Contenido de la Unidad 2FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD22.1 CONJUNTOS Y TCNICAS DE CONTEO.2Notacin de conjuntos2Leyes del lgebra de conjuntos3Tcnicas de conteo.6Notacin Factorial.6Permutaciones.7Combinaciones.8Diagrama de rbol.92.2 CONCEPTO CLSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA.11Definicin clsica de probabilidad.11Definicin de probabilidad como frecuencia relativa. 122.3 ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.142.4 AXIOMAS Y TEOREMAS.142.5 ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE.152.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA.19Probabilidad Condicional.19Regla de Multiplicacin.22Regla de probabilidad total para dos eventos dependientes.22Independencia (Probabilidad conjunta).23Regla de multiplicacin de mltiples eventos (independientes).232.7 TEOREMA DE BAYES25Problemas resueltos.26Probabilidad Condicional en Espacios Finitos Equiprobables26Teorema de la multiplicacin.30Problemas Varios Sobre Probabilidad Condicional32Procesos Estocsticos Finitos34Independencia38

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD Probabilidad

Medida de la certidumbre que se le asocia a la ocurrencia u observacin de un fenmeno o al hecho de que una caracterstica de inters tome cierto valor.

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemtica que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios; o sea, regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser en particular el resultado del experimento.Ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extraccin de una carta de un mazo de naipes. Ms adelante se ver que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemticas o clsicas de las probabilidades experimentales o estadsticas.

LA PROBABILIDAD es el estudio de los fenmenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia. FENMENO: un fenmeno es la ocurrencia de un hecho o suceso. Los que nos interesan son aquellos fenmenos los cuales podemos observar. Ejemplos de experimentos; Lanzamiento de un dado, lanzamiento de una moneda, un mazo de cartas, bolas en una urna, etctera.EXPERIMENTO: es un fenmeno observable perfectamente definido.

2.1 CONJUNTOS Y TCNICAS DE CONTEO.

Conjuntos. Un conjunto es un grupo de objetos dentro de un todo definido y bien diferenciado: por ejemplo, un grupo de estudiantes, un juego de cartas, las cuentas de un collar, etc. [footnoteRef:1] [1: YAMANE, Taro. Estadstica Pg. 48]

Notacin de conjuntos

A, B, C, X, YConjunto

a, b, c, x, yElementos de un conjunto

1, 2, 3, 4, 5Elementos de un conjunto

A= a, b, c, dDefinicin de los elementos de un conjunto (forma tabular)

B= xx es parDefinicin de los elementos de un conjunto (forma constructiva)

CSubconjuntos de

Tal que

Elementos de, pertenece a

No es elemento de, No pertenece a

=Igual

Diferente

Mayor que

Menor o igual que

Mayor o igual que

UUnin

Interseccin

O, U, VDisyuncin

, Y, Conjuncin

Conjunto vaci

UConjunto universal

INConjunto de s naturales

Z Conjunto de s enteros

IRConjunto de s reales

No, Negacin

Para cada

Para todo

Si, Entonces

Si y solo si

No es subconjunto de

Ac, A'Complemento de

Leyes del lgebra de conjuntos

TIPOS DE CONJUNTOS

Conjunto Vaci o NuloEs aquel que no tiene elementos y se simboliza por o { }. A = {x2 + 1 = 0 | x _ R} El conjunto A, es un conjunto vaco por que no hay ningn nmero real que satisfaga a x2+1 = 0 Conjunto Universal: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una poblacin o universo, en un problema en especial. No es nico, depende de la situacin, denotado por U.

Leyes de idempotencia

1a AUA = A 1b AA = A

Leyes Asociativas2a (AUB) UC = AU (BUC)2b (AB) C = A(BC)

Leyes conmutativas3a AUB = BUA 3b AB = BA

Leyes Distributivas4a AU (BC) = (AuB) (AUC)4b A(BUC) = (AB) U (AC)

Leyes de identidades5a AU = A5b AU = A6a AU U = U6b A =

Leyes de complemento 7a AUAc = U7b AAc = 8a ( Ac) c = A8b U c = , c = U

Leyes de Morgan9a (AUB) c = A cBc9b (AB) c = A cuBc

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones, de acuerdo a los siguientes conjuntos.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

C= {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 23}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}

Solucin:

a) (A'UB') C' = 1, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22

(A'UB') = (AUB)' C' Resultado

b) (AUC) (AUB) =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

(AUC)AUBResultado

c) (A'B') U (A'C) = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

(A' B')= (AB) (A'uC)Resultado

d) (A'U )'(B'U U ') = 1, 3, 5, 7

A'U(A'U )' (B'U U ') =(B'U ) Resultado

e) C'B ('A') = 8, 10, 12

C' B C'B ('A') = (UA)'

Resultado

Tcnicas de conteo.

Las tcnicas de conteo generalmente se utilizan como un medio para determinar el total de resultados. Se clasifican en:

Notacin factorial. CombinacionesPermutacionesTeorema del binomio

Notacin Factorial.

El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con mucha frecuencia en matemticas y aqu lo denotamos por el smbolo especial n! (que se lee n factorial): [footnoteRef:2] [2: LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pg.16]

n!=(1) (2) (3).(n-2)(n-1)n

Conviene definir tambin 0!= 1

Ejemplo: 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

8! = 8 x 7 x 6! = 8 x 7 =56 6! 6!

