uned introduccion a la microeconomia ejercicios practicos preguntas y respuestas

7/21/2019 Uned Introduccion a La Microeconomia Ejercicios Practicos Preguntas y Respuestas

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CAPÍTULO 4.- LA DEMANDA

Ejercicio 4.1. Dada la siguiente función de demanda del bien X correspondiente a un

determinado consumidor: x z

Y

p p

. Determinar si el bien es ordinario o

Giffen; si es normal o inferior; y si el bien Z es complementario, sustitutivo o

independiente del bien X.

Podemos observar que la cantidad demandada x del bien X depende directamente del nivel

de renta del consumidor Y , e inversamente del precio p x del bien X y del precio p z del bien Z.

Por tanto, podemos concluir que:

a) Se trata de un bien ordinario o corriente. Porque un aumento/disminución de p x da

lugar a una reducción/aumento de la cantidad demandada. Por tanto, podemos

afirmar que la curva de demanda-precio del bien es decreciente.

b) Se trata de un bien normal . Porque un aumento/disminución del nivel de renta Y da

lugar a un aumento/disminución de la cantidad demandada. Por tanto, podemos

afirmar que la curva de demanda-renta del bien es creciente.

c) El bien Z es un bien complementario bruto, o simplemente complementario, del

bien X. Porque un aumento/disminución de p z provoca una disminución/aumento

de la cantidad demandada del bien X.

Ejercicio 4.2. Dada la siguiente función de demanda del bien X correspondiente a un

determinado consumidor:1

2 x

Y

p . Determinar si el bien es ordinario o Giffen;

si es normal o inferior; y si el bien Z es complementario, sustitutivo o

independiente del bien X.

Podemos observar que la cantidad demandada x del bien X depende directamente del nivel

de renta del consumidor Y e inversamente del precio p x del bien X. En cambio, no depende en

absoluto del precio del bien Z.

F. Ibáñez - M. Matilla - R. Osuna Ejercicios - Introducción a la Microeconomía 21/08/2013 1/155



CAPÍTULO 4 La demanda 2/9

Por tanto, podemos concluir que:

d) Se trata de un bien ordinario o corriente. Porque un aumento/disminución de p x da

lugar a una reducción/aumento de la cantidad demandada. Por tanto, podemos

afirmar que la curva de demanda-precio del bien es decreciente.

e) Se trata de un bien normal . Porque un aumento/disminución del nivel de renta Y da

lugar a un aumento/disminución de la cantidad demandada. Por tanto, podemos

afirmar que la curva de demanda-renta del bien es creciente.

f) El bien Z es un bien independiente bruto, o simplemente independiente, del bien

X. Porque una alteración de p z no afecta a la cantidad demandada del bien X.

Ejercicio 4.3. En el mercado de un producto hay sólo dos consumidores con sendas

curvas inversas de demanda:1

10 x y2

110

2 x . Obtener la curva inversa

de demanda del mercado.

Dado el enunciado, la primera tentación es sumar las curvas inversas de demanda de am-

bos consumidores para obtener la curva inversa de demanda del mercado que se nos pide:

1 2

1 310 10 20

2 2 x x X

1 2

x X

Pero este procedimiento es un grave error. Porque lo que hemos hecho es fijar una deter-

minada cantidad, por ejemplo 6 unidades, demandada por cada uno de los consumidores, y

hemos sumado los precios que están dispuestos a pagar cada uno de ellos, precios que son

diferentes: 4 para el primer consumidor y 7 para el segundo consumidor.

El resultado es que, de acuerdo con la función que hemos obtenido más arriba, cuando en

el mercado se demanda la cantidad de 6, ambos consumidores en conjunto están dispuestos a

pagar un precio de 4+7=11:

3(6) 20 6 11

2





Lo cual es absurdo, porque ambos consumidores pagan el mismo precio siempre, pero a

cada precio demandan normalmente una cantidad diferente, de acuerdo con sus respectivas

curvas de demanda individuales.

Por tanto, el procedimiento correcto a seguir para obtener la curva inversa de demanda del

mercado es obtener previamente la curva de demanda del mercado, como la suma horizontal

de las curvas de demanda individuales. Y luego invertir la función.

En consecuencia, las curvas de demanda individuales serán respectivamente:

1

10 p

2

20 2 p

Las cuales están definidas para el mismo intervalo de variación del precio del bien, que

hace que las cantidades demandadas por ambos consumidores sean no-negativas: 0 10 p .

Por tanto, la curva de demanda del mercado será la suma pura y simple de ambas funcio-

nes:

1 2 10 20 2 30 3 x x p p p

que también está definida dentro del mismo intervalo de variación del precio del bien.

Este procedimiento es correcto. Porque fijado un determinado precio, por ejemplo de 5, la

cantidad demandada por el primer consumidor es 5 y la demandada por el segundo consumi-

dor es 10. Por tanto, la cantidad total demandada en el mercado por ambos consumidores a

ese precio será: 5+10=15; como puede obtenerse directamente sustituyendo p=5 en la función

anterior.

Esto es, ambos consumidores pagan siempre el mismo precio, el que sea, pero demandan

cantidades en general diferentes. La suma de esas cantidades demandadas por cada consumi-

dor es la cantidad demandada en el mercado.

Ahora si invertimos esta última función (la curva de demanda del mercado), obtendremos

la curva inversa de demanda del mercado que se nos pide:





110

3 X

La cual está definida para el intervalo de variación del precio del bien 0 10 p , y, por

tanto, para el siguiente intervalo de variación de la cantidad demandada: 30 0 X . Porque

cuando p=0, entonces X =30, y cuando p=10, entonces X =0.

Ejercicio 4.4. En el mercado de un producto existen 40 consumidores con la

siguiente curva inversa de demanda cada uno de ellos:1

10 x . Y además

hay 60 consumidores con la siguiente curva inversa de demanda cada uno de

ellos: 220 x . Obtener la curva inversa de demanda del mercado.

Determinar la cantidad demandada en el mercado cuando el precio es 6, y

cuando el precio es 15. Determinar el precio vigente en el mercado cuando se

demanda una cantidad de 240, y una cantidad de 800 unidades del bien.

Para obtener la curva inversa de demanda del mercado debemos previamente obtener la

curva de demanda del mercado. Y para ello debemos sumar horizontalmente las curvas de

demanda individuales de cada uno de los consumidores, teniendo en cuenta el intervalo de

variación del precio para el cual están definidas cada una de ellas.

Por tanto, dado el enunciado, lo primero que tenemos que obtener son las curvas de de-

manda de cada grupo de consumidores.

Curva de demanda del primer grupo de consumidores

Curva de demanda de un consumidor del grupo:1 10 p , definida dentro del intervalo

0 10 p .

Curva de demanda de los 40 consumidores del grupo: 40 40 10 400 40 p p , de-

finida dentro del mismo intervalo de variación del precio del bien.

Curva de demanda del segundo grupo de consumidores

Curva de demanda de un consumidor del grupo: 2 20 p , definida dentro del intervalo

0 20 p .





Curva de demanda de los 60 consumidores del grupo: 60 60 20 1.200 60 p p ,

definida dentro del mismo intervalo de variación del precio del bien.

Veamos ahora la curva de demanda del mercado:

a) Cuando el precio de mercado se mueve dentro del siguiente intervalo: 0 10 p ,

ambos grupos de consumidores demandan una cantidad no-negativa del bien. Lue-

go la curva de demanda del mercado sería la suma de las curvas de demanda de

ambos grupos de consumidores:

40 60 400 40 1.200 60 1.600 100 X X p p p

b) Cuando el precio de mercado se mueve dentro del siguiente intervalo: 10 20 p ,

sólo el segundo grupo de consumidores demanda una cantidad no-negativa del

bien. Luego la curva de demanda del mercado sería la curva de demanda de este

grupo de consumidores:

60

1.200 60 X p

Nótese que ambos tramos de la curva de demanda del mercado coinciden para p=10, sien-

do la cantidad demandada en el mercado 600, según se obtiene de sustituir en ambas ecuacio-

nes. Y esa cantidad demandada en el mercado corresponde en su totalidad al segundo grupo

de consumidores, pues la cantidad demandada por el primer grupo de consumidores es cero a

ese precio.

Luego la curva inversa de demanda del mercado, que es lo que se nos pide, estará com-

puesta igualmente de dos tramos:

a) Cuando el precio de mercado se mueve dentro del intervalo: 0 10 p sería la

función inversa de la correspondiente curva de demanda del mercado:

16100

X





Que, por tanto, está definida dentro del siguiente intervalo de variación de la can-

tidad demandada: 1.600 600 X ; pues cuando p=0, entonces X =1.600, y cuan-

do p=10, entonces X =600.

b) Cuando el precio de mercado se mueve dentro del intervalo: 10 20 p , sería la

función inversa de la correspondiente curva de demanda del mercado:

2060

X

Que, por tanto, está definida dentro del siguiente intervalo de variación de la can-

tidad demandada: 600 0 X ; pues cuando p=10, entonces X =600, y cuando

p=20, entonces X =0.

Teniendo ahora muy en cuenta los intervalos de variación del precio y de la cantidad de-

mandada en el mercado para los cuales están definidas la correspondiente curva de demanda

del mercado y la curva inversa de demanda del mercado, podemos concluir que:

a)

Cuando el precio es 6 se demandará en el mercado una cantidad:

(6 1.600 100 6 1.000

b) Cuando el precio es 15 se demandará en el mercado una cantidad:

(15 1.200 60 15 300

c) Cuando la cantidad demandada en el mercado es 240, el precio vigente debe ser:

240(240) 20 16

60

d) Cuando la cantidad demandada en el mercado es 800, el precio vigente debe ser:

800(800) 16 8

100





Ejercicio 4.5. Supongamos que tenemos dos consumidores que tienen sendas

curvas de demanda definidas para intervalos diferentes de variación del precio

del bien, tales como: = − y = − . ¿Por qué la curva dedemanda del mercado no es la suma pura y simple de ambas curvas de

demanda individuales?

Si la curva de demanda del mercado fuera la suma pura y simple de ambas curvas de de-

manda individuales, tendríamos:

= + = 42 − 6

La cual estaría definida para el siguiente intervalo de variación del precio del bien:

0 ≤ ≤ 7

Dentro de este intervalo de variación del precio del bien, la cantidad demandada por am-

bos consumidores simultáneamente en el mercado resulta ser no-negativa.

Pero esta posible curva de demanda del mercado y el correspondiente intervalo de varia-

ción del precio del bien que hemos obtenido resultan inconsistentes. Pues el precio máximo

que está dispuesto a pagar el primer consumidor es 5, por lo que cuando el precio de mercado

es mayor que 5, por ejemplo 6, el primer consumidor demandaría una cantidad negativa según

su curva de demanda individual:

(6) = 10 − 2 × 6 = −2

lo cual es absurdo.

En cambio, el segundo consumidor sí demandaría una cantidad positiva a ese precio:

(6) = 32 − 4 × 6 = 8

pues el precio máximo que está dispuesto a pagar es 8 según su curva de demanda individual.

Luego la curva de demanda del mercado que hemos obtenido, al ser la suma de las curvas

de demanda individuales de ambos consumidores, nos indica la cantidad demandada simultá-

neamente por ambos para p=6, que será:





−2 + 8 = 6

Efectivamente, a partir de la curva de demanda del mercado obtenida resulta:

(6) = 42 − 6 × 6 = 6

Pero todo esto es un simple juego algebraico carente por completo de sentido económico,

pues el primer consumidor jamás demandará una cantidad negativa del bien. No tiene sentido

económico.

De ahí que la curva de demanda del mercado de más arriba:

= + = 42 − 6

sólo puede estar definida en términos económicos, no meramente matemáticos, para un inter-

valo de variación del precio del bien tal que:

0 ≤ ≤ 5

esto es, para precios no mayores que 5, que es cuando ambos consumidores demandan una

cantidad no-negativa del bien, y su suma es la cantidad demandada en el mercado.

Pero para precios superiores a 5 y no mayores que 8, entonces la curva de demanda del

mercado coincide con la curva de demanda individual del segundo consumidor, que es el que

demanda una cantidad no-negativa del bien. Pero como para p=5, el primer consumidor de-

manda cero unidades del bien, podemos definir la curva de demanda del mercado del siguien-

te modo:

= = 32 − 4 5 ≤ ≤ 8

Como puede apreciarse, la curva de demanda del mercado como la suma de las curvas de

demanda individuales sin más se equivoca no sólo en el cálculo real de la cantidad demanda-

da en el mercado en conjunto por ambos consumidores para algunos precios, sino incluso en

el intervalo de variación del precio del bien para el que existe una demanda de mercado no-

negativa: el precio de mercado puede llegar a 8 y no quedarse sólo en 7 según nuestro ejem-

plo.




CAPÍTULO 5. LA OFERTA

Ejercicio 5.1. Consideremos la siguiente curva lineal de oferta individual

correspondiente a la empresa 1:1

10 4 p ; y supongamos, además, que el

precio mínimo al que esta empresa ofrece una cantidad positiva es p 1=5.

