unidad 4

GUÍA DE ESTUDIO

“HIDRÁULICA GENERAL”

UNIDAD N° 4: CANALIZACIONES

CERRADAS

MATERIAL DE ESTUDIO PREPARADO POR:

ING. PATRICIA S. INFANTE, PROF. TITULAR

LUIS ALBERTO ROSELL, AYUD. DE SEGUNDA

AÑO: 2009.

FACULTAD DE INGENIERIA U.N.Cuyo HIDRÁULICA GENERAL

3º AÑO-2009 INGENIERIA CIVIL

GUÍA DE ESTUDIO UNIDAD 4: CANALIZACIONES CERRADAS

Página Nº 2 de 68.

INDICE

4 UNIDAD 4. ....................................................................................................................... 4

4.A MOVIMIENTO PERMANENTE EN TUBERÍAS. ................. .............................................. 5 4.A.1 Ecuación de la tubería. ......................................................................................................... 5 4.A.2 Cálculo de J. ......................................................................................................................... 7

4.A.2.1 Cálculo de J para movimiento laminar............................................................................. 7 4.A.2.2 Cálculo de J para movimiento turbulento. ....................................................................... 8

4.A.3 Cálculo de J a través de fórmulas experimentales................................................................ 9 4.A.3.1 Fórmula de Scobey........................................................................................................... 9 4.A.3.2 Fórmula de Manning. ....................................................................................................... 9 4.A.3.3 Fórmula de Hazen Williams........................................................................................... 10 4.A.3.4 Fórmula de Unmin. ........................................................................................................ 10

4.A.4 diagrama de moody. ........................................................................................................... 10 4.A.4.1 Variación de la rugosidad en el tiempo (tuberías metálicas). ........................................ 15

4.A.5 Formas de Cálculo. USO DEL ÁBACO DE Moody. ........................................................ 16 4.A.5.1 Primer Caso: Cálculo del caudal de escurrimiento. ....................................................... 16 4.A.5.2 Segundo Caso: dimensionado del diámetro de una tubería............................................ 17 4.A.5.3 Tercer Caso: cálculo de la pérdida de carga................................................................... 18

4.A.6 Pérdidas de Carga Singulares............................................................................................. 18 4.A.6.1 Cuantificación de pérdidas de carga singulares. ............................................................ 20 4.A.6.2 Ejemplo de cuantificación de pérdidas de carga singulares........................................... 24

4.A.7 perfil geométrico e hidráulico de una TUBERÍA. ............................................................. 28 4.A.8 Tubería de diámetro variable.............................................................................................. 31 4.A.9 Velocidades ........................................................................................................................ 32 4.A.10 TUBERÍA de caudal variable. ........................................................................................... 32

4.A.10.1 Ingreso y egreso de caudal. ........................................................................................ 32 4.A.10.1.1 Cálculo de la pérdida de energía en tuberías de caudal variable........................... 33 4.A.10.1.2 Cálculo del diámetro en tuberías de caudal variable............................................. 34

4.A.10.2 Ingreso de caudal por los dos extremos. .................................................................... 35 4.A.11 cálculo de redes cerradas de tuberías. MÉTODO DE CROSS. ......................................... 36

4.A.11.1 Aplicación del Método de Cross. ............................................................................... 39 4.A.11.2 Ejemplo de aplicación. ............................................................................................... 40

4.B MOVIMIENTO EN TUBERÍAS DE FLUIDOS EN GENERAL. ...... ................................ 45 4.B.1 ecuaciones para fluidos incompresibles. ............................................................................ 45 4.B.2 ecuaciones para fluidos compresibles (gases).................................................................... 45

4.B.2.1 Fluidos compresibles isotérmicos ideales. ..................................................................... 46

4.C MOVIMIENTO IMPERMANENTE EN TUBERÍAS ................ ......................................... 47 4.C.1 Primera Ecuación de Saint-Venant .................................................................................... 47 4.C.2 Segunda Ecuación de Saint-Venant. .................................................................................. 50 4.C.3 Golpe de Ariete. ................................................................................................................. 54 4.C.4 Teoría de Allievi: soluciones de las ecuaciones diferenciales ........................................... 56 4.C.5 Celeridad de la Onda.......................................................................................................... 58 4.C.6 Descripción del Fenómeno................................................................................................. 59 4.C.7 Sobrepresión Máxima ........................................................................................................ 63





4.C.7.1 Sobrepresión Máxima en Cierre Lento: tc>2L/c............................................................ 65

4.C.8 Consideraciones Finales..................................................................................................... 66 4.C.9 Ejercicio de Aplicación ...................................................................................................... 66 4.C.10 MÉTODOS PARA CONTROLAR EL GOLPE DE ARIETE .......................................... 67





4 UNIDAD 4.

CONTENIDO DEL PROGRAMA ANALÍTICO.

A. Movimiento permanente en tuberías . Ecuación de la tubería. Cañerías comerciales. Cálculo

hidráulico. Diagrama de Moody. Fórmulas experimentales. Cañerías cortas y largas. Perfil

geométrico e hidráulico. Tubería de caudal variable. Servicio en camino o servicio en ruta.

Proyecto y cálculo de redes cerradas y abiertas en tuberías.

B. Movimiento en tuberías de fluidos en general . Proyecto y cálculo de tuberías para gases y

líquidos viscosos.

C. Movimiento impermanente en tuberías: ecuaciones de Saint-Venant. Golpe de ariete:

descripción del fenómeno, cálculo de la celeridad de la onda, sobrepresión, influencia del

tiempo de cierre.

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS.

En función de los contenidos estudiados en la Unidad 3, se han adquirido los conocimientos

necesarios para el diseño de tuberías en Movimiento Permanente Uniforme, y en esta unidad se

comienza con el estudio y análisis de los casos aplicados a tuberías comerciales, tanto en redes

abiertas, como cerradas. Y como una aplicación específica se encuentra el estudio del movimiento

impermanente en tuberías, y la aplicación de dichos conceptos al caso del golpe de ariete.

El objetivo de esta unidad de estudio es capacitar al alumno en el diseño de redes de tuberías

abiertas y cerradas que conducen agua. Además de introducir los conceptos necesarios para el

diseño de redes abiertas de tuberías que conducen fluidos en general. Asimismo, la inclusión del

fenómeno del golpe de ariete en el diseño y funcionamiento de una conducción cerrada.

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA EN BIBLIOTECA.

1. HIDRAULICA GENERAL DE GILBERTO SOTELO AVILA.

2. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS DE JOSÉ FRANZINI.

3. MECANICA DE LOS FLUIDOS DE VICTOR L. STREETER.

4. HIDRAULICA DE FRANCISCO J. DOMINGUEZ.

5. MECANICA DE LOS FLUIDOS DE HUNTER ROUSE.

6. MECANICA DE LOS FLUIDOS Y MAQUINAS HIDRAULICAS DE CLAUDIO MATAIX.

7. MECÁNICA DE FLUIDOS E HIDRÁULICA DE GILES, RANALD, EVETT Y JACK.

8. MANUAL CESPEDES DE HIDRAULICA DE JUAN Y JOSE GANDOLFO





4.A MOVIMIENTO PERMANENTE EN TUBERÍAS.

4.A.1 ECUACIÓN DE LA TUBERÍA.

Estudiaremos el comportamiento del agua escurriendo en tuberías cerradas en régimen permanente

uniforme, considerando siempre a las cañerías trabajando a presión. Pretendemos realizar el

proyecto y cálculo de este tipo de conducción, para lo cual debemos evaluar las pérdidas de carga o

de energía. De esta forma podremos determinar, entre otras variables en juego, el caudal de

escurrimiento.

Para empezar el estudio analítico de este problema planteamos una tubería en la cual escurre un

caudal conocido Q, de la cual extraemos una porción de longitud “l”, encerrada por dos secciones

transversales 1 y 2, para que el líquido se encuentre en equilibrio es necesario colocar las fuerzas

que ejerce el resto del fluido sobre la porción en estudio. Para lo cual aparecen las presiones,

ejercidas por el resto del fluido, en las dos secciones transversales mencionadas aplicadas en el

baricentro de cada sección; y los vectores velocidad media “U” aplicados también en los baricentros

de cada sección transversal.

Definimos un Plano de Comparación o referencia, a partir del cual se miden las energías que

componen el Teorema de Bernoulli.

Se define como Eje Hidráulico de una tubería a la línea que une los baricentros de las sucesivas

secciones transversales, y en ese eje se encuentran aplicados los vectores presión “p” y velocidad

media “U”.

Aplicando el Teorema de Bernoulli a las dos secciones mencionadas, llegamos a la siguiente

expresión, que resulta en la suma de la energía de posición, energía de presión y energía de

velocidad de cada sección transversal.

∆+++=++g

UPZ

g

UPZ

22

222

2

211

1 γγ Ecuación N° 1-4





Siendo:

Z1= cota del baricentro de la sección 1 respecto al plano de comparación, en metros.

Z1= cota del baricentro de la sección 2 respecto al plano de comparación, en metros.

P1= presión en el baricentro de la sección 1, en kg/m2.

P2= presión en el baricentro de la sección 2, en kg/m2.

γ= peso específico del agua, en kg/m3.

U1= velocidad media en la sección 1, en m/s.

U2= velocidad media en la sección 2, en m/s

g= aceleración de la gravedad, en m/s2.

∆= pérdida de carga o de energía entre las secciones 1 y 2 , en metros.

Si el movimiento es permanente uniforme el caudal será constante en el espacio y en el tiempo, y si

las secciones transversales son iguales, y considerando la ecuación de la continuidad, resulta que

las velocidades medias en ambas secciones también serán iguales.

21212211 UUUUQ =⇒=⇔×=×= ωωωω

Y por lo tanto, la Ecuación N°1-4 se reduce a:

∆++=+γγ

22

11

PZ

PZ

Considerando que la suma de la cota de posición “z” y la de presión “p/γ” se denomina COTA

PIEZOMÉTRICA, entonces la pérdida de carga resulta igual a la diferencia de cotas piezométricas, la

que llamaremos H, como se da a continuación:

11

1 CPP

Z =+γ

(cota piezométrica 1)

22

2 CPP

Z =+γ

(cota piezométrica 2)

∆==−

∆=

+−+

HCPCP

PZ

PZ

21

22

11 γγ Ecuación N° 2-4

Es decir, que la pérdida de carga ∆ será la diferencia de cotas piezométricas H. La Ecuación N° 2-4

se la conoce como la ECUACIÓN DE LA TUBERÍA.

Recordando que la pérdida de carga es producto del frotamiento de los distintos tubos de flujo entre

sí y del líquido con la pared de la tubería, la podemos cuantificar a través de la pérdida de carga por

unidad de peso y de longitud “J”, mediante la expresión siguiente:

lJdxJ ×==∆ ∫2

1

. Ecuación N° 3-4





Si remplazamos la Ecuación 3-4 en la 2-4, nos queda otra forma de expresión de la ECUACIÓN DE

LA TUBERÍA:

lJH ×=∆=

lH

J = Ecuación N° 4-4

Esta expresión nos indica que la diferencia de cota piezométrica entre dos puntos de una tubería

dividida la longitud real que el agua recorre entre esos dos puntos, nos da la pérdida de carga

unitaria J (Pérdida de carga unitaria promedio), en m/m.

4.A.2 CÁLCULO DE J.

Entonces necesitamos saber cómo calcular la pérdida de carga unitaria “J” para poder aplicar la

ECUACIÓN DE LA TUBERÍA.

El valor de J dependerá de tanto de las características del escurrimiento como del tipo de cañería. Y

además depende del tipo de escurrimiento dado.

4.A.2.1 Cálculo de J para movimiento laminar.

Si el movimiento es laminar, de acuerdo a la estudiado en la Unidad 3, la pérdida de energía unitaria

tiene el valor dado por la Ecuación N° 17-3:

2222

1

4

321

3232DD

Q

D

Q

D

UJ

πγµ

γµ

γµ =

Ω== Ecuación Nº 17-3

Siendo:

J= Pérdida de carga unitaria instantánea, en m/m.

µ= viscosidad (inversamente proporcional a la temperatura), se mide en kg.s/m2.

γ= peso específico, en kg/m3.

U= velocidad media en la tubería, U=Q/Ω en m/s.

D= diámetro de la cañería, en m.

Q= caudal, en m3/s

Ω= sección transversal de la cañería, Ω=π.D2/4, en m2.

Al ser, para este caso, tanto la viscosidad como el peso específico constantes implica que la pérdida

de carga unitaria es función directa del Q y inversa del diámetro elevado a la cuarta potencia:

4D

QKJ l= Ecuación N° 5-4

Recordando que según DARCY-WEISBACH, la pérdida de carga unitaria “J” en cañerías también se

puede expresar como:

g

UDJ

2..

2

λ= Ecuación N° 6-4





Siendo λ el FACTOR DE RESISTENCIA , el cual se define como el número que multiplicado por la

altura de velocidad media y dividido el diámetro, nos da el valor de la pérdida de carga unitaria

adimensional.

Por lo tanto, para movimiento laminar podemos escribir lo siguiente, igualando la Ecuación Nº 17-3

con la Ecuación Nº 6-4:

Re6464

232

2

2==→=

ρµλλ

γµ

DUgU

DD

U

Entonces obtenemos la misma Ecuación 20-3 ya desarrollada para movimiento laminar:

Re

64=λ Ecuación Nº 20-3

4.A.2.2 Cálculo de J para movimiento turbulento.

Si el movimiento es turbulento, recordando que para movimiento turbulento la pérdida de energía

unitaria resulta de aplicar la ecuación de tensión de corte hidráulico:

DCD

QD

C

Q

RC

UJJRCU

JRg

UJRg

UJRg

U

DRfJR

gU

f

HH

H

C

HH

HHo

×××××=

Ω==⇒×=

××=⇒××=⇒×=×

=⇒×=⇒××=××=

242

22

22

2

2

2

22

2

44

4

8824

44

2

π

λλλ

λγγτ

321

DCD

QJ

×××××=

242

22 44

π Ecuación N° 7-4

Siendo:

U= velocidad media en la tubería, U=Q/Ω en m/s.

C= coeficiente de Chezzy, que es función de la rugosidad de la tubería y de dimensiones L1/2.T-1.

f= coeficiente de frotamiento, adimensional, y que es función de la rugosidad de la tubería.

RH= radio hidráulico, RH = Ω/χ, en m.

χ= perímetro mojado, en m.

