unidad 4 reglas para derivar

E s p . L E I D E R E . S A L C E D O G A R C I A R e g l a s p a r a d e r i v a r Página 76

4.1. DERIVADA DE UNA CONSTANTE

Si Rc ∈ , entonces:

( ) 0=cdx

d

4.2. DERIVADA DE UNA POTENCIA (Regla de la potencia)

Si Rn ∈ , entonces:

( ) 1−= nn nxxdx

d

Si 1=n , entonces tenemos el caso particular:

( ) 1=xdx

d

Ejemplo No. 70: Halle en cada caso la derivada de las siguientes funciones:

a) ( ) 10=xf

b) xy =

c) ( ) 4xxf =

d) x

y1=

e) ( ) xxg =

f) 3

1

xz =

g) ( ) 3 5tth =

Solución:

a) ( ) 0' =xf

b) 1=dx

dy

c) 34xdx

df =

d) ' 1 21 ⇒−=⇒== −− xyxx

y 2

1'

xy −=

e) ( ) ( ) ( ) ⇒==⇒== −

21

21

21 1

' 21

21

xxxgxxxg

( )

xxg

2

1' =

f) ⇒−=⇒== −− 433

3 1

xdx

dzx

xz

4

3

xdx

dz −=

g) ( ) ( ) ' 32

35

353 5 ⇒=⇒== tthttth ( ) 3 2

35' tth =

UUUNNNIIIDDDAAADDD 444 ::: RRREEEGGGLLLAAASSS PPPAAARRRAAA DDDEEERRRIIIVVVAAARRR


4.3. DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÒN

Si Rc ∈ , entonces:

( )[ ] ( )[ ]xfdx

dcxcf

dx

d =

Si ( ) nxxf = , entonces tenemos el caso particular:

[ ] 1−= nn ncxcxdx

d

Ejemplo No. 71: Halle la ecuación de la recta normal N y la recta tangente T a la curva con ecuación 23

41 xy =

en el punto ( )2 ,4

Solución:

La recta normal a la curva 23

41 xy = en el punto ( )2 ,4 es la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a

la recta tangente a la curva dada.

Para hallar la ecuación de N debemos conocer su pendiente Nm la cual por perpendicularidad entre rectas debe

cumplir con la siguiente condición 1−=TN mm . Siendo Tm la pendiente de la recta tangente T . Hallemos

uncialmente Tm para poder calcular posteriormente Nm :

4=

=x

T dx

dym

Pero ( )( ) xxxdx

dy83

83

23

41 2

121

=== , por lo tanto:

4

348

3

483 ===

=xT xm

Como 3

4 1

4

3 1 −=⇒−=

⇒−= NNTN mmmm

La ecuación de T es: ( ) ( )⇒−=−⇒−=− 42 42 43 xyxmy T

143 −= xy

La ecuación de N es: ( ) ( )⇒−−=−⇒−=− 42 42 34 xyxmy N

322

34 +−= xy

En la figura de arriba se muestra la curva 23

41 xy =

y las rectas N y T

4.4. DERIVADA DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA (Regla de la suma y la diferencia)

Si f y g son funciones derivables, entonces:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d ±=±

( )2 ,4

TN


Ejemplo No. 72: Halle los puntos sobre la curva 45 24 +−= xxy en donde la recta tangente sea horizontal.

Solución:

Los puntos sobre la curva 45 24 +−= xxy en donde la recta tangente es horizontal, se caracterizan porque en

ellos la recta tangente tiene pendiente 0=Tm . Es decir en dichos puntos la derivada es cero. Para determinar

tales puntos debemos hallar la derivada, igualar la derivada a cero y resolver la ecuación resultante. Veamos:

( ) ⇒=−⇒=−= 01040104 23 xxxxdx

dy

0=x y ⇒=− 0104 2x 2

5±=x

Si 0=x entonces 4=y , por lo tanto el primer punto es:

( )4 ,0

Si 25=x

entonces 4

9−=y , por lo tanto el segundo

punto es: ( )49

25 ,−

Si 25−=x

entonces 4

9−=y , por lo tanto el tercer

punto es: ( )49

25 ,−−

La grafica de la curva 45 24 +−= xxy , junto con las

rectas tangentes y los puntos de tangencia se muestran en la figura de la derecha:

4.5. DERIVADA DE UN PRODUCTO (Regla del producto)


( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]xgdx

dxfxgxf

dx

dxgxf

dx

d +=

4.6. DERIVADA DE UN COCIENTE (Regla del cociente)


( )( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]2xg

xfxgdx

dxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d−

=


a) ( )1+= xxy

b) xx

xy

−+=

3

12

Solución:

( )4 ,0

( )49

25 ,−( )4

925 , −−


a) Aplicando la regla del producto: ( ) =++=++=++=x

xxx

x

xxx

xdx

dy

2

21

2

11

2

1

x

x

2

13 +

b) Aplicando la regla del cociente: ( )( ) ( )( )

( )23

23 13122

xx

xxxx

dx

dy

−

−+−−=

( ) =−

+−+−−=23

233 132622

xx

xxxxx

( )23

23 134

xx

xx

−+−−

4.7. DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMICA NATURAL (caso particular)

[ ] xx eedx

d =

[ ]x

Lnxdx

d 1=


a) Lnxey x=

b) 1

1

+−=

x

x

e

ey

Solución:

a) Aplicando la regla del producto: =

+=x

eLnxedx

dy xx 1

x

eLnxe

xx +

b) Aplicando la regla del cociente: ( )( ) ( )( )

( )21

11

+

−−+=x

xxxx

e

eeee

dx

dy

( ) =+

+−+=2

22

1x

xxxx

e

eeee

( )21

2

+x

x

e

e

Ejemplo No. 75: En qué punto de la curva con ecuación xey = la recta tangente es paralela a la recta xy 2=

Solución:

Debemos determinar el punto de tangencia en el cual la tangente T sea paralela a la recta xy 2= , teniendo en cuenta que la pendiente de la recta dada debe ser

igual a la pendiente de T . La pendiente Tm de T es:

xT e

dx

dym ==

Por lo tanto: 2 2 2 LnxLnLnee xx =⇒=⇒=

Si 2 Lnx = , entonces 22 == Lney . Por lo tanto el punto de tangencia seria:

( )2 ,2Ln

En la figura de la derecha se muestra la curva xey = , la recta xy 2= y el punto de tangencia.

( )2 ,2Ln

xy 2=

T


4.8. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (caso particular)

1) ( ) CosxSenxdx

d = 3) ( ) xSecTanxdx

d 2= 5) ( ) SecxTanxSecxdx

d = 2) ( ) SenxCosx

dx

d −= 4) ( ) xCscCotxdx

d 2−= 6) ( ) CscxCotxCscxdx

d −=

Ejemplo No. 76: Si CosxSenx

xSenxy

+= halle

dx

dy

Solución:

( )( ) ( )( )2CosxSenx

SenxCosxxSenxxCosxSenxCosxSenx

dx

dy

+−−++=

( )2

222

CosxSenx

xxSenxSenxCosxxxCosSenxCosxxSenxCosxxSen

++−+++=

( )

( ) =+

+++=2

222

CosxSenx

xSenxCosxSenxCosxxSen

( )2

2

CosxSenx

xSenxCosxxSen

+++

Ejemplo No. 77: Si Secttey t= halle 0=tdt

dy

Solución:

( )( ) =⇒=dt

dySecttey t

( )( ) ( )( )SectTantteSecttee ttt ++

4.9. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1) ( )2

1

1

1

xxSen

dx

d

−=− 3) ( )

21

1

1

xxTan

dx

d

+=− 5) ( )

1

12

1

−=−

xxxSec

dx

d

2) ( )

2

1

1

1

xxCos

dx

d

−−=− 4) ( )

21

1

1

xxCot

dx

d

+−=− 6) ( )

1

12 −

−=xx

Cscxdx

d

4.10. REGLA DE LA CADENA

Consideremos la función ( ) 13 2 ++= xxxf . Es claro que esta función es la composición de las funciones

( )ufy = y ( )xgu = , siendo ( ) uuf = y ( ) 13 2 ++= xxxg . Es decir:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 13 13 22 ++=⇒++=== xxxgfxxxgxgfxgf oo

La regla de la cadena permite derivar funciones compuestas, como por ejemplo ( ) 13 2 ++= xxxf . Veamos

cual es su estructura:

Si ( )ufy = y ( )xgu = , entonces ( )( )xgfy = y además: dx

du

du

dy

dx

dy =


Ejemplo No. 78: Halle dx

dy en cada caso:

a) 542 3 ++= xxy

b) 45xey =

c) ( )TanxLny =

d) 3Senxy =

e) xSecy 3=

Solución:

a) Si consideremos que 542 3 ++= xxu entonces uy = . Por lo tanto:

dx

du

du

dy

dx

dy =

( )=+

= 462

1 2xudx

dy

5422

463

2

+++

xx

x

b) Si consideremos que 45xu = entonces uey = . Por lo tanto:

dx

du

du

dy

dx

dy =

( )( )== 320xedx

dy u 45320 xex

c) Si consideremos que Tanxu = entonces Lnuy = . Por lo tanto:

dx

du

du

dy

dx

dy =

( ) =

= xSecudx

dy 21Tanx

xSec2

d) Si consideremos que 3xu = entonces Senuy = . Por lo tanto:

dx

du

du

dy

dx

dy =

( )( )== 23xCosudx

dy 323 Cosxx

e) Si consideremos que Secxu = entonces 3uy = . Por lo tanto:

dx

du

du

dy

dx

dy =

( )( ) === xSecxTanxSecSecxTanxudx

dy 22 33 xTanxSec33

Veamos ahora como se aplica la regla de la cadena para formular de forma más general algunas reglas para derivar vistas anteriormente:


4.10.1 Regla de la cadena para derivar las funciones trigonométricas (caso general)

1) ( )( )[ ] ( )( ) ( )xgxgCosxgSendx

d'= 4) ( )( )[ ] ( )( ) ( )xgxgCscxgCot

dx

d'2−=

2) ( )( )[ ] ( )( ) ( )xgxgSenxgCosdx

d'−= 5) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )xgxgTanxgSecxgSec

dx

d'=

3) ( )( )[ ] ( )( ) ( )xgxgSecxgTandx

d'2= 6) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )xgxgCotxgCscxgCsc

dx

d'−=

Ejemplo No. 79: Halle la derivada de la función en cada caso:

a) ( ) ( )xxSenxf 82 −=

b) ( )( )64xSenTany =

c) ( )

+−=

1

1

x

xSecxg

d) ( )LnttCosz 2=

Solución:

a) ( ) ( )( ) =−−= 828' 2 xxxCosxf ( ) ( )xxCosx 882 2 −−

b) ( )( ) ( )( )== 5662 2444 xxCosxSenSecdx

dy ( )( ) ( )6625 4424 xCosxSenSecx

c) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =

+−−+

+−

+−=

21

1111

1

1

1

1'

x

xx

x

xTan

x

xSecxg ( )

+−

+−

+ 1

1

1

1

1

22 x

xTan

x

xSec

x

d) ( ) =

+−=t

ttLntLnttSendt

dz 12 22 ( ) ( )LnttSenttLnt 22 +−

4.10.2 Regla de la cadena para derivar la función exponencial natural y logarítmica natural (caso particular)

( )[ ] ( ) ( )xgeedx

d xgxg '=

( )( )[ ] ( )( )xg

xgxgLn

dx

d '=


dy en cada caso:

a) ( )52xTaney = b) ( )xxeLny =

Solución:

a) ( ) ( )( )== 4522 1025

xxSecedx

dy xTan ( ) ( )52524 210 xTanexSecx

b) ( ) =+=+=+=x

x

xe

xe

xe

xee

dx

dyx

x

x

xx 11x

11+


4.10.3 Regla de la cadena combinada con la regla de la potencia (caso general)

( )[ ] ( )[ ] ( )xgxgnxgdx

d nn '1−=

Ejemplo No. 81: Halle la derivada de la función en cada caso:

a) ( ) 198 33 4

−+−= ttetf t

b) ( )[ ] 01 5xSecez =

c) ( ) ( )TanxLnxeSenxh x −+= 4

d) 3

5

1

+=

x

Senxy

Solución:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=+−−+−=⇒−+−=−

92412198'198 2332

133

212

133 444

tetttetfttetf ttt

1982

9241233

233

4

4

−+−

+−

tte

tett

t

b) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) == 4559

51055

xxTanxSeceedx

dz xSecxSec ( )[ ] ( ) ( )5501

4 5

50 xTanxSecex xSec

c) ( ) ( )[ ] ( ) =⇒−+= xhTanxLnxeSenxh x '4 ( )[ ] ( )

