UNIDAD 4. COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE

OPTIMIZACIÓN. PROPÓSITOS: Analizar las relaciones existentes entre la gráfica de una función y sus derivadas para obtener información sobre el comportamiento de la función, utilizar dicha información para resolver problemas de optimización. Tiempo estimado: 20 horas.

COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN.

Crecimiento y decrecimiento de funciones Aprendizajes

Al finalizar esta sección, el alumno:

• Determina gráfica y algebraicamente los intervalos en donde una función es creciente o decreciente.

• Bosqueja la gráfica de la derivada de una función dada la gráfica de la misma.

En la unidad 2, vimos diferentes situaciones que se modelan con funciones polinomiales de 1°, 2° y 3° grado. Para apreciar el poder del cálculo como una herramienta, iniciaremos esta unidad con la graficación de funciones y su aplicación a la solución de problemas de optimización, para lograr este fin necesitamos precisar algunos conceptos como; función creciente, función decreciente, concavidad hacia arriba, concavidad hacia abajo, entre otras. Recordemos los problemas del resorte y del café, en ellos se tenía el modelo algebraico 𝐿 𝑝 = 3𝑝 + 15, donde 𝑝 era el peso y 𝐿 la longitud del resorte, mientras que 𝐶 𝑡 = −2𝑡 + 90 , donde 𝑡 era el tiempo en segundos y 𝐶 la temperatura, respectivamente. Sus representaciones geometricas estaban dadas por En donde claramente, la gráfica del problema del resorte es creciente y la gráfica del problema del café Con los elementos de los ejemplos dados anteriormente, podemos construir una definición de función creciente y función decreciente.

Definición 1. Una función f es creciente si los valores de y = f(x) aumentan a medida que x aumenta. Una función f es decreciente si los valores de y = f(x) disminuyen a medida que x aumenta.

0 1 2 3 4 5 Dominio

Ran

go

30

27

24

21

18

15

𝑝

y

90

Actividad 1. Determina en que intervalos la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es creciente o decreciente,

y = f(x) 0 x1 x2 x3 x4

Gráfica de una función continua en el intervalo cerrado [x1, x4].

Solución. Completa los siguientes enunciados: En el intervalo 𝑥!,𝑥! la función f es ______________. En el intervalo 𝑥!,𝑥! la función f es ______________. En el intervalo 𝑥!,𝑥! la función f es ______________.

Al observar la gráfica de una función se aprecia inmediatamente dónde es creciente y dónde es decreciente. El verdadero reto consiste en determinar dónde la función es creciente y decreciente, dada solamente la regla de correspondencia de la función. Por ejemplo, ¿podrías determinar los intervalos donde es creciente y en donde es decreciente la función dada por 𝑓 𝑥 = 2𝑥! + 9𝑥! − 24𝑥 − 10, sin hacer la gráfica? Actividad 2. Observa la figura ¿Qué signo tiene la pendiente de la recta tangente en cada punto en donde la gráfica de la función es creciente? ¿Qué signo tiene la pendiente de la recta tangente en cada punto en donde la gráfica de la función es decreciente? 0 x1 x2 x3

Crecimiento y decrecimiento. En el intervalo 𝑥!,𝑥! la función tiene rectas tangentes con pendiente: ____________; y en 𝑥!,𝑥! la función es: _____________ En el intervalo 𝑥!,𝑥! la función tiene rectas tangentes con pendiente ____________; y en 𝑥!,𝑥! la función es: _____________

A

B

C D

y

x

y

x

Si contestaste correctamente habrás observado que en los intervalos en los que f es creciente, todas las rectas tangentes tienen pendiente positiva, mientras que en los intervalos en los que f es decreciente, todas las rectas tangentes tienen pendiente negativa. Como recordarás, la pendiente de la recta tangente en un punto está dada por el valor de la derivada en ese punto. De modo que el hecho de ser una función creciente o decreciente esta relacionado con el signo de su derivada en ese intervalo. Este hecho lo enunciamos a continuación.

Teorema 1. Una función 𝑓(𝑥) es creciente sobre cualquier intervalo en el que 𝑓´ 𝑥 > 0, y es decreciente sobre cualquier intervalo en el que 𝑓´ 𝑥 < 0.

