U N I D A DIMOVIMIENTOONDULATORIO1.1 TIPOS DE ONDASIntroduccinLos jugadores de domin, colocan las fichas del juego en posicin vertical, una al lado de otra, a una distancia inferior a la longitud de las fichas formando una hilera.Cuando se le da un impulso a la ficha situada en uno de los extremos se inicia una accin en cadena; cada ficha transmite a su vecina el impulsorecibido, el cual sepropagadesdeunextremoaotroalolargodetodalahilera. En trminos fsicos podra decirse que una onda se ha propagado a travs de las fichas de domin. La idea de onda corresponde en la Fsica,a la de una perturbacin localde cualquier naturaleza que avanza o se propaga a travs de un medio material o incluso en el vaco. A pesar de su naturaleza, todas las ondas tienen un comportamiento semejante.Elmovimientoondulatorioesel procesoporel quesepropagaenergadeunlugaraotrosin transferencia de materia, mediante ondas mecnicas o electromagnticas. En cualquier punto de la trayectoria de propagacin se produce un desplazamiento peridico, u oscilacin, alrededor de una posicin de equilibrio. Puede ser una oscilacin de molculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmsfera, de molculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porciones de una cuerda o un resorte, las fichas de domin, que hacen el papel de soporte de la perturbacinycorrespondenacompresiones, deformacionesy, engeneral, aperturbacionesdel medioquesepropaganatravssuyo. Entodosestoscasos, laspartculasoscilanentornoasu posicin de equilibrio y slo la energa avanza de forma continua. Estas ondas se denominan genricamente ondas mecnicasporque la energa se transmite a travs de un medio material, sin ningn movimiento global del propio medio. Sin embargo, existen ondas que pueden propagarse an en ausenciademediomaterial, esdecir, enel vacoysonlasondaselectromagnticasocampos electromagnticos viajeros, en este caso las oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidad de campos magnticos y elctricos, a esta segunda categora pertenecen las ondas luminosas.Tipos de ondasCuando una sola protuberancia de onda (llamada un pulso de onda) se forma y viaja con una velocidad definida, se la llama onda viajera.Las ondas se clasifican segn la direccin de los desplazamientos de las partculas, en relacin a la direccin del movimiento de la propia onda. Si la vibracin es paralela a la direccin de propagacin de la onda, la onda se denomina onda longitudinal. Una onda longitudinal siempre es mecnica y se debea las sucesivas compresiones (estados demxima densidady presin) y enrarecimientos (estadosdemnimadensidadypresin) del medio.Enlasondaslongitudinales(tambinllamadas ondasdepresin), el mediosedesplazaenladireccindepropagacin. Porejemplo, el airese comprime y expande (figura 1) en la misma direccin en que avanza el sonido. Las ondas sonoras son un ejemplo tpico de esta forma de movimiento ondulatorio. Otro tipo de onda es la onda transversal, en la que las vibraciones son perpendiculares a la direccin de propagacin de la onda.En las ondas transversales, el medio se desplaza en ngulo recto a la direccin de propagacin. Por ejemplo, las ondas en un estanque (figura 2) avanzan horizontalmente, pero el agua se desplaza verticalmente. Las ondas transversales pueden ser mecnicas, como las ondas que se propagan a lo largo de una cuerda tensa cuando se produce una perturbacin en uno de sus extremos, o electromagnticas, como la luz, los rayos X o las ondas de radio. En esos casos, las direcciones de los campos elctrico y magntico son perpendiculares a la direccin de propagacin. Algunos movimientos ondulatorios mecnicos, como las olas superficiales de los lquidos, son combinaciones de movimientos longitudinales y transversales, con lo que las partculas de lquido se mueven de forma circular.Ing. Rosario Cruz Guerrero2En una onda transversal, la longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles sucesivos. En una onda longitudinal, corresponde a la distancia entre dos compresiones o entre dos enrarecimientos sucesivos. En relacin con su mbito de propagacin las ondas pueden clasificarse en: Monodimensionales: Son aquellas que, como las ondas en los muelles o en las cuerdas, se propagan a lo largo de una sola direccin del espacio. Bidimensionales: Se propagan en cualquiera de las direcciones de un plano de una superficie. Se denominan tambin ondas superficiales y a este grupo pertenecen las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre l.Atendiendo a la periodicidad de la perturbacin local que las origina, las ondas se clasifican en: Peridicas: Corresponden a la propagacin de perturbaciones de caractersticas peridicas, como vibraciones u oscilaciones que suponen variaciones repetitivas de alguna propiedad. As, en una cuerda unida por uno de sus extremos a un vibrador se propagar una onda peridica. No peridicas: La perturbacin que las origina se da aisladamente y en el caso de que se repita, lasperturbacionessucesivastienencaractersticas diferentes. Lasondasaisladas, como en el caso de las fichas de domin, se denominan tambin pulsos.Segnqueladireccindepropagacincoincidaonoconladireccinenlaqueseproducela perturbacin, las ondas pueden ser: Longitudinales: El movimiento local del medio alcanzado por la perturbacin se efecta en la direccin de avance de la onda. Un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal. Transversales: La perturbacin del medio se lleva a cabo en direccin perpendicular a la de propagacin. En las ondas producidas en la superficie del agua las partculas vibran de arriba a abajo y viceversa, mientras que el movimiento ondulatorio progresa en el plano perpendicular. Lo mismo sucede en el caso de una cuerda; cada punto vibra en vertical, pero la perturbacin avanza segn la direccin de la lnea horizontal. Ambas son ondas transversales.Ing. Rosario Cruz Guerrero31.2 ONDAS VIAJERAS (descripcin matemtica)Elementos que componen la onda.a) Cresta: es un punto que est ubicado en la parte superior de la onda.b) Valle: es un punto que est ubicado en la parte baja de la onda.c) Nodo: es un punto en reposo.d) Amplitud:esel desplazamientomximoconrespectoalaposicindeequilibrio. La cantidad de energa en una onda depende la amplitud.e) Longitud de onda:distancia horizontal entre puntos correspondientes en ondas consecutivas.Caractersticas de las ondasOscilacin: Es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posicin central, o posicin de equilibrio. Ciclo:Es el recorrido que consiste en ir desde una posicin extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posicin central.Longitud de onda( ): Es la distancia que ha recorrido la onda en un periodo, o sea,la distancia entre dos crestas consecutivas, y se relaciona con el periodo mediante vvTf, la cual se mide en metros. Periodo (T): Es el tiempo que tarda un punto del medio en realizar una vibracin completa, o sea, el tiempo que emplea una onda completa al pasar por un punto determinado, y se mide en segundos.Frecuencia(deoscilacin,f): Esel nmerodevibracionesquerealizaunpuntoen1segundo, fT1, o sea,es el nmero de largos de onda (nmeros de ondas) que pasan por un punto en un segundo y su unidad es el hertz (Hz, una frecuencia de 1 Hz significa que existe 1 ciclo u oscilacin por segundo). La frecuencia es la inversa del periodo. Velocidad(depropagacin, ): Eslavelocidadalaquesepropagalaondaydependedelas propiedades del medio y no del movimiento del foco emisor. Se determina multiplicando la frecuencia fcon la longitudde onda , ya que al pasar una onda con cierta longitudpor un punto determinado, podremos obtener su velocidad, que se puede medir en metros por segundo.Amplitud (A): Es la mxima perturbacin que experimentan las partculas y se expresa en metros.Ing. Rosario Cruz Guerrero4 Ing. Rosario Cruz Guerrero5Clculo de la velocidad de propagacin( ) ( ) wt kx Sen y t x f ym+ ,Esta ecuacin describe una onda que se mueve en la direccin negativa de x. ( ) ( ) wt kx Sen y t x f ym ,Esta ecuacin describe una onda que se mueve en la direccin positiva de x. Como esta ecuacin est escrita en trminos de la posicin x, se puede utilizar para encontrar los desplazamientos de todos los elementos de la cuerda como una funcin del tiempo, o sea, nos puede indicar la forma de la onda en cualquier tiempo dado y cmo cambia esa forma cuando la onda se mueve a lo largo de la cuerda.La amplitud my de una onda, es la magnitud del mximo desplazamiento de los elementos desde sus posiciones de equilibrio a medida que la onda pasa por ellos (el subndice m es por mximo). Como la amplitud es una magnitud, siempre es una cantidad positiva.La fasede la onda es el argumento( ) wt kx del seno; conforme la onda pasa por un elemento de cuerda en una posicin particular x, la fase cambia de manera lineal con el tiempo, por lo tanto el senotambincambia,queoscilaentre+1y1,su valorpositivocorresponde a unpicoo cresta (my y ) y su valor negativo corresponde a un valle (my y ). 