unidad 4 solucion por series de potencia_nov20 (1)

7/25/2019 Unidad 4 Solucion Por Series de Potencia_Nov20 (1)

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Matemticas Superiores

4. Solucin de ecuaciones diferenciales en forma de series depotencia.

En las aplicaciones se observa que las ecuaciones diferenciales lineales de

orden superior de coecientes variables son tan importantes como las

ecuaciones de coecientes constantes y hasta este momento solo hemos

resuelto las de este tipo con excepcin de las ecuaciones de Euler-Cauchy.

ero como se comento en la unidad pasada una ecuacin lineal sencilla de

se!undo orden con coecientes variables" como y +xy=0, no tiene soluciones

elementales. odemos encontrar dos soluciones linealmente independientes de

esta ecuacin pero" se!#n veremos en esta seccin dichas soluciones estn

representadas por series innitas.

Repaso de Series de Potencia.

Denicin. $na serie de potencias en %x-a& es una serie innita de la forma'

C0+C1 (xa )+C2 (xa )2+=

n=0

Cn(xa )n

(al serie se denomina Serie de otencia centrada en a . or e)emplo la serie

de potencia n=0

(x+1 )n est centrada en a=1. En lo sucesivo nos

ocuparemos de series de potencias en x" esto es" centradas en a=0. or

e)emplo" n=0

2nx

n

es una serie de potencias enx.

* continuacin se dan al!unas deniciones que el lector debe conocer cuando

se requiere resolver ecuaciones diferenciales con este m+todo.


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Convergencia. $na serie de potencias" n=0

Cn(xa )n

es conver!ente en un

valor dexsi su sucesin de sumas parciales {SN(x )} converge" esto es" si

existe el

lim N n=0

N

Cn (xa )n.

limN

SN(x )=

Si el l,mite no existe enx" se dice que la serie diverge.

Intervalo de convergencia. (oda serie de potencia tiene un intervalo de

conver!encia. El intervalo de conver!encia es el con)unto de n#meros reales xpara los cuales conver!e la serie.

Radio de convergencia. (oda serie de potencia tiene un radio de

conver!encia . Si /" una serie de potencia n=0

Cn(xa )n

conver!e para

|xa|R . Si la serie solo conver!e en su centro

a , entonces 0/. Si conver!e para toda x" entonces 01. ecuerde que

|xa|


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Prueba de la razn. Con frecuencia se puede determinar la conver!encia de

una serie de potencias n=0

Cn(xa )n

con la prueba de la ra3n. Supon!amos

queCn 0 para todo n" y que

limn |Cn+1 (xa )

n+1

Cn(xa )n |=|xa|limn|Cn+1Cn |=L

Si 4 5 6" la serie conver!e en forma absoluta" si 4 6" la serie diver!e" y si 4 0

6 la prueba de la ra3n no es concluyente. or e)emplo" para la serie de

potencias n=1

(x3 )n

2n n " la prueba de la ra3n es

limn |

(x3 )n+1

2n+1 (n+1 )

(x3 )n

2nn

|=|x3|limn n+12n =12|x3|;7 la serie conver!e absolutamente para

12|x3|


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x 0 8" la serie n=1

( 1n ) es la serie armnica diver!ente. El intervalo de

conver!encia de la serie es [1,5 ) y el radio de conver!encia es 0 9.

Una serie de potencias dene una funcin. $na serie de potencias dene

una funcin f%x&0 n=0

Cn(xa )n

" cuyo dominio es el intervalo de conver!encia

de la serie. Si el radio de conver!encia es /" f es continua" diferenciable e

inte!rable en el intervalo (aR ,a+R ) . *dems f:%x& e f(x ) dx se pueden

determinar por derivacin o inte!racin t+rmino a t+rmino. 4a conver!encia en

un extremo se puede perder por derivacin" o !anar por inte!racin. Si y0

n=0

Cnxn

es una serie de potencias en x" las dos primeras derivadas son y:0

n=0

n xn1

y y;0 n=0

n (n1)xn2. .


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1

2|x1|lim

n

1+2

+1

=

1

2|x1|=L

" como la conver!encia es 456

Entonces1

2

|x1|


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l radio de convergencia es la mitad de la longitud del intervalo

abierto de convergencia absoluta.