El teorema 1 es geométricamente evidente si tenemos en cuenta el hecho de que una línea es creciente si su pendiente es positiva y decreciente si su pendiente es negativa. Es claro también que la gráfica de una función f puede presentar intervalos en donde ésta es creciente (f’ >0) e intervalos en donde es decreciente (f’<0) pero, ¿Qué sucede en el punto de transición de f’ >0 a f’ <0 (o viceversa)? Y la respuesta es que, en el punto de cambio de signo, la recta tangente es horizontal y su pendiente, o sea, la derivada de la función es cero, es decir, 𝑓´ = 0: lo cual también geométricamente es evidente, observa la figura siguiente:

Comportamiento de la derivada. Números críticos Por lo anterior es muy importante encontrar los valores o números en donde una función tiene derivada igual a cero, estos números reciben un nombre especial que daremos en la definición siguiente.

Definición 2. Número critico Un número 𝑐 en el dominio de una función f se llama número critico de f, si f’(c) = 0 o bien f’(c) no existe.

Ejemplo 1. Determina dónde crece y dónde decrece la función 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 3𝑥!. Solución. De acuerdo a la definición anterior, primero derivamos y después encontramos los números críticos, igualando su derivada a cero:

f’(x) = 0

f’(x) = 0

f’(x) > 0

f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) < 0

x

y

x1 x2 x3 0

𝑓´ 𝑥 = 3𝑥! − 6𝑥 = 3𝑥 𝑥 − 2 ; igualamos a cero 3𝑥 𝑥 − 2 = 0

Los números críticos son: 𝑥   =  0, 𝑥   =  2 y estos valores son muy importantes porque, recuerda, son las abscisas de los puntos de transición cuando la gráfica de la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa, o bien, en algunos casos cuando cambia la concavidad, como se verá posteriormente. El hecho de factorizar la derivada también facilita su análisis, veamos: primero, dividimos la recta real en tres intervalos cuyos puntos extremos son los números críticos, en este caso: 0 y 2; posteriormente analizamos el signo de la derivada de la función en cada uno de ellos, para que, de acuerdo al teorema 1, determinemos donde es creciente o decreciente, y posteriormente, sintetizamos nuestro trabajo en una tabla: 0 2 (-∞, 0) (0, 2) (2, ∞)

Intervalo f’(x) Comportamiento de f (-∞, 0) + Creciente

(0, 2) - Decreciente (2, ∞) + Creciente

Nota: En cada intervalo se puede escoger un valor de prueba que sea cómodo para solamente apreciar el signo de la derivada sin necesariamente evaluarla.

Observamos que en la última columna se da la conclusión de cómo es el comportamiento de la función en el intervalo correspondiente. Por ejemplo, f’(x)<0 en el intervalo abierto (0, 2), de modo que f es decreciente en ese intervalo, y hemos colocado debajo del intervalo, en el diagrama anterior, una flecha hacia abajo que nos indica ese hecho. Análogamente se han colocado las otras flechas. La gráfica de f se muestra en la figura siguiente, con lo que podemos confirmar geométricamente nuestras conclusiones:

Gráfica de la función f(x) = x3 – 3x2.

En el esquema que se muestra a continuación, hemos representado tanto a la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) como a la gráfica de su derivada 𝑦 = 𝑓´(𝑥) . Observa la relación entre las dos gráficas. En los intervalos (-∞, 0) y (2,∞) la función f es creciente por lo que 𝑓´ 𝑥 > 0 (la gráfica de la función f’ tiene imágenes positivas, es decir arriba del eje x), en el intervalo (0, 2) la función f es decreciente así f’(x) <0 (la gráfica de la función f’ se

y

x

encuentra abajo del eje x, es negativa). Cuando la derivada es cero, su gráfica intersecta al eje x, justamente en los valores críticos.

Figura 4.8 Gráficas de y = f(x) y de y = f´(x). Ejemplo 2. Determina los intervalos en donde la funcion 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥! es creciente o decreciente. Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, primero derivamos a la función y después la igualamos a cero

𝑓´ 𝑥 = 4𝑥! − 4𝑥 = 4𝑥(𝑥! − 1) 4𝑥 𝑥! − 1 = 4𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 0

Por lo tanto 𝑥   =  −1, 𝑥   =    0  y 𝑥   =  1 son los números críticos Dividimos al eje real en cuatro intervalos Resumimos, en la tabla siguiente, el análisis del signo de la derivada en cada intervalo.

