Prof. Domingo de la Cerda

Sistemas Lineales Invariantes en el TiempoPara comenzar a estudiar los sistemas, debemos primero considerar el

concepto de señal.

Si bien es un término de muy amplio alcance, en el contexto que nos atañeconsideramos como señal a toda variación de una cantidad física (por lo generalcon el tiempo) susceptible de ser representada matemáticamente y de la cualpodemos obtener alguna información o realizar algún cambio.

Según su naturaleza podemos clasificar a las señales en dos grupos, a saber:las que pueden definirse en cada instante de un determinado intervalo, llamadasseñales de tiempo continuo, y aquéllas que pueden representarse como unasucesión de de valores ordenados mediante un índice entero, llamadas señales detiempo discreto. (El uso de la palabra "Tiempo" establecida por el uso alude a que lamayoría de las señales procesadas dependen del tiempo, sin ser éste el casogeneral).

Con esto, definiremos como sistema a cualquier ente físico o proceso capaz derecibir una señal, denominada de entrada, o excitación ( x(t) ), y transformarla en otraseñal que denominaremos de salida o respuesta. ( y(t) )

Según la naturaleza de las señales que los sistemas procesan, usualmente se losclasifica tambien como "de tiempo continuo" o "de tiempo discreto".

Como puede apreciarse, las definiciones previas son de carácter muy general.Esto pone en evidencia una de las grandes ventajas de la teoría de señales ysistemas, esto es: puede aplicarse al estudio de una gran cantidad de problemasreales de muy diversa naturaleza física.

En este trabajo centraremos nuestra atención en un tipo particular de sistemas,denominados “Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo” o “SLTI”,

Nota: Si bien este trabajo está desarrollado en tiempo continuo, pueden hallarserelaciones totalmente análogas para los sistemas de tiempo discreto

Linealidad

Se dice que un sistema es lineal si cumple con el llamado principio desuperposición, el cual a su vez se compone de dos partes :

1. Homogeneidad: ( ) ( ) ( ) ( )si x t y t kx t ky t (1)

2. Aditividad: 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )si x t y t x t y t x t x t y t y t (2)

Combinando la (1) y la (2): )()()()( 22112211 tyktyktxktxk (superposición)

Evidentemente, esto se cumplirá si el sistema, para obtener la salida, efectúasobre la señal de entrada operaciones que son matemáticamente lineales, como ser:suma, multiplicación por una constante, diferenciación e integración.

A partir de esto es importante entender porqué las ecuaciones íntegro-diferenciales lineales son la herramienta apropiada para modelar matemáticamentela relación entrada-salida de este tipo de sistemas, ya que en ellas, en su formageneral, intervienen todas las operaciones antedichas.

Invariabilidad Temporal

Decimos que un sistema es invariante en el tiempo, si la respuesta del mismo nodepende del momento en que es excitado, formalmente:

0 0( ) ( ) ( ) ( )si x t y t x t t y t t (3)

Esta es una propiedad importante del sistema, puesto que lo hace más predecibley posibilita su análisis por medio de los métodos que estudiaremos mas adelante.

Físicamente, la invariabilidad temporal implica que los constituyentes de nuestrosistema, no se alterarán y conservarán sus propiedades con el paso del tiempo: "susparámetros son constantes"

Por ejemplo, un circuito electrónico no sería invariante en el tiempo si suscomponentes (resistencias, inductores, condensadores, etc...) cambiasen de valor,como sucede por degradación de los materiales que los componen, lo cual en generales un proceso lento.

Es importante señalar que la invariabilidad temporal del sistema establece que laecuación diferencial lineal que lo define sea a coeficientes constantes, pues dichoscoeficientes están definidos por los componentes físicos del sistema (resistencias,inductores, masas, resortes, amortiguadores, etc.).

Consecuencias Importantes

El hecho de que un sistema sea LTI, hará más manejable su análisis: puesto quees posible descomponer a una señal arbitraria en componentes más simples, hallar lasrespuestas del sistema a cada una de ellas, y luego, por el principio de superposición,sumar dichas respuestas para obtener la respuesta total a la entrada arbitraria(compuesta).

Esta forma de tratamiento, como se verá, sirve de base para varios métodos deanálisis de SLTI, en particular:

1 La interpretación de una señal arbitraria como una suma de impulsosponderados, es la base del método de convolución, que caracterizaal sistema en función de su respuesta impulsiva.

2 La representación de la señal de entrada como una suma desinusoides armónicas ponderadas, conduce a las Series de Fourier.