2 k A k la denominamos nmero angular de onda de la onda, su unidad es el radin por metro, o el metro inverso.Definimos elperiodode oscilacin T de una onda como el tiempo que tarda cualquier elemento de cuerda en moverse una oscilacin completa.Ing. Rosario Cruz Guerrero6 Tw 2 A w la llamamos frecuencia angular de la onda, su unidad es el radin por segundo, o el metro inverso. 21 wTf Lafrecuenciaf deunaonda, esunnmerodeoscilacionesporunidadde tiempo, es el nmero hecho por un elemento de cuerda a medida que la onda se mueve por l, por lo general se mide en hertz. fT kwt dx d Laraznx/teslavelocidad de onda, eindicaquela velocidad de onda es una longitud de onda por periodo, la onda se mueve una distancia de una longitud de onda en un periodo de oscilacin. (La forma de onda viaja a lo largo del eje x). ( ) wt kx Cos y wt dy dum Es lavelocidadtransversalu, del mismo elemento dela cuerda, y est en direccin del eje y. Es la rapidez a la que el desplazamiento en el eje y del elemento est cambiando. Aspectos matemticosIndependientementedel casoparticular deonda, podemos deducir eltipode funcin matemtica que representa la propagacin de la ondasi observamos como se desplaza un pulso en una cuerda tensa.Movimiento del pulso en una cuerda.Un pulso es una onda de duracin relativamente corta que suponemos generadaenunpuntodelacuerdallamadoFOCO. Supongamos una cuerda tensa donde se genera un pulso propagndose de izquierda a derecha con velocidad v respecto a un sistema de referencia fijo x, y (ejes en rojo) que en el instante 0 testa representado por la ecuacin( ) x f y . Supongamos un nuevo sistema coordenado x', y' (ejes en amarillo) que se mueve horizontalmente con la misma velocidad que el pulso.Enel nuevosistemadereferenciael pulsoesestacionario, es decir, independiente del tiempo por tanto su ecuacin ser( ) x f y Congelando la figura, y siendo t v el desplazamiento relativo, podemos vincular en cualquier instante las coordenadas entre ambos sistemasy y t v x x Por tanto el desplazamiento de un punto de la cuerda en el sistema fijo y por ser igual al y' puede escribirse como:( ) t v x f y , y esta es la funcin que representa la onda movindose hacia la derecha.El mismo razonamiento aplicado a un pulso que se mueve hacia la izquierda conduce a ( ) t v x f y + Podemos sacar como conclusin que cualquier funcin dependiente det v x o t v x +corresponder una onda propagndose. La onda viajera se representa por la FUNCIN DE ONDA que tiene este tipo de dependencia con la posicin y el tiempo. A este modelo de ecuacin lineal, le llamamos ECUACIN DE ONDAS y sus soluciones particulares nos dan expresiones de la FUNCIN DE ONDA.EJERCICIOS 1.1Ing. Rosario Cruz Guerrero71. Una onda tiene una frecuencia angular de 110 rad/s y una longitud de onda de 1.80 m. Calcule: (a) el nmero angular de onda y (b) la velocidad de la onda. Resp: 3.49 m-1, 31.5 m/s.2. La velocidad de ondas electromagnticas (como luz visible, radio y rayos X) en el vaco es de 83.0 10 m/s.(a)Las longitudes de onda de ondas de luz visible varan de unos 400 nm en el violeta hasta unos 700 nm en el rojo. Cul es la gama de frecuencias de estas ondas? (b)La gama de frecuencias para radio de onda corta (por ejemplo, radio de FM y de televisin VHF) es de 1.5 a 300 MHz. Cul es la gama de longitudes de onda correspondientes? (c) Las longitudes de onda de rayos X varan de unos 5.0 nm a aproximadamente 21.0 10nm. Cul es la gama de frecuencia para rayos X?3. Una onda senoidal viaja a lo largo de una cuerda. El tiempo para que un punto en particular se mueva del mximo desplazamiento a cero es 0.170s. Cules son(a)el periodo y(b)la frecuencia? (c) La longitud de onda es 1.40 m, Cul es la velocidad de la onda? Resp: 0.68 s, 1.47 Hz, 2.06 m/s.4. Escriba la ecuacin de una onda senoidal que viaja en la direccin negativa a lo largo de un eje x y cuya amplitud es de 0.010 m, su frecuencia es de 550 Hz y una velocidad de 330 m/s.5. Demuestre que ( ) ,my y Senk x vt 2 ,mxy y Sen f t | ` . ,,mxy ySenw tv| ` . ,2 ,mx ty ySenT| ` . , son todas equivalentes a ( ) .my ySenkx wt 6. La ecuacin de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerda muy larga es ( ) 6.0 0.20 4.0 y Sen x t + , donde x y y estn expresados en centmetros y t en segundos. Determine: (a) la amplitud, (b) la longitud de onda,(c) la frecuencia,(d) la velocidad, (e) la direccin de propagacin de la onda y (f) la mxima velocidad transversal de una partcula en la cuerda, (g) Cul es el desplazamiento transversal en3.5 x cm cuando0.26 t s?7. (a) Escribas una ecuacin que describa una onda transversal senoidal que viaja en un cordn en la direccin +x con una longitud de onda de 10 cm, una frecuencia de 400 Hz y una amplitud de 2.0 cm.(b)Cul es la mxima velocidad de un punto en el cordn? (c)Cul es la velocidad de la onda?Resp:( ) ( ) , 2.0 2 0.10 400 , y x t Sen x t con x e y en cm y t en s; 50 m/s; 40 m/s.8. Una persona comn y corriente (promedio) puede or sonidos comprendidos en un intervalo de frecuencias de aproximadamente 20 Hz a 20 kHz. Determnense las longitudes de onda en estos lmites, si la rapidez del sonido es de 340 m/s. Resp: 17 m, 1.7 cm.9. La estacin de radio WJR de Detroit transmite a 760 kHz. La rapidez de las ondas de radio es de 83.0 10 m/s. Cul ser la longitud de onda de las ondas de WJR?Resp: 395 m.10. Las ondas de un radar con una longitud de onda de 3.4 cm se emiten desde un transmisor. Su rapidez es de 83.0 10 m/s. Cul es su frecuencia?. Resp: 8.8 X 109 Hz = 8.8 GHz.Ing. Rosario Cruz Guerrero8Velocidad de onda en una cuerda estiradaLa velocidad de una onda est relacionada con su longitud y frecuencia por medio de la ecuacin ( )]]]

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.| t fxSen y t f x Sen y t w x k Sen y ym m m 2 22Pero es fijada por las propiedades del medio. Si una onda viajara por un medio como agua, aire, acero o una cuerda estirada, debe hacer que las partculas de ese medio oscilen a medida que pasa. Para que esto ocurra, el medio debe poseer masa (de modo que pueda haber energa cintica) y elasticidad (para que pueda haber energa potencial). Por tanto, las propiedades de masa y elasticidad del medio determinanconcuntarapidezpuedeviajarlaondaenel medio. Alainversa, debeserposible calcular la velocidad de la onda que pase por el medio en trminos de estas propiedades.Defiendo el trmino como la tensin en la cuerda, que es igual a la magnitud comn de las fuerzas de estiramiento y tensin a los lados de ella, y definiendo tambin a como la densidad lineal de la cuerda (masa entre longitud de la misma) se puede demostrar que:Lavelocidaddeunaondaalolargodeunacuerdaideal estiradadependeslodelatensiny densidad lineal de la cuerda y no de la frecuencia de la onda,de lo cual se obtiene la frmulade la velocidad del pulso y la de cualquier otra onda en la misma cuerda y con la misma tensin: vLa frecuencia de la onda la determina en su totalidad cualquier cosa que genere la onda, por ejemplo, una persona, y la longitud de onda la determina entonces la ecuacin:f El tiempotque tarda un pulso para recorrer una distancia L esvLt dondeves la velocidad constante del pulso.El Principio de SuperposicinEsfrecuentequedosomsondaspasenal mismotiempoporlamismaregin. Porejemplo, cuando escuchamos un concierto, ondas sonoras de varios instrumentos llegan a la vez a nuestros odos. El agua de un lago o puerto puede ser agitada por las estelas de mltiples botes.El desplazamiento de una cuerda cuando las ondas se traslapan es la suma algebraica( ) ( ) ( ) t x y t x y t x y , , ,2 1+ El Principio de Superposicin establece que:Ing. Rosario Cruz Guerrero9Si dos o ms ondas viajeras se mueven a travs de un medio, la funcin de onda resultante del traslape en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de ondas individuales, produciendo una onda resultante (no onda neta).Las ondas que se traslapan no alteran de ningn modo el desplazamiento que hay entre ellas (dos ondas que se desplazan en direcciones opuestas en la misma cuerda estirada).Las ondas que obedecen este principio son llamadas ondas lineales. Las que no lo cumplen son ondas no lineales.La combinacin de ondas independientes en la misma regin del espacio para producir una onda resultante se denomina interferencia.Interferencia de ondasLa superposicin de ondas