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Unidad 3

Carga e interaccioneselectromagnéticas

83ELEMENTOS DE FíSICA

3.1. Carga eléctrica y su naturaleza

La cultura griega fue clave para el desarrollo formal de las ciencias (física,

medicina, astronomía, entre otras), pero es importante tener en cuenta que,

detrás de sus aportaciones hay un fuerte estudio proveniente de civilizaciones

más antiguas que han marcado el origen del conocimiento que hasta hoy

nos ha permitido avanzar firmemente en el sendero conductor de la vida en

sociedad.

Los helenos, en una época de profundo interés intelectual, descubrieron

que al frotar dos materiales, específicamente ámbar con un trozo de lana, ocurría

un fenómeno de atracción hacia cuerpos pequeños, lo que en la actualidad recibe

el nombre de atracción de cargas eléctricas. Se puede definir entonces a la carga

eléctrica como una propiedad de los cuerpos que se determina de acuerdo con

la capacidad de atracción o repulsión que poseen. La unidad de la carga en el

Sistema Internacional (SI) es el coulomb (C) y su representación es q o Q.

Para determinar la carga que poseen los cuerpos, siempre se toma como

base la carga del electrón, la cual es llamada carga fundamental y tiene un valor

de Q = 1.6 × 10–19C. El electrón tiene una carga negativa y el protón tiene una

carga de ese mismo valor, pero positiva. Un coulomb equivale a 6.27 × 1018

veces la carga del electrón.

Las interacciones eléctricas producen dos tipos de fuerza: la de repulsión y

la de atracción. Por ejemplo, si frotamos una varilla de plástico con un paño de

piel, y posteriormente la acercamos a un par de esferas de corcho suspendidas

por hilos de nylon, éstas serán repelidas tanto por la varilla como por ellas

mismas, produciendo así una fuerza de repulsión. No obstante, si en lugar de

frotar una varilla de plástico frotamos una de vidrio con un paño de seda, y

después la acercamos a las esferas de corcho suspendidas por los hilos de nylon,

observaremos que se da una atracción entre las esferas y la varilla.

De esta manera, estamos ante dos tipos de fuerzas generadas por

cargas eléctricas, una de repulsión y otra de atracción, lo cual nos ayuda a

concluir que las cargas eléctricas iguales se repelen y las cargas eléctricas

distintas se atraen.

Tanto en el momento en el que se frota la varilla de plástico como en el

que se frota la de vidrio, ocurre una transferencia de carga eléctrica causada

por un movimiento de electrones, los cuales se desplazan de un cuerpo a

otro y originan por ende materiales con carga positiva (cantidad de protones

mayor a la cantidad de electrones en su estructura atómica) y materiales con

carga negativa (cantidad de electrones mayor que de protones en su estructura

atómica). Esta electrización por frotamiento dio lugar a la electrostática.

Figura 3.1. Atracción

de cargas eléctricas.

Unidad 3. Carga e interacciones electromagnéticas84

3.2. Ley de Coulomb y carga puntual

Una carga puntual es una partícula muy pequeña que posee una carga

eléctrica; la interacción eléctrica entre partículas cargadas es descrita por

la fuerza de atracción o repulsión existente entre ellas. Esta interacción fue

investigada por Charles August Coulomb, quien observó que la fuerza de

atracción o repulsión entre dos cargas se debilitaba a medida que las partículas

se alejaban una de la otra, específicamente cuando tenían una separación del

doble de la distancia inicial, pues la fuerza disminuía a un cuarto de la fuerza

inicial de atracción o repulsión, según fuera el caso.

Así, la ley de Coulomb establece que:

a) La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas es inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia (r) que las separa, y tiene

una dirección a lo largo de la línea que las une.

b) La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas es directamente

proporcional al producto de las cargas Q1 y Q

2.

c) La fuerza es de atracción cuando las cargas tienen signos opuestos y

de repulsión cuando tienen signos iguales.

Matemáticamente, la ley de Coulomb puede ser expresada como:

F kQ Q

r= 1 2

2

[3.1]

Donde:

F es la magnitud de la fuerza de atracción o repulsión, en newtons (N).

Q1 y Q

2 son las cargas, en coulombs (C).

r es la separación o distancia entre las cargas, en metros (m).

k es una constante de proporcionalidad establecida por Coulomb, con

un valor de 8 98 109

. × Nm

C

2

2, aunque en ocasiones suele considerarse como

9 ×10Nm

C

92

2.

La constante de proporcionalidad también puede tomar la siguiente

forma:

k=1

4πε0

Donde ε0 es la permitividad del vacío con un valor de

e0 = 8.84 × 10–12

C

Nm

2

2


La ley de Coulomb implica un resultado vectorial, es decir, la fuerza

de atracción o repulsión que experimentan dos cargas tiene una magnitud

y una dirección, además es importante aclarar que esta ley sólo se aplica a

cargas puntuales.

Vectorialmente, la fuerza de atracción o repulsión ejercida sobre Q2

debida a Q1, está representada como:

F = kQ Q

r

��ɵ

211 2

2a

[3.2]

Donde â es el vector unitario (el cual indica la dirección de la

fuerza resultante).

En la figura 3.2 se muestra este fenómeno.

Como se aprecia en la figura 3.2 a), si Q1 y Q

2 tienen el mismo

signo, la fuerza es de repulsión; si Q1 y Q

2 son de signo opuesto, la fuerza

es de atracción, figura 3.2 b).

Por otro lado, cuando se tienen más de dos cargas, la fuerza

ejercida sobre cualquier par de cargas es igual a la suma vectorial de

las fuerzas ejercidas por todas las cargas presentes, es decir:

F F F F F��

1 12 13 14 1n= + + +........+

[3.3]

La ecuación anterior indica la fuerza que ejercen n cargas sobre Q1;

a esto se le conoce como principio de superposición.

Ejemplos

• Se tienen tres cargas, Q1 = Q

3 = 10 mC y Q

2 = –4 mC arregladas como se

muestra en la figura 3.3. Determinar la magnitud de la fuerza ejercida por las

cargas Q2 y Q

3 sobre Q

1.