Consideremos otra empresa (empresa 2) que tuviera la siguiente curva de

oferta:2

20 2 p ; y supongamos, además, que el precio mínimo al que esta

empresa ofrece una cantidad positiva es p 2=10. ¿Cuál sería la curva de oferta

del mercado en el supuesto en que sólo operaran ambas empresas como

oferentes?

La curva de oferta del mercado nos debe indicar la cantidad total ofrecida por todas las

empresas que operan en el mercado en función del precio del bien, dado que todas las empre-

sas cobran el mismo precio al vender el bien, pero en general ofrecerán cantidades diferentes

al mismo precio. Pues bien, la suma de las cantidades ofrecidas por todas las empresas para

cada precio del bien sería lo que se denomina la oferta del mercado, para distinguirla de la

oferta de una empresa individual; y la función que la representa, se denomina la curva de

oferta del mercado, para distinguirla de la curva de oferta individual de una determinada em-

presa.

Puesto que ambas empresas siempre ofrecen una cantidad no-negativa del bien para cual-

quier precio no-negativo, de acuerdo con sus correspondientes curvas de oferta, no hay nin-

gún problema en sumar ambas curvas de oferta individuales para obtener la curva de oferta

del mercado:

1 2 10 4 20 2 30 6 x x p p p

donde X es la cantidad ofrecida en el mercado por ambas empresas simultáneamente.

Pero hay que tener en cuenta que esta curva de oferta del mercado sólo es válida cuando

ambas empresas ofrecen una cantidad positiva, es decir, cuando el precio de mercado no es

inferior a 10 ( 10 ). Pues cuando es inferior a 10, la segunda empresa no ofrece nada, dado




CAPÍTULO 5 La oferta 2/3

que sólo lo hace la primera empresa. Y cuando el precio de mercado es inferior a 5, la canti-

dad ofrecida por ambas empresas es cero.

Por tanto, la curva de oferta del mercado correctamente obtenida tendría tres tramos:

a) 1 2

30 6 x x p para precios de mercado 10 , en que ambas empresas

ofrecen una cantidad positiva del bien.

b)

1 10 4 x p

para precios de mercado 5 10 p , en que sólo la primera em-

presa ofrecería una cantidad positiva del bien. La segunda empresa no ofrecería

nada: la curva de oferta del mercado coincidiría con la curva de oferta de la prime-

ra empresa.

c)

1 2 0 x x para precios de mercado inferiores a 5 ( p<5), en que ninguna de las

dos empresas ofrece nada.

Representación gráfica de esta curva de oferta del mercado aparece en la Figura 5.1.

Como puede observarse en la Figura 5.1, aparecen dos discontinuidades en la curva de

oferta del mercado. Una de ellas cuando el precio es igual a 10, que es cuando la segunda em-

presa se incorpora y empieza a ofrecer una cantidad positiva.

p p

x X

1 10 4 p

2 20 2 p

10 4 p

30 6 p

5

10

8

Figura 5.1. Curva de oferta del mercado

Curvas de oferta individuales Curva de oferta del mercado

50 9030




CAPÍTULO 5 La oferta 3/3

Pues para precios próximos a 10 pero inferiores, la cantidad ofrecida en el mercado se co-

rresponde con la cantidad ofrecida por la primera empresa, que tiende a ser 50. Y para el pre-

cio 10, la cantidad ofrecida en el mercado por ambas empresas es 90.

La segunda discontinuidad tiene lugar para p=5. Pues también puede observarse que para

precios inferiores a 5, la cantidad ofrecida en el mercado es cero por parte de ambas empresas.

Pero para el precio de 5 la cantidad ofrecida es 30 por parte de la primera empresa.

Por tanto, la conclusión que podemos obtener al comparar la Figura 5.1 de más arriba con

la Figura 5.4 del capítulo teórico, es que para que la curva de oferta del mercado sea continua

a partir de un determinado precio mínimo, todas las empresas deben coincidir en ese precio

mínimo para el cual ofrecen una cantidad positiva, por debajo del cual la cantidad ofrecida

por todas ellas es cero. Aunque a ese precio mínimo cada empresa pueda ofrecer una cantidad

diferente, es decir, aunque cada empresa tenga una curva de oferta diferente.




CAPÍTULO 6. EL EQUILIBRIO DEL MERCADO

Ejercicio 6.1. Muéstrese gráficamente que con el precio de equilibrio la cantidad

intercambiada en un mercado cualquiera es la máxima posible.

Con el precio de equilibrio pe, la cantidad intercambiada en el mercado (producida y ven-

dida por los oferentes y demandada efectivamente por los consumidores) es X e. Se dice canti-

dad intercambiada del bien porque este último pasa de estar en manos de los productores a

manos de los consumidores, que son los demandantes del bien.

Consideremos ahora un precio p M superior al precio de equilibrio del mercado. La canti-

dad ofrecida por los productores es X M , pero la cantidad demandada por los consumidores es

X m. Y ésta es precisamente la cantidad que se intercambiaría en el mercado entre productores

y consumidores. Pues el exceso de oferta existente, por una cuantía equivalente a ( X M - X m),

quedaría en manos de los productores como stocks invendidos, por lo que no se intercambia-

ría en el mercado al no ser demandada por los consumidores.

De la misma forma, si consideramos un precio pm inferior al precio de equilibrio del mer-

cado. La cantidad demandada por los consumidores es X M , pero la cantidad ofrecida por los

pe

pm

Curva de

oferta del

mercado

X X e X M X m

p M

p

Figura 6.1

Curva de

demanda delmercado




CAPÍTULO 6 El equilibrio del mercado 2/11

productores es X m. Y ésta es precisamente la cantidad que se intercambiaría en el mercado

entre productores y consumidores. Pues los productores no están dispuestos a satisfacer com-

pletamente la cantidad demandada por los consumidores, motivo por el cual existe un excesode demanda en el mercado por una cuantía equivalente a ( X M - X m).

Ejercicio 6.2. Consideremos un mercado estándar de un producto con las

siguientes curvas de oferta y demanda: S S c p , D D

a p ; donde c , k , a

y b son parámetros positivos. Compárese, desde un punto de vista formal, la

asignación de recursos resultante con la que tiene lugar cuando se establece

un impuesto indirecto de cuantía t .

En el epígrafe 6.2 del capítulo teórico ya obtuvimos algebraicamente el precio y la canti-

dad de equilibrio en ausencia de impuestos:

e

a c

b k

e

a c

b k

Ahora vamos a obtener formalmente la asignación de recursos resultante cuando las auto-

ridades establecen un impuesto indirecto de cuantía t .

Puesto que debe cumplirse que:

D S p t

es decir, el precio que pagan los consumidores es la suma del precio que perciben los produc-

tores por cada unidad que les venden más el impuesto indirecto que percibe el Estado (piénse-

se en el impuesto sobre carburantes).

Entonces tenemos las tres ecuaciones siguientes para determinar la asignación de recursos

resultante en esta nueva situación (precio y cantidad cambiada):

S S c kp

D Da bp

D S p t

Puesto que en el equilibrio debe cumplirse que:

S D t X X





Esto nos indica que la cantidad ofrecida y vendida por los productores debe ser igual a la

cantidad demandada por los consumidores en el equilibrio, como es obvio por otra parte. En

cambio, el precio que pagan los consumidores no coincide con el que perciben los producto-res, como consecuencia del impuesto, como vamos a ver a continuación.

Entonces, sustituyendo, tendremos a partir de las ecuaciones anteriores:

( )S S

c kp a b p t

Resultando finalmente que el precio que perciben los productores por cada unidad que

venden es:

S e

a c bt a c p

b k b k

Que, como puede apreciarse, es inferior al precio de equilibrio inicial, resultante de la

asignación de recursos en el mercado sin impuestos.

Lógicamente, el precio que deben pagar los consumidores por cada unidad del bien que

adquieren sería:

D S e

a c kt a c p t p

b k b k

Que, como puede apreciarse, es mayor que el precio de equilibrio inicial, resultante de la

asignación de recursos en el mercado sin impuestos.

Lógicamente, la diferencia entre el precio que pagan los consumidores y el que perciben

los productores se corresponde con la cuantía del impuesto t , como puede comprobarse fácil-

mente.

Por otra parte, la cantidad cambiada en el equilibrio del mercado con impuestos es menor

que la correspondiente al equilibrio inicial del mercado sin impuestos. Pues basta sustituir en

la ecuación de la curva de demanda del mercado o en la de oferta del mercado, indistintamen-

te, el correspondiente precio pagado por los consumidores o percibido por los productores,respectivamente, para llegar al siguiente resultado:





t e

a c kt a c bt ak bc bkt ak bca b c k X

b k b k b k b k

Ejercicio 6.3. Consideremos las hipotéticas curvas de oferta y demanda que

aparecen en las Figuras 6.2, 6.3 y 6.4. ¿Es estable o inestable el equilibrio del

mercado?

El equilibrio del mercado es inestable. Porque para un precio superior al de equilibrio, tal

como p M , existe exceso de demanda. Lo que empuja al precio de mercado a subir, alejándolo

del equilibrio, en lugar de hacerlo converger a él.

Y a un precio inferior al de equilibrio, tal como pm, existe exceso de oferta. Lo que empuja

al precio de mercado a bajar, alejándolo del equilibrio, en lugar de hacerlo converger a él.

Esto es obviamente un caso hipotético e irreal, porque en el corto plazo es imposible que

la curva de oferta del mercado sea decreciente. Pues, como veremos en el capítulo 15, la curva

de oferta a corto plazo de una empresa competitiva es su curva de costes marginales, que es

creciente. Y la curva de oferta del mercado es la suma horizontal de las curvas de costes mar-

ginales de las empresas que operan en él.

Figura 6.2

p

X

p M

pm

Curva deoferta del

mercado

Curva de

demandadel mercado

Exceso de

demanda

Exceso de

oferta





En la Figura 6.3 el equilibrio es estable. Pues para precios superiores al de equilibrio existe

exceso de oferta y para precios inferiores, exceso de demanda.

En la Figura 6.4, el equilibrio vuelve a ser inestable.

Figura 6.3

p

X

p M

pm

Curva de

oferta del

mercado

Curva de

demanda

del mercado

Exceso de

demanda

Exceso de

oferta

Figura 6.4

p

X

p M

pm

Curva de

oferta del

mercado

Curva de

demanda

del mercado

Exceso de

demanda

Exceso de

oferta





Como puede apreciarse, una curva de demanda creciente, algo inusual y poco frecuente,

puede dar origen a un equilibrio estable o inestable, dependiendo de la inclinación de esta

curva con respecto a la curva de oferta, que hemos pintado en ambos casos creciente.

Ejercicio 6.4. Supongamos una situación de equilibrio en un mercado estándar y un

desplazamiento posterior de la curva de demanda del mercado provocado por

un aumento de la demanda. A los productores: ¿Les conviene ofrecer la misma

cantidad intercambiada en el equilibrio inicial al nuevo precio de equilibrio, en

lugar de la cantidad intercambiada en el equilibrio final? ¿Les conviene ofrecer

la cantidad intercambiada en el equilibrio final al precio de equilibrio inicial, en

lugar de al nuevo precio de equilibrio?

Sabemos que los puntos situados sobre la curva de oferta del mercado son las combinacio-

nes precio-cantidad que maximizan el beneficio de los productores. Pasamos, por tanto, de

una asignación de recursos inicial ( p1, X 1) a otra final ( p2, X 2), debida a un aumento de la de-

manda (desplazamiento hacia la derecha de la curva de demanda del mercado por algún moti-

vo).

p1

Curva deoferta del

mercado

X X 1 X 2

p2

p

Figura 6.5

Curvas de

demanda del

mercado

Aumento de

la demanda





En consecuencia, a los productores les interesa ofrecer la cantidad X 1 del equilibrio inicial

al precio de equilibrio inicial p1 y, por tanto, les interesa ofrecer esa misma cantidad al precio

p2, que es más elevado (los beneficios serían mayores, o las pérdidas menores). Pero a este precio les interesa todavía más ofrecer la cantidad X 2 correspondiente al equilibrio final, y no

la cantidad X 1, pues con ello maximizarían su beneficio (los beneficios serían todavía mayo-

res). Esto es debido a que, como decimos, sólo las combinaciones precio-cantidad situadas

sobre la curva de oferta del mercado maximizan el beneficio de los productores.

Por otra parte, es evidente que a los productores no les interesa ofrecer la cantidad X 2 del

equilibrio final al precio p1 del equilibrio inicial, porque es más bajo que el precio p2 del equi-

librio final (los beneficios serían menores, o las pérdidas mayores), y, además, con este último

precio maximizarían su beneficio.

CONCLUSIÓN: Puesto que cualquier punto de equilibrio está situado lógicamente sobre

la curva de oferta del mercado, y esta curva de oferta es la suma horizontal de las curvas de

oferta de cada una de las empresas que operan en él. Todos los puntos de equilibrio del mer-

cado conllevan la maximización del beneficio por parte de todas las empresas que operan en

él . Por lo que es lógico que ninguna empresa esté interesada en otro tipo de combinaciones precio-cantidad, como son las combinaciones precio-cantidad propuestas en el enunciado del

problema, que no sean las coordenadas de algún punto situado sobre la curva de oferta del

mercado.