puede dar origen a la interferencia tanto constructiva como destructiva de ellas, segn la fase en que se encuentren ambas en cada momento.Veamos qu sucede cuando dos ondas con la misma frecuencia se encuentran en fase:Ing. Rosario Cruz Guerrero10Si lasondasestnexactamenteenfase(demodoquelospicosyvallesdeunaestnalineados exactamentecon losde la otra), secombinanparadoblarel desplazamientodecualquieradelas ondas que acte sola. Si de manera exacta estn fuera de fase (los picos de una estn exactamente alineados con los valles de la otra),se combinan para cancelarse en todos los puntos,y la cuerda permanece recta. De la ecuacin( ) ( ) ( ) t x y t x y t x y , , ,2 1+ obtenemos( ) ( ) + + wt kx Sen y wt kx Sen y ym mque produce

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21212 wt kx Sen Cos y ymdonde es la constante de fase.Potencia de una onda viajeraEn un sistema oscilante como un pndulo o un sistema formado por un resorte y un bloque, la energa cintica promedio y la energa potencial promedio en verdad son de hecho iguales.Lapotenciapromedio, queeslarapidezpromedioalacual laondatransmiteenergadeambas formas, es2 221m promy P Los factores y en esta ecuacin dependen del material y la tensin de la cuerda. Los factores y my dependen del proceso que genere la onda. La dependencia de la potencia promedio de una onda en el cuadrado de su amplitud y en el cuadrado de su frecuencia angular es un resultado general para ondas de todo tipo.Ing. Rosario Cruz Guerrero11InterferenciaEfecto que se produce cuando dos o ms ondas se solapan o entrecruzan. Cuando las ondas interfieren entres, la amplitud(intensidado tamao) de la onda resultante depende de las frecuencias, fasesrelativas(posicionesrelativasdecrestasyvalles) yamplitudesdelasondas iniciales; Por ejemplo, la interferencia constructiva se produce en los puntos en que dos ondas de la mismafrecuenciaquesesolapanoentrecruzanestnenfase;esdecir, cuandolascrestasylos valles de ambas ondas coinciden. En ese caso, las dos ondas se refuerzan mutuamente y forman una ondacuyaamplitudesigual alasumadelasamplitudesindividualesdelasondasoriginales. La interferencia destructiva se produce cuando dos ondas de la misma frecuencia estn completamente desfasadas una respecto a la otra; es decir, cuando la cresta de una onda coincide con el valle de otra. En este caso, las dos ondas se cancelan mutuamente. Cuando las ondas que se cruzan o solapan tienen frecuencias diferentes o no estn exactamente en fase ni desfasadas, el esquema de interferencia puede ser ms complejo.Cuando dos pulsos que avanzan por una cuerda se encuentran, sus amplitudes se suman formando un pulso resultante. Si los pulsos son idnticos pero avanzan por lados opuestos de la cuerda, la suma de las amplitudes es cero y la cuerda aparecer plana durante un momento (A).Esto se conoce como interferencia destructiva. Cuando dos pulsos idnticos se desplazan por el mismo lado, la suma de amplitudes es el doble de la de un nico pulso (B). Esto se llama interferencia constructiva. La diferencia entre estas dos interferencias es que la interferencia constructiva ocurre cuando dos pulsos con la misma amplitud tienen direcciones opuestas y van por el mismo lado, es decir, las dos por arriba. Cuandoestospulsosseencuentran, lasamplitudessesuman. Posteriormentelosdospulsos siguen su propia direccin con la misma amplitud. En cambio, la interferencia destructivaocurre cuando dospulsosdeigual amplitud vanensentidosopuestosperounoporarribayotroporabajo. Loque ocurre cuando se topan es que la suma de sus amplitudes es cero y el medio queda sin ningn disturbio. Los pulsos no se afectan uno del otro, por ende siguen su movimiento. Ing. Rosario Cruz Guerrero12Reflexin de pulsos ondulatoriosSacudiendo una cuerda rpidamente se genera un pulso ondulatorio, que avanza por la cuerda hacia la izquierda (A). Si el extremo de la cuerda puede moverse libremente, el pulso vuelve por la cuerda por el mismolado(C1). Si lacuerdaestatadaalapared, el pulsovuelveporlacuerdaporel lado opuesto (C2). Si el extremo est libre, el pulso tendr el doble de la amplitud original en el punto de reflexin (B1); si el extremo est fijo, la amplitud del pulso en dicho punto ser nula (B2).Reflexin de las ondas.Seentiendeporreflexinel cambioenladireccindepropagacinqueexperimentaunaondaal