Ahora podemos expresar la Ecuación N° 7-4, resolvie ndo las constantes y llamando “Kt” a las

mismas, nos queda la Ecuación N° 9-4:

5

2

2

49,6

D

Q

CJ

Kt

×=

2

49,6

CK t = Ecuación N° 8-4





5

2

D

QKJ t= Ecuación N° 9-4

A su vez, también podemos expresar el coeficiente “Kt” en función del factor de resistencia λ,

utilizando la siguiente ecuación:

λλ

λ

×=×=

==

=

083,0849,6

8

49,649,622

5

2

ggCKt

D

QKJ t

λ×= 083,0Kt Ecuación N° 10-4

La que nos dice que la pérdida de energía unitaria en movimiento turbulento es función del caudal,

del diámetro, y del material de la tubería a través de “Kt”.

El problema que aparece ahora es determinar el valor del coeficiente C de Chezzy, para la Ecuación

N° 8-4, o el valor del factor de resistencia λ, para la Ecuación N° 10-4, ya que ambos son una fu nción

de la rugosidad de la cañería.

4.A.3 CÁLCULO DE J A TRAVÉS DE FÓRMULAS EXPERIMENTALES .

Antes del desarrollo de la teoría de Prandtl-von Kárman los cálculos de las pérdidas de carga en

tuberías se realizaban mediante fórmulas empíricas, es decir, obtenidas experimentalmente, las

cuales se pasan a detallar a continuación.

4.A.3.1 Fórmula de Scobey.

En la cual la velocidad del agua es función del diámetro de la tubería, de la pérdida de carga unitaria

y del tipo de material de la tubería a través del factor K:

2/1625.0. JDKU = Ecuación N° 11-4

Siendo:

K es un coeficiente de retardo que es función del material y del estado del material, variable según el

tipo de juntas y fue experimentado para cañerías de hormigón simple.

4.A.3.2 Fórmula de Manning.

Manning desarrolló la fórmula de la velocidad ya dada:

JRCU H ××= Ecuación N° 12-4

Válida para cañerías abiertas, donde el valor del coeficiente de Chezzy “C” se obtiene como:

nR

C H6/1

= Ecuación N° 13-4

Siendo “n” el coeficiente de rugosidad de Manning, que obviamente depende de la rugosidad de la

canalización. Y toma los siguientes valores:





MATERIAL n

Barro cocido 0,017

Hormigón 0,013

PVC 0,010

Pudiendo determinar con la Ecuación N° 13-4 el valo r del coeficiente Kt, aplicando la Ecuación N° 8-

4.

Si aplicamos el coeficiente de Manning “n” en las ecuaciones válidas para el movimiento turbulento,

Ecuación N° 8-4 y N° 9-4.

333,5

22

5

2

31

312

5

2

62

2

5

2

2302,10

449,649,649,6

D

Qn

D

Q

D

n

D

Q

R

n

D

Q

CJ

H

×=××=×==

333,5

22

302,10D

QnJ

×= Ecuación N° 14-4

4.A.3.3 Fórmula de Hazen Williams.

Según las experiencias realizadas la velocidad se puede calcular a través de la ecuación siguiente:

54,063,0355,0 JDKU ×××= Ecuación N° 15-4

Siendo:

K una constante que depende del material de la tubería y los valores son los siguientes:

MATERIAL K

Asbesto cemento 140

Hormigón simple 130

PVC 150

4.A.3.4 Fórmula de Unmin.

Para las experiencias realizadas por Unmin la ecuación de la velocidad es la siguiente:

DVmáx ×+= 45,16,0 Ecuación N° 16-4

Siendo:

Vmáx: la velocidad máxima de escurrimiento en la canalización en (m/s).

D: es el diámetro de la tubería en (m).

4.A.4 DIAGRAMA DE MOODY.

Ahora bien, después del desarrollo analítico que estudia la turbulencia hemos obtenido las

ecuaciones para el cálculo de la pérdida de energía en movimiento turbulento, tanto para tuberías

lisas como rugosas, las cuales se resumen a continuación.

Ecuación del movimiento turbulento en tubería lisa (Ecuación N° 17-4) de Nikuradze y Prandtl , los

cuales han comprobado que dicha ecuación es confiable en el caso de tuberías lisas para todos los





valores de Re⟩4000, y además cuando ε < yo, recordando que ésta última es el espesor de la capa

laminar parietal y la primera es la aspereza absoluta de la tubería.

70.0.

log2log21 +=−

νε

ελfvR

ε⟩∴ oy Ecuación N° 17-4

Siendo:

λ= factor de resistencia de Darcy-Weisbach.

R= radio de la tubería en (m).

ε= aspereza o rugosidad absoluta, medida en metros o en milímetros.

vf= denominada por Prandtl como “velocidad de frotamiento”, cuyas unidades son (m/seg)

ν= viscosidad cinemática, de dimensiones TL2

.

Ecuación del movimiento turbulento en tubería lisa (Ecuación N° 18-4) de Colebrook , que simplica la

ecuación anterior, y tiene diferencias del ±1,5% para 4000≤Re≤108.

=9,6

Relog8,1

1

λ Ecuación N° 18-4

Ecuación del movimiento turbulento en tubería lisa (Ecuación N° 19-4) de Blasius , que ha

demostrado que es válida para 3000≤Re≤105. Esta expresión es muy útil para simplificar otras

ecuaciones. Además propuso una función velocidad en la tubería simplificada y que se da en la

Ecuación Nº 20-4.

25,0Re316,0=λ Ecuación N° 19-4

7/1

=R

y

u

u

máx

Ecuación N° 20-4

Ecuación del movimiento turbulento en tubería completamente rugosa, ε41⟨oy , de von Karman,

Ecuación N° 21-4. Los valores de λ de esta ecuación están representados por rectas horizontales

independientes de la velocidad del agua U y sólo función de ε de la pared de la tubería.

70.1log21 =−

ελR

ε4

1⟨∴ oy Ecuación N° 21-4

Siendo:


R= radio de la tubería en (m).






Para valores altos del Re el espesor de la capa laminar parietal se hace muy pequeño, y por lo tanto

las asperezas absolutas, superan dicho valor originando un movimiento turbulento en tubería rugosa,

si yo< ¼ ε, recordando que yo es el espesor de la capa laminar parietal, y “ε” es la aspereza absoluta

de la tubería, se ha observado que la tubería se comporta como rugosa, y por lo tanto el factor de

resistencia λ es sólo función de la aspereza relativa y es independiente de Re, según puede

analizarse en la Ecuación N° 21-4. Si hacemos una c omparación con el Gráfico de Nikuradze, esta

zona de movimiento turbulento en tubería rugosa se corresponde con la zona de rectas horizontales

y paralelas al eje de las abcisas en el cual se miden los Re.

Cabe aclarar que, tanto la Ecuación Nº 17-4 como la 21-4 fueron obtenidas mediante la Teoría de

Prandtl-von Kárman (Unidad 3-B).

Ecuación del movimiento turbulento de transición de Colebrook.

Para el intervalo entre 4εε ⟩⟩ oy no se puede aplicar la ecuación de tuberías lisas, ni la de

completamente rugoso, entonces Colebrook combinó ambas ecuaciones para obtener la Ecuación N°

22-4.

+−=λ

ελ Re

51.227.0log2

1D

4

εε ⟩⟩∴ oy Ecuación N° 22-4

Siendo:


D= diámetro de la tubería en (m).


Re= el número de Reynolds de la tubería.

La llamada ECUACIÓN DE COLEBROOK para ε=0 se reduce a la ecuación para tubería lisa

(Ecuación Nº 17-4 expresada en función del Re, ver Unidad 3-B).

Ecuación del movimiento turbulento para todas las tuberías de Haaland (1983).

Haaland combinó la ecuación de Colebrook para tubería lisa con la ecuación de von Karman para

tuberías completamente rugosas, y obtuvo la Ecuación Nº 23-4, que es explícita para 4000≤Re≤108.

+

−=Re

9,67,3

/log8,1

111,1

Dελ

Ecuación Nº 23-4

Si realizamos una comparación con el Gráfico de Nikuradze esta última ecuación representa la zona

del llamado, por el autor, movimiento de transición o zona de transición, en la cual el factor de

resistencia es una función del Re y de la aspereza relativa.





Si se grafican las Ecuaciones Nº 17-4, 21-4 y Nº 22-4 junto con la ecuación del Movimiento Laminar

(Re.λ=64) se obtiene el denominado DIAGRAMA DE MOODY , preparado por Moody en 1944, el

cual permite abordar el cálculo de una tubería.

El Diagrama de Moody es la representación gráfica en escala doblemente logarítmica del factor de

resistencia λ en función del Re y la rugosidad relativa de una tubería ε/D.

En la siguiente imagen, extraída de Hidráulica de Francisco Javier Domínguez, se puede observar el

Diagrama de Moody. También lo pueden bajar como archivo pdf para imprimir de la siguiente

dirección de Internet: http://mie.esab.upc.es/df/fluids/moody.htm.

El Ábaco de Moody también puede fotocopiarlo en la Facultad de Ingeniería, a través de una versión

original preparado en papel vegetal por el Instituto de Hidráulica de la Facultad de Ingeniería de la

UNCuyo.

Como puede verse es un gráfico de cuatro entradas: dos abcisas y dos ordenadas.

1. Ordenada Izquierda Factor de Resistencia “λ”: que se expresa mediante la ecuación de

Darcy-Weisbach (relación entre λ y J) y que resulta:

g

U

DJ

g

UDJ

2

.2

.. 2

2

=∴= λλ

2. Abscisa Inferior Re:

νDU .

Re=

3. Ordenada Derecha D/ ε:

El valor de la rugosidad ε se obtiene de la información dada por el fabricante ya que depende del

material y de la tecnología empleada.

4. Abscisa Superior:

Cuyo valore se obtiene remplazando λ y Re por sus ecuaciones:

λν

ννλ

Re2

2

2

Re

2/3

2

=

××××=××=

gJD

DJgU

DU

g

UDJDU

En el gráfico el factor de resistencia λ está indicado con la letra ƒ.




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Algunos valores pueden obtenerse de la siguiente tabla.

MATERIAL OBSERVACIONES εεεε [mm]

Nuevo hasta 0,002 Latón, cobre, aluminio, plástico, plomo. Usado hasta 0,03

Nuevo 0,03 – 0,05 Acero calibrado, laminado sin costuras Usado, oxidado 0,1 – 0,3 Nuevo bituminado. 0,05 - 0.2 Esmaltado con alquitrán 0,0048 Usado, poco oxidado 0,2 – 0.5 Valor medio para tubería de agua 0,4 – 1.2 Tubería de agua con incrustaciones

1,5 – 3

Acero soldado

Riveteado 0,9 Acero roblonado según clase de roblonado 1,0 – 6,0

Nuevo (bituminado) 0,1 – 0,2 Nuevo (sin betún) 0,2 – 0,3 Usado, oxidado 0,5 – 1,0 Usado con incrustaciones 1,5 – 3,0

Hierro fundido

Valor medio tubería de agua 1,0 – 3,0 Fibrocemento 0,03 – 0,1 Plástico (P.V.C.) ACINPLAST 0,001 Asbesto – Cemento Nuevo 0,0125 Hierro galvanizado Nuevo 0,15 Metal corrugado Nuevo 20,0 – 45,0 Mortero seco Revestimiento de túneles. 1,25

Nuevo 0,3 – 3,0 Con encofrado de acero 0.18 Con encofrado de madera 0,2 - 1

Hormigón

Centrifugado 0,36 Ladrillo 0,6 Vidrio 0,0015 Madera 0,18 En la actualidad la resolución matemática de las expresiones implícitas dadas por las Ecuaciones Nº

17-4, 21-4 y 22-4 no resulta tan complicado, ya que aplicando el método de iteraciones sucesivas a

las mismas, se pueden resolver sin mayores inconvenientes. Aún así, existen programas de

computación que se encargan de realizar estas resoluciones implícitas, de los cuales el que nosotros

vamos a aplicar es el FLOWMASTER.

Cabe aclara que el Ábaco de Moody se aplica a cualquier fluido newtoniano, sólo teniendo en cuenta

el valor adecuado de la viscosidad dinámica y la cinemática.

4.A.4.1 Variación de la rugosidad en el tiempo (tub erías metálicas).

Si se estudia la forma de las curvas del Ábaco de Moody se puede concluir que el valor de la

aspereza absoluta tiene mucha importancia en el valor del factor de resistencia. Es notable el

crecimiento del valor de la rugosidad absoluta, a medida que se intensifica el uso de la cañería, los

valores tienen poca variación inicial, pero transcurridos unos 10 años de uso se magnifica




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considerablemente. Y esa magnificación también depende del tipo de fluido que transporta la tubería

y la temperatura de trabajo del mismo.

Scobey construyó el siguiente gráfico, el cual da la variación de la rugosidad en función del tiempo de

uso.

Pero esta variación depende del tipo de fluido y del material con el cual están construidas las

tuberías. Existen algunas materiales como la madera y el hormigón que no varían su rugosidad con

el tiempo, más aún, algunos hasta la disminuyen la misma, debido a la formación de una película lisa

en su interior.

Esta situación sumada a la realidad de los valores dados por los fabricantes hace que resulte

conveniente trabajar con un intervalo de variación de valores de ε.

4.A.5 FORMAS DE CÁLCULO. USO DEL ÁBACO DE MOODY.

Las variables en juego serán: caudal (Q), pérdida de carga unitaria (J) y el diámetro (D). Y en función

de dichas variables se pueden dar tres formas distintas de uso del Ábaco de Moody.

1. Dado el diámetro y la diferencia de cotas piezométricas, determinar el caudal que escurre.

2. Calcular el diámetro necesario para que escurra un caudal, si se conoce la diferencia de cotas

piezométricas.

3. Determinar la pérdida de energía que se produce para un diámetro dado y un caudal Q.

4.A.5.1 Primer Caso: Cálculo del caudal de escurrim iento.

Los datos son: D, ε, H y L. La incógnita es: Q (caudal).

Se calcula la pérdida de carga unitaria J, y junto con el diámetro D se calcula la abcisa superior del

ábaco.

Variación de la aspereza en el tiempo

02468

101214161820

0 20 40 60

Tiempo (años)

Asp

erez

a/A

sper

eza

Inic

ial

Aguas poco calcáreas

Aguas muy calcáreas




Página 17 de 68.

L

HJ =

νλ gJD 2

Re2/3

=

Recordemos que L es la longitud total de la tubería, en tanto que ν resulta función de la temperatura,

Para Mendoza se adopta una temperatura de 10°C, par a lo zona cordillerana consideramos 5°C.

Conocido el tipo de material se determina la relación D/ ε y se ingresa al gráfico de la forma indicada

abajo, leyendo el Re en la abcisa inferior.

Como νDU .

Re= , se despeja U, y sabiendo que Q=Ω.U se obtiene la incógnita Q.