Ejercicio 6.5. Consideremos un mercado competitivo donde existen dos grupos de

empresas. Dentro del primer grupo, formado por 100 empresas, la curva de

oferta una cualquiera de ellas es: 1 10 p ; y el precio mínimo al que ofrecenuna cantidad positiva todas ellas es 10. El segundo grupo, formado por 200

empresas, tiene la siguiente curva de oferta una cualquiera de ellas:

2 20 2 p ; y el precio mínimo al que ofrecen todas ellas una cantidad positiva

es 20. Por otra parte, en el mercado existen dos grupos de consumidores. El

primero formado por 400 consumidores con la siguiente curva de demanda

cada uno de ellos:1

10 2 p . Y el segundo grupo formado por 800

consumidores con la siguiente curva de demanda cada uno de ellos: 1 20 p

. Determinar la asignación de recursos resultante: precio y cantidad

intercambiada en el equilibrio del mercado.

Lo que hay que hacer en primer lugar es obtener la curva de oferta y la curva de demanda

del mercado.

Curva de oferta del mercado

Curva de oferta del primer grupo de empresas

a) 100

0 0 10 p

b) 100 1100 100 10 1.000 100 x p p 10

Curva de oferta del segundo grupo de empresas

a) 200

0 0 20 p

b) 200 2200 200 20 2 4.000 400 x p p 20

Curva de oferta del mercado

a) 0 , 0 10 p . Ninguna empresa ofrece nada.

b)

100 1.000 100 X p , 10 20 p . Sólo ofrecen las empresas del primer gru-

po.





c) 100 200

1.000 100 4.000 400 5.000 500 X X p p p , 20 . Ofre-

cen las empresas de ambos grupos.

Curva de demanda del mercado

Curva de demanda del primer grupo de consumidores

a) 400 1400 400 10 2 4.000 800 x p p 0 5 p .

Curva de demanda del segundo grupo de consumidores

a) 800 2

800 800 20 16.000 800 x p p 0 20 p

Curva de demanda del mercado

a) 400 800 4.000 800 16.000 800 20.000 1.600 X X p p p , 0 5 p .

Demandan ambos grupos de consumidores.

b)

800 16.000 800 X p , 5 20 p . Sólo demanda el segundo grupo de consu-

midores.

Veamos ahora el equilibrio del mercado. Hay que seguir un procedimiento de prueba y

error. Para ello, tomamos sendos tramos de la curva de oferta y de demanda del mercado que

sean consistentes en cuanto al intervalo de variación del precio del bien, y vamos probando

hasta obtener el equilibrio del mercado, si es que resulta posible.

Por ejemplo, tomamos el siguiente tramo de la curva de oferta del mercado:

100 200 5.000 500 X X p 20

Y el siguiente tramo de la curva de demanda del mercado:

800 16.000 800 X p 5 20 p

El único precio de equilibrio compatible con ambos tramos de la curva de oferta y deman-da del mercado es 20. Pero a este precio, la cantidad demandada por los consumidores es cero,





en cambio la cantidad ofrecida por las empresas es positiva. Luego hay exceso de oferta, con

lo que el equilibrio del mercado, si tiene lugar, debe darse a un precio más bajo.

Pero si el precio del mercado es inferior a 20, entonces las 200 empresas del segundo gru-

po no ofrecerían ninguna cantidad, con lo que sería operativo el siguiente tramo de la curva de

oferta del mercado donde sólo ofrecen las 100 empresas del primer grupo:

100 1.000 100 X p 10 20 p

Veamos si entonces es posible el equilibrio del mercado para precios comprendidos entre

10 y 20, porque para precios inferiores a 10, ni siquiera las 100 empresas del primer grupoofrecerían nada. Es decir, la oferta del mercado sería cero, por lo que no sería posible el equi-

librio: habría exceso de demanda para precios de mercado inferiores a 10, porque la cantidad

demandada sería positiva a esos precios, y la cantidad ofrecida sería cero.

En consecuencia, el posible equilibrio del mercado para precios comprendidos entre 10 y

20 debe plantearse con los siguientes tramos de las curvas de oferta y demanda del mercado,

respectivamente:

100 1.000 100 X p 10 20 p

800 16.000 800 X p 5 20 p

En consecuencia, en el posible equilibrio tendrá que cumplirse que la cantidad ofrecida y

la demandada coinciden:

1.000 100 16.000 800e e e

p p

900 15.000e p pe = 16,67

Este precio de equilibrio es consistente con el tramo utilizado de la curva de oferta del

mercado, porque es inferior a 20 y no es inferior 10; y además, como tampoco es inferior a 5,

este precio de equilibrio es consistente también con el tramo utilizado de la curva de demanda

del mercado.





En consecuencia, en el equilibrio del mercado sólo ofrecen las 100 empresas del primer

grupo, y sólo demandan una cantidad positiva los 800 consumidores del segundo grupo. Y la

cantidad cambiada en el mercado en el equilibrio sería:

= 1.000 + 100 × 16,67 = 16.000 − 800 × 16,67 = 2.666,67




CAPÍTULO 7.- LA RECTA PRESUPUESTARIA

Ejercicio 7.1. Dados los precios de los bienes (4,2) y el nivel de renta del

consumidor: 40 unidades monetarias. Determinar si las siguientes cestas de

bienes pertenecen o no al conjunto presupuestario del consumidor: (2,5),

(5,10) y (8,5). Obtener la ecuación de la recta presupuestaria.

Para saber si una cesta de bienes pertenece o no al conjunto presupuestario, hay que calcu-

lar cuánto cuesta adquirirla a los precios vigentes de los bienes:

a)

Cesta (2,5), coste de adquisición: 2 4 5 2 18 unidades monetarias. Luego el

consumidor al adquirir esta cesta no gastaría toda su renta. En consecuencia, esta

cesta de bienes pertenece al interior del conjunto presupuestario del consumidor .

b) Cesta (5,10), coste de adquisición: 5 4 10 2 40 unidades monetarias. Luego

el consumidor al adquirir esta cesta gastaría toda su renta. En consecuencia, esta

cesta de bienes pertenece al conjunto presupuestario del consumidor y estaría si-

tuada sobre la recta presupuestaria, es decir, en la frontera del conjunto presupues-

tario.

c)

Cesta (8,5), coste de adquisición: 8 4 5 2 42 unidades monetarias. Luego el

consumidor no podría adquirir esta cesta de bienes con la renta de la que dispone,

que son 40 unidades monetarias. En consecuencia, esta cesta de bienes no pertene-

ce al conjunto presupuestario del consumidor.

La ecuación de la recta presupuestaria, dados los precios de los bienes (4,2) y el nivel de

renta del consumidor Y =40, sería obviamente:

4 2 40 x z 20 2 x




CAPÍTULO 7 La recta presupuestaria 2/7

Ejercicio 7.2. Un consumidor puede comprar, dados los precios de los bienes y el

nivel de renta del que disfruta, las siguientes cestas de bienes: (4,6) y (6,4)

gastando toda su renta. Obtener la ecuación de la recta presupuestaria.Determinar coste de oportunidad del consumidor de incrementar en una

unidad la cantidad consumida el primer bien. Determinar la renta real o

capacidad adquisitiva del consumidor en términos de cada uno de los bienes.

Sean x y z las cantidades consumidas de ambos bienes X y Z, respectivamente, p x y p z los

correspondientes precios, e Y el nivel de renta del consumidor.

La ecuación de la recta presupuestaria sería:

x z p zp Y

x

z z

pY x

p p

Por tanto, para determinar la ecuación de la recta presupuestaria, lo que debemos determi-

nar es la ordenada en el origen z

Y p , por una parte, y, por otra, la pendiente de la misma en

valor absoluto x z

p , es decir, el precio relativo de ambos bienes.

Si el consumidor gasta toda su renta cuando adquiere cada una de las cestas de bienes a las

que hace referencia el enunciado, entonces debe cumplirse necesariamente:

4 6 x z p p Y 6 4 x z p p Y

Dividiendo ambas ecuaciones miembro a miembro por p z , resultará:

4 6 x

z z

p Y p p

6 4 x

z z

p Y p p

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x z

p e z

Y p . Resolviéndo-

lo obtendremos:

1 x z

p 10 z

Y p

Por tanto, la ecuación de la recta presupuestaria sería:

10 x





La pendiente de la recta presupuestaria sería:

1

x

z

pdz

dx p

y nos indica el coste de oportunidad del consumidor de adquirir en el mercado una unidad

adicional del bien X (dx=1), pues tiene que renunciar a consumir una unidad del bien Z, dado

que dz =-1.

Por otra parte, la capacidad adquisitiva o renta real del consumidor en términos del bien Z

serían 10 unidades de esta mercancía, que son las que puede adquirir el consumidor como

máximo gastando toda su renta, cuando no consume nada del bien X ( x=0):

10máx z

Y p

Como es lógico, la capacidad adquisitiva o renta real del consumidor en términos del bien

X serían también 10 unidades de esta mercancía, que son las que puede adquirir el consumi-

dor como máximo gastando toda su renta, pues eso requiere que no consuma nada del bien Z.

Con lo que si en la ecuación de la recta presupuestaria hacemos z =0, resultará:

10máx x

Y p

Naturalmente, nosotros también podíamos haber obtenido la ecuación de la recta presu-

puestaria sabiendo que se trata de una línea recta que pasa por dos puntos: (4,6) y (6,4), pues

el consumidor gasta toda su renta en adquirir por separado ambas cestas de bienes. Con lo que

lógicamente ambas cestas de bienes estarán situadas sobre la recta presupuestaria.

Recordando del bachillerato la expresión formal de una recta que pasa por los puntos ( x1,

z 1) y ( x2, z 2):

2 1 1

2 1 1

z z z z

x x x x

Sustituyendo tendremos:





4 6 4

6 4 6

z

x

Donde operando resulta lo mismo que antes:

10 x

Ejercicio 7.3. Dado el precio relativo de ambos bienes p x /p z =3, un consumidor puede

comprar la siguiente cesta: (4,6), gastando toda su renta. Obtener la ecuación

de la recta presupuestaria.

La ecuación genérica de la recta presupuestaria sería:

x

z z

pY x

p p

Conocemos la pendiente en valor absoluto de la recta presupuestaria x z

p , por lo que lo

único que nos queda es determinar la ordenada en el origen z Y p .

Si el consumidor al gastar toda su renta es capaz de adquirir la cesta de bienes (4,6), es que

la recta presupuestaria pasa por este punto. Con lo que deberá satisfacerse:

6 3 4

z

Y

p 18

z Y p

Por tanto, la ecuación de la recta presupuestaria sería:

18 3 x

Naturalmente, nosotros también podíamos haber obtenido la ecuación de la recta presu-

puestaria sabiendo que se trata de una línea recta decreciente que pasa por el punto: (4,6) y

tiene una pendiente igual a -3.

Recordando del bachillerato la expresión de una recta que pasa por el punto ( x1, z 1) y tiene

una pendiente :

1 1( ) z x x





Sustituyendo tendremos:

6 3 4 x

18 3 x

Ejercicio 7.4. Dados los precios de los bienes y la renta del consumidor, la cantidad

máxima que éste puede adquirir del bien X son 15 unidades, y la cantidad

máxima que puede adquirir del bien Z son 60 unidades. Hallar la ecuación de la

recta presupuestaria.

Lógicamente partimos de lo siguiente:

15máx xY p

60máx z Y p

Nosotros podemos obtener el precio relativo de ambos bienes del siguiente modo:

604

15

x z

z x

p Y p

p Y p

Como la ecuación genérica de la recta presupuestaria es:

x

z z

pY x

p p

Sustituyendo resultará:

60 4 x

Ejercicio 7.5. Un consumidor puede comprar la siguiente cesta de bienes: (20,10),gastando toda su renta; y la cantidad máxima que puede adquirir del bien X es

40 unidades. Obtener la ecuación de la recta presupuestaria.

Lógicamente, se cumple que:

40máx x

Y p

Partiendo de la ecuación de la recta presupuestaria:

x z p zp Y





Dividiendo por p x miembro a miembro resultará:

z

x x

p Y

z p p

Puesto que la cesta (20,10) es asequible para el consumidor gastando toda su renta, estará

situada sobre la recta presupuestaria, por lo que deberá cumplirse:

20 10 40 z

x

p

p

2 z

x

p

p

Por tanto, sustituyendo en la anterior ecuación de la recta presupuestaria resultará:

2 40 z

20 0, 5 x

Ejercicio 7.6. Dada la siguiente ecuación de la recta presupuestaria: 2 8 x z . Si los

precios de ambos bienes se reducen a la mitad y el nivel de renta del

consumidor no se altera, obtener la nueva ecuación de la recta presupuestaria.

La ecuación de la recta presupuestaria puede rescribirse del siguiente modo:

8 2 x

Como la expresión genérica de la recta presupuestaria es:

x

z z

pY x

p p

Si el precio de ambos bienes se reduce a la mitad, el precio relativo 2 x z

p no se alte-

ra, y, por tanto, tampoco lo hace la pendiente de la recta presupuestaria. Pero sí se altera la

ordenada en el origen 8 z Y p , que se duplicaría y pasaría a ser 16.

Luego hay un desplazamiento paralelo de la recta presupuestaria alejándose del origen de

coordenadas, adoptando ahora la siguiente expresión formal:

16 2 x





Se deja al lector que obtenga la expresión de la nueva recta presupuestaria cuando el pre-

cio de ambos bienes se duplica y la renta del consumidor no varía. Resultará:

4 2 x

Es decir, tendrá lugar un desplazamiento paralelo de la recta presupuestaria acercándose al

origen de coordenadas, puesto que disminuye la ordenada en el origen (pasa a ser 4), pero la

pendiente no se altera.




CAPÍTULO 9.- ESTÁTICA COMPARATIVA DE LA

DEMANDA

Ejercicio 9.1. Cuando los precios de los bienes son (4,2), el consumidor, gastando

toda su renta, elige la cesta (6,5). Y cuando los precios de los bienes son (2,4),

el consumidor elige la cesta (5,6) gastando toda su renta. Comprobar si se

cumple o no el axioma débil de la preferencia revelada.

Cuando el consumidor adquiere la cesta de bienes (6,5) a los precios (4,2) está gastando la

siguiente cantidad de dinero: (6, 5) (4, 2) 6 4 5 2 34 euros, que es la renta de la que

dispone.

Veamos cuánto cuesta la otra cesta de bienes (5,6) a los mismos precios (4,2):

(5, 6) (4, 2) 5 4 6 2 32 euros

Luego el consumidor en la situación inicial, cuando elige la cesta de bienes (6,5) está reve-

lando directamente que prefiere esta cesta a la cesta (5,6), porque esta última cesta de bienes

forma parte del conjunto presupuestario inicial del consumidor, es decir, puede adquirirla da-

do que su renta es 34 euros y esta última cesta de bienes cuesta 32 euros.

Veamos ahora qué sucede cuando en la segunda situación el consumidor elige la cesta

(5,6), gastando toda su renta, cuando los precios de los bienes son (2,4). Su nivel de renta se-

ría ahora:

(5, 6) (2, 4) 5 2 6 4 34 euros

Se trata de una mera coincidencia, porque el nivel de renta del consumidor en la segunda

situación podía haber sido distinto.

Veamos cuánto cuesta la primera cesta de bienes (6,5) a los nuevos precios (2,4):

(6, 5) (2, 4) 6 2 5 4 32 euros




CAPÍTULO 9 Estática comparativa de la demanda 2/8

Luego el consumidor en la nueva situación, cuando elige la cesta de bienes (5,6) está reve-

lando directamente que prefiere esta cesta a la primera cesta (6,5), porque esta última cesta

de bienes forma parte del conjunto presupuestario final del consumidor, es decir, puede adqui-rirla dado que su renta es 34 euros y esta última cesta de bienes cuesta 32 euros con los nue-

vos precios de los bienes.

En consecuencia, este consumidor tiene un comportamiento que no es coherente: incurre

en contradicción al revelar directamente en un primer momento que prefiere la primera cesta a

la segunda, y después al revelar directamente lo contrario. Luego viola el axioma débil de la

preferencia revelada.

Ejercicio 9.2. Cuando los precios de los bienes son (4,2), el consumidor, gastando

toda su renta, elige la cesta (6,5). Y cuando los precios de los bienes son (2,4),

el consumidor elige la cesta (6,6) gastando toda su renta. Comprobar si se

cumple o no el axioma débil de la preferencia revelada.

Cuando el consumidor adquiere la cesta de bienes (6,5) a los precios (4,2) está gastando la

siguiente cantidad de dinero: (6, 5) (4, 2) 6 4 5 2 34 euros, que es la renta de la que

dispone.

Veamos cuánto cuesta la otra cesta de bienes (6,6) a los mismos precios (4,2):

(6, 6) (4, 2) 6 4 6 2 36 euros

Luego el consumidor en la situación inicial, cuando elige la cesta de bienes (6,5) no puede

revelar directamente que prefiere esta cesta a la cesta (6,6), porque esta última cesta de bie-

nes no forma parte del conjunto presupuestario inicial del consumidor, dado que este último

no puede adquirirla pues su renta es 34 euros y esta última cesta de bienes cuesta 36 euros.

Veamos ahora qué sucede cuando en la segunda situación el consumidor elige la cesta

(6,6), gastando toda su renta, cuando los precios de los bienes son (2,4). Su nivel de renta se-

ría ahora:

(6, 6) (2, 4) 6 2 6 4 36 euros

Veamos cuánto cuesta la primera cesta de bienes (6,5) a los nuevos precios (2,4):





(6, 5) (2, 4) 6 2 5 4 32 euros

Luego el consumidor en la nueva situación, cuando elige la cesta de bienes (6,6), está re-

velando directamente que prefiere esta cesta a la primera cesta (6,5), porque esta última cesta

de bienes forma parte del conjunto presupuestario final del consumidor, es decir, puede adqui-

rirla dado que su renta es 36 euros y esta última cesta de bienes cuesta 32 euros con los nue-

vos precios de los bienes.

En consecuencia, este consumidor tiene un comportamiento que es coherente: no incurre

en contradicción al revelar simplemente de forma directa en la situación final que prefiere la

segunda cesta a la primera, dado que en la situación inicial no reveló directamente que prefe-ría la primera cesta de bienes, que eligió, a la segunda. Luego no viola el axioma débil de la

preferencia revelada.

Ejercicio 9.3. Cuando los precios de los bienes son (5,1) el consumidor, gastando

toda su renta, elige la cesta (5,10). ¿Por qué no puede revelar directamente que

prefiere esta cesta a la cesta (7,4)? ¿Por qué tampoco puede revelar que

prefiere la cesta (7,4) a la cesta (5,1)? Compárese esta situación con aquella

otra en que los precios de los bienes fueran (3,1).

Efectivamente, la primera cesta de bienes (5,10) cuesta a los precios (5,1):

(5,10) (5,1) 5 5 10 1 35 euros

Y éste es precisamente el nivel de renta del que disfruta el consumidor, pues gasta toda

ella en adquirir esta cesta de bienes.

En cambio, la segunda cesta de bienes (7,4) cuesta a los precios (5,1):

(7, 4) (5,1) 7 5 4 1 39 euros

Luego si el consumidor elige la primera cesta (5,10) gastando toda su renta, no puede re-

velar directamente que prefiere esta cesta a la cesta de bienes (7,4), porque esta última no

forma parte del conjunto presupuestario del consumidor, es decir, se trata de una cesta de bie-

nes que no es asequible o alcanzable para este último, dados los precios vigentes de los bienes

y el nivel de renta del que dispone.





El consumidor en esta situación no puede revelar ninguna preferencia ni de la primera ces-

ta sobre la segunda, ni de la segunda cesta sobre la primera, a pesar de ser la segunda cesta de

bienes más cara.

Porque el hecho de que una cesta de bienes sea más cara que la elegida cuando el consu-

midor gasta toda su renta, es compatible con el hecho de que puede existir un conjunto de

precios para el cual ambas cestas de bienes cuesten lo mismo, y el consumidor, según sus pre-

ferencias, podría elegir una cesta u otra gastando toda su renta. Por lo que nosotros en la si-

tuación inicial en que la segunda cesta es más cara que la primera, la elegida por el consumi-

dor gastando toda la renta, no podemos prejuzgar las preferencias del consumidor en ningún

sentido.

Comprobemos, pues, que a los precios (3,1) ambas cestas de bienes cuestan lo mismo:

a) (5,10) (3,1) 5 3 10 1 25 euros

b) (7, 4) (3,1) 7 3 4 1 25 euros

Luego puede suceder que los precios vigentes sean (3,1) y la renta del consumidor sean 25

euros. Esto es posible. Y en estas circunstancias el consumidor podría elegir cualquiera de las

dos cestas de bienes que estamos considerando, gastando toda su renta, dependiendo de sus

preferencias particulares.

En esta nueva situación, al elegir una cesta u otra, sí estaría revelando sus preferencias,

porque ambas cestas de bienes sí pertenecerían al nuevo conjunto presupuestario del consu-

midor. Pero en la situación inicial, cuando los precios de los bienes son (5,1), nosotros no

podemos determinar cuáles son sus preferencias: porque al elegir la primera cesta, la segundaes más cara, es decir, no forma parte del conjunto presupuestario del consumidor, y por ello

este último no puede revelar ninguna preferencia de una cesta sobre otra en ningún sentido.





Ejercicio 9.4. Un consumidor, gastando toda su renta, demanda la cesta de bienes

(3,4) siendo los precios de los bienes (2,1), expresados en euros por unidad,

por ejemplo. Si el precio del segundo bien se incrementa en dos euros porunidad, permaneciendo constante el precio del primer bien. Calcular la

variación compensada de la renta.

La variación compensada de la renta es la variación del nivel de renta del consumidor que

debe tener lugar cuando se altera el precio de los bienes y deseamos que este último mantenga

su capacidad adquisitiva. Es decir, que el consumidor ante los nuevos precios de los bienes

pueda seguir comprando exactamente la misma cesta inicial gastando toda su renta.

Veamos cuál es la renta inicial del consumidor que le permite comprar la cesta de bienes

(3,4) cuando los precios son (2,1):

(3, 4) (2,1) 3 2 4 1 10 euros

Si el precio del segundo bien se incrementa en dos euros por unidad, los nuevos precios de

los bienes serán (2,3). Por tanto, si queremos que el consumidor pueda adquirir la misma cesta

de bienes, gastando toda su renta, a los nuevos precios, deberá disponer del siguiente nivel derenta:

(3, 4) (2, 3) 3 2 4 3 18 euros

Por tanto, el nivel de renta del consumidor deberá incrementarse en 8 unidades monetarias

para mantener su capacidad adquisitiva o renta real en términos de la cesta de bienes que es-

tamos considerando. Y este incremento de 8 euros en el nivel de renta del consumidor sería

por definición la variación compensada de la renta.

Nosotros también podíamos haber llegado al mismo resultado de otro modo, simplemente

multiplicando la cantidad demandada del bien (4 unidades) cuyo precio ha variado, por la

variación del precio del bien (2 euros por unidad), de esta forma también obtendríamos la

variación compensada de la renta que se nos pide: un incremento de 8 euros.





Ejercicio 9.5. Consideremos la siguiente función general de demanda del bien

X:1

2 x

Y

p . El consumidor dispone de una renta inicial de Y =40 euros, y el

precio del bien X es de 5 euros por unidad. Si el precio de este bien se

incrementa en dos euros por unidad, obtener la variación de la cantidad

demandada del bien X debida al efecto-total, y las variaciones

correspondientes de la cantidad demandada del bien debidas al efecto-

sustitución y al efecto-renta.

La cantidad inicialmente demandada del bien X sería:

1 404

2 5 I

La cantidad finalmente demandada por el consumidor con el mismo nivel de renta, cuando

el precio del bien X son 7 euros, sería:

1 402,86

2 7 F

Por tanto, la variación de la cantidad demandada del bien X debida al efecto-total sería:

2, 86 4 1,14 F I

x x x

Es decir, tendría lugar una disminución en 1,14 unidades la cantidad demandada del bien

X, como consecuencia de haberse incrementado en 2 euros por unidad el precio de este bien.

Calculemos ahora la variación de la cantidad demandada del bien X debida al efecto-

sustitución. En primer lugar debemos calcular la variación compensada de la renta, que será

igual, como bien sabemos, a la cantidad inicialmente demandada del bien (4 unidades) multi-

plicada por la variación del precio del bien (2 euros por unidad).

Luego la variación compensada de la renta deben ser 8 euros, con lo que el consumidor

deberá disfrutar de un nivel de renta de 48 euros para que pueda seguir comprando, si lo

desea, la misma cantidad del bien X (4 unidades) cuando el precio de este último es de 7 eu-

ros por unidad.





Pero dadas las preferencias de este consumidor materializadas en la función de demanda

del bien que estamos manejando, aquél decide demandar cuando su nivel de renta son 48 eu-

ros y el precio del bien es de 7 euros por unidad la siguiente cantidad del bien X:

1 483,43

2 7C

Ésta sería la cantidad demandada del bien con el nuevo precio del mismo cuando compen-

samos al consumidor con un incremento de su nivel de renta (la variación compensada de la

renta) con objeto de que pueda seguir adquiriendo si lo desea la misma cantidad del bien en

cuestión. Por tanto, la diferencia entre 3,43 y 4 (la cantidad inicialmente demandada por elconsumidor), debe ser la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-

sustitución:

( ) 3, 43 4 0,57 ES C I

x x x

Como puede verse, el efecto-sustitución es negativo, porque un aumento del precio del

bien da lugar a una reducción de la cantidad demandada debida a ese efecto.

En consecuencia, la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta

debe ser:

ES ER x x x 1,14 0, 57 0, 57

ER ES x x x

Como puede verse, el efecto-renta es negativo, porque un aumento del precio del bien da

lugar a una reducción de la cantidad demandada debida a ese efecto, lo cual es lógico porque

se trata de un bien normal, tal como puede comprobarse al observar la función de demanda

del bien.