−+−+−+ xSecx

eTanxLnxeCosTanxLnxeSen xxx 23 14

d) =⇒

+=

dx

dy

x

Senxy

3

5

1

( )( )

+−+

+ 2

3

2

1

1

13

5

x

SenxCosxx

x

Senx

4.10.4 Regla de la cadena para derivar la función exponencial y logarítmica (caso general)

( )[ ] ( ) ( )Lnaxgaadx

d xgxg '=


dy en cada caso:

a) 54

2 xSecy = b) ( )( )CosxLneLogy x −=4

3

Solución:

a) ( )( )( )( ) == 2542 4555354

LnxTanxSecxxSecdx

dy xSec ( ) 2220 5544 54

LnTanxxSecx xSec

b) =dx

dy ( )( ) 3

44

43

LnCosxLne

Tanxexx

x

−+

( )( )[ ] ( )( )Lnaxg

xgxgLog

dx

da

'=


4.11. DERIVACION IMPLICITA

Analicemos la ecuación 422 =+ yx . Si consideramos que x es la variable independiente y que y es la variable

dependiente, es claro ver que tal variable dependiente no está despejada (esta dada de forma implícita). Para hallar

dx

dy podemos hacer lo siguiente:

1. Despejar la variable dependiente y en la ecuación 422 =+ yx . Veamos: 222 44 xyxy −=⇒−=

Notemos que la variable dependiente está despejada (esta dada de forma explícita). Para hallar dx

dy

simplemente se deriva la ecuación 24 xy −= , con lo cual tenemos que: 24 x

x

dx

dy

−−=

2. Aplicar derivación implícita en la ecuación 422 =+ yx . Para tal efecto se derivan todos los términos en ambos

miembros de la ecuación anterior. Veamos:

( ) ( ) ( ) ⇒−=⇒−=⇒−=⇒=+⇒=+

y

x

dx

dy

y

x

dx

dyx

dx

dyy

dx

dyyx

dx

dyy

dx

dyx

dx

dy

2

2 22 022 422

24

x

x

dx

dy

−−=

Ejemplo No. 83: Dada la siguiente ecuación 1351042 2234 +−=−+ yxyxyx halle dx

dy

Solución:

dx

dy

dx

dyyxxy

dx

dyyx 35'2020128 2223 −=−−+

582032012 3222 +−=+− xxydx

dy

dx

dyyx

dx

dyy

( ) 582032012 3222 +−=+− xxyyxydx

dy

32012

520822

23

+−++−=

yxy

xyx

dx

dy

Ejemplo No. 84: Dada la siguiente ecuación ( ) ( )433 342

yxeyxTan yx +=+ − halle 'y

Solución:

( )( ) ( ) ( ) ( )'334'42'33 332332332 42

yyxyyxeyyxyxyxSec yx ++=−++ −

( ) ( ) ( ) ( ) '34312'42'33 3333322333232 4242

yyxyxyeyxeyyxSecyxyxSecyx yxyx +++=−++ −−

( ) ( ) ( ) ( ) 3332323333223 4242

23312'34'4'3 yxyx xeyxSecyxyxyyxyeyyyxSecyx −− −−+=+−−

( ) ( )( ) ( ) ( ) 3332323333223 4242

233123443' yxyx xeyxSecyxyxyxeyyxSecyxy −− −−+=+−−

( ) ( )( ) ( )3333223

333232

3443

31223' 42

42

yxeyyxSecyx

yxxeyxSecyxy

yx

yx

+−−++−−=

−

−


Ejemplo No. 85: Halle la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 0204222 =−−−+ yxyx en 4=x

Solución:

Primero calculemos dx

dy:

( )42

22 2242 2242 04222

−−=⇒−=−⇒−=−⇒=−−+y

x

dx

dyxy

dx

dyx

dx

dy

dx

dyy

dx

dy

dx

dyyx

Ahora calculemos la coordenada y del punto de tangencia remplazando 4=x en la ecuación de la

circunferencia:

( ) ( ) 0124 0204816 0204424 2222 =−−⇒=−−−+⇒=−−−+ yyyyyy ( )( ) 062 =−+⇒ yy

2 −=⇒ y y 6=y

Lo anterior significa que hay dos puntos de tangencia: ( )6 ,4 y ( )2 ,4 −

Es decir habrá dos rectas tangentes cuyas pendientes son:

( )( ) 4

3

462

422

64

1 −=−

−====

yxdx

dym

( )( ) 4

3

422

422

24

2 =−−

−==−=

=yxdx

dym

Por lo tanto la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia dada en los puntos ( )6 ,4 y ( )2 ,4 − son:

( ) ( )⇒−−=−⇒−=− 46 46 43

1 xyxmy 943 +−= xy

( ) ( ) ( )⇒−=+⇒−=−− 42 42 43

2 xyxmy 543 −= xy

La circunferencia y las dos rectas tangentes se muestran en la figura de la derecha.


dy

en cada caso:

a) Tanxxy =

b) xyx xe =+ 2

c) xexy =3

Solución:

En las tres ecuaciones aplicaremos un procedimiento conocido como derivación logarítmica. Veamos:

a) ( ) ⇒+=⇒=⇒=x

TanxxLnxSecdx

dy

yTanxLnxLnyxLnLny Tanx 11

2

+=x

TanxxLnxSecy

dx

dy 2

( )6 ,4

( )2 ,4 −


+=x

TanxxLnxSecx

dx

dy Tanx 2

b) ( ) ( ) ⇒+=+⇒=+⇒=+

xxLnx

dx

dyyxLnxyxxLneLn xyx 1

21 22

y

Lnx

dx

dy

2=

c) ( ) ( ) ⇒+=⇒=⇒=x

eLnxedx

dy

yLnxe

dx

dy

y

yxLnyLn xxxex 13

3

3

23

+=

x

eLnxe

y

dx

dy xx

3

4.12. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

4.12.1. Segunda derivada

Si f es una función derivable, su derivada 'f también es una función la cual puede ser derivable. Dicha derivada

se representa como "f y se denomina segunda derivada de f . Si ( )xfy = , algunas notaciones para la segunda

derivada son:

Modo en que está escrita la función Notación Modo en que está escrita la función Notación

Como una ecuación

"y

Como una función

( )xf "

2

2

dx

yd

2

2

dx

fd

dx

dy

dx

d

dx

df

dx

d

Nota: Si se desea hallar el valor de una segunda derivada en un número específico a se utiliza la siguiente

notación ax

dx

yd

=2

2

Ejemplo No. 87: Si ( ) )( SenxCosxLnxf = pruebe que xxCosSen

xf22

1)(" −=

Solución:

Cosx

Senx

Senx

Cosx

SenxCosx

SenxSenx

SenxCosx

CosxCosx

SenxCosx

SenxSenxCosxCosxxf −=−=−=)('

( ) ( )xCos

xSenxCos

xSen

xCosxSen

xCos

SenxSenxCosxCosx

xSen

CosxCosxSenxSenxxf

2

22

2

22

22

)("

+−+−=+−−−=

=+−=−−=xxCosSen

xSenxCos

xCosxSen 22

22

22

11

xxCosSen 22

1−

Ejemplo No. 88: Si 1644 =+ yx pruebe que 7

2

2

2 48

y

x

dx

yd −=

Solución:

3

333 044

y

x

dx

dy

dx

dyyx −=⇒=+


( ) 6

642

6

632

6

3

32332

23

2332

3

3

2

2

33333333

y

y

xyx

y

y

xyx

y

y

xyxyx

y

dx

dyyxyx

y

x

dx

d

dx

dy

dx

d

dx

yd

+

−=+

−=

−−

−=−

−=

−=

=

( ) ( ) =−=+−=+−=7

2

7

442

7

642 163333

y

x

y

xyx

y

xyx 7

248

y

x−

Ejemplo No. 89: Halle los valores de m para los cuales la curva mxey = satisface la ecuación ''' yyy =+

Solución:

Tenemos que mxmey =' y mxemy 2"= . Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( ) 01 01 0 2222 =−−⇒=−−⇒=−−⇒=+ mmmmeemeememmee mxmxmxmxmxmxmx

Apliquemos formula general para resolver la ecuación cuadrática anterior. Tenemos que 1=a , 1−=b y 1−=c , por lo tanto:

( ) ( ) ( )( )( ) ⇒

±=+±=−−−±−−

=−±−=2

51

2

411

12

11411

2

422

a

acbbm

2

51+=m y 2

51−=m

En general podemos interpretar la segunda derivada de una función como la razón de cambio de una razón de cambio. El ejemplo más común es la aceleración la cual definiremos a continuación.

