unidad 00 resolución de problemas

8/6/2019 unidad 00 Resolucin de problemas

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1 SOLIDARIDAD

Entre todos los amigos, aportando6 cada uno, bamos a comprar unbaln. Pero Ivn y Jaime no puedenpagarlo, por lo que ahora tocamosa 10 .

Cuntos amigos somos en la pandilla?

Cunto les tocara aportar entre Ivn y Jaime? Cunto supone esa cantidad para

cada uno de los restantes?

Hayx amigos, cada uno aporta 6 El baln cuesta 6x

Ahora hayx 2 amigos, cada uno aporta 10 El baln cuesta 10(x 2)

Cunto iban a aportar entre Ivn y Jaime?

Entre Ivn y Jaime iban a aportar 6 2 = 12

Cunto supone esa cantidad para cada uno de los restantes?

Para cada uno supone 10 6 = 4 ms, luego:

12 = 4(x 2)

x 2 = 3

x= 5En total somos 5 amigos en la pandilla.

2 A VUELTAS CON EL RELOJ

Divide la esfera del reloj en seis partes de forma que la su-ma de los nmeros de cada parte sea la misma.

Cunto suman todos los nmeros de la esfera del reloj?

Cunto sumar cada parte?

Cunto suman todos los nmeros de la esfera del reloj?Entre todos los nmeros suman 78.

Cunto sumar cada parte?

Cada parte sumar = 13.

3 CAPICAS

Cul es la suma de todos los nmeros capicas comprendidos entre 6000y 7000?

Resuelve primero uno ms fcil: Cul es la suma de los nmeros capicas menores

que 100?

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1 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

Resolucin de problemas


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11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99 =

= 11(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 11 9 = 495

Hacemos lo mismo con los nmeros entre 6000 y 7000:

6 006 = 6 000 + 6

6116 = 6000 + 100 + 10 + 6

6226 = 6000 + 200 + 20 + 6

6336 = 6000 + 300 + 30 + 6

6446 = 6000 + 400 + 40 + 6

6556 = 6000 + 500 + 50 + 66666 = 6000 + 600 + 60 + 6

6776 = 6000 + 700 + 70 + 6

6886 = 6000 + 800 + 80 + 6

6996 = 6000 + 900 + 90 + 6

Sumando todo nos queda:

10 6000 + 100(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 10(1 + 2 + 3 + 4 + 5 +

+ 6 + 7 + 8 + 9) + 10 6 = 6 000 + (100 + 10) ( 9) + 10 6 == 10 6000 + 110 45 + 60 = 650104 MS CAPICAS

Todos los nmeros capicas entre 1000 y 2000 tienen un factor comn.Cul es?

Todos los nmeros capicas entre 1000 y 2000 son de la forma 1AA1, dondeA puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9.

1AA1 = 1 +A 10 +A 100 + 1 1 000 = 1 (1 + 1 000) + A(10 + 100) == 1 001 + 110 A

1001 = 91 11 mltiplo de 11110 = 10 11 mltiplo de 11

Luego cualquier nmero de la forma 1AA1 es mltiplo de 11; 11 es el factorcomn.

5 MUCHOS CEROS

En cuntos ceros termina el producto de los cien primeros nmeros naturales?

Si un nmero acaba en cero es mltiplo de 2 y de 5 una vez. Y si acaba en dos ce-ros? Y si acaba en tres ceros?

1 + 92

1 + 92

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Cuntas veces est el factor 5?

5, 10, 15, 20, 25, 30, Tantas como mltiplos de 5 (100 : 5 = 20) ms tantas como mltiplos de 25(aqu est el 5 dos veces como factor: hay 3).

Por tanto, hay 23 factores 5.

Y cuntas veces est el 2?

Evidentemente, ms que 23.

Por tanto, el factor 2 5 est 23 veces.

El producto de los 100 primeros nmeros naturales termina en 23 ceros.

6 QU ROLLO!

Si mido este rollo de cuerda de dos en dos metros me sobra uno. Si lo midode tres en tres me sobran dos, si lo mido de cuatro en cuatro me sobran tres,si lo hago de cinco en cinco me sobran cuatro, y si lo hago de seis en seis mesobran cinco. Sabiendo que tiene menos de 100 m, podras decirme su lon-gitud?

