en general, para vanos pequeos), las variaciones de la tensin mecnica en el conductor estar dominada por la variacin de la temperatura. 2.3.3.1.- Anlisis de la ecuacin de estado para vanos grandes Para efectuar este anlisis, hacemos tender a infinito el vano a en la ecuacin general de cambio de estado simplificada:

( )E

pp + t-t. =

pg

pg

24a 12

12

2

1

12

2

22

Previamente dividimos ambos miembros de la ecuacin general por a2:

( )

Epp + t-t. .

a1=

pg

pg

241 12

122

2

1

1

2

2

2


20 / 26

Para: a resulta: 0=

pg

pg

241

2

1

1

2

2

2

es decir, para a :

2

2

1

1

pg =

pg

Se aprecia en esta ecuacin que no interviene la temperatura t, luego la influencia predominante es la de la carga especfica g. Luego, se puede establecer que para vanos tendiendo a infinito (o muy grandes), las variaciones de la tensin mecnica en el conductor estarn dominadas por la variacin de la carga especfica. Resumiendo:

Para : resulta determinado fundamentalmente por la temperatura t a 0 pPara a : resulta determinado fundamentalmente por la carga especfica g p

2.3.3.2.- Vano crtico Del anlisis precedente de los vanos pequeos y grandes se concluye que habr un vano intermedio en que la tensin se mantendr constante frente a una pequea variacin de la temperatura y la carga especfica. Se define como vano crtico aquel en que una disminucin de la tensin mecnica originada por un incremento de la temperatura, es compensada por el aumento de la tensin mecnica debido al incremento de la carga especfica. Recordando la ecuacin general de estado simplificada:

( )E

pp + t-t. = pg

pg

24a 12

12

2

1

1

2

2

22

Luego, por definicin cuando el vano es crtico a = ac resulta , es decir: . admadm 21 p=p 0=p

adm21 p=p=p admadm entonces, a partir de la expresin general:

( )122

1

1

2

2

22

t-t. = p

gp

g24a

admadm

cuando el vano es crtico se cumple:

( )12221

22

2c t-t. =

pg-g

24a

adm

( )21

22

12admc g-g

t-t.24..pa = Esta ecuacin es vlida cuando analizando dos condiciones climticas la tensin mecnica entre ellas est definida por un nico valor de:

adm21 p=p=p admadm 2.3.4.- ESTUDIO DE VANOS 2.3.4.1.- Vanos crticos reales: Si ya se han estudiado dos estados reglamentarios, hemos calculado ac, y supongamos que se ha obtenido como resultado un nmero real.


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Analizando la expresin de la ecuacin general de estado simplificada, podemos apreciar que las variables son el vano y la tensin; y las constantes son la temperatura, la carga especfica, el mdulo de elasticidad y el coeficiente de dilatacin trmica.

vano a Variables: tensin p

Temperatura t Carga especfica g Mdulo de elasticiad E Constantes: Coeficiente de dilatacin trmica

2.3.4.2.- Determinacin del estado bsico, de entre dos reglamentarios 2.3.4.2.1.-

admadm 21p p

Para hacer el anlisis de cual es el estado bsico, podemos partir suponiendo que la condicin climtica 1 es el estado bsico ficticio y la condicin climtica 2 es el desconocido o a calcular (tensin mecnica). Luego de aplicar la ecuacin de cambio de estado y operar largamente se llega a una serie de conclusiones que se pueden resumir en la tabla siguiente que resume todos los casos que se pueden presentar en la prctica:

Tabla 1: Anlisis de vanos crticos para admadm 21 p p : Clase de

vano crtico: Tipo de vano: Condicin especial: Estado bsico:

ca a ----- el de menor pg

ca a = ----- cualquiera de los dosReal ca a ----- el de mayor p

g

Imaginario a 0 ----- el de mayor pg

( ) ( )[ ] 0 pptt.E. admadm 2121 + Estado 1 ( ) ( )[ ] 0 pptt.E. admadm 2121 + Estado 2 ( ) ( )[ ] 0 pptt.E. admadm 2121 =+ Estados 1 y 2 Infinito a 0 21 g g = El de menor temperatura

En la prctica muchas veces se definen las condiciones climticas y se establece una sola tensin mecnica mxima admisible, lo cual indica que en ninguna condicin o estado climtico la tensin mecnica podr ser mayor que la fijada, seguidamente analizaremos el caso mencionado. 2.3.4.2.2.-

admadm 21p p =

Para este caso el anlisis se simplifica notablemente ya que tendremos solamente una sola tensin mecnica mxima. As, podemos resumir las posibilidades existentes en la tabla siguiente:

