unidad 2 medidas de tendencia central

UNIDAD 2

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN

Germán E. Rincón

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. Formas de describir un fenómeno Tablas y gráficos Números

2. Concepto de medida en Estadística 3. Objetivo de la medidas en Estadística 4. Repaso de los conceptos de parámetro y Estadístico 5. Clases de medidas en estadística

Medidas de tendencia central Medidas de tendencia no central o de posición Medidas de dispersión


6. Concepto de medidas de Tendencia Central

7. Concepto de Medidas de Tendencia no central o de

posición

8. Concepto de Medidas de Dispersión

9. Cálculos diferentes para poblaciones y muestras

Símbolos para parámetros y estadísticos

10. Cálculos para datos no agrupados y datos agrupados


11. Clases de medidas de Tendencia Central La media La mediana La moda

12. Clases de medias La media aritmética simple La media aritmética ponderada La media geométrica

13. Media aritmética simple Datos no agrupados Datos agrupados

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para poblaciones:

Para muestras:

EJEMPLO Las comisiones que un vendedor ha recibido en los 6 primeros

meses del año se presentan en la siguiente tabla

Ingresos

MES (Miles de $ )

Enero 800

Febrero 950

Marzo 920

Abril 1000

Mayo 830

Junio 900

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS NO AGRUPADOS

Ingresos MES (miles de $)

Enero 800 Febrero 950 Marzo 920 Abril 1000 Mayo 830 Junio 900 SUMA 5400

Interpretación: Es como si ………….

Concepto de promedio

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS AGRUPADOS

Para poblaciones:

Para muestras:

Ejemplo : Una muestra del valor de las facturas que se cancelan con tarjeta de crédito en un almacén

Ventas / factura No. De (Miles de $) Facturas

30 36 25 36 42 38 42 48 49 48 54 51 54 60 32 60 66 29

SUMA 224

MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE PARA DATOS AGRUPADOS

Ventas / factura No. De

(Miles de $) Facturas xi xiFAi

30 36 25 33 825

36 42 38 39 1482

42 48 49 45 2205

48 54 51 51 2601

54 60 32 57 1824

60 66 29 63 1827

SUMA 224 10764

Interpretación: Es como si…………………..

PRÁCTICA EN CLASE ( 1 )

Funciones estadísticas de las calculadoras

Ejemplo datos no agrupados

La duración en horas de un componente electrónico se presenta en la siguiente tabla:

Calcular la media

Interpretar el resultado

1005 1482 1486

1445 1442 1716


Ejemplo datos agrupados

El consumo de gasolina, en un día, de una muestra de 200 vehículos de servicio público

Consumo/vehículo No. de

(Miles de pesos) vehículos

64 66 1 65

66 68 7 67

68 70 43 69

70 72 67 71

72 74 59 73

74 76 19 75

76 78 4 77

200

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Datos no ponderados

Prueba Nota Quiz No.1 3,5 Quiz No.2 4,1 Quiz No.3 2,4 Promedio 3,3

Datos ponderados

Asignatura Nota Final Créditos

A 4,9 2

B 3,1 4

C 3,0 3

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Expresión para la media aritmética ponderada:

Aplicando al ejemplo:

Nota Final Créditos Asignatura xi wi xiwi

A 4,9 2 9,8 B 3,1 4 12,4 C 3,0 3 9,0

SUMA 9 31,2

Interpretación: Es como si….


En una fábrica se pagan los siguientes salarios por hora:

¿Cuál es el salario promedio por hora?

Interpretación: Es como si……………..

