Métodos Numéricos I

UNIDAD 4: FACTORIZACIÓN LU Y SUS APLICACIONES

Introducción

Página 123

UnidaUnidaUnidaUnidad 4.d 4.d 4.d 4. Factorización LU y sus Factorización LU y sus Factorización LU y sus Factorización LU y sus AplicacionesAplicacionesAplicacionesAplicaciones

Introducción

Si A puede escribirse como el producto de dos matrices LU:

Dónde:

LUA =

L= Matriz triangular inferior.

U= Matriz triangular superior.

Para poder resolver un sistema de ecuaciones utilizando esta factorización se tiene:

Sistema de Ecuaciones

−−

= bxA

LUA =

−−

= bxLU

bCL =

−

44434241

333231

2221

11

0

00

000

llll

lll

ll

l

4

3

2

1

C

C

C

C

=

4

3

2

1

b

b

b

b

Métodos Numéricos I

UNIDAD 4: FACTORIZACIÓN LU Y SUS APLICACIONES

Introducción

Página 124

Sustitución hacia adelante:

1111bCL = ⇒

11

1

1

L

bC =

2222121bCLCL =+ ⇒

22

121

22

2

2

L

CL

L

bC −=

3333232131bCLCLCL =++ ⇒

33

232

33

131

33

3

3

L

CL

L

CL

L

bC −−=

4444343242141bCLCLCLCL =+++ ⇒

44

343

44

242

44

141

44

4

4

L

CL

L

CL

L

CL

L

bC −−−=

44

3433

242322

14131211

000

00

0

U

UU

UUU

UUUU

4

3

2

1

x

x

x

x

=

4

3

2

1

C

C

C

C

Sustitución hacia atrás:

4344CxU = ⇒

44

4

4

U

Cx =

3434333CxUxU =+ ⇒

33

434

33

3

3

U

xU

U

Cx −=

2424323222CxUxUxU =++ ⇒

22

424

22

323

22

2

2

U

xU

U

xU

U

Cx −−=

1414313212111CxUxUxUxU =+++ ⇒

11

414

11

313

11

212

11

1

1

U

xU

U

xU

U

xU

U

Cx −−−=

Se encuentra C por medio de una sustitución hacia delante CxU =

−

, por medio de una

sustitución hacia atrás se encuentra

−

x la solución al sistema de ecuaciones.

Métodos Numéricos I

UNIDAD 4: FACTORIZACIÓN LU Y SUS APLICACIONES

Introducción

Página 125

Ejemplo

Supóngase que se desea resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

14 1 1 1 2 x1 2

4 12 1 1 1 x2 4

2 -2 8 -2 2 X x3 = 12

1 1 -1 12 -2 x4 1

1 1 2 -2 14 x5 8

Si conocemos la factorización donde L y U son las siguientes matrices:

1 0 0 0 0

L= 0.28571429 1 0 0 0

0.14285714 -0.18292683 1 0 0

0.07142857 0.07926829 -0.14122137 1 0

0.07142857 0.07926829 0.23435115 -0.14295125 1

14 1 1 1 2

U= 0 11.7142857 0.71428571 0.71428571 0.42857143

0 0 7.98780488 -2.01219512 1.79268293

0 0 0 11.5877863 -1.92366412

0 0 0 0 13.1280632

Si necesitamos resolver el sistema de ecuaciones y ya conocemos las matrices L y U sólo

se realiza una sustitución hacia adelante para conocer los valores de −

C como se muestra:

L C b

1 0 0 0 0 c1 2

0.28571429 1 0 0 0 c2 4

0.14285714 -0.18292683 1 0 0 c3 = 12

0.07142857 0.07926829 -0.14122137 1 0 c4 1

0.07142857 0.07926829 0.23435115 -0.14295125 1 c5 8

Posteriormente se realiza una sustitución hacia adelante:

U X C

14 1 1 1 2 x1 2

0 11.7142857 0.71428571 0.71428571 0.42857143 x2 3.428571

0 0 7.98780488 -2.01219512 1.79268293 x3 = 12.34146

0 0 0 11.5877863 -1.92366412 x4 2.328244

0 0 0 0 13.1280632 x5 5.025955

Métodos Numéricos I

UNIDAD 4: FACTORIZACIÓN LU Y SUS APLICACIONES

Introducción

Página 126

Y la solución del sistema es:

⇒

x1 -0.0518155

x2 0.16951687

x3 = 1.52574216

x4 0.26447683

x5 0.38284057

Hay varias formas de transformar a la matriz de coeficientes A en las dos matrices L y U para hacerlo en este capítulo se verán los métodos de:

1. Cholesky

2. Doolittle

3. Crout