Solución:

Primero, se debe convertir la distancia que separa

a las cargas a unidades del SI, y posteriormente se

utiliza la ecuación 3.1 tomando en cuenta que actúan

dos fuerzas sobre Q1:

F kQ Q

r12

1 2

2= y F k

Q Q

r13

1 3

2=

Figura 3.2. Fuerza de atracción

o repulsión entre dos cargas

puntuales.

Figura 3.3.

F13

F12

10 cm

5 cm

Q 3 Q

2Q

1


F129

6 6

2 28 98 10

10 10 4 10

5 10143 68= ×

× − ×

×

= −

− −

−.

( )( )

( ). N

F139

6 6

2 28 98 10

10 10 10 10

10 1089 8= ×

× ×

×

=

− −

−.

( )( )

( ). N

Una vez encontrada la fuerza que ejercen las cargas Q2 y Q

3 sobre Q

1 ,

se aplica el principio de superposición para encontrar la fuerza total ejercida

sobre Q1:

F1 = F

12 + F

13 = –143.68 N + 89.8 N = –53.88 N

F12

es una fuerza de atracción y F13

es una fuerza de repulsión.

• El electrón y el protón de un átomo de oxígeno están separados por una distancia de 4.2 × 10–12 m. Determinar la magnitud de la fuerza de atracción

entre ambas partículas.

Solución:

La carga del electrón y la del protón es la misma, es decir, 1.6 × 10–19 C.

Entonces, aplicando la ecuación 3.1:

F kQ Q

r= 1 2

2

Se tiene:

F = ×− × ×

×

= − ×

− −

−

−8 98 10

1 6 10 1 6 10

4 2 101 303 109

19 19

12 2

5.( . )( . )

( . ). N

El resultado negativo indica que la fuerza resultante es una fuerza de

atracción.

3.3. Campo eléctrico

Recordemos que la fuerza eléctrica es inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia que separa las cargas:

F α 1 / r2


Por esta razón podemos afirmar que la fuerza F resultará más intensa mientras menor sea el valor de r, y que la fuerza F será menos intensa a medida que r se haga más grande. Así, F se aproximará a 0 cuando r se aproxime a ∞, es decir:

F → 0 cuando r → ∞De la misma manera en que una masa m crea a su alrededor un

campo gravitacional, toda carga eléctrica q crea en el espacio que le rodea un campo eléctrico. Así observaremos que cualquier otra carga eléctrica que se coloque en algún punto del campo eléctrico experimentará una fuerza producida por su interacción con la primera carga. La acción de la fuerza, gravitacional o eléctrica, que actúa a través del espacio que rodea a una masa o a una carga eléctrica, introduce un concepto importante dentro de la física, el de campo, como el espacio alrededor de ella que ha sido modificado por ésta y al que se le asocia un vector en cada punto de él.

3.3.1. Concepto de intensidad de campo

eléctrico y unidades

El campo eléctrico →E es la modificación del espacio debido a la

presencia de una carga, el cual se manifiesta únicamente al introducir

en él otra carga.

Conocer el campo eléctrico nos permite determinar cuál es la fuerza que experimenta una carga que ocupa una posición determinada en el espacio.

La intensidad del campo eléctrico, denotada por →E , se define como la

fuerza eléctrica por unidad de carga. La expresión matemática para determinar el campo eléctrico es:

→E =

→F / q

0

Donde q0

es una carga eléctrica puntual, denominada de prueba, de la menor magnitud posible y con signo positivo, y para la intensidad de campo eléctrico es:

→E =

→F / q

0

[3.4]

q0 → 0

Si expresamos la fuerza eléctrica F entre dos cargas puntuales q0 y Q

separadas una distancia r, a partir de la expresión para la ley de Coulomb, la intensidad del campo eléctrico puede escribirse de la siguiente manera:


→E = (k q

0 · Q / r 2) / q

0

Simplificando:

La intensidad de campo eléctrico →E a una distancia r de una carga puntual

Q podrá expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

→E = k · Q / r2

[3.5]

Cuya unidad en el SI es:

[→E ] = [F] / [q

0] = N / C

La carga eléctrica puntual q0, a la cual llamaremos carga de prueba,

al ser colocada en algún punto del campo eléctrico se mueve, y la dirección

de su movimiento determina la dirección del campo eléctrico →E , a pesar

de que en la expresión matemática del campo eléctrico no aparece, lo cual nos indica que la intensidad del campo eléctrico es independiente de la carga de prueba.

3.3.2. Concepto de líneas de fuerza

Supongamos que se tiene una carga eléctrica puntual de signo positivo, carga que generará un campo eléctrico alrededor de ella. Como ya se mencionó, a cada punto de este espacio se le asociará un vector; la dirección del campo es radial y se ha acordado que su sentido será de la carga eléctrica positiva hacia afuera, como se muestra en la figura 3.4. Las rectas que van de la carga eléctrica hacia afuera las llamaremos líneas del campo eléctrico, las cuales muestran al campo eléctrico en su carácter vectorial. Las líneas del campo eléctrico, prácticamente, constituyen las líneas de fuerza, y en este caso su sentido va de la carga positiva hacia fuera, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3.4. Líneas del campo

eléctrico o líneas de fuerza

alrededor de una carga

positiva.E = F / q0

+


De manera semejante, podemos considerar el campo eléctrico alrededor de una carga puntual negativa que resulta similar al mostrado en la figura anterior, sólo que el sentido de las líneas de fuerza es contrario, de afuera hacia la carga negativa, como puede apreciarse en la figura 3.5.

Ejemplos

• ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en un punto A colocado 2 cm a la derecha de una carga Q = 10 mC?