12 x 11 x 10 = 12 x 11 x 10 x 9! 9!

Permutaciones.

Una ordenacin de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutacin de los objetos (tomados todos a la vez). [footnoteRef:3] [3: Idem]

Una ordenacin de un nmero r de dichos objetos, r n en una orden dado se llama una permutacin r o una permutacin de la n objetos tomados r a la vez. Son las distintas formas en que se pueden ordenar los elementos de un conjunto.

Ejemplo 1:Obtener el de permutaciones totales y realizarlas del siguiente conjunto tomando grupos de dos en dos.

A=a, b, c, d, e n=5r=2

5P2 = 5! 5! 5 x 4 x 3! === 20 (5-2)! 3! 3!

Permutaciones a, bb, ac, a d, a e, aa, cb, cc, b d, b a, ba, db, dc, d d, c e, ca, eb, ec, e d, e e, d

Combinaciones.

Supongamos que tenemos una coleccin de n objetos. Una combinacin de estos n objetos tomados r a la vez, o una combinacin r, es un subconjunto de r elementos. [footnoteRef:4] [4: LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pg.21]

Son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto tomando en cuenta que no influye el orden en que se colocan.

n C r = n = C n, r = n! r r! (n-r)!n = Total de elementosr = El grupo de elementos tomados del total

Ejemplo 1: Obtener el total de combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2 (5C2).

A = 1, 2, 3, 4, 5

5C2 = 5!= 5! = 5 x 4 x 3! = 20 = 10 2! (5-2)! 2! x 3! 2! x 3! 2 x 1

Combinaciones obtenidas:

1 ,2 2, 33, 4 4,51, 32, 43, 5 10 Combinaciones1, 42,5 1, 5Ejemplo 2:

Obtener el de combinaciones de 4C3 y obtener las combinaciones respectivas de:

A = A, B, C, D

4C3 = 4

A, B, CA, B, DA, C, D 4 CombinacionesB, C, D

Ejemplo 3: Obtener 5C3 y las respectivas combinaciones de:

A= K, L, M, N, O

5C3 = 10

CombinacionesK, L, ML, M, N,K, L, NL, M, OK, L, OL, N, O10 CombinacionesK, M, NM, N, OK, M, OK, N, O

Diagrama de rbol.

Los diagramas de rbol proporcionan un mtodo sistemtico de enumeracin de los resultados as como una presentacin visual. [footnoteRef:5] [5: STEVENSON, William J. Estadstica para Administracin y Economa. Pg. 93.]

Ejemplo 1:

Hallar el conjunto producto A X B X C en dnde.

A= 1, 2 B= a, b, c C= 3, 4

Usamos el diagrama de rbol siguiente:

Vemos que el diagrama de rbol se construye de izquierda a derecha y que el de ramas en cada punto es el de resultados posibles del experimento siguiente.

Ejemplo 2:Marcos y Enrique van a jugar un torneo de tenis. La primera persona que gane, dos juegos seguidos o quin gane un total de tres juegos, gana el torneo. Encuentre el de formas en cmo puede desarrollarse el torneo.

2.2 CONCEPTO CLSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA.

Definicin clsica de probabilidad.[footnoteRef:6] [6: CANAVOS George C. Probabilidad y Estadstica Aplicaciones y Mtodos Pg. 29]

El desarrollo inicial de la probabilidad se asocia con los juegos de azar. Por ejemplo, considrense dos dados que se distingan y que no estn cargados; el inters recae en los s que aparecen cuando se tiran los dados. En la tabla 1 se dan los 36 posibles pares de s.

Una caracterstica clave de este ejemplo, as como tambin de muchos otros relacionados con los juegos de azar, es que los 36 resultados son mutuamente excluyentes debido a que no puede aparecer ms de un par en forma simultnea. Los 36 resultados son igualmente probables puesto que sus frecuencias son prcticamente las mismas, si se supone que los dados no estn cargados y que el experimento se lleva a cabo un suficientemente grande de veces. Ntese que de los 36 resultados posibles, 6 dan una suma de 7, 5 dan una suma de 8, etc. Por lo tanto, puede pensarse de manera intuitiva que la probabilidad de obtener n par de s cuya suma sea 7 es la proporcin de resultados que suman 7 con respecta al total, en este caso 6/36. es importante que el lector comprenda que la proporcin 6/36 se obtiene nicamente despus de que el experimento se realiza un grande de veces, es decir, despus de efectuar el experimento muchas veces se observar que, alrededor de la 6ta parte de ste la suma de los s que aparecen es igual a 7. La proporcin 6/36 no significa que en tres tiradas, forzosamente una dar como resultado un 7. Para situaciones de este tipo es apropiada la siguiente definicin de probabilidad.

Definicin: Si un experimento que est sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes, y si nA de estos resultados tiene un atributo A, la probabilidad de A es la proporcin de nA con respecto a n.

TABLA 1 Posibles resultados que aparecen cuando se lanzan dos dados.