encontrarse con un obstculo adecuado a su naturaleza. Un caso interesante, en la reflexin, es cuando el obstculo forma un ngulo distinto de 90 con la direccin de la onda, ya que entonces se observa que la onda incidente cambia su direccin de propagacin al chocar con el obstculo.Refraccin de las ondas.Se entiende por refraccin al conjunto de fenmenos o de cambios que experimenta una onda al pasar deunmedioaotrodepropiedadesdiferentes.Comoconsecuenciadetenerlosmediospropiedades diferentes o ser de distinta estructura, la velocidad de propagacin de la onda es distinta en cada uno de ellos. Los fenmenos de reflexin y de refraccin se pueden explicar considerando que la velocidad de propagacin es diferente en los dos medios, y que los diferentes puntos del frente de onda -para incidencianonormal enel casodeondasplanas-alcanzanlasuperficiedeseparacineninstantes diferentes de tiempo. Difraccin de las ondas.Es el fenmeno que se presenta siempre que una onda se encuentra con un obstculo, o una abertura, de dimensiones comparables a su longitud de onda. El obstculo puede ser una casa, un poste, un disco, una varilla,etc.; la abertura,un pequeo orificio o rendija en una pantalla,las plumas de un ave,etc. En todos los casos se bloquea el paso de una parte del frente de onda. En estas condiciones, la propagacin del movimiento ondulatorio no es rectilnea y su intensidad depende de la direccin que se considere. Debemos resaltar que el proceso mediante el cual se producen los efectos de difraccin tiene lugar continuamenteenlapropagacindelasondasatravsdel medio. Slosi sesuprimeunapartedel frentedeonda, medianteunobstculointerpuestoensucamino, seobservarnlosfenmenosde Ing. Rosario Cruz Guerrero13interferencia. Podemos decir que el trmino de difraccin se aplica al efecto resultante producido por una porcin limitada de un frente de onda. Ondas EstacionariasCuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad avanzan en sentido opuesto a travs de un medio se forman ondas estacionarias. Por ejemplo, si se ata a una pared el extremo de una cuerda y se agita el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, las ondas se reflejan en la pared y vuelvenensentidoinverso. Si suponemosquelareflexinesperfectamenteeficiente, laonda reflejadaestarmedialongituddeondaretrasadaconrespectoalaondainicial. Seproducir interferencia entre ambas ondas y el desplazamiento resultante en cualquier punto y momento ser lasumadelosdesplazamientoscorrespondientesalaondaincidenteylaondareflejada. Enlos puntos en los que una cresta de la onda incidente coincide con un valle de la reflejada,no existe movimiento;estospuntossedenominannodos,aqu acuerdanunca semueve.Amitaddecamino entre dos nodos, las dos ondas estn en fase, es decir, las crestas coinciden con crestas y los valles con valles; en esos puntos, la amplitud de la onda resultante es dos veces mayor que la de la onda incidente; por tanto, la cuerda queda dividida por los nodos en secciones de una longitud de onda. Entre los nodos (que no avanzan a travs de la cuerda), la cuerda vibra transversalmente. A la mitad entre nodos adyacentes hay antinodos, donde la amplitud de la onda resultante es mxima.Si dos ondas senoidales de la misma amplitud y longitud de onda viajan en direcciones opuestas a lo largo de una cuerda estirada, la interferencia que hay entre ellas produce una onda estacionaria.Ondas Estacionarias y ResonanciaSe denominan nodosa los puntos x que tienen una amplitud mnima,2Asen(kx)=0, por lo que kx=np con n =1, 2, 3, .... o bien, x=/2,, 3 /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda,/2.Considrese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibracin, cada uno con una frecuencia caracterstica. Las frecuencias se pueden calcular fcilmente. En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibracin ser aqul en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L= /2. Para el segundo modo de vibracin, la longitud de la cuerda ser igual a una longitud de onda, L= . Ing. Rosario Cruz Guerrero14Para el tercer modo,L=3 /2, y as sucesivamente. Enconsecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibracin se puede expresar como ... , 3 , 2 , 12 n connLnPara hallar las frecuencias empleamos la relacin =vP, o bien =v/ . Ing. Rosario Cruz Guerrero15