unidad 3: modelos economÉtricos multiecuacionales caso de ... · encima de las variables de...

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Curso de Simulación en Economía y Gestión de Empresas

www.uam.es/predysim

Edición 2004

UNIDAD 3: MODELOS ECONOMÉTRICOS MULTIECUACIONALES CASO DE APLICACIÓN 4

Simulación y predicción de relaciones macroeconómicas básicas para la economía

española (II): modelos econométricos multiecuacionales Continuamos la modelización de la economía en global, ahora abordada desde la óptica de los

modelos de varias ecuaciones. Este caso de aplicación es, pues, continuación del anterior. El

modelo multiecuacional que vamos a utilizar es un modelo bastante agregado, con objetivos de

predicción a medio plazo del cuadro macroeconómico básico y de corte eminentemente

keynesiano, es decir, orientado por el lado de los componentes de la demanda agregada, que

subdividimos en consumo, público (CG) y privado (CP); inversión, pública (GIVT) y privada

(IVPT); exportaciones (EXGS) e importaciones (IMGS) de bienes y servicios.

De esta forma, la determinación del producto interior bruto a precios de mercado (GDPM) por

el lado de la demanda y en unidades monetarias constantes, se obtendría como suma de los

distintos componentes diferenciados.

[ ]186868686868686 IMGSEXGSGIVTIVPTCGCPGDPM −++++=∧∧

Encima de las variables de consumo e inversión pública hemos incluido un signo (^) indicativo

de que vamos a considerarlas como exógenas al modelo, por tratarse de decisiones propias de la

Administración Pública y cuya evolución a futuro puede ser conocida por los presupuestos y

planes del gobierno a medio plazo.

Las restantes variables integrantes del PIB serán explicadas según los ensayos ya realizados en

el caso anterior (que hacía nuestro número 3), es decir, como funciones lineales de las siguientes

variables, más un residuo aditivo:

[ ][ ][ ][ ]5)97,,,86(864))1(86,,(863))1(86,93,,(86

2))1(86,86,86(86

5

4

3

2

RIMZZCEEREERCMGDPMfIMGSREXEXGSREERCMGDPWfEXGS

RIVIVPTZTLELECFINARfIVPTRCPCPWGDDfCP

+=+−=+−=

+−=

A efectos de determinar la variable de renta disponible (GDD86), vamos a definir ésta en forma

aproximada, con el PIB neto de impuestos (o de ingresos de las Administraciones Públicas):

[ ]6868686 GINGCOGDPMGDD −=

de 2

donde los ingresos del gobierno en pesetas constantes (GINGCO86) se obtienen a partir de los

ingresos nominales (los determinados en los presupuestos), deflactados por el índice de precios

del consumo público, base 1986=100, ambos componentes considerados como exógenos:

[ ]7*10086∧∧

= PCGGINGCOGINGCO Con relación a la variable de riqueza privada, W86, definiremos ésta, en una de sus múltiples

aproximaciones, como suma del stock de capital privado (KP86) y de los activos líquidos en

manos del público (ALP86), ésta última como nueva exógena del modelo:

[ ]8868686∧

+= ALPKPW Por su parte, el stock de capital lo calcularemos suponiendo una vida media de siete años para

las inversiones, con una amortización lineal de 1/7 cada año, es decir:

[ ]986*7/1...86*7/586*7/68686 621 −−− ++++= IVPTIVPTIVPTIVPTKP Para aplicar la función de inversión debemos determinar las dos variables endógenas que actúan

como explicativas de esa ecuación (FINAR y TLELEC). Respecto a la financiación disponible

por parte de las empresas (FINAR), calcularemos ésta como la suma del excedente bruto de

explotación de las empresas (∧

SVCP ) y los créditos concedidos por la banca al sector privado

(CRESP), todo ello deflactado por el índice de precios de la inversión privada (∧

PIVPT ):

[ ]10)(*)/100( CRESPSVCPPIVPTFINAR +=∧∧

La única endógena que actúa como explicativa, CRESP, ha sido ya previamente estimada en la

primera parte del caso en función de los activos líquidos (ALP), de la necesidad de financiación

acumulada del sector público (GDEFA) y de la inversión de las empresas (IVPT86):

[ ]11))1(86,,(11 RCRIVPTGDEFAALPfCRESP +−=

Los activos líquidos en términos corrientes pueden determinarse a partir de la exógena en

términos constantes, utilizando, por ejemplo, el deflactor del consumo privado:

[ ]12100*86∧∧

= PCPALPALP

El déficit acumulado, por su parte, lo hemos definido como la suma de las necesidades de

financiación (para años con superávit toma valor cero):

[ ]13)1( FINGGDEFAGDEFA −−=

El déficit de la Administración Pública, FING, viene con signo menos cuando hay necesidad de

financiación y por ello se suma con signo cambiado.

A su vez, por continuar con la cadena explicativa, FING se define como diferencia entre

ingresos corrientes (∧

GINGCO ) y los gastos públicos de consumo (CG), inversión (GIVT), pagos

por intereses (GINTE) y otros gastos, considerados estos últimos como exógenos ( ∧

GOGAS):

de 3

[ ]14∧∧

−−−−= GOGASGINTEGIVTCGGINGCOFING Consumo e inversión pública son variables exógenas en unidades monetarias constantes y basta

utilizar los deflactores apropiados para pasar a corrientes:

[ ]15100*86∧∧

= PCGCGCG

[ ]16100*86∧∧

= PGIVTGIVTGIVT Con relación a los pagos por intereses (GINTE), también disponemos de una ecuación de

comportamiento ya considerada en el Caso 3 anterior:

[ ]17),...,,,( 4117 RGITLELECTLELECTLELECGDEFAfGINTE += −− Por último, los tipos de interés (TLELEC) se explicaban, a su vez, por la velocidad de

circulación del dinero, créditos concedidos al sector privado, una variable ficticia de aplicación

de los criterios de convergencia y la propia endógena desplazada:

[ ]18))1(,,,(18 RTLTLELECZCONVCRESPVCIRfTLELEC +−= donde la velocidad de circulación (VCIR) queda definida como

[ ]198686*100∧

= ALPGDPMVCIR El modelo queda, pues, definido por diecinueve ecuaciones (siete de comportamiento y doce

identidades o ecuaciones de definición). Las variables implicadas son las diecinueve endógenas

y dieciséis exógenas más siete residuos y las correspondientes endógenas desplazadas.

