unidad 4 disenho de experimentos

Unidad 4: Diseno de Experimentos

Correlacion y Diseno de ExperimentosUnidad 4: Diseno de Experimentos

Yovaninna Alarcon [email protected]

Primer Semestre - 2014

Correlacion y Diseno de ExperimentosUniversidad San Sebastian


Indice

1 Nociones Basicas del Diseno de Experimentos

2 Disenos Completamente Aleatorizados: DCA


Nociones Basicas del Diseno de Experimentos

Control de un fenomeno mediante su relacion con otrasvariables



Donde usar un Diseno de Experimentos?

En el rendimiento de un determinado tipo de maquina (uni-dades producidas por da): se desea estudiar la influencia deltrabajador que la maneja y la marca de la maquina.

Se quiere estudiar la influencia de un tipo de pila electrica y dela marca, en la duracion de las pilas.

Una compana telefonica esta interesada en conocer la influen-cia de varios factores en la variable duracion de una llamadatelefonica (hora, da, zona, genero, tipo de telefono).



Cual es su objetivo?

Objetivo

El objetivo del diseno de experimentos es estudiar si cuando se utilizaun determinado tratamiento se produce una mejora en el proceso ono. Para ello se debe experimentar aplicando el tratamiento y noaplicandolo.



Elementos del Diseno de Experimentos

Variable respuesta

Es la variable asociada al fenomeno que nos interesa estudiar.

Variables experimentales o factores

Conjunto de variables que influyen en la respuesta y que se fijan aciertos niveles antes del experimento.

Unidades experimentales

Individuos que intervienen en el experimento y que son observadosa un nivel determinado de cada uno de los factores.

Tamano del experimento

Numero total de unidades experimentales en el experimento




Factores y sus niveles

Se denomina factor tratamiento a cualquier variable de interes parael experimentador cuyo posible efecto sobre la respuesta se quiereestudiar. Los niveles de un factor tratamiento son los tipos o gradosespecficos del factor que se tendran en cuenta en la realizaciondel experimento. Los factores tratamiento pueden ser cualitativos ocuantitivativos. Ejemplo:

Proveedor (diferentes proveedores de una materia prima)

Tipo de maquina (diferentes tipos o marcas de maquina).

El genero (mujer y hombre)

Temperatura (conjuntos de temperaturas seleccionadas en unosrangos de interes).

Por lo general, un factor no tiene mas de 4 niveles.




Unidad Experimental

Son el material donde evaluar la variable respuesta y al que se leaplican los distintos niveles de los factores tratamiento. Por ejemplo:

En informatica, computadores, paginas web, buscadores de in-ternet.

En agricultura, parcelas de tierra.

En medicina, individuos humanos o animales.

En industria, lotes de material, trabajadores, maquinas.

Ojo: Constituyen una sola replica.




Error Experimental

Variacion que presentan las unidades experimentales a las que se lehan aplicado el mismo tratamiento y en forma independiente.

Unidad Muestral

Unidad en la que se hacen las mediciones. Muchas veces coincidecon la unidad experimental, pero en otras no. Cuando se experimen-ta un metodo docente en distintas aulas de un colegio la unidadexperimental es el aula, mientras que la unidad observacional es elalumno. Lleva asociado un error muestral.




Replicas

Permiten un estimador independiente del error experimental ypermiten que el experimento tenga mas poder para detectardiferencias entre tratamientos.

Este error es basado en la desviacion estandar entre repeticionesy permite probar, desde el punto de vista estadstico formal, unahipotesis de igualdad o diferencia de medias de poblaciones.

Usualmente es mas barato repetir el experimento que tener mastratamientos.



Tipos de estudio

Podemos tener estudios experimentales y observacionales.

En los experimentos las variables independientes de interes soncontroladas por el investigador.

En los estudios observacionales las variables independientes noson controladas por el investigador, en estos casos los sujetoso unidades se autoseleccionan en grupos.



Aleatorizacion

Colocar al azar los tratamientos a las unidades experimentales:

Previene sesgos sistematicos debido a cambios no controlablesen las condiciones experimentales.

Minimiza la posibilidad que cambios sistematicos en condicionesambientales correspondan a patrones de respuesta del procesobajo estudio.



Diseno Equilibrado

Definicion

El diseno se dice que es equilibrado o balanceado cuando, para cadanivel del factor, se mide la variable respuesta en el mismo numerode individuos.



Etapas

Definir los objetivos del experimento. Identificar todas las po-sibles fuentes de variacion, incluyendo:

Factores tratamiento y sus niveles,Unidades experimentales,

Elegir una regla de asignacion de las unidades experimentalesa las condiciones de estudio (tratamientos).