Tabla 2: Anlisis de vanos crticos para admadm 21 p p = : Clase de

vano crtico: Tipo de vano: Condicin especial: Estado bsico:

ca a ----- el de menor g ca a = ----- cualquiera de los dosReal ca a ----- el de mayor g


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Imaginario a 0 ----- el de mayor g Infinito a 0 21 g g = el de menor temperatura

2.3.5.- CABLES CONFORMADOS CON DOS MATERIALES DISTINTOS: Estos cables tratan de reunir dos propiedades:

9 La buena conductibilidad elctrica del aluminio o de la aleacin de aluminio-magnesio-silicio 9 La resistencia mecnica del acero

Lgicamente que para el clculo mecnico de lneas areas a construir con estos cables compuestos, interesa conocer el valor del mdulo de elasticidad del mismo, teniendo como datos los correspondientes a cada uno de los materiales componentes. De acuerdo a la Ley de Hooke, sabemos que la tensin en el conductor, mientras no exceda su lmite es

E . p = donde: p = Tensin mecnica, en kg/mm2

E = Mdulo de Young ( o mdulo de elasticidad), en; kg/mm2

= L/L = Alargamiento unitario; Considerando que en un momento dado, el conductor soporta una fuerza (segn el eje del mismo) F, el alargamiento para ambos materiales ser el mismo: L ; es decir:

21 LL ===

En cada material componente del cable compuesto, aparecern las siguientes tensiones:

11 E . p = y 22 E . p = Multiplicando a las ecuaciones anteriores por sus respectivas secciones, tenemos:

1111 .E . .Sp S= y 2222 .E . .Sp S= Sumando entre s: ( )2211.2211 .ESE . .Sp .Sp S+=+ Es decir: ( )2211.21 .ESE . F F S+=+ Ahora dividimos la ecuacin anterior por 21S SS += : ( )

21

2211.21

SS.SESE

. S

FF++=+

y como , nos queda FFF =+ 21( )

++=

21

2211.

SS.SESE

. SF

2.3.- COMPORTAMIENTO DEL CONDUCTOR 2.3.1.- CARGAS SOBRE EL CONDUCTOR: Un conductor o cuerda est sometido en la prctica a la presin del viento que puede existir y adems tendr el efecto del peso propio y en ciertas zonas el peso del manguito de hielo, luego el valor de la carga especfica ser:

( )2hc2v g+gg=g + Graficamente


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Fig. 10: Cargas especficas que actan sobre un conductor.

Siendo las cargas por unidad de longitud y seccin:

g GSv

v=

gGSc

c=

g GSh

h= De esto resulta que habr variacin de carga del conductor y tambin variacin de la temperatura, siendo estos factores dependientes de las condiciones atmosfricas de cada zona por la que atraviesa la lnea en consideracin. 2.3.1.1.- CARGA DEL VIENTO El Anexo VI de Agua y Energa, establece para la carga del viento sobre 1 metro de conductor de longitud am se calcula mediante la frmula:

+=

mkg sen .

a800,6 . d .

16v .k . 0,75 G

m

2

v donde: Gv = carga del viento

k = coeficiente de presin dinmica Dimetro del conductor

d (mm) Coeficiente K

12,5d 1,2 15,8d12,5 1,1

15,8d 1,0 v = velocidad del viento, em m/seg d = dimetro del conductor en m am = vano medio, en m = ngulo del viento con respecto al cable

Para valores de am menores de 200 m, el factor (0,6+80/am) se tomar igual a uno. El valor a adoptar para la velocidad v del viento, se obtiene del Mapa de Zonas Climticas de la Repblica Argentina. Cuando las estructuras no superan los 15 m de altura sobre el nivel del terreno, la velocidad v se adopta segn los valores de la tabla que figura al pie del Grfico N 1) del Anexo VIA de la Especificacin Tcnica N GC-IE-T-N 1. 2.3.1.2.- VARIACIN DE LA VELOCIDAD DEL VIENTO CON LA ALTURA Las velocidades del viento adoptadas en las hiptesis de clculo tienen validez hasta una altura sobre el nivel del terreno no mayor de 20 m. Para alturas mayores de 20 m y hasta 30 m se adoptarn los mismos valores mencionados anteriormente incrementados en un 5%.