&ercicios# ncontrar el intervalo de convergencia absoluta para las

siguientes series

1#- n=1

(n+1 )! xn

2#- n=1

x

n

nn

3#- n=0

x

n

n!

"#- n=0

n ! xn

8. =allar el radio de conver!encia de la serie n=1

e

1

nxn+1

@. =allar el intervalo" el con)unto y el radio de conver!encia de las si!uientes

series de otencias.

a& n=1

(1 )n(x5 )n

n3n

b& n=1

n

n+2x

n

c* n=1

x

n

n2+1


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d& n=1

(x+2)n

n2+1

4.+ ,plicacin de Series de -a!lor para resolucin de cuacionesDiferenciales.

*sumamos que no podemos resolver la ecuacin diferencial y =y ,

suponiendo que no estamos familiari3ados con las propiedades de los

exponenciales. *sumiremos que la solucin existe y que posee una expansin

en serie de la forma'

a0+a1x+a2x2

+a3x3

+(1)

Conocida como serie de potencias" sustituimos en la ecuacin y =y

d

dx(a0+a1x+a2x

2+a3x3+ )=a0+a1x+a2x

2+a3x3+

*hora suponiendo que se permite una diferenciacin t+rmino a t+rmino de

series innitas" tenemos'

(a1+2a2x+3a3x2+ax

3)=a0+a1x+a2x

2+a3x3+

uesto que esto es una identidad" entonces

a1=a0

2a2=a1 "

3a3=a2 " a=a3 "

2e donde

a1=a0 " a2=1

2a1=

a0

2 "a3=

1

3a2=

a0

3 2 "

a


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2e esta forma encontramos quea1=a0 " a2=

a0

2 ! "a3=

a0

3 ! "a=

a0

!

" siendo aparente la re!la y sustituyendo estas en la solucin asumida %6&"

tenemos que

70 a0+a1x+a2x2+a3x

3+ entonces 70 a0+a0x+a0

2!x

2+a0

3 !x

3+a0

!x

podemos factori3arA

70 a0(1+x+x

2

2!+

x3

3 !+

x

!) usando la condicin de que y06 cuando x0/" 6

a0 de modo que y0 1+x+x2

2 !+

x3

3 !+

x

! si se est familiari3ado con

las series se podr constatar que la funcin ex=1+

x

1!+

x2

2 !+

x3

3 !+y=ex

Desarrollo de una funcin en serie.Son muchas las funciones que pueden desarrollarse en series de potencias"

para lo cual se emplea la frmula de (aylor'

n=0

f

n (a)(xa)n

n !

2onde fn(a) si!nica la n-+sima derivada de la funcin evaluada en

x=a y a es el valor alrededor del cual se desarrolla la serie. Si a=0,

entonces la serie se llama de Maclaurin.

&emplo + Encontrar la serie de potencias de la funcin'


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y=Lncosx para a=0

Entonces y=Lncosx y (0 )=Lncos(0)=0

y =senxcosx

=tanx y(0 )=t!n(0)=0

y =sec2x y (0 )=sec2 (0 )=1

y =2 sec2xtanx y (0 )=2 sec2(0) t!n(0)=0

yIV=2secx sec2x t!n2x yIV (0 )=2

yV=1" secxtanx# sec2x t!n3x yV (0 )=0

yVI=1" sec"x" secx t!n2x1" sec2x t!nx2 secx t!n2x yVI(0 )=1" " etcA

Entonces' ncosx=0x

0

0!+

0x1

1 !

x2

2 !+0x

3

3!

2x

!+

0x5

5 !

1"x"

" ! +

ncosx=x2

2

x

12

x"

5

&emplo =allar la Serie de otencias correspondiente a'

y=1

x para a=1

y=1

x=

0 !

x y (a)=1

y =1

x2=

1!

x2

y (1 )=1 !

y =2

x3=

2 !

x3y (1 )=2 !


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y ="

x=

3 !

x

y (1 )=3 !

yIV=

2

x

5=

!

x

5y

IV(1 )= !

yV=

120

x" =

5 !

x"y

V(1 )=5 !