Variables endógenas Variables exógenas Residuos Variables endógenas desplazadas

GDPM86 CP86

IVPT86 EXGS86 IMGS86 GDD86

GINGCO86 W86 KP86

FINAR CRESP

ALP GDEFA FING CG

GIVT GINTE

TLELEC VCIR

CG86 GIVT86

Z93 GDPW

REERCM ZCEE Z97

GINGCO PCG

ALP86 PIVPT SVCP PCP

GOGAS PGIVT ZCONV

RCP RIV REX RIM RGI RCR RTL

CP86(-1) IVPT86(-1) IVPT86(-2) IVPT86(-3) IVPT86(-4) IVPT86(-5) IVPT86(-6) EXGS86(-1) GDEFA(-1) TLELEC(-1) TLELEC(-2) TLELEC(-3) TLELEC(-4)

de 4

Podemos realizar ahora un gráfico de las relaciones planteadas en este modelo simplificado de

la economía española entre las distintas variables endógenas y las correspondientes exógenas

que intervienen en cada ecuación. En el esquema adjunto resaltamos el objetivo del modelo:

obtención del producto interior bruto por el lado de la demanda (GDPM86). Para diferenciar las

variables puramente exógenas del resto de variables, las hemos denotado en letra cursiva. Las

relaciones entre variables las hemos representado con flechas de unión. De esta forma, la

dirección de la flecha indica que la variable de la que parte la flecha interviene en la ecuación de

la variable a la que llega la flecha. Por ejemplo, la variable exógena SVCP (Excedente bruto de

explotación de las empresas) interviene en la ecuación de definición (identidad) de la variable

FINAR (Financiación disponible por parte de las empresas) que, a su vez, es una variable

explicativa en la ecuación de IVPT86 (Inversión privada total).

IMGS86

GDPM86

REERCMZCEE Z97

CP86 GDD86

GINGCO86

GINGCO

PCGCG

EXGS86

GIVT86

GIVT

PGIVT

GDPW

VCIR

KP86

W86ALP86

ALP

PCP

GOGAS

CRESP

GINTE

GDEFA FING

IVPT86

ZCONV

Z93

TLELEC

FINAR

SVCP

PIVPT

��ESQUEMA DEL MODELO SIMPLIFICADO DE LA ECONOMÍA ESPAÑOLA

CG86

En la constitución de este modelo simplificado de la economía española se han definido unas

relaciones entre variables que adoptan el carácter de simultaneidad, es decir, su resolución debe

ser conjunta. En el siguiente esquema reproducimos las principales relaciones de simultaneidad

deducidas del modelo.

de 5

��

PRINCIPALES RELACIONES DE SIMULTANEIDAD DEL

MODELO SIMPLIFICADO DE LA ECONOMÍA ESPAÑOLA

IMGS86 GDPM86

FINAR

CRESP

IVPT86

VCIR TLELEC GINTE

GDPM86 IVPT86 FINAR GDEFA

FING

GDPM86 CP86GDD86

Indudablemente, la dificultad clave de predicción estará en asignar los valores de futuro de las

variables exógenas. Para algunas, la asignación es inmediata: por ejemplo, podemos mantener

los residuos en el valor del último año conocido y en las ficticias queda establecido su valor 0 ó

1 por su propia definición. Respecto a precios, dada la evolución relativamente similar de todos

ellos, podría elegirse uno de referencia (por ejemplo, PCP) y adoptar una hipótesis extra-modelo

sobre su evolución o aceptar los objetivos del gobierno o las predicciones de otras instituciones.

Para algunas variables referidas al gobierno, deberemos disponer de predicciones oficiales o

bien reelaborar éstas. Con respecto a las variables exteriores, tales como GDPW ó REERCM,

debiéramos analizar la información proporcionada por fuentes internacionales. Para la variable

de activos líquidos podrían adoptarse valores alternativos según la política monetaria supuesta,

o simplemente admitir que se ajustará al crecimiento del PIB o de la renta. Con todo lo anterior

no tratamos de eludir la dificultad de asignar valores a un número elevado de exógenas, ni

minimizar las consecuencias de una asignación equivocada de sus valores de futuro. Es más, la

utilidad práctica del modelo dependerá de nuestra capacidad para establecer unos valores

relativamente correctos. Si no, incluso el mejor modelo puede fracasar como herramienta de

predicción.

Naturalmente, algunas de las variables tratadas como exógenas podrían explicarse con nuevas

ecuaciones, pero ello haría más complejo el modelo. Encontrar el adecuado equilibrio entre lo

que debe tratarse como exógeno y lo que el propio modelo debe explicar no es, pues, una tarea

fácil y exige múltiples pruebas y una cierta experiencia en la utilización de modelos.

Por nuestra parte, hemos ampliado todas las exógenas (que suponemos conocidas sólo hasta

1997) con valores correspondientes al periodo de predicción (1998 a 2000), según diferentes

criterios en cuyo detalle no es aquí ocasión de profundizar.

de 6

Para cargar las series requeridas por el modelo hemos creado un fichero de trabajo SERIES.wf1

para EViews. A fin de que no haya confusión respecto al contenido de cada variable, hemos

etiquetado cada una de ellas utilizando la opción LABEL. Así, abriendo la ventana de una serie

cualquiera, por ejemplo el PIB en pesetas constantes, con SHOW, seleccionamos VIEW /

LABEL y obtenemos una descripción completa de cada variable.