Sección No. De Salario

del taller operarios por hora

Corte 12 $ 3.150

Armado 29 $ 2.734

Terminado 46 $ 2.510

Total 87

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

El cálculo de la media aritmética tiene en cuenta todos los valores de la variable en estudio registrados

A todas las variables cuantitativas se les puede calcular la media aritmética

Un conjunto de datos sólo tiene una media

La media permite hacer comparaciones entre poblaciones o muestras

La media se puede trabajar matemáticamente

La media es afectada por los valores extremos

No se puede calcular la media en distribuciones de frecuencias que tienen clase de extremo abierto

LA MEDIA GEOMÉTRICA

Caso de presentación

Expresión de la media geométrica:

Solución al caso de presentación

Usos de la media geométrica

Casos de la media geométrica: Valores en porcentaje

Valores absolutos

EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES EN PORCENTAJE)

La rentabilidad de un título valor ha estado variando en las últimas semanas como se presenta en la siguiente tabla:

Rentabilidad Semana %

1 3

2 1

3 -2

4 0,7

5 1,5

6 1

¿A qué tasa promedio semanal ha estado variando la rentabilidad de este título?

EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES EN PORCENTAJE)

Rentabilidad Semana % FC

1 3 1,03 2 1 1,01 3 -2 0,98 4 0,7 1,007 5 1,5 1,015 6 1 1,01

G = 1,008557 (Factor de crecimiento promedio)

Tasa promedio = (1,00857- 1)100 = 0,857 = 0,9% semanal

EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES ABSOLUTOS)

Ejemplo :

Las ventas anuales de una empresa, en millones de pesos, se presentan en la tabla No.1. ¿A qué tasa promedio anual están variando las ventas de esta empresa?

Ventas Año (Millones ) 2001 68 2002 75 2003 32 2004 59 2005 73 2006 92 2007 108

EJEMPLO DE MEDIA GEOMÉTRICA (VALORES ABSOLUTOS)

Ventas Año (Millones ) FC 2001 68 2002 75 1,1029 2003 32 0,4267 2004 59 1,8438 2005 73 1,2373 2006 92 1,2603 2007 108 1,1739

G = 1,08017 (Factor de crecimiento promedio) Tasa promedio = (1,08017 – 1)100 = 8,017%

MEDIA GEOMÉTRICA (CRECIMIENTO PROMEDIO EN UN INTERVALO DE TIEMPO)

Expresión de la media geométrica para este caso:

Ejemplo:

Una persona invirtió $25 millones a 3 años, recibiendo al final de este periodo la suma de $33,306 millones ¿A qué tasa promedio mensual creció esta inversión?

MEDIA GEOMÉTRICA (CRECIMIENTO PROMEDIO EN UN INTERVALO DE TIEMPO)

Propiedad de la media geométrica

La media geométrica siempre es menor o igual a la media aritmética

(Factor de crecimiento promedio)

Tasa promedio = (FC – 1)100 = (1,008 – 1)100 = 0,8% mensual


Los precios de una materia prima han estado variando en los últimos 6 meses como se presenta en la siguiente tabla:

¿A qué tasa promedio mensual ha estado variando el precio de este material?

Sí el precio el mes pasado del material fue de $2365 ¿A qué precio se podría conseguir este mes el material? ¿Por qué?

Variación / Mes

Mes %

1 3,00

2 0,90

3 1,20

4 -2,00

5 -1,00

6 1,00


El valor del metro cuadrado construido de apartamentos, en una ciudad, en los últimos 6 años se presenta en la siguiente tabla:

¿A qué tasa promedio anual está variando el precio del metro construido de apartamentos en estos años?

Valor / M2 Año (Millones) 2006 2,3 2007 3,3 2008 2,9 2009 3,1 2010 3,4 2011 3,6


Un trabajador ganaba en el 2002, $450.000 mensuales y actualmente gana $820.000 mensuales. Otra empresa le ofrece un trabajo con una asignación mensual de $770.000 mensuales con el compromiso de aumentar su sueldo el 7,5% anual todos los años. ¿Qué le conviene mas a este trabajador? ¿Por qué?