Especificar las medidas con que se trabajara (la respuesta), elprocedimiento experimental y anticiparse a las posibles dificul-tades.



Etapas

Ejecutar un modelo piloto.

Especificar el modelo.

Esquematizar los pasos del analisis.

Determinar el tamano muestral.

Revisar las condiciones anteriores. Modificarlas si es necesario.



Modelos de Diseno de Experimentos

Modelo de efectos fijos (Asociado al Diseno Experimental)

Modelo de efectos aleatorios (Asociado al Diseno Observacio-nal)

Modelos mixtos



Factor fijo o aleatorio?

Modelo de Efectos Fijos

Los t tratamientos o niveles pudieron ser elegidos expresamente porel experimentador:

Quieren probarse hipotesis acerca de las medias de los trata-mientos

Las conclusiones se aplicaran unicamente a los niveles del factorconsiderados en el analisis.

Las conclusiones no pueden extenderse a tratamientos similaresque no fueron considerados explcitamente.

Tambien podria tratar de estimarse los parametros del modelo(, i , varianza).



Factor fijo o aleatorio?

Modelo de Efectos Aleatorios

Los t tratamientos podrian ser una muestra aleatoria de unapoblacion mas grande de tratamientos.

Sera deseable poder extender las conclusiones (se basan en lamuestra de los tratamientos) a la totalidad de los tratamientosde la poblacion.

Las i son variables aleatorias.

Lo que se obtiene sobre las i particulares que se investigarones relativamente inutil.

Se suelen probar hipotesis sobre la variabilidad de las i y seintenta estimar su variabilidad. A este modelo tambien se lellama modelo de los componentes de la varianza.

Este modelo no lo estudiaremos en este curso.



Ejemplo: Como distinguir?

Supongamos se esta estudiando si los profesores hombres o mujeresobtienen calificaciones mas altas, entonces el sexo sera un efecto fijo(porque siempre encuestaras a hombres y mujeres); pero el profesorpodra ser un efecto aleatorio porque si haces nuevamente el estudiopodras encuestar a profesores diferentes. Estos profesores son unamuestra aleatoria de todos los profesores y tu no estas interesado enestos profesores en particular. Por otro lado, si estuvieras estudiandoque profesores en tu universidad eran los lectores mas claros, enton-ces los profesores seran el efecto fijo, porque si hicieras nuevamenteel estudio, volveras a encuestar a los mismos profesores. Estos noson una muestra aleatoria, y tu estas interesado en estos profesoresen particular.



Ejemplo: 16 plantas de pino, 4 contaminantes

Cuantos tratamientos hay?

Cuantas unidades experimentales?

Cuantas replicas hay?


Disenos Completamente Aleatorizados: DCA

DCA

El modelo estadstico para estudios comparativos supone que hayuna poblacion de referencia de u.e. En muchos casos la poblaciones conceptual.Cada unidad de la poblacion tiene un valor de la variable de respues-ta, y , la cual tiene media y varianza 2.Se supone una poblacion de referencia para cada tratamiento con-siderado en el estudio, y las variables en el experimento se suponenseleccionadas aleatoriamente de dicha poblacion de referencia, comoresultado de la aleatorizacion.Nota: Para estudios observacionales, suponemos que las unidadesobservadas se seleccionaron aleatoriamente de cada una de las po-blaciones.



Disenos con una fuente de variacion

O disenos de un factor, una va o one way.

Este modelo de diseno tiene un unico factor con t niveles (otratamientos). Las unidades experimentales se asignan al azara los tratamientos.




Nuestro interes es contrastar la igualdad de las medias de los tniveles de un factor, esto es, estudiar la influencia de un factorcon t niveles en la variable de interes.

Observar que al igual que en regresion la estimacion de parame-tros no se necesita de supuestos distribucionales y se realiza pormedio de mnimos cuadrados cuadrados.

Los supuestos distribucionales son necesarios a la hora de de-terminar si el modelo, o mejor dicho, los parametros estimadosson o no significativos.




Modelo

Modelo de medias de celda: Yij = i + ij , con i = 1, 2, . . . , t,j = 1, 2, . . . , ri

Modelo de efectos del factor: Yij = + i + ij , coni = 1, 2, . . . , t, j = 1, 2, . . . , ri . Este ultimo modelo asume quei = + i , con i = 1, . . . , r , donde es una constantecomun.

rii = 0

Los errores son variables aleatorias independientes identicamente dis-tribuidos, con distribucion normal N(0, 2). Esto es los niveles delos factores son fijos, la varianza de la respuesta es constante y lasobservaciones Yij son independientes.