Dentro de esta ventana, para volver de nuevo a los datos de la serie, seleccionamos VIEW /

SPREADSHEET

Con objeto de obtener las estimaciones por mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E), de las

ecuaciones de comportamiento y comparar sus resultados con los correspondientes al método

ordinario de mínimos cuadrados, procedemos, en primer lugar a realizar una copia de cada una

de las ecuaciones ya estimadas. Así, por ejemplo, elegimos la ecuación de consumo situándonos

sobre su nombre (CP86EQ), y en el menú principal, seleccionamos OBJECTS / COPY

SELECTED y en la ventana que aparece indicamos el nuevo nombre (el mismo, acabado en T):

de 7

Abrimos ahora la ecuación denominada CP86EQT, pulsando dos veces sobre su nombre con el

botón izquierdo del ratón, y seleccionamos ESTIMATE, donde elegiremos el método de

estimación de mínimos cuadrados en dos etapas, que se corresponde con TSLS (Two-Stage

Least Squares) e indicaremos la lista de variables instrumentales:

Las estimaciones MC2E se realizan con unas variables seleccionadas para la primera etapa

(variables instrumentales indicadas en la salida correspondiente) que han sido para todas las

ecuaciones CG86, GINGCO, PCP y SVCP, a las que se han añadido las predeterminadas

propias de cada ecuación. Para cada ecuación propuesta obtenemos los resultados de la

estimación por MC2E en formato similar al que ya estamos habituados. Por ejemplo, para la

ecuación de consumo:

A continuación recogemos, en forma resumida, para lo que seleccionamos en la ventana de

ecuación VIEW / REPRESENTATIONS, las diferentes ecuaciones estimadas por TSLS:

de 9

En la tabla siguiente resumimos la lista de variables instrumentales utilizada en cada ecuación:

Ecuación Variables instrumentales utilizadas

Consumo: CP86EQT C, CG86, GINGCO, PCP, SVCP, CP86(-1), ALP86 Inversión: IVPT86EQT C, CG86, GINGCO, PCP, SVCP, Z93, IVPT86(-1) Exportaciones: EXGS86EQT C, CG86, GINGCO, PCP, SVCP, GDPW, REERCM Importaciones: IMGS86EQT C, CG86, GINGCO, PCP, SVCP, REERCM, ZCEE, Z97 Pagos por intereses: GINTEEQT C, CG86, GINGCO, PCP, SVCP, TLELEC(-1), TLELEC(-2),

TLELEC(-3), TLELEC(-4) Créditos: CRESPEQT C, CG86, GINGCO, PCP, SVCP, ALP, IVPT86(-1) Interés: TLELECEQT C, CG86, GINGCO, PCP, SVCP, VCIR, ZCONV

Si nos fijamos en el cuadro siguiente donde comparamos los coeficientes obtenidos con los

previamente estimados, observamos una similitud acusada de los valores calculados por ambos

métodos. Para la ecuación de importaciones, los coeficientes son prácticamente iguales por no

existir endógenas explicativas en la misma, con lo que no se justifica el uso de MC2E en este

caso.

de 10

Comparación de coeficientes estimados por MCO y MC2E (coeficientes redondeados con dos decimales, excepto no significativos a este nivel de

precisión) Ecuación

C(1)

C(2)

C(3)

C(4)

C(5)

C(6)

C(7)

LS CP86 TSLS CP86

1432.65 2223.16

0.18 0.11

0.01 0.01

0.56 0.59

LS IVPT86 TSLS IVPT86

852.53 1125.44

0.06 0.06

-30.49 -48.70

-1252.38 -1250.63

0.66 0.62

LS EXGS86 TSLS EXGS86

653.01 632.78

91.74 91.63

-13.10 -12.85

1.16 1.16

LS IMGS86 TSLS IMGS86

-4627.58 -4593.22

0.23 0.23

22.82 22.95

559.58 561.95

1354.38 1351.48

LS GINTE TSLS GINTE

-165.52 -154.87

0.11 0.11

2.60 2.39

4.16 3.82

4.69 4.30

4.16 3.82

2.60 2.39

LS CRESP TSLS CRESP

-3797.03 -3800.81

0.08 0.08

-0.44 -0.45

0.77 0.76

LS TLELEC TSLS TLELEC

-14.68 -15.44

1.72 1.59

0.00012 0.00008

0.63 0.88

-0.85 -0.45

Para solucionar el modelo en su conjunto es necesario partir de un fichero de texto que contenga

todas las ecuaciones. En el menú principal de EViews seleccionamos OBJECTS / NEW

OBJECT y aquí elegimos MODEL y le damos un nombre, en nuestro caso, MODELOMCO.

Nos aparece una ventana en blanco (MODELOMCO) en la que iremos copiando las ecuaciones

con los coeficientes sustituidos (Substituted Coefficients) que aparecen en la ventana de cada

ecuación. Así, por ejemplo abrimos la ventana de la ecuación de consumo estimada por MCO

(CP86EQ) y seleccionamos VIEW / REPRESENTATIONS. Nos aparecen tres formas de

especificar la ecuación, nos situamos en la última (Substituted Coefficients ) que marcamos

moviéndonos con el ratón manteniendo pulsado el botón izquierdo. A continuación tecleamos

Control+C o bien seleccionamos en el menú principal de EViews EDIT / COPY. Nos situamos

en la ventana en blanco del modelo (MODELOMCO) y pulsamos Control+V, o bien, EDIT /

PASTE. Previamente, en esta ventana del modelo habremos escrito ASSIGN @ALL M, para

que a todas las variables endógenas se les asigne su nombre seguido de la letra M cuando se

resuelva el modelo, con el objeto de no perder la información inicial de las variables.

de 11

Procedemos igual con las seis ecuaciones de comportamiento restantes estimadas por MCO.

Directamente, escribiremos el resto de ecuaciones (identidades) que nos falta para completar el

modelo, procurando seguir un orden lógico en la confección del modelo. Este orden en la

colocación de las ecuaciones, que se realiza a juicio del modelizador, debe procurar que se

sitúen en primer lugar las ecuaciones que dependen tan sólo de exógenas, ubicando después las

que incluyan como explicativas a endógenas retardadas. Finalmente, se escribe la ecuación

objetivo principal del modelo, es decir, la que estima el PIB:

Para resolver el modelo, después de comprobar que, efectivamente, todas las variables

exógenas contienen valores en el periodo de predicción (1998-2000), seleccionamos en la

ventana del modelo la opción SOLVE. Nos aparece una ventana en la que indicamos el periodo

para el que será resuelto el modelo completo, en nuestro caso, el periodo de predicción: 1998-

2000.

de 12

Dependiendo del número de ecuaciones y de la complejidad de las mismas, y por supuesto de la

capacidad del ordenador, EViews tardará más o menos en alcanzar una solución de

convergencia. En la línea de status del programa (en la parte inferior izquierda) nos indicará el

número de iteraciones que ha necesitado. Nos seguirá apareciendo la ventana con el modelo, en

la que ahora seleccionamos ENDOG, que nos muestra los valores obtenidos para las variables

endógenas (con el nombre inicial acabado en M) después de resolverse el modelo.

