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Unidad 1
Progresiones
Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
• Identificaráloselementosdelasprogresionesaritméticasygeométricas.• Calcularáeln-ésimo término y la suma de los n términos de una progresión aritmética.
• Calcularáeln-ésimo término y la suma de los n términos de una progresión geométrica.
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Introducción
P ara estudiar matemáticas financieras, y realizar algunos cálculos relacionados, es necesario
recordar algunos conceptos algebraicos y aritméticos (los cuales conoces en su mayoría):
•Las leyes de los exponentes y la prioridad para realizar una serie de operaciones y conceptos que revisaste en tu libro de Álgebra 1 (Matemáticas 1).
•Factorizaciónpor elmétodode factor común, la cual podrás volver a revisar en tu libro de Álgebra 2 (Matemáticas 2).
•Propiedadesde los logaritmos,queseencuentranentu librodeGeometría analítica
(Matemáticas 4).
Sin embargo, éstos no son los únicos elementos que se requieren para entender y aplicar
las matemáticas financieras; en esta unidad estudiarás tanto las progresiones aritméticas
como las progresiones geométricas; ambas son parte de los principios fundamentales de
los cálculos financieros.
1.1. Progresiones
Aunque las progresiones son un tema que pocas veces se revisa
en los cursos de matemáticas, para el estudio de matemáticas
financieras son de mucha importancia, ya que son la base para el
cálculo del interés, en el cual están fundamentadas.
Una progresión se define como una colección de números (llamados términos), que se
forman mediante una regla dada.
Las progresiones pueden ser infinitas o finitas de acuerdo con el número de términos
que contengan. Se dice que es infinita cuando no está definido el número de términos que contiene;
por el contrario, cuando está definido o determinado el número de términos que contiene, se
considera que es finita.
¿Por qué son importantes las progresionespara las matemáticas financieras?
18
matemáticas financieras
Dependiendo de la ley que forma una progresión, puede clasificarse como aritmética
o geométrica.
1.2. Progresiones aritméticas
Revisaremos primero las progresiones aritméticas finitas.
Una progresión aritmética es una sucesión de números (llamados términos), en la que
cualquier término es resultado de sumar al anterior una cantidad constante.
Un ejemplo de este tipo de progresión sería: 2, 4, 6, 8, 10. En ella se puede observar que:
4=2+2
6=4+2
8=6+2
10=8+2
Cuya cantidad constante es 2.
1.2.1. Elementos de una progresión aritmética
Los elementos de una progresión aritmética son:
•Elnúmero de términos que forman una progresión aritmética finita que se representa
con la letra n.
•Elprimer término de una progresión aritmética que se representa con la letra a.
•Ladiferencia de la progresión, o diferencia común, que es la cantidad constante
que se suma a un término para formar el siguiente término y se representa con
la letra d.
Cuando la diferencia común es positiva, se trata de una progresión creciente; cuando
la diferencia es negativa, se trata de una progresión decreciente.
Unidad 1
19
Si nos referimos a progresiones finitas, significa que deben tener un último término, el
cual se representa con la letra l.
Ejemplo
Dada la progresión 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37 determina si se trata de una progresión
aritmética, e indica cada uno de sus elementos.
Solución
Primero se determina si se trata de una progresión aritmética, lo
cual se logra determinando si existe la diferencia común.
Para determinar la diferencia común se resta a cada término el
anterior, iniciando con el último; si el resultado de éstas es el mismo,
este valor corresponde a la diferencia común.
37–32=5
32–27=5
27–22=5
22–17=5
17–12=5
12–7=5
De aquí podemos determinar que se trata de una progresión aritmética cuya diferencia
común (d) es 5, y como es positiva, significa que se trata de una progresión creciente.
Una vez identificada la progresión como aritmética, se procede a identificar sus elementos,
teniendo que:
El primer término es a=2
El total de términos es n=8
El último término es l =37
La diferencia común es d=5
¿Cómo se determina si una progresión es aritmética?
20
matemáticas financieras
1.2.2. Valor del último término de una progresión aritmética
Hay ocasiones en que únicamente se conocen los tres primeros términos de una progresión
aritmética, sin embargo, bajo ciertas circunstancias se requiere conocer un número de
término específico, por ejemplo, imagina que se tiene la progresión 2.5, 3.75, 5... y se
quiere conocer el valor del octavo término, lo primero que tendrías que hacer es encontrar
la diferencia común.
5–3.75=1.25 d=1.25
3.75–2.5=1.25
Para encontrar el cuarto término se le suma 1.25 al tercer término (5), y así sucesivamente
hasta llegar al octavo término.
Cuarto término 5+1.25=6.25
Quinto término 6.25+1.25=7.5
Sexto término 7.5+1.25=8.75
Séptimo término 8.75+1.25=10
Octavo término 10+1.25=11.25
Como puedes observar, es relativamente sencillo encontrar cualquier término de una
progresión; ¿pero qué ocurriría si te pidieran encontrar el término 1 500? Este método no
sería práctico, por lo que se hace necesario uno más sencillo.
Tomando en cuenta que, para una progresión aritmética, cada término es igual al
anterior más la diferencia común, tenemos que:
El primer término (n=1) es a
El segundo término (n=2) es a+d
El tercer término (n=3) es a+d+d=a+2d
El cuarto término (n=4) es a+2d+d=a+3d
El quinto término (n=5) es a+3d+d=a+4d
Unidad 1
21
Si observas cuidadosamente, te podrás dar cuenta que el coeficiente de d en cada caso
corresponde al valor de n–1, de lo que se puede deducir que:
donde:
l es el último término (término n)
l =a+(n–1)d a es el primer término
n es el número de término que se desea conocer
d es la diferencia común
Ejemplo
Determinar el valor del octavo término de la progresión: − −4
3,
2
3, 0 . . .
Solución
Primero se determina si se trata de una progresión aritmética, encontrando la
diferencia común:
02
30
2
3
2
3− −
= + =
− − − = − + =2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
nota: es importante que no pierdas de vista el signo de cada término de la progresión.
Al ser iguales ambas diferencias, podemos afirmar que se trata de una progresión
aritmética, cuya diferencia común es 2
3 (d=
2
3)
Una vez identificada la progresión como aritmética, se procede a identificar los
valores conocidos:
El primer término es a= − 4
3
La diferencia común es d=2
3
22
matemáticas financieras
El número de términos es n=8 (ya que se busca el octavo término)
Se sustituyen estos valores en la fórmula que nos permite calcular el último término
de una progresión aritmética:
l =a+(n–1)d
l = − + −
4
38 1
2
3( )
l = − +
4
37
2
3( )
l = − + =4
3
14
3
10
3
El valor del octavo término es 10
3
No siempre lo que se busca es el valor del último término, hay ocasiones en las que se
busca la diferencia común, el primer término o el número de términos de la progresión. Estos
elementos se pueden calcular utilizando la misma fórmula que se utiliza para calcular el valor
del último término.
Si consultas tu libro Álgebra 1, en la parte referente al tema de
fórmulas (unidad 5), recordarás que aprendiste a despejar las variables
que forman parte de una fórmula; pues bien, la fórmula para calcular
el último término de una progresión aritmética no es la excepción
y se puede despejar cualquiera de sus variables dependiendo de las
necesidades de cada caso.
Ejemplos
1. ¿Cuántos términos tiene la progresión –32, –28, –24... 24?
Solución
Se identifica si se trata de una progresión aritmética encontrando la diferencia común:
¿Qué elementos puedes despejar
de la fórmula para calcular el último
término de una progresión aritmética?
Unidad 1
23
–24–(–28)=–24+28=4
–28–(–32)=–28+32=4
Por lo tanto, se trata de una progresión aritmética cuya diferencia común es 4 (d=4).
Posteriormente se identifican los elementos con que se cuenta:
a=–32
d=4
l =24
Se sustituyen los valores en la fórmula l =a+(n–1)d:
24=–32+(n–1)4
Se despeja el valor de n:
–32+(n–1)4=24
(n–1)4=24+32
n–1=24 32
4
+
n–1=56
4
n–1=14
n=14+1=15
La progresión tiene 15 términos.
2. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay entre 10 y 1 000?
Solución
Recordando que un múltiplo de 7 son los números que provienen de multiplicar 7 por
cualquier otro valor y considerando la multiplicación como una suma abreviada podemos
encontrar los múltiplos de 7 sumando este valor al primer término y así sucesivamente.
24
matemáticas financieras
Cómo se buscan los múltiplos de 7 entre 10 y 1 000: primero identificaremos el primero
y el último de los números en este rango que sean múltiplos de 7. El primero sería 14, ya que es
el primer múltiplo de 7 mayor que 10. El último término es 994, ya que es el último número
menor que 1 000 y que es múltiplo de 7, consecuentemente:
a=14
d=7
l =994
Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor del último término en
una progresión aritmética:
l =a+(n–1)d
994=14+(n–1)7
14+(n–1)7=994
(n–1)7=994–14
n–1= 980
7
n=140+1=141
Entre 10 y 1 000 hay 141 números que son múltiplos de 7.
3. ¿Cuál es el primer término de la progresión aritmética cuyo décimo término es
3.75 y su diferencia común es –1.25?
Solución
Se identifican los elementos de la progresión:
n=10 (ya que se conoce el décimo término)
d=–1.25
l =3.75
Unidad 1
25
Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el último término de una progresión
aritmética. Se despeja la variable que representa al primer término (a):
l =a+(n–1)d
3.75=a+(10–1)(–1.25)
a+(10–1)(–1.25)=3.75
a+(9)(–1.25)=3.75
a–11.25=3.75
a=3.75+11.25=15
El primer término de la progresión es 15.
1.2.3. Suma de los n términos de una progresión aritmética
Existen situaciones y casos específicos en los cuales se requiere conocer el resultado de sumar
todos y cada uno de los términos de una progresión aritmética.
La suma de los n términos de una progresión aritmética se representa con la letra
S, la cual se puede indicar:
S=primer término+segundo término+...+penúltimo término+último término
Lo cual algebraicamente se puede expresar:
S=a+(a+d)+...+(l –d)+l
Si recordamos una de las propiedades de la suma como lo es la propiedad conmutativa
(Álgebra 1), la cual nos dice que el orden de los sumandos no altera la suma, y aplicamos ésta a
la suma anterior invirtiendo sumandos, tendríamos:
S=l +(l –d)+...+(a+d)+a
26
matemáticas financieras
Sumando ambas igualdades se tiene:
S= a +(a+d) +...+ (l –d) + l
S= l + (l –d) +...+(a+d) + a
2 S= (a+l )+(a+l ) +...+ (a+l ) + (a+l )
Como puedes observar, (a+l ) se suma tantas veces como términos tiene la progresión
(n veces), por lo cual se puede simplificar expresándolo:
2S=n(a+l )
Despejando S podemos encontrar la fórmula para calcular la suma de los n términos
de una progresión aritmética:
donde:
l es el último término
Sn a
= ( +
2
l ) a es el primer término
n es el número de términos
S es la suma de los n términos
Ejemplo
Determinar el resultado de sumar los 12 primeros términos de la progresión 16, 12, 8...
Solución
Primero se identifica la diferencia común:
8–12=–4
12–16=–4
Por consiguiente:
Unidad 1
27
d=–4
a=16
n=12 (ya que se trata de los 12 primeros términos)
Para aplicar la fórmula que nos permite conocer el resultado de la suma de los
n términos de una progresión hace falta el valor del último término, en este caso el
doceavo término:
l =a+(n–1)d
l =16+(12–1)(–4)=16+11(–4)=16–44=–28
l =–28
Para encontrar la suma de los n términos de una progresión aritmética aplicamos
la fórmula correspondiente:
Sn a
= ( +
2
l )
S =12 [ 16 + ( 28)]
2=
12 (16 28 )
2=
12 ( 12)
2=
144
2= 72
− − − − −
La suma de los primeros 12 términos de la progresión 16, 12, 8... es =–72.
Ejercicio 1
1. Encuentra la diferencia común de la progresión: 6, 2, –2...
2. Determina el decimoctavo término de la progresión –4, –1, 2...
3. Determina si la progresión − −2
3
1
3, , 0…, es aritmética; si es así, calcula el
vigesimosegundo término.
4. Determina el número de términos que tiene la progresión aritmética: 1, 3, 5... 173.
5. Determina el número de términos de la progresión cuyo primer término es 5; la
diferencia común –0.25 y el último término 0.25.
28
matemáticas financieras
6. ¿Cuál es el primer término de la progresión cuya diferencia común es 3
4, y su vigésimo
término es 81
4?
7. Determina si la progresión − 1
20
1
2, , … es aritmética. Si lo es, calcula la suma
de los primeros 11 términos.
8. Determina si la progresión 9, 6, 3... es aritmética. Si lo es, calcula la suma de
los primeros 25 términos.
1.3. Progresiones geométricas
Hasta el momento hemos revisado las progresiones aritméticas, sin embargo no son el
único tipo de progresiones que existen, en este apartado estudiaremos las progresiones geométricas.
Una progresión geométrica se define como una sucesión de números (llamados términos),
cada uno de los cuales, después del primero, se obtiene multiplicando el término anterior por
una cantidad constante.
Un ejemplo de este tipo de progresión es: 2, 6, 18, 54, 162, 486, en la cual se
puede observar que:
6=2(3)
18=6(3)
54=18(3)
162=54(3)
486=162(3)
Por lo tanto, la cantidad constante es 3.
1.3.1. Elementos de una progresión geométrica
Los elementos de una progresión geométrica son:
Unidad 1
29
•El número de términos que forman una progresión geométrica finita y que se
representa con la letra n.
•Elprimer término de una progresión geométrica, y que se representa con la letra a.
•Larazón común, que es la cantidad constante por la que se multiplica cada término
para formar el siguiente término y que se identifica con la letra r.•Elúltimo término de las progresiones geométricas finitas se representa con la letra l
.
Ejemplo
Dada la progresión –3, 6, –12, 24, –48, determina si es geométrica e identifica cada
uno de sus elementos.
Solución
Para identificar si se trata de una progresión geométrica lo primero
que se requiere es definir si existe o no la razón común.
Para determinar la razón común se divide cada término entre el
término anterior; si el resultado de todas las divisiones es el mismo, este
valor es la razón común, y entonces podremos afirmar que se trata de
una progresión geométrica. Para este ejemplo tenemos:
−
= −
48
242
24
12− = −2
− = −12
62
6
3− = −2
Con esto podemos afirmar que se trata de una progresión geométrica, cuya razón
común (r) es –2.
¿Cómo se diferencia una progresión geométrica de una aritmética?
30
matemáticas financieras
Sabiendo que se trata de una progresión geométrica, se procede a identificar todos sus
elementos:
El primer término es a=–3
El total de términos es n=5
El último término es l =–48
La razón común es r=–2
1.3.2. Valor del último término de una progresión geométrica
Bajo ciertas circunstancias, sólo se conocen tres términos consecutivos de una progresión
geométrica, pero es necesario conocer el número de término específico.
Por ejemplo, tienes la progresión 20, 10, 5... y requieres conocer su sexto término.
Primero tendremos que encontrar la razón común:
5
10=
1
2 ∴ r =
1
2
10
20
1
2=
Para determinar el cuarto término se multiplica el tercer término por la razón común 1
2
, y así sucesivamente hasta obtener el sexto.
Cuarto término 51
2=
5
2
Quinto término 5
2
1
2=
5
4
Sexto término 5
4
1
2=
5
8
Determinar algunos de los primeros términos de una progresión geométrica no es
complicado, pero, al igual que las progresiones aritméticas, conocer más términos sería laborioso
Unidad 1
31
y tendría un alto riesgo de error, por lo que es necesario un método más simple, que permita
determinar cualquiera sin tener que calcular los anteriores.
Si partimos de la definición de una progresión geométrica, tendríamos:
El primer término (n=1) es a
El segundo término (n=2) es ar
El tercer término (n=3) es ar(r)=ar2
El cuarto término (n=4) es ar2(r)=ar3
El quinto término (n=5) es ar3(r)=ar 4
Como se puede observar el exponente de r corresponde al valor de n–1, por lo que
podemos afirmar:
donde:
l es el último término (término n)
l =ar n–1 a es el primer término
n es el número de términos
r es la razón común
Ejemplos
1. Encontrar el valor del octavo término de la progresión: –12, 6, –3...
Solución
Primero se determina si se trata de una progresión geométrica encontrando la
razón común:
− = −3
6
1
2
6
12
1
2− = −nota: recuerda que al trabajar con fracciones, es necesario simplificarlas.
32
matemáticas financieras
Como son iguales ambas divisiones, podemos afirmar que se trata de una progresión
geométrica cuya razón común es − 1
2Se determina ahora el valor de los elementos conocidos.
El primer término es a=–12
La razón común es r= − 1
2
El número de término es n=8 (ya que se busca el octavo término)
Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor del último término de
una progresión geométrica:
l =arn–1
l = − −
−12
1
2
8 1
l = − −12
1
2
7
l = − − = =12
1
128
12
128
3
32
El octavo término de la progresión es 3
32
Al igual que ocurre con las progresiones aritméticas, en algunos casos de progresiones
geométricas es necesario calcular el número de términos, el primer término o la razón común;
elementos que se pueden despejar de la fórmula para calcular el valor del último término de
una progresión geométrica (l=ar n–1).
2. Determinar la razón común de la progresión donde le primer término es 3 y el
sexto término es 729.
Solución
Se identifican los elementos de la progresión:
Unidad 1
33
a=3
n=6
l =729
Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el valor del último término de una
progresión geométrica. Se despeja la variable que representa la razón común (a):
l =ar n–1
729=3r 6–1
3r5=729
r5= 729
3
r= 243 35 =La razón común de la progresión es 3.
3. ¿Cuál es el primer término de la progresión cuya razón común es − 2
3 y cuyo
octavo término es −128
27?
Solución
Se identifican los elementos de la progresión:
r= − 2
3
n=8
l = −128
27
Se sustituyen los valores en la fórmula l =ar n–1, y se despeja el valor de a:
− = −
−128
27
2
3
8 1
a
34
matemáticas financieras
a − = −2
3
128
27
7
a − = −
128
2 187
128
27
a = −− = = =
128
27128
2 187
128 2 187
128 27
2 187
2781
(
(
)
)
El primer término es 81.
4. ¿Cuántos términos tiene la progresión 2, 4, 8... 512?
Solución
Se identifica si es una progresión geométrica:
8
42=
4
22=
Con ello podemos afirmar que se trata de una progresión geométrica en la que la
razón común es 2.
Se identifican los elementos con que se cuenta:
a=2
r=2
l =512
Se sustituyen los datos en la fórmula l =ar n–1 y se despeja n:
512=2(2)n–1
Unidad 1
35
2(2)n–1=512
(2)n–1 512
2
2n–1=256
Como se puede observar, se trata de una ecuación exponencial; en tu libro Geometría analítica se revisan este tipo de ecuaciones, para las cuales es necesario utilizar logaritmos
aprovechando la propiedad que dice que: log an=n log a.
Aplicando logaritmos a la igualdad anterior:
log2n–1=log256
(n–1)log2=log256
n–1= log
log
256
2
n − =12 4082
0 3010
.
.
n–1=8
n=8+1=9
La progresión 2, 4, 8... 512 tiene 9 términos.
1.3.3. Suma de los n términos de una progresión geométrica
La suma de los n términos de una progresión geométrica se representa con la letra S, y se obtiene
sumando todos y cada uno de sus términos, lo que algebraicamente se representa como:
S=a+ar+ar2+...+l r –1+l
Se multiplica esta igualdad por r :
36
matemáticas financieras
r(S=a+ar+ar2+...+l r –1+l )
Sr=ar+ar2+ar3+...+l+l r
Se resta de este producto la suma de los n términos:
Sr = ar+ar2+ar3+...+l+l r –S = –a–ar – ar2 – ar3 – ...
–l
Sr–S = –a +l r
Sr–S=l r–a
Si consideramos S como factor común y se factoriza, obtenemos:
S(r–1)=l r–a
Despejando S podemos obtener:
donde:
l es el último término (término n)
Sr a
r= −
−l
1 a es el primer término
n es el número de término
r es la razón común
S es la suma de los n términos
Ejemplo
Encontrar la suma de los primeros 9 términos de la progresión 16, –8, 4...
Solución
Se identifican los elementos de la progresión:
4
8
1
2− = − y − = −8
16
1
2
Unidad 1
37
Así pues:
a=16
r= − 1
2
n=9 (ya que se trata de 9 términos)
Para calcular la suma de los n términos de una progresión geométrica, es necesario
obtener primero el valor del noveno término:
l =arn–1
l =161
216
1
22
1
2
1
2
1
169 8 4
8 4 = = = =−
−
−1
l = 1
16
Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular la suma de los n términos de
una progresión geométrica:
S =
1
16
1
216
1
21
− −
− −
S = − −− −1
32
16
11
2
1
1
S =− −− −1 512
321 2
2
S =
−−513
323
2
38
matemáticas financieras
S = −−
2 513
32 3
(
(
)
)
S = −− =1 026
96
171
16
La suma de los primeros 9 términos de la progresión geométrica 16, –8, 4... es 171
16
Ejercicio 2
1. ¿Cuál es la razón común de la progresión –4, 2, –1...?