Como en el caso de los modelos de regresion lineal, los modelos dediseno experimental, pertenecen a la familia de modelos lineales, losque tienen, por tanto, la misma forma basica que aquellos; es decir,podemos representar el modelo,

Yij = + i + ij con i = 1, . . . , t j = 1, . . . , r

Por su forma matricial equivalente:

Y = X +



Tabla de ANOVA

F de V gl SC CM F valor-p

Tratamientos t 1 SCTrat CMTrat CMTratCMEError Exp. N t SCError CME

Total N 1 SCTotal

E (CME ) = 2

E (CMTrat) = 2 + 2i , donde 2i =

ti=1 ri

2i

t1



Tabla de ANOVA

Descomposicion de la varianza

SCTrat =t

i=1

ri (yi . y..)2

SCError =t

i=1

rij=1

(yij yi .)2

SCTotal =t

i=1

rii=1

(yij y..)2



Tabla de ANOVA

Yij =rendimiento de la j-esima unidad para el i-esimo trata-miento.

Yi . =

j Yij = total de los rendimientos para el i-esimo trata-miento.

Y.. =

i Yi =

i

j Yij = gran total de todos los rendimien-

tos.

Yi . =Yi.r

Y.. =Y..rt



Tabla de ANOVA



Tabla de ANOVA

Prueba de Hipotesis asociada al estadstico F

En un modelo de medias de celda:

H0 : 1 = 2 = . . . = r

H1 : no todas las medias i son iguales.

Prueba de Hipotesis asociada al estadstico F

En un modelo de efectos del factor:

H0 : i = 0,i = 0, . . . , rH1 : algun efecto i es distinto de cero.

Las hipotesis de los dos modelos son equivalentes, luego el test F esvalido bajo ambas formulaciones del problema.



Tabla de ANOVA

Si el test F resulta significativo (se rechaza H0, por tanto, el fac-tor es influyente) se debera estudiar entre que tratamientos existendiferencias significativas.Una medida relativa de la variabilidad explicada por el factor es elcoeficiente de determinacion, definido como:

R2 =SCTrat

SCTotal



Ventajas y Desventajas

Ventajas

Flexibilidad, cualquier numero de tratamientos y replicas pue-den ser utilizados. Mas aun, el numero de replicas en cada tra-tamiento no necesariamente es el mismo, aunque las compara-ciones son mas precisas cuando los tratamientos son igualmentereplicados.

El analisis estadstico es simple aun con replicas desiguales, yno es complicado por perdida de los datos u observaciones.

Este diseno logra el maximo grados de libertad para el error.

Desventajas

Su precision es baja si las ue no son uniformes.



Ejemplo

Un investigador desea determinar la incidencia de la concentracionde Pb sobre un criadero de cierta especie. Para este efecto, disponede 20 estanques donde somete ensayo un numero fijo de individuosde esta especie, asignando cinco estanques por concentracion. Des-pues de un cierto periodo de prueba, se determino el numero deindividuos muertos por estanque, los que se muestran en la tablasiguiente.



Ejemplo



Otros modelos de efectos fijos

Ejemplo 1. Una compana de arriendos de autos desea estimarel consumo de bencina promedio (en kilometros por litro) parasu flota de autos consistente en un 50 % de autos compactos,un 30 % de sedanes y un 20 % de station wagons.

Ejemplo 2. Se desea saber si los gastos medios en entretencionpor familia son los mismos en casas sin ninos, con un nino ocon mas de un nino. Para ello se toma una muestra de tamanont donde n1, n2 y n3 son los tamanos de muestra por estratos(conocidos), n1 + n2 + n3 = nt .



Un ejemplo mas

Se tiene cuatro tratamientos. Ocho sujetos son asignados aleatoria-mente a cada tratamiento. Se mide el numero de errores cometidospor cada uno de ellos en una tarea de aprendizaje:

A1: grupo control

A2: droga 1

A3: droga 2

A4: ambas drogas



Datos

Tratamiento 1 2 3 4 5 6 7 8

A1 1 8 9 9 7 7 4 9

A2 12 6 10 13 13 13 6 10

A3 12 4 11 7 10 10 12 5

A4 13 14 14 17 14 14 13 14

Construir un boxplot. Comentar si se cree que hay diferenciapromedio entre los tratamientos.

Escribir el modelo. Establecer los supuestos.

Obtener la tabla de ANOVA. Comentar acerca de la hipotesisasociada.



Un parentesis: Caso particular para dos medias

Prueba t para la diferencia de dos medias

La prueba t de Student para datos independientes se utiliza cuan-do deseamos comparar unica y exclusivamente las medias entre dosgrupos (por ejemplo, deseamos saber si la altura vara segun el gene-ro), mientras que el ANOVA resulta conveniente cuando deseamossaber si las cifras de tension alteriar sistolica difieren segun la edad,considerando a los sujetos en 3 grupos de edad: menores de 35 anos,entre 35 y 55 anos y mayores de 55 anos).