Como resultado, y después de varias iteraciones para encontrar los valores de equilibrio, en

nuestro caso siete, en pantalla aparecerán las predicciones, de las que seleccionamos un primer

grupo de variables:

PREDICCIONES MODELOMCO

GDPM86M CP86M IVPT86M EXGS86M IMGS86M 1998 46.717,28 28.747,57 9.369,44 17.346,65 17.582,07 1999 49.345,24 30.054,49 9.907,53 19.242,22 18.886,19 2000 52.319,95 31.402,45 10.372,94 21.508,66 20.188,99

Nota: Unidades en miles de millones de pesetas constantes, año 1986.

y en forma similar para las restantes endógenas, todas ellas seguidas de la letra M, indicativo de

que la predicción se ha hecho con el modelo estimado por MCO.

Podemos, igualmente, obtener predicciones ajustando los valores de predicción con los errores

del ajuste cometidos por el modelo para 1997 y manteniéndolos constantes para el futuro. Para

ello, en el menú del workfile, nos situamos encima del objeto MODELOMCO y seleccionamos

OBJECT / COPY SELECTED, donde realizamos una copia del modelo que contiene las

ecuaciones de comportamiento estimadas por MCO y el resto de identidades.

La copia del modelo se llamará MODELOMCOR, nombre al que hemos añadido la R final para

indicar que contendrá los ajustes de los residuos, es decir, en cada ecuación de comportamiento

añadiremos el residuo correspondiente que grabamos en su momento: RCP (consumo), RIV

(inversión), REX (exportaciones), RIM (importaciones), RGI (pagos por intereses), RCR

(créditos), RTL (intereses).

de 13

Al igual que antes, seleccionamos SOLVE e indicamos el periodo de predicción para que se

resuelva el modelo. En la primera línea hemos indicado, con ASSIGN @ALL MR, que añada

las letras MR al final del nombre de cada endógena, de forma que nos sea fácil recordar que la

M es por MCO y la R por los residuos.

Las nuevas predicciones, con factor de ajuste incorporado, difieren lógicamente de las obtenidas

previamente:

PREDICCIONES CON FACTOR DE AJUSTE MODELOMCOR

GDPM86MR CP86MR IVPT86MR EXGS86MR IMGS86MR 1998 46.837,67 28.624,17 9.299,45 17.688,43 17.610,07 1999 49.749,46 29.912,84 9.809,88 19.979,77 18.980,22 2000 53.143,41 31.326,16 10.268,42 22.704,48 20.380,54


Procedemos, ahora, a seguir los mismos pasos comentados para construir un modelo que

contenga las ecuaciones estimadas previamente por TSLS. Ahora partimos del modelo ya

construido, es decir, en la ventana del modelo MODELOMCO pulsamos OBJECTS / COPY

OBJECT y hacemos una copia de él, que denominamos MODELOMC2E. En el nuevo modelo

(MODELOMC2E) simplemente tenemos que sustituir las ecuaciones de consumo (CP86),

inversión (IVPT86), exportaciones (EXGS86), importaciones (IMGS86), pagos por intereses

(GINTE), créditos (CRESP) y tipos de interés (TLELEC) por las correspondientes estimadas

por MC2E. Esta operación de reemplazo la realizamos en forma similar a como cuando creamos

el modelo MODELOMCO, es decir, abriendo cada ventana de ecuación (cuyo nombre finaliza

de 14

en EQT, por ejemplo, la ecuación MC2E de consumo es CP86EQT), seleccionando VIEW /

REPRESENTATION, eligiendo la especificación de coeficientes sustituidos, editando con

Control+C y luego Control+V. De esta forma, tenemos ahora el modelo completado con las

ecuaciones de MC2E para poder simular con él. En la primera línea indicamos que asigne una

letra final T (que asociamos con la forma de estimación, por TSLS) al nombre de todas las

endógenas:

Para resolver el modelo, igual que antes, seleccionamos SOLVE e indicamos el periodo de

predicción (1998-2000). Obtenemos automáticamente predicciones para todas las variables

endógenas, de las que seleccionamos cinco:

PREDICCIONES MODELOMC2E

GDPM86T CP86T IVPT86T EXGS86T IMGS86T 1998 46.669,44 28.572,22 9.493,22 17.337,82 17.569,51 1999 49.190,82 29.656,30 10.132,37 19.222,64 18.847,68 2000 51.988,98 30.723,24 10.673,32 21.474,84 20.107,31


Para completar el proceso, creamos un nuevo modelo MODELOMC2ER como copia de

MODELOMC2E, como ya sabemos hacer (OBJECTS / COPY SELECTED), en el que

añadiremos a cada ecuación de comportamiento el error (residuo) del año 1997. Los residuos de

las ecuaciones estimadas por mínimos cuadrados en dos etapas se guardaron inmediatamente

después de estimarlas, con la opción PROCS / MAKE RESIDUAL SERIES, con el mismo

nombre que tenían los correspondientes a las ecuaciones de MCO pero añadiendo un 2 al final,

es decir, RCP2, RIV2, REX2, RIM2, RGI2, RCR2 y RTL2.

de 15

Las predicciones para las cinco principales macromagnitudes, después de resolver el modelo

con SOLVE para el periodo 1998-2000, ahora con factor de ajuste incorporado se recogen en el

cuadro siguiente:

PREDICCIONES CON FACTOR DE AJUSTE MODELOMC2ER

GDPM86TR CP86TR IVPT86TR EXGS86TR IMGS86TR 1998 46.780,82 28.506,24 9.347,11 17.687,00 17.595,22 1999 49.574,87 29.578,74 9.929,56 19.975,74 18.936,36 2000 52.775,13 30.680,39 10.463,51 22.695,18 20.288,84


Tenemos, pues, dos modelos (uno, con ecuaciones de comportamiento estimadas por MCO y,

otro, en que se han estimado por MC2E) y cuatro predicciones (las correspondientes a cada uno

de los dos modelos más las dos variantes incluyendo los errores del último año histórico como

factores de ajuste). Cada predicción, además, es diferente de las anteriores, por lo que el

modelizador debe elegir cuál de ellas es la más apropiada.