OBSERVACIÓN: Los cálculos de la variación de la cantidad demandada debida al efec-

to-sustitución y la correspondiente al efecto-renta están justificados porque estamos conside-

rando una variación finita del precio del bien, no una variación infinitesimal.

La expresión general de la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-

renta, que obtuvimos en el capítulo teórico:





1 x ER

dxdx x dp

dY

sólo es aplicable cuando la variación del precio del bien es infinitesimal , no finita como en

nuestro ejemplo.

Si aplicáramos esta fórmula resultaría con los datos de nuestro ejemplo:

1 1

4 2 0,802 2 5

I x ER x

dx x dp p

que sería la variación de la cantidad demandada del bien debida al efecto-renta.

Por lo que la variación de la cantidad demandada debida al efecto-sustitución no sería

igual a -0,57, tal como nosotros hemos obtenido antes, sino:

ES ER x x x 1,14 0,80 0, 34

ES ER x x x

Estos cálculos no son correctos, porque al emplear la derivada dx/dY en la expresión ante-

rior, esto nos obliga a considerar sólo variaciones infinitesimales del precio del bien, por lo

que tal expresión no es aplicable cuando tiene lugar una variación finita del precio del bien

como en el ejemplo que hemos manejado.




CAPÍTULO 11.- ELASTICIDADES Y VARIACIÓN DEL

INGRESO

Ejercicio 11.1. Si la curva de demanda es k , donde k es una constante positiva,

determinar el valor de la elasticidad-precio en cualquiera de sus puntos.

La representación gráfica de esta curva de demanda sería una línea recta horizontal de or-

denada en el origen k , donde representamos el precio del bien. Por tanto, la elasticidad en va-

lor absoluto sería igual a infinito, como ya sabemos.

Vamos a demostrarlo formalmente:

dx x

dp p

La cantidad demandada puede variar de cualquier modo:0dx x

, pero la variación rela-

tiva del precio del bien siempre es cero: 0 0dp p k . Por tanto, .

También podíamos haber empleado la siguiente argumentación, para llegar al mismo re-

sultado:

x p

dp x

Como la representación gráfica de la curva de demanda es una línea recta horizontal, re-

presentando el precio en el eje de ordenadas, tendremos que la pendiente sería:

0dp dx

Que nosotros también podríamos haber obtenido simplemente derivando con respecto de x

la expresión funcional de la curva de demanda k .

Por tanto, dx dp , si consideramos que se trata de una línea recta decreciente.




CAPÍTULO 11 Elasticidades y variación del ingreso 2/22

En consecuencia, cualesquiera que fueren los valores de p y x, la elasticidad de esta curva

de demanda será: en todos sus puntos. Se dice, pues, que esta curva de demanda es

perfectamente elástica.

Ejercicio 11.2. Si la curva de demanda es , donde k es una constante positiva,

determinar el valor de la elasticidad-precio en cualquiera de sus puntos.

La representación gráfica de esta curva de demanda sería una línea recta vertical con abs-

cisa en el origen k , donde representamos la cantidad demandada del bien. Por tanto, la elasti-

cidad en valor absoluto sería igual a cero, como ya sabemos.

Vamos a demostrarlo formalmente:

dx x

dp p

El precio del bien puede variar de cualquier modo: 0dp p y esto no afecta a la cantidad

demandada, puesto que la variación relativa del cantidad demandada del bien siempre es cero:

0 0dx x k . Por tanto, 0 .

También podíamos haber empleado la siguiente argumentación, para llegar al mismo re-

sultado:

dx p

dp x

Como la representación gráfica de la curva de demanda es una línea recta vertical, repre-sentando la cantidad demandada en el eje de abscisas, tendremos que la pendiente, conside-

rando que se trata de una línea recta decreciente, sería:

dp dx

Por tanto, 0dx dp . Que nosotros también podríamos haber obtenido simplemente deri-

vando respecto de p la expresión funcional de la curva de demanda k .





De ahí que cualesquiera que fueren los valores de p y x, la elasticidad de esta curva de de-

manda será igual a cero en todos sus puntos. Se trata, pues, de una curva de demanda comple-

tamente inelástica o rígida.

Ejercicio 11.3. Si la curva de demanda es10(5

5

p

p

, definida para 0 5 p .

Obtener el valor de la elasticidad-precio para p =3. Obtener el precio que hace

que la elasticidad en valor absoluto sea infinito. Obtener el precio que hace

que la elasticidad sea cero.

Partamos de la fórmula de la elasticidad-precio:

dx p

dp x

Lo primero que hay que obtener es la pendiente de la curva de demanda:

2 2

10(5 ) 10(5 ) 100

(5 ) (5 )

dx p p

dp p p

Y, a continuación, sustituir en la expresión de la elasticidad:

2 2

100 10

10(5 )(5 ) 25

5

p p

p p p

p

De esta forma obtenemos la elasticidad en función del precio del bien.

Lógicamente, cuando p=3, resulta que la elasticidad en valor absoluto es igual a 1,875.

La elasticidad es igual a infinito, cuando se anula el denominador: 225 0 p . De donde

resulta que p=5. Lo que conlleva que la cantidad demandada debe ser forzosamente igual a

cero, algo que es evidente a partir de la propia definición de la elasticidad para que esta última

sea igual a infinito en valor absoluto.

Obviamente, la elasticidad es cero cuando p=0, también según la propia definición de laelasticidad, y, por tanto, x=10.





Ejercicio 11.4. Si la curva inversa de demanda es 4010

x , definida para

0 400 x . Obtener el valor de la elasticidad-precio para x =100. Obtener el

precio y la cantidad que hacen que elasticidad en valor absoluto sea igual a 4.

Nosotros podemos obtener la curva de demanda: 400 10 p , y proceder como en el

ejercicio anterior, resultando la elasticidad como función del precio del bien. Y a partir de ahí

calcular lo que se nos pide.

O, también, podemos trabajar directamente con la curva inversa de demanda y obtener la

elasticidad en función de la cantidad demandada del bien.

Obtengamos, pues, dx dp . Para ello, debemos obtener primero, partiendo de la curva in-

versa de demanda:

1

10

dp

dx

Por lo que tendremos:10

dx

dp

.

Sustituyendo ahora en la expresión de la elasticidad, resultará:

404001010

x

dx p x

dp x x x

Ya tenemos la elasticidad-precio en función de la cantidad demandada del bien.

Por tanto, si x=100, entonces la elasticidad en valor absoluto es 3.

Si la elasticidad en valor absoluto es 4. Entonces debe cumplirse que:

4004

x

x

De donde resulta x=80, y, de ahí, sustituyendo en la función inversa de demanda, p=32.





Ejercicio 11.5. Demostrar que la elasticidad de la curva de demanda lineal de la

Figura 11.1 es igual a la unidad en el punto A, donde es tangente a la otra

curva de demanda: una hipérbola equilátera cuya expresión funcional es p k

, siendo k una constante. Y que tal elasticidad-precio es mayor que uno en el

punto B, y menor que uno en el punto C.

Puede comprobarse que la elasticidad-precio, tomada en valor absoluto, de la hipérbola

equilátera es igual a la unidad en todos sus puntos. En particular en el punto A.

Como la curva de demanda lineal es tangente a la hipérbola en ese punto, ambas tienen la

misma pendiente; y como las coordenadas del punto A son las mismas, la elasticidad-precio

de la curva de demanda lineal en ese punto es igual a la unidad en valor absoluto:

1 A

A

A A

pdx

dp x

Ahora, si nos movemos a lo largo de la curva de demanda lineal hacia el punto B, como la

pendiente no se altera, la elasticidad-precio será mayor que uno, pues varían las coordenadas

aumentando el precio y disminuyendo la cantidad demandada.

A

x xA

pA

Hipérbola equilátera p

B

C

Figura 11.1





En cambio, si nos movemos a lo largo de la curva de demanda lineal hacia el punto C, la

elasticidad-precio será menor que uno, pues las coordenadas se alteran disminuyendo el pre-

cio y aumentando la cantidad demandada.

Ejercicio 11.6. Obtener la elasticidad-precio de la siguiente curva de oferta: kp ,

donde k y β son parámetros positivos.

La elasticidad-precio de una curva de oferta de la forma ( )S p es por definición:

S p p

dp x

Por tanto, tendremos:

1S pk p

dp

1 pk p

kp

Lógicamente, si la curva de oferta es lineal y parte del origen de coordenadas, precisamen-

te cuando β =1, entonces la elasticidad es unitaria en todos los puntos.

Ejercicio 11.7. Dada una curva de oferta a kp , donde a , k y β son parámetros

positivos, ¿cómo varía la elasticidad-precio cuando aumenta el precio del

bien?

La elasticidad-precio de la curva de oferta sería ahora:

1 p kp

k p

a kp a kp

También podemos rescribir la expresión de la elasticidad del siguiente modo:

1a

kp

Por lo que fácilmente puede deducirse que cuando el precio aumenta, el denominador

principal de la expresión disminuye. Por lo que la elasticidad-precio de la curva de oferta au-

menta.





Lógicamente cuando el precio del bien tiende a infinito, la elasticidad de la curva de oferta

tiende al valor del parámetro β .

Ejercicio 11.8. Razónese acerca de cuál de las dos curvas de oferta pintadas en la

Figura 11.2 es más elástica en el punto de intersección A:

Nosotros sabemos de antemano que las curvas de demanda o de oferta más horizontales

son más elásticas que las curvas de demanda o de oferta más verticales, que son más rígidas o

inelásticas. Por tanto, la curva de oferta S 1 es más elástica que la curva de oferta S 2.

Pero el razonamiento riguroso debe hacerse en un punto en común que tengan ambas cur-

vas de oferta, dado que la elasticidad de una curva de oferta o de demanda no tiene por qué

ser constante en todos sus puntos, sino que varía a lo largo de la curva correspondiente.

Efectivamente, en el punto A ambas curvas tienen las mismas coordenadas precio-

cantidad. Luego sólo difieren en su pendiente en ese punto:

2 1S S

A A

dp dp

dx dx

La curva de oferta S 2 es más inclinada o vertical (tiene mayor pendiente dp/dx, según la

representación gráfica) que la curva S 1 en el punto A, así es cómo se interpreta esa expresión.

Luego es evidente que se cumplirá:

A

p

x

S 1

S 2

xA

pA

Figura 11.2





2 1

A A

dx dx

dp dp

Por tanto, la curva de oferta S 1 es más elástica que la curva de oferta S 2 en el punto A, por-

que la elasticidad es el resultado de multiplicar el valor de esta pendiente (dx/dp) en el punto

A por las coordenadas precio-cantidad de este punto, que son las mismas en ambos casos:

A A

A A

pdx

dp x

Ejercicio 11.9. Dada la siguiente curva de demanda-renta del bien X: aY , dondea es un parámetro positivo y β otro parámetro de signo indeterminado.

Determinar el signo de este último parámetro para que el bien X sea inferior,

para que sea un bien normal, y para que su demanda no dependa del nivel de

renta. Determinar los valores de este parámetro para que el bien X sea un bien

necesario, de lujo o de elasticidad-renta unitaria.

En primer lugar, para determinar si el bien X es un bien normal o inferior, debemos estu-

diar el signo de variación de la cantidad demandada del bien al variar la renta, es decir, el

signo de la derivada con respecto a Y de la curva de demanda-renta del enunciado:

1dxa Y

dY

Lógicamente, como a es un parámetro positivo, el signo de esta derivada depende del

signo del parámetro β . En consecuencia, si este parámetro es positivo, se trataría de un bien

normal, y si este parámetro es negativo, se trataría de un bien inferior. Y si este parámetro es

igual a cero, entonces la cantidad demandada del bien no dependería del nivel de renta:

a

Para contestar a la segunda cuestión, de si el bien X es un bien necesario, de lujo o de elas-

ticidad-renta unitaria, lógicamente habrá que considerar que se trata de un bien normal y, de

ahí, habrá que determinar el valor de la elasticidad-renta.

Recordando la expresión formal de esta última:





1

Y

dx Y Y a Y

dY x aY

Lógicamente, si se tratara de un bien inferior la elasticidad-renta sería negativa. Y al tra-

tarse de un bien normal, la elasticidad-renta es positiva ( 0 ).

En consecuencia, podemos afirmar que:

a) Si se trata de un bien necesario, la elasticidad-renta debe ser menor que 1:

0 1 .

b)

Si se trata de un bien de lujo, la elasticidad-renta debe ser mayor que 1:1

.c)

Y si se trata de un bien de elasticidad-renta unitaria: 1 .

Se deja al lector que realice la representación gráfica correspondiente en estos tres casos

de la curva de demanda-renta, representando en el eje de abscisas la variable renta. En el pri-

mer caso se tratará de una curva creciente y cóncava. En el segundo caso se tratará de una

curva creciente y convexa. En el tercer caso, se tratará de una línea recta creciente. Y en los

tres casos todas las curvas partirán del origen de coordenadas.