4.A.5.2 Segundo Caso: dimensionado del diámetro de una tubería.

Datos: Q, H, ε y L. Incógnita: D

En este caso el problema se resuelve por tanteos sucesivos, debiendo adoptar un valor del diámetro

D, se calcula la velocidad media del mismo, el Re, y con la aspereza relativa, obtenemos un valor del

factor de resistencia del ábaco, y con λ se calcula J, con la finalidad de comparar la pérdida de carga

∆ con la diferencia de cotas piezométricas H. El cálculo se puede organizar mediante la siguiente

tabla:

D

(m)

Ω

(m2)

U

(m/s)

U2/2g

(m)

Re D/ ε λ J

(m/m)

∆

(m)

D π.D2/4 Q/ Ω U2/2g D.U/ ν D/ ε (ábaco) λ. U2/2g J . L

Se adopta un diámetro y se calcula H, se compara con el H dato, si no coincide se adopta otro

diámetro y así se itera hasta que coincidan, momento en el que termina el cálculo.

Si la pérdida de carga obtenida del cálculo es mayor que la diferencia de cotas piezométricas es

necesario aumentar el valor del diámetro en la iteración siguiente para disminuir la pérdida de carga.

Y viceversa, cuando la pérdida de carga obtenida del cálculo es menor que la diferencia de cotas




Página 18 de 68.

piezométricas es necesario disminuir el valor del diámetro en la iteración siguiente para aumentar la

pérdida de carga.

La forma de utilización del ábaco es la siguiente:

Este es el caso más habitual en el proyecto de un sistema de tuberías.

4.A.5.3 Tercer Caso: cálculo de la pérdida de carga .

Datos: Q, D, ε. Incógnita: J.

Se calcula la velocidad media U, el Re y la aspereza relativa, se ingresa al ábaco y se lee λ en el

mismo, con el cual se calcula j y luego ∆.

En este caso el cálculo es directo como lo muestra el gráfico siguiente:

Recordemos que todo lo desarrollado es solamente válido para líquidos newtonianos y de baja

compresibilidad.

4.A.6 PÉRDIDAS DE CARGA SINGULARES.

La Ecuación N° 4-4 de la tubería fue obtenida a par tir de considerar únicamente pérdidas de carga

por unidad de longitud y debidas al frotamiento inevitable entre el líquido y la pared de la cañería. Sin

embargo siempre aparecen pérdidas de carga singulares o localizadas, por ejemplo válvulas, codos,

cambios de sección, etc. Estas pérdidas se hallan ubicadas en un lugar puntual, de ahí su nombre.

Entonces, la pérdida de carga total está compuesta por la suma de la pérdida de carga por

frotamiento y la pérdida de carga por las singularidades. Si recordamos la Ecuación Nº 9-4 y la

expresión de las pérdidas de carga singulares obtenemos las siguientes expresiones, en las cuales

se ha remplazado la velocidad media por el cociente del Q y la sección transversal:




Página 19 de 68.

osfrotamientt LD

QKLJ ∆==

5

2

. Ecuación N° 24-4

∑∑ ==∆gD

Q

g

Ugulares 2

16

2 42

22

sin πλλ Ecuación N° 25-4

Luego la pérdida total será la suma de ambas:

∑+==∆4

2

5

2

08.0D

QL

D

QKH tT λ

O bien:

+= ∑λ08.04

2

D

LK

D

QH t Ecuación N° 26-4

Si recordamos que el valor de Kt es:

2

48.6

CK t ≈

Luego:

+= ∑λ08.048.624

2

D

L

CD

QH

Diremos que las pérdidas de carga singulares se despreciarán cuando resulten menores del 5% de

las continuas debido a que este es el error medio de las fórmulas experimentales utilizadas para el

cálculo de J. Entonces:

DC

L

D

L

C

D

QL

D

Q

C

22

4

2

5

2

2

41

08.0

48.6*05.0

08.048.6

05.0

=≤

≥

∑

∑

λ

λ

Es decir que el límite estará dado por:

DC

L2

4≤∑λ

Adoptando un valor medio del Coeficiente de Chezzy, para C=40:

D

LD

L

400

11600

4

≤

≤

∑

∑

λ

λ

Para el caso de contar con una cañería donde existe solamente pérdida de carga por embocadura y

por una salida es decir que Σλ=2.

DLD

L

800

800

≥

≥ Ecuación N° 27-4

La Ecuación Nº 27-4 nos dice que si:




Página 20 de 68.

L≥800D→ la tubería es larga, no se consideran las pérdidas de carga singulares.

L<800D→ la tubería es corta, sí se consideran las pérdidas de carga singulares.

4.A.6.1 Cuantificación de pérdidas de carga singula res.

Como ya se ha establecido, la cuantificación de estas pérdidas de carga se basa en el valor de un

factor de resistencia que es característico de cada singularidad. Y es por ello que a continuación

vamos a dar una lista orientativa de singularidades y sus valores de λ.

En las expresiones que a continuación se dan la nomenclatura es la siguiente:

∆h es la pérdida de carga en la singularidad en (m).

U2 es la velocidad media del agua aguas abajo de la singularidad en (m/seg).

U1 es la velocidad media del agua aguas arriba de la singularidad en (m/seg).

D2 es el diámetro de la tubería aguas abajo de la singularidad en (m).

D1 es el diámetro de la tubería aguas arriba de la singularidad en (m).

ESTRECHAMIENTO BRUSCO EN TUBERÍAS.

EMBOCADURA DE UN DEPÓSITO EN UNA TUBERÍA.

−×=

×=∆

2

1

2

22

121

2

D

D

g

Uh

estrech

estrech

λ

λ

21

2

22

=

×=∆

embocad

embocad g

Uh

λ

λ




Página 21 de 68.

TUBO ENTRANTE EN UN DEPÓSITO: DE LONGITUD MAYOR QUE LA MITAD DEL DIÁMETRO DE LA

TUBERÍA.

UNIÓN DE BORDES REDONDEADOS DESDE UN DEPÓSITO A UNA TUBERÍA.

UNIÓN OBLICUA DESDE UN DEPÓSITO A UNA TUBERÍA.

ββλ

λ

2

22

cos2.0cos3.05.0

2

×+×+=

×=∆

oblicua

oblicua g

Uh

D2

β

18.005.0

2

22

⟩∴=

×=∆

Dr

g

Uh

redondeado

redondeado

λ

λ

21

2

22

DL

g

Uh

entrante

entrante

⟩∴=

×=∆

λ

λ




Página 22 de 68.

ENSANCHAMIENTO BRUSCO.

LLEGADA DE UNA TUBERÍA A UN DEPÓSITO.

22

2

1

21

1

2

−

=

×=∆

D

D

g

Uh

ensanche

ensanche

λ

λ

22

1

2

2.2

1

2

−=

×=∆

D

D

g

Uh

ensanche

ensanche

λ

λ

1

1.106.1

2

21

=

⟨⟨

×=∆

medio

llegada

llegada g

Uh

λλ

λ




Página 23 de 68.

CODOS REDONDEADOS.

λcodo redondeado para relaciones r/D y ángulos δ.

r/D 1 1.5 2 3 4 δ=22.5º 0.11 0.10 0.09 0.08 0.08 δ=45º 0.19 0.17 0.16 0.15 0.15 δ=60º 0.25 0.22 0.21 0.20 0.19 δ=90º 0.33 0.29 0.27 0.26 0.26 δ=135º 0.41 0.36 0.35 0.35 0.35 δ=180º 0.48 0.43 0.42 0.42 0.42 δ=90º 1.68 1.64 1.62 1.61 1.61

CODOS EN ÁNGULO.

δ 22.5º 30º 45º 60º 75º 90º

λcodo 0.17 0.20 0.40 0.70 1.00 1.50

VÁLVULAS.

CURVAS A 90°.

gU2

2

λ=∆

r/D λ

1.0 0.40

1.5 0.32

2.0 0.27

3.0 0.22

4.0 0.20

r es el radio de curvatura de la curva, y D es el diámetro de la tubería.

δ D

g2

Uh

2

codo ×λ=∆

Codo que desemboca en un depósito lleno

δ D

r g2

Uh

2

.codoredon×λ=∆

0.10abiertagloboVávula

2.0abiertaesclusaVávulag2

Uh

V

V

2

válvula

=λ⇒

=λ⇒⇒×λ=∆

LL

LL




Página 24 de 68.

4.A.6.2 Ejemplo de cuantificación de pérdidas de ca rga singulares.

En un proyecto de provisión de aguas desde un depósito sale una tubería de hierro galvanizado (ε =

1,5x10-4 m) que consta de tres tramos conectados en serie cuyas características son las del

esquema. Calcular el caudal que transporta este sistema cuando el mismo desagua a presión

atmosférica. Trazar la línea de energía y la piezométrica.

Se toma Bernoulli entre la sección 1 y la sección 4, considerando como plano de referencia, el eje

hidráulico del sistema de tuberías:

0zg2

U

g2

UBBHB 4

2i

fi

2i

si4i41 =⇒λ+λ+=Σ∆+== ∑∑

( ) ( ) ( )g2

U

g2

U

g2

U

g2

UpzH

234

34f34s

223

23f23s

212

12f12s

2344

4 ∑∑∑∑∑∑ λ+λ+λ+λ+λ+λ++γ

+=

U34 es la velocidad que necesitamos conocer para poder calcular el caudal erogado. Para que la

ecuación quede sólo en función de esta incógnita, se pueden calcular los términos correspondientes

a las pérdidas de carga como funciones de la velocidad final U34 en vez de la velocidad

correspondiente al tramo considerado, de la siguiente manera:

g

U

g

Ui

ii 22

234

4

2

λλ = ⇒

2

2

234

2

34234

2

4

=

ΩΩ

==i

ii

ii

iiD

D

Q

Q

U

U λλλλ ⇒

4

344

=

iii D

Dλλ

donde λi4 es el factor de pérdida de carga referido a la velocidad U34. Así la ecuación queda como

sigue:

λ+λ+×+

γ=

λ+λ++

γ= ∑∑∑∑ 4

i

434

4fi4i

434

4si

2344

234

4i

434

4fi4i

434

4si

2344

D

D

D

D1

g2

Up

g2

U

D

D

D

D

g2

UpH

PÉRDIDAS DE CARGA.

Para cuantificar las pérdidas de carga por frotamiento en cada tramo es necesario determinar el tipo

de movimiento turbulento (liso o rugoso), y luego aplicar la ecuación correspondiente para cada caso.

En este caso al no conocerse el caudal, no se sabe la velocidad, y por lo tanto tampoco el Re, para

su posterior clasificación, por lo tanto se adopta Movimiento Turbulento en tubería rugosa y luego se

Tramo 1 L1 = 5.00 m D1 = 0,15 m

Tramo 3 L3 = 8.50 m D3 = 0,20 m

Tramo 2 L2 = 21.80 m D2 = 0,30 m

H=6 m 1 2 3 4




Página 25 de 68.

verifica tal situación. También puede usarse el Ábaco de Moody entrando en el área del Movimiento

Turbulento en Tubería Rugosa.

En cuanto a las pérdidas de carga por singularidad, los factores de resistencia correspondientes se

resumen en las ecuaciones siguientes:

gU

, .embembocadura.emb 250

212λ=∆⇒=λ

gU

DD

.br.ensensanche.br.ens 29

11

9

11

223

2

212

223

2

12

23 λ=∆⇒+

−=+

ΩΩ−=λ

gU

DD

.br.estrentoestrechami.br.estr 21

2

1 234

223

234 λ=∆⇒

−=λ

La tabla siguiente resume el cálculo de las pérdidas de carga anteriores:

CÁLCULO DEL CAUDAL.

Se despeja la velocidad media en tramo 34, U34, y luego mediante el producto con la la sección

transversal se obtiene el caudal.

λ+λ+×+

γ= ∑∑ 4

434

44

434

4

2344 1

2 ifi

isi D

D

D

D

g

UpH ⇒

∑∑ λ+λ+

γ−

=

4i

434

4fi4i

434

4si

4

34

D

D

D

D1

pH

g2U

gU

DL

DL

f

.R

logRUGOSASTUBERÍASENTURBULENTOMOVIMIENTO

i

i

iii

i

ii

i

2

70121

2

××λ=∆⇒×λ=λ

=ε

−λ

⇒LLLL

77862780800158017870242009124

434

44

434

4 .......D

D

D

D

ifi

isi =+++++=λ+λ ∑∑

TRAMO D (m) ε ε ε ε (m) L (m) λλλλi λλλλf λλλλs D34/Di (D34/Di)4 λλλλf.(D34/Di)4 λλλλs.(D34/Di )4

1-2 0.15 0.00015 5 0.0198 0.662 0.500 1.33 3.16 2.091 1.5802-3 0.3 0.00015 21.8 0.0169 1.226 9.111 0.67 0.20 0.242 1.8003-4 0.2 0.00015 8.5 0.0185 0.787 0.278 1 1 0.787 0.278




Página 26 de 68.

sm

,Usm

,,

m

s

m,U

aAtmosféricesiónPrp

D

D

D

D

pH

gU

ifi

isi

89389377861

068192

0

1

2

34234

4

4

434

44

434

4

4

34

=⇒=+

−××=

⇒=γ

⇒

λ+λ+

γ−

=

∑∑L

( )s

m122,0

4

m2,0

s

m89,3UQ

32

=×π=Ω⋅= ⇒ s

l122Q =

VERIFICACIÓN DEL TIPO DE MOVIMIENTO.

Con el caudal calculado se verifica qué tipo de movimiento corresponde:

El movimiento es turbulento en tubería lisa, de modo que es necesario recalcular las pérdidas de

carga por frotamiento con la ecuación siguiente:

CÁLCULO DEL CAUDAL.

Para el cálculo del caudal erogado se usa la fórmula obtenida por la aplicación del Teorema de

Bernoulli entre la sección 1 (aguas arriba) y la sección 4, la cual es:

.seg/litros120Q.seg/m120.04

DUQ

seg/m836.3m)247.56(s

m81.92sifiH(g2U

m247.5g2

Um)21.0385.1216.1(m)618.0197.0621.1(

g2

U00m6H

sifig2

UpzH

3234

34

234

234

234

2344

4

=⇒=×π×=

=−×=∆+∆−=

+=++++++++==

∆+∆++γ

+=

∑∑

∑∑

TRAMO D (m) ε ε ε ε (m) L (m) Q (m3/s) Ui (m/s) Re D/εεεε Mov.Turb.s/Moody1-2 0.15 0.00015 5 0.122 6.907 828875 1000 tub.lisa2-3 0.3 0.00015 21.8 0.122 1.727 414437 2000 tub.lisa3-4 0.2 0.00015 8.5 0.122 3.885 621656 1333 tub.lisa

λ×+ε−=

λ⇒

iRe

.D

.logi

COLEBROOKDEFÓRMULA512

27021

MM

TRAMO D (m) ε ε ε ε (m) L (m) Q (m3/s) Ui (m/s) Re D/εεεε λλλλi Ui2/2g (m) λλλλfi ∆∆∆∆fi (m) λλλλsi ∆∆∆∆si (m)1-2 0.15 0.00015 5 0.122 6.907 828875 1000 0.02 2.432 0.667 1.621 0.5 1.2162-3 0.3 0.00015 21.8 0.122 1.727 414437 2000 0.0178 0.152 1.293 0.197 9.1111 1.3853-4 0.2 0.00015 8.5 0.122 3.885 621656 1333 0.0189 0.769 0.803 0.618 0.2778 0.214




Página 27 de 68.