4.12.1.1. Interpretación física de la segunda derivada

( )tf " es la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta según la ecuación de posición

( )tfy = en el instante de tiempo t

4.12.2. Tercera derivada y n-esima derivada

Si f es una función derivable, su segunda derivada ''f también es una función la cual puede ser derivable. Dicha

derivada se representa como '''f y se denomina tercera derivada de . Si ( )xfy = , algunas notaciones para

la tercera derivada son:


Como una ecuación

'''y

Como una función

( )xf '''

3

3

dx

yd

3

3

dx

fd

2

2

dx

yd

dx

d

2

2

dx

fd

dx

d

Nota: Si se desea hallar el valor de una tercera derivada en un número específico a se utiliza la siguiente notación

axdx

yd

=3

3

f


El proceso puede continuar y tendríamos la cuarta derivada ''''f , la cual suele denotarse por ( )4f . En general la

n-esima derivada de f se denota con ( )nf y se obtiene derivando n veces la función f . Si ( )xfy = , algunas

notaciones para la n-esima derivada son:


Como una ecuación

( )ny

Como una función

( )( )xf n

n

n

dx

yd

n

n

dx

fd

−

−

1

1

n

n

dx

yd

dx

d

( )

−

−

1

1

n

n

dx

xfd

dx

d

Nota: Si se desea hallar el valor de una n-esima derivada en un número específico a se utiliza la siguiente

notación ax

n

n

dx

yd

= � EJERCICIOS PROPUESTOS No. 12

1. Halle la derivada de las siguientes funciones:

a) ( )323 223

xxxxy ++−= − i)

++=

2

12

3

x

xSeny q) ( )( )[ ]1++= xeLnSecTany x

b) ( )1+

=xe

xSenxxf j) ( ) ( )

3

42

31

32

x

xxf

−

−= r) ( )[ ]3 2)( senxxeSecxh x=

c) 3

32

32

t

ty

−+= k) ( ) ( )( )( )1543 3 +−+= zzzzzf s)

4

1

1)(

+−=

x

x

e

eLnxf

d) ( ) ( )Senxx

exLnxf

x

++= l) ( )[ ]41

3

+= xLneSeny x t)

4 2

2

+=

x

eSeneTany

xxex

e) ( ) ( )3332 523 −+= xxy m) ( )senteSeny = u) SenxTanxxexf x=)(

f) xx

xx

ee

eexf −

−

+−=)( n) ( )[ ]1)(

432 += xeTanLogxf v)

Tanteetg =)(

g) ( ) ( )11 2222 ++= tCostSeny o)

+=x

x

ex

xeSen

ey3

w) ( )[ ]2 432

)(xexsenexf =

h) 5 32 2)( ++= xxxg p) ( )[ ]323)( xexTanSenxf = x)

( ) ( )( )35 32

xTaneSeny xCos=

2. Si 22

22

xa

xay

−+= pruebe que

( ) 2

322

32

3

xa

xxa

dx

dy

−

−=

3. Halle los puntos sobre la curva 123 +−−= xxxy en donde la recta tangente es horizontal.

4. Halle los puntos sobre la curva Senx

Cosxy

+=

2 en donde la recta tangente es horizontal.

5. Halle los puntos sobre la curva xSenSenxy 22 += en donde la recta tangente es horizontal.


6. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 1

1

+−=

x

xy que sean paralelas a la recta

22 =− yx

7. En cual punto sobre la curva 132 +−= xey x la recta tangente es paralela a la recta 53 =− yx

8. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el ( )3 ,2 − y que son tangentes a la parábola

xxy += 2

9. La recta normal a una curva C , en un punto P , es por definición, la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente a la curva C en el punto P . Halle la ecuación de la recta normal a la parábola 21 xy −= , en el punto ( )3 ,2 − . Grafique la parábola y su recta normal.