Naturalmente, las predicciones deben compararse con la evolución anterior de la serie y pasar al

análisis de las mismas. De hecho, resulta evidente que algunos resultados deben justificarse

antes de darlos por definitivos. Además, el primer elemento de perturbación está en que si, por

ejemplo, calculamos las tasas reales de crecimiento, la correspondiente a 1998 se calcularía

comparando un valor de predicción de un año (por ejemplo, GDPM86TR) con un valor real

(GDPM86) del año precedente y no con el correspondiente de predicción.

Por otro lado, las predicciones están totalmente condicionadas a los valores supuestos para las

exógenas durante el periodo de predicción. Unos valores poco congruentes pueden dar lugar a

de 16

una mala predicción, incluso con un buen modelo. Pero, además, al resolver conjuntamente el

modelo, cualquier defecto de funcionamiento en una ecuación puede transmitirse a otras

variables endógenas y realimentar posibles errores.

Por todo ello, es habitual el realizar, antes de una auténtica predicción a futuro, un análisis

previo de los resultados que hubiera dado el modelo para un periodo histórico conocido. A tales

efectos, hemos preparado una nueva simulación, ahora para el periodo 1992-2000, que deja al

modelo funcionando libremente a partir de 1992 (simulación dinámica).

Para realizar una simulación que abarque parte del periodo histórico, hemos efectuado una copia

del modelo MODELOMC2E denominada MODELOMC2EH. En este modelo hemos indicado:

ASSIGN @ALL H, para que asigne a cada endógena su nombre terminado en la letra H, de

forma que al simular con el modelo no perdamos los datos iniciales de las variables. Con la

instrucción SOLVE hemos resuelto el modelo indicando como periodo el comprendido entre

los años 1992 y 2000, ambos incluidos.

Después de siete iteraciones, necesarias para calcular los valores de equilibrio según el

algoritmo de Gauss-Seidel, obtenemos las tablas de resultados como la siguiente, para las

mismas variables antes consideradas:

SIMULACIÓN 1992-2000 MODELOMC2ER

GDPM86H CP86H IVPT86H EXGS86H IMGS86H 1992 39.648,64 25.649,91 8.185,62 8.742,28 11.454,99 1993 39.426,66 25.815,60 7.034,59 9.530,46 11.634,77 1994 40.741,47 26.212,71 7.656,74 10.623,56 12.389,11 1995 42.160,42 26.887,01 8.250,73 11.769,81 13.424,38 1996 43.503,06 27.596,66 8.791,71 13.060,31 14.425,10 1997 44.294,19 28.160,61 9.277,12 14.632,77 16.395,26 1998 46.297,16 28.920,64 9.819,12 16.205,25 17.483,54 1999 48.426,51 29.795,53 10.362,43 17.912,54 18.671,19 2000 50.886,54 30.700,72 10.854,30 19.959,38 19.852,74


Podemos comparar los valores obtenidos con los correspondientes reales de las variables. Los

errores cometidos, por ejemplo, para los dos primeros años de predicción (histórica) son los

siguientes:

PORCENTAJE DE ERROR MEDIO GDPM86 CP86 IVPT86 EXGS86 IMGS86

1992 1.32 1.81 -3.61 0.97 1.29 1993 0.71 -1.07 -1.96 0.51 -5.76

Vemos, pues, cuáles son las predicciones menos ajustadas (inversión e importaciones) y

podemos tomar una decisión sobre la operatividad de utilizar el modelo en el estado actual

de 17

como herramienta de predicción, por ejemplo, del PIB agregado, con errores iniciales del orden

del 1 por 100.

En caso de que se quisiera utilizar el modelo actual, sin nuevos perfeccionamientos, a efectos de

predicción, pero ajustado por los errores cometidos en el último año conocido, podríamos

emplear el modelo MODELOMC2ER que, como hemos visto, recalcula la solución inicial,

añadiendo para cada ecuación el residuo calculado en cada ecuación individual.

Después de obtener las distintas predicciones y de chequear el comportamiento del modelo en

un periodo histórico, comprobamos que los resultados no son del todo satisfactorios. Por

ejemplo, y como hemos mencionado, si calculamos las tasas de variación de las predicciones

obtenidas, incluso con el factor de ajuste incorporado en la estimación conjunta, observamos

unas cifras de crecimiento del PIB poco admisibles en el momento actual, resultado,

principalmente, de una sobrevaloración de las exportaciones frente a una infravaloración futura

de las importaciones.

No obstante, aún podría perfeccionarse considerablemente el proceso de predicción, no sólo

mejorando el modelo, sino también profundizando en la valoración a futuro de las exógenas e

incluso mejorando la asignación del término de error. Téngase en cuenta, en este punto, que los

ajustes de las ecuaciones individuales no coinciden con el ajuste necesario para cada ecuación

en una resolución simultánea del modelo. Aunque todo este proceso de mejora nos llevaría ya al

campo de una utilización muy profesionalizada, fuera del objetivo del presente capítulo, vamos

a dar un paso más en el perfeccionamiento de este modelo.

Como decíamos, los resultados agregados que conducen a la obtención del PIB, como suma de

sus componentes, no satisfacen nuestros objetivos, es decir, no se corresponden con lo que

cabría esperar a priori, teniendo en cuenta la evolución actual de la economía española y el

contexto europeo e internacional. Comprobamos que la raíz de este funcionamiento, no del todo

correcto, del modelo conjunto se encuentra en la ecuación de importaciones, pues, bajo nuestro

punto de vista, proporciona predicciones con un cierto sesgo a la baja. La explicación, además,

acerca de estas predicciones de las importaciones que, en el momento actual, podrían calificarse

como pesimistas, puede que se encuentre en la propia evolución estimada para la variable

exógena de tipo de cambio (REERCM). Tenemos entonces la opción de modificar los datos de

esta variable o bien proceder con otra alternativa que vamos a llevar a cabo, consistente en

modificar los ajustes iniciales incorporados en cada ecuación, por suponer que no coinciden con

el ajuste necesario para la resolución conjunta del modelo.