Este caudal encontrado es casi igual al usado para los cálculos de las pérdidas de carga. De modo

que el caudal es: Q=122 litros/seg

TRAZADO DE LA PIEZOMÉTRICA.

Se calcula la energía, o sea el Bernoulli, en cada sección transversal y luego la cota piezométrica

restándole la altura de velocidad correspondiente:

m6HB Arr.A1 ==

m6m0m6g2

UBCP

21

1Arr.A1 =+=−=

m784.4m216.1m6BB 1sArr.A1Ab.A1 =−=∆−=

m352.2m432.2m784.4g2

UBCP

212

Ab.A1Ab.A1 =−=−=

⇒=−=∆−= m163.3m621.1m784.4BB 12fAb.A1Arr.A2

m731.0m432.2m163.3g2

UBCP

212

Arr.A2Arr.A2 =−=−=

m778.1m385.1m163.3BB 2sArr.A2Ab.A2 =−=∆−=

m626.1m152.0m778.1g2

UBCP

223

Ab.A2Ab.A2 =−=−=

m581.1m197.0m778.1BB 23fAb.A2Arr.A3 =−=∆−=

m429.1m152.0m581.1g2

UBCP

223

Arr.A3Arr.A3 =−=−=

m367.1m214.0m581.1BB .3sArr.A3Ab.A3 =−=∆−=

m598.0m769.0m367.1g2

UBCP

234

Ab.A3Ab.A3 =−=−=

m749.0m618.0m367.1BB 34fAb.A3Arr.A4 =−=∆−=

m02.0m749.0m749.0g2

UBCP

234

Arr.A4Arr.A4 −=−=−=




Página 28 de 68.

Nota: Este gráfico es un esquema sin escala. El valor negativo de la última cota piezométrica se

debe a las aproximaciones realizadas en los cálculos.

4.A.7 PERFIL GEOMÉTRICO E HIDRÁULICO DE UNA TUBERÍA.

Para estudiar la diferencia de comportamiento entre el perfil geométrico de una tubería, dado por el

eje hidráulico de la misma, y el perfil hidráulico, dado por la línea piezométrica, se analiza un tramo

diferencial de longitud de una tubería, “ds”, y se lo aísla para estudiar su comportamiento. En el

gráfico siguiente se dan las magnitudes actuantes en ese tramo diferencial de la tubería.

Dada una cañería de longitud “ds”, de desnivel piezométrico H, la pérdida de carga unitaria resultará

J=∆/ds, es decir independiente del perfil geométrico. En tanto que la línea de energía sí será

influenciada por el perfil geométrico, para encontrar dicha influencia analizamos lo siguiente.

Considerando el triángulo rectángulo formado entre ds, dx (como proyección horizontal de ds) y dz

(como diferencia entre las cotas extremas de la porción de tubería), se puede expresar lo siguiente:

Eje de la cañería

Línea de energía Línea piezométrica

Plano de energía constante

1 2 3 4




Página 29 de 68.

2

2

2

2

222

1dx

dz

dx

ds

dzdxds

+=

+= Ecuación Nº 28-4

Si llamamos “α” a la pendiente de la línea de energía e “i” a la pendiente geométrica del eje hidráulico

de la tubería, podemos escribir las siguientes expresiones, en las cuales se remplaza la Ecuación Nº

28-4:

itgJtg

dx

dzJtg

dx

dz

dx

ds

dx

dsJtg

dx

dzitg

2

2

2

2

2

1

1

1

.

+=

+=

+=

=

=

α

α

α

itgJtg 21+=α Ecuación Nº 29-4

La Ecuación Nº 29-4 nos permite observar que si i=0, tg α =J, es decir, que mientras más horizontal

sea la cañería la pendiente de la línea de carga tiende al valor de J.

La pendiente geométrica podrá ser ascendente o descendente, es decir, negativa o positiva, pero

como tg2 i siempre será positiva implica que la línea de energía siempre será descendente.

Veamos por ejemplo una cañería que une dos depósitos y con una diferencia de nivel piezométrico

H.

Si suponemos además un diámetro constante y depreciando las pérdidas de cargas por

singularidades, podemos dividir la tubería en n partes iguales, al igual que al desnivel H. Si ahora por




Página 30 de 68.

cada uno de esos puntos trazamos horizontales y verticales, uniendo los puntos resultantes de la

intersección tendremos la línea piezométrica de dicha tubería.

Conocida la línea piezométrica se puede obtener la línea total de presiones. Esto se logra agregando

la carga correspondiente a la presión atmosférica (patm=10mca). Es decir, que tendríamos que trazar

una paralela a la piezométrica pero diez metros por encima.

Para que haya escurrimiento es necesario que la línea PQ no corte el perfil de la cañería. En la figura

anterior el punto de presión mínima es el punto F.

Ya que la cota piezométrica está compuesta de la suma de dos términos, si la suma resulta negativa,

porque se encuentra por debajo del eje hidráulico de la tubería, debemos analizar los valores

posibles de los dos sumandos:

γp

zCP +=

El primer sumando es la cota de posición que será constante y positiva, porque el eje de referencia

pasa por la cota más baja, una vez que se fija el plano de comparación o referencia; entonces el

valor del segundo sumando es negativo y mayor que el del primer sumando. Una cota de presión

negativa implica que la presión es menor que la atmosférica.

Entonces, si la línea piezométrica corta a la cañería, la presión total resultará menor que la

atmosférica. El aire que circula por la cañería se desprende acumulándose en la parte superior.

Se produce una estricción de la corriente y aumenta la pérdida de carga, resultando necesario

colocar dispositivos que extraigan el aire.

En el punto G, en cambio, tenemos la presión máxima de trabajo, esta presión será la que se usa

para el cálculo estructural.

Si la línea PQ corta la cañería el escurrimiento es imposible.




Página 31 de 68.

4.A.8 TUBERÍA DE DIÁMETRO VARIABLE.

En toda canalización cerrada tendremos pérdidas continuas y singulares. Es común considerar a

estas últimas (codos, válvulas, etc.) como una longitud de cañería equivalente tal que esta longitud

de más produzca la misma pérdida de carga que la singularidad considerada.

De igual manera, cuando tenemos distintos diámetros el cálculo del gasto se puede obtener a través

del “DIÁMETRO MEDIO EQUIVALENTE”.

Recordando la Ecuación Nº 9-4 del movimiento turbulento:

5

2

D

QKJ t= Ecuación Nº 9-4

Si la pérdida de carga total es la suma de las pérdidas de carga de cada uno de los tramos:

nnLJLJLJLJ ++++=∆ ...332211

Remplazando J por la Ecuación Nº 9-4:

+++=∆

+++=∆

552

25

1

12

5

2

252

2

151

2

...

...

n

nt

n

n

ttt

D

L

D

L

D

LQK

LD

QKL

D

QKL

D

QK

El diámetro medio que satisface la ecuación es Dm, y aplicando la expresión de la pérdida de carga a

una tubería que tiene una longitud igual a la suma de la longitud de los tramos de la misma.

5

2

m

tD

QK

L

HJ ==∑

Nos da la relación:

+++=∑

552

25

1

15 ...

n

n

m D

L

D

L

D

L

D

L Ecuación Nº 30-4

La Ecuación Nº 30-4 es la conocida como REGLA DE DUPUIT para movimiento turbulento.

Para movimiento laminar, la expresión es la siguiente:




Página 32 de 68.

+++=∑

442

24

1

14 ...

n

n

m D

L

D

L

D

L

D

L Ecuación Nº 31-4

La Ecuación Nº 31-4 es la conocida como REGLA DE DUPUIT para movimiento laminar.

4.A.9 VELOCIDADES

Valores no adecuados en el diseño pueden acarrear problemas de vibraciones, o producir

variaciones bruscas de presión en fenómenos como el golpe de ariete. Se dan normalmente valores

de velocidades medias aceptables.

D (m) U (m/s) Q (l/s) 0.05 0.60 1.2 0.10 0.80 6.0 0.20 1.00 30 0.40 1.30 165 0.60 1.60 450 0.80 1.80 900

D (m) U (m/s) Q (l/s) 1.00 2.00 1500 1.50 2.40 4200 2.00 2.70 8400 2.50 3.00 15000 3.00 3.25 22700 3.50 3.50 34000

La regla de Unwin nos dice, según la ya mencionada Ecuación Nº 16-4:

Umax[m/s]=0.60+1.45D[m] Ecuación Nº 16-4

Sin embargo cabe aclarar que estos valores son sobrepasados en tuberías forzadas de ingreso a las

salas de máquinas, por lo que se requiere de dispositivos especiales a efectos de disminuir el efecto

del golpe de ariete.

4.A.10 TUBERÍA DE CAUDAL VARIABLE.

Las obras de conducción van entregando caudal a lo largo del camino, por ejemplo, las cañerías de

distribución de agua potable, las redes de riego por aspersión, por goteo, etc..

4.A.10.1 Ingreso y egreso de caudal.

Si tenemos una tubería por la que ingresa un caudal determinado Qi y egresa un caudal menor Qe

significa que ha sido derivado un caudal en el camino.

En los puntos intermedios entre el de ingreso y el de egreso el caudal también variará a medida que

vaya saliendo líquido. Lo que implica que habría que estudiar los n tramos intermedios en los cuales




Página 33 de 68.

el caudal es diferente, pero para simplificar el problema se introduce una magnitud llamada “servicio

en camino” o “servicio en ruta” (q), la cual se define de la siguiente forma:

−=m

sm

L

QQq ei

3

Ecuación Nº 32-4

El servicio en camino o en ruta es el caudal medio que se va entregando o perdiendo por unidad de

longitud. Se verifica también considerando que el caudal que se deriva es la suma de los caudales

individuales derivados.

nddd QQQLq +++= .... 21 Ecuación Nº 33-4

4.A.10.1.1 Cálculo de la pérdida de energía en tuberías de caudal variable.

Si necesitamos calcular la pérdida de energía de una tubería que posee caudal variable. Sabemos

que existe una relación entre la pérdida de carga J y el caudal, dada por la Ecuación Nº 9-4:

5

2

D

QKJ t= Ecuación Nº 9-4

También podemos escribir que la pérdida de carga unitaria es proporcional al caudal elevado al

cuadrado, cuál de todos los caudales consideramos, vamos a tomar como caudal de referencia el

caudal de egreso, el que toma el valor que se despeja de la Ecuación Nº 32-4:

22eKQKQJ ==

xqQQ i .−=

Luego: ( )2.xqQKJ ix −= Ecuación Nº 34-4

La Ecuación Nº 34-4 nos permite calcular la pérdida de carga a una distancia x desde el punto origen

de la tubería. Desarrollando matemáticamente el cuadrado de un binomio, nos queda:

( )222 ..2 xqqxQQKJ iix +−=

La pérdida de carga total será la integral de la pérdida de carga en el dx, con la longitud variando

entre 0 y L: Y eso nos permite calcular la pérdida de carga total ∆, que es igual a la diferencia de

cotas piezométricas H.

Resolviendo matemáticamente dicha expresión se puede simplificar obteniendo una fórmula más

reducida en tamaño.




Página 34 de 68.

( )

( )

( )

( )( )( )( )eiei

eeiiei

eiei

eiei

ei

Qe

ii

ii

L

ii

L

ii

L

x

QQQQLK

H

QQQQQQLK

H

QQQQLK

H

QQQQLKH

LqQQLKH

LqqLQQLKH

Lq

LqQQLKH

xq

xqQxQKH

H

dxxqqxQQKdxJ

++=

+−+=

−+=

−+=

+=

+−=

+−=

+−=

=∆

+−=∆= ∫∫

22

22

2

2

22

22

222

0

32

22

0

222

0

3

.

.233

.

33

.

3.

3.

3.

32..2.

32..2

..2.

43421

( )eiei QQQQLK

H ++= 22

3

. Ecuación Nº 35-4

La Ecuación Nº 35-4 sirve para calcular la carga que se debe disponer en una cañería de longitud L,

diámetro D y con un servicio en camino q. (Solo válida para alimentación por un extremo).

Si en la Ecuación Nº 35-4 el caudal de egreso resulta nulo, resulta:

3.

2iQ

LKH = Ecuación Nº 36-4

El caudal de cálculo será:

ii

m QQ

Q 577.03

2

== Ecuación Nº 37-4

4.A.10.1.2 Cálculo del diámetro en tuberías de caudal variable.

Este caso se reduce al cálculo del diámetro, conocido el desnivel piezométrico H, que asegure un

servicio en ruta q. Usando las mismas ecuaciones Nº 36-4 ó 37-4 se puede despejar el Dm que

asegure el servicio en ruta q.




Página 35 de 68.

4.A.10.2 Ingreso de caudal por los dos extremos.

Veamos ahora el caso de tener ingreso por los dos extremos, en este caso habrá una sección en

donde se anularán los caudales, ya que ambos son colineales, pero de sentido contrario.

Es decir que tendremos, que el caudal se puede cuantificar desde el punto A y desde el punto B.

0.

0.

22

11

=−⇒

=−⇒

LqQPuntoB

LqQPuntoA

Implica que las longitudes de los tramos son proporcionales a los valores de los caudales de ingreso:

2

1

2

1

22

11

.

.

L

L

Q

Q

LqQ

LqQ

=

==

Si trazamos ahora la línea piezométrica, veremos que el punto donde el caudal es cero corresponde

al punto en donde la cota piezométrica adopta su valor mínimo. La diferencia de cotas piezométricas

entre A y B es H, mientras que la diferencia de cotas piezométricas entre B y C es h.

Podemos asumir entonces que la tubería AB se puede dividir en dos tramos AC y BC, los cuales

tienen caudales de ingreso Q1 y Q2, respectivamente, y caudales de egreso nulos, de modo que se

puede aplicar la Ecuación Nº 32-4 a ambos tramos. Si cuantificamos la pérdida de carga en AC

resulta igual a la diferencia de cotas piezométricas entre los mismos puntos:




Página 36 de 68.