Efectivamente, bastará estudiar el signo de la segunda derivada de la curva demanda-renta

del enunciado:

22

2 ( 1)

d xa Y

dY

El signo de esta derivada depende de que el valor del parámetro β sea menor, mayor o

igual a 1. Por lo que la curva demanda-renta, que es creciente en los tres casos al tratarse de

un bien normal ( 0 ) dado que la primera derivada es positiva, será cóncava en el primer

caso (segunda derivada negativa) (bien necesario), convexa en el segundo (segunda derivada

positiva) (bien de lujo), y de pendiente constante en el tercer caso (segunda derivada igual a

cero) (bien de elasticidad-renta unitaria), es decir, una línea recta. Y en todos los casos partirá

del origen de coordenadas.





Ejercicio 11.10. Dada la curva de demanda-renta del bien X: 2aY bY , donde a y b

son parámetros positivos. Representarla gráficamente con la variable renta en

el eje de abscisas. Y establecer los intervalos de variación de la renta en que elbien X se comporta como un bien normal, y como un bien inferior. Determinar

si se trata de un bien necesario, de lujo o de elasticidad-renta unitaria cuando

se comporta como un bien normal.

La cantidad demandada es cero cuando el nivel de renta es:

2 ( ) 0aY bY Y a bY 0Y Y a b

Veamos el comportamiento de la primera derivada:

2 x

a bdY

Veamos el comportamiento de la segunda derivada:

2

2

2 0d x

bdY

Luego se trata de una curva cóncava, de pendiente:

a) Positiva, cuando 2 0a Y . Es decir, cuando 2Y a b . Dentro de este intervalo

de variación de la renta el bien es normal.

b) Negativa, cuando 2 0a Y . Es decir, cuando 2Y a b . Dentro de este interva-

lo de variación de la renta el bien es inferior.

c) Cero, cuando 2 0a Y . Es decir, cuando 2Y a b . Con lo que la curva de

demanda-renta alcanza su máximo.

Y este valor máximo de la función es:

2 2

( 2 )2 2 4

a a aY a b a b

b b b

La representación gráfica, pues, sería como sigue:





Obtengamos la expresión de la elasticidad-renta en general para este bien:

2

2( 2 )

Y

x Y Y a Y a bY

dY x aY bY a bY

Si se trata de un bien normal ( 2 0a bY ), el denominador de la fracción es positivo y

mayor que el numerador. Por tanto, la elasticidad-renta es menor que uno para valores de la

renta tales que 0 2Y a b . Siendo la elasticidad-renta igual a uno cuando Y =0.

Luego cuando el bien X se comporta como un bien normal, entonces se trata de un bien

necesario, lógicamente para niveles de renta positivos.

Cuando la curva de demanda-renta alcanza su máximo ( 2 0a bY ), es decir, cuando

2Y a b , entonces numerador se anula y el denominador toma un valor positivo. Por tanto,

la elasticidad-renta es cero.

Cuando el bien X se comporta como un bien inferior ( 2 0a bY ), es decir, cuando

2Y a b

, el numerador toma valores negativos y el denominador de la fracción toma valores positivos hasta que se anula cuando Y a b . Por tanto la elasticidad-renta es negativa, como

Y0 a/2b a/b

a2/4b

xCurva de demanda-renta

2aY bY

Bien

normal

Bien

in erior

Figura 11.3





es lógico al tratarse de un bien inferior, y toma el valor menos infinito cuando se alcanza este

último nivel de renta.

Ejercicio 11.11. Consideremos la siguiente curva de demanda lineal: a p ,

donde a y b son parámetros positivos. Obtener la curva del ingreso marginal.

Determinar cuándo se anula éste. Y cuándo el ingreso total alcanza su máximo.

Y los correspondientes valores de la elasticidad-precio de la curva de

demanda.

El ingreso marginal depende por definición de la cantidad demandada del bien y es la pri-

mera derivada de la función del ingreso total respecto de la cantidad demandada. Por tanto,debemos obtener en primer lugar la función del ingreso total dependiente de la variable x.

Para ello, lo primero que tenemos que hacer es obtener la curva inversa de demanda:

a bp a x

b b

Como puede apreciarse, la curva inversa de demanda es una línea recta decreciente de

pendiente en valor absoluto 1 b y ordenada en el origen a b . Y está bien definida desde un

punto de vista económico para 0 x a , en que el precio del bien es no-negativo.

Por lo que el ingreso total en función de la cantidad demandada x sería:

2

( ) ax x

I x pxb

Que, lógicamente, toma valores no-negativos para 0 x a , y se anula para p=0 ( x=a) y

para x=0 ( p=a/b).

Obtengamos ahora la función del ingreso marginal, que no es más que la derivada respecto

de x de esta última función:

( ) 2( )

dI x a x I x

dx b





Como puede apreciarse, la curva del ingreso marginal es una línea recta decreciente de

pendiente en valor absoluto 2 b (el doble de inclinada que la curva inversa de demanda) y

ordenada en el origen a b (la misma ordenada que la de la curva inversa de demanda, donde

coinciden). Toma valores positivos para x<a/ 2, se anula para x=a/ 2 y toma valores negativos

para x>a/ 2.

Si derivamos nuevamente respecto de x la función del ingreso marginal, tendremos:

2

2

( ) 2( ) 0

d I x I x

dx b

De donde se infiere que el ingreso marginal es decreciente a medida que aumenta la canti-

dad demandada (porque su derivada es negativa), algo que ya sabíamos, y que la curva del

ingreso total es cóncava respecto del origen de coordenadas (porque la segunda derivada del

ingreso total es negativa).

¿Cuándo alcanza su máximo el ingreso total? Cuando su primera derivada, el ingreso mar-

ginal, es igual a cero:

( ) 2( ) 0

dI x a x I x

dx b

2

a

2

a

b

Además, se cumple la condición de segundo orden para alcanzar un máximo de la función

del ingreso total en ese punto, pues se trata de una curva cóncava. Ese ingreso máximo sería:

22

22 2( 2)4

a a

a I x ab b

Pero si el ingreso marginal es igual a cero, sabemos que la elasticidad-precio de la curva

de demanda es igual a la unidad, dado que:

( ) 1( ) 1 1

dI x x dp I x p p

dx p dx





Con lo que podemos afirmar que el ingreso total, que es cero cuando x=0, crece, es decir,

el ingreso marginal es positivo por tratarse de la primera derivada, hasta el punto en que x=a/2

(en ese intervalo la elasticidad-precio de la curva de demanda es mayor que uno en valor ab-soluto). En este último punto el ingreso total alcanza su máximo, pues el ingreso marginal se

anula, y, por tanto, la elasticidad-precio de la curva de demanda es igual a uno en valor abso-

luto.

Posteriormente el ingreso total decrece, y por tanto, el ingreso marginal es negativo por

tratarse de la primera derivada, para valores x>a/2, por lo que la elasticidad-precio de la curva

de demanda es menor que uno en valor absoluto en ese intervalo.

La representación gráfica de la curva de demanda, de la curva del ingreso marginal y de la

curva del ingreso total serían las siguientes:

Ingreso marginal

a/2 xa

p

Ingreso total

Curva de demanda

x=a-bp

a/b

a/2b

1

1

1

Figura 11.4





Ejercicio 11.12. Dada la curva de demanda a p , obtener el ingreso del

productor o el gasto del consumidor en función del precio del bien. Y

representar gráficamente la función del ingreso total con el precio del bien enel eje de abscisas. Estudiar el comportamiento del ingreso total con la

elasticidad-precio de la curva de demanda.

Sabemos que el ingreso del productor o el gasto del consumidor es por definición:

I px

Sustituyendo, tendremos:

2( ) ( ) I p px p a bp ap bp

Ya tenemos el ingreso total del productor o el gasto del consumidor en función del precio

del bien. Veamos si hay algún valor de p para el que se anula la función del ingreso total.

Como es obvio, el ingreso total es cero cuando p=0, es decir, cuando x=a. Y también cuando

p=a/b, es decir, cuando x=0.

Para estudiar la forma que adopta la curva del ingreso total al variar el precio de bien, es-

tudiemos su primera derivada:

( )2

dI pa bp

dp

La cual, como es obvio, se anula cuando:2

a

b

2

a

Por otra parte, se trata de un máximo de la función del ingreso total porque la segunda de-

rivada es negativa. La función del ingreso total es cóncava:

2

2

( )2 0

d I pb

dp

Por tanto, sustituyendo en la función del ingreso total, el valor máximo del ingreso es:





2 2

( 2 )2 2 4

a a a I p a b a b

b b b

La primera derivada que hemos obtenido anteriormente es positiva, esto es, la función del

ingreso total es creciente, dentro del siguiente intervalo:

2 0 I p

a bpdp

2

a

b

2

a

La primera derivada es negativa, esto es, la función del ingreso total es decreciente, dentro

del siguiente intervalo:

( )2 0

dI pa bp

dp

2

a

b

2

a

Luego ya tenemos todos los datos para representar gráficamente la función del ingreso to-

tal.

Vamos a relacionar ahora el comportamiento del ingreso total con la elasticidad-precio de

la curva de demanda.

Nosotros sabemos que debe cumplirse que:

I, x

p

Ingreso total

Curva de demanda

x=a-b

a/2b a/b

a

a/2

1

1

1

Figura 11.5





1 I p

xdp

Por tanto, tendremos:

a) Cuando el ingreso total es creciente al aumentar el precio del bien (derivada an-

terior positiva), la elasticidad-precio de la curva de demanda debe ser menor

que uno en valor absoluto, es decir, la curva de demanda-precio debe ser

inelástica o rígida. Y esto sucede cuando el precio del bien es menor que a/2b

y, por tanto, la cantidad demandada es mayor que a/2.

b)

Cuando el ingreso total es decreciente al aumentar el precio del bien (derivada

anterior negativa), la elasticidad-precio de la curva de demanda debe ser mayor

que uno en valor absoluto, es decir, la curva de demanda-precio debe ser elásti-

ca. Y esto sucede cuando el precio del bien es mayor que a/2b y, por tanto, la

cantidad demandada es menor que a/2.

c) Cuando el ingreso total es constante al aumentar el precio del bien (derivada

anterior igual a cero), el primero alcanza su máximo. Por tanto, la elasticidad-

precio de la curva de demanda debe ser igual a uno en valor absoluto, es decir,la curva de demanda-precio debe tener elasticidad unitaria en ese punto. Y esto

sucede cuando el precio del bien es igual a a/2b y, por tanto, la cantidad de-

mandada es igual a a/2.

Ejercicio 11.13. Dada la curva de demanda k p , obtener el ingreso del productor

o el gasto del consumidor en función del precio del bien. Y representar

gráficamente la función del ingreso total con la variable precio en el eje de

abscisas.

La curva de demanda se trata obviamente de una hipérbola equilátera de la forma:

x k

La función del ingreso total sería:

k I px p k p





Es decir, el ingreso del productor o el gasto de consumidor es constante a medida que va-

ría el precio del bien, y, por tanto, la cantidad demandada.

En consecuencia, la función del ingreso total representada gráficamente se trataría de la

una línea recta horizontal paralela al eje de abscisas, con ordenada en el origen igual a k :

Como bien sabemos, la elasticidad-precio de la curva de demanda sería unitaria en todos

los puntos, por lo que el ingreso del productor o gasto del consumidor debe constante al variar

el precio del bien o la cantidad demandada, dado que debe cumplirse que:

1 I p

xdp

con lo que la derivada de esta expresión sería igual a cero.

Ejercicio 11.14. En un mercado regulado o intervenido cualquiera, si se fija un

precio máximo inferior al de equilibrio en el mercado no-intervenido, ¿cómo

varían los ingresos de los productores con respecto a los obtenidos en el

equilibrio en este último mercado?

Si se fija un precio máximo inferior al de equilibrio en el mercado no-intervenido (por

ejemplo, precio máximo del alquiler de viviendas), donde la cantidad ofrecida es igual a la

I, x

p

k

Ingreso total

I k

Curva de demanda1

Figura 11.6





demandada, habrá exceso de demanda en el mercado intervenido, es decir, los consumidores o

demandantes estarán dispuestos a demandar más viviendas en alquiler que las que los propie-

tarios están dispuestos a ofrecer.

Como el precio máximo que puede alcanzarse es menor y también la cantidad cambiada

en el mercado intervenido en relación con los respectivos valores de equilibrio en el mercado

no-intervenido, los ingresos de los productores serán menores en cualquier caso respecto de la

situación de equilibrio en este último mercado, donde impera el libre juego de las fuerzas de

la oferta y la demanda.

Esto puede observarse en la siguiente figura:

En el mercado no-intervenido, el precio y la cantidad de equilibrio son ( pe , xe). Al fijarse

un precio máximo pmáx alcanzable en el mercado regulado inferior al de equilibrio, entonces

existe exceso de demanda en este mercado: ( xd - xo), y la cantidad producida e intercambiada

en el mercado es xo, esto es, la cantidad que están dispuestos a ofrecer los productores al pre-

cio pmáx.

Luego es evidente que el ingreso de los productores, y, por tanto, el gasto de los consumi-

dores, pasa de ser pe xe a pmáx xo, por lo que obviamente disminuye.

p

x

pe

xe

pmáx

xo xd

DS

Figura 11.7





Ejercicio 11.15. En un mercado regulado o intervenido cualquiera, si se fija un

precio mínimo superior al de equilibrio, ¿cómo varían los ingresos de los

productores con respecto a los obtenidos en el equilibrio del mercado no-intervenido?