Nos vamos a centrar en los ajustes correspondientes a las ecuaciones de consumo, inversión,

exportaciones e importaciones. Generamos unos nuevos términos de error asociados a cada

ecuación que denominamos, respectivamente, RCP3, RIV3, REX3 y RIM3. Tras varias pruebas

alternativas, en las que interviene de forma decisiva la opinión del modelizador, en este caso,

nuestra propia valoración de la situación económica, decidimos lo siguiente. El nuevo factor de

de 18

ajuste de la ecuación de consumo (RCP3) tomará los siguientes valores en el periodo de

predicción: en el año 1998, dos tercios del residuo del año 1997 (-76,31), porque pensamos que

la corrección debe ser menor al esperarse un mayor consumo, y en los años 1999 y 2000, el

valor del residuo del año 1997, que supone prever una cierta desaceleración del consumo. Para

el ajuste de inversión (RIV3), mantenemos en los años de predicción (1998-2000) el mismo

residuo, que calculamos como el promedio del residuo observado en el periodo 1995-97, y que

resulta ser –65,99. En la ecuación de exportaciones, el factor de ajuste (REX3) será el mismo en

todo el periodo 1998-2000 e igual al error de estimación del año 1997 pero ahora con signo

negativo (-349.19), porque consideramos que las predicciones que se obtenían para las

exportaciones estaban sobrevaloradas. Finalmente, el proceso más complicado lo tenemos con

la ecuación de importaciones. En primer lugar, el residuo estimado del año 1997 resultó ser

cercano a cero, al tener incorporada la ecuación una variable ficticia (Z97) que contribuyó a

ajustar de forma muy precisa las variables endógena real y su estimada. Por ello, decidimos que

el valor del factor de ajuste (RIM3) en 1998 sea equivalente a 1,5 veces el residuo del año 1996

(350,97), es decir, 526,45. A partir de aquí, iniciamos un proceso dinámico, pues consideramos

que el error estimado para el año 1999 (1.158,19), será 2,2 veces el del año 1998, y el del año

2000, dos veces el estimado para el año 1999, luego 2.316,37.

Para realizar la nueva simulación, hacemos una copia del último modelo utilizado

(MODELOMC2ER) con OBJECTS / COPY SELECTED, de forma que el nuevo modelo se

denomina MODELOMC2ERA, al que añadimos la letra A que nos recuerda a residuos

ajustados. En este nuevo modelo, hacemos los siguientes cambios. En la instrucción ASSIGN,

reemplazamos la terminación TR de las variables estimadas por RA. En la ecuación de consumo

añadimos RCP3 en lugar de RCP2; en la ecuación de inversión, cambiamos RIV2 por RIV3;

REX3 en lugar de REX2 en la ecuación de exportaciones y, por último, reemplazamos RIM2

por RIM3 en la ecuación de importaciones. Luego mantenemos los factores de ajuste de las

ecuaciones de pagos por intereses (RGI2), créditos (RCR2) e intereses (RTL2). El modelo

queda definido, pues, como sigue:

de 19

Como ya es habitual, utilizamos la instrucción SOLVE para resolver el modelo en el periodo de

predicción (1998-2000) y obtenemos las siguientes predicciones:

PREDICCIONES CON FACTOR DE AJUSTE SUBJETIVO MODELOMC2ERA

GDPM86RA CP86RA IVPT86RA EXGS86RA IMGS86RA 1996 42.715,35 26.701,91 8.341,35 13.604,85 14.594,18 1997 44.224,11 27.531,64 8.788,73 15.611,86 16.379,07 1998 45.921,74 28.441,67 9.579,06 16.988,63 17.923,30 1999 47.537,97 29.327,91 10.337,54 18.469,52 19.624,20 2000 48.923,21 30.129,41 11.030,18 20.254,48 21.715,75


Comprobamos cómo las nuevas predicciones obtenidas difieren sensiblemente de las obtenidas

en las cuatro simulaciones previas. Para analizar el grado de ajuste de nuestras predicciones con

la valoración de la situación económica actual, hemos incluido en el cuadro la información

histórica relativa a los años 1996 y 1997 para proceder al cálculo de las tasas de crecimiento.

PREDICCIONES CON FACTOR DE AJUSTE SUBJETIVO MODELOMC2ERA

GDPM86RA CP86RA IVPT86RA EXGS86RA IMGS86RA 1997 3.5 3.1 5.4 14.8 12.2 1998 3.8 3.3 9.0 8.8 9.4 1999 3.5 3.1 7.9 8.7 9.5 2000 2.9 2.7 6.7 9.7 10.7

Nota: Unidades en tasas de variación anual real (pesetas constantes, año 1986).

de 20

En términos de las tasas de variación anual, resulta más inmediato analizar los resultados

obtenidos. Nuestro modelo final para aproximarnos al comportamiento de la economía española

(MODELOMC2ERA), después de cuatro versiones anteriores (MODELOMCO,

MODELOMCOR, MODELOMC2E y MODELOMC2ER), necesariamente simplificado y, por

tanto, con las limitaciones que conlleva, nos ofrece unas previsiones que pueden calificarse

como aceptables, según la valoración actual del entorno económico nacional. Prevé una cierta

desaceleración del ritmo de crecimiento del PIB en el horizonte de predicción, que habría

alcanzado su techo en el año 1998.

Podemos dar un paso más y atrevernos a comparar las predicciones obtenidas con nuestro

sencillo modelo con las correspondientes a un modelo profesional. Elegimos para ello, las

predicciones realizadas en diciembre de 1998 por el modelo Wharton-UAM, del Instituto de

Predicción Económica Lawrence R. Klein /CEPREDE. Este modelo seleccionado no tiene ni

punto de comparación con el elaborado en este caso práctico, pues consta de más de mil

ecuaciones repartidas entre siete bloques que permiten predecir desde tipos de cambio hasta

valores añadidos y empleo, con más de mil variables de las que unas doscientas son exógenas.

PREDICCIONES DEL MODELO WHARTON-UAM INSTITUTO L.R.KLEIN/CEPREDE

GDPM86RA CP86RA IVPT86RA EXGS86RA IMGS86RA 1997 3.5 3.1 5.4 14.8 12.2 1998 3.8 3.4 8.9 10.0 11.8 1999 3.3 3.1 8.6 8.1 10.4 2000 2.7 2.5 7.4 8.3 9.8

Nota: Unidades en tasas de variación anual real (pesetas constantes, año 1986). Diciembre, 1998

Con algunos matices en la evolución prevista para los componentes del PIB, ambas

predicciones coinciden en señalar una pauta descendente en la actividad económica.