2

11

1 3Q

LKhH =+ Ecuación Nº 38-4

Si aplicamos los mismos conceptos al tramo BC, nos queda la siguiente expresión:

22

21 3

QL

Kh = Ecuación Nº 39-4

Cabe aclarar que el punto C en la práctica no es cero, pero será el valor mas bajo de caudal y de

menor cota piezométrica.

Resumiendo los casos que se pueden presentar son:

Caudal de egreso positivo. Qe>0 (ingresa caudal por un solo extremo): 2

QeQiQm

+=

Caudal de egreso nulo. Qe=0 (no sale caudal): QiQi

Qm 577.03

2

==

Caudal de egreso negativo. Qe<0 (ingresa caudal por ambos extremos): 2

22

1

21

11

3

3

QL

Kh

QL

KhH

=

=+

4.A.11 CÁLCULO DE REDES CERRADAS DE TUBERÍAS. MÉTODO D E CROSS.

El caso práctico de aplicación de todos los conceptos vertidos es el proyecto de redes de agua

potable, estas redes se las puede clasificar en:

Redes abiertas

Redes cerradas

Las redes abiertas quedan limitadas en su uso para redes de alimentación a pequeñas poblaciones.

El cálculo resulta sencillo ya que se procede a calcular conforme a los gastos requeridos, teniendo

estos una magnitud y sentidos definidos.




Página 37 de 68.

Mientras que las redes cerradas, también conocidas como red de mallas, ofrece una mayor

seguridad, pues permite entregar caudales accidentales, por lo que dentro de lo posible se deben

proyectar este tipo de redes.

En general tendremos como problemas: Proyecto de una red y la Verificación de una red.

Para comenzar con el estudio de redes cerradas haremos una serie de suposiciones, en las que se

basa el Método de Cross, que es el que estudiaremos en este caso:

a. Los consumos de servicio en ruta se concentran en los nudos, por lo que el número de

servicios en ruta interiores coinciden con el número de lados de la red.

b. La suma de los caudales entregados y consumidos resulta nula. De modo que en un nudo, la

sumatoria de caudales resulta nula, considerando positivos los caudales que salen y

negativos los que entran al mismo.

c. La sumatoria de las pérdidas de carga en una malla es cero. Es decir que, fijado un sentido

positivo se calculan las pérdidas de carga en una malla cerrada, y existirán términos

negativos y positivos de modo que la sumatoria de ellos resulta cero.

El esquema resulta:

La solución del problema bajo estas hipótesis fue dada por Cross, y está basado en un método

iterativo, o bien de aproximaciones sucesivas, en el cual se calcula la pérdida de carga de cada

tramo de la malla cuadrada usando la ecuación del movimiento turbulento. Como cada tramo tiene

diámetro constante de la Ecuación Nº 9-4, podemos incluir el diámetro dentro de la constante de la

pérdida de carga, y por lo tanto la ecuación queda más simplificada:

2

251

5

2

1

QKJ

QD

K

D

QKJ

K

×=

×=×=

Si analizamos las pérdidas de carga por el camino ABD y remplazando cada valor por tramo:

BDBDABABABDABD

BDBDABABABDABD

LQKLQKLJH

LJLJLJH2

22

1 .. +==

+==




Página 38 de 68.

En forma general, podemos agrupar el coeficiente Kj con la longitud por tramo Lj:

∑∑

××=

=2

2

j

r

jj

iii

QLKH

LQKH

j

43421

∑ ×= 2jj QrH Ecuación N° 40-4

Donde el coeficiente ri toma el valor de la siguiente expresión:

55083.0

2

8

j

jj

j

jjj

D

L

D

L

gr

×=

××

=λ

πλ

, Ecuación N° 41-4

Con λ función del Re y de la aspereza relativa. El valor de rj es conocido como “resistencia del

tramo”.

Ahora si analizamos la pérdida de carga por el camino ACD, debemos arribar al mismo valor, pero de

distinto signo, ya que la sumatoria de las pérdidas de carga en una malla cerrada resulta cero.

CDCDACACACBACD LJLJLJH +==

jjj LQKH ∑=− 2

Por lo tanto si sumamos todos los términos rj.Qi2 de la malla con los signos correspondientes

tendremos:

02 =×=∑ jj QrH

El método entonces consiste en, fijados los caudales de alimentación y los de cada nudo y tramo, se

adopta un diámetro y se determina la pérdida de carga en cada tramo. Sin embargo, se debe partir

de un caudal inicial supuesto “Qo” que debe ir corrigiéndose a través del método de iteraciones

sucesivas (sumándole o restándole un error de aproximación ∆Qo) hasta encontrar el valor final “Qr”.

Se puede suponer entonces que:

200

2 )(.0 QQrQrH jjjj ∑∑∑ ∆+×===

Si se desarrolla la última expresión:

)..2( 2000

20 QQQQr j ∆+∆+∑

Si se desprecia el último término, por ser el cuadrado de un valor pequeño:

∑∑

∑

×

×−=∆

=∆×+×

0

20

0

002

0

.2

0)..2(

Qr

QrQ

QQrQr

j

j

jj

Ecuación N° 42-4

Analizando la última expresión se ve que el numerador es la suma algebraica de las pérdidas de

carga del tanteo o iteración, y es el término que posee el signo de en el cociente de la Ecuación N°

42-4.




Página 39 de 68.

4.A.11.1 Aplicación del Método de Cross.

Se asigna a cada lado de la malla una caudal inicial, siempre considerando que en el nudo donde

ingresa caudal exterior, la sumatoria de los caudales debe ser cero. Se asigna sentidos de

circulación del caudal a cada tramo de cada malla cerrada.

Para la cuantificación de la pérdida de carga de cada tramo, se fija un sentido positivo para cada

malla, puede adoptarse el sentido horario como positivo. Lo que implica que las pérdidas de carga

que tengan sentido horario son positivas, mientras las que sean antihorarias serán negativas.

Se calcula ∑ × 20Qr j a cada tramo de la malla con el signo que resulte después de haber adoptado

la convención, es necesario recordar que esta expresión es la pérdida de carga de cada tramo.

Luego se calcula ∑ × 02 Qr j , y mediante la aplicación de la Ecuación N° 42-4 s e obtiene el valor de

∆Qo. El que permite corregir el valor inicial del caudal adoptado.

Se realizan las sucesivas iteraciones hasta que el valor de ∆Qo se hace cero, y se llega al valor final

del caudal por tramo.

Se verifica que ∑ =× 020Qr j

Veamos a continuación las tablas de valores que resultan aconsejables realizar para la aplicación del

método de iteraciones sucesivas.

Para cada tramo de cada malla se debe construir la variación de rj.Q02 y de rj.Q0, en función de Q0.

Para ello resulta práctico la siguiente tabla o planilla de cálculo:

Q (l/s) D.U (m 2/s) Re λλλλ(Moody) J (m/m) r j.Qo2=J.L(m) r j.Qo(m/s 2)

120

100

80




Página 40 de 68.

Q (l/s) D.U (m 2/s) Re λλλλ(Moody) J (m/m) r j.Qo2=J.L(m) r j.Qo(m/s 2)

60

40

20

0

Determinada la función de Q, realizamos el primer tanteo para cada malla.

MALLA N°1 (Primer Tanteo)

Tramo Q (l/s) r j Q0 (m/s 2) 2r j Q0 (m/s 2) r j Q02=JL (m)

AB

BD

AC

CD

∑∑

×

×−=∆

0

20

0.2 Qr

QrQ

j

j

El cálculo termina cuando ∆Qo=0. En ese momento los valores dados en el último tanteo serán los

de circulación en cada nudo.

La otra verificación es la cota piezométrica en cada punto. Para lo cual se partirá de una C.P.

conocida y como se tendrán los valores de J.L en cada ramal, se obtendrán por diferencia los valores

de cota piezométrica en cada nudo.

4.A.11.2 Ejemplo de aplicación.

Calcular los Q en los tramos y las cotas piezométricas de los nudos en el sistema de la figura; la cota

piezométrica del nudo 1 es de 17 m.c.a. y el gasto en ruta es de 8 ltrs./s por cada 100 m. El material

de la tubería es acero (ε = 0.000045 m = 0.045 mm), la viscosidad cinemática 1.25 10-6 m2/s. Trazar

la línea piezométrica de la red.




Página 41 de 68.

Se adoptan los caudales para cada tramo de tubería, considerando que en el nudo 1, la sumatoria de

los caudales que entran y salen debe ser cero. Por lo tanto, la suma de los caudales Q12; Q14 y Q16

debe ser igual a los 432 litros/seg. que entran a la red.

s/ltsQ 15016 = ;s/lts.s/ltsQ 2137

100

816015065 =

−=;

s/lts.s/lts.Q 8130100

880213754 =

−=;

s/ltsQ 10014 = ; s/ltsQ 18212 = ;s/ltrs.s/ltsQ 8166

100

819018223 =

−=;

( ) s/lts.s/lts.*.Q 4156080130816634 =−=

Se calculan los parámetros de cada tramo de las redes, con los diámetros y longitudes de cada

tramo, según las fórmulas que se detallan a continuación. Los cálculos se encuentran resumidos en

la tabla siguiente para la primera iteración realizada con los valores de caudales supuestos

anteriores.

ν= D*U

Re;

50830

DL

. ×λ×=α;U

Q=Ω ;

∆ΣΣ

QQ

Q= −

αα

02

02

;λ se extrae del Gráfico de Moody.

6 2

1

5

4

3

432lts/s




Página 42 de 68.

432 l/s

6 1 2

150 lt/s 182 lt/s

137.2 lt/s + 100 lt/s + 166.8 lt/s

130.8 lt/s 156.4 lt/s 5 4 3

Los caudales encontrados de la última columna pasan a ser los caudales iniciales para la iteración

siguiente, cuyos cálculos se resumen así:

La tercera iteración es la siguiente:

MALLA TRAMO Q 0 L D U Re D/εεεε λλλλ Q02 αααα 2ααααQ0 ααααQ0

2 ∆∆∆∆Q Q0*1-4 100 110 0.25 2.04 4.1E+05 5555.6 0.0158 10000 147.20 29440.24 -1472012.209 206.774-5 130.8 170 0.25 2.67 5.3E+05 5555.6 0.0155 17108.64 223.17 58382.14 3818191.862 92.695-6 137.2 80 0.3 1.94 4.7E+05 6666.7 0.0152 18823.84 41.39 11357.25 779107.1815 99.096-1 150 160 0.32 1.87 4.8E+05 7111.1 0.015 22500 59.16 17747.79 1331084.271 111.89

116927.42 4456371.11


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-2 182 190 0.35 1.89 5.3E+05 7777.8 0.0148 33124 44.28 16119.00 -1466829.22 113.342-3 166.8 130 0.27 2.91 6.3E+05 6000 0.015 27822.24 112.40 37497.60 -3127300.16 98.143-4 156.4 220 0.2 4.98 8.0E+05 4444.4 0.0152 24460.96 864.33270361.42 -21142263.02 87.744-1 100 110 0.25 2.04 4.1E+05 5555.6 0.0158 10000 147.20 29440.24 1472012.209 206.77

353418.27 -24264380.19

I -38.11

II 68.66


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-4 206.77 110 0.25 4.21 8.4E+05 5555.6 0.0149 42753.235 138.82 57405.71 -5934847.674 195.554-5 92.69 170 0.25 1.89 3.8E+05 5555.6 0.0158 8591.0126 227.49 42171.58 1954393.483 115.515-6 99.09 80 0.3 1.40 3.4E+05 6666.7 0.0158 9818.3754 43.02 8526.14 422417.7085 121.916-1 111.89 160 0.32 1.39 3.6E+05 7111.1 0.0157 12518.861 61.92 13856.19 775168.7227 134.71

121959.61 -2782867.76


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-2 113.34 190 0.35 1.18 3.3E+05 7777.8 0.0157 12846.801 46.98 10648.84 -603489.50 101.742-3 98.14 130 0.27 1.72 3.7E+05 6000 0.0156 9632.1917 116.9022945.81 -1125993.63 86.543-4 87.74 220 0.2 2.79 4.5E+05 4444.4 0.0162 7698.9621 921.19 161657.36 -7092209.973 76.144-1 206.77 110 0.25 4.21 8.4E+05 5555.6 0.0148 42753.235 137.88 57020.44 5895016.481 195.55

252272.44 -2926676.61

II 11.60

I 22.82




Página 43 de 68.

Cálculo de las cotas piezométricas.

Para el cálculo de las cotas piezométricas es necesario calcular las pérdidas de energía unitarias Ji

para cada tramo, luego los valores de ∆hi y con ellos las cotas piezométricas, siguiendo siempre el

sentido del caudal de cada tramo. Recordando que la CP1=17m.

Para el caso del punto 4 habrá tres valores de cota piezométrica, uno resolviendo la malla I, otro

resolviendo la malla II y otro desde el punto 1 hacia el punto 4. Las diferencias entre los valores

obtenidos debe ser pequeña, y tienen su rigen en las aproximaciones de los cálculos.