2. Determina si la progresión − − −1
64
1
4, , ,
1
16 ... es geométrica, si es así, calcula el
octavo término.
3. Calcula el décimo término de la progresión − −1
16
1
8
1
4, , …
4. ¿Cuál es la razón común de la progresión cuyo primer término es 32 y el décimo
término es 4.3?
5. Determina la razón común de la progresión geométrica cuyo primer término es 1
y el sexto término es 1
2436. ¿Cuántos términos tiene la progresión 15 000, 13 500, 12 150..., 7 971.615?
7. Calcula la suma de los primeros 7 términos de la progresión –64, 16, –4...
8. Calcula la suma de los primeros 15 términos de la progresión 8 192, 4 096, 2 048...
Problemas resueltos
1. ¿Cuál es el primer término de la progresión cuyo noveno término es 39 y cuya
diferencia común es 4?
Solución
Al tener como dato una diferencia común, podemos deducir que se trata de una progresión
geométrica. Se identifican los datos:
Unidad 1
39
n=9
l =39
d=4
Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor del último término de una
progresión aritmética. Se despeja el primer término (a):
l =a+(n–1)d
39=a+(9–1)(4)
a+(8)(4)=39
a+32=39
a=39–32=7
El primer término de la progresión es 7.
2. Determinar la diferencia común de la progresión que tiene como primer término
51 y como noveno término 99.
Solución
Se identifican los datos:
a=51
l =99
n=9
Se sustituyen en la fórmula para calcular el valor del último término de una progresión
aritmética. Se despeja la diferencia común (a):
l =a+(n–1)d
99=51+(9–1)d
51+(9–1)d=99
40
matemáticas financieras
(8)d=99–51
d= 48
86=
La diferencia común de la progresión es 6.
3. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 25 y 86?
Solución
Debido a que se buscan múltiplos de 3, equivale a una progresión aritmética, cuya
diferencia común es 3.
El primer número después de 25 que es múltiplo de 3 es 27, por lo tanto a=27.
El último número previo a 86 que es múltiplo de 3 es el número 84, por lo tanto l =84.
Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor del último término de una
progresión geométrica. Se despeja al número de términos (n):
l =a+(n–1)d
84=27+(n–1)3
27+(n–1)3=84
(n–1)3=84–27
n–1= 57
3
n=19+1=20
Significa que entre 25 y 86 hay 20 números que son múltiplos de 3.
4. Encuentra la suma de los 18 primeros términos de la progresión 41
35 5
2
3, , …
Solución
Se calcula la diferencia común:
Unidad 1
41
52
35
17
3
15
3
2
3− = − =
5 41
3
15
3
13
3
2
3− = − =
Por lo tanto, d= 2
3
Posteriormente se calcula el valor del decimoctavo término:
l =a+(n–1)d
donde:
a= 41
3
n=18
d= 2
3
l = 41
318 1
2
3+ −
( )
l = +
13
317
2
3( )
l = + = =13
3
34
3
47
315
2
3
Se calcula la suma de los 18 términos utilizando la fórmula Sn a= +( )l
2
S =
+
=
+
=
18 41
315
2
3
2
1813
3
47
3
2
1860
3
2
S = = =18 20
2
360
2180
( )
42
matemáticas financieras
La suma de los primeros 18 términos de la progresión 41
35 5
2
3, , ..., es 180.
5. ¿Cuál es el valor del séptimo término de la progresión 1, 4, 16...?
Solución
Se identifica si se trata de una progresión aritmética o geométrica:
16–4=12
4–1=3
La desigualdad del resultado de ambas restas significa que no es una progresión
aritmética, por consiguiente hay que verificar que se trata de una geométrica:
16
44=
4
14=
Se trata de una progresión geométrica donde la razón común es 4.
Se identifican los datos y se sustituyen en la fórmula para calcular el valor del último
término de una progresión geométrica:
a=1
r=4
n=7
l =arn–1
l =1(4)7–1=1(4)6=1(4 096)=4 096
El séptimo término de la progresión es 4 096.
6. ¿Cuántos términos tiene la progresión cuyo primer término es 36 864, el último
es 36 y la razón común es 0.5?
Unidad 1
43
Solución
Se identifican los datos:
a=36 864
r=0.5
l =36
Se sustituyen los datos en la fórmula l =ar n–1 y se despeja n:
36=36864(0.5)n–1
36 864(0.5)n–1=36
( . )0 536
36 864n− =1
Como notas, se trata de una ecuación exponencial; en tu libro Geometría analítica
puedes revisar este tipo de ecuaciones. Es necesario, para esta ecuación, utilizar logaritmos
aprovechando la propiedad: log an=n log a.
Se aplica n logaritmos a la igualdad anterior:
log( . ) log0 536
36 8641n−
=
( log(0.5)
n − =
1
36
36 864) log
n − =10 000976562
0 5
log
log
.
.
n − = −−13.010299957
0.30129995
n–1=10
n=10+1=11
La progresión tiene 11 términos.
44
matemáticas financieras
7. Calcular la suma de los primeros 7 términos de la progresión 16
3, 8, 12…
Solución
Se calcula la diferencia o razón común:
12
8
3
2=
8
116
3
24
16
3
2= =
Se trata de una progresión geométrica cuya razón común es 3
2Como segundo paso se calcula el valor del séptimo término de la progresión:
a=16
3
r=3
2
n=7
l =ar n–1
l =16
3
3
2
2
3
3
2
2 3
3 2
3
2
243
4
7 1 4 6 4 6
6
5
2
= = =−
( )
( )
Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor de la suma de los n términos
de una progresión geométrica:
Sr a
r=
1
l −−
S =
−− = −
− =−
=243
4
3
2
16
33
21
729
8
16
33 2
2
2 187 128
241
2
2 059
241
22
Unidad 1
45
S = = =2 2 059
1 24
2 059
12171
7
12
(
(
)
)
Así, tenemos que la suma de los primeros siete términos de la progresión geométrica 16
3,
8, 12… es = 1717
12
Problemas propuestos
1. Determina el término decimosegundo de la progresión 1 573, 1 894, 2 215...
2. Determina si la progresión 720, 707.5, 695..., es aritmética; si lo es, calcula la
suma de los primeros 30 términos.
3. ¿Cuál es el número de términos que tiene la progresión cuyo primer término es 1
4;
la diferencia común es 1
2 y el último término es 9
3
4.
4. ¿Cuál es el primer término de la progresión cuya diferencia común es –3 y su
decimoquinto término es 72.
5. ¿Cuál es el decimosegundo término de la progresión 6 561
512
2 187
256
729
128, , ...?
6. ¿Cuál es la razón común de la progresión cuyo primer término es 12 y su octavo
término es 0.09375?
7. ¿Cuántos términos tiene la progresión cuyo primer término es 12, la razón común
es 2 y el último término es 12 288?
8. Calcula la suma de los primeros 6 términos de la progresión 1
81
1
9, ,
1
27 − ...
46
matemáticas financieras
Respuestas a los ejercicios
ejercicio 1
1. d=–4 5. n=20
2. l =47 6. a=–6
3. l = 19
3 7. S=22
4. n=87 8. S=–675
ejercicio 2
1. r= − 1
2 5. r=
1
3
2. l =–256 6. n=7
3. l =32 7. S= − 3 277
64
4. r=0.8 8. S=16 383.5
Respuestas a los problemas propuestos
1. l =5 104 5. l =4
27
2. S=16 162.5 6. r=0.5
3. n=20 7. n=11
4. a=114 8. S= −182
81
Matemáticas inancieras Unidad 1. Progresiones
Nombre:
Grupo: Número de cuenta:
Profesor: Campus:
47
Autoevaluación
1. El vigesimoctavo término de la progresión –18, –15, –12... es:
a ) 99
b) 102
c ) 63
d) 630
2. El noveno término de la progresión –64, 32, –16... es:
a ) − 1
2
b) − 1
4
c ) 1
4
d) 1
2
3. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay entre 5 y 1 000?
a ) 142
b) 143
c ) 144
d) 145
4. La suma de los 14 primeros términos de la progresión − − −1835
2, ,
71
4 … es:
a ) − 917
4
b) –917
48
c ) –131
d) −131
4
5. La suma de los primeros 7 términos de la progresión –15, 5, − 5
3... es:
a ) − 2 730
243
b) − 2 732
243
c ) − 2 733
243
d) − 2 735
243