Solución:

La intensidad del campo eléctrico E es:

E = k · Q / r2

Donde:

k = 9 × 109 N · m2 / C2

Q = 10 mC = 10 × 10–6 C = 10–5 Cr = 2 cm = 2 × 10–2 m

Si sustituimos estos valores en la expresión para calcular E:

E = k · Q / r2 = (9 × 109 N · m2 / C2 ) · (10–5 C) / (2 × 10–2 m)2

E = 9 × (109 × 10–5) / (4 × 10–4)C · (N · m2 / C2) / m2

E = (9 / 4) × 108 N / CE = 2.25 × 108 N / C

Y la dirección y sentido del campo eléctrico es horizontal y de izquierda a derecha:

• ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en un punto B, colocado 2 cm a la izquierda de una carga eléctrica Q

1 = 10 mC y a 4 cm a la derecha de una

carga Q2 = –10 mC?

Figura 3.5. Líneas del campo

eléctrico o líneas de fuerza

alrededor de una carga

negativa.

–

E = F / q0


Solución:

La expresión para calcular E1 :

E1 = k · Q

1 / r

1 2

E1 = (9 × 109 N · m2 / C2) · (10–5 C) / (2 × 10–2 m)2

E1 = 2.25 × 108 N / C

La dirección del campo eléctrico E1 es horizontal y el sentido es de

derecha a izquierda.

La expresión para calcular E2:

E2 = k · Q

2 / r

2 2

E2 = (9 × 109 N · m2 / C2) · (10–5 C) / (4 × 10–2 m)2

E2 = 0.56 × 108 N / C

Recuerda que sólo estamos calculando la magnitud del campo eléctrico.La dirección del campo eléctrico E

2 es horizontal y el sentido es de

derecha a izquierda.

La intensidad del campo eléctrico E debido a las cargas Q1 y Q

2 es la

suma vectorial de los campos eléctricos E1 y E

2, y por apuntar en la misma

dirección y sentido:

E = (2.25 × 108 N / C) + (0.56 × 108 N / C)E = (2.25 + 0.56) × 108 N / CE = 2.81 × 108 N / C

Con una dirección del campo eléctrico horizontal, el sentido es de derecha a izquierda y quedará representado en la siguiente figura:


• ¿A qué distancia de una carga eléctrica Q = 5 mC, la intensidad del campo eléctrico será de E = 5 × 103 N / C?

Solución:

Sabemos que:

E = k · Q / r 2

Donde:

k = 9 × 109 N · m2 / C2

Q = 5 mC = 5 × 10–6 CE = 5 × 103 N / C

Si despejamos el valor de r de esta expresión:

r 2 · E = k · Q

r 2 = k · Q / E

r 2 = k Q E × /

Sustituyendo los valores conocidos obtendremos:

r = ( )( )/( )9 10 N m / C 5 C 5 10 N/C9 2 2 3× ⋅ × ×

−10 6

r = 3 m

Ejercicios

1. La intensidad del campo eléctrico alrededor de una carga puntual Q a una distancia r es E. ¿Cómo varía la intensidad del campo eléctrico si la distancia r se reduce a la mitad?

a) Aumenta al doble. b) Disminuye a la mitad. c) Permanece igual. d) Aumenta cuatro veces.

2. La intensidad del campo eléctrico alrededor de una carga puntual Q a una distancia r es E. ¿Cómo varía la intensidad del campo eléctrico si la distancia r aumenta al triple?

a) Aumenta al triple. b) Disminuye a la tercera parte. c) Permanece igual. d) Disminuye a la novena parte.


3. La intensidad del campo eléctrico alrededor de una carga puntual Q a una distancia r es E. ¿Cómo debe variar la distancia r para que la intensidad del campo eléctrico se reduzca a la novena parte?

a) Aumenta al triple. b) Disminuye a la tercera parte. c) Permanece igual. d) Aumenta nueve veces.

4. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico alrededor de una carga q = 10 mC a una distancia de 20 cm?

a) 2.25 × 106 N / C b) 9 × 106 N / C c) 4.5 × 10–6 N / C d) 2.25 × 10–6 N / C

5. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en el punto A debido a las cargas Q1 = 1 mC y Q

2 = –2 mC

de acuerdo con la siguiente figura?

a) 45 × 105 N / C b) 22.5 × 105 N / C c) 27 × 105 N / C d) 270 × 105 N / C

6. ¿Cuál es la distancia a una carga eléctrica q = 10 mC para que la intensidad del campo eléctrico alrededor de ella sea de 25 × 102 N / C?

a) 30 m b) 6 m c) 5 m d) 150 m

7. La intensidad del campo eléctrico alrededor de una carga puntual Q a una distancia r es E. ¿Cómo varía la intensidad del campo eléctrico si la carga puntual Q se reduce a la mitad?

a) Aumenta al doble. b) Disminuye a la mitad. c) Permanece igual. d) Aumenta cuatro veces.


3.3.3. Campos eléctricos para diferentes

coniguraciones de carga

El campo eléctrico puede ser diferente dependiendo de cómo esté distribuida la carga eléctrica y su forma estará descrita por las líneas de fuerza del campo. Sin embargo, en cada caso las líneas del campo eléctrico siempre se inician en las cargas positivas y terminan en las negativas; en el caso de que no haya carga negativa cercana, las líneas del campo eléctrico se prolongarán al infinito.

Cargas puntuales: positiva y negativa

Como se aprecia en la figura 3.4, las líneas del campo eléctrico o líneas de fuerza alrededor de una carga positiva salen en forma radial con la carga eléctrica positiva en el centro y el sentido de las líneas de fuerza dirigido de la carga positiva hacia afuera.

De manera similar, las líneas del campo eléctrico producido por una carga negativa también son radiales, como puede apreciarse en la figura 3.5 y las líneas de fuerza del campo se orientan hacia la carga negativa.