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-4 195.55 110 0.25 3.99 8.0E+05 5555.6 0.0149 38240.531 138.82 54291.59 -5308410.588 197.384-5 115.51 170 0.25 2.35 4.7E+05 5555.6 0.0155 13341.558 223.17 51555.56 2977479.645 119.985-6 121.91 80 0.3 1.73 4.1E+05 6666.7 0.0157 14860.99 42.75 10423.15 635320.3967 126.386-1 134.71 160 0.32 1.68 4.3E+05 7111.1 0.0154 18145.615 60.74 16363.20 1102108.093 139.18

132633.50 -593502.45


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-2 101.74 190 0.35 1.06 3.0E+05 7777.8 0.0159 10351.531 47.57 9680.65 -492466.61 95.442-3 86.54 130 0.27 1.51 3.3E+05 6000 0.0159 7489.6002 119.1520622.56 -892363.86 80.243-4 76.14 220 0.2 2.42 3.9E+05 4444.4 0.0162 5797.6767 921.19 140283.44 -5340764.08 69.844-1 195.55 110 0.25 3.99 8.0E+05 5555.6 0.0149 38240.531 138.82 54291.59 5308410.588 197.38

224878.24 -1417183.97

II 6.30

I 4.47


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-4 197.38 110 0.25 4.02 8.0E+05 5555.6 0.0149 38958.514 138.82 54798.89 -5408078.417 196.214-5 119.98 170 0.25 2.45 4.9E+05 5555.6 0.0155 14395.3 223.17 53552.85 3212646.86 122.635-6 126.38 80 0.3 1.79 4.3E+05 6666.7 0.0155 15972.01 42.21 10668.09 674119.1419 129.036-1 139.18 160 0.32 1.73 4.4E+05 7111.1 0.0152 19371.188 59.95 16687.20 1161265.773 141.83

135707.04 -360046.64


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-2 95.44 190 0.35 0.99 2.8E+05 7777.8 0.0158 9108.8834 47.28 9023.91 -430623.07 93.962-3 80.24 130 0.27 1.40 3.0E+05 6000 0.016 6438.5331 119.90 19241.09 -771957.04 78.763-4 69.84 220 0.2 2.22 3.6E+05 4444.4 0.0163 4877.6913 926.88 129467.02 -4521018.688 68.364-1 197.38 110 0.25 4.02 8.0E+05 5555.6 0.0149 38958.514 138.82 54798.89 5408078.417 196.21

212530.91 -315520.38

II 1.48

I 2.65


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-4 196.21 110 0.25 4.00 8.0E+05 5555.6 0.0149 38498.593 138.82 54474.47 -5344233.759 196.344-5 122.63 170 0.25 2.50 5.0E+05 5555.6 0.0155 15038.983 223.17 54737.06 3356299.763 123.215-6 129.03 80 0.3 1.83 4.4E+05 6666.7 0.0155 16649.653 42.2110892.05 702719.9357 129.616-1 141.83 160 0.32 1.76 4.5E+05 7111.1 0.0152 20116.751 59.95 17005.30 1205960.843 142.41

137108.88 -79253.22


2 ∆∆∆∆Q Q0*1-2 93.96 190 0.35 0.98 2.7E+05 7777.8 0.0158 8827.7082 47.28 8883.54 -417330.50 93.252-3 78.76 130 0.27 1.38 3.0E+05 6000 0.016 6202.4894 119.90 18885.10 -743656.24 78.053-4 68.36 220 0.2 2.18 3.5E+05 4444.4 0.0163 4672.527 926.88126714.96 -4330856.62 67.654-1 196.21 110 0.25 4.00 8.0E+05 5555.6 0.0149 38498.593 138.82 54474.47 5344233.759 196.34

208958.07 -147609.59

II 0.71

I 0.58

La cuarta iteración es:

La quinta iteración es:




Página 44 de 68.

1414545465651616

343423231212

1

2

172

∆−=→∆−=→∆−=→∆−=∆−=→∆−=→∆−=

=⇒×=∆⇒λ

=

CPCPCPCPCPCPCPCP

CPCPCPCPCPCP

mCPLJg

UD

J iiii

i

ii

CP4 = CP5 -∆54=15.08m-3.39m=11.69m

Los tres valores encontrados para la CP4 son: 11.65m; 11.62m y 11.69m.

MALLA TRAMO Q L D U Re D/εεεε λλλλ J ∆∆∆∆f CPi (m)1 17

1-4 196.34 110 0.25 4.00 8.0E+05 5555.6 0.0149 0.0486475 5.354 11.65

4-5 123.21 170 0.25 2.51 5.0E+05 5555.6 0.0155 0.0199295 3.395 15.08

5-6 129.61 80 0.3 1.83 4.4E+05 6666.7 0.0155 0.0088629 0.716 15.78

6-1 142.41 160 0.32 1.77 4.5E+05 7111.1 0.0152 0.0075988 1.22MALLA TRAMO Q L D U Re D/εεεε λλλλ J ∆∆∆∆f CPi (m)

1 171-2 93.25 190 0.35 0.97 2.7E+05 7777.8 0.0158 0.0021636 0.412 16.59

2-3 78.05 130 0.27 1.36 2.9E+05 6000 0.016 0.0056183 0.733 15.86

3-4 67.65 220 0.2 2.15 3.4E+05 4444.4 0.0163 0.0192809 4.244 11.62

4-1 196.34 110 0.25 4.00 8.0E+05 5555.6 0.0149 0.0486475 5.35

II

I

6 2

1

5

4

3

432lts/s

Línea Piezométrica Eje Tubería




Página 45 de 68.

4.B MOVIMIENTO EN TUBERÍAS DE FLUIDOS EN GENERAL.

Hasta ahora hemos considerado el movimiento del agua en tuberías. Si queremos generalizarlo a

cualquier fluido incompresible y newtoniano podemos seguir aplicando las mismas ecuaciones que

se han visto.

4.B.1 ECUACIONES PARA FLUIDOS INCOMPRESIBLES.

Se aplican las Ecuaciones N° 2-4, 4-4 y 6-4, ya vis tas en el capítulo anterior, y operando

matemáticamente, se obtiene la expresión siguiente:

)2z1(zLDg2

2Uλγ

2p1p)2z1γ(zHγ2p1p

212121

22

11

zH

LDg2

2UλLJHg2

2UλDJ

−+×××

×=−

⇒−−×=−

−=−=−−⇒+−+=

×××

×=×=⇒×

×=×

γγγγγ

ppppzzH

pz

p

)2z1(z2g

2UD

Lλγp

γ2p1p

−+××=∆=−

Ecuación N° 43-4

Siendo:

z1 es la cota de posición de la sección inicial de la tubería medida en (m).

z2 es la cota de posición de la sección final de la tubería medida en (m).

p1 la presión de trabajo en la sección inicial de la tubería medida en (N/m2).

p2 la presión de trabajo en la sección final de la tubería medida en (N/m2).

γ es el peso específico del fluido en (N/m3).

λ es el factor de resistencia de la tubería por efecto del frotamiento, es adimensional.

L es la longitud de la tubería en (m).

D es el diámetro de la tubería en (m).

U es la velocidad media de la tubería en (m/seg).

g es la aceleración de la gravedad y vale 9,81m/s2.

La Ecuación N° 43-4 nos permite calcular la pérdida de presión en una tubería por la que circula un

fluido incompresible y newtoniano.

4.B.2 ECUACIONES PARA FLUIDOS COMPRESIBLES (GASES).

En este caso ya no se puede considerar que el fluido mantiene su volumen con las variaciones de

presión de trabajo, y por lo tanto es necesario incluir el concepto de densidad del fluido a través de la

ecuación universal de los gases, cuya expresión es la siguiente:

VolMTRp ××= Ecuación N° 44-4




Página 46 de 68.

Siendo:

p la presión a la que está sometido el fluido bajo estudio en (N/m2).

R es la constante universal de los gases.

T es la temperatura absoluta de los gases en (°K).

M es la masa del gas en (kg).

Vol es el volumen que ocupa el gas en (m3).

La Ecuación N° 44-4 nos está dando la relación entr e la presión de trabajo y el volumen del gas

compresible, mientras la temperatura del gas se mantiene constante, eso es lo que se llama un

PROCESO ISOTÉRMICO IDEAL .

4.B.2.1 Fluidos compresibles isotérmicos ideales.

Tal como se ha anticipado se basan en la Ecuación N° 44-4, en la cual se puede obtener el valor de

la densidad del fluido considerando en cociente entre la masa y el volumen del mismo. Si

remplazamos en la mencionada ecuación queda:

δ

δ

××=⇒××= TRpVolMp TR Ecuación N° 45-4

La densidad, entonces, se puede despejar de la Ecuación N° 45-4, quedando una función de la

presión y la temperatura. Y si además consideramos que el gas es isotérmico ideal, la temperatura

permanece constante, y la densidad es sólo función de la presión de trabajo, varía linealmente con la

presión:

ctecte.TTR

p =⇒=⇒×

=δ

δ p

cte=δp Ecuación N° 46-4

Además si aplicamos la ecuación de la continuidad al escurrimiento de los gases, debemos tener en

cuenta que el volumen varía con la presión de trabajo, de modo que el caudal volumétrico no será

constante, sino que el caudal másico lo será. Para mantener la constancia del caudal másico

debemos incluir el concepto de densidad en la ecuación de la continuidad, lo que nos lleva a

expresarla de la siguiente manera:

2U21U1 ×=× δδ Ecuación N° 47-4

Si operamos matemáticamente en el Ecuación N° 47-4, podemos obtener una expresión que

relaciona la densidad y la velocidad en dos secciones de una tubería. Y si incluimos la Ecuación N°

46-4, podemos obtener una relación entre las velocidades, las densidades y las presiones en dos

secciones de una tubería




Página 47 de 68.

1p2p

2U1U

1

2

2U1U

1

2 ==⇒= δδ

δδ

Ecuación N° 48-4

Si diferenciamos la ecuación genérica del Teorema de Bernoulli, considerando que el plano de

comparación coincide con el eje hidráulico de la tubería (z=0) y hacemos coincidir el eje “x” con el del

movimiento del agua en la misma, obtenemos:

022

tan2

2

=×++

==×+++

dxJdUgUdp

teconsBLJg

Upz

γ

γ

Aplicando la Ecuación de Daris-Weisbach y despejando el dp, obtenemos:

gdxg

UD

dUgU

dp

dxg

UD

dUgUdp

gU

DJ

×=⇒×××+××=−

=××++

×=×

δγγλγ

λγ

λ

2

02

2

2

2

2

dUUdx2

2UDλdp ××+×××=− δδ

Si se integra la ecuación anterior entre dos secciones de la tubería y considerando la Ecuación 48-4,

se obtiene:

21U1p1D

Lλ22p2

1p ×××=−⇒ δ Ecuación N° 49-4

La Ecuación N° 49-4 permite calcular la pérdida de presión en una tubería por la que circula un gas

compresible isotérmico. Conocida la presión inicial, se puede calcular la presión final, en función del

factor de resistencia λ que se puede obtener del Ábaco de Moody, de la presión inicial, y del estado

inicial del gas, a través de la densidad del mismo.

4.C MOVIMIENTO IMPERMANENTE EN TUBERÍAS

4.C.1 PRIMERA ECUACIÓN DE SAINT-VENANT

Recordando la definición de movimiento impermanente, como aquél donde las circunstancias del

escurrimiento varían en el espacio y en el tiempo. Recordando las ecuaciones de la hidrodinámica en

coordenadas cartesianas vistas en la Unidad 2-B:




Página 48 de 68.

Z

Y

X

aZz

p

aYy

p

aXx

p

.

.

.

δ

δ

δ

=+∂∂

=+∂∂

=+∂∂

Ecuaciones Nº 3-2

Para una mayor simplificación se supone una corriente unidireccional predominante en el eje x, por lo

que resultan despreciables las componentes de velocidad en los ejes y,z , luego v=w=0, o bien,

ay=az=0.

Recordando que:

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=+

∂∂

t

ww

z

wv

y

wu

x

wZ

z

p

t

vw

z

vv

y

vu

x

vY

y

p

t

uw

z

uv

y

uu

x

uX

x

p

δ

δ

δ

Ecuaciones Nº 4-2

Bajo el punto de vista unidireccional, queda sólo una ecuación, considerando que la dirección del

movimiento es la del eje x:

∂∂+

∂∂=+

∂∂

t

uu

x

uX

x

p δ

Ahora, el problema se limita a reemplazar el valor de la fuerza másica por unidad de volumen X, que

tendrá dos sumandos, la componente del peso propio del líquido en la dirección del movimiento (con

signo positivo porque la tubería es descendente) y la otra componente es la resistencia por

frotamiento, o sea el producto de la tensión de corte hidráulico por la sección en donde actúa.




Página 49 de 68.

Resta nada más, entonces, que remplazar los valores de las componentes y por aplicación, cambiar

el signo de x

p

∂∂

, ya que la componente de la presión tiene sentido hacia las caras o secciones y no

desde las mismas.

La fuerza másica debida al peso propio Xp es:

)(... isenFp lωγ=

Pero: l

l

.)(...

ωωγ isen

VolumenFpXp ==

)(..)(. isengisenXp δγ ==

La fuerza másica por unidad de volumen debida al frotamiento Xf, es función de la tensión de corte

hidráulico que vimos en la Unidad 3-A, es:

JRh ..0 γτ = Ecuación Nº 8-3

La componente de frotamiento, que tiene la misma dirección que el peso propio, pero de sentido

contrario, vale:

l..0 χτ=fF

En tanto que la fuerza másica por unidad de volumen es:

JR

JR

RX

RVolumenF

X

h

h

hf

h

ff

...

...

0

00

γγτ

τω

χτ

===

===l

l

(con signo negativo porque se opone al movimiento)

Es necesario aclarar que la pérdida de carga unitaria J corresponde al valor del movimiento

turbulento, ya que el movimiento laminar es permanente. Entonces, reemplazando en la ecuación de

origen cada término con su signo, nos queda:

∂∂+

∂∂=−+

∂∂−

t

uu

x

uJiseng

x

p δγδ .)(..

Dividiendo por γ:

∂∂+

∂∂=−+

∂∂−

t

uu

x

u

gJisen

x

p 1)(

1γ

Ecuación Nº 50-4

La Ecuación Nº 50-4 es la denominada PRIMERA ECUACIÓN DE SAINT-VENANT aplicada a

movimiento impermanente en tuberías.

Como la única variable es x, podemos expresar la PRIMERA ECUACIÓN DE SAINT-VENANT en

función del recorrido del agua, y se pasa de derivadas parciales a derivadas totales:

+=−+−dt

duu

dx

du

gJisen

dx

dp 1)(

1γ

Ecuación Nº 51-4




Página 50 de 68.

Si pasamos todos los términos al primer miembro, quedan todos los sumandos negativos excepto el

de “sen i”, de modo que si cambiamos el signo de la ecuación queda:

01

21 2

=+

++−

dt

du

gg

u

dx

dJseni

dx

dp

γ

Pero dz/dx=sen (i) (el signo negativo indica que z disminuye, o sea que la tubería es descendente):

011 =

+++−dt

duu

dx

du

gJ

dx

dz

dx

dp

γ Ecuación Nº 52-4

La Ecuación Nº 52-4 es la PRIMERA ECUACIÓN DE SAINT-VENANT aplicada a una tubería con

movimiento impermanente unidireccional y de trazado geométrico descendente. El sumando dz/dx

puede ser positivo o negativo, cuando la tubería es descendente dz/dx es negativo, si la tubería es

ascendente el dz/dx es positivo.

Cada término significa lo siguiente:

J: es la pérdida de carga o energía cinética por frotamiento.

sen (i)=dz/dx: es la variación de la energía potencial.

dx

dp

γ1

: es la variación de la energía de presión.

g

u

dx

d

2

2

: es la variación de la energía cinética en el tiempo y en el espacio.

Si en la Ecuación Nº 52-4 consideramos que la velocidad no varía con respecto al tiempo, queda:

02

1 2

=

++−

g

u

dx

dJ

dx

dz

dx

dp

γ Ecuación Nº 53-4

Se obtiene la Ecuación Nº 53-4 que es válida para los MOVIMIENTOS PERMANENTES VARIADOS.