LA MEDIANA

CONCEPTO DE MEDIANA

Ordenados de menor a mayor La mitad de los estudiantes obtuvieron nota inferior a 3,8

Estudiante Nota Estudiante Nota R. Martínez 4,3 L. Rueda 2,9 P. Ardila 1,7 J. Zárate 4,0 M. Castillo 3,8 G. Torres 1,2 A. Manjarrés 4,8 Z. Benítez 4,7 O. León 3,5

1,2 1,7 2,9 3,5 3,8 4,0 4,3 4,7 4,8

LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Símbolo de la mediana :

Cálculo de la mediana para datos no agrupados

Número impar de datos

Expresión :

Ejemplo:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 1,2 1,7 2,9 3,5 3,8 4,0 4,3 4,7 4,8


Mediana pata datos no agrupados Número par de datos

Expresión: Ejemplo: Una muestra de las estaturas, en metros, de

10 estudiantes de una clase se presentan en la siguiente tabla


Estudiante estatura Estudiante estatura M. Rodríguez 1,75 G. López 1,69 L. Sánchez 1,68 H. Núñez 1,57 D. Rojas 1,81 T. García 1,77 J. Acevedo 1,65 R. Orduz 1,62 F. Díaz 1,73 P. Pinzón 1,71

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 1,57 1,62 1,65 1,68 1,69 1,71 1,72 1,75 1,77 1,81

Interpretación : la mitad de los estudiantes mide mas de 1,70 metros

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

Primer caso:

La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta alguna de las clases, de la distribución de frecuencias, coincide con la cantidad total de datos dividida entre 2, es decir, ( n / 2)

Ejemplo: Los ingresos en una semana, en millones de pesos,

de una muestra de tabernas se presenta en la siguiente tabla:


Clase Ventas / Taberna No. de

No. (Millones de $) Tabernas

1 1,6 1,9 6 2 1,9 2,2 11 3 2,2 2,5 18 4 2,5 2,8 25 5 2,8 3,1 29 6 3,1 3,4 20 7 3,4 3,7 11

SUMA 120


Clase Ventas / Taberna No. de

No. (Millones de $) Tabernas FAA

1 1,6 1,9 6 6

2 1,9 2,2 11 17

3 2,2 2,5 18 35

4 2,5 2,8 25 60

5 2,8 3,1 29 89

6 3,1 3,4 20 109

7 3,4 3,7 11 120

SUMA 120

= Límite superior de la clase

= $2,8 millones

Interpretación:

Segundo caso El cálculo del total de datos de la muestra dividido entre 2, n/2, no coincide con el valor de la frecuencia absoluta acumulada, FAA, de ninguna de las clases


Expresión para calcular la mediana:

Práctica en clase

Ejemplo : Los saldos de los depósitos al finalizar un mes en las cuentas de ahorro de un número de cuentahabientes, de los bancos locales, escogidos al azar, se presentan en la siguiente tabla:


Clase Saldo /Cuenta No. de No. (Miles de $) cuentas

1 0 300 25 2 300 600 36 3 600 900 51 4 900 1200 42 5 1200 1500 37 6 1500 1800 30 7 1800 2100 22 8 2100 2400 19 9 Mas de 2400 17

279


Clase Saldo /Cuenta No. de No. (Miles de $) cuentas FAA

1 0 300 25 25 2 300 600 36 61 3 600 900 51 112 clase i -1

4 900 1200 42 154 clase i

5 1200 1500 37 191 6 1500 1800 30 221 7 1800 2100 22 243 8 2100 2400 19 262 9 Mas de 2400 17 279

279

FAA inmediatamente superior a n / 2 = 154

Interpretación:


Una muestra del peso de los lingotes de aluminio que salen de una fundición se presenta en la siguiente tabla:

calcule la mediana e interprete el resultado Formula

Peso / lingote No. de (Kilogramos) lingotes 2,995 2,996 1 2,996 2,997 1 2,997 2,998 0 2,998 2,999 28 2,999 3,000 33 3,000 3,001 27 3,001 3,002 6

96

MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL O DE POSICIÓN

Los cuartiles

Son 3 números que dividen cualquier conjunto de datos ordenado en 4 partes iguales

Q1 : Primer cuartil

Q2: Segundo cuartil

Q3: Tercer cuartil

Ejemplo:

El número de clientes que atendieron en un día once vendedores de un centro comercial escogidos al azar se presenta en la siguiente tabla:

LOS CUARTILES

NÚMERO DE CLIENTES ATENDIDO POR VENDEDOR

15 5 20 10 23 8 3 13 18 28 32

NÚMERO DE CLIENTES ATENDIDO POR VENDEDOR

3 5 8 10 13 15 18 20 23 28 32 Q1 Q2 Q3

Por debajo de Q1 se encuentran el 25% de los datos Por debajo de Q2 se encuentran el 50% de los datos Por debajo de Q3 se encuentran el 75% de los datos Nótese que:

Interpretación:

CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS

Primer caso:

La frecuencia absoluta acumulada hasta alguna de las clases coincide con el valor de la operación:

Ejemplo :

Las utilidades por acción del portafolio de inversiones de una empresa se presenta en la siguiente tabla:


.