Dos cargas puntuales del mismo tipo

Cuando se tiene la presencia de dos cargas eléctricas, el campo eléctrico de una interacciona con el campo eléctrico de la otra y se produce un campo eléctrico distinto al de los dos originales. En esta sección veremos cuál es la configuración del campo que producen dos cargas del mismo tipo. Comenzaremos con el caso en el que las dos cargas eléctricas sean positivas: en el espacio en el que las cargas no se encuentran más próximas, las líneas de fuerza serán prácticamente las mismas que tenía cada carga, es decir, serán líneas aproximadamente radiales cuyo sentido va de la carga positiva hacia afuera. La diferencia surge en la zona de más proximidad: debido a que cargas iguales se repelen, el campo eléctrico se modificará, ya que las líneas de fuerza de una carga se alejarán de las líneas del campo producido por la otra carga de la misma magnitud, como puede apreciarse en la figura 3.6, y el sentido de las líneas va de la carga positiva hacia afuera.

En el caso de dos cargas eléctricas negativas de la misma magnitud, las líneas de fuerza serán prácticamente las mismas que tenía cada carga: serán líneas aproximadamente radiales cuyo sentido va hacia las cargas negativas. La diferencia radica en la zona de más proximidad: debido a que cargas iguales se

Figura 3.6. Líneas de campo

eléctrico producidas por dos

cargas eléctricas positivas

e iguales.

+ +



cargas eléctricas negativas e

iguales.

- -

El campo eléctrico nos

permite entender qué pasa

cuando se mueven las

cargas.


repelen, el campo eléctrico se modificará, ya que las líneas de fuerza de una carga se alejarán de las líneas del campo producido por la otra carga, como puede apreciarse en la figura 3.7, y el sentido de las líneas va hacia la carga negativa.

Dos cargas puntuales de signo contrario

En el caso de dos cargas eléctricas de la misma magnitud pero de diferente tipo, en el espacio en el que las cargas no se encuentran más próximas, las líneas de fuerza serán prácticamente las mismas que tenía cada carga, es decir, serán líneas aproximadamente radiales cuyo sentido va hacia la carga negativa o sale de la positiva. La diferencia, como en los dos casos anteriores, surge en la zona de más proximidad: debido a que cargas de signo contrario se atraen, el campo eléctrico se modificará, ya que las líneas de fuerza de la carga positiva se dirigirán hacia la carga negativa, como puede apreciarse en la figura 3.8, y el sentido de las líneas va de la carga positiva hacia la negativa.

Una esfera metálica

Cuando se tiene una esfera metálica cargada eléctricamente, el campo eléctrico en el exterior de la esfera equivale a tener concentrada toda la carga eléctrica en un punto: el centro, de manera similar al caso del centro de masa de un objeto dentro de un campo gravitacional. En el interior de la esfera la intensidad del campo eléctrico es nula (figura 3.9).



cargas eléctricas de la misma

magnitud, una positiva

y la otra negativa.

–+

Figura 3.9. Campo

eléctrico producido por una

esfera metálica cargada

positivamente.


Placas metálicas paralelas

El campo eléctrico entre dos placas metálicas paralelas cargadas, una positiva y otra negativa, es aproximadamente uniforme, excepto en las zonas de los bordes donde las líneas de fuerza se curvan. De la misma manera que en los casos anteriores, el sentido de las líneas de fuerza van de la carga positiva a la negativa (figura 3.10).

3.3.4. Potencial eléctrico

Como recordarás, el trabajo y la energía están asociados con la fuerza (ya sea gravitacional o eléctrica) y se cuantifican en la misma unidad: el joule (J). De esta manera podemos afirmar que cada vez que se acerquen o alejen dos cargas eléctricas una distancia r se realizará un trabajo, el cual será igual a:

W = F · r

Siempre y cuando la fuerza y el desplazamiento sean paralelos y estén

orientados con el mismo sentido.

Al sustituir el valor de F de acuerdo con la ley de Coulomb:

F = k q · Q / r 2

Obtendremos la siguiente expresión para el trabajo W:

W = ( k q · Q / r2 ) · r = k q · Q / r

[3.6]

3.4. Energía potencial eléctrica

Este trabajo es igual a la energía potencial eléctrica o electrostática para dos cargas q y Q separadas una distancia r. Dicha energía es una magnitud que denotaremos con la letra U, y que está dada por la siguiente expresión:

U = k q · Q / r

[3.7]

La energía potencial electrostática de una carga en el punto B en relación

con el punto A se deine como el trabajo efectuado contra las fuerzas eléctricas que se necesitan para llevar la carga de A a B.

Figura 3.10. Placas

metálicas paralelas cargadas

eléctricamente.

+ + + + + + +

– – – – – – –


A diferencia del campo y de la fuerza eléctricos, la energía potencial electrostática es una magnitud escalar.

Ejemplos

• ¿Cuál es la energía electrostática entre dos cargas q = 2.0 mC y Q = 5.0 mC que se encuentran separadas una distancia r = 0.1 m?

Solución:

Sustituyendo los valores q = 2.0 mC, Q= 5 mC y r = 0.1 m en la siguiente expresión:

U = k q · Q / r = (9 × 109 N · m2 / C2)(2.0 mC) · (5.0 mC) / (0.1 m)U = (9 × 109 N · m2 / C2)(2.0 × 10–6 C) · (5 × 10–6 C) / (10–1 m)U = 9 × 10–1 N · m = 0.9 J

• ¿Cuál es la distancia de separación entre dos cargas q = –0.5 mC y Q = 2.0 mC que se requiere para que energía electrostática entre ellas sea de –4.5 J?