10. Halle una parábola con ecuación bxaxy += 2 y cuya tangente en ( )1 ,1 tenga la ecuación 23 −= xy

11. Para que valores de a y b es la recta byx =+2 , tangente a la parábola 2axy = cuando 2=x

12. Halle los valores de las constantes a , b y c de tal manera que las graficas de los polinomios ( ) baxxxf ++= 2 y ( ) cxxg −= 3 se corten en el punto ( )2 ,1 y tengan la misma tangente en dicho

punto. 13. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 52169 22 =+ yx que sean paralelas a la recta

189 =− yx

14. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación ktae

tp −+=

1

1)( , donde )(tp es la

proporción de la población que lo conoce en el instante de tiempo t , a y k son constantes positivas. Halle la velocidad de esparcimiento del rumor.

15. En cada caso halle dx

dy empleando derivación implícita.

a) xxyyx 322 =+ d) ( ) ( ) 1++−+=+ yxyxTanxye xySen g) ( ) ( ) 2222

yxxySece yx +=+

b) 2

1325 xyeyxy +=+ e) ( ) ( ) 1222

+=++ yxxySene yx h) ( ) 102233 −+=++ yxyxSecyexe xy

c) ( )yxLne y 33 += f) yx

yxy

+−=3 i) yxxy eye +=

16. Halle las ecuaciones de la rectas que pasa por el punto ( )3 ,2 y son paralelas a la recta normal a la curva

con ecuación 0145722 =−+−+ yxyx en 1−=x 17. Halle la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva 934064 22 −=−++ yxyx en los

puntos donde 2−=x 18. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )2 ,0 y es paralela a la recta normal de la curva con

ecuación 224224 9696 yxyxyyxx +−=++ en el punto ( )0 ,1−

19. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva ( ) ( )22222 252 yxyx −=+ en el punto ( )1 ,3

20. Pruebe por derivación implícita que la tangente a la elipse 12

2

2

2

=+b

y

a

x en el punto ( )00 , yx es

12

02

0 =+b

yy

a

xx


21. Si 122 =+ yx pruebe que

( )( )1

'1

"

2

32

=+ y

y

22. Si 122 =++ yxyx , emplee derivación implícita para hallar ''y

23. Si 1243 22 =+ yx pruebe que 34

9"

yy −=

24. En cada caso halle dx

dy empleando derivación logarítmica y derivación implícita.

a) xxy = b) Senxxy = c) ( )xLnxy = d) Lnxxy = e) xexy = f) xy yx =

25. Si xyx xe =+ 2

pruebe que xxLnx

Lnx

dx

dy

−=

2

26. Si 22 xxy = pruebe que ( )xLnxx

x

dx

dy x

22

2

+=

27. Si ( ) [ ] SenxySenx Senxe =+ pruebe que ( )SenxCosxLndx

dy =

28. Si 33 3xyx xe =+ pruebe que Lnxx

dx

dy 29=

29. Si ( )TanxeSenyLnx xe1022

=+ , halle dx

dy y exprese tal derivada en función de x

30. Si

= xLn

axf1

)( , halle ( )xf "

31. Si ( )1)( += xeLnxf halle ( )xf ''

32. Si ( )1)( += SenxLnxf pruebe que 1

1)(''

+−=

Senxxf

33. Si ( )xeSenxLnxf +=)( pruebe que ( ) 2''

21)(

x

x

exSen

xCosexf

++−=

34. Pruebe que la función xx beaey 34 −+= donde a y b son constantes, es una solución de la ecuación

diferencial 012'" =−− yyy

35. Si ( ) ( )ktBCosktASeny += , donde A , B y k son constantes. Pruebe que ykdt

yd 22

2

−=

36. Pruebe que el área del triangulo que forma el eje y , la recta tangente y la recta normal a la curva 26 xxy −= en el punto ( )5 ,5 es 8

425

37. Pruebe que la hipérbola 522 =− yx y la elipse 7294 22 =+ yx se cortan en ángulos rectos.

38. Un cable de suspensión de un puente esta sostenido por pilares que distan 250pies. Si el cable tiene forma parabólica con su punto más bajo situado a 50 pies por debajo de los puntos de suspensión. Pruebe que el ángulo entre el cable y el pilar es '20 º51

unidad 4 reglas para derivar

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