Utilidad por No. de acción acciones

1300 1400 100 1400 1500 175 1500 1600 230 1600 1700 190 1700 1800 150 1800 1900 130 1900 2000 125


Utilidad por No. de

acción acciones FAA

1300 1400 100 100 1400 1500 175 275 1500 1600 230 505 1600 1700 190 695 1700 1800 150 845 1800 1900 130 975 1900 2000 125 1100

1100

Cálculo del primer cuartil

275 coincide con la FAA hasta la segunda clase

Interpretación:


Segundo caso:

La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta cualquiera de las clases no coincide con el valor de la operación :

Expresión par el cálculo de Qi :

Utilizando el mismo ejemplo del primer caso:

Práctica en clase


Utilidad por No. de acción acciones FAA

1300 1400 100 100 1400 1500 175 275 1500 1600 230 505 1600 1700 190 695 Clase i - 1

1700 1800 150 845 Clase i

1800 1900 130 975 1900 2000 125 1100

1100

Cálculo de tercer cuartil:

FAA inmediatamente superior a 825 = 845

Interpretación: Práctica en clase

LOS PERCENTILES

Concepto de percentil: Son valores que dividen cualquier conjunto de datos

en 100 partes iguales, cuando este conjunto está ordenado de menor a mayor

Un percentil, por lo tanto, es un valor por debajo del

cual se encuentra un determinado porcentaje de los datos.

Símbolo de percentil: Ejemplo: Significa que…………..

PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS

Primer caso:

La frecuencia absoluta acumulada hasta alguna de las clases coincide con el valor de la operación

Ejemplo:

La siguiente tabla se refiere a una muestra, al azar, del tiempo que duraron las llamadas telefónicas realizadas por el personal de oficina de una empresa


Duración / llamada No. de (Minutos) llamadas

0,0 2,0 46 2,0 4,0 67 4,0 6,0 44 6,0 8,0 31 8,0 10,0 25

Mas de 10,0 17 230

Calcular el percentil 20 e interpretar el resultado


Duración / llamada No. de (Minutos) llamadas FAA

0,0 2,0 46 46 2,0 4,0 67 113 4,0 6,0 44 157 6,0 8,0 31 188 8,0 10,0 25 213

Mas de 10,0 17 230 230

46 es la FAA hasta la primera clase

Interpretación: El 20% de las llamadas de la muestra duraron menos de 2,0 minutos


Segundo caso: La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta

cualquiera de las clases no coincide con el valor de la operación

Expresión para el cálculo del percentil Práctica en clase


Duración / llamada No. de

(Minutos) llamadas FAA

0,0 2,0 46 46 2,0 4,0 67 113 4,0 6,0 44 157 Clase i-1

6,0 8,0 31 188 Clase i

8,0 10,0 25 213

Mas de 10,0 17 230 230

La FAA inmediatamente Superior a 161 es 188

Ejemplo: El mismo ejemplo del caso anterior

Interpretación: ………..

PRÁCTICA EN CLASE ( 8 – 9 )

El diámetro en centímetros de una muestra de cojinetes que salen de la línea de producción

Fórmula cuartil

Fórmula percentil

Calcular el tercer cuartil e interpretar el resultado ¿Cuál es el diámetro mínimo del 35% de los cojinetes de la muestra?