Solución:

Despejamos r de la siguiente expresión U = k q · Q / r, y obtenemos:

r = k q · Q / U

Sustituimos ahora los valores q = –0. 5 mC, Q = 2.0 mC y U = –4.5 J en esta expresión:

r = (9 × 109 N · m2 / C2)(0.5 mC) · (–2.0 mC) / (–4.5 J) = 2 × 10–3 m

3.4.1. Concepto y unidades de potencial

eléctrico

Otra magnitud que nos permite conocer con más detalle el campo eléctrico es la energía electrostática1 por unidad de carga que está asociada a cada punto del campo. Esta magnitud, denotada por V, recibe el nombre de potencial eléctrico, y se determina utilizando una carga de prueba positiva ( q

0 ) y con

un valor lo más pequeño posible, la cual se encuentra a una distancia r de una carga q:

1 La energía electrostática también recibe el nombre de energía potencial electrostática.

E

E

q0

A

B


V = U / q0

V = (k q0 · q / r) / q

0

V = k · q / r

O bien, puede expresarse en términos del trabajo realizado, ya que W = k q

0 · q / r, entonces:

k q / r = W / q0

Por lo que:

Deinimos el potencial eléctrico como el trabajo por unidad de carga que debe realizarse para trasladar la carga de prueba q

0 desde el ininito hasta

r, y su expresión es:

V = W / q0 o bien: V = k q / r

[3.8]

La unidad de potencial eléctrico en el SI es J/C, unidad que recibe el

nombre de volt, cuyo símbolo es V.

Ejemplos

• ¿Cuál es el potencial eléctrico o voltaje alrededor de una carga de q = 10 mC

a una distancia r = 0.25 m?

Solución:

Sustituyendo los valores q = 10 mC y r = 0.25 m en la siguiente

expresión:

V = k · q / r

Obtenemos:

V = (9 × 109 N · m2 / C2) · (10 mC) / (0.25 m)

V = (9 × 109 N · m2 / C2) · (10 × 10–6 C) / (0.25 m)

V = (9 / 0.25) × (109 · 10 · 10–6) N · m / C

V = 3.6 × 105 J / C = 3.6 × 105 V


• ¿Cuál es el valor de la carga eléctrica que genera un potencial eléctrico de 103 V a una distancia r = 0.045 m?

Solución:

Despejamos q de la expresión V = k · q / r y obtenemos:

q = (V · r) / k

Al sustituir los valores:

q = (103 V · 0.045 m) / (9 × 109 N · m2 / C2)q = (0.005) × (103 / 109) [V / (N · m2 / C2)]q = [(0.005) × 10–6)] (V · C2 / J) = [(0.005) × 10–6)] (J / C) · (C2 / J)q = 0.005 × 10–6 C = 0.005 mC

3.4.2. Diferencia de potencial o voltaje.

Concepto y unidades

Más que la energía electrostática, nos interesa saber qué trabajo se requiere para mover una carga de un punto a otro dentro de un campo eléctrico, para ello habremos de relacionar el cambio en potencial eléctrico o voltaje con el trabajo realizado. Consideremos dos puntos A y B dentro de él, y una carga de prueba q

0. Ya que V = U / q

0 y esta magnitud es igual al

trabajo realizado W por unidad de carga, para traer la carga de prueba desde el infinito hasta el punto considerado:

V = W / q0

De tal manera que la diferencia de potencial,2 ΔV, será igual al trabajo que se requiere realizar para mover la carga del punto A al B por unidad de carga:

ΔV = VB – V

A = W

AB / q

Y ya que el trabajo efectuado es igual al producto de la fuerza (F) por la distancia (d) recorrida por la carga:

WAB

= F · d

La diferencia de potencial o voltaje puede expresarse como:

ΔV = WAB

/ q = F · d / q

[3.9]

2 A la diferencia de potencial se le suele llamar voltaje.

E

qA B

VB

VA

¿Qué se requiere para

mover una carga dentro

de un campo eléctrico?


Ejercicios

1. La unidad de energía potencial electrostática en el Sistema Internacional de Unidades es:

a) J c) V b) N / m d) V / C

2. La unidad de voltaje en el Sistema Internacional de Unidades es:

a) J c) V b) N / m d) V / C

3. La unidad de energía potencial eléctrica en el Sistema Internacional de Unidades es:

a) J c) V b) N / m d) V / C

4. La expresión para calcular la energía potencial electrostática es:

a) U = q · E · d c) U = k q1 · q

2 / r

b) U = W A B

/ q d) U = k · q / r

5. La expresión para calcular el potencial eléctrico es:

a) V = q · E · d c) V = k q1 · q

2 / r

b) V = W A B

/ q 2 d) V = k · q / r

6. ¿Cuál es la energía electrostática entre dos cargas q1 = 0.2 mC y q

2 = 0.5 mC, que se encuentran

separadas a una distancia r = 0.01 m?

a) 9 × 10–2 J c) 9 × 103 J b) 10–4 J d) 4.5 × 10–6 J

como EF

qV E d= ∴ = ⋅∆

[3.10]

Ejemplo

• ¿Cuál es la diferencia de potencial DV entre dos placas paralelas con igual

carga y distinto signo que se encuentran separadas 0.02 m, si en su interior se

genera un campo eléctrico constante de 5 × 105 V/m?

Solución:

DV = E · d = 5 × 105 V/m × 0.02 m = 10 000 V


3.5. Supericies equipotencialesEn el espacio que rodea una carga eléctrica existen zonas donde el valor del potencial eléctrico es el mismo. De esta manera, los puntos con el mismo potencial eléctrico forman líneas o superficies equipotenciales. Este hecho trae como consecuencia que si se quiere transportar una carga entre dos puntos de esta línea, no se necesita realizar trabajo alguno para moverla, hecho que implica que la diferencia de potencial entre los dos puntos es igual a cero. La existencia de líneas o superficies equipotenciales permite representar de manera esquemática el potencial eléctrico como se muestra en la figura 3.11:

Figura 3.11. Las líneas punteadas son las líneas equipotenciales y las líneas continuas son las líneas del campo eléctrico de dos cargas eléctricas con cargas opuestas.

7. ¿Cuál es la distancia de separación entre dos cargas q1 = 1 mC y q

2 = 2 mC, si la energía electrostática

entre ellas es de 5 × 10–2 J?

a) 7 × 10–1 m b) 10–2 m c) 3.6 m d) 0.36 m

8. ¿Qué potencial eléctrico genera una carga eléctrica de 0.05 mC a una distancia de 0.001 m?

a) 45 × 10–5 V b) 4.5 × 105 V c) 0.45 V d) 450 V


3.6. Intensidad de campo magnético. Movimiento de una carga dentro de un campo magnético

Cuando se coloca una carga eléctrica q dentro de un campo magnético, ésta permanece en reposo, es decir, no cambia de posición y, por lo tanto, su velocidad es cero; este hecho muestra que no se ejerce fuerza alguna sobre ella,3 como puede apreciarse en la figura 3.12.