Transforma el enunciado del problema teniendo en cuenta que:

2

+ 1 = 2

1 3

+ 2 = 3

1 4

+ 3 = 4

1 5

+ 4 = 5

1 6

+ 5 = 6

1

Busco un nmero que sea 2

, 3

, 4

, 5

y 6

. El menor es 60 y el siguiente ya es ma-yor que 100.

Por tanto, la longitud del rollo es de 59 m (60

2 y, por tanto, 2

1, 3

1, etc.).

7 TIENE GEMELOS

Durante un largo viaje en tren, dos viajeros pasan el tiempo proponin-dose acertijos. Este es uno de ellos.

A: Tengo tres hijos. El producto desus edades es 36 y la suma de las

mismas coincide con el nmerodel asiento que usted ocupa.

B: (Tras cavilar un rato) Hay dos posibles soluciones, pero, dgame usted,los gemelos son los dos mayores?

A: No, son los dos pequeos.

B: Entonces ya s la solucin. (Y acert).

Explica cmo lo ha conseguido y el porqu de su pregunta.

Cules son los divisores de 36? Prueba con un mtodo para buscar los tros que

cumplen las condiciones del problema. Cunto suma cada tro?Dada la pregunta que hace el viajero, cul deba ser el nmero de su asiento?

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De los divisores de 36, tomamos solo los positivos:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Las nicas dos sumas que coinciden corresponden a las edades: 1, 6, 6 y 2, 2, 9.

Las edades son 2, 2, 9, ya que el individuo A asegura que los gemelos son losdos pequeos.

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8 HUELE A CHAMUSQUINA

Un panadero mete en el horno cincobandejas de bollera, unas con magdale-nas y otras con mantecados.

En las bandejas hay 36, 15, 20, 8 y 17piezas, respectivamente.

Por un descuido, se le quema una de las bandejas. Ahora tiene el doble demantecados que de magdalenas. Qu bandeja se le ha quemado? Cuntasmagdalenas y cuntos mantecados tiene ahora?

El nmero de mantecados y magdalenas que tiene ahora es mltiplo de 3.

Tena, entre mantecados y magdalenas,

36 + 15 + 20 + 8 + 17 = 96 = 3 25, mltipo de 3

Si despus de quemarse una bandeja le quedan x magdalenas y el doble, 2x,

de mantecados, tendr, en total, un nmero de piezas que ser mltiplo de 3(x+ 2x= 3x).

Por lo tanto, se le ha quemado una bandeja en la que hay un nmero de piezasque es mltiplo de 3, la de 36 o la de 15.

Si ha sido la de 15, le quedan 81 piezas, y deben ser 27 magdalenas y 54mantecados.

Con las bandejas que quedan no es posible conseguirlo.

Si ha sido la de 36, le quedan 60 piezas: 20 magdalenas (bandeja de 20) y 40mantecados (bandejas 15, 8 y 7).

Se le ha quemado la bandeja de 36 piezas, y tiene 20 magdalenas y 40 mante-cados.

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EDADES NMERO DE ASIENTO = SUMA DE LAS EDADES PRODUCTO

1, 6, 6 13 36

2, 2, 9 13 36

4, 1, 9 14 36

1, 3, 12 16 36


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9 RECTNGULO SIN DIMENSIONES

El rea del rectngulo R es 4 m2, la del rectngulo S es 13 m2y la del rec-tngulo T es 5 m2.

Cul es el rea del rectngulo ABCD?

Si llamas x e y a las dimensiones de R, culesson las dimensiones de S? Y las de T?

Planteamos igualdades con las reas conocidas:

x xy= 4

y x w= 5

z y z= 13

{ w z= U

Operando con estas igualdades podemos calcular el rea pedida:

Con y yz obtenemos: x z wy= 13 5

Pero: 4 U= 13 5 U= =

El rea total es: 4 + 5 + 13 + = = = 38,25 m2

Las dimensiones no se pueden saber con estos datos; en realidad hay infinitos casos.