Si se fija un precio mínimo superior al de equilibrio (por ejemplo, un salario-mínimo, un

precio del alquiler mínimo), habrá exceso de oferta, es decir, los demandantes estarán dis-

puestos a demandar menos de lo que los oferentes están dispuestos a ofrecer en el mercado.

Como el precio mínimo que puede alcanzarse en el mercado intervenido es mayor y la canti-

dad cambiada es menor a los correspondientes valores de equilibrio en el mercado no-

intervenido, la variación del ingreso de los productores dependerá del valor que tome la elas-

ticidad-precio de la curva de demanda.

Esto puede observarse en la siguiente figura:

En el mercado no-intervenido, el precio y la cantidad de equilibrio son ( pe , xe). Al fijarse

un precio mínimo pmín alcanzable en el mercado regulado superior al de equilibrio, entonces

existe exceso de oferta en este mercado: ( xo - xd ), y la cantidad producida e intercambiada en

el mercado es xd , esto es, la cantidad que están dispuestos a demandar los consumidores al

precio pmín.

Luego es evidente que el ingreso de los productores, y, por tanto, el gasto de los consumi-

dores, pasa de ser pe xe a pmín xd , por lo que obviamente puede variar en cualquier dirección.

p

x xe

pe

D

S

pmín

xd xo

Figura 11.8





Si la curva de demanda-precio es elástica cuando el precio pasa de pe a pmín, entonces co-

mo el precio aumenta en el mercado intervenido, tendrá lugar una reducción de la cantidad

demanda en mayor proporción que el incremento del precio, con lo que los ingresos de los productores se verán reducidos.

Lo contrario sucederá si la curva de demanda-precio es inelástica o rígida en ese intervalo

de variación del precio del bien, porque los ingresos de los productores se verán incrementa-

dos al disminuir la cantidad demandada en menor proporción que el aumento del precio del

bien.

Y si la elasticidad-precio es unitaria, los ingresos de los productores no se verían alterados,

porque precio y cantidad demandada variarán en la misma proporción.

Desde un punto de vista formal, basta interpretar en cada caso la expresión que relaciona

la variación del ingreso del productor, al variar el precio del bien, con la elasticidad-precio de

la curva de demanda:

( )1

dI p x

dp

Si la elasticidad es mayor que uno en valor absoluto, la derivada será negativa (disminui-

rán los ingresos al aumentar el precio del bien); si la elasticidad es menor que uno en valor

absoluto, la derivada será positiva (aumentarán los ingresos al aumentar el precio del bien). Y,

finalmente, la derivada será cero cuando la elasticidad es unitaria (los ingresos no sufrirán

alteración alguna al aumentar el precio del bien).

Ejercicio 11.16. Dada la siguiente curva de demanda-renta del bien X: aY ,

donde a es un parámetro positivo y β otro parámetro de signo indeterminado.

Determinar los valores de este último parámetro para que la proporción de la

renta gastada en el bien X (px/Y ) aumente, disminuya o sea constante al

incrementarse la renta.

Nosotros ya sabemos que el parámetro β es la elasticidad-renta de la curva de demanda del

enunciado:





1

Y

dx Y Y a Y

dY x aY

Y también sabemos, además, que la forma en que varía la proporción de la renta gastada

en el bien X ( x ) al variar la renta depende del valor de la elasticidad-renta:

2

( 1)Y d px Y px

dY Y

Por tanto, tendremos los siguientes casos:

a)

Bien de lujo: 1Y

. La proporción de la renta gastada en el bien X aumenta al

aumentar el nivel de renta, porque la derivada anterior es positiva.

b) Bien de elasticidad-renta unitaria: 1 . La proporción de la renta gastada en el

bien X no se altera al aumentar el nivel de renta, porque la derivada anterior es

igual a cero.

c) Bien necesario: 0 1 . La proporción de la renta gastada en el bien X disminu-

ye al aumentar el nivel de renta, porque la derivada anterior es negativa.

d)

Bien cuya demanda no depende del nivel de renta: 0 . La proporción de la ren-

ta gastada en el bien X disminuye al aumentar el nivel de renta por el mismo moti-

vo.

e)

Bien inferior: 0 . La proporción de la renta gastada en el bien X disminuye al

aumentar el nivel de renta por el mismo motivo.




CAPÍTULO 12.- LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

Ejercicio 12.1. Dada la siguiente función de producción, con dos factores variables

v 1 y v 2: 21

2 1 15 2

3

v

v v v

. Obtener la función o curva de la productividad

total del primer factor cuando v 2=1; y las curvas de las productividades media

y marginal correspondientes. Obtener la cantidad aplicada del factor variable

que permite alcanzar el Óptimo Técnico y el Máximo Técnico. Representar

gráficamente las tres funciones anteriores.

Como la cantidad empleada del segundo factor variable v2 está dada, este factor actúa co-

mo si fuera un factor fijo. Por lo que la función o curva de la productividad total del primer

factor sería obviamente:

25 2

3

v

v v

Hemos eliminado el subíndice para ahorrar notación.

Como es obvio, cuando v=0, la cantidad producida es x=0. Luego la curva de la producti-

vidad total del factor variable parte de origen de coordenadas.

La función o curva de la productividad marginal de este factor variable sería:

25 2 2

dxv v

dv

Y la función o curva de la productividad media de este factor sería:

* 5 23

x v

v

v

Sabemos que en el Óptimo Técnico la productividad media del factor variable alcanza su

máximo. Por lo que deberá cumplirse como condición necesaria que la derivada de la función




CAPÍTULO 12 La función de producción 2/7

de la productividad media respecto de la cantidad empleada del factor variable debe ser igual

a cero:

* 25 1 0

3

dx v

dv

De donde obtendremos: vOT =1,5; x*máx=13,75.

Se trata efectivamente de un máximo de esta función, porque al calcular la segunda deri-

vada:

2

* 2 105

3 3

d x

dv

resulta que es negativa, luego la función de la productividad media del factor variable es una

curva cóncava.

Por otra parte, estudiemos la curva de la productividad marginal del factor variable. Calcu-

lemos su primera derivada e igualémosla a cero:

2

2 5 2 2 0

dx d xv

dv dv

De donde se obtiene: v I =1; x’ máx=15. Que es el máximo de la función de la productividad

marginal. Porque si calculamos la segunda derivada de esta función tendremos:

2 5 2 10

d x

dv

Resulta que es negativa, luego la función de la productividad marginal del factor variable

es una curva cóncava.

También podemos comprobar que las productividades media y marginal coinciden en dos

casos:

a)

Cuando la cantidad empleada del factor variable es cero, y, por tanto, la cantidad

producida es también cero. Ambas productividades son iguales a 10.





b) Cuando la productividad media del factor variable alcanza su máximo, es decir,

cuando vOT =1,5. Ambas productividades son iguales a 13,75.

Finalmente, si estudiamos el comportamiento de la primera derivada de la función de la

productividad marginal del factor variable, podemos determinar la forma de la curva de la

productividad total de este factor:

2

2 5 2 2

dx d xv

dv dv

Sabemos que esta derivada se anula cuando v=1, en que la productividad marginal alcanza

su máximo. Luego éste será el punto de inflexión de la curva de la productividad total del

factor variable.

Puesto que esta derivada es positiva para v<1 y negativa para v>1, y se trata de la segunda

derivada de la curva de la productividad total del factor variable. Por tanto, esta curva será

convexa en un primer momento, alcanzará su punto de inflexión cuando v=1, y luego será

cóncava.

Finalmente, el Máximo Técnico de la curva de la productividad total del factor variable

tiene lugar, obviamente, cuando la productividad marginal de este factor, la primera derivada

de la función anterior, es igual a cero:

25 2 2 0

dxv v

dv

De donde se obtiene v MT =2,73 y, por tanto:

22,735 2, 73 2 2, 73 30, 65

3máx

Para cantidades aplicadas del factor variable mayores que 2,73, la productividad marginal

es negativa, con lo que la curva de la productividad total del factor variable será decreciente a

partir de este punto. Y para cantidades aplicadas del factor variable menores que 2,73, la pro-

ductividad marginal toma valores positivos, por lo que la curva de la productividad total del

factor variable es creciente.





Por tanto, el Máximo Técnico se corresponde con el máximo de la función de la producti-

vidad total del factor variable, dado que la productividad marginal, su primera derivada, se

anula y la primera función es cóncava en este punto, como puede comprobarse fácilmente.

Con lo que, resumiendo los resultados obtenidos, tendremos:

a) La curva de la productividad media es una curva cóncava con un máximo en el

punto (vOT =1,5; x*máx=13,75), que es el Óptimo Técnico.

b) La curva de la productividad marginal es una curva cóncava también con un má-

ximo en el punto (v I =1; x’ máx=15).

c)

Las productividades marginal y media coinciden cuando v=0 (10) y cuando

vOT =1,5 (13,75).

d) La curva de la productividad total del factor variable parte del origen de coordena-

das, es convexa en un primer momento, tiene un punto de inflexión en (v I =1;

x=13,33), y luego es una curva cóncava.

e) Esta curva es creciente en un primer momento, alcanza su máximo (el Máximo

Técnico) cuando la productividad marginal es igual a cero, es decir, cuando

(v MT =2,73; xmáx=30,65). A partir de ahí, como la productividad marginal es negati-va, la curva de la productividad total del factor variable es decreciente.





10

1 1,5

13,75

15

2,73 v

Productividad marginal

Productividad media

x

v

Curva de la productividad total

1 2,73

30,65

13,33

x’, x*

Máximo Técnico

Punto de inflexión

Óptimo Técnico

MáximoTécnico

Figura 12.2

Figura 12.1





Ejercicio 12.2. Dada la siguiente función de la productividad marginal del factor

variable v : 25 2 2v v . Obtener la función de la productividad total de

este factor.

Nosotros tenemos que obtener la función de la productividad total del factor variable V de

la forma:

F v

Puesto que partimos del hecho de la productividad marginal es la derivada respecto de v de

la productividad total:

( )( )

dx dF v F v

dv dv

Entonces es evidente que podemos escribir:

( )dx F v dv ( ) ( )dx F v dv F v k

Es decir, la productividad total es la integral indefinida de la productividad marginal, esto

es, la función primitiva de esta última función. Por lo que aplicando este hecho a nuestro

ejemplo, resultará:

3

2 25 2 2 5 2

3

vv v dv v v k

donde k es la constante de integración.

Como sabemos, cuando la cantidad aplicada del factor variable es v=0, entonces la canti-

dad producida debe ser x=0. Por lo que resulta que la constante de integración k es igual a

cero.

Con lo que finalmente tendremos una función de la productividad total del factor variable

de la siguiente forma:





3

25 2

3

v

v v

Como puede apreciarse, hemos recorrido el camino inverso al del ejercicio anterior.




CAPÍTULO 13.- COSTES DE PRODUCCIÓN

Ejercicio 13.1. Dada la siguiente función de costes totales, donde x es la cantidad

producida: 2( ) 100 5 23

xC x x x

. Determinar el coste fijo y la función del

coste fijo medio. Obtener la función del coste variable, del coste variable

medio y del coste medio. Obtener la función del coste marginal. Obtener el

nivel de producción correspondiente al Mínimo d e Exp lo tac ión y al Óptimo de

Explotación . Representar gráficamente las funciones: coste variable medio,

coste medio y coste marginal, por una parte, y, por otra, la función del coste

variable.

Como es obvio, el coste total es el resultado de sumar el coste fijo más el coste variable.

Por lo que el coste fijo es 100, y la función del coste fijo medio sería:

100( )

CF CFMe x

x x

Por tanto, la función del coste variable sería:

2( ) 5 23

v

xC x x x

dado que todos los términos de esta expresión dependen del nivel de producción x.

La función del coste variable medio sería:

2* ( )

( ) 5 23

v

v

C x xC x x

x

Y la función del coste medio:




CAPÍTULO 13 Costes de producción 2/16

( ) 100*( ) 5 2

3

C x xC x x

x x

Como puede verse, es la suma del coste fijo medio más el coste variable medio.

La función del coste marginal sería:

2( )( ) 5 2 2v

C xdC xC x x x

dx dx

Sabemos que en el Mínimo de Explotación el coste variable medio alcanza su mínimo. Por

lo que deberá cumplirse como condición necesaria, que la derivada de la función del coste

variable medio respecto del nivel de producción debe ser igual a cero:

( ) 25 1 0

3

vdC x x

dx

De donde obtendremos: x ME =1,5; C v*mín=6,25.

Se trata efectivamente de un mínimo de esta función, porque al calcular la segunda deriva-

da:

2

( ) 2 105

3 3

vd C x

dx

resulta que es positiva, luego la función del coste variable medio es una curva convexa.

Por otra parte, estudiemos la función del coste marginal. Calculemos su primera derivada eigualémosla a cero:

22

2 2

( )( ) ( )5 2 2 0v

d C xdC x d C x x

dx dx dx

De donde se obtiene: x I =1; C’ ( x) mín=5. Que es el mínimo de la función del coste marginal.