Figura 3.12. Carga eléctrica en reposo dentro de un campo magnético B uniforme.

Cuando una carga eléctrica q se mueve en una dirección paralela al campo magnético permanece moviéndose con velocidad constante, hecho que vuelve a mostrar que en este segundo caso tampoco se ejerce fuerza alguna sobre ella, como se aprecia en la figura 3.13.

Figura 3.13. Carga eléctrica moviéndose dentro de un campo magnético B uniforme

con velocidad constante y paralela a las líneas del campo.

3 Recuerda que si sobre un objeto no se aplica fuerza alguna o la suma de todas las fuerzas es cero, permanecerá en reposo o moviéndose con velocidad constante y siguiendo una trayectoria rectilínea. Este enunciado se conoce como la primera ley de Newton o principio de inercia de Galileo.

¿Los campos magnéticos

ejercen fuerzas sobre las cargas eléctricas?


Cuando una carga eléctrica incide perpendicularmente a las líneas del campo magnético, se observa que la carga eléctrica comienza a moverse siguiendo una trayectoria circular y el sentido en el que gira depende del tipo de carga de que se trate. Esto puede apreciarse en las figuras 3.14 y 3.15.

Figura 3.14. Sentido de giro de una carga eléctrica positiva que incide perpendicularmente a las líneas de un campo magnético B uniforme.

Figura 3.15. Sentido de giro de una carga eléctrica negativa que incide perpendicularmente a las líneas de un campo magnético B uniforme.

Cuando una carga eléctrica incide de manera oblicua a las líneas del campo magnético,4 se observa que la carga describe una trayectoria en espiral con su eje de simetría paralelo a las líneas del campo magnético. Como en el caso anterior, el sentido del giro dependerá del tipo de carga eléctrica de que se trate. Esto puede apreciarse mejor en la figura 3.16.

Figura 3.16. Sentido de giro de una carga eléctrica positiva que incideoblicuamente a las líneas de un campo magnético B uniforme.

4 En forma oblicua significa que el ángulo que corresponde a la dirección con la que incide, dentro del campo magnético, forma un ángulo distinto de 0° y de 90° con las líneas del campo magnético.

¿Qué ocurre cuando

una carga eléctrica

se mueve en dirección

perpendicular a las líneas

del campo magnético?

¿Qué ocurre cuando

una carga eléctrica se

mueve en dirección oblicua

a las líneas del campo

magnético?


El hecho de que la trayectoria sea una espiral demuestra que el

movimiento en la misma dirección en que está orientado el campo magnético

no está siendo afectado por éste, por ello su avance en la dirección paralela a las

líneas del campo es con velocidad constante; la componente de la velocidad en la

dirección paralela a las líneas del campo magnético es constante. Sin embargo,

la componente en la dirección perpendicular a las líneas del campo magnético

sí cambia, hay aceleración y, por lo tanto, existe una fuerza magnética que

actúa sobre la carga eléctrica.

Analizar las diferentes trayectorias que puede experimentar una carga

eléctrica positiva, al incidir en distintas direcciones dentro de un campo

magnético, nos ha permitido encontrar que:

La fuerza magnética que experimenta una carga eléctrica al incidir dentro

de un campo magnético es perpendicular a la velocidad de la carga y es

perpendicular a la dirección del campo magnético.

Estas dos condiciones nos permiten inferir que:

La fuerza magnética que experimenta una carga eléctrica al incidir dentro

de un campo magnético es perpendicular al plano que forman la velocidad

de la carga y la dirección del campo magnético.

La relación que guardan la fuerza magnética sobre una carga positiva,

la velocidad de la carga eléctrica y la dirección del campo magnético, se puede

apreciar en la figura 3.17.

Figura 3.17. Dirección de la fuerza magnética con respecto a la velocidad

y el campo magnético.


Por supuesto, si la carga es negativa la velocidad es opuesta a la de la

carga positiva y la dirección de la fuerza magnética apuntará hacia abajo del

plano formado por v y B.

Experimentalmente se ha comprobado que cuando se lanzan partículas

cargadas eléctricamente dentro de un campo magnético, el módulo de la fuerza

magnética que actúa sobre ella aumenta en la misma proporción que el valor

de la carga eléctrica y disminuye en la misma proporción que la carga. Esto se

puede resumir de la siguiente manera:

La fuerza magnética F que actúa sobre una partícula es directamente

proporcional a su carga eléctrica q:

F α q

Por otro lado, podemos decir que mientras más rápido se mueva una

partícula dentro de un campo magnético, mayor es la fuerza magnética que

actúa sobre ella. Experimentalmente se sabe que la fuerza magnética también

guarda una relación de proporcionalidad directa con la velocidad de la carga

eléctrica:


proporcional a su velocidad v:

F α v

De manera similar al caso del campo eléctrico, podemos asociar al campo

magnético una intensidad, la cual estará directamente relacionada con la fuerza

magnética que experimenta una partícula dentro de él. Mientras mayor sea

la fuerza magnética que experimenta una partícula, mayor será la intensidad

del campo magnético; la relación entre la fuerza magnética y la intensidad del

campo magnético también es de proporcionalidad directa:


proporcional a la intensidad del campo magnético B:

F α B

Si se introducen al

campo magnético cargas

eléctricas diferentes,

¿la fuerza magnética que experimentan es la misma?

Si se introducen al

campo magnético cargas

eléctricas con diferentes

velocidades, ¿la fuerza magnética que experimentan

será la misma?