Entonces y=1(x1 )+(x1)2(x1)3+(x1)(x1)5+

0 n=1

(1)n(x1)n en /5 x 59.

/peraciones con Series de Potencias

SU0,. 2os series de potencias pueden sumarse t+rmino a t+rmino.

Sean n=0

an (xx0 )n=f(x )y

n=0

n (xx0 )n=" (x )conrad#o de con$er"enc#a R>0

Entonces f(x )+" (x )=n=0

(an+n ) (xx0 )nparatoda|xx0|


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S ean y (x )=n=0

(an ) (xx0 )n

para toda|xx0|0

y (x )=n=0

n (an ) (xx0 )n1

tambi+n conver!e y tiene el mismo radio de

conver!encia que y(x )

I3-R,CI23. $na serie de potencias puede inte!rarse t+rmino a t+rmino.

Sean y(x )=n=0

(an ) (xx0 )nparatoda|xx0|0

Entonces

0

x

y (t) dt=n=0

an

n+1(xx0 )

n+1y t#ene aR co%orad#odecon$er"enc#a .

Puntos 3otables.

Denicin 4.+.+. unto ordinario de una ecuacin diferencial de la forma'

y +f(x )y +" (x )y=0es aquel punto

x0en el cual ambas funciones f%x& y

!%x& son anal,ticas" es decir" pueden representarse en series de potencias de

(xx0) con radio de conver!encia /.

&emplo 5 Encontrar los puntos ordinarios de'

x (x21)y +xy + (x+2 )y=0


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rimero establecemos cules son exactamente las funciones f%x& y !%x&"

dividiendo la ecuacin entre x (x21)

y + xx (x21)

y + (x+2 )x (x21)

y=0 donde

f(x )= 1(x21 )

y " (x)= (x+2 )x (x21)

f%x& no es anal,tica en x 0 B6

!%x& no es anal,tica en x 0 /" x 0 B6

or lo tanto los puntos ordinarios de la ecuacin diferencial dada son todas las

x > " excepto x 0 / x 0 B6

&emplo 4 Ser x 0 / un punto ordinario de la ecuacin

xy +x2y +(senx )y=0

f(x )=x2

x=x es ana&t#caentodos os

" (x )=

sen x

x =

1

x

(x

x3

3 !+

x5

5 !

x$

$ !+)" (x )=(1x

2

3 !+

x

5!

x"

$ !+) tambin es analtica en todos los

Denicin 4.+.unto Sin!ular de la ecuacin diferencial'

y +f(x )y +" (x )y= / es aquel punto x0 , en el cual al menos una de las

funciones f(x) y g(x)no tiene representacin en serie de potencias de

(xx0 ) .

Se observa" por lo tanto" que un punto sin!ular es un punto no ordinario.


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&emplo 6 El punto x0=0 es un punto sin!ular de la ecuacin diferencial'

y +x (Lnx )y =0

orque la funcin Lnx " no tiene una serie de potencias que la represente en

cero.

&emplo 7 =allar los puntos sin!ulares de'

x2(x+1)y +x3 (x21)y +xy=0

f(x )=x

3 (x21 )x

2 (x1 )=x(x+1 ) es anal,tica para todax,

" (x )= x

x2 (x1 )

=1

x (x1 ) no es analtica en 0 y 1 los puntos singulares

son x= 0 y x=1

%ota: emos !ue los coe"cientes polinomiales dar#n puntos ordinarios en

donde las funciones estn de"nidas y puntos singulares en donde no lo estn.


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-eorema 4.+ Existencia de soluciones con series de potencias

Six=x0 es un punto ordinario de la ecuacin diferencial

a2(x )y +a1(x )y +a0 (x )y= /" siempre se puede determinar dos soluciones

linealmente independientes en forma de una serie de potencias centrada en

x0 D esto es"

y(x )=n=0

(an ) (xx0 )n.