3 La descomposición de una señal arbitraria en una suma deexponenciales complejas ponderadas, es una serie de Fourier de tipoexponencial y es la base para el estudio por medio de lastransformadas de Fourier y de Laplace.

Método de Convolución

Ahora profundizaremos sobre el primero de los métodos de análisis de SLTIantes mencionados.

El método de convolución sirve para hallar la respuesta del sistema a unaentrada arbitraria, conociendo previamente la respuesta impulsiva del mismo.

Llamamos repuesta impulsiva, h(t), a la respuesta del sistema cuando esexcitado con la señal delta de Dirac o simplemente, impulso δ (t) ( nos referiremos alimpulso unitario, o sea de área = 1 ).

Ésta es una señal que posee amplitud infinita, duración infinitesimal y áreafinita.

Como puede deducirse de sus características, δ (t) es una señal meramenteteórica y no reproducible en la práctica. Por lo tanto, debemos conformarnos conaproximarla mediante un pulso de una amplitud y duración determinados de maneratal que el error cometido esté dentro los márgenes aceptables para el caso.

Una de las propiedades más importantes del impulso es, como sabemos, la demuestreo de una señal, o selección del impulso. Esto es:

dxttx .)()()(

Propiedad que puede verificarse fácilmente. Este tipo de integrales no se evalúaanalíticamente por los métodos clásicos. Hay que ver que el producto en el integrandoes, en definitiva, la δ (-t) con área (coeficiente) = x(t) ubicada en = t. Podemossacar x(t) que actúa como coeficiente, de la integral que procede ( se evalua) por .

Así: x(t) = x(t) δ (-t) d = x(t) dado que el área de δ (-t) =1-

Aquí podemos ver cómo una señal cualquiera puede ser representada como una“suma“ (considerando a la integral como el límite de una suma) de impulsosdesplazados en el tiempo y ponderados por el valor de la señal en ese instante. Estopuede verse de una manera más gráfica en tiempo discreto, o bien, si lo consideramoscomo el límite de la aproximación de la señal por medio de pulsos rectangularestomando en el intervalo una mayor cantidad de pulsos de menor duración.

Aquí esta la clave del método de convolución, a saber:

a. Ya que podemos representar cualquier señal como una “suma” de impulsosponderados; si excitamos un SLTI con una señal arbitraria x(t) es posible,gracias al principio de aditividad, determinar la salida analizando únicamentelas respuestas a cada uno de los impulsos que la componen y luego sumarlas.

b. Si bien es cierto que el proceso de encontrar las respuestas a todos losimpulsos que componen x(t) podría parecer en principio un trabajo tedioso yquizás imposible (pues en tiempo continuo la señal está compuesta por infinitosimpulsos) , puede solucionarse esto considerando que los impulsos quecomponen la señal difieren unos de otros únicamente en su posición temporal ysu “ponderación” (determinada por la constante que los multiplica); así,podremos representarlos genéricamente como K δ (t-to) y ver que, haciendouso de otras dos propiedades de los SLTI, la homogeneidad e invariancia en eltiempo, la respuesta a este impulso genérico será K h(t-to), donde h(t) es larespuesta al impulso unitario ubicado en el origen y constituye la incógnita realdel problema, ya que K y to dependen de la señal de entrada.

En síntesis, si conocemos h(t) podremos obtener las respuestas de todos los

impulsos que conforman x(t) y luego sumando dichas respuestas obtener la respuesta“completa” del sistema a x(t), o sea y(t).

Todo este proceso expresado matemáticamente nos permite llegar a la expresióngeneral para obtener la respuesta y(t) de un SLTI, caracterizado por su respuestaimpulsiva h(t), a una entrada x(t) dada.

Esta expresión es conocida como integral de convolución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d x t h t

(4)

Nota: Para la contraparte discreta, denominamos a este proceso suma deconvolución.

Con esta expresión, trabajaremos en el desarrollo de los ejemplos que siguen:

A) Ejemplo 1. Dado el siguiente circuito:

R

+ +Con: R= 1 [MΩ] y

C= 1 [μf] x(t) i(t) C y(t)

- -

a. Hallar la ecuación diferencial que establece la relación entrada salida.

Las relaciones volt-ampere (ley de Ohm) de los componentes del circuito son:

Resistor: (t)iR(t)v RR (5) ; Capacitor:dt

tdvCti CC

)()( (6)

Utilizando la ley de las tensiones de Kirchhoff, podemos escribir:

)()( v(t)x R tyt Utilizando (5): cx (t ) i( ) ( ) i ( ) ( )R t y t R t y t

Utilizando (6): ( )x (t ) ( )Cdv tR C y tdt

(7)

Reemplazando valores: ( ) ( )x (t ) ( ) ( )dy t dy tRC y t y tdt dt

(8)

Que es la relación entrada-salida que define el sistema en cuestión.

b. Verificar si el sistema determinado por el circuito es lineal e invariante enel tiempo.