Si a su vez las circunstancias hidráulicas no varían tampoco respecto del espacio, la Ecuación Nº 53-

4 todavía queda aún más simplificada:

iisendxdzJJiJi ===≡=≡=+− )(/0 Ecuación Nº 54-4

Se obtiene la Ecuación Nº 54-4 que es la ECUACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS PERMANENTES

UNIFORMES.

4.C.2 SEGUNDA ECUACIÓN DE SAINT-VENANT.

De acuerdo a los conceptos de cinemática de la Unidad 2, para un fluido incompresible, la segunda

ecuación de Saint-Venant, se obtiene de la ecuación de continuidad para movimientos

impermanentes, cuya expresión es la siguiente:

0=∂∂+

∂∂

tx

Q ω Ecuación Nº 55-4




Página 51 de 68.

Pero para el caso de los fluidos compresibles, y la aplicación al fenómeno del Golpe de Ariete, se

debe introducir el concepto de compresibilidad del agua, ya que para valores muy altos de la presión

el agua cambia de volumen, y ese cambio de volumen implica un cambio en la densidad del agua.

Por ello se debe introducir la densidad en la ecuación de la continuidad para mantener la suma

constante, y la Ecuación Nº 55-4 se transforma en la Ecuación Nº 56-4:

( ) ( )0

.. =∂

∂+∂

∂tx

Q ωδδ Ecuación Nº 56-4

Si se multiplica esta ecuación por dx:

( ) ( )0

.. =∂

∂+∂

∂dx

tdx

x

Q ωδδ

Y reemplazando el caudal por el producto de la velocidad y la sección transversal: ω.uQ = :

( ) ( )0

... =∂

∂+∂

∂dx

tdx

x

u ωδωδ

Resolviendo matemáticamente las derivadas parciales:

0... =∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

dxt

dxt

dxx

udxx

udx

xu

δωωδδωωδωδ

Si dividimos por dx..ωδ :

011 =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

ttx

u

x

u

x

u δδ

ωω

δδ

ωω

También:

011 =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

x

u

tx

u

tx

u δδ

δδ

ωω

ωω

Ecuación Nº 57-4

Pero considerando que la sección transversal es una función del espacio y del tiempo su diferencia

se obtiene así:

dxs

dtt

d∂∂+

∂∂= ωωω

Si dividimos por dt, y remplazamos dx/dt por u:

uxtdt

dx

xtdt

d

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂= ωωωωω

Luego:

x

u

tdt

d

∂∂+

∂∂= ω

ωω

ωω

ω11

De manera que la Ecuación Nº 57-4 puede escribirse así:

011 =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

x

u

tx

u

dt

d δδ

δδ

ωω

Ecuación Nº 58-4




Página 52 de 68.

Pero: dtt

dxx

d∂∂+

∂∂= δδδ

En forma análoga se puede obtener:

tx

u

dt

d

∂∂+

∂∂= δ

δδ

δδ

δ11

Por lo que, la Ecuación 58-4 se transforma en:

0

11 =∂∂++

CBA

x

u

dt

d

dt

d

321321

δδ

ωω

Ecuación Nº 59-4

La Ecuación Nº 59-4 representa la ecuación de la continuidad como la suma de tres términos.

dt

dA

ωω1

:

El término A representa la variación unitaria de la sección transversal de una tubería sometida a

presión (es decir, el cociente de la deformación de la sección transversal dω respecto de su magnitud

inicial ω), con respecto al tiempo, debido a la elasticidad del material de la tubería. Este término se

puede calcular a través de las siguientes consideraciones. Tomando una tubería de diámetro D

sometida a una presión p:

El empuje resultante será: p.D=E, donde E=2.T; T=p.D/2.

La tensión σ será: σ=T/e=p.D/2.e.

Diferenciando la expresión de σ, queda:

e

Ddpd

.2.=σ




Página 53 de 68.

Recordando la Ley de Hooke, en la cual la tensión normal se calcula en función de la deformación y

del módulo de elasticidad del material “E”: σ=E.ε, siendo ε la deformación de la tubería igual a:

ε=dD/D. O sea, que la ecuación del diferencia de tensión queda:

eDdp

DdD

Ed××=×=

2σ

Despejando dD: Ee

DdpdD

..2

. 2

=

Si la sección transversal de la tubería es: 4

. 2Dπω = , el diferencial es: 2

.. DdDd

πω =

Luego: Ee

Ddp

Ee

DdpD

Ee

DdpDd

.

.

.

.

4

.

..2

.

2

. 22

ωππω === Ee

Ddpd

.

.=ωω

Dividiendo por dt: dt

dp

Ee

D

dt

d

.1 =ωω

Ecuación N° 60-4

La Ecuación N° 60-4 nos da la transformación del pr imer sumando A.

Para el segundo sumando B: dtd

Bδ

δ1

: de la Ecuación N° 59-4.

El término B representa la compresibilidad del agua con respecto al tiempo. Toda materia, tanto

líquida, gaseosa o sólida se caracteriza por un módulo volumétrico de elasticidad, que es la relación

entre un esfuerzo de compresión unitario diferencial y la reducción relativa en el volumen que dicha

compresión produce. Por lo tanto, una disminución en el volumen de cualquier cuerpo debe estar

acompañada de un aumento proporcional de su densidad, el módulo de elasticidad volumétrico para

el agua puede expresarse así:

δδ /ddp

Ea =

Despejando la variación de la densidad δ queda: aE

dpd =δδ

Dividiendo por dt:

dtdp

Edtd

a

11 =δδ

Ecuación N° 61-4

Para el tercer sumando: x

uC

∂∂

: de la Ecuación N° 59-4. Este término representa la variación de la

velocidad en el espacio, y se aplica sin transformación alguna.

Reemplazando las Ecuaciones 60-4 y 61-4 en la 59-4, se obtiene la Segunda Ecuación de Saint-

Venant aplicable a líquidos compresibles.

01

.=

∂∂++x

u

dt

dp

Edt

dp

Ee

D

a

Ecuación N° 62-4




Página 54 de 68.

La Ecuación N° 62-4 es la SEGUNDA ECUACIÓN DE SAINT -VENANT aplicable a líquidos

compresibles en movimiento impermanente. Si se saca factor común nos queda:

01

.=

∂∂+

+

x

u

EEe

D

dt

dp

a

Ecuación N° 63-4

Si se introduce un valor c, “celeridad de la onda de presión” que resulta igual a:

2

1.

1. cEEeD

a

=

+ δ Ecuación N° 64-4

Donde:

δ.1.

1

+

=

aEEeD

c

c tiene unidades de velocidad [L/T].

Reemplazando la Ecuación N° 64-4 en la 63-4 obtenem os la siguiente expresión:

0112 =

∂∂+x

u

cdt

dp

δ

Si se reemplaza la variación de la presión en función de la altura piezométrica del agua, resulta:

dp=γ.dh

x

u

dt

dh

c

g

dt

dh

c

gx

u

dt

dh

c

∂∂−==

∂∂−=

22

2

.

1

δδ

γδ

Luego:

dt

dh

c

g

x

u2−=

∂∂

Ecuación N° 65-4

La Ecuación N° 65-4 es la SEGUNDA ECUACIÓN DE SAINT -VENANT adaptada para su uso en el

estudio del golpe de ariete, la que también puede expresarse en derivadas totales en lugar de

parciales. dt

dh

c

g

dx

du2−= Ecuación N° 66-4

4.C.3 GOLPE DE ARIETE.

Este fenómeno se produce en las tuberías al cerrar o abrir una válvula que regula el paso del agua, o

bien, al disminuir o aumentar bruscamente el caudal. Es importante esta evaluación del fenómeno en

tuberías forzadas de centrales hidráulicas, donde se regula el caudal de ingreso a turbinas acopladas

o alternadores.

En el estudio de este fenómeno hay que abandonar la hipótesis del fluido incompresible y a su vez

tener en cuenta la elasticidad de la tubería, por lo tanto el golpe de ariete es un fenómeno transitorio




Página 55 de 68.

o impermanente. Si observamos la figura, donde se representa una tubería alimentada por un

embalse, cuya longitud es L, espesor e y diámetro D, cuyo caudal se regula por una válvula V,

podemos suponer:

1. Que la válvula V se cierra. Luego como el caudal antes del cierre venía con una velocidad u,

la energía cinética u2/2g, al disminuir la velocidad, se va transformando en trabajo de

compresión del fluido que llena la tubería y en trabajo de dilatación de la tubería. Como

consecuencia de esto, se produce una sobrepresión en la cañería que llamaremos hc, o golpe

de ariete positivo, y la onda de sobrepresión viaja con una velocidad igual a c, llamada

celeridad de la onda, desde la válvula hacia el depósito.

2. Al abrir la válvula rápidamente, se puede generar una depresión o golpe de ariete negativo.

Es necesario ver cuáles son los factores que intervienen a los efectos de evaluar el fenómeno, lo que

permitirá el diseño adecuado del espesor de la tubería.

Este movimiento que se produce producto del accionamiento de válvulas es un movimiento

impermanente y por lo tanto, se aplica la Ecuación N° 52-4:

01

21 2

=+

++−

dt

du

gg

u

dx

dJ

dx

dz

dx

dp

γ Ecuación N° 52-4

A su vez en esta ecuación se realizan las siguientes hipótesis:




Página 56 de 68.

La influencia de la viscosidad es despreciable frente a los valores mucho mayores de

las presiones involucradas, por lo que la pérdida de carga por frotamiento es

despreciable y entonces J≅0.

Si la velocidad de circulación es u, la energía cinética será u2/2g, la que resulta mucho

menor en comparación con el valor de H, al que se considera constante, por suponer

un embalse de capacidad infinita.

De esta manera la Ecuación N° 52-4 queda:

011 =+−

dt

du

gdx

dz

dx

dp

γ

Si la multiplicamos por dx:

011 =+− dx

dt

du

gdzdp

γ

E integrando entre el punto A (embalse) y el punto V (válvula) de la figura:

Ldt

du

gH

P

Ldt

du

gZZ

PP

dxdt

du

gdzdp

V

H

AVAV

LZ

Z

P

P

V

A

V

A

1

1

011

0

−=−

−=+−−

=+− ∫∫∫

γ

γγ

γ

4434421

Pero la aceleración será positiva si la válvula se abre, porque hay un aumento de la velocidad del

agua en la tubería, y du/dt>0, y negativa cuando se cierra, du/dt<0. Luego el segundo miembro de la

ecuación puede tener signo positivo o signo negativo:

Ldt

du

ghcH

PV 1±==−γ

Ecuación N° 67-4

Según la Ecuación N° 67-4, la sobrepresión “hc” ser á tanto mayor cuanto más alta sea la variación

de velocidad en el tiempo, lo que se conseguirá cuanto más rápido se ejecute el cierre o la apertura

de la válvula.

4.C.4 TEORÍA DE ALLIEVI: SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DI FERENCIALES

El sistema de ecuaciones diferenciales a resolver son las Ecuaciones Nº 52-4 y 66-4, en la primera

consideramos que la pérdida de carga por frotamiento es despreciable frente a las variaciones

debido al golpe de ariete, y además la variación de la velocidad en el espacio es despreciable frente

a la variación temporal de la misma, con lo cual se pueden simplificar las ecuaciones mencionadas:




Página 57 de 68.

dt

du

gdx

du

g

uJ

dt

dh

c

g

dx

du

dt

duu

dx

du

gJ

dx

dz

dx

dp1

00

11

2

⟨⟨⟨∧≅−=

=

+++−γ

Ecuacióndt

dh

c

g

dx

du

Ecuacióndx

dhggi

dt

du

dx

dhg

dx

dzg

dx

dpg

dx

dzg

dt

dudespejamos

dt

du

gdx

dz

dx

dp

i

º2

º1

011

2 ⇒−=

⇒−×=

⇒−=−=⇒⇒=+−γγ

γγ

Remplazamos la presión p=γxh. Si derivamos la primera respecto del espacio x y la segunda

respecto del tiempo t, considerando que la pendiente i es constante, nos queda:

2

22

0dx

hdg

dtdx

ud −=

2

2

2

2

dt

hd

c

g

dxdt

ud −=

Igualamos las expresiones y despejamos la derivada segunda de la altura piezométrica de la

sobrepresión h respecto del tiempo:

2

2

22

2

dt

hd

c

g

dx

hdg −=−

2

2

2

22

dt

hd

dx

hdc = Primera Ecuación de Allievi

Si ahora derivamos la primera ecuación respecto del tiempo y la segunda respecto del espacio:

dxdt

hdg

dt

ud 2

2

2

0 −= dtdx

hd

c

g

dx

ud 2

22

2

−=

Si despejamos la derivada segunda de la altura piezométrica h y las igualamos en ambas

expresiones:

2

22

2

22 1

dx

ud

g

c

dt

ud

gdtdx

hd −=−=

2

22

2

2

dx

udc

dt

ud = Segunda ecuación de Allieve

Las ecuaciones dos ecuaciones de Allieve fueron integradas por D’Alembert y la solución responde a

las siguientes ecuaciones periódicas:




Página 58 de 68.

−+−−=

−+−=

)()(

)()(

21

21

c

xtF

c

xtF

c

guu

c

xtF

c

xtFh

x

De las soluciones obtenidas se desprende que la sobrepresión h, también llamada hC, en una

sección ubicada a una distancia x de la válvula se obtiene como la suma de dos funciones periódicas

desfasadas un argumento 2x/c entre sí.

Efectivamente, cuando no hay sobrepresión, la presión total es igual a H, luego hC=0. Por lo que:

)()(0 21 c

xtF

c

xtF −+−= )()( 21 c

xtF

c

xtF −−=−

Entonces, en tiempos espaciados 2L/c, al efecto de la primera función se le superpone el efecto de la

segunda, siendo funciones constantes, pero de sentido contrario. La F1 nace desde la válvula hacia

el embalse, como una sobrepresión y la F2 comienza actuar un tiempo 2L/c después y representa

una depresión.

Llamando 2L/c al tiempo que tarda la onda en ir desde V hasta A y volver a V nuevamente, cuando el

tiempo sea t<2L/c, la onda de presión habrá pasado por una sección, solamente una vez, es decir,

que aún no ha vuelto a V. Luego, sólo hay F1, pero no F2.