Prueba t para la diferencia de dos medias

Es necesario recordar que primero observamos si las varianzas po-blacionales son iguales, y en funcion de eso existe un estadistico deprueba determinado.



Prueba de Hipotesis para el cociente de varianzas

Para la hipotesis nula: H0 : 2x =

2y se tiene:

Estadistico de Prueba

Fc =S2xS2y

Hipotesis alterna Criterios de rechazo

H1 : 2x 6= 2y Fc f/2,nx1,ny1 o Fc z1/2,nx1,ny1



Prueba de Hipotesis respecto a la diferencia de mediaspoblacionales de poblaciones normales

Existen 3 casos:

Varianzas conocidas.

Varianzas desconocidas pero iguales.

Varianzas desconocidas y distintas.



Varianzas conocidas


Zc =X Y2xnx

+2yny


H1 : x 6= y Zc z/2 o Zc z1/2



Varianzas desconocidas pero iguales


Tc =X Y

S2p

(1nx

+ 1ny

)


H1 : x 6= y Tc t/2,n o Tc t1/2,n

donde : n = nx + ny 2 y S2p =(nx 1)S2x + (ny 1)S2y

n



Varianzas desconocidas y distintas

Estadstico de prueba

Tc =X Ys2xnx

+s2yny

El estadstico senalado tiene distribucion T-Student, con v gradosde libertad, donde:

v =

(s2xnx

+s2yny

)2[

(s2x /nx )2

(nx1)]

+[

(s2y /ny )2

(ny1)]

Como rara vez v es un numero entero, se trunca al entero.




Ejercicio 1

En un ensayo clnico para evaluar un hipotensor se compara un grupoplacebo con el grupo tratado. La variable medida es la disminucionde la presion sistolica y se obtiene: grupo placebo n = 35, x =3, 7mm de Hg y s2 = 33, 9; grupo tratado n = 40; x = 15, 1 mm deHg y s2 = 12, 8. Es eficaz el tratamiento?




Ejercicio 2

Las universidades A y B se preguntan si el nivel formativo medioen estadstica de una y otra universidad es diferente. Para tratarde dar respuesta a esta pregunta, someten a 75 alumnos de cadauniversidad elegidos al azar a un mismo examen. Para la universidadA la media es 32,76; con varianza 85,6714. Para la universidad B lamedia es 31,21; con varianza 73,28.



Supuestos

Todo lo anterior funciona bien si los supuestos se cumplen, esto es,los errores:

Son independientes

Se distribuyen Normal

Tienen media cero (por construccion) y

Tienen varianza constante

Tenemos dos caminos si no se cumplen los supuestos:

Transformar

Test No Parametricos



Normalidad

Prueba de hipotesis

H0 : ij N(0, 2) versusH1 : ij no tienen distribucion normal

Histograma, q-q plot, p-p plot.

Test de normalidad: Kolmogorov-Smirnov, Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Jarque-Bera, Cramer-von Mises, etc.



Homogeneidad de Varianza

Prueba de hipotesis

H0 : 2i =

2 para cada i , versus

H1 : 2i =

2, para algun i .

Graficos caja de los residuos por tratamiento, grafico de valoresajustados versus residuos.

Test para detectar homocedasticidad (varianza residuos cons-tante): Levene, Bartlett, Brown-Forsythe, OBrien y Romero-Zunica, Cochran, Hartley.



Independencia y Valores atpicos

Independencia

Este es el supuesto mas importante.

Grafico tiempo versus residuos.

Test de Durbin Watson

Valores extranos

Grafico valores predichos versus residuos estandarizados.



Observaciones

Para aumentar la precision del contraste se puede:

Reducir el error experimental introduciendo nuevos factores.

Aumentar el tamano muestral de cada grupo.




Las tecnicas estadsticas de estimacion de parametros, interva-los de confianza y prueba de hipotesis son, en conjunto, deno-minadas estadstica parametrica y son aplicadas basicamente avariables continuas.

Estas tecnicas se basan en especificar una forma de distribucionde la variable aleatoria y de los estadsticos derivados de losdatos.




En estadstica parametrica se asume que la poblacion de la cualla muestra es extrada es NORMAL o aproximadamente normal.Esta propiedad es necesaria para que la prueba de hipotesis seavalida.

Sin embargo, en un gran numero de casos no se puede determi-nar la distribucion original ni la distribucion de los estadsticospor lo que en realidad no tenemos parametros a estimar. Tene-mos solo distribuciones que comparar. Esto se llama estadsticanoparametrica.




La mayor desventaja de la estadstica noparametrica es quecuando los supuestos se cumplen es mucho menos poderosaque la estadstica parametrica.

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