Resumiendo, tenemos que la fuerza magnética F que experimenta una partícula dentro del campo magnético es directamente proporcional a su carga eléctrica q, a su velocidad v y a la intensidad del campo magnético B:

F α qF α vF α B

Consideremos una partícula cargada eléctricamente que incide perpendicularmente a la dirección del campo magnético. Podemos escribir una ecuación a partir de estos resultados:

F = k · q · v · B

[3.11]

Donde k es la constante de proporcionalidad directa entre estas cuatro magnitudes. Se ha adoptado convencionalmente el valor de 1 para esta constante, lo que simplifica significativamente esta ecuación:

F = q · v · B

Si analizamos dimensionalmente esta expresión, encontraremos que:

[ k ] = [ F ] / ([ q ] · [ v ] · [ B ])

Que corresponden a las siguientes unidades del SI:

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

N

C m s [ ]k

F

q v B B=

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅ ⋅

=−( )1

1

Por lo que la unidad de la intensidad del campo magnético es:

[ ]N

C m sB =

⋅ ⋅−1

Ya que C s–1 = A, B puede expresarse como:

[ ]N

A mB =

⋅

Esta unidad se denomina tesla5 y su símbolo es T.

T = N · s · m–1 · C–1 = NA–1 m–1

5 Otras unidades que suelen emplearse para medir la intensidad del campo magnético son: Wb/m2 (Weber/metro cuadrado), el G (Gauss) y su equivalencia es:

1 T = 1 Wb/m2 = 104 G.


Ejemplos

• ¿Cuál es la fuerza magnética que experimenta un protón (qp

= 1.6 × 10–19 C), que incide con una velocidad de 105 m/s perpendicularmente a la dirección de un campo magnético cuya intensidad es de 1.3 × 10–3 T?

Solución:

Conocemos los siguientes valores:

q = qp = 1.6 × 10–19 C

v = 105 m/s

B = 1.3 × 10–3 T

Así como la expresión que relaciona estas magnitudes con la fuerza magnética F:

F = q · v · B

Sustituyendo, encontramos que:

F = q · v · B = (1.6 × 10–19 C) · (105 m/s) · (1.3 × 10–3 T)F = (1.6 × 10–19) · (105) · (1.3 × 10–3) (C · m · s–1 · T)F = (1.6 × 1.3 ) × (10–19 · 105 · 10–3) (C · m · s–1 · T)F = 2.08 × 10–17 (C · m · s–1 · T)

Sustituyendo la equivalencia T = N · s · m–1 · C–1 podemos simplificar la expresión anterior de la siguiente manera:

F = (2.08) × 10–17 (C· m · s–1) · (N · s · m–1 · C–1)F = (2.08) × 10–17 (C· m · s–1 · N · s · m–1 · C–1)F = 2.08 × 10–17 N

• ¿Cuál es la intensidad del campo magnético en el que se mueve un carga eléctrica de 3.20 × 10–19 C con una velocidad perpendicular al campo de 2 × 106 m/s, si al entrar en el campo magnético experimenta una fuerza de 4 × 10–18 N?

Solución:

Conocemos los valores de q, v y F:

q = qp = 3.20 × 10–19 C


v = 2 × 106 m/s

F = 4 × 10–18 N

Podemos determinar el valor de la intensidad del campo magnético B

despejando esta magnitud de la expresión F = q · v · B, obteniendo así:

B = F / ( q · v )

Si sustituimos ahora los valores conocidos:

B = F / ( q · v ) = (4 × 10–18 N) / ((3.20 × 10–19 C) · (2 × 106 m/s))

B = (4 / 6.4) × 10–5 N C–1m–1 · s = 0.625 × 10–5 T

• ¿Cuál es la velocidad de una partícula cuya carga eléctrica es de q = 2 × 10–19 C

y que incide perpendicularmente a las líneas de un campo magnético cuya

intensidad es de B = 6.25 × 10–5 T, si experimenta una fuerza magnética de

F = 2.5 × 10–18 N?

Solución:

Conocemos:

q = 2 × 10–19 C

B = 6.25 × 10–5 T

F = 2.5 × 10–18 N

Nuevamente, con la expresión:

F = q · v · B

Podemos determinar el valor de la velocidad:

v = F / (q · B)

Si sustituimos los valores de la fuerza magnética, la carga eléctrica y la

intensidad del campo magnético, obtendremos:

v = F / (q · B) = (2.5 × 10–18 N) / ((2 × 10–19 C) · (6.25 × 10–5 T))

v = 0.2 × 106 = 2 × 105 m/s


Consideremos una carga eléctrica que se desplaza con una velocidad v y que entra en un campo magnético B, como se muestra en la figura 3.18.

Figura 3.18. Dirección de la fuerza magnética con respecto a la velocidad y el campo magnético

cuando la carga se mueve formando un ángulo θ con la dirección del campo magnético.

Si consideramos la velocidad v expresada como una magnitud vectorial en términos de sus componentes rectangulares sobre el plano formado por el vector velocidad y el campo magnético B (figura 3.19), podemos expresar v como:

v = (vB

, vB ⊥)

Donde vB

es el componente de la velocidad en la dirección del campo magnético y v

B ⊥

es el componente de la velocidad en la dirección

perpendicular al campo magnético; ambos pueden expresarse en términos del ángulo θ y del módulo de la velocidad v:

vB = v · cosθ

vB ⊥

= v · senθ

Figura 3.19. Componentes rectangulares de la velocidad v en la dirección

de la fuerza magnética y el campo magnético.