[ ] 0)(

)(

1

1

=

−=

=xpara

tFc

guu

tFhc

x

En tanto que para una sección x, en un tiempo t<x/c, la onda no habrá llegado a la sección, por lo

tanto, no se manifiesta la sobrepresión en la misma:

xuu

hc

== 0

(el movimiento sigue permanente)

Para una sección genérica y para un tiempo x/c<t<2L/c

−±=

−=

)(

)(

1

1

c

xtF

c

guu

c

xtFhc

x

4.C.5 CELERIDAD DE LA ONDA

Cuando demostramos la Segunda Ecuación de Saint-Venant para el golpe de ariete, se introdujo una

magnitud c, que tiene dimensiones de velocidad, el valor de c es conocido como celeridad de la

onda. La expresión de c puede transformarse así:

+=⇒

+=⇒

+=

Ee

DEE

c

Ee

DEEeE

c

EeE

DEEec

a

a

a

a

a

a

..

1.

..

....

1 δδ

δ




Página 59 de 68.

Donde:

Ea: es el módulo de elasticidad volumétrico del agua o fluido.

δ: es la densidad del agua o fluido.

E: es el módulo de elasticidad del material de la tubería.

e: es el espesor de la tubería.

D: es el diámetro interno de la tubería.

Valores de c[m/s] para E a= 2,2 109 N/m2 y δδδδ=1000kg/m 3.

D/eAcero

(E=2,06.1011N/m2)Hiero Fundido

(E=9,8.1011N/m2)PVC

(E=2,75.109N/m2)Hormigón s/armar (E=1,96.1010N/m2)

Fibrocemento (E=1,81.1010N/m2)

PE alta densidad (E=8,83.108N/m2)

500 589 1018 74 196 189 42200 838 1232 117 306 295 66100 1031 1340 165 424 409 9450 1198 1406 232 577 558 13210 1410 1467 494 1018 997 291

4.C.6 DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO

Para entender el fenómeno del golpe de ariete se supone un cierre instantáneo de la válvula, lo cual

es impracticable en la realidad, pero facilita la explicación. Entonces, se distinguen las etapas

características en función del tiempo, considerando el punto medio de la tubería, o sea, cuando

x=L/2. Suponemos una cañería de longitud L, siendo la velocidad de circulación igual a u y c es la

celeridad de la onda de presión que se forma cuando se cierra la válvula V, el tiempo que la onda

tarda en recorrer la distancia L es t0=L/c.

Antes del cierre de la válvula, el caudal escurre desde el embalse hacia la válvula en régimen

permanente. Para T=0, si la válvula se cierra instantáneamente, la velocidad del agua en la cercanía

de la válvula se hace nula, pero no en forma instantánea en toda la tubería, y se origina una onda de

presión positiva, o sea, sobrepresión en la tubería.




Página 60 de 68.

Para T=t0/2, la onda de presión se propaga desde la válvula al embalse con una velocidad c

(celeridad) y alcanza la mitad de la longitud de la tubería originando una dilatación de la misma,

debido a la elasticidad del material de la tubería. El caudal sigue circulando desde el embalse hasta

la mitad de la tubería con una velocidad u, en tanto que no existe circulación en la mitad aguas abajo

hacia la válvula.

Para T=t0=L/c, la onda de sobrepresión ha alcanzado el embalse, no existe circulación y toda la

tubería se encuentra dilatada.

Para T=3t0/2=3L/2c, la onda se refleja en el embalse y vuelve hacia la válvula alcanzando la mitad de

la tubería, la que se encuentra en su diámetro normal, y con circulación hacia el embalse, desde la

mayor a la menor presión.




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Para T=2t0=2L/c, la onda ha alcanzado la válvula, toda la tubería se encuentra con diámetro normal y

la circulación de agua se hace desde la válvula al embalse con velocidad u.

Una vez que la onda elástica alcanzo la válvula V, por la inercia de la misma, se reflejará en V y se

propagará desde V hacia el embalse, pero con depresión (debido al aumento de la velocidad de

circulación del agua).

Para 5t0/2=5L/2c, la onda de depresión alcanza la mitad derecha de la tubería, la que contiene agua

en reposo y tiene un diámetro contraído Dc<D debido a la depresión.




Página 62 de 68.

Para T=3t0=3L/c, la onda de depresión alcanzó el embalse, todo el fluido está en reposo y la tubería

entera se encuentra contraída.

Para 7t0/2=7L/2c, el fluido circula hacia la válvula alcanzando la mitad de la tubería, la que a su vez

ha recuperado el tamaño normal, la mitad derecha se encuentra contraída y en reposo.




Página 63 de 68.

Para T=4t0=4L/c: todo el fluido se encuentra circulando desde el embalse con velocidad u hacia la

válvula, habiendo recuperado la tubería su diámetro normal.

A partir de aquí comienza nuevamente a repetirse el fenómeno teóricamente en forma indefinida,

pero la viscosidad y las resistencias pasivas de las oscilaciones van amortiguando las amplitud de las

ondas de presión hasta disiparse por completo. Concluimos que el período del fenómeno es 4t0=4L/c.

Todo el análisis anterior se ha realizado en base a un cierre instantáneo de la válvula, cosa que en

realidad no ocurre, pudiendo distinguirse tres casos a los efectos de evaluar el fenómeno:

1. Cierre Instantáneo (caso teórico), tc=0

2. Cierre Rápido, 0<tc<2t0

3. Cierre Lento, tc>2t0

4.C.7 SOBREPRESIÓN MÁXIMA

Para el cálculo de la sobrepresión máxima suponemos un tiempo t<2t0, durnate el cual se presenta

una variación de la sobrepresión hc y de la velocidad u dada por la siguiente ecuación:

XuucLtFc

gu

hhcLtFh

−=−=∆

−=−=∆

)/(

)/(

1

01

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y luego multiplicando por γ para encontrar la

presión p:

g

uch

g

c

u

h ∆=∆⇒=∆∆ .

g

ucp

g

uch

∆=∆

∆=∆

..

...

γ

γγ




Página 64 de 68.

O bien:

ωγ

.

..g

Qcp

∆=∆

Se desprende que el valor máximo de ∆p ó ∆h se obtiene cuanto mayor sea el ∆u, situación que se

consigue cuando ux=0.

Luego: g

ucp

g

uch MAXMAX

... γ=∆⇒=∆

Estas fórmulas se conocen con el nombre de Fórmulas de Joukowski.

La sobrepresión máxima calculada es válida tanto para el cierre instantáneo, como para el cierre

rápido, pero la variación de la misma en función del tiempo es distinta, tal como puede observarse en

las figuras inferiores, para el cierre instantáneo el cambio de sobrepresión a depresión se realiza en

una misma abcisa, mientras que para el cierre rápido va disminuyendo progresivamente.

t

hc

c.u g

-c.u g

+

-2L c

4L c

tc=0

t

hc

c.u g

-c.u g

+

-2L c

4L c

tc<

tc

2L c

+tc

4L c

+tc

2L c




Página 65 de 68.

4.C.7.1 Sobrepresión Máxima en Cierre Lento: tc>2L/ c

El cálculo de la sobrepresión para cierre lento, se lo realiza en base a la teoría de Michaud. Que lo

analiza como si fuera un cierre rápido, pero con una longitud a recorrer por la onda mayor (c.tc), es

decir, considerando que la onda recorre dicha longitud, c.tc, y considerando cierre rápido. (tcR=tc<

2tc). O sea que, si graficamos las líneas piezométricas correspondientes a las distintas etapas de

recorrido de la onda en función del tiempo se obtiene la figura inferior, en la cual la distancia 4-5

representa la sobrepresión debida al cierre rápido de longitud (c.tc) y tiempo de cierre tcR<2c.tc/c.

La línea piezométrica de la sobrepresión 4-5, es la que corresponde al cierre rápido de longitud c.tc.

El punto 1 surge de considerar el recorrido de la onda V-A y A-V, su posición en la línea piezométrica

que corresponde a u=0 (1-4), da origen al punto 2, a partir del cual se traza una paralela a la 1-5,

para obtener el punto 6 sobre la ordenada de V. De igual forma se traza la paralela a 1-5 a partir del

punto B, obteniendo el punto 7 sobre la misma ordenada. La distancia 6-7 es la sobrepresión en el

tramo A-V.

Para hallar la sobrepresión que corresponde al cierre lento, se suman los valores de 6-7 y 7-4, y para

hallar su valor se plantea semejanza entre los triángulos 123 y 145. De modo que:

41

21

54

32

−−=

−−

LtcL

Ltc

h

h

C

C

R 2.22.−+

−=∆

Despejando ∆h:

RC

C htc

Ltch

.2. −=∆

Pero: guchR /.= ,reemplazando: g

uc

tc

Ltch

C

C ..

2. −=∆




Página 66 de 68.

Para calcular la sobrepresión debida al cierre lento:

CCL

C

CC

C

CL

RL

t

L

g

u

tc

L

g

uch

tc

Ltctc

g

uc

tc

Ltc

g

uch

hhh

2

.

2.

.

2...

.

2.1

.

==

+−=

−−=

∆−=

4.C.8 CONSIDERACIONES FINALES

El efecto de sobrepresión depende del tiempo de cierre de la válvula.

1. Cierre Rápido; 0<tc<2t0

En este caso el valor de la sobrepresión es el mismo que en el caso hipotético del cierre

instantáneo tc=0, aunque la curva o diagrama de sobrepresiones en función del tiempo

resulte distinto.

2. Cierre Lento: tc>2t0

En cambio en el cierre lento la sobrepresión hc resulta menor que los casos anteriores, por

cuanto la depresión de la onda elástica alcanza a actuar antes de finalizar el tiempo de cierre.

En definitiva el valor de la sobrepresión resultará proporcional a la longitud y sección

transversal de la tubería, velocidad del fluido y densidad del mismo e inversamente

proporcional al tiempo de cierre.

4.C.9 EJERCICIO DE APLICACIÓN

Calcular el valor de la sobrepresión alcanzada en una tubería de acero E=20000000 N/cm2, con un

diámetro D=50cm, y un espesor e=1cm, por la que circula agua con una velocidad de u=3m/s, para

un cierre rápido de la válvula.

El valor de ucg

ucp ..

.. ργ ==∆

Se necesita calcular el valor de la celeridad c:

+=

Ee

DEE

ca

a

..

1

ρ

El módulo de elasticidad del agua Ea=2,2 105N/cm2.

Reemplazando: c=1167 m/s.

Aplicando la fórmula simplificada:

sm

e

Dc 1154

50.050

10000 =+

=




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La sobrepresión resulta:

26105,3..

mNuchp C ===∆ ρ

4.C.10 MÉTODOS PARA CONTROLAR EL GOLPE DE ARIETE

Hay distintos procedimientos para evitar que las acciones producidas por un golpe de ariete dañen la

instalación:

1. La solución más elemental es calcular cuidadosamente la sobrepresión y diseñar una tubería

suficientemente resistente. Si la sobrepresión es importante, este método conduce a una

solución extraordinariamente cara. De todas formas, en cualquier caso, la tubería deberá

resistir la sobrepresión y la depresión que se produzcan.

2. Si se aumenta el diámetro de la conducción, se reduce el valor de la velocidad y

proporcionalmente los valores de sobrepresión y depresión. También es un método muy caro,

pero en algunas conducciones de poca importancia se emplea con frecuencia, usando

velocidades de 0.3 m/s no hay riesgo para las tuberías.

3. Otra alternativa es la chimenea de equilibrio, que consiste en una tubería de diámetro

superior al de la tubería, colocada verticalmente y abierta en su extremo superior a la

atmósfera, de tal forma que su altura sea siempre superior a la presión de la tubería en el

punto donde se instala en régimen permanente. Cuando el diámetro de esta chimenea es

suficientemente amplio, la energía del golpe de ariete se disipa en oscilaciones controladas

de la masa líquida dentro de la chimenea y el valor de la sobrepresión se reduce mucho,

desapareciendo la depresión en la práctica.

4. La instalación de un volante de inercia, que consiste en incorporar a la parte rotatoria del

grupo de impulsión un volante cuya inercia retarde la pérdida de revoluciones del motor, y en

consecuencia, aumente el tiempo de parada de la bomba, con la consiguiente minoración de

las sobrepresiones. Este sistema crea una serie de problemas mecánicos, mayores cuanto

mayor sea el peso del volante.

5. La colocación de un calderín de aire comprimido, que consiste en un recipiente metálico

parcialmente lleno de aire que se encuentra comprimido a la presión manométrica. Existen

modelos en donde el aire se encuentra aislado del fluido mediante una vejiga, con lo que se

evita su disolución en el agua. El calderín amortigua las variaciones de presión debido a la

expansión prácticamente adiabática del aire al producirse una depresión en la tubería, y

posteriormente a la compresión, al producirse una sobrepresión en el ciclo de parada y

puesta en marcha de una bomba. Se ubica junto a la bomba y aguas abajo de la válvula de

retención de la bomba. Se instala en derivación y con una válvula de cierre para permitir su

aislamiento.




Página 68 de 68.

6. Actuando en la misma forma que el calderín, se pueden colocar una o varias válvulas

evacuadoras de presión puede reducir sustancialmente las sobrepresiones. Este método es

especialmente recomendable para conducciones muy largas.

Un modelo de válvula evacuadora de presión está constituido básicamente por un pequeño

depósito a presión que tiene una tapa sujeta mediante resortes calibrados. Al elevarse la

presión, la tapa se abre y se perturba el avance de la onda de presión. Las válvulas basadas

en este principio actúan cuando la tubería ya está soportando una sobrepresión. Si su acción

no es muy rápida, el efecto protector puede ser muy reducido en golpes de ariete muy

rápidos que se producen en tuberías con mucha pendiente geométrica. Más eficaces, pero

más complicadas en su mecanismo, son las que se basan para la apertura en la depresión

inicial. De esta forma cuando sobreviene el golpe de ariete positivo, la válvula puede estar

abierta o en fase de apertura y su incidencia es mucho mayor.

7. Un método bastante económico de controlar el golpe de ariete es colocar en la tubería de

elevación varias clapetas a intervalos estudiados de forma que la conducción queda

compuesta entonces por varias tuberías cortas unidas secuencialmente. El funcionamiento de

las clapetas si es bueno, permite reducir, en gran medida, las sobrepresiones, pero se

recomienda que el número de clapetas no sea superposición de ondas reflejadas. Las

clapetas a utilizar actúan mejor si son del tipo de cierre avanzado. Es decir, cierran antes de

que se produzca la inversión de flujo.

8. El uso de válvulas anti-retorno que cuentan con un dispositivo que controla el tiempo de cierre

y sería el que permite utilizar la fórmula de Michaud, si tuviese una ley lineal, cosa muy difícil

de lograr.

9. También son recomendables las válvulas de vejiga de goma cuya apertura o cierre se

produce por el desinflado o inflado de un manguito de elastómetro sobre un huso metálico en

el interior de un tubo. Como las alteraciones de flujo se producen lentamente en las

conducciones equipadas con estas válvulas, es posible estudiar una solución que las

incorpore.

unidad 4

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