Diámetro /cojinete No. de

(centímetros) cojinetes

1,434 1,509 1

1,509 1,584 2

1,584 1,659 19

1,659 1,734 15

1,734 1,809 22

1,809 1,884 11

1,884 1,959 5

75

A Ejercicio

PROPIEDADES DE LA MEDIANA CUARTILES Y PERCENTILES

• A la mediana, cuartiles y percentiles no los afectan los valores extremos

• La mediana, cuartiles y percentiles se pueden calcular en distribuciones de frecuencias que tengan clases de extremo abierto

• Los cálculos de la mediana, cuartiles y percentiles son más complejos que los de las demás medidas de tendencia central

• La mediana, cuartiles y percentiles no se pueden operar matemáticamente

• Para calcular la mediana, cuartiles y percentiles los datos deben estar ordenados

LA MODA

Concepto:

La moda, de un conjunto de datos, es el valor que más se repite dentro de ese conjunto.

Símbolo:

Moda para datos no agrupados Cuando los datos no están agrupados la moda se

establece a simple vista.

MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Ejemplo:

Una muestra de las edades de la última promoción de graduados se presenta en la siguiente tabla

25 21 19 23 22 27 21 23 22 18 20 22 21 19 21 26 28 22 25 24 22 20 19 31 22 24 30 28 22 26

Establecer la moda


Ejemplo: Los puntajes alcanzados, en una escala de 100

puntos, en las pruebas de ingreso, por los aspirantes a trabajar en una empresa se presentan en la siguiente tabla:

71 68 70 55 57 36 51 57 68 40 57 85 50 49 68 68 39 45 57 25

Establecer la moda e interpretar el resultado


Ejemplo: El tiempo, en horas, que gastan los buses de una

empresa de transportes en realizar el viaje entre dos ciudades determinadas, en una muestra de recorridos escogidos al azar, se presenta en la siguiente tabla:

6,8 5,5 6,1 6,4 6,2

5,7 6,3 5,6 5,1 6,9

7,0 7,4 6,6 6,0 5,4

6,5 6,7 5,8 5,9 7,5


MODA PARA DATOS AGRUPADOS

Primer caso:

Datos de variable discreta agrupados en clases de amplitud igual a cero

Ejemplo:

Una muestra del número de motocicletas que vende por semana un distribuidor se presenta en la siguiente tabla


No. de No. de motos semanas

0 1 1 3 2 5 3 12 4 19 5 16 6 10

Mas de 6 4

Establecer la moda e interpretar El resultado


Segundo caso: Moda para variable cualitativa Ejemplo: Se preguntó a una muestra de profesionales,

escogidos al azar, por la marca de celular que utilizan y el resultado se presenta en la siguiente tabla:


Marca de No. de celular profesionales

Sony 18 Motorola 32 L.G. 15 Nokia 47 Samsung 30 iPhone 10 Otras marcas 5



Tercer caso: Datos de variable discreta o continua agrupados en

clases de amplitud mayor que cero Expresión para la moda:

Ejemplo:

Utilizando un radar de carretera los agentes de tránsito tomaron una muestra de la velocidad, en kilómetros por hora, a la que se desplazan los vehículos al pasar por un puente. Los resultados están en la siguiente tabla:


Velocidad No. de

(Kmts / hora ) Vehículos

Hasta 40 7 40 50 36 50 60 44 60 70 61 70 80 55 80 90 19

Mas de 90 14

Clase modal: La que Tiene la mas alta Frecuencia = 61

Interpretación: ……….


El diámetro en centímetros de una muestra de cojinetes que salen de la línea de producción

Diámetro /cojinete No. de

(centímetros) cojinetes

1,434 1,509 1

1,509 1,584 2

1,584 1,659 19

1,659 1,734 15

1,734 1,809 22

1,809 1,884 11

1,884 1,959 5

75

¿ Cuál es el diámetro mas común de los cojinetes de la muestra?

PROPIEDADES DE LA MODA

• La moda se puede calcular en situaciones de variables cualitativitas y cuantitativas

• A la moda no la afectan los valores extremos

• La moda se puede calcular en distribuciones de frecuencias que tengan clases de extremo abierto

• Existen conjuntos de datos que no tienen moda o que tienen más de una moda

• La moda no se puede operar matemáticamente

unidad 2 medidas de tendencia central

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