1, 11, 2 1, 31, 41, 51, 6

2, 1 2, 22, 32, 42, 52, 6

3, 13, 23, 33, 43, 53, 6

4, 14, 24, 34, 44, 54, 6

5, 1 5, 25, 35, 45, 55, 6

6, 16, 26, 36, 46, 56, 6

Definicin de probabilidad como frecuencia relativa. [footnoteRef:7] [7: CANAVOS George C. Probabilidad y Estadstica Aplicaciones y Mtodos Pg.30]

En muchas situaciones prcticas, los posibles resultados de un experimento no son igualmente probables. Por ejemplo, en una fbrica las oportunidades de observar un artculo defectuoso normalmente ser mucho ms rara que observar un artculo bueno. En este caso, no es correcto estimar la probabilidad de encontrar un artculo defectuoso mediante el empleo de la definicin clsica. En lugar de sta, en muchas ocasiones se emplea la interpretacin de la probabilidad como una frecuencia relativa.La interpretacin de una frecuencia relativa descansa en la idea de que un experimento se efecta y se repite muchas veces, y prcticamente bajo las mismas condiciones. Cada vez que un experimento se lleva a cabo, se observa un resultado. ste es impredecible dada la naturaleza aleatoria del experimento, la probabilidad de la presencia de cierto atributo se aproxima por la frecuencia relativa de los resultados que posee dicho atributo. Conforme aumenta la repeticin del experimento, la frecuencia relativa de los resultados favorables se aproxima al verdadero valor de la probabilidad para ese atributo. Por ejemplo: supngase que se desea determinar la proporcin de artculos defectuosos en un proceso de fabricacin. Para llevar a cabo lo anterior, se muestra un determinado de artculos; cada observacin constituye un experimento. Los resultados pueden clasificarse como defectuosos o no defectuosos. Si el proceso de fabricacin es estable, y asegura as las condiciones uniformes, al aumentar el de artculos muestreados, la frecuencia relativa de artculos defectuosos con respecto al de unidades muestreadas se aproximar cada vez ms a la verdadera proporcin de artculos defectuosos.Para ilustrar la interpretacin de la probabilidad como frecuencia relativa se simul en una computadora un proceso de muestreo de n unidades, suponiendo que el proceso de fabricacin produca un 5% de artculos defectuosos. Para cada n se observ que el de unidades defectuosas; los resultados se dan en la tabla 2 para valores de n entre 20 y 10,000. A partir de esto es razonable concluir que la frecuencia relativa tiende a un valor verdadero de 0.05 conforme n crece.

de unidades muestreadas (n) de unidades defectuosas observadasFrecuencia relativa

2020.10

5030.06

10040.04

200120.06

500280.056

1000540.054

2000970.0485

50002440.0488

100005040.0504

TABLA Resultados de un experimento simulado en la computadora.

2.3 ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.

Espacio Muestral: El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio.[footnoteRef:8] [8: MONTGOMERY, Douglas C. Probabilidad y Estadstica aplicadas a la ingeniera. Pg. 50]

Evento: Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.[footnoteRef:9] [9: Idem. Pg. 52]

Conjunto o evento

Conjunto o evento

Conjunto o evento

23Conjunto o evento

Resultados posibles

2.4 AXIOMAS Y TEOREMAS.[footnoteRef:10] [10: LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pg.40]

Axiomas: Verdades visibles.Teoremas: Son demostraciones matemticas.

Axioma 1: Para todo evento A, 0P(A) 1Axioma 2: P(S)=1; S = Espacio Muestral = Conjunto UniversalAxioma 3: Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces P(AUB)= P(A) + P(B)Axioma 4: Si A1, A2, es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces: P(A1UA2U)= P(A1) + P(A2) +

Teorema 1: Si es el conjunto vaco, entonces P()=0Teorema 2: Si A' es el complemento de un evento A, entonces P(A')= 1- P(A)Teorema 3: Si A CB, entonces P(A) P(B)

Teorema 4: Si A y B son dos eventos no excluyentes P(A /B) = Teorema 5: Si A y B son dos eventos no excluyentes P(AUB)= P(A) + P(B) P(AB)Para los eventos A, B, C.P(AUBUC)= P(A) +P(B) +P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)2.5 ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE.

Frecuentemente, las caractersticas fsicas de un experimento sugieren que se asignen iguales probabilidades a los diferentes resultados del espacio muestral. Un espacio finito S de probabilidad, donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad, se llamar espacio equiprobable o uniforme.[footnoteRef:11] En particular, si S contiene n puntos entonces la probabilidad de cada punto es 1/n. Adems, si un evento A contiene r puntos entonces es r * 1/n = r /n [11: Idem. Pg.42]

Ejemplo.Resuelve las probabilidades que se te presentan.

P(K)=1/14P(A)=5/14 = 0.3571 x 100= 35.71%P(B')=8/14= 4/7= 0.571 x 100= 57.1%

Ejemplo:1._Cada uno de los cinco resultados posibles de un experimento aleatorio es igualmente factible. El espacio muestral es {a, b, c, d, e} Sea que A denote el evento { a, b } y sea que B denote de evento { c, d, e } .Determine las siguientes probabilidades.

a) P(A)= 2/5b) P(B)=3/5c) P(A')=1-P(A)= 1-2/5 = 3/5d) P(AUB)=2/5 + 3/5 = 1e) P(AB)=0

2._El espacio muestral de un experimento aleatorio es:S= {a, b, c, d, e } con probabilidades 0.1, 0.1, 0.2, 0.4, 0.2, sea que A denote el evento {a, b, c } y B denote el evento { c, d, e } Determine las siguientes probabilidades.

a) P(A)=0.4b) P(B)=0.8c) P(A')=1-P(A)= 1- 0.4= 0.6d) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0.4+0.8-0.2=1e) P(AB)=0.2

3._ Es igualmente factible que una pieza seleccionada para una prueba sea haya fabricado en cualquiera de seis herramientas cortadoras. a) Cul es el espacio muestral?b) Cul es la probabilidad de que la pieza sea de la herramienta 1?c) Cul es la probabilidad de que la pieza sea de la herramienta 3 o de la herramienta 5?d) Cul es la probabilidad de que la pieza no sea de la herramienta 4?

a)S= { H1, H2, H3, H4, H5, H6 }

b) P(H1)= 1/6c) P(H3UH5)=P(H3)+P(H5) = 1/6+1/6=1/3d) P(H4')= 1-P(H4)= 1-1/6= 5/6

4._ Se clasifican muestras de hule espuma de tres proveedores de acuerdo a si cumplen o no con las especificaciones. Los resultados de 100 muestras se encuentran en la siguiente tabla.

Sea que A denote que la muestra es del proveedor 1, y sea que B denote el evento de que una muestra cumple con las especificaciones. Si se selecciona una muestra de hule espuma al azar, determine las siguientes probabilidades.Nota: Se recomienda realizar un diagrama de Venn.

a) P(A)= 20/100= 0.20 x 100= 20%b) P(B)=85/100= 0.85 x 100= 85%c) P(A')=1-P(A)= 1-0.20=0.80 x 100= 80%d) P(AB)=18/100= 0.18 x 100= 18%e) P(AUB)=P(A) +P(B) P(AB)=0.20+0.85-0.18=0.87 x 100= 87%f) P(A'UB)= P(A') + P(B) - P(A'B)= 0.80+0.85-0.67=0.98 =98% 5._Se analizan las placas circulares plsticas de policarbonato de un proveedor para la resistencia a las ralladuras y la resistencia a los impactos.Los resultados de 100 placas se resumen a continuacin.

Resistencia a los impactos

AltaBaja

Resistencia Alta809

a las

ralladurasBaja65

Sea que A denote el evento de que una placa circular tienen alta resistencia a los impactos y sea que B denote el evento de que una placa circular tiene alta resistencia a las ralladuras. Si se selecciona una placa circular al azar, determine las siguientes probabilidades.Nota: Se recomienda realizar un diagrama de Venn.

A' = { 5, 9} B= { 5, 80}A'B= {9}

a) P(A)= 86/100= 0.86b) P(B)=89/100= 0.89c) P(A')=1-86/100= 0.14d) P(AB)=80/100= 0.80e) P(AUB)=P(A) +P(B) P(AB)=0.86-0.89-0.80= 0.95f) P(A'UB)= P(A') +P(B) P(A'B)=0.14+0.89-0.09= 0.94g) P(A'UB')= P(AB) '= 1- P(AB)= 1-0.80= 0.20

2.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA.

Probabilidad Condicional.

La probabilidad condicional de un evento A dado un evento B, denotada por P(A/B), es [footnoteRef:12] [12: MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pg. 68]

Esta definicin puede comprenderse al considerar el caso especial en todos los resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables. Si existe un total de n resultados entoncesP(B)= ( de resultados en B)/n

Por otra parte,P(AB)= ( de resultados en AB)/n

En consecuencia,P(AB)/P(B)=( de resultados en AB)/( de resultados en B)

Por consiguiente, P(A/B) puede interpretarse como la frecuencia relativa de un evento A con respecto al de ensayos que producen un resultado en el evento B.

Ejemplo:Sea el caso de lanzar un par de dados corrientes. Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2. En otras palabras, si

B= {suma es 6} = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

A={ un 2 aparece por lo menos en un dado}

Hallar P(AB).

Ahora E consta de 5 elementos y dos de ellos, (2, 4) y (4,2) pertenecen a A: AB= {(2, 4), (4,2) } Entonces P(AB)= 2/5

Por otra parte, puesto que A consta de 9 elementos.A= { (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}

y S consta de 36 elementos, P(A)=11/36

Ejemplo:Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de los hijos, un nio, entra en la sala. Hallar la probabilidad p de que el otro sea tambin nio si, (i) se sabe que le otro hijo (o hija) es menor, (ii) no se sabe nada del otro hijo.

El resultado muestral para el sexo de los dos hijos es S= { bb, bg, gb, bb } con probabilidad para cada muestra. (Aqu la serie de cada punto corresponde a la serie de nacimientos.)

(i) El espacio muestral reducido consta de 2 elementos {bb, bg } ; o sea P=1/2(ii) El espacio muestral reducido consta de 3 elementos { bb, bg, gb}; o sea p=1/3

Ejemplo:Si A y B son dos sucesos tales que P(A)=1/2, P(B)=2/3, )= P(AB)=1/4Nota: Se recomienda utilizar un diagrama de Venn.

Calcular lo siguiente:a) P(A'UB) = P(A') +P(B)-P(A'B)= 6/12+8/12-5/12= 9/12 =3/4b) P(A'UB')= P(AB)' = 1- P(AB)= 12/12-3/12=9/12=3/4c) P(A'B')= P(AUB)' = 1- P(AUB)= 12/12 - 11/12= 1/12d) P(B'/ A')= P(A'B') = P(AUB)' = 1/12 6/12 =1/6 P(A') P(A')

Ejemplo:En cierta facultad el 25% de los estudiantes perdieron matemticas, el 15% perdieron qumica y el 10% perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar.a) Si perdi qumica Cul es la probabilidad de que perdi matemticas?b) Si perdi matemticas Cul es la probabilidad de que perdi qumica?c) Cul es la probabilidad de que perdi matemticas o qumica?

P(M)=0.25P(Q)=0.15P(MQ)= 0.10

a) P(M/Q)= = 0.10/0.15= 0.6666

b) P(Q/M)= =0.10/0.25= 0.4 c) P(MUQ)= P(M)+ P(Q) P(MQ)= 0.25+ 0.15 0.10= 0.30

Regla de Multiplicacin.

Si multiplicamos en cruz la ecuacin que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que AB = BA, obtenemos la siguiente frmula til:[footnoteRef:13] [13: LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pg.55]

P(AB)= P(AB)P(B)= P(BA)P(A)

Ejemplo:Suponga que P(A/B)=0.40 y P(B)=0.50 Cul es la probabilidad de P(AB)?

P(AB)= (0.40) (0.50)= 0.20

Ejemplo:Un lote de 12 artculos tiene 4 defectuosos. Se toma al azar 3 artculos del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad p de que todos los 3 estn buenos.La probabilidad de que el primer artculo no sea defectuoso es 8/12 puesto que 8 entre los 12 no son defectuosos. Si el primero no es defectuoso entonces, la probabilidad de que el prximo artculo no sea defectuoso es 7/11 puesto que solamente 7 de los 11 sobrantes no son defectuosos. Si los dos primeros artculos no son defectuosos, entonces la probabilidad de que el ltimo no sea defectuoso es 6/10 puesto que solamente 6 entre los 10 que quedan no son defectuosos. As por el teorema de la multiplicacin.

P= (8/12) (7/11) (6/10)= 14/55

Regla de probabilidad total para dos eventos dependientes.

P(B)= P(BA)+ P(BA') = P(B/A) P(A)+ P(B/A') P(A')

Ejemplo:Suponga que P(A/B)= 0.20, P(A/B')= 0.30, P(B)=0.80Cul es la probabilidad de P(A)?

P(A) = P(B/A) P(A)+ P(B/A') P(A')P(A)= (0.20)(0.80)+(0.30)(0.20)P(A)= 0.16+0.06P(A)= 0.22

Ejemplo:Suponga que: P(A/B)= 0.40, P(B)= 0.50 Hallar P( A'B)P(BA)= P(A/B) P(B)P(AB)= (0.40)(0.50)= 0.2

P(B)= P(BA)+P(BA' )P(BA' )= P(B) - P(BA)P(BA' )= 0.50-0.20P(BA' )= 0.30

Independencia (Probabilidad conjunta).

Se dice que un evento B es independiente de un evento A si la probabilidad de que B suceda no est influenciada porque A haya o no sucedido. En otras palabras, la probabilidad de que B iguala la probabilidad condicional de B dado A: P(B)=P(BA). Ahora sustituyendo P(B) por P(BA) en el teorema de la multiplicacin P(AB)= P(A)P(BA), obtenemos:P(AB)= P(A)P(B).[footnoteRef:14] [14: Idem. Pg.57]

Dos eventos son independientes si es verdadero cualquiera de los siguientes enunciados:1) P(A/B)=P(A)2) P(B/A)=P(B)3) P(AB)= P(A)P(B)

Regla de multiplicacin de mltiples eventos (independientes).

P(A1A2A3An)= P(A1) P(A2) P(A3) P(An)

Ejemplo:En una bolsa con 12 lapiceros negros, 14 lapiceros azules y 1 lapicero rojo, se extraen 3 lapiceros sin reemplazo:a) Cul es la probabilidad de obtener los dos primeros azules y el tercero color negro?b) Cul es la probabilidad de obtener el primero azul, el segundo rojo y le tercero negro?c) Cul es la probabilidad conjunta de obtener tres lapiceros negros?d) Cul es la probabilidad de obtener el tercer lapicero en color rojo sin importar el color de los dos anteriores?

Azul =14Negro =12Rojo = 1Total = 27a) P(AAN)= (14/27)(13/26)(12/25)=0.1244b) P(ARN)= (14/27)(1/26)(12/25)= 0.00957c) P(NNN)= (12/27)(11/26)(10/25)=0.07521d) P(**R)= ?

Nota: Para resolver este inciso es necesario obtener todas las probabilidades de los dos primeros colores de lapiceros posibles.P(NNR)= (12/27)(11/26)(1/25)= 0.00752P(NAR)= (12/27)(14/26)(1/25)= 0.00957P(ANR)=(14/27)(12/26)(1/25)= 0.00957P(AAR)= (14/27)(13/26)(1/25)= 0.0103

Por lo tanto:P(**R)= 0.00752+0.00957+0.00957+0.0103= 0.03696

2.7 TEOREMA DE BAYES[footnoteRef:15] [15: LIPSCHUTZ, Seymour. Probabilidad. Pg. 56]

Suponga que A1, A2,, An es una particin de S y que B es cualquier evento. Entonces para cualquier i,

P (AiB)=

Ejemplo:Tres mquinas A, B, C producen respectivamente 50%, 30%, 20% del total de artculos de una fbrica. Los porcentajes de desperfectos de produccin de estas mquinas son 3%, 4%, 5%. Si se selecciona al azar un artculo. Hallar.a) La probabilidad de que este artculo sea defectuoso.b) Suponga que se selecciona un artculo al azar y resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artculo fue producido por la mquina A.

AB

x

BB

x

CB

x

a)P(x/A)P(A)+P(x/B)P(B)+P(x/C)P(C)=P(x)(0.30)(0.50)+(0.04)(0.30)+(0.05)(0.20)=P(x)P(x)=0.037

b)

P(A/X)=

P(A/X)= = 0.405

Problemas resueltos.

Probabilidad Condicional en Espacios Finitos Equiprobables

Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad p de que la suma de sus s sea 10 o mayor si, (i) Aparece un 5 en el primer dado,(ii) Aparece un 5 en uno de los dados por lo menos.

(i) Si aparece un 5 en el primer dado, entonces el espacio muestral reducido esA= {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}

La suma es 10 o mayor en dos de los 6 resultados: (5,5), (5,6) por lo tanto

p==

(ii) Si aparece un 5 por lo menos en un dado, entonces el espacio muestral reducido tiene 11 elementos:B= {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)}

La suma es 10 o mayor en 3 de los 11 resultados: (5,5), (5,6), (6,5). Por lo tanto p=

Se lanzan tres monedas corrientes. Hallar la probabilidad p de que sean todas caras si,(i) La primera de las monedas es cara,(ii) Una de las monedas es cara.

El espacio muestral tiene 8 elementos: S= { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

(i) Si la primera moneda es cara, el espacio muestral reducido es A= {HHH, HHT, HTH, HTT}

Puesto que las monedas son todas caras en 1 de 4 casos, p=ii) Si una de las monedas es cara, el espacio muestral reducido es B= { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH}

Puesto que las monedas son todas caras en 1 de 7 casos, p=

Si lanza un par de dados corrientes. Si los dos s que aparecen son diferentes, hallar la probabilidad p de que,(i) La suma sea 6(ii) Aparezca un as,(iii)La suma sea menor o igual a 4

De las 36 maneras que se pueden lanzar el par de dados, 6 contienen s repetidos: (1,1), (2,2),(6,6). As el espacio muestral reducido constar de 36-6=30 elementos.

(i) La suma de 6 puede suceder de 4 maneras: (1,5), (2,4), (4,2), (5,1). (No incluimos (3,3) puesto que los s son iguales) entonces p==

(ii) Un as puede aparecer de 10 maneras: (1,2), (1,3), (1,6), (2,1), (3,1), (6,1). Entonces p==

(iii) La suma menor o igual a 4 puede suceder de 4 maneras: (3,1), (1,3), (2,1), (1,2). As p== Se escogen al azar dos dgitos desde 1 hasta 9. si la suma es par, hallar la probabilidad p de que ambos s sean impares.

La suma es par si los s son impares o si son pares. Hay 4 pares (2, 4, 6, 8,); por tanto hay =6 maneras de escoger dos s pares. Hay 5 impares (1, 3, 5, 7, 9); o sea que hay =10 maneras de escoger dos s impares. As hay 6 + 10 = 16 maneras de escoger dos s tales que su suma sea par; puesto que10 de estas maneras suceden cuando los dos s son impares, p = =

A un hombre se reparten 4 espadas de una baraja corriente de 52 cartas. Si se le dan tres cartas ms. Hallar la probabilidad p de que por lo menos una de las cartas adicionales sea tambin espada.Puesto que recibi 4 espadas, quedan 52 - 4 = 48 cartas de las cuales 13 -4=9

Son espadas. Hay = 17.296 maneras en las que se pueden recibir 3 cartas ms. Puesto que hay 48-9 = 39 cartas que no son espadas, hay =9139 maneras en que puede recibir 3 cartas que no son espadas probabilidad q de que no reciba espadas es q. As la = ; por lo tanto

p = 1 q =

Se reparten 13 cartas de una baraja corriente de 52 cartas a 4 personas que denominamos Norte, Sur, Este y Oeste.(i) Si S no tiene ases, hallar la probabilidad p de que su compaero N tenga exactamente 2 ases. (ii) Si N y S juntos tienen 9 corazones, hallar la probabilidad p de que E y O tengan cada uno 2 corazones.

(i)Hay 39 cartas contando los 4 ases, repartidas entre N, E y O. hay maneras de que N reciba 13 de 39 cartas. Hay maneras de que pueda recibir 2 de los 4 ases, y maneras de que pueda recibir 11 cartas de las 39 4 = 35 cartas que no son ases. As

P = = =

(ii)Hay 26 cartas, incluyendo 4 corazones, repartidos entre E y O. hay maneras de que. Por ejemplo, E pueda recibir 13 cartas (necesitamos solamente analizar las 13 cartas de E puesto que O debe tener el resto.)Hay maneras para que E puede recibir 2 corazones de los 4, y maneras para que el mismo pueda recibir 11 no-corazones de 26 4 = 22 no-corazones. As.

P = = =

Teorema de la multiplicacin.

Una clase tiene 12 nios y 4 nias. Si se escogen 3 estudiantes de la clase al azar, cul es la probabilidad p de que sean todos nios?