Por último, hemos preparado una simulación adicional que permite para un mismo año (1998)

realizar predicciones alternativas según valores diversos asignados a alguna exógena en

particular. Dado que todo modelo del tipo propuesto puede interpretarse en términos del modelo

teórico IS-LM, bien conocido por los economistas, se ha fraccionado el modelo total

(MODELOMC2ER) en dos submodelos diferentes. El primero corresponde a la desagregación

de la igualdad ahorro/inversión, con tipo de interés (r) y renta (Y) como variables explicativas:

S(r,Y) = I(r,Y) (1)

El segundo, a la igualdad demanda/oferta de dinero

M = L(r,Y) (2)

Nuestro modelo IS (MODELOIS) está compuesto por todas las ecuaciones del especificado

anteriormente (MODELOMC2ERA), excepto las que corresponden a las endógenas de

velocidad de circulación (VCIR) y tipo de interés (TLELEC). Con este modelo, puede verse

de 21

cómo diferentes tipos de interés pueden afectar sobre el crecimiento (hemos supuesto

alternativamente TLELEC = 3 por 100, 4 por 100 y 5 por 100).

Por otra parte, nuestro modelo LM (MODELOLM) recoge las dos ecuaciones restantes (VCIR y

TLELEC) y permite analizar para distintos valores del PIB, alrededor de la predicción básica

del año (por ejemplo, 45.500, 46.000 y 46.500), su efecto sobre los tipos de interés.

Para resolver los dos submodelos con relación a las tres alternativas, procedemos de la siguiente

forma. Realizamos una copia del modelo inicial (MODELOMC2ERA), con OBJECTS /

COPY SELECTED, o dentro del menú de la ventana de este modelo, con OBJECTS / COPY

OBJECT, a la que denominamos (con NAME) MODELOIS1. En este nuevo modelo

suprimimos las ecuaciones de VCIR y TLELEC, y en la primera línea, justo después de la

instrucción ASSIGN, indicamos los valores que tomarán TLELEC y VCIR en el año 1998 en

una primera simulación. El valor de VCIR se mantendrá constante en 8,2, correspondiente a su

estimación con el último modelo (MODELOMC2ERA), en las tres simulaciones que vamos a

realizar. Como ya hemos comentado, TLELEC, tomará un valor diferente para el año 1998 en

cada simulación, en esta primera, 3. Mostramos, a continuación, la primera parte del

mencionado modelo nuevo.

Con la tecla de simulación (SOLVE) resolvemos el modelo para el año 1998 exclusivamente,

y después de siete iteraciones ya tenemos nuestras estimaciones, que vendrán recogidas en las

variables cuyo nombre termina en IS1, tal y como indicamos en la instrucción ASSIGN de este

modelo.

Para repetir la simulación del año 1998 con un nuevo valor fijo de TLELEC, realizamos una

copia de este último modelo y la nombramos como MODELOIS2. Cambiamos el valor anterior

de 22

de TLELEC por 4, asignamos a las variables estimadas una terminación en IS2, y procedemos

igual que antes a la resolución conjunta del modelo en el año 1998 con SOLVE.

Finalmente, realizamos una tercera copia del modelo, que se denomina MODELOIS3. Ahora

TLELEC toma el valor 5 y las variables estimadas terminarán en IS3.

Los resultados obtenidos en las tres simulaciones realizadas con el modelo IS son,

SIMULACIÓN CON EL MODELO IS 1998 GDPM86 TLELEC

MODELOIS1 45964.84 3 MODELOIS2 45920.93 4 MODELOIS3 45877.03 5

Nota: GDPM86 en miles de millones de pesetas constantes, año 1986. TLELEC en puntos de porcentaje.

indicativos del efecto negativo de una elevación del tipo de interés sobre el crecimiento

(particularmente vía desincentivo de inversiones).

Por su parte, para el modelo LM, hemos creado uno (MODELOLM1) que contiene tan sólo dos

ecuaciones, la identidad para VCIR y la ecuación de comportamiento para TLELEC estimada

por MC2E con su correspondiente residuo añadido (RTL2). En la instrucción ASSIGN

indicamos que las variables estimadas terminarán en LM1. En esta primera simulación, el PIB

tomará el valor de 45.500 en el año 1998 y para la variable CRESP, que actúa como exógena en

la ecuación de TLELEC, hemos aceptado como válido el valor de estimación obtenido para esta

variable en la resolución conjunta del modelo MODELOMC2ERA.

de 23

Al igual que antes, resolvemos el modelo (SOLVE) para el año 1998, y al ser tan pequeño (dos

ecuaciones) EViews necesita tan sólo una iteración para encontrar la solución de convergencia.

Como hicimos para las simulaciones con el modelo IS, creamos dos copias adicionales del

modelo LM, MODELOLM2 y MODELOLM3, que se diferencian exclusivamente en el valor

asignado a la variable del PIB (GDPM86), 46.000 y 46.500, y en la terminación del nombre que

tendrán las variables estimadas, LM2 y LM3, respectivamente.

Las simulaciones realizadas con el modelo LM arrojan los siguientes resultados:

SIMULACIÓN CON EL MODELO LM 1998 TLELEC GDPM86

MODELOLM1 3,86 45.500 MODELOLM2 4,00 46.000 MODELOLM3 4,14 46.500

Nota: GDPM86 en miles de millones de pesetas constantes, año 1986. TLELEC en puntos de porcentaje.

que reflejan cómo un crecimiento de 500.000 millones de pesetas de 1986 en el PIB

(aproximadamente, un 1,1 por 100) puede incidir en una elevación del tipo de interés (vía

demanda de dinero por una mayor actividad) cercana a una o dos décimas, es decir, un

crecimiento del 3,5% aproximado en los tipos de interés, de aceptarse los resultados del modelo

propuesto.

Naturalmente, el punto de equilibrio IS/LM correspondería a la solución conjunta del modelo

íntegro, ya analizada con anterioridad. Las curvas IS y LM deducidas del modelo propuesto se

representan en el siguiente gráfico.

CURVA L-M

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

45000 45500 46000 46500 47000GDPM86

TLELEC CURVA I-S

Como en el caso anterior, se puede recuperar el fichero SERIES.wf1 que es el nombre asignado

a un fichero que contiene todas las series a utilizar tanto en el CASO 3 como en el CASO 4.