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Para alturas mayores de 30 m se calcular la velocidad del viento mediante la ecuacin:

+=sm

100h0,8 . v vh

donde: v = velocidad del viento hasta la altura de 20 m, en m/seg h = altura sobre el nivel del terreno, en m

Para la determinacin de la carga del viento sobre un conductor mediante la expresin anterior, se adoptar la velocidad v que corresponda a la altura de su punto de sujecin en la cadena de aisladores (conductor de energa) o en la estructura (hilo de guarda), conforme a lo establecido en el apartado anterior. Si los conductores de energa no estuvieran a un mismo nivel, se adoptar para todos ellos la velocidad de viento que corresponda al nivel del centro de gravedad del conjunto de los mencionados puntos de sujecin. 2.3.1.3.- CARGA DEL VIENTO SOBRE LOS AISLADORES Para el clculo de la carga del viento sobre una cadena de aisladores, se considerar la misma velocidad de viento adoptada para los conductores de energa. 2.3.2.- DISTANCIA ENTRE CONDUCTORES En un vano, los conductores de energa e hilos de guarda pertenecientes a una misma terna o a diferentes ternas debern estar distanciados entre s de modo tal que no sea posible un acercamiento que pueda provocar la perforacin del espacio disruptivo. Para conductores del mismo material e igual seccin y flecha, la distancia D en la mitad del vano deber ser no menor que:

[ ]mla 150U

f .K D n++= siendo: D = Separacin entre conductores activos en la mitad del vano, en m .

K = Factor determinado en funcin del material y seccin del conductor y de su disposicin geomtrica, segn tabla siguiente.

f = Flecha del conductor a temperatura mxima, en m; la = Longitud de la cadena de aisladores de suspensin, incluidos los accesorios mviles en direccin

normal a la lnea, en m ; Un = Tensin nominal de la lnea, en kV.

CONDUCTOR SECCIONES NOMINALES

Al.Ac s/IRAM 2187 y 2433 95/15 120/20

185/30 240/40 300/50

DISPOSICIN FACTOR K

Uno sobre otro de cualquier manera 0,85 0,75 Tringulo equiltero 0,70 0,65 Horizontal 0,65 0,62

Para aisladores de perno o cadenas de anclaje se tomar la = 0. Y la distancia a adoptar no podr ser menor que el valor de K en metros. Para conductores del mismo materiales y/o secciones y/o flechas diferentes, la determinacin de la distancia mnima se har mediante la misma expresin, debiendo adoptarse los valores de K y f que resulten mayores. Adems deber verificarse la aproximacin de los conductores inclinados. 2.3.3.- DISTANCIA ENTRE CONDUCTOR DE ENERGA E INSTALACIONES PUESTAS A TIERRA Los conductores y accesorios bajo tensin debern guardas distancias mnimas a las instalaciones puestas a tierra, que se verificarn de la siguiente manera: con el conductor en reposo o declinado por la accin del viento


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de 20 m/seg, la distancia ser la que se obtiene mediante el grfico N1 de la especificacin de Agua y Energa, correspondiente a sobretensiones de origen atmosfrico, pero no menor a 0,15 m. Con el conductor declinado por la accin del viento mximo la distancia ser Un/150 metros con la tensin expresada en kV, pero no menor a 0,15 m. El ngulo de inclinacin de una cadena de aisladores de suspensin se determinar con:

ac

a

PP

W

21

21W

tgc

++=

Siendo: Wc = carga del viento sobre el conductor en ambos semivanos adyacentes, en kg. Wa = carga del viento sobre la cadena de aisladores y morsetera, en kg. Pc = peso del conductor sobre la cadena de aisladores, en kg. Pa = peso de la cadena de aisladores y morsetera, en kg.

En las estructuras con cadenas de aisladores de retencin se considerar que los puentes de conexin, bajo la accin del viento, alcanzan un ngulo de inclinacin que es funcin de las caractersticas del conductor y de la velocidad del viento. La tabla IV de la especificacin de los valores de dicho ngulo mximo.

Falta terminar con unidad 2 vieja


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8.- BIBLIOGRAFA: * H. Lee Willis: Power Distribution Planning. Reference Book ISBN: 0-8247-0098-8 (Propiedad: Dr. Ing. Walter Gimenez) * CAMMESA (Compaa Administradora del Mercado Mayorista Elctrico Sociedad Annima): Informe Anual del ao 2000. Disponible en Internet: www.cammesa.com.ar.

RealInfinitoRealInfinito

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