Intervalo 4x x2 - 1 f’(x) Comportamiento de f (-∞, -1) - + - Decreciente

(-1, 0) - - + Creciente (0,1) + - - Decreciente (1, ∞) + + + Creciente

La gráfica de f se muestra en la figura siguiente.

y

x

y= f’(x)

y= f(x)

(-1,0) (0,1) -1 1 0

Gráfica de f(x) = x4 – 2x2.

Actividad 3. En la figura que se presenta a continuación, hemos representado las gráficas de las funciones 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦 = 𝑓´(𝑥) . Observa la relación entre las dos gráficas y completa los siguientes enunciados. En los intervalos (- ∞,-1) y (0,1) la función f es_____________, la gráfica de la función f’ se encuentra ____________ del eje x. En los intervalos (-1,0) y (1,∞) la función f es: ____________, la gráfica de la función f’ se encuentra _______ del eje x. Los puntos donde la derivada es cero son: _____________.

Graficas de y = f(x) y de y = f´(x). Ejemplo 3. Considera la función f(x) = x2/3. Determina sus números críticos. Solución. Para determinar los números críticos de la función primero derivamos la función y después la igualamos a cero, es decir

f’(x) = 1/33

2 2 03 3x

x− = =

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

0

2

4

6

8

y=f(x)

y=f’(x)

y

x

Claramente, x = 0 no pertenece al dominio de f’(x), La evidencia geométrica en la

figura 4.11, que es la gráfica de 32)( xxf = nos muestra que en el origen la función tiene un pico y que la tangente se hace vertical en ese punto, es decir, la derivada no existe para x=0, por lo que este valor es el número crítico (consulta la definición).

La derivada no existe en el origen.

Ejemplo 4. Determina los intervalos en donde f(x) = (x2 – 4)2/3 es creciente o decreciente. Solución. Derivando la función, se tiene f’(x) = ( ) 1/32

2 1/3

2 44 (2 ) .3 3( 4)

xx xx

−− =

−

Como 𝑓’(𝑥) es cero en 𝑥 = 0 y 𝑓’ no está definida en 𝑥 =– 2 y 𝑥 = 2, los números críticos son: 𝑥   =  – 2, 𝑥   =  0 y 𝑥   =  2. La siguiente tabla resume las pruebas realizadas en cada intervalo resultante.

Intervalo (-∞, 0) (-2, 0) (0, 2) (2, ∞) Valor prueba x =–3 x =–1 x = 1 x = 3 Signo de f’(x) – + – + Conclusión Decreciente Creciente Decreciente Creciente Nota: Recuerda que los valores prueba de la tabla se han escogido por conveniencia; podían haberse usado otros, pues no es necesario evaluar f´(x) en los valores prueba, sino sólo su signo. Así, podemos determinar f´(-3) es negativo como sigue:

𝑓´ 3 =4(−3)

3 (−3)! − 4 !/! =𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

= 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

Gráfica de f(x) = (x2 – 4)2/3.

x

y

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400

2

4

6

8

10

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

4

6

8

10

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS PROPÓSITOS: Analizar las relaciones existentes entre la gráfica de una función y sus derivadas para obtener información sobre el comportamiento de la función, utilizar dicha información para resolver problemas de optimización. En los ejercicios 1 a 4, determina los intervalos donde la función f es creciente y decreciente. Haz las gráficas de la función f y f’. 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 5𝑥 + 1 2. 𝑓 𝑥 = −𝑥! + 4𝑥 + 2 3. 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 3𝑥 + 1 4. 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 3𝑥! + 2 En cada uno de los ejercicios 5 y 6, dibuja una gráfica de una función con las propiedades dadas. 5. a) 𝑓(0) = 1 , b) 𝑓(2) = 5 , c) 𝑓’(𝑥)  <  0 para 𝑥 < 0 o 𝑥 > 2 , d) 𝑓’(𝑥) > 0 para 0   < 𝑥 <  2.   6. a) 𝑓’(−5) = 0; b) 𝑓’(0) = 0; c) 𝑓’(5) = 0; d) 𝑓’(𝑥) >  0 en (- ∞, -5) ó (5, ∞) e) 𝑓’(𝑥)  < 0 para −5 < 𝑥 < 5. 7. Dibuja la gráfica de f’ a partir de la gráfica de f dada.

y=f(x)

y

x

“La inteligencia no sólo consiste en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica” Aristóteles.