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También puede comprobar por sí mismo todos los pasos recuperando en EViews el fichero de

trabajo 3caso_aplicacion4.wf1, que contiene tanto las series utilizadas como las ecuaciones

estimadas. Así, al abrir el fichero en el programa Econometric Views nos encontramos con las

siguientes ventanas:

OBJETOS DEL FICHERO DE EVIEWS: 3caso_aplicacion4.wf1 NOMBRE CONTENIDO CP86EQ Ecuación MCO para el consumo privado. IVPT86EQ Ecuación MCO para la inversión. EXGS86EQ Ecuación MCO para las exportaciones. IMGS86EQ Ecuación MCO para las importaciones. GINTEEQ Ecuación MCO para los pagos por intereses. CRESPEQ Ecuación MCO para los créditos. TLELECEQ Ecuación MCO para el tipo de interés. CP86EQT Ecuación MC2E para el consumo privado. IVPT86EQT Ecuación MC2E para la inversión. EXGS86EQT Ecuación MC2E para las exportaciones. IMGS86EQT Ecuación MC2E para las importaciones. GINTEEQT Ecuación MC2E para los pagos por intereses. CRESPEQT Ecuación MC2E para los créditos. TLELECEQT Ecuación MC2E para el tipo de interés. RCP Residuos de la ecuación MCO de consumo. RIV Residuos de la ecuación MCO de inversión. REX Residuos de la ecuación MCO de exportaciones. RIM Residuos de la ecuación MCO de importaciones. RGI Residuos de la ecuación MCO de pagos por intereses. RCR Residuos de la ecuación MCO de créditos. RTL Residuos de la ecuación MCO de tipos de interés. RCP2 Residuos de la ecuación MC2E de consumo. RIV2 Residuos de la ecuación MC2E de inversión. REX2 Residuos de la ecuación MC2E de exportaciones. RIM2 Residuos de la ecuación MC2E de importaciones. RGI2 Residuos de la ecuación MC2E de pagos por intereses. RCR2 Residuos de la ecuación MC2E de créditos. RTL2 Residuos de la ecuación MC2E de tipos de interés. RCP3 Residuos ajustados para la ecuación de consumo. RIV3 Residuos ajustados para la ecuación de inversión. REX3 Residuos ajustados para la ecuación de exportaciones. RIM3 Residuos ajustados para la ecuación de importaciones. TABLA1 Resultados de la estimación MC2E del modelo para el consumo privado. TABLA2 Resultados de la estimación MC2E del modelo para la inversión. TABLA3 Resultados de la estimación MC2E del modelo para las exportaciones. TABLA4 Resultados de la estimación MC2E del modelo para las importaciones. TABLA5 Resultados de la estimación MC2E del modelo para el pago de intereses. TABLA6 Resultados de la estimación MC2E del modelo para los créditos. TABLA7 Resultados de la estimación MC2E del modelo para el tipo de interés. MODELOMCO Modelo conjunto con identidades y ecuaciones de comportamiento (MCO). MODELOMCOR Modelo conjunto con identidades y ecuaciones de comportamiento (MCO) con factor de

ajuste. MODELOMC2E Modelo conjunto con identidades y ecuaciones de comportamiento (MC2E). MODELOMC2ER

Modelo conjunto con identidades y ecuaciones de comportamiento (MC2E) con factor de ajuste.

MODELOMC2EH

Modelo conjunto con identidades y ecuaciones de comportamiento (MC2E) para resolverse en periodo histórico.

MODELOMC2ERA

Modelo conjunto con identidades y ecuaciones de comportamiento (MC2E) con factor de ajuste subjetivo.

de 25

MODELOIS1 Modelo IS para resolver la primera simulación de TLELEC. MODELOIS2 Modelo IS para resolver la segunda simulación de TLELEC. MODELOIS3 Modelo IS para resolver la tercera simulación de TLELEC. MODELOLM1 Modelo LM para resolver la primera simulación de GDPM86. MODELOLM2 Modelo LM para resolver la segunda simulación de GDPM86. MODELOLM3 Modelo LM para resolver la tercera simulación de GDPM86. GRUPO1 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOMCO. GRUPO2 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOMCOR. GRUPO3 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOMC2E. GRUPO4 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOMC2ER. GRUPO5 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOMC2EH. GRUPO6 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOMC2ERA. GRUPO7 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOIS1. GRUPO8 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOIS2. GRUPO9 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOIS3. GRUPO10 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOLM1. GRUPO11 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOLM2. GRUPO12 Predicciones obtenidas con el modelo MODELOLM3.

VARIABLES CONTENIDAS EN EL FICHERO DE EVIEWS SERIES.wf1

NOMBRE DESCRIPCIÓN ALP Activos líquidos en manos del público. ALP86 Activos líquidos en manos del público, en pesetas constantes de 1986. CG Consumo público. CG86 Consumo público en pesetas constantes de 1986. CP86 Consumo privado en pesetas constantes de 1986. CRESP Créditos concedidos al sector privado. EXGS86 Exportaciones de bienes y servicios en pesetas constantes de 1986. FINAR Capacidad de financiación de las empresas. FING Capacidad/Necesidad de financiación de las Administraciones Públicas. GDD86 Renta disponible neta de impuestos. GDEFA Déficit acumulado de las Administraciones Públicas. GDPM86 Producto interior bruto a precios de mercado en pesetas constantes de 1986. GDPW Producto interior bruto mundial en tasas de variación anual. GINTE Pagos por intereses de la deuda pública. GIVT Inversión pública. GIVT86 Inversión pública en pesetas constantes de 1986. GOGAS Otros gastos corrientes de las Administraciones Públicas. IMGS86 Importaciones de bienes y servicios en pesetas constantes de 1986. IVPT86 Inversión privada en pesetas constantes de 1986. KP86 Stock de capital privado. PCG Deflactor del consumo público. PCP Deflactor del consumo privado. PGIVT Deflactor de la inversión pública. PIVPT Deflactor de la inversión privada. REERCM Tipo de cambio efectivo real peseta/cesta de monedas. SVCP Excedente bruto de explotación de las empresas. TLELEC Tipos de interés de las obligaciones eléctricas. VCIR Velocidad de circulación del dinero. W86 Riqueza nacional. Z93 Variable ficticia referida a la crisis económica del año 1993. Z97 Variable ficticia referida al efecto del descenso en el precio de las materias primas a partir de

1997. ZCEE Variable ficticia referida a la incorporación de España a la CEE en 1986. ZCONV Variable ficticia referida a la aplicación de los criterios de convergencia.

unidad 3: modelos economÉtricos multiecuacionales caso de ... · encima de las variables de...

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