$na solucin en serie conver!e al menos en un intervalo denido por

|xx0|


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n (n1 )(Cn )(x )n2

+n=0

(Cn )(x )n+1=2C2+

'=1

[ ('+2 ) ('+1 )(C'+2 )+C'1] (x )'

n=2

Entonces' y +xy=2 C2+'=1

[ ( '+2 ) ('+1 )( C'+2 )+C'1 ](x )'=0 aqu, utili3aremos

4a propiedad de identidad. Como la ecuacin anterior es id+nticamente a cero"

esto es que2C2=0 %es el coeciente de x

0 " y

('+1 ) ('+2) C'+

2+C'

1=0,para F06" 9" ?" A

*hora bien , 2C2=0 indica que C2=0 . ero la ecuacin anterior llamada

relacin de recurrencia" determina lasC' de tal manera que se puede

esco!er que cierto subcon)unto del con)unto de los coecientes no sea cero.

Como ('+1 ) ('+2 ) 0 para todos los valores de $ " podemos despe)ar C'+2

" en funcin de C'1 #

C'+2= C'1

('+1 ) ('+2 ) " F06" 9" ?"A %9&

Esta relacin !enera coecientes consecutivos de la solucin supuesta" uno por

uno" a medida que F asume los sucesivos valores enteros indicados

anteriormente'

J06" C3=C023


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J09" C=C13

J0?" C5=C2

5

=0 por$ue C2=0

J0" C"=C35"

=1

2 3 5 "C0

J08" C$=C" $

=1

3 " $C1

J0@"

C#=C5

$ #

=0

J0K" C%=C"# %

=1

2 35 " $ #%C0

7 as, sucesivamente. Si ahora sustituimos los coecientes que acabamos de

obtener en la hiptesis ori!inal.

y=C0+C1x+C2x2+C3x

3+Cx otendre%os&

y=C0+C1x+0C0

23x

3C1

3 x

+0+ C0

2 3 5"x

"+ C1

3 " $x

$+0

2espu+s a!rupamos los t+rminos que contienenC0 y los que contienen

C1 " lle!amos a y=C0y1(x )+C1y2 (x ) " siendo'

y1(x)=1

1

2 3x

3+1

2 3 5"x

"1

235 "# %x

%+=1+'=1

(1 )'

23(3n1)(3n)x

3'


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y2(x)=x1

3 x

+1

3 " $x

$1

3 " $ % 10x

10+=x+'=1

(1 )'

3 (3n)(3n+1)x

3'+1

Como el uso recursivo de la ecuacin %9& de)a a

C0y C1 completamente

indeterminados" se puede esco!er en forma arbitraria. Como se mencion

antes" en realidad la combinacin y=C0y1(x )+C1y2 (x ) " representa la solucin

!eneral de la ecuacin diferencial. *unque de acuerdo con el (eorema ./ toda solucin

en forma de serie conver!e para |x|


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Sustituimos en la ecuacin diferencial'

(x2+1 )n=2

Cn n(n1)xn2+x

n=1

Cnnxn1

n=0

Cnxn=0

Cn n(n1)xn+

n=2

Cn n(n1)xn2+

n=1

Cn nxn

n=0

Cnxn=0

n=2

*hora trataremos que todas las sumatorias ten!an el mismo sub-,ndice.

Cn

n (n1 )xn+

n=

Cn

n(n1)xn2+

n=2

Cn

nxn

n=0

Cn

xn=0

2C2x0C0x

0+"C3x+C1xC1x+n=2

( :

'('1 )C'+('+2)('1)C'+2

[+'C'C']x'

2C2C0+"C3x+n=2

('+1 ) ('1 )C'+('+2)('1)C'+2[]x'

2C2C0+"C3x+n=2

;+* x2y +xy+(x2$2)y=0 cuacin de ?essel. y

>* (1x2 )y 2xy +n(n+1)y=0 cuacin de @egendre.

*parecen con frecuencia en estudios superiores de matemticas aplicadas"

f,sica e in!enier,a. ara resolver la ecuacin %6& supondremos que v /"

mientras que para resolver la %9& slo consideraremos el caso en que n esentero no ne!ativo. Como se trata de obtener soluciones de cada ecuacin en

forma de serie de potencias alrededor dex = 0" observamos que el ori!en es

un punto re!ular sin!ular de la ecuacin de Oessel pero es un punto ordinario

de la ecuacin de 4e!endre.

4.5 Solucin de la cuacin de ?essel.

4.4 Solucin de la cuacin de @egendre


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