La probabilidad de que el primer estudiante sea nio es 12/16 puesto que hay 12 nios entre los 16 estudiantes. Si el primero es un nio, entonces la probabilidad de que el segundo sea nio es 11/15 puesto que hay 11 nios entre los 15 restantes. Finalmente, si los primeros 2 escogidos son nios, entonces la probabilidad de que el tercero sea nio es 10/14 puesto que quedan 10 nios entre 14. As, por el teorema de la multiplicacin, la probabilidad de que todos 3 sean nios es

P=*

Otro mtodo. Hay =560 maneras de escoger 3 estudiantes entre 16, y = 220 maneras de escoger 3 nios entre 12; por lo tanto p=.

Un tercer mtodo. Si los estudiantes escogen uno despus del otro, entonces hay 16*15*14 maneras de escoger 3 estudiantes, y 12*11*10 maneras de escoger 3 nios; por consiguiente p=.

A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas. Cul es la probabilidad p de que todas sean espadas?

La probabilidad de que la primera carta sea espada es 13/52, la segunda sea espada es 12 /51, la tercera 11/50, la cuarta 10/49, y la ltima 9/48. (Suponemos en cada caso que las cartas anteriores fueron espadas.) As

P=

Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas. Se sacan 3 bolas de la urna una tras otra. Hallar la probabilidad p de que las 2 primeras sean rojas y la tercera blanca.

La probabilidad de que la primera bola sea roja es 7/10 puesto que hay 7 rojas entre las 10 bolas. Si la primera bola es roja, entonces la probabilidad de que la tercera sea blanca es 3/8 puesto que quedan 3 blancas entre las 8 bolas restantes en la urna. Entonces por el teorema de la multiplicacin,

P= Los estudiantes de una clase se escogen al azar, uno tras otro, para presentar un examen. Hallar la probabilidad p de que nios y nias queden alternados si, (i) La clase consta de 4 nios y 3 nias(ii) La clase consta de 3 nios y 3 nias

(i) Si los nios y las nias se alternan, el primer estudiante examinado debe ser nio. La probabilidad de que el segundo sea nia es 3/6 puesto que hay 3 nias entre los 6 restantes. Continuando en esta forma, obtenemos que la probabilidad de que el tercero sea nio es 3/5, que el cuarto sea nia es 2/4, que el quinto sea nio es 2/3, que el sexto sea nia es 1/2, y que el ltimo sea nio es 1/1. As

P=

(ii) Hay dos casos mutuamente exclusivos: el primer estudiante es un nio, y el primero es una nia. Si el primer estudiante es un nio, entonces por el teorema de la multiplicacin la probabilidad p1 de que los estudiantes se alternen es

P1=

Si el primer estudiante es una nia, entonces por el teorema de la multiplicacin la probabilidad p2 de que los estudiantes se alternen es

P2=

As, p = p1 +p2=

Problemas Varios Sobre Probabilidad Condicional

Sean los eventos A y B con P(A) = , P(B)= y P(AUB) = . Hallar la P(A/B) y P(B/A).

Primero calculemos P( AB) usando la frmula P(AUB) = P(A)+P(B)- P(AB):

o P(AB)=

As, P(A/B)= y P(B/A)=

Hallar P(B/A) si,(i) A es un subconjunto de B(ii) A y B son mutuamente exclusivos.

(i) Si A es un subconjunto de B, entonces siempre que A suceda, B debe suceder; por lo tanto P(B/A)= 1. A su turno, si A es un subconjunto de B entonces AB = A; entonces

P(B/A)=

(i) (ii)

(ii) Si A y B son mutuamente exclusivos, esto es, disyuntos, entonces siempre que A suceda, B no puede suceder; por lo tanto la P(B/A)= 0. Alternadamente, si A y B son mutuamente exclusivos entonces AB = ; por lo tanto

P(B/A)=

En cierta facultad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen ms de 6 pies de estatura. Adems, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es ms alto que 6 pies, cul es la probabilidad de que el estudiante sea mujer?

Sea A= {estudiantes de ms de 6 pies}. Buscamos la P(W/A), probabilidad de que el estudiante sea una mujer dado que el estudiante es de ms de 6 pies. Por el teorema de bayes,

P(W/A)=

Procesos Estocsticos Finitos

Una caja contiene tres monedas; una moneda es corriente, una moneda tiene dos caras y una moneda est cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea . Se selecciona una moneda al azar y se lanza. Hallar la probabilidad p de que salga cara.

Construimos el diagrama de rbol como se muestra en la figura (a) siguiente. Obsrvese que I se refiere a la moneda corriente, II a la de doble cara y III a la moneda cargada. Ahora las caras aparecen a lo largo de tres de las trayectorias; por lo tanto

p=

H

I

T

IIH

H

III

T

(a)

Se nos da tres urnas como sigue:Una urna A contiene 3 bolas rojas y 5 blancas.Una urna B contiene 2 bolas rojas y 1 blanca.Una urna C contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de la urna. Si la bola es roja, cul es la probabilidad de que proceda de la urna A?

Se construye el diagrama de rbol como se muestra en la figura (b)

R

A

W

R

B

W

R

C

W

(b)

Buscamos la probabilidad de que se seleccione A, dado que la bola es roja; esto es, P(A/R). Con el fin de hallar P(A/R), es necesario calcular primero P(AR) y P(R).

La probabilidad de que se seleccione A y se saque una bola roja es ; esto es, P(AR)=. Puesto que hay 3 trayectorias que conducen a la bola roja, P(R)= . Entonces

P(A/R)=

Alternadamente, por el teorema de Bayes,

P(A/R)=

=

La caja A contiene 9 cartas numeradas de 1 a 9, y la caja B contiene 5 cartas numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si l es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A.

El diagrama de rbol del proceso se muestra en la figura (a ) siguiente.Buscamos P(A/E), probabilidad de que se seleccione A, dado que l es par.

La probabilidad de que se escoja la caja A y un par es; esto es, P(AE)=. Puesto que hay dos trayectorias que conducen a un par, P(E)= . As

P(A/E)=

Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se saca una bola de la urna y se remplaza por una del otro color. Se saca de la urna una segunda bola.(i) Hallar la probabilidad p de que la segunda bola sea roja (ii) Si ambas bolas son del mismo color, cul es la probabilidad p de que las 2 sean blancas?

Construimos el diagrama de rbol como se muestra en la figura (b.)

(b)(i) Dos trayectorias del diagrama de rbol conducen a bola roja:

p=

(ii) La probabilidad de que ambas bolas fueron blancas es . La probabilidad de que ambas bolas fueran del mismo color, esto es, la probabilidad del espacio muestral reducido, es . Por lo tanto la probabilidad condicional p=.

Se nos dan 2 urnas como sigue:La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 blancas.La urna B contiene 2 bolas rojas y 5 blancas.Se selecciona al azar una urna; se saca una bola y se coloca en la otra urna; luego se saca una bola de la segunda urna. Hallar la probabilidad p de que las 2 bolas sacadas sean del mismo color.

Construimos el siguiente diagrama de rbol.

R

R

W

A

R

W

W

R

R

W

B

R

W

W

Ntese que si se selecciona la urna A y se saca una bola roja y se coloca en la urna B, entonces la urna B tiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Puesto que hay 4 trayectorias que conducen a 2 bolas del mismo color,

P=

Independencia

Sea A = al evento de que una familia tenga nios de ambos sexos; y sea B= al evento de que una familia tenga a lo sumo un nio. (i) Comprobar que A y B son eventos independientes si una familia tiene tres hijos.(ii) Comprobar que A y B son eventos independientes si una familia tiene dos hijos.(i) Tenemos el espacio equiprobable S = { bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb ggg }. Aqu

A ={ bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb} y as P(A) = 6/8 =

B ={ bgg, gbg, ggb, ggg} y as P(B) = 4/8 =

AB ={ bgg, gbg, ggb, } y as P(AB)=

Puesto que P(A)* P(B) = (3/4) (1/2) =3/8 = P(AB), A y B son independientes.(ii) Tenemos el espacio equiprobable S = { bb, bg, gb, gg}. As

A = { bg, gb } y as P(A) =

B = {bg, gb, gg} y as P(B) =

AB = {bg, gb } y as P(AB)= Puesto que P(A) P(B)P(AB), A y B son dependientes.

Probar si A y B son eventos independientes, entonces A y B son eventos independientes.P(AB) = P((AUB)) = 1-P(AUB)= 1-P(A) P(B) + P(AB). = 1-P(A) P(B) + P(A) P(B) = [1-P(A) ] [1-P(B) ] = P(A) P(B).

La probabilidad de que un hombre vivir 10 aos ms es , y la probabilidad de que su esposa vivir 10 aos ms es 1/8. Hallar la probabilidad de que,(i) ambos estn vivos dentro de 10 aos (ii) al menos uno estar vivo a los 10 aos(iii) ninguno estar vivo a los 10 aos(iv) solamente la esposa estar viva a los 10 aos

Sea A = al evento de que el hombre viva a los 10 aos, y B = al evento de que su esposa est viva a los 10 aos; entonces P(A) =1/4 y P(B) =

(i) Buscamos P(AB). Puesto que A y B son independientes, P(AB) = P(A) P(B) = (1/4) (1/3) =

(ii) Buscamos P(AUB). P(AUB) = P(A) + P(B) P(AB) = +1/3 1/12 =

(iii) Buscamos P(AB). Ahora P(A) = 1-P(A) = 1-1/4 = y P(B) = 1-P(B) = 1-1/3 = 2/3. Adems, puesto que A y B son independientes, P(AB) = P(A) P(B) = * 2/3 = .Alternadamente, puesto que

(AUB) = AB, P(AB) = P((AUB)) = 1-P(AUB) = 1-1/2 =

(iv) Buscamos P(AB). Puesto que P(A) = 1-P(A) = y A y B son independientes, P(AB) = P(A) P(B) = .

Hoja1EAOEBO

Hoja1RRWRWW

Hoja1CUMPLESiNo1182217335010

Hoja1P(B/A)=P(AB)P(A)FrmulasP(A/B)=P(AB)P(B)Eventos DependientesP(AB)=P(A)P(B/A)(No excluyentes)Regla de laPROBABILIDADmultiplicacinP(AB)=P(B)P(A/B)CONDICIONALEINDEPENDENCIARegla de laP(B)=P(BA)+P(BA')Probabilidad para2 eventos.P(B)=P(A)P(B/A) +P(A')P(B/A')P(A/B)=P(A)Regla de laP(AB)=P(A)P(B)multiplicacinP(B/A)=P(B)Eventos Independientes(Excluyentes)Regla de ProbabiliadP(B)=P(BE1)+P(BE2)+P(BEk)total para mltipleseventos.P(B)=P(B/E1)P(E1) +P(B/E2)P(E2) +P(B/Ek)P(Ek)