Veamos algunos

153

4

88 + 65

4

65

4

654

13 54

x y= 4w z= U

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A B

D C

R S

T

A B

D C

R S

U

x z

T

y

w

1

1,25

4 13

2,25 17 = 38,25 m2

4 13

5 65/4

2

2 6,5

2,5

8,5 4,5 = 38,25 m2

4,25 9 = 38,25 m2

4 13

5 65/4

4 13

1 3,25

5 65/4

4

5


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OTRA FORMA DE RESOLVERLO

Puesto que los rectngulos R y S tienen elmismo ancho, sus largosestn en la misma rela-cin que sus reas. Lo mismo les pasa a R y T.

Por tanto, el rea del rectngulo completoABCD es:

(x+ x) (y+ y) = x y= xy= 4 = 38,25 m2

10 UN EXTRAO SEGMENTO

Calcula la longitud de la diagonal del rectngulo que va de la esquinaA a la B.

AB es la diagonal de un cuadrado de lado 5.

AB

= = = 5 7,07

11 LA REGIN DEL CRCULO

Deduce la frmula del rea de la figura sombreada:

rea del crculo de radio R R2

rea del crculo de radio r r2

rea del sector circular de radio R y amplitud A1 =

rea del sector circular de radio r y amplitud A2 =

rea de la figura sombreada A =A1 A2 = (R2 r2)360

r2 360

R2 360

25052 + 52

15316

15316

94

174

54

134

Pg. 6



A B

D C

R(4)

5

4

S(13)

U

x

T(5)

y

y

134 x

A

B 25

R

r


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12 LA ESTRELLA CIRCULAR

Halla el rea de la parte sombreada:

A1 = 52 =A2

A3 = 52 A1 A2 = 5

2 2 (52 ) =

= 25 = 25 ( 1)

rea zona sombreada = 4 A3 = 100( 1) 57,08

13 CUATRO IGUALES

Parte esta figura en cuatro piezas idnticas:

14 RECOMPONER

Con dos cortes rectos parte la figuraen tres piezas. Con ellas, construye uncuadrado.

2

2

252

52

4

52

4

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A1

l= 10 cm

A3

A2


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15 TENIS

Un profesor de tenis, en un entrenamiento, reparte tres pelotas a cada alumnoy le sobran 11 pelotas. Al da siguiente lleva 20 pelotas ms, con lo que cadauno recibe cinco y solo le sobra una. Cuntos son los alumnos?

Cuntas pelotas hay de diferencia, entre entregar tres o entregar cinco a cada

alumno?

Hayx alumnos.

3x+ 11 = 5x+ 1 20 2x= 30 x= 15

Hay 20 alumnos.

16 MS TENIS

Cuntos partidos hay que jugar para completar un campeonato de tenis, poreliminatorias, con 140 jugadores? Y con n jugadores?

Resuelve casos mucho ms sencillos: 4 jugadores, 8, 12, 16, Relaciona el nmero

de partidos con el nmero de jugadores.

Probando con distintos casos se ve que

N

DE PARTIDOS

=N

DE JUGADORES

1Por qu?

En cada partido pierde un jugador y es eliminado. Cada jugador pierde un par-tido, salvo el que queda campen.

17 ALGARABA

Seis robots dialogan en la sala de espera del psiquiatra. Estn aquejados de unextrao mal: solo dicen mentiras o solo dicen verdades. Todos se conocenperfectamente. Hablan los seis, por turno, y afirman:

xAqu solo hay uno sincero.

yAl menos hay uno sincero.

z Solo hay dos sinceros.

{Al menos dos son sinceros.

| Solo hay tres sinceros.

Al menos hay tres sinceros.

Podras decir cules son los sinceros y cules los mentirosos?

No puede haber un nico sincero porque estaran diciendo la verdad los nmeros

xy

y

.Puede haber dos nicos sinceros?

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Descartando casos, podemos asegurar que todos mienten. Vemoslo:

Llamamos V a decir la verdad y M a mentir.Si x es V, entonces y es V, entonces x es M, porque ya habra dos V.

Si es V, entonces y y{ son V, entonces z es M, porque ya habra tres V.

Si es V, entonces y, { y son V, entonces es M, porque ya habra cuatro V.

La primera conclusin que hacemos de todo esto es que x, z y son M.

Ahora cambiamos de proceder:

Supongamos que hay un solo V Es imposible, porque x sera V y no escierto.

Supongamos que hay dos V No puede ser, porque z sera V y no escierto.

Supongamos que hay tres V No puede ser, porque sera V y no escierto.