Para que el sistema sea lineal debemos verificar:

I) Homogeneidad: Si multiplicamos ambos miembros de (8) por una constantearbitraria K obtenemos

( )Kx(t ) ( )dy tK RC y tdt

Luego distribuyendo la K en el segundo miembro

( )Kx(t ) ( )

d Ky tRC Ky t

dt

Aquí puede apreciarse como a la entrada Kx(t) le corresponde la salida Ky(t), ósea secumple la (1) y el sistema es homogéneo.

II) Aditividad: Según (8) es posible escribir para dos entradas x1 (t) y x2 (t)cualesquiera:

)()((t)x 11

1 tydt

tdyCR

)()((t)x 22

2 tydt

tdyCR

Sumando estas dos expresiones miembro a miembro, obtenemos.

)()()()((t)x(t)x 22

11

21 tydt

tdyCRtydt

tdyCR

Reordenando.

1 21 2 1 2

( ) ( )x (t ) x (t ) ( ) ( )

d y t y tRC y t y t

dt

Aquí puede apreciarse como a la entrada x1 (t) + x2 (t) le corresponde la salida y1 (t) +y2 (t), o sea, se cumple la (2) y el sistema es aditivo.

Con esto se concluye en que el sistema es Lineal.

Esto podría haberse deducido con el solo hecho de analizar la ED que define elsistema, la (7), ya que como dijimos, si un sistema sólo realiza operacionesmatemáticamente lineales para obtener la salida, evidentemente nuestro sistema será“lineal”. Esto se refleja al ver cómo las verificaciones de la homogeneidad y aditividaddel sistema se lograron gracias a que las operaciones matemáticas que intervienen(diferenciación, suma y multiplicación por una constante) poseen estas mismaspropiedades.

Respecto a la invariabilidad en el tiempo del sistema, podemos ver comoésta se cumple considerando que los coeficientes de la (8), a saber, los valores de Ry C, se mantienen constantes en el tiempo (idealmente). Así si excitamos el circuitoen diferentes momentos con una misma señal obtendremos la misma respuesta enlos respectivos distintos momentos (aquí tomamos al circuito descargado, o sea queen el capacitor no hay energía almacenada al momento de excitarlo), pues si loscomponentes (y su interconexión) no varían sus características, el sistema queconforman es el mismo. (Recordemos también que la determinación de h (t) supone elsistema sin energía inicial = en reposo)

Es importante recordar que todo sistema está definido totalmente por laED que establece la relación entre su entrada y su salida, y a su vez toda EDlineal de un orden determinado se define totalmente por los coeficientes que enella intervienen.

Función de transferenciaUna función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cocienterelaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación(también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones detransferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o desistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en eltiempo. Es por eso que la podemos definir matemáticamente como:

La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se definecomo el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada deLaplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iníciales son nulas.

El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada,permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces enlas que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa laregión frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación almismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito,respectivamente.

Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo engenerar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en darrespuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por laexcitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando comoresultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de laconvolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por ladeconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado ladescripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el procesode contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, selogra de forma matricial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vectorde entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento delsistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solobaste ver que la convolución discreta es representada por un producto de un vector omatriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observacomo una sumatoria.

Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de sutransformación matemática.

Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:

donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es latransformada de Laplace de la respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de laseñal de entrada.

La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistemainicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de

y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversade Y(s):

Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie devalores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estossistemas frente a valores concretos.

Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representacomo:

Modelado - Ejercicio Modelado de un sistema eléctrico

Obtener la función de transferencia del filtro RC de la siguiente figura, así como la dedos de estos filtros puestos en cascada.

Solución:

Considerando que i(t) es la intensidad que recorre la única malla del circuito, tal y comose observa en la siguiente figura:

la caída de tensión en la misma u(t) y la que se produce en los bornes del condensadorse pueden expresar de la forma:

despejando la intensidad de la segunda ecuación se tiene que la misma es i(t) = C ,que sustituyendo en la primera permite obtener la ecuación diferencial del sistema enfunción únicamente de las variables de entrada u(t) y de salida v(t):

Finalmente, aplicando la transformada de Laplace a la anterior ecuación (considerandolas condiciones iniciales nulas) y despejando se tiene la función de transferencia delcircuito: