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Polinomios

UNIDAD 2

Prof. Rosa De Peña

1

Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo

Polinomios

Unidad 2

Índice

2.1 Definición de polinomio. Grado, termino principal y coeficiente principal de un

polinomio…………………………………………………………………………………… 2 2.2 Polinomio: Nulo o sin grado, ordenado, mónico o normal, constante o de grado cero, completo e incompleto..................................................... 3 2.3 Forma vectorial de un polinomio…………………………………………….................... 4 2.4 Evaluación de polinomios…………………………………………………………………..4 2.5 Raíz o cero de un polinomio……………………………………………………………... 5 2.6 Grafica de un polinomio. Interpretación de la gráfica…………………………… ……...6 2.7 Espacio vectorial de los polinomios de grado n ……………………………………. 7

2.8 Igualdad de polinomios. Identidad de polinomios……………………….....................8 2.9 Operaciones con polinomios:……………………………………………………………… 8 2.9.1 Producto de un escalar por un polinomio……………………………………………..8 2.9.2 Suma o adición. Propiedades…………………………………………………………...9 2.9.3 Resta o Sustracción……………………………………………………………………..9 2.9.4 Multiplicación. Propiedades…………………………………………………………….10 2.9.5 División: Tradicional, coeficientes separados y coeficientes Indeterminados…………………………………………………………………………..11 2.10 Algoritmo de la división………………………………………………………………….11 2.11 Teorema del resto. Demostración………………………………………………………15 2.12 Teorema del factor. Demostración……………………………………………………...17 2.13 Teorema recíproco del teorema del factor……………………………………………...17 2.14 División sintética o regla de Ruffini. División por (ax-b)……………………………..18 2.15 Divisibilidad de polinomios. Principio fundamental de la divisibilidad. Divisores triviales y no triviales. Polinomio irreducible en un campo……………....20 2.16 Polinomios asociados…………………………………………………………………… 21 2.17 Fracciones Parciales…………………………………………………………………… …24 2.18 Aspectos complementarios: Números primos. Descomposición de un número entero en sus factores primos. Mínimo común múltiplo (MCM). Máximo común Divisor(MCD)………………………………………………………….. 31 2.19 Máximo común divisor de los polinomios. Algoritmo de Euclides............................ 34 2.20 Polinomio primo............................................................................................................37 2.21 Factorial de un número natural…………………………………………………………... 37 2.22 Numero combinatorio. Propiedades………………………………………………….. ... 39

2.23 Binomio de Newton. Propiedades del desarrollo de mba …………………………39

2.24 Derivada de un polinomio. Propiedades…………………………………………………40 2.25 Derivadas sucesivas……………………………………………………………………….40

2.26 Formula de Taylor. Desarrollo en Serie de las Funciones………………………... 41 2.27 Aplicaciones………………………………………………………………………………...43 Practica Propuesta No. 1. Unidad 2 ……………………………………………………… ….47 Practica Propuesta No. 2. Unidad 2…………………………………………………………..50 Practica Propuesta No. 3. Unidad 2…………………………………………………………..52 Practica Propuesta No. 4. Unidad 2…………………………………………………………..59 Cuestionario Unidad 2 …………………………………………………………………………..61 Bibliografía Consultada ………………………………………………………………………..62

2


Polinomios

Unidad 2

POLINOMIOS

Vamos a iniciar repasando lo que hemos aprendido en cursos anteriores sobre polinomios. Analizaremos

las graficas que podemos hacer con estos espacios vectoriales, de modo que luego podamos establecer

su relación con las ecuaciones algebraicas. Los polinomios se utilizan en diferentes áreas tales como

física, química, biología, economía, entre otras.

2.1 Definición. Sea K un campo. Definimos un polinomio sobre K como una función de K en el mismo,

tal que existen elementos naaa ,...,, 10 K , tales que:

n

n

in

i

i xaxaxaxaxaxP

...)( 2

2

1

1

0

0

0

para todo Kx

Un polinomio es la suma de un número finito de términos, cada uno de los cuales es el producto de una

colección finita de números y variables.

Un polinomio P(x) en la variable x viene dado por una suma algebraica de términos, cada uno de los

cuales consta de un número o constante, multiplicado por una potencia entera no negativa de la variable.

En cada término i

i xa de un polinomio, a la constante ia se le llama coeficiente; siendo ese término de grado

”i” (el exponente de la variable). Los términos se obtienen dando a “i” los valores naturales desde cero

hasta n.

El Grado de un polinomio se define por el más alto de los grados de sus términos.

Polinomios tales como:

28xxPa que contienen un solo término, se llaman monomios;

xxxPb 74 2 los que contienen dos términos, se llaman binomios;

577 2 xxxP c los que tienen tres términos, se llaman trinomios.

No se le da ningún nombre especial a los que contienen más de tres(3) términos.

3


Polinomios

Unidad 2

Cuando todos los coeficientes de un polinomio pertenecen a un cierto campo numérico C, se dice que f(x) es

un polinomio que está definido sobre C, o que pertenece a C[x]

El símbolo C[x] designa, pues, el conjunto de todos los polinomios posibles con coeficientes del campo

numérico C.

Por ejemplo:

2

152

4

3 23

1

xxxxP es un polinomio sobre el cuerpo de los números racionales(Q ), puesto que

sus coeficientes ia son números racionales(Q).

325 4

2 xxxP Z

12)35(4 23

3 xxixxP C

822 3

4 xxxP R

2.2 Polinomio nulo es aquel que tiene todos sus coeficientes iguales a cero. El polinomio nulo no tiene

grado.

Dos polinomios son iguales cuando tienen iguales los coeficientes correspondientes.

Un polinomio se dice ordenado, cuando sus términos están escritos de modo que aparezcan ordenadas las

potencias de la variable; tal ordenación podrá ser creciente o decreciente.

En orden creciente: 5432

5 7322 xxxxxxP

En orden decreciente: 1)2(log)3(23 234

6 xxixxxP

Un polinomio puede llamarse completo cuando aparecen (con coeficientes no nulos) todas las potencias de

la variable, desde la de exponente cero, hasta la que determina el grado del mismo. Por ejemplo, el polinomio

anterior xP6 es completo de grado cuatro , en cambio:

32

74

331 xxxP

es un polinomio incompleto de tercer grado.

El término que contiene la potencia más alta de la variable se llama Término Principal, y su coeficiente se

denomina Coeficiente Principal del polinomio.

En resumen, un polinomio estará representado por una suma de términos no semejantes, cada uno de los cuales

o es un número, o es el conjunto de un coeficiente numérico que multiplica a la variable afectada de un

exponente entero y positivo.

ia

ia

ia

4


Polinomios

Unidad 2

Ejemplos:

1) 32 5648 xxxxF . Representa un polinomio de grado tres.

2) 32

5648

xxxxF . No representa un polinomio.

Polinomio Mónico o Normal

Es aquel cuyo coeficiente principal es la unidad.

1022

1 234

xxxxP

Polinomio Constante

Es aquel polinomio que consta sólo de un numero distinto de cero. Posee grado cero.

43xP es un polinomio de grado cero pues 43= 43 x0

2.3 Forma Vectorial de un Polinomio

A partir de:

n

n xaxaxaxaxP ...2

2

1

1

0

0 , podemos escribir:

naaaaxP ,...,,, 210 donde los ia se ordenan en forma creciente.

Esta última expresión corresponde a la forma vectorial de P(x).

Ejemplo:

Para 5821 xxxP

Podemos escribir 54320 800021 xxxxxxxP

Lo cual en forma vectorial pasa a ser: 8,0,0,0,2,1xP

2.4 Evaluación de Polinomios

A partir de un polinomio P(x) conocido, la evaluación de P(x) consiste en la determinación del valor

numérico que toma éste, correspondiente a un valor de x especificado, mediante la realización de las

operaciones algebraicas que envuelven los términos del mismo.

5


Polinomios

Unidad 2

Ejemplos:

Si 423 24 xxxxP

Evaluar el polinomio P(x) en los valores de x que se indican :

1) 0P , 2) 2P , 3)

2

1P , 4) 3P

1) 4402003024

P

2) 36422223224

P

3) 16

494

2

12

2

1

2

13

2

124

P

4) 236432333324

P

2.5 Raíz o Cero de un Polinomio P(x)

Es el valor de “x” que hace cero el valor correspondiente a la evaluación de P(x).

Por ejemplo: a) -1 es un cero del polinomio 22 xxP

02121 P

b) -2 es un cero del polinomio xxxxP 623

02622223

P

Consideremos un polinomio xP en una sola variable “x” y una función xPy que establece que la

variable “y” depende de la variable independiente “x”. Esto significa que para cada valor asignado a “x” ,

pueden ser determinados valores correspondientes de “y”. Cada par de valores correspondientes de “x” e

“y” satisfacen la ecuación xPy

El conjunto de todos los puntos , y sólo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación xPy se

llama el Lugar Geométrico o Gráfica del Polinomio ( o de la ecuación ). Gráficamente, los ceros reales

de xP son las abscisas de los puntos en donde la gráfica corta al eje x.

6


Polinomios

Unidad 2

2.6 Gráfica de un Polinomio

Trazar la gráfica del polinomio xxxxP 623 en el intervalo -3 < x < 4

Asignando valores a “x” y calculando los valores correspondientes de P(x), obtenemos las coordenadas de

un número adecuado de puntos. Localizando estos puntos y trazando una curva que los una, obtenemos la

gráfica del polinomio. La gráfica de un polinomio de una sola variable es siempre una curva continua.

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

P(x)

P(x)

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P(x) -18 0 4 0 -6 -8 0 24

7


Polinomios

Unidad 2

2.7 Espacio Vectorial de los Polinomios de Grado n

Comprobar que el conjunto ""V compuesto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual

que ""n define un Espacio Vectorial en R .

Considerando:

xP , xM , xN polinomios V

donde Rcba iii ,, , y 21,, kkk son escalares R

n

n xaxaxaxP ...1

1

0

0 , n

n xbxbxbxM ...1

1

0

0

n

n xcxcxcxN ...1

1

0

0

Debe verificarse:

1) n

nn xbaxbaxbaxbaxMxP ...2

22

1

11

0

00

Siendo xMxP un polinomio V . Ley Uniforme.

2) xMxP = xPxM Propiedad Conmutativa

3) xNxMxPxNxMxP Propiedad Asociativa

4) xPxP 0 Ley de Identidad. Existencia del

neutro aditivo

5) 0 xPxP Ley del Opuesto. Existencia del

opuesto aditivo.

6) VxkP Ley Uniforme

7) xPkkxPkk 2121 Propiedad Asociativa del producto

de un polinomio respecto al producto

de escalares

8) xkMxkPxMxPk Propiedad Distributiva del producto de

un escalar respecto a la adición de

polinomios

9) xPkxPkxPkk 2121 Propiedad Distributiva del producto de

un polinomio respecto a la adición de

escalares

10) xPxP .1 Ley Identidad. Existencia del neutro

multiplicativo.

Al cumplirse las propiedades anteriores, entonces ""V define un espacio vectorial para los polinomios de

grado n

8


Polinomios

Unidad 2

2.8 Polinomios Iguales

Decimos que xMxP si para n

n xaxaxaxP ...1

1

0

0 y n

n xbxbxbxM ...1

1

0

0 ocurre

que 00 ba , 11 ba , …, nn ba

2.9 Operaciones con Polinomios

2.9.1 Producto de un Escalar por un Polinomio

Sea n

n xaxaxaxaxP ...2

2

1

1

0

0

0

01

2

2

2

2

1

1 ... xaxaxaxaxaxaxP n

n

n

n

n

n

un polinomio definido sobre el campo

numérico C y sea K un escalar C , entonces el producto del escalar K por el polinomio xP viene

dado por:

0

01

2

2

2

2

1

1 ... xkaxkaxkaxkaxkaxkaxkP n

n

n

n

n

n

Este nuevo polinomio xkP también estará definido sobre C .

Polinomios Asociados

Sean xP y xM polinomios definidos sobre C entonces diremos que xM es un polinomio asociado

a xP si se cumple que xaPxM , siendo

un elemento no nulo del conjunto C

Cuando 1a entonces decimos que xM es el Polinomio Opuesto de xP .

xM xP1

Ejemplos:

51236 234 xxxxP

10246122 234 xxxxPxM

3

542

3

1 234

xxxxPxN

512361 234 xxxxPxH

xP , xM , xN , xH Son polinomios asociados en R .

xH es el opuesto de xP .

9


Polinomios

Unidad 2

2.9.2 Suma de Polinomios

Dados dos polinomios xP , xM , definidos sobre C , se llama suma de los mismos y se indica como:

xMxP , al polinomio que resulta de sumar los términos semejantes de xP y xM . La manera

práctica de sumar polinomios es colocarlos de modo que aparezcan en columna los coeficientes de una misma

potencia de la variable, con lo cual basta sumar dichos coeficientes.

2.9.3 La resta de los polinomios

xMxP la planteamos como la suma a xP del opuesto de xM .

xMxPxMxP

Dados:

n

n xaxaxaxP ...1

1

0

0

n

n xbxbxbxM ...1

1

0

0

Entonces:

n

nn xbaxbaxbaxMxP ...1

11

0

00

n

nn xbaxbaxbaxMxP ...1

11

0

00

Ejemplos

Sean: 5

33)( 4 xxxP y 125

3

2)( 245

xxxxxM

a) 5

8426

3

2 245

xxxxxMxP

b) 5

2224

3

2 245

xxxxxMxP

En los ejemplos vistos, los coeficientes pertenecen al conjunto de los números racionales; esto es xP y

xM son polinomios sobre dicho conjunto. Naturalmente, para poder sumar (o restar) dos polinomios, debe

suponerse que ellos estén definidos sobre un mismo conjunto numérico, en el cual esté definida la suma (o

resta). Es evidente entonces que valen para los polinomios las propiedades ordinarias de la suma y resta:

propiedades asociativa, conmutativa, la del cero (aquí el cero es el polinomio nulo), la del opuesto, la de que

la resta es la operación opuesta de la suma y viceversa, etc.

Obsérvese que el grado de una suma de polinomios no supera el mayor de los grados de los sumandos.

10


Polinomios

Unidad 2

2.9.4 Multiplicación de Polinomios

El proceso para multiplicar polinomios está basado en el método de multiplicar monomios, junto con la

repetida utilización de la ley distributiva. La multiplicación de polinomios se efectúa, pues, término a

término, teniendo en cuenta que para el producto de dos términos i

i xa , j

j xb vale la fórmula:

ji

ji

j

j

i

i xbaxbxa ..

El producto de todo el multiplicando por un término del multiplicador nos dará un producto parcial, y como

todos estos productos parciales deben sumarse, convendrá ya irlos disponiendo en la forma usada en la suma

de polinomios.

Ejemplo:

Sean 7326 345 xxxxxP 233 xxxM

23.7326. 3345 xxxxxxxMxP

345678 07010300026 xxxxxx

xxxxxx 210309000618 23456

140206000412 2345 xxxxx

________________________________________________

14230302050918026 2345678 xxxxxxxx

Es claro que para las multiplicaciones de polinomios son válidas las propiedades ordinarias de la

multiplicación:

1) Asociativa xNxMxPxNxMxP

2) Conmutativa xMxP = xPxM

3) Distributiva xNxPxMxPxNxMxP

4) La Propiedad del Cero 00 xP

5) La Propiedad de la unidad xPxP .1

El grado de un producto de polinomios es igual a la suma de los grados de los factores.

11


Polinomios

Unidad 2

2.9.5 División de Polinomios

Siendo xF el polinomio dividendo y xf el polinomio divisor, la división entre xF y xf se

define como:

2.10 Algoritmo de la división:

xf

xrxq

xf

xF

Donde:

xq corresponde al polinomio cociente.

xr corresponde al polinomio que identificamos como residuo.

Siendo:

n grado de xF donde mn

m grado de xf

s grado de mnxq

t grado de xr de modo que mt

Multiplicando la expresión por xf obtenemos la expresión:

xrxfxqxF 2

La división entre polinomios se puede realizar mediante:

1) División Tradicional.

2) Método de Coeficientes Separados.

3) Método de Coeficientes Indeterminados.

1

12


Polinomios

Unidad 2

Ejemplos

1) División Tradicional

Este método consiste en ordenar los polinomios dividendo xF y divisor xf en forma decreciente,

pero manteniendo la variable que acompaña a cada término. Dividimos el primer término del dividendo

entre el primer término del divisor y así obtenemos el primer término del cociente. Este valor se multiplica por

el divisor y se adiciona cambiado de signo al dividendo. Este proceso se repite hasta que el dividendo posea

un grado menor que el divisor.

Dividir 2234 346 xxxxF entre 12 23 xxxxf

2002304 23456 xxxxxx 12 23 xxx 3456 4484 xxxx 441784 23 xxx

20028 2345 xxxxx

2345 88168 xxxx

___________________________

2081017 234 xxxx

xxxx 17173417 234

____________________

2172544 23 xxx

44448844 23 xxx

______________________

4661113 2 xx

De la división anterior tenemos que:

El polinomio cociente es: 441784 23 xxxxq

El resto es: 4661113 2 xxxr

13


Polinomios

Unidad 2

2) Método de coeficientes separados

En éste caso, tomamos los coeficientes con sus signos correspondientes de los polinomios dividendo

xF y divisor xf y los ordenamos ambos en forma decreciente.

Dividimos el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor para obtener el

coeficiente del primer término del cociente. Este valor lo multiplicamos por el divisor, le cambiamos de signo

y sumamos algebraicamente con el dividendo. En este nuevo dividendo tomamos el primer coeficiente que

dividimos entre el divisor, repitiendo este procedimiento tantas veces como sea necesario hasta lograr que

se reduzca el grado del dividendo a uno menor que el del divisor .

4 0 3 2 0 0 2 1121

4 8 4 4 441784

8 1 2

8 16 8 8

_________________________________

17 10 8 0 2

17 34 17 17

_________________________________

44 25 17 2

44 88 44 44

_________________________

113 61 46

Así

El cociente es: 441784 23 xxxxq

El resto es: 4661113 2 xxxr

3) Método de los Coeficientes Indeterminados para la realización de la división de polinomios.

Para la utilización de este método de división, formaremos una expresión general para el cociente xq

y otra para el resto xr , tomando en cuenta para ello los grados del dividendo xF y del divisor

xf .

¿De qué grado es el coeficiente y resto de la siguiente división?

xf

xrxq

xxx

xxx

xf

xF

12

223423

346

6n 3m 336 mns s grado de xq

mt , luego: 0t , 1t ó 2t será el grado de xr

Usaremos 2t como el grado de xr

14


Polinomios

Unidad 2

Luego de lo anterior, podemos decir que xq y xr son polinomios que tendrán las siguientes

expresiones generales:

01

2

2

3

3 AxAxAxAxq

01

2

2 BxBxBxr

Donde 2103210 ,,,,,, BBBAAAA son los llamados coeficientes indeterminados.

El método de los coeficientes indeterminados, empleado para obtener el coeficiente y el resto de una división

de polinomios, lo esbozaremos aplicándoselo al ejemplo anterior. Este se apoya básicamente en la igualdad

de polinomios.

Al utilizar la ecuación 2 :

xrxfxqxF

Podemos determinar el cociente y el resto de la división, empleado la igualdad de polinomios:

2234 346 xxx = 01

2

2

23

01

2

2

3

3 12 BxBxBxxxAxAxAxA

2002304 23456 xxxxxx

01

2

2

23

01

2

2

3

3 12 BxBxBxxxAxAxAxA =

3

0123

4

123

5

23

6

3 222 xAAAAxAAAxAAxA

00101

2

2012 2 BAxBAAxBAAA

Si éstos dos polinomios son iguales, podemos igualar los coeficientes de los términos semejantes, así:

Dividiendo entre tenemos que entonces 6

3

64 xAx 6x 34 A 43 A

5

23

5 20 xAAx 5x 2320 AA 82 A

4

123

4 23 xAAAx 4x 123 23 AAA 171 A

3

0123

3 22 xAAAAx 3x 0123 22 AAAA 440 A

2

2012

2 20 xBAAAx 2x 2012 20 BAAA 1132 B

xBAAx 1010 x 1100 BAA 611 B

002 BA 460 B

Luego los polinomios son:

Cociente: 01

2

2

3

3 AxAxAxAxq 441784 23 xxxxq

Resto: 01

2

2 BxBxBxr 4661113 2 xxxr

15


Polinomios

Unidad 2

2.11 Teorema del Resto

División de un Polinomio Racional Entero entre un Binomio ax

Si se divide un polinomio racional entero xF [ en este tipo de polinomios la variable sólo está sometida a

las operaciones racionales enteras: suma, resta, multiplicación y potenciación con exponentes enteros no

negativos] entre un binomio ax el resto que se obtiene es igual a aF o sea el valor que toma xF

para ax .

Demostración:

1)

ax

rxq

ax

xF

2) raxxqxF

Debemos señalar primero que r es independiente de x , y ello es evidente, pues si fuera una función de x

su grado deberá ser menor que el del divisor, es decir de grado cero; esto comprueba que r es independiente

de x

Para demostrar el teorema, reemplacemos en 2 a "" x por a:

3) rraaaqaF

o sea que, de 3

aFr

L.C.Q.D.

Observación: Si el divisor es ax entonces, como axax resulta que:

aFr

Esto es, el resto se obtiene reemplazando a "" x por el término independiente del binomio con signo

contrario.

Ejemplo

a) ¿Cuál es el resto de la división 2

122 4

x

xx ?

122 4 xxxF 2 xax

Luego:

3714321222224

FaF

37r

16


Polinomios

Unidad 2

Observación:

Conviene que el elector tenga presente que en todo lo que se ha dicho y hecho sobre el teorema del resto el

coeficiente de x en el binomio es la unidad, esto es, que si se ofreciera el caso de la división por un binomio

con coeficiente de "" x diferente de 1, entonces el resto se obtiene reemplazando por el término independiente

dividido por ese coeficiente, o sea, evaluando a xF para el valor de x que es raíz del divisor.

Si se tiene

abx

xF

; entonces

b

aFr

Ejemplos

1) El resto del cociente 22

2322 23

x

xxx es 1

2

2

FF

b

aFr

52131212123

Fr

2) Halle el valor de k de modo que el resto de dividir el polinomio

kxxxxf 1023 entre 4x sea igual al resto de dividir el polinomio

20223 kxkxxxg entre 2x más tres 3 unidades.

De: kxxxxf 1023

kkkf 4040166441044423

a

Para 20223 kxkxxxg

12820448202222223

kkkkkg

98312832 kkg b

Igualando a y b

9840 kk

Despejando: kk 849 luego: 7k

17


Polinomios

Unidad 2

3) Halle el resto de dividir:

2464541062 2345 xxxxxxF

Entre:

a) 3 xxf 483 F

b) 2 xxf 2882 F

c) 3

2 xxf

243

352

3

2

F

2.12 Teorema del Factor

Si un polinomio racional entero xF se anula cuando se sustituye en él a "" x por a, entonces ax es

factor de xF o lo que es lo mismo xF es divisible entre ax .

Hemos visto que :

ax

rxq

ax

xF

Si r = 0 entonces

xq

ax

xF

Por tanto: axxqxF si reemplazamos "" x por a

aaaqaF

0aF

L.C.Q.D.

2.13 Teorema Recíproco del Teorema del Factor Si ax es un factor del polinomio racional entero xF , entonces “a” es un valor que anula a xF

axxqxF Reemplazando x por aaaqaF .

0aF

Ejemplos

a) ¿ Son divisibles por 2x las funciones:

1) 2322 23

1 xxxxF

2) 1225 34

2 xxxxF ?

Soluciones: 1) 0268162232222223

1 F

Luego: xF1 es divisible por 2x

2) 691416801222524

2 F

Luego: xF2 no es divisible por 2x

b) ¿Cuál es el cociente Q(x) y el resto R(x) de dividir:

18


Polinomios

Unidad 2

2.14 Método de la División Sintética o de Ruffini

Este método es un proceso abreviado para efectuar la división de un polinomio xF entre un binomio de la

forma ax basado en los coeficientes indeterminados. Veamos:

Sea 01

2

2

3

3

4

4 AxAxAxAxAxF

Al dividir xF entre ax se tiene:

raxxqxF 1

Sabemos que aFr y que ""r es independiente de x ; luego el grado del miembro a la derecha de 1

debe ser cuatro 4 y depende del producto axxq y puesto que ax es de primer grado entonces

xq será de tercer grado.

Supongamos entonces que: 01

2

2

3

3 BxBxBxBxq 2

Donde 3210 ,,, BBBB son coeficientes indeterminados. Reemplazando 2 en 1 :

raxBxBxBxBxF 01

2

2

3

3 3

Efectuando el producto en y asociando términos semejantes se tiene:

010

2

21

3

32

4

3 aBrxaBBxaBBxaBBxBxF 4

Recordemos que también:

01

2

2

3

3

4

4 AxAxAxAxAxF 5

Tenemos que comparando 4 con 5 tienen que ser iguales los coeficientes de una misma potencia a x,

esto es:

Dividiendo entre tenemos que entonces

4

3

4

4 xBxA 4x 34 BA 43 AB

3

32

3

3 xaBBxA 3x 323 aBBA 332 aBAB

2

21

2

2 xaBBxA 2x 212 aBBA 6 221 aBAB 7

xaBBxA 101 x 101 aBBA 110 aBAB

00 aBrA 00 aBAr

Si tomamos sólo los coeficientes de xF y lo disponemos horizontalmente como aparecen en el cuadro

siguiente (1ra. fila) podemos ver con claridad que las operaciones indicadas en el mismo, satisfacen las

igualdades dadas en (7). La manera de proceder se explica en el cuadro a continuación:

4A + 3A + 2A + 1A + 0A

a 3aB + 2aB + 1aB + 0aB

4A + 2B + 1B + 0B + r

19


Polinomios

Unidad 2

Explicación del cuadro:

Para dividir un polinomio xF por ax organícelo en potencias decrecientes de x poniendo cero en los

lugares donde falten términos. Luego disponga el conjunto de la siguiente manera:

a) Escriba los coeficientes con sus signos (incluyendo ceros) en sucesión horizontal y tal como aparecen en

el polinomio ya organizado.

b) Deje un espacio y pase una raya de suma y debajo de esta raya repita el coeficiente

34 BA (1er coeficiente del cociente)

c) Multiplique 4A por a y sume ese producto con 3A el resultado de esa suma es el coeficiente 2B

(2do coeficiente del cociente).

d) Multiplique 2B por a , sume este producto con 2A , el resultado es el coeficiente 1B (3er

coeficiente del cociente).

e) Multiplique 1B por a, sume este producto con 1

A , el resultado es el coeficiente

0B (4to coeficiente del cociente)

f) Multiplique 1B por a , sume este producto con 0A A0 , el resultado es el resto r

(5to coeficiente del cociente)

g) Aféctese cada coeficiente 3B , 2B , 1B , 0B de las potencias

0

21 ,,...,, xxxx nn

Y ese será el cociente buscado. El valor ""r es el residuo de la división.

Ejemplo

Dividir 232 45 xxx entre 2x

El polinomio organizado en potencias decrecientes es: 23002 2345 xxxxx

Efectuando la disposición indicada:

1 2 0 0 3 2

2 2 8 16 32 70

__________________________________________

1 4 8 16 35 72

Luego: 72r Resto.

El cociente es: 351684 234 xxxxxq

Recordemos que:

El método de división sintética o de Ruffini se usa para dividir polinomios de modo que el divisor sea de

primer grado, en caso de no ser de primer grado, debemos descomponerlo en factores lineales, para repetir

el proceso con cada uno de los factores determinados , tomando en cuenta el nuevo dividendo.

20


Polinomios

Unidad 2

2.15 Divisibilidad de Polinomios

Supondremos que los coeficientes de los polinomios pertenecen a un cierto campo numérico; es decir, que

con ellos pueden efectuarse las cuatro operaciones fundamentales, salvo la división por cero.

Un polinomio xf sobre un campo numérico admite como divisores triviales a todos los elementos 0a

del campo y a todos los elementos de la forma a xf Todo otro divisor (no trivial) se llama divisor

propio.

Ejemplos:

1) Divisores Triviales de 12164 2 xxxP son: 2 , 4 , 682 2 xx , 342 xx

Divisores Propios de xP son 3x 1x

2) Para 1003010 2 xxxM

Los divisores Triviales son: 10 , 5 , 2 , 50155 2 xx , )103( 2 xx , 2062 2 xx

Los divisores Propios son : 5x , 2x

3) Para 72426 2 xxxH definido en R .

Los divisores triviales son: 36213,127,24142,6,3,2 222 xxxxxx

Los divisores propios son: 3x , 4x

Un polinomio que, aparte de los divisores triviales no tiene ningún otro, o sea que no tiene divisores

propios se llama polinomio irreducible debiendo agregarse sobre el campo que se considera. Esta última

frase es imprescindible, pues un polinomio irreducible sobre un cuerpo puede muy bien ser reducible sobre un

cuerpo más extendido.

Por ejemplo:

32 xxf Es irreducible sobre el campo de los números racionales; pero si se amplía el cuerpo de los

números reales, ya el polinomio se hace reducible:

32 xxf 3x 3x

Como:

Z3 entonces 3x 3x no son divisores propios en Z para xf

Q3 Entonces 3x 3x no son divisores propios en Q para xf

√ Entonces 3x 3x son divisores propios en R para xf

21


Polinomios

Unidad 2

2.16 Polinomios Asociados

Dos polinomios f(x) y g(x) no nulos sobre un Campo Numérico, son o se llaman asociados

si y sólo si cada uno de ellos divide al otro, o sea,

g(x) = a f(x) o f(x) = b g(x), siendo a, b elementos no nulos del campo, inversos

uno del otro 1 ab 1 ba recíprocamente, si “a” es un elemento no nulo del campo,

b g(x) está asociado con xf

Ejemplos de polinomios asociados:

101236 234 xxxxf

3

1042

3

1 234

xxxxfxg

20246122 234 xxxxfxh

xhxgxf ,, son polinomios asociados.

Todo polinomio no nulo sobre un campo es asociado con otro cuyo coeficiente principal es la unidad. Esto es

así, ya que si el coeficiente principal de f(x) es 0na , es evidente que el polinomio asociado xfan

1

tendrá como coeficiente principal a la unidad.

Ejemplo

Si 101236 234 xxxxf

6

102

2

1

6

1 234

xxxxfxp

Para el estudio de la divisibilidad, en lugar de un polinomio f(x) puede considerarse cualquiera de sus

asociados g(x), puesto que f(x) y g(x) tienen exactamente los mismos divisores y exactamente los mismos

múltiplos. En particular, bastará considerar aquellos polinomios cuyo coeficiente principal sea la unidad. A

los polinomios que tienen esta propiedad (coeficiente principal igual a uno) se les llama mónicos o normales.

Un polinomio que sea a la vez irreducible (sobre un campo numérico) y mónico se llamará polinomio primo

sobre el campo dado.

Podemos decir que para:

213253 2 xxxxxM

donde (3x+1) no es un polinomio primo

(x-2) es un polinomio primo

12 xxxP es un polinomio primo

22


Polinomios

Unidad 2

Principio Fundamental de la Divisibilidad

Todo polinomio f(x) puede descomponerse de una única manera en un producto de polinomios primos (iguales

o diferentes).

Podemos definir el máximo común divisor (MCD) de dos o más polinomios f(x), g(x)como el polinomio (si

existe) d(x) de mayor grado que divide exactamente a los polinomios datos.

Análogamente, el mínimo común múltiplo (MCM) de f(x), g(x) es el polinomio m(x) de menor grado que

contiene exactamente a los polinomios dados.

El llamado Algoritmo de Euclides o de las Divisiones Sucesivas sirve para calcular el MCD de dos

polinomios. Para mostrar su fundamento, veremos primero dos principios en los cuales éste se basa.

I) Si d(x) es un divisor común de dos polinomios u(x),v(x) también d(x) es divisor de toda combinación

lineal

xvxkxuxh ..

Siendo h(x), k(x) otros dos polinomios cualesquiera.

Demostración:

Como d es divisor de u (d/u) y además divisor de v(d/v) por hipótesis, existen polinomios u’(x) y v’(x)

tales que:

xuxdxuxuxd

xu'.'

xvxdxvxvxd

xv'.'

Pero entonces:

xvxdxkxuxdxhxvxkxuxh ''.. xvxkxuxhxd '.'.

O sea '.'...

vkuhd

vkuh

Y por consiguiente:

kvhu

d

d es divisor de ( hu + kv ) LCQD

23


Polinomios

Unidad 2

II) Si f(x), h(x) son dos polinomios, de los cuales el último polinomio h(x) es al menos no nulo, q(x)

el cociente y r(x) el resto de la división de f(x) por h(x), entonces el MCD de f(x) y h(x) es también

el MCD de h(x) y r(x).

xh

xrxq

xh

xf f(x) = h(x).q(x) + r(x)

Abreviando f = h q+r → “ f ” es una combinación lineal de “ h ” y “ r ”

qhfr . → “ r ” es una combinación lineal de “ f ” y “ h ”

Supongamos que “ d ” sea el MCD de (f, h) y d’ el MCD de (h, r). Al ser “ d ” divisor

común de f y h , por la demostración anterior “ d ” es divisor de “h” y también será divisor de

“ r ” (por ser “ r ” una combinación lineal de f y h); de donde se concluye que d es divisor de d’ (

d/d’).

Análogamente, al ser d’ divisor común de h y r , por la demostración anterior d es divisor de h y

también será divisor de f (por ser f una combinación lineal de h y r); de donde se concluye que d es

divisor de d ( d’/d); y siendo d y d’ cada uno divisor del otro, entonces, ambos polinomios, coincidirán.

24


Polinomios

Unidad 2

2.17 Fracciones parciales

Una función racional xQ

xP puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor xQ 0 de la

misma, de tal modo que el divisor puede presentar términos que permitan factorizarlo atendiendo a:

a) Factores lineales distintos.

b) Factores lineales repetidos o iguales.

c) Factores cuadráticos distintos.

d) Factores cuadráticos repetidos.

Cada caso de los indicados permite formar una fracción racional equivalente a la dada del modo

siguiente:

a) Factores lineales distintos.

xQ

xP=

nn bxabxabxabxa

xP

...332211

O sea que: xQ = nn bxabxabxabxa .... 332211

Vamos a formar varias fracciones, una para cada factor distinto de xQ . El numerador de la fracción

tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N

xQ

xP

nn bxa

N

bxa

C

bxa

B

bxa

A

...

332211

I

Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo

xQ = nn bxabxabxabxa .... 332211 formamos una expresión sin denominadores:

nnnn bxabxabxaBbxabxabxaAxP ...... 33113322

nn bxabxabxaC ...2211 …+ 11332211 .... nn bxabxabxabxaN

En éste caso, determinamos A, B, C,…, N mediante igualdad de polinomios,

previa multiplicación de los binomios indicados. Podemos utilizar la parte derecha de la función racional

I :

nn bxa

N

bxa

C

bxa

B

bxa

A

...

332211

como equivalente de la dada xQ

xP.

25


Polinomios

Unidad 2

b) Factores lineales repetidos.

xQ

xP=

baxbaxbaxbax

xP

...

Es decir: xQ baxbaxbaxbax ... nbax

Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá una

constante a determinar: A,B,C,…,N

xQ

xPnbax

N

bax

C

bax

B

bax

A

)(...

)()( 32

I

Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo xQ nbax formamos una

expresión sin denominadores:

NbaxCbaxBbaxAxP

nnn

...

321

En la expresión anterior, determinamos A,B, C,…, N mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo

de los binomios. Ahora podemos utilizar la parte derecha de la función racional I como equivalente de

la dada xQ

xP.

c) Factores cuadráticos distintos.

xQ

xP=

nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa

xP

2

33

2

322

2

211

2

1 ...

Ahora: xQ nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa 2

33

2

322

2

211

2

1 ...

Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá dos

constantes a determinar: A,B,C,…,N, M

xQ

xP=

11

2

1 cxbxa

BAx

22

2

2 cxbxa

DCx

...

33

2

3 cxbxa

FEx

nnn cxbxa

MNx

2

26


Polinomios

Unidad 2


xQ = nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa 2

33

2

322

2

211

2

1 ... formamos una expresión sin

denominadores:

nnn cxbxacxbxacxbxaBAxxP 2

33

2

322

2

2 ...

nnn cxbxacxbxacxbxaDCx 2

33

2

311

2

1 ...

nnn cxbxacxbxacxbxaFEx 2

22

2

211

2

1 ... …+

1)1(

2

)1(22

2

211

2

1 ... nnn cxbxacxbxacxbxaMNx

Encontramos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previa multiplicación de los factores

planteados en P(x) . Ahora podemos utilizar la parte derecha de la función racional I como equivalente

de la dada xQ

xP.

d) Factores cuadráticos repetidos.

xQ

xP=

cbxaxcbxaxcbxaxcbxax

xP2222 ...

Siendo: xQ ncbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax 22222 ...

Formamos varias fracciones, una para cada factor de xQ . El numerador de la fracción tendrá dos

constantes a determinar: A,B,C,…,N, M

xQ

xP=

cbxax

BAx2

22 cbxax

DCx

...

32 cbxax

FEx

ncbxax

MNx

2 I


xQ ncbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax 22222 ...

formamos una expresión sin denominadores:

P(x) = (Ax+B)

12 ncbxax (Cx+D)

22 n

cbxax (Ex+F)

32 ncbxax

+…+ (Nx+M)

Hallamos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los factores indicados.

Utilizamos la parte derecha de la función racional I como equivalente de la expresión dada xQ

xP.

27


Polinomios

Unidad 2

Ejemplos de Fracciones Parciales

Primer Caso. Factores de primer grado distintos.

Sea la función racional xQ

xP = 31

35

xx

x

Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente, dependiendo del divisor

xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales

distintos 1x y 3x .

A partir de la fracción dada 31

35

xx

x podemos construir dos fracciones cuya suma

sea equivalente a la fracción conocida: 31

x

B

x

A

Es decir: 3131

35

x

B

x

A

xx

x Multiplicando ésta ecuación por el mínimo

común múltiplo 1x 3x , tenemos: 1335 xBxAx

Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: BBxAAxx 335

Asociando en la derecha los términos semejantes: BAxBAx 335

Igualando los términos semejantes:

En x: xBAx 5 ( I )

Términos independientes: -3 = -3 A + B ( II )

De I Dividiendo entre x la expresión: 5 = A + B ( I )

-3 = -3 A + B ( II )

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I y II mediante reducción:

Multiplicando la ecuación I por 3: 15 = 3A+ 3B

-3 = -3A+ B

Sumando las dos ecuaciones anteriores 12 = 4B B = 34

12 B = 3

Sustituyendo B en la ecuación I: 5 = A + 3 A= 5-3= 2 A = 2

Con los valores de A, B encontrados tenemos: 3

3

1

2

31

35

xxxx

x

La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial conocida.

28


Polinomios

Unidad 2

Segundo Caso. Factores de primer grado repetidos.

Sea la función racional 2

2

76

x

x

xQ

xP

Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor

xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales iguales 22 xx .


2

76

x

x podemos construir dos fracciones cuya suma sea equivalente a la

fracción conocida : 2

22

x

B

x

A

Es decir: 22

222

76

x

B

x

A

x

x Multiplicando ésta ecuación por el mínimo

común múltiplo 22x , tenemos:

BxAx 276

Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:

)2(76 BAAxx

Igualando términos semejantes:

En x : 6 x = A x Dividiendo entre x, tenemos que : A = 6

Términos independientes: BA 27 7= 2(6) +B

Despejando B: B = 7-12 = -5 5B

Sustituyendo los valores de A y B en la fracción inicial:

22

2

5

2

6

2

76

xxx

x


29


Polinomios

Unidad 2

Tercer Caso. Factores de segundo grado distintos.

Sea la función racional

xQ

xP

21

1222

23

xx

xxx

Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor xQ 0 de la

misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo grado diferentes 21 22 xx .


1222

23

xx

xxx podemos construir dos fracciones cuya suma sea

equivalente a la fracción conocida : 21 22

x

DCx

x

BAx

Es decir: 2121

122222

23

x

DCx

x

BAx

xx

xxx Multiplicando ésta ecuación por el mínimo

común múltiplo 21 22 xx ,

Tenemos: 1212 2223 xDCxxBAxxxx

Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:

DDxCxCxBBxAxAxxxx 232323 2212

Factorizando a la derecha de la igualdad:

)2()2()()(12 2323 DBxCAxDBxCAxxx

Igualando términos semejantes:

En 3x : 33 )( xCAx Dividiendo entre 3x , tenemos que : 1 = A + C (I)

En 2x : 22 )( xDBx Dividiendo entre 2x , tenemos que : 1 = B + D (II)

En x : xCAx )2(2 Dividiendo entre x , tenemos que : 2 = 2A + C (III)

Términos independientes: )2(1 DB o sea que: 1= 2B + D (IV)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I , II , III, IV :

De I: 1 = A + C multiplicando por -1 -1 = -A - C

Sumando con III: 2 = 2A + C

1= A A = 1

Sustituyendo A en I tenemos que 1 = 1 + C por tanto C = 0

30


Polinomios

Unidad 2

Seleccionando ahora las ecuaciones II y IV

1 = B + D multiplicando por -1 -1 = -B - D

Sumando con IV: 1= 2B + D

0 = B por tanto B = 0

En la Ecuación II encontramos a D: 1 = B+ D 1 = 0 + D D = 1

Sustituyendo los valores de A, B, C, D en la fracción inicial:

2

1)0(

1

0)1(

21

122222

23

x

x

x

x

xx

xxx

Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:

2

1

121

122222

23

xx

x

xx

xxx


Cuarto Caso. Factores de segundo grado repetidos.

Sea la función racional

xQ

xP

22

2

9

9

x

xx

Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor

xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo grado repetidos

99 22 xx .


2

9

9

x

xx podemos construir dos fracciones cuya suma sea equivalente a la

fracción conocida : 222

99

x

DCx

x

BAx

Es decir: 22222

2

999

9

x

DCx

x

BAx

x

xx

Multiplicando la ecuación anterior por el mínimo común múltiplo 22 9x tenemos:

DCxxBAxxx 99 22

DCxBBxAxAxxx 999 232

Completando el polinomio de tercer grado en la derecha y factorizando los términos semejantes a la

izquierda:

)9()9(90 2323 DBxCABxAxxxx

31


Polinomios

Unidad 2

Igualando términos semejantes.

En 3x : 330 Axx A = 0

En 2x : 22 Bxx B = 1

En x : xCAx )9( -1= 9 A + C -1 = 9(0) + C C = -1

Términos independientes: 9 = 9B + D 9 = 9(1) + D D = 0

En la expresión: 22

2

9

9

x

xx=

22299

x

DCx

x

BAx

Sustituyendo A, B, C y D tenemos:

22

2

9

9

x

xx =

2229

0)1(

9

1)0(

x

x

x

x

Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:

22

2

9

9

x

xx =

22299

1

x

x

x


2.18 Aspectos Complementarios

Números Primos

Son todos aquellos números enteros positivos que solo admiten como divisores así mismo y a la unidad.

Ejemplos: ,...23,19,17,13,11,7,5,3,2

Descomposición de un Número Entero en sus Factores Primos

Esto se hace por sucesivas divisiones del número entre los factores primos que éste posea, hasta llegar

como último cociente a la unidad.

Ejemplo:

Descomponer en sus factores primos a y .

Podemos expresar los números conocidos como:

23218

22532450

32


Polinomios

Unidad 2

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El de dos o más números es el menor número que los contiene a todos exactamente.

Esto se hace descomponiendo cada número en sus factores primos y luego multiplicando los factores

primos comunes y no comunes de ambos, tomando los factores primos comunes con su mayor

exponente.

El entre a) 18 450

23218

22532450

MCM = 45053222

b) 54 90

33254 532902

MCM= 2705323

c)

Máximo Común Divisor (MCD)

El de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente. Esto se hace

descomponiendo cada número entero en sus factores primos y luego multiplicando los factores comunes

afectados de su menor exponente.

A) Hallar el entre y 270

7321262

5322703

MCD = 18322

B) Buscar MCD entre 18 450

23218

22532450

MCD = 18322

33


Polinomios

Unidad 2

C) Determinar el entre

Otra forma para hallar el entre dos números enteros es usando la división mediante el Algoritmo de

Euclides. Según este procedimiento el entre dos números enteros y se determina

como sigue:

Se divide entre , encontraremos un cociente y un resto , tal que si el resto es

cero, es el entre y Pero si el resto es diferente de cero, se hace otra división, que será

entre y Si el resto es cero, el último divisor usado es el . En caso contrario se sigue

dividiendo, siempre el divisor entre el resto de la división anterior. Este proceso terminará cuando el resto

sea cero. El es el último divisor usado.

Cuando los números conocidos sean primos, entonces el no existe.

Hallar el entre y

Cuando dividimos 126

154

b

a se origina un cociente q = 1 y un resto = r = 28

Luego al dividir 28

126

r

b el cociente encontrado es q = 4 y el resto = 1r = 14

Al dividir 14

28

1

r

r el cociente es q =2 y el resto = 02 r

Como 02 r el MCD corresponde al último resto distinto de cero que es 1r .

MCD = 14

34


Polinomios

Unidad 2

2.19 Algoritmo de Euclides

Dados dos polinomios su puede obtenerse así:

Efectúese la división de por , obteniéndose un cociente y un resto . Si no es

nulo; efectúese la división de por , obteniéndose un cociente y un resto . Si

no es nulo; divídase por , obteniéndose un cociente y un resto . Si

no es nulo; continúe dividiendo continuamente hasta llegar a un resto nulo. Cuando esto ocurra, entonces

el resto anterior al nulo (o sea, el último divisor usado) es el entre y

En símbolos:

+

+

. .

Al ser entonces

Como las sucesivos restos son polinomios de grados decrecientes, llegara un momento en

que cierto residuo sea cero.

Aplicando la demostración anterior a las sucesivas divisiones tendremos:

lo cual se lee

es igual al de y de y de y

Pero como, según lo explicado 1nr es múltiplo de rn, es claro que el último

es .

Así queda finalmente la tesis de que el es .

L.C.Q.D

35


Polinomios

Unidad 2

Ejemplo:

Sea

Hallar el entre y

Las divisiones sucesivas son:

15357892254235 2345678 xxxxxxxx

10252705 2345 xxxxx 2345 1553 xxxx

1052 23 xxx

1553 23 xxx

De ahí que el sea :

normal:

36


Polinomios

Unidad 2

2) Hallar el MCD normal entre

El normal o se determina como sigue:

9

6399 2 xx72 xx

normal es

3)

37


Polinomios

Unidad 2

302 xx 13 x

xx

3

12 9

1

3

1x

33

1

x

-9

1

3

1x

9

28

Polinomio asociado: 1

Polinomio constante , su polinomio asociado es

No hay .

Los polinomios dados son primos entre si.

2.20 Polinomios Primos

Son aquellos que no tienen MCD. Es decir, el único divisor común entre ellos es la unidad.

2.21 Factorial de un Número Natural

Si n es un número natural, se llama factorial de y se designa , al producto de todos los números

naturales consecutivos desde hasta

Ejemplos

38


Polinomios

Unidad 2

El análisis combinatorio estudia las diferentes formaciones que pueden hacerse con un número limitado de

elementos.

Se llaman combinaciones a las diferentes formaciones que podemos hacer con elementos diferentes

entrando de en , pudiendo ser , de modo tal que dos formaciones sólo se diferencien en la

naturaleza de por lo menos uno de sus elementos.

Las combinaciones sin repetición son aquellas en las que en una formación ningún elemento participa más

de una vez.

Ejemplo

Sean elementos

Formemos las combinaciones, tomando los elementos de en : .

Es usual calcular el número de combinaciones sin repetición de elementos, tomados de en ,

usando la expresión del número combinatorio:

n

m

nmn

mC nm

!!

!,

base

orden

Ejemplos:

3

!2

!3

!23!2

!32,3

C

126

!59!5

!95,9

C

Propiedades del Número Combinatorio

a)

b)

c)

d) N

e)

39


Polinomios

Unidad 2

2.22 Binomio de Newton

El desarrollo de las segunda y tercera potencias enteras positivas de un binomio, se resuelve con un par de

reglas fijas del álgebra elemental.

Asi :

A partir de la cuarta potencia se aplica un conjunto de reglas fijas llamadas propiedades del desarrollo del

Binomio de Newton.

( ) (

) (

) (

) (

) (

)

( ) (

) (

) (

) (

) (

) (

)

En general:

mmmmmmbba

mmmba

mmba

maba

...

321

21

21

1

1

33221

Si en esta expresión general observamos el coeficiente de cada término, podemos comprobar que éstos son

números combinatorios de base y orden igual en cada caso, al lugar que ocupa el término en cuestión

disminuido en 1.

Así, si llamamos al lugar que ocupa un término , en el desarrollo de podemos decir que:

Ejemplo: 1) Desarrollar ( )

2) Hallar del binomio ( ) : =

2.23 Propiedades del Desarrollo de mba

a) La igualdad entre los coeficientes simétricamente dispuestos respecto del centro obedece a que éstos,

en cada caso, son números combinatorios de órdenes complementarios.

b) El número de términos del desarrollo es

c) El desarrollo es un polinomio homogéneo (todos sus términos son del mismo grado absoluto) de

grado

d) El desarrollo es un polinomio completo en (posee todas las potencias de y desde m

hasta uno, y además un término independiente respecto de cada una de estas letras).

40


Polinomios

Unidad 2

2.24 Derivada de un Polinomio

Dado un polinomio rn

r

r xaxP

0

siendo

Se define el polinomio derivado o simplemente la derivada , como el polinomio que se obtiene al

multiplicar cada término por el exponente de y por la potencia de disminuida en la unidad, o sea:

Ejemplo. Hallar la primera derivada de P(x)

10937 23 xxxxP

Propiedades de las Derivadas

a) La derivada de una constante es cero. Recíprocamente, si la derivada de un polinomio es cero, tal

polinomio se reduce a una constante, nula o no.

b) La derivada de una suma de polinomios es la suma de las derivadas de esos polinomios.

''' gfgf

c) La derivada de una diferencia de polinomios es igual a la diferencia de las derivadas de dichos

polinomios.

''' gfgf

d) La derivada de un producto de dos polinomios f, g está dada por la fórmula:

'.'.'. fggfgf

e) La derivada del producto , siendo una constante es

2.25 Derivadas Sucesivas

La derivada de un polinomio es a su vez un polinomio, de un grado una unidad menor que

Por consiguiente, tiene a su vez una derivada, que se llama la de y

se indica con la notación ó Y así sucesivamente, puede definirse la derivada tercera o derivada

de la derivada segunda, la derivada cuarta .

41


Polinomios

Unidad 2

Ejemplos:

Si , hallar

2.26 Fórmula de Taylor. Desarrollo en Serie de las Funciones

La llamada Fórmula de permite el desarrollo de una función cuando se incrementa en

una cantidad o sea el desarrollo de la función

Tomemos un polinomio entero en y de

Reemplacemos a por

Desarrollando los binomios de la derecha tenemos:

hyf

40322304

40

4

3

4

2

4

1

4

0

4hyyhhyhyhyA

302203

33

3

2

3

1

3

0

3hyyhhyhyA

01

2002

22

2

1

2

0

2AhyAhyyhhyA

Asociando los términos que tienen una misma potencia de y resolviendo parcialmente los números

combinatorios indicados, tenemos:

01

2

2

3

3

4

4 AyAyAyAyAhyf a

12

2

3

3

4 234!1

AyAyAyAh

b

23

2

4

2

2334!2

AyAyAh

c

34

3

23234!3

AyAh

d

4

4

234!4

Ah

e

42


Polinomios

Unidad 2

Si observamos lo que encierra el paréntesis de cada sumando, vemos que:

1) El del sumando es la misma función dada.

2) El del sumando es la primera derivada de esa función.

3) El del sumando es la segunda derivada de la función.

4) El del sumando es la tercera derivada de la función.

5) El del sumando es la cuarta derivada de la función.

Todo lo anterior lo podemos resumir en la siguiente expresión:

Donde son los símbolos que indican las derivadas sucesivas de la función.

Si hubiéramos elegido un polinomio de un grado mayor, la expresión anterior sólo hubiera diferido en el

número de términos, porque las derivadas son tantas como el grado. Entonces, generalizando la expresión,

tendremos:

Resumiendo: yfi

hhyf i

n

i

i

0 !

Si en la expresión permutamos por tenemos:

Reordenando tenemos:

n

n

yn

hfy

hfy

hfy

hfhfhyf .

!....

!3

'''.

!2

''.

!1

' 32 2

=

hyfyi

hf in

i

i

0 !

Esta expresión es la Fórmula de Taylor para el desarrollo de cualquier polinomio algebraico

cuando se incrementa la variable en una cantidad .

Si en la expresión hacemos , de donde , resulta:

in

i

i

hxi

hfxf

.!0

43


Polinomios

Unidad 2

Esta es la expresión de que permite el desarrollo de un polinomio algebraico en

función de las potencias del binomio la cual tiene gran aplicación en la .

Los coeficientes de las potencias en la Fórmula de Taylor son los restos que se

obtienen dividiendo por dividiendo nuevamente el cociente obtenido entre y así

sucesivamente.

Para el cálculo de la Fórmula de Taylor podemos, en consecuencia, aplicar la técnica de la división

sintética ya estudiada. Las sucesivas divisiones se pueden reunir en un sólo esquema de cálculo, que se

identifica como .

2.27 Aplicaciones

Ejemplos

1) Desarrollar el polinomio por la fórmula de Taylor alrededor del

punto

121 fhf

01'' fhf

181 IIII fhf

01 IIIIII fhf

1201 IVIV fhf

2401 VV fhf

Desarrollo:

Según

in

i

i

hxi

hfxf

.!0

543'''

2'''

!5!4!3!2!1)( hx

hfhx

hfhx

hfhx

hfhx

hfhfxf

VIV

Sustituyendo en la ecuación anterior cada término:

Ordenando en forma decreciente, la expresión es:

44


Polinomios

Unidad 2

2) Desarrollar el polinomio alrededor del punto

usando el

2 5 0 1 8 6

2 3 3 2 6 12 hf

2 -1 4 -6

2 1 4 6 0 !1

' hf

2 1 3

________________________________________

2 1 3 9 !2

hf II

2 3 0 !3

hf III

2 _______________

!4

hf IV

2 !5

hf V

Desarrollo usando Horner: Y = x-h = x-(-1) = x+1

( ) ∑( ( ))

( )

( ) ( ( ))

( )

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( ( ))

( ) +

( ( ))

( )

( ( ))

( )

.

Si se quiere verificar la exactitud de este resultado, no hay más que desarrollar las potencias de

indicadas, y sumar algebraicamente.

45


Polinomios

Unidad 2

3) Desarrollar el polinomio según potencias de

Comprobar el resultado.

( ) ( ) ( )

( )

( )

Usando esquema de

2 5 7 1

4 8 52 236

__________________________

2 13 59 237 2374 f

8 84

__________________________

2 21 143

143!1

4'

f

__ -8_____________________

2 29

29!2

4

IIf

__________

2

2!3

4

IIIf

Comprobación:

46


Polinomios

Unidad 2

4) Exprese a en potencias de usando el

.

1 1 0 2 5

2 2 6 12 28

____________________________________

1 3 6 14 23 232 f

2 10 32

______________________________

1 5 16 46

46!1

2'

f

2 14 ________________________

1 7 30

30!2

2

IIf

2 ___________________

1 9

9!3

2

IIIf

______________

1

Hágase la comprobación sustituyendo:

47


Polinomios

Unidad 2

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 1 . UNIDAD 2

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

I. Exprese en forma vectorial el polinomio dado

a) f(x) = 2x4 – 5x

3 + 7x

2 + x-6

b) g(x) = x7 – 3x

5 + 2x

3 – x + 10

c) h(x) = 2x4 – 7x

2 – 1

d) w(x) = x8 – x

II. Halle los valores numéricos indicados, a partir del polinomio

f(x) = 2x4 – 5x

3 + 7x

2 + x-6

a) f (-1) =

b) f (3) =

c) f (0) =

d) (

)

III. Construir la gráfica de

1) f(x) = x 2 – 4x + 4. Usar I : -1 x 3

f(x) = (x – 2) 2

2) f(x) = x 3 – 6x

2 + 12x – 8 Usar I : -1 x 4

f(x) = (x – 2) 3

3) f(x) = x 2 – 3x + 2 = 0 Usar I : 0 x 3

f(x) = (x – 1) (x – 2) = 0

48


Polinomios

Unidad 2

IV. Indique en cada caso, si el valor dado de “ a” es raíz de f(x)

1) f(x) = 4x2 – 10x + 6 si a = 2

2) f(x) = 15x3 + 17x

2 – 30 si a = 1/5

3) f(x) = 14x4 – 60x

3 + 49x

2 – 21x + 19 si a = 1

4) f(x) = x7 – 3x

5 + 2x

3 – x + 10 si a = -1

V. Determine si:

1) (x –1) es factor de x 3 + 3x

2 – 25x +21

2) (x + 7) es factor de x3 + 8x

2 + 5x – 14

3) (4x – 3) es factor de 4x3 + 9x

2 – x – 6

VI. a) Demuestre que (x-4) es un factor de f(x) = x3 –18 x + 8

Factorice f(x) en factores lineales.

b) Pruebe si (x-3) es un factor del polinomio

f(x) = x 4 – 4x

3 – 7x

2 + 22x + 24 , y si lo es factorícelo.

c) Comprobar que x5 + a

5 es divisible por (x+a)

d) ¿Cuál es el resto de la división de y6 + a

6 entre (y+a)

VII. Halle los valores de ”k” de modo que:

1) (x-2) sea un factor de f(x) = 2 x2 + kx - 3

2) (x+1) sea un factor de f(x) = x3 –2kx

2 + x - 7

3) El resto de la división de 3x2 – 4kx + 1 entre (x+3 ) sea igual a -20

4) El resto de la división de x3 – k

2 x + 4 entre (x-1) sea igual a la unidad

VIII. Hallar los valores de “K” para los cuales:

1. f(x) = 4x3 + 3x

2 – Kx + 6K es divisible por (x+3)

2. f(x) = x5 + 4Kx – 4K

2 al dividirse por (x-2) tiene por resto cero.

3.f(x) = 3x5 – 2Kx

4 – 5x

3 – 4Kx + 10K + 5 al dividirse por (x-2) tiene por resto la

unidad.

4.g(x) = K2 x

5 – 3x

2 + 2K es divisible por (x-1)

49


Polinomios

Unidad 2

IX. Efectúe las siguientes divisiones mediante el proceso de los coeficientes indeterminados.

a) 2x5 - 7x

4 - 6x

3 - 6x

2 - 7x + 3

x2 + 2x – 1

b) 3x7 - 3x

6 + 4x

3 - x

2 - 3x + 1

x3 - x

2 + 1

c) 2x4 - 3x

2 + 2x - 1

2x – 3

X. a) Aplicando el teorema del resto y por medio de Ruffini, determina si:

f(x) = 2x5 – 3x

3 + 2x

2 – x, es divisible entre (2x-3)

b) Determine el valor de “a” de modo que el resto de la división de

f(x) = x2 –3x –1 entre (x-a) sea igual a 3.

50


Polinomios

Unidad 2




PRACTICA PROPUESTA No. 2. UNIDAD 2



I. Utilizar la igualdad de Polinomios para determinar los literales en:

a) 2 x4 – 4x

3 – 5x

2 – Cx + 2D = (x – B) (Ax

3 – 5x – 12)

b) 5x2 – 2x + 3 = Ax

2 + (B+C)x + 7 (B-C)

c) A(2x-3) + B(x-2) = x

d) A(x2 - 4x+3) + B(x

2 – 1) + C(x

2 -2x-3) = 6x – 10

II.a) Suponga que f(x) = 36 x 98

–40 x 25

+ 18 x14

– 3 x7 + 40 x

4 + 5x

2 –x - 2

se divide por (x-1). ¿Cuál es el resto?

b) Mediante la división sintética, pruebe que:

X4+9X

3+13X

2-9X-14 = (X-1)(X+1)(X+2)(X+7 )

III. Efectuar la operación indicada entre los polinomios conocidos.

( ) ( ) ( )

a) P(x)+2M(x) –N(x) b) P(x) [ N(x)] c) ( )

( )

d) M(x)-2[N(x)] e)2M(x)-[3 P(x)-N(x)]

IV. a) ¿Que polinomio se debe sumar a de tal modo que la suma

sea ?

b) ¿Que polinomio se debe restar a de tal modo que la suma

sea ?

V. Aplicando Ruffini , determine el cociente y el resto al dividir los

polinomios:

1)f(x) = 3x4

+ 19x3 + 19 x

2 –7x –10 entre (x+5)

2)f(x) = x4+ 3x

3 –19x

2 –27x +90 entre (x-3 )

3) f(x) = x4 + 9x

3 + 13x

2 –9x –14 entre (x+7)

4) f(x) = 2x4 – 3x

3 + 4x

2 + x – 6 entre (x-3)

5) f(x) = x5 – 4x

4 – 5x

3 + 4x

2 + x – 18 entre (x+2)

51


Polinomios

Unidad 2

VI. Hallar “r” utilizando el teorema del resto al dividir los polinomios.

1) f(x) = 2x2 – 4x + 6 entre x – 2

2) f(x) = 3x2 + 7x – 1 entre x + 3

3) f(x) = x4 – x

3 + 2x

2 + 3x + 5 entre x – 3

4) f(x) = 2x4 – 7x

2 + x – 1 entre x + 3/2

VII. Utilice el teorema del resto para hallar f(a)

1) f(x) = 4x2 – 10x + 6 si a = 2

2) f(x) = 15x3 + 17x

2 – 30 si a = 1/5

3) f(x) = 14x4 – 60x

3 + 49x

2 – 21x + 19 si a = 1

4) f(x) = x7 – 3x

5 + 2x

3 – x + 10 si a = 5

VIII. Determine si el polinomio lineal g(x), es un factor de f(x)

1) f(x) = 2x2 + 6x – 25 g(x) = x – 5

2) f(x) = 10x2 – 27x + 1 g(x)= x + ½

3) f(x) = 2x 3 – 4x + 7 g(x)= x+ 1

4) f(x) = x 5 – 2x

4 + 4x

2 – x + 2 g(x)= x + 2

IX. a) Factorice el polinomio cuadrático

1) f(x)= x2 – x – 1

2) f(x) = 3x2 + 2x – 1

3) f(x) = -5x2 + x + 6

52


Polinomios

Unidad 2





Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares

Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega____________________

Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se plantea en cada caso.

1. La determinación del valor numérico correspondiente al valor de x en un polinomio P(x) se

identifica como:

a) Polinomios Iguales b) Forma vectorial de un polinomio.

c) Evaluación del polinomio. d) Raíz o cero de un polinomio

2. El método más general usado para dividir polinomios, manteniendo siempre la variable que

acompaña cada termino es:

a) Método de Ruffini. b) Método de coeficientes separados.

c) División tradicional. d) Algoritmo de la división.

3. El método que requiere formar una expresión general para el cociente q(x) y otra para el resto

r(x) tomando en cuenta su grado es:

a) Teorema de resto. b) División irracional.

c) Espacio Vectorial. d) Método de los coeficientes indeterminados.

4. La suma de números finitos de términos cada uno de los cuales que es el producto de una

colección finita de números y variables se identifica como:

a) Polinomio Nulo b) Polinomio

c) Polinomio Incompleto d) Constante

5. El proceso abreviado para efectuar la división de un polinomio entre un binomio de la forma

(x-a) es:

a) Polinomio primo. b) Polinomios asociados.

c) Divisibilidad de polinomios. d) División sintética o de Ruffini.

53


Polinomios

Unidad 2

6. Es un polinomio constante de coeficiente irracional.

a) 32 b) √ c)2 d)√

7. El resto de dividir el polinomio es:

a) 0 b) x-3 c) d) ninguna de las anteriores

8. El producto de ( ) ( ) es:

a) b)

c)

d)

9. El resultado de restar los polinomios P(x) – G(x) siendo P(x) =

Y G(x)= es:

a) b)

c) d)

10. Si restamos los polinomios P(x) = y M(x) =

su resultado es:

a) b)

c) d)

11. Al dividir ( ) ( ) usando la división sintética , el resto es igual a:

a) -7 b) 0 c) -8 d) 4

12. El polinomio que tiene todos sus coeficientes iguales a cero y no tiene grado se identifica

como:

a) Incompleto b) Constante c)Nulo d) Normal

13. ¿Qué tipo de grafico resulta al graficar una función polinómica de segundo grado?

a) Línea recta b) Hipérbola c) Parábola d) Una elipse

14. ¿Qué tipo de grafico resulta al graficar una función polinómica de primer grado?


15. ¿Qué tipo de grafico resulta al graficar una función polinómica de tercer grado?


16. A partir de P(x) = 2 +2 -3x+2 , ¿Cuál de los siguientes binomios es factor del

polinomio dado?

a) X-2 b) X+5 c) X+15 d) X+2

54


Polinomios

Unidad 2

17. El polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se llama polinomio:

a) Nulo b) Mónico c) Constante d) Completo

18. P(x)+(-P(x))=0 es una representación de:

a) La propiedad distributiva b) Ley de identidad c) Ley uniforme d) Ley del opuesto

19. Un polinomio donde la variable posea solo coeficientes racionales enteros se identifica como

polinomio:

a) Nulo b) Racional entero c) Irracional d) Completo

20. Mediante el Teorema del resto, que obtenemos al reemplazar a “x” por el término

independiente del binomio con signo contrario:

a) El residuo b) El cociente c)Un término d) El grado

21. Un polinomio está representado por:

a) Una suma de términos semejantes.

b) Una suma de términos ordenados en forma creciente.

c) Una suma de términos no semejantes que pueden estar ordenados en forma creciente o decreciente

d) Una suma de términos no semejantes ordenados solo de manera decreciente.

22. La forma vectorial del polinomio ( ) es:

a) (14,49,-21,19) b) (14,0,-60,49,-21,19) c) (19,-21,49,-60,14,0) d)(19,-21,49,-60,14)

23. Al evaluar el polinomio ( ) en (

) su resultado es:

a) 3.0625 b) -7/8 c) - 49/16 d) - 3

24. Es un factor de ( )

a) (x+2) b) (x-1/2) c)(x-2) d) (x-4)

25. El grado de un polinomio se define por:

a) La cantidad de términos que contiene. b) El más alto de los grados de sus términos.

c) El coeficiente más alto de sus términos. d) El menor grado de sus términos.

26. Cuando los coeficientes de un polinomio pertenecen a un cierto campo numérico C, se dice que F(x)

es:

a) Un polinomio que no está definido sobre C o que no pertenece a C (x).

b) Es un número natural que muestra el grado del polinomio.

c) Es un polinomio que está dividido por C

d) Es un polinomio que está definido sobre C.

55


Polinomios

Unidad 2

27. El valor de “X” que hace cero la evaluación de P(x) se identifica como:

a) Raíz de un polinomio P(x) b) Polinomios Asociados

c) Polinomio nulo d) Ninguna de las anteriores

28. La operación entre polinomios P(x), M(x), N(x) que se plantea como P(x) + [-M(x)-N(x)]

es:

a) División de Polinomios b) Multiplicación de Polinomios

c) Resta de polinomios d) ninguna de las anteriores

29. Es la suma de un número finito de términos cada uno de los cuales es el producto de una colección

finita de números y variables.

a) Vector b) Polinomio c) Matriz d) Ecuación

30. Un polinomio nulo es:

a) El que tiene todos sus coeficientes iguales a cero. b) Aquel cuyo coeficiente principal es la unidad.

c) Polinomio que consta de un número distinto de cero d) b y c son correctas

31. La división sintética se puede utilizar para dividir una función polinómica por un:

a) Binomio b) Monomio y binomio c) Trinomio d) Monomio

32. ¿Cuál es el producto de multiplicar ( ) por ( )

a) b)

c) d)

33. El resto de dividir ( ) entre x+1 es igual a:

a) 16 b) 8 c) -8 d) -7

34. A partir de ( ) ; ( )

P(x)-M(x) es igual:

a) b)

c) d)

35. ¿Cuál de estos polinomios es de tercer grado, creciente, completo y de coeficientes enteros

positivos?

a) b) c) d)

56


Polinomios

Unidad 2

36. El polinomio opuesto de ( ) es:

a) b) c) d)

37. ¿Cuantos términos debe tener el polinomio para estar completo: ( )

a) 4 b) 3 c) 5 d) 6

38. ¿Cuantos términos le faltan al polinomio para estar completo: ( )

a) Ninguno b) 3 c) 1 d) 2

39. Cuál de estos polinomios esta ordenado en forma decreciente y es completo?

a) ( ) √ b) ( )

c) ( ) ( ) d) ( )

40. Cuál de estos polinomios esta ordenado en forma creciente y es completo?

a) ( ) √ b) ( )

c) ( ) ( ) d) ( )

41. Cuál de estos polinomios esta ordenado en forma creciente e incompleto?

a) ( ) √ b) ( )

c) ( ) ( ) d) ( )

42. Cuando decimos que un polinomio es nulo si:

a) Se escribe en orden creciente. b) Se escribe en orden decreciente

c) Posee todos sus coeficientes cero d) a y b son correctas

43. La propiedad distributiva del producto de un polinomio respecto a la adición de escalares es:

a) P(x) + (-P(x)) = 0 b) (K+L) P(x) = K P(x) + L P(x) c) P(x) + 0 = P(x) d) 1P(x) = P(x)

44. Para realizar una división de polinomios por el método de Ruffini el cociente debe ser:

a) Un trinomio cuadrado perfecto b) Un polinomio Mónico

c) Un binomio de primer grado d) La raíz cubica de un número imaginario

45. Es un polinomio de quinto grado, ordenado en forma creciente y completo

a) ( ) b) ( )

c) ( ) d) ( )

46. Es un polinomio de quinto grado, ordenado en forma creciente e incompleto?

a) ( ) b) ) ( )

c) ( ) d) ( )

57


Polinomios

Unidad 2

47. Es un polinomio de quinto grado, ordenado en forma creciente, completo y mónico?

a) ( ) b) ( )

c) ( ) d) ( )

48. Es un polinomio de quinto grado, ordenado en forma creciente e incompleto y Mónico?

a) ( ) c) ( )

d) ( ) d) ( )

49. Los números que solo admiten como divisores el mismo número y la unidad se identifican

como números:

a) Enteros b) Naturales c) Imaginarios d) Primos

50. Un polinomio es factor de otro cuando al hacer la división tenemos que:

a) El cociente es uno b) El residuo es cero c) La división es exacta d) b y c son

correctas

51. Si P(x) = ; M( ) ; ( )

El resultado de sumar P(x) + M(x) + W(x) es:

a) b)

c) d)

52. Polinomio constante es el que posee:

a) Un término de cualquier grado b) Un término de grado cero

c) Término de coeficiente uno d) Término de coeficiente dos y cualquier grado

53. Un Binomio es un polinomio que posee:

a) Grado tres b) Dos términos c) Un término d) Grado cero

54. El polinomio ( ) factorizado es:

a) M(x)= (x + 6)(x-1) b)M(x)= (x-5)(x-1) c) M(x)=(x-3)(x-2) d)M(x)= (x-3)(x+2)

55. Las raíces del polinomio ( ) son:

a) x= -6; x=1 b) x=5; x = 1 c) x = 3; x = 2 d) x= 3; x = -2

56. La evaluación del polinomio ( ) en x= 3 es:

a) M(3)= 6 b) M(3)= 5 c) M(3)= -5 d) M(3)= 0

57. El polinomio de cuarto grado de coeficientes literales y ordenado de forma decreciente es:

a) b)

c) )

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Polinomios

Unidad 2

58. Si P(x) = y Q(x) = entonces P(x)+Q(x) es igual a:

a) b) c) d)

59. Las raíces del polinomio ( ) son:

a) x= 2; x= -1 b) x= -2; x = 1 c) x = 1; x = 2 d) x= -1; x = -2

60. La evaluación del polinomio ( ) en x= 0 es:

a) M(0)= 2 b) M(0)= 6 c) M(0)= 12 d) M(0)= -2

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Polinomios

Unidad 2







I. Resuelva:

1) Determine un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean: 1, -1, 2.

2) Halle un polinomio de cuarto grado cuyas raíces sean: – ½, ½, 2, -5.

3) Demuestre que x+1 es un factor de f(x) = x3 + 4x

2 – 7x – 10.

Factorice f(x) en factores lineales.

II. A) Encontrar el cuarto término del desarrollo de ( 2x -5 y )7

B) Desarrollar (2x - y )5

III. Sea la expresión dada una fracción racional propia, descomponga atendiendo a

cada uno de los casos que corresponden a fracciones parciales.

1.

2.

( ) 3.

( )( ) 4.

( )( )( )

5.

( )( ) 6.

7.

( )( )( ) 8.

( )( )

9.

( )( ) 10.

11.

12.

13.

14.

( )( ) 15.

( )( ) 16.

( ) ( )

IV. Aplicando el algoritmo de Euclides, determine el M.C.D. de los siguientes

pares de polinomios.

1) f(x) = x4 + 3x

3 – x

2 – 4x – 3 , g(x) = 3x

3 + 10x

2 – 2x – 3

2) f(x) = x3 – 3x

2 – 2x + 6 , g(x) = x

3+ x

2 – 2x – 2

3) f(x) = x6 + 2x

5 + x

3 + 3x

2 + 3x + 2 , g(x) = x

4 + 4x

3 + 4x

2 – x – 2

4) f(x) = x5 – x

4 – 2x

3 + 2x

2 + x –1 , g(x) = 5x

4 + 4x

3 – 6x

2 + 4x + 1

60


Polinomios

Unidad 2

V. a) Desarrollar el polinomio P(x) = 2 x3 –5x

2 + 7x -1

alrededor del punto h = 2 . Haga la comprobación.

Recuerde que : y = x – h

x = y + h = y + 2

b) Exprese en potencias de (y-2) el polinomio P(x) = 5x2 + 4x +1

Haga la comprobación.


x = y + h = y + (-2)

c) Expresar el polinomio P(x) = x4 –2x

3 –x

2 + 5 en potencias de (x- 4)

aplicando la Fórmula de Taylor.


y = x – 4 = x + (-4)

VI. a) Dada f(x) = x4 + 4x

3 – 10x

2 – 28x – 15, hallar :

1) f ’(x)

2) El MCD de f(x) y f ’(x)

b) Determina f(a) y las derivadas sucesivas del polinomio dado para el punto

a = -3 f(x) = 3x5 - 4x

4 + x

2 - 6x + 8

c) Dado f(x) = 3x4 – 2x

3 + 4x

2 – 3x + 5.

Hallar: f ’’ ( 2b –1) + f ’’’(b + 2)

d) Desarrolla por Taylor los siguientes polinomios alrededor de los puntos que

Aparecen a su derecha.

1) 2x5 - 3x

4 + 6x

3 - x

2 - 5x + 3 para a = -2

2 ) x6 – 2x

4 + 3x

3 – 5x

2 + 8x para a = 1

e) Desarrolle por Taylor la función f(x) en términos de las potencias de (x-2)

f(x) = x3 – 2x

2 – x + 2

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Polinomios

Unidad 2

Cuestionario Unidad No. 2

Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que

corresponde a cada una.

1. Al evaluar un polinomio y = P(x) que representan x, y?

2. ¿Qué significado tiene que y = P(x) = 0?

3. ¿Cómo es la gráfica de un polinomio de una sola variable?

4. ¿Cuándo decimos que un polinomio está asociado a otro?

5. ¿Cuáles operaciones podemos hacer con polinomios?

6. ¿Por qué un polinomio define un espacio vectorial?

7. ¿Cuáles métodos podemos utilizar para realizar la división de polinomios?

8. ¿Al utilizar el Teorema del resto en la división de polinomios, qué grado posee el divisor?

9. El método de división sintética o de Ruffini se usa para dividir polinomios. ¿Qué grado debe

tener el divisor en éste caso?

10. ¿Cuál es la diferencia entre un divisor trivial y un divisor propio?

11. ¿Cuándo tenemos un polinomio Mónico o normal?

12. ¿Para qué se utiliza el Algoritmo de Euclides?

13. ¿Qué nos permite la Formula de Taylor en una función?

14. ¿Cómo se llama la forma abreviada que usamos para el desarrollo de un polinomio

atendiendo a la fórmula de Taylor?

62


Polinomios

Unidad 2

BILIOGRAFIA CONSULTADA

Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición).

México: Thomson Learning Iberoamérica.

Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). México: MacGraw-Hill Interamericana.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. (Segunda edición actualizada).

Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.

Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. (Décima edición).

México: Pearson.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México:

McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A.

Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas.

(Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD.

Notas de Cátedra de:

Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.

Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.

Direcciones Electrónicas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://www.ematematicas.net/polinomios.php

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Polinomios/polinomios1.h

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://www.ematematicas.net/polinomios.php

unidad 2 polinomios_algebra superior_rosa_depena

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