Como hemos visto, en el caso de que la carga eléctrica incida en

dirección paralela al campo magnético, la fuerza magnética que se ejerce sobre

ella es nula, por lo tanto, la componente de la fuerza en la misma dirección que

vB es nula (=0). En cambio, la fuerza magnética que se ejerce sobre la carga en

dirección perpendicular al componente vB ⊥

de la velocidad v es proporcional

al campo magnético, por lo que podemos afirmar que la fuerza magnética que

experimenta una carga eléctrica que incide en el campo magnético, formando

un ángulo θ entre el campo magnético y la velocidad, será:

F = q · vB ⊥ · B = q · (v · senθ) · B

La siguiente expresión nos permite calcular la fuerza magnética para

cualquier ángulo θ:

F = q · v · B · senθ

[3.12]

Por ejemplo, si el ángulo entre v y B es 0º, es decir, son paralelos, entonces

senθ = sen 0º = 0, y la fuerza magnética será nula:

F = q · v · B · senθ= q · v · B · sen 0º = q · v · B · 0 = 0

En cambio, si el ángulo entre v y B es 90º, es decir, son perpendiculares,

entonces:

senθ = sen 90º = 1

La fuerza magnética será:

F = q · v · B · senθ = q · v · B · sen 90º = q · v · B · 1 = q · v · B

• ¿Cuál es la intensidad del campo magnético en el que se mueve un carga

eléctrica de 4.80 × 10–19 C con una velocidad que forma un ángulo de 30º

con la dirección del campo y tiene como módulo 2.5 × 106 m/s, si al entrar

en el campo magnético experimenta una fuerza de 5 × 10–18 N?

Solución:

Conocemos:

q = 4.80 × 10–19 C

v = 2.5 × 106 m/s

F = 5 × 10–18 N

¿Cómo es la fuerza magnética que experimenta

una carga eléctrica que

se mueve en un campo

magnético formando un

ángulo θ entre el campo y la dirección en la que se

mueve la carga?


θ = 30°

B = ?

Con la expresión:

F = q · v · B · senθ

Despejando B:

BF

q v=

sen θ

Sustituyendo:

B =×

× × ×

−

−

5 N

(4.8 C)(2.5 10 m/s) 0.56

10

10

18

19

B = 8.33 × 10–6 T

Elementos de física Unidad 3. Carga e interacciones electromagnéticas

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Grupo: Número de cuenta:

Profesor: Campus:

111

Autoevaluación

1. Se tienen dos cargas puntuales Q 1= 5 mC y Q

2= –10 mC separadas a una distancia de 15 cm. Calcula

la fuerza electrostática con que interactúan ambas cargas.

2. Si la fuerza de atracción entre dos cargas Q 1 y Q

2 es de 1.8 × 10–4 N, Q

1= 15 mC y la distancia que

las separa es de 30 cm. ¿Cuál es el valor de Q 2?

3. ¿Cómo cambia la fuerza de repulsión entre dos cargas puntuales Q 1 y Q

2 si la primera duplica su valor

y la segunda lo reduce a la mitad?

4. Tres protones son colocados en los vértices de un triángulo equilátero de lado 50 cm, como se observa en la siguiente figura.

a) Calcula la fuerza resultante que sobre la carga Q

1 ejercen Q

2 y Q

3.

b) Mediante un diagrama muestra la dirección y sentido de la fuerza.c) Explica qué sucedería si colocáramos un electrón en el centro del triángulo, es decir, a la misma

distancia de Q 1, Q

2 y Q

3.

5. Se tienen dos cargas puntuales Q 1= 12 mC y Q

2 = –8 mC sobre el eje “y” de un plano cartesiano,

ambas a 30 cm del origen.

a) Calcula el valor del campo eléctrico en el origen del sistema de referencia.b) Si ambas cargas son positivas, ¿es diferente el valor del campo eléctrico en el origen? Argumenta y

demuestra tu respuesta.

6. a) Se tienen tres cargas puntuales alineadas en el eje horizontal, elabora un arreglo para que la fuerza eléctrica sobre las tres cargas sea cero.

b) De acuerdo con el arreglo propuesto, considera ciertos valores y demuestra analíticamente que el arreglo propuesto cumple con que las fuerzas netas sobre cada carga son cero.

112

7. a) ¿A qué distancia de una carga puntual de 10 mC la magnitud del campo eléctrico es 2.25 × 108 N/C?b) Si duplicamos la distancia calculada en A, ¿cuál será la magnitud del campo eléctrico en ese

punto?

8. a) Calcula la energía potencial electrostática entre dos cargas Q 1= 50 mC y Q

2= –15 mC.

b) La energía potencial eléctrica es un escalar y puede adquirir signo positivo o negativo. Desde el punto de vista energético, ¿qué significa para el arreglo de cargas que su energía potencial sea positiva, negativa o bien nula?

9. a) Calcula el potencial eléctrico que genera una carga puntual positiva Q = 8 mC a una distancia de 45 cm.

b) ¿Qué diferencia de potencial se genera entre el potencial a 45 cm y a 60 cm de la carga anterior?c) ¿Varía en algo esta diferencia de potencial si la carga que los genera es negativa?

10. Las superficies equipotenciales son regiones donde el valor del potencial eléctrico es constante.

a) ¿Cuál será la forma de las superficies equipotenciales alrededor de una carga puntual?b) ¿Existe alguna diferencia en forma y valor entre una superficie equipotencial alrededor de una

carga positiva o alrededor de una carga negativa? Explica tu respuesta.c) A partir de un esquema explica cómo serán las superficies equipotenciales de dos cargas del mismo

signo y dos cargas de distinto signo.

11. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre dos placas paralelas que se encuentran separadas a una distancia de 0.005 m si la intensidad de campo entre ellas es de 5 × 103 V/m?

12. Calcula la fuerza que ejerce un campo magnético de 5 × 10–3 T sobre un protón (carga eléctrica 1.6 × 10 –19 C) que entra al campo magnético de manera perpendicular, con una velocidad de 3 × 10–5 m/s.

13. Un electrón con una velocidad de 3.7 × 105 m/s se desplaza paralelamente a la dirección de un campo magnético constante cuya magnitud es de 1.85 × 10–5 T. Calcula la fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón.

14. Una partícula alfa, que es un núcleo de Helio, incide perpendicularmente con respecto a la dirección del campo magnético terrestre cuya intensidad es de 1.3 × 10–5 T, el módulo de su velocidad es de 2 × 106 m/s, sabiendo que la carga de la partícula alfa es de 3.2 × 10–19 C y su masa es de 6.69 × 10–27 kg, calcula el valor de la aceleración que le imparte el campo magnético a dicha partícula cargada.

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