No puede haber ms de tres V, porque solo hay seis robots y sabemos que tresde ellos son M.

La nica conclusin que se saca de todo esto es que todos son M.

18 COLORES

El Sr. Pardo, el Sr. Verde y el Sr. Negro estaban almorzando juntos. Uno deellos llevaba una corbata parda, otro una corbata verde y otro una corbatanegra.

Se han dado cuentadijo el hombre de la corbata verde de que aunquenuestras corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno denosotros lleva una corbata que corresponda a su nombre?

Tiene razn!exclam el Sr. Pardo.

De qu color era la corbata de cada uno?

El Sr. Pardo puede llevar corbata negra o verde, pero quien habla primero la lle-va verde, luego el Sr. Pardo lleva corbata negra.

As, el Sr. Verde lleva corbata parda y el Sr. Negro lleva corbata verde.

19 EXPERIENCIA

Entre los 100 aspirantes a un determinado puesto de trabajo tcnico, se des-cubri que 10 nunca haban acudido a un curso de qumica o fsica. Tambinse supo que 75 de los 100 haban recibido al menos un curso de qumica. Porltimo, se tuvo noticia de que 83 de las personas que deseaban optar al em-pleo haban realizado al menos un curso de fsica.

Cuntos de los aspirantes haban efectuado algn curso tanto en qumicacomo en fsica?

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A algn curso haban acudido 100 10 = 90

Solo F 90 75 = 15

Solo Q 90 83 = 7

Asistieron tanto a Fsica como a Qumica:

90 (15 + 7) = 90 22 = 68

20 TRAMPOSO!

Informe de un empleado:

No de consumidores entrevistados: 100

No de personas que beben caf: 78

No de personas que beben t: 71

No de personas que beben t y caf: 48

Por qu despidieron al entrevistador?

78 48 = 30 beben solo caf

71 48 = 23 beben solo t

+ + = = 100

30 + 23 + 48 = 101

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21 CON CUATRO CUATROS

Con cuatro cuatros, consigue tantos resultados como puedas.

Por ejemplo: (44 4) : 4 = 10(Puedes obtener los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y algunos ms).

NDEENTREVISTADOS

CAF +T

SOLO

T

SOLO

CAF

71 beben t48 beben caf y t

78 beben caf48 beben caf y t

Al menos un curso de F 83

A algn curso 90

Al menos un curso de Q 75

A algn curso 90

Pg. 10



SoloF

SoloQ

F

fsicaQ qumica

100

FyQ

Ni F ni Q 10

No coinciden.El entrevistadordebi hacer mal lascuentas.


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Por ejemplo:

0 = 44 441 = 44 : 44

2 = (4 : 4) + (4 : 4)

3 = (4 + 4 + 4) : 4

4 = + + 4 4

5 = [(4 4 ) + 4 ] : 4

6 = (4 + 4) : 4 + 4

7 = (44 : 4) 4

8 = 4 4 + 4 + 4

9 = (4 : 4) + 4 + 4

22 HAY ALGUNA DIFERENCIA

Supongamos que tienes un nuevo empleo, y el jefe te ofrece elegir entre:

a) 4 000 por tu primer ao de trabajo, y un aumento de 800 por cadaao subsiguiente.

b) 2 000 por los primeros 6 meses y un aumento de 200 por cada seismeses subsiguientes.

Qu oferta aceptaras? Razona tu respuesta.

Hacemos una tabla con lo que ganara cada ao:

La oferta b) es la mejor, supera, cada ao, en 200 a la oferta a).

Si n es el nmero de aos:

OFERTAa) SUELDO = 4000 + 800(n 1)

OFERTAb) SUELDO = 2 2 000 + 200(4n 3)

23 PALILLOS

a) Suprime tres palillos del grfico de modoque solo queden tres cuadrados.

b) Se puede conseguir que queden tres cua-

drados suprimiendo solo dos palillos?

44

Pg. 11



PRIMER AO SEGUNDO A O TERCER A O

OFERTA a) 4 000 4800 5600

OFERTA b)2000 + 2200 = 2400 + 2600 = 2800 + 3000 =

= 4200 = 5000 = 5800


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a) b)

Dos cuadrados de lado 1 palillo yun cuadrado de lado 2 palillos.

24 MS PALILLOS

Mueve tres palillos y forma cuatro cuadrados iguales:

25 LOS BALONES

En la clase de educacin fsica hemos co-locado los 9 balones que tenamos en 4cajas, de forma que cada una contenaun nmero impar de balones y en ningu-na haba el mismo nmero de balones.

Cmo lo hemos hecho?

26 ES LO MISMO?

a) Cuntas monedas hemos de mover para consegir que queden las tres de10 cntimos a la izquierda y las tres de 1 a la derecha?

b) Cuntas copas hemos de mover para conseguir que queden tres con zumoa la izquierda y tres vacas a la derecha?

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a) Dos monedas. Se intercambian la moneda de 1 que ocupa el segundo lu-

gar con la moneda de 10 cntimos que ocupa el quinto lugar.b)Solo una. Se coge la copa que estn en el quinto lugar y se vierte el zumo en

la que ocupa el segundo lugar.

27 MENUDO TRAJN

Una moto gasta 5 lde gasolina en recorrer un tramo de carretera situado entredos puntos (observa el dibujo). En el depsito caben 10 ly puede llevar un bi-dn de 5 len el silln. Cmo haras para recorrer esta carretera con la moto?(En las gasolineras, G, puedes llenar el depsito y comprar bidones de 5 l).

Cuntos litros de gasolina necesitaras para llegar de una gasolinera a otradistante n tramos?

Para recorrer cuatro tramos, tendrs que ir previamente a dejar un bidn en algn

punto intermedio de la carretera.

Para resolver el problema para cinco tramos, te ayudara haberlo resuelto primero

para cuatro?

Supongamos tres tramos entre gasolineras:

Es claro que hace dos tramos con los 10 litros y llena el depsito con su bi-dn para hacer el ltimo tramo que le queda.

Supongamos cuatro tramos entre gasolineras:

Sale de G1 con 10 litros y el bidn llega a x, deja el bidn y vuelve a G1 acomprar otro y rellenar su depsito. Sale de nuevo de G1 y llega a x con 5 li-tros en el depsito y un bidn, llena el depsito con el bidn que haba deja-do y sale hacia G2. Solo le quedan tres tramos y puede hacerlo como vimosantes.

Resolvemos el problema considerando casos ms sencillos: entre gasolinera ygasolinera hay tres tramos, cuatro tramos, cinco tramos

x TRES TRAMOS

Es fcil ver que tres tramos se pueden recorrer con 15 litros, los diez del de-psito ms los cinco del bidn.

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x y

G1 G2

x y z

G1 G2


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y CUATRO TRAMOS

Si conseguimos estar en el punto A en las condicio-nes de x TRES TRAMOS, con el depsito lleno y unbidn, el problema est resuelto.

Observamos que para recorrer cuatro tramos son necesarios 30 litros, proble-ma que se reduce a partir de G1 con el depsito lleno ms cuatro bidones.

z CINCO TRAMOS

Si conseguimos tener en B cuatro bidones yel depsito lleno, el problema est resuelto.

Repitiendo el proceso para otros nmeros de tramos, obtendramos:

El nmero de tramos que hay que recorrer viene expresado por la siguiente

sucesin:3; 3 3 3 = 6; 3 6 3 = 15; 3 15 3 = 42

f(k+ 1) = 3f(k) 3, cuyo trmino general se puede expresar as:

an + 3 = , para n = 0, 1, 2,

Y el nmero de litros de gasolina necesarios puede expresarse por esta suce-sin:

bn + 3 = 5, para n = 0, 1, 2, 3n 1 + 3

2

3n 1 + 32

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G1

A

G2

G1B

G2

TRAMOS LITROS

RECORRIDOS GASTADOS

Salimos de G1 con el depsito lleno y un bidn.

Dejamos el bidn en A.1 5

Regresamos a G1 y rellenamos todo. 1 5

Vamos a A. Rellenamos el depsito con uno de

los dos bidones. 1 5

Estamos en las condiciones iniciales de x y ya

podemos llegar al final.3 15

6 30

NMERO DE TRAMOS ENTRE LAS GASOLINERAS: k 3 4 5 6

NMERO DE TRAMOS QUE TIENE QUE RECORRER: F(k) 3 6 15 42

NMERO DE LITROS GASTADOS 15 30 75 210

unidad 00 resolución de problemas

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