Porque si calculamos la segunda derivada de esta función tendremos:





2

2

( )5 2 10

d C x

dx

Resulta que es positiva, luego la función del coste marginal es una curva convexa.

También podemos comprobar que el coste marginal y el coste variable medio coinciden en

dos casos:

a) Cuando el nivel de producción es cero. Ambos costes de producción son iguales a

10.

b) Cuando el coste variable medio alcanza su mínimo, es decir, en el Mínimo de Ex-

plotación x ME =1,5. Ambos costes de producción son iguales a 6,25.

Finalmente, si estudiamos el comportamiento de la primera derivada de la función del cos-

te marginal, podemos determinar la forma de la curva del coste variable:

2

2

( )( )5 2 2v

d C xdC x x

dx dx

Sabemos que esta derivada se anula cuando x=1, en que el coste marginal alcanza su mí-

nimo. Luego éste será el punto de inflexión de la curva del coste variable, dado que se trata de

la segunda derivada de esta función:

1(1) 5 1 2 6, 67

3v

C

Además, puesto que esta derivada es negativa para x<1 y positiva para x>1, la curva del

coste variable será cóncava en un primer momento, alcanzará su punto de inflexión, y luego

será convexa.

Finalmente, el Óptimo de Explotación tiene lugar cuando el coste medio alcanza su valor

mínimo. Por tanto la primera derivada de esta función debe ser igual a cero:

2

100 25 1 0

3

C x x

dx x

3 210 15 300 0 x x





Obtenemos como solución un valor aproximado:

3,69 3, 70OE

x

100 3, 70*(3, 70) 5 3, 70 2 27, 03 14,32 41,35

3, 70 3C

No es necesario saber resolver una ecuación consistente en un polinomio de tercer grado.

Lo que sucede que para tener una función del coste variable medio decreciente y luego cre-

ciente, con un mínimo, la obtención del coste medio mínimo conlleva resolver en este caso

una ecuación de este tipo. La única información que tenemos al respecto para obtener unasolución aproximada es que el nivel de producción correspondiente al Óptimo de Explotación

es siempre mayor que el correspondiente al Mínimo de Explotación ( x ME =1,5).

En lo sucesivo utilizaremos funciones de costes marginales y, por tanto, de costes varia-

bles medios, más sencillas, siempre crecientes, con un mínimo cuando x=0.

Por otra parte, se trata efectivamente de un mínimo de la función del coste medio que no-

sotros estamos manejando, porque calculando la segunda derivada de esta función tendremos:

2 3

*( ) 200 100

3

d C x

dx x

por lo que la función del coste medio es una curva convexa.

Con lo que, resumiendo los resultados obtenidos, tendremos:

a) La curva del coste fijo medio es una hipérbola equilátera de la forma:

100CFMe . No la representaremos gráficamente.

b) La curva del coste variable medio es una curva convexa con un mínimo en el punto

( x ME =1,5; C v*mín=6,25), que es el Mínimo de Explotación.

c) La curva del coste marginal es una curva convexa también con un mínimo en el

punto ( x I =1; C’ ( x) mín=5).

d)

El coste variable medio y el coste marginal coinciden cuando x=0 (10) y cuando x ME =1,5 (6,25).





e) La curva del coste medio es una curva convexa que alcanza su mínimo en el Ópti-

mo de Explotación, cuando ( 3, 69 3, 70OE

x ; C *(3,70)=41,35).

f)

La curva del coste variable parte del origen de coordenadas, es cóncava en un pri-mer momento, tiene un punto de inflexión en ( x I =1; C v(1)=6,67), y luego es una

curva convexa.

10

1 1,5 3,70 x

Coste Medio

Coste Variable Medio

C v

x

Coste Variable

1

6,67

C ’, C v*, C *

Punto de inflexión

Óptimo de Explotación5

6,25

Coste Marginal

Mínimo de Explotación

1,5

Mínimo de Explotación

Figura 13.1





Ejercicio 13.2. Dada la siguiente función de costes totales, donde x es la cantidad

producida: 2( ) 9 108 324C x x x . Obtener nivel de output correspondiente al

Óptim o de Explo tación , y los valores del coste medio, variable medio, fijomedio y marginal correspondientes.

Obtengamos en primer lugar la función del coste variable, dado que el coste fijo es 324:

2( ) 9 108v

C x x x

La función del coste variable medio sería entonces:

* ( )( ) 9 108v

v

C xC x x

x

Como puede apreciarse, se trata de una curva más sencilla que la del ejercicio anterior,

puesto que siempre es creciente, y el mínimo tiene lugar cuando x=0. Se trata de una línea

recta de pendiente 9 y ordenada en el origen 108.

La función del coste marginal sería:

( ) 18 108C x

C x xdx

También se trata de una curva más sencilla que la del ejercicio anterior, puesto que siem-

pre es creciente, y el mínimo tiene lugar cuando x=0. Se trata de una línea recta de pendiente

18 y ordenada en el origen 108.

Como puede apreciarse, cuando x=0 el coste variable medio y el coste marginal coinciden(108). Y, finalmente, la curva del coste marginal tiene el doble de pendiente que la del coste

variable medio, por tanto, la primera se sitúa por encima de esta última.

En otras palabras, el coste marginal siempre es mayor que el coste variable medio cuando

x>0. Por lo que forzosamente la curva del coste variable medio debe ser siempre creciente.

Finalmente, la función del coste medio sería:





* ( ) 324( ) 9 108

C xC x x

x x

Lógicamente, el Óptimo de Explotación se alcanza cuando el coste medio es mínimo. Por

tanto, como condición necesaria, la primera derivada de esta función debe ser igual a cero:

*

2

( ) 3249 0

dC x

dx x

De donde resulta x=6.

Se trata efectivamente de un mínimo de la función del coste medio, porque al obtener lasegunda derivada:

2 *

2 3

( ) 6480

d C x

dx x

resulta que es positiva, luego la función del coste medio es una curva convexa.

Obtengamos los valores particulares de todas las funciones anteriores cuando x=6:

a) Coste medio: * 324(6) 9 6 108 216

6C .

b) Coste variable medio: *(6) 9 6 108 162v

C .

c) Coste fijo medio:324

(6) 546

CFMe .

d) Coste marginal: (6) 18 6 108 216C . En cualquier caso ya sabíamos que era

igual al coste medio, pues la curva del coste marginal corta a la curva del coste

medio en su punto mínimo, es decir, cuando se alcanza el Óptimo de Explotación.

Ejercicio 13.3. Dada la siguiente función del coste marginal, donde x es la cantidad

producida: ( ) 2 8C x x . Obtener la función del coste variable y del coste total,

sabiendo que cuando x =4, entonces el coste total es 100. Determinar el coste

fijo.

Puesto que partimos del hecho de que el coste marginal es la derivada respecto de x, bien

del coste variable, bien del coste total:





( )( ) 2 8v

C xdC xC x x

dx dx

Entonces es evidente que podemos escribir:

( ) ( )v

dC x C x dx 2( ) ( ) ( ) 8v v cv

C x dC x C x dx x x k

( ) ( )dC x C x dx

2( ) ( ) ( ) 8ct

C x dC x C x dx x x k

Es decir, tanto el coste variable como el coste total son la integral indefinida del coste

marginal, esto es, la función primitiva de esta última función. Lo único que cambia es la cons-tante de integración, k cv y k ct respectivamente.

Como sabemos, cuando la cantidad producida es x=0, entonces el coste variable es igual a

cero. Por lo que resulta que la constante de integración k cv es igual a cero:

2( ) 8v

C x x x

Pero el coste total, al ser la suma del coste variable más el coste fijo, cuando x=0 coincidecon este último. Por lo que tomando los datos del enunciado, cuando x=4 el coste total será:

4 16 32 100ct

C

52ct

Con lo que la función del coste total adoptará la siguiente forma:

2( ) 8 52C x x x

donde 52 es naturalmente el coste fijo.





Ejercicio 13.4. Dada una función de producción de corto plazo con un factor

variable: x =F(v) , siendo el resto factores fijos. Si el precio del factor variable se

incrementa, ¿qué sucede con la curva de costes marginales? ¿Y con la curvadel coste variable medio? Si el precio de algún factor fijo se incrementa, ¿qué

sucede con las curvas de costes marginales, de costes variables medios y de

costes medios?

Nosotros conocemos la relación entre el coste marginal y la productividad marginal del

factor variable:

( ) ( )

w

C x F v

donde w es el precio del factor variable.

Si se altera w, la curva de la productividad marginal del factor variable ( ) F v no se altera,

pero sí lo hace la curva del coste marginal. De forma que si aumenta w, para cada cantidad

aplicada del factor variable y, por tanto, para cada cantidad producida correspondiente del

bien, el coste marginal es ahora mayor que antes. Por lo que tiene lugar un desplazamientohacia arriba de la curva del coste marginal .

Lo contrario sucedería si se redujera el precio del factor variable.

Por otra parte, también conocemos la relación entre el coste variable medio y la producti-

vidad media del factor variable:

* ( ) *v

w

C x x

Por un razonamiento semejante se llega a la misma conclusión: que un aumento de w da

lugar a un desplazamiento hacia arriba de la curva del coste variable medio , dado que la cur-

va de la productividad media del factor variable no sufre ninguna alteración.

Si ahora lo que aumenta es el precio de algún factor fijo, entonces ni los costes marginales

ni los costes variables medios se alteran. Pero sí aumentaría el coste medio, debido a un au-

mento del coste fijo medio. Por lo que tendría lugar un desplazamiento hacia arriba de la cur-





va del coste medio: ahora para cada nivel de producción el coste medio es mayor, porque ha

aumentado el coste fijo medio.

Ejercicio 13.5. Dada una función de producción de largo plazo con dos factores

variables K (capital) y L (trabajo), de la forma: a b K L ; donde a y b son dos

parámetros positivos y x es la cantidad producida. Determinar los

rendimientos de escala de esta función de producción en función de los

valores de estos parámetros, cuando se emplean ambos factores en una

determinada proporción fija, cualquiera que fuere ésta, tal como1 1 1

k K L .

Determinar también el comportamiento del coste medio de producción a

medida que aumenta el nivel de output, cuando los precios de ambos factores,

r y w respectivamente, permanecen inalterados.

Si se emplea la siguiente cantidad de ambos factores productivos ( K 1, L1), se obtendrá la

siguiente cantidad de producto:

1 1 1

a b K L

Ahora aumentamos la cantidad empleada de ambos factores productivos, guardando siem-

pre la proporción:

1

1

1

K k

L

Por ejemplo, la cantidad empleada de cada factor productivo se multiplica por un número

t >0, de la siguiente forma: (tK 1, tL1). Obtendremos el siguiente nivel de output:

1 1 1 1 1

a b a b a b a btK tL t K L t x

Es decir, la cantidad producida ahora es t a+b veces la cantidad producida inicialmente x1.

Por tanto, los rendimientos de escala de la función de producción que estamos manejando

dependen de lo que sumen los parámetros a y b:

a)

Si a+b=1. Entonces, los rendimientos de escala son constantes, porque al multipli-

car por t la cantidad empleada de ambos factores productivos, la cantidad produci-





da se multiplica también por t . Es decir, el nivel de producción crece en la misma

proporción que las cantidades empleadas de ambos factores.

b)

Si a+b<1. Entonces, los rendimientos de escala son decrecientes, porque al multiplicar por t la cantidad empleada de ambos factores productivos, la cantidad produ-

cida se multiplica por un factor menor que t . Es decir, el nivel de producción crece

en menor proporción que las cantidades empleadas de ambos factores.

c) Si a+b>1. Entonces, los rendimientos de escala son crecientes, porque al multipli-

car por t la cantidad empleada de ambos factores productivos, la cantidad produci-

da se multiplica por un factor mayor que t . Es decir, el nivel de producción crece

en mayor proporción que las cantidades empleadas de ambos factores.

Para determinar la evolución del coste medio de producción, consideramos que los precios

de los factores productivos están dados y, por tanto, esto conlleva que ambos factores se com-

binan siempre en una determinada proporción inalterable, por ejemplo k 1.

Para estudiar el comportamiento del coste medio de producción, debemos estudiar pre-

viamente el comportamiento del coste total de producción, por una parte, y, por otra, el com-

portamiento de la cantidad producida a medida que se emplea una mayor cantidad de ambosfactores, combinados siempre en la misma proporción inalterable.

El coste de producción correspondiente al nivel de output x1 puede expresarse del siguien-

te modo:

1

1 1 1 1 1 1 1

1

K C rK wL r L wL rk w L

L

Puesto que los precios de ambos factores productivos están dados, así como la proporción

en que se combinan estos últimos, el término entre paréntesis de la expresión anterior es una

constante, con lo que el coste de producción será siempre proporcional a la cantidad empleada

del factor trabajo. Y puede expresarse de forma general del siguiente modo:

1( )C rk w L

Por otra parte, cuando se emplea la siguiente cantidad de ambos factores productivos ( K 1, L1), se obtiene el nivel de producción x1, el cual puede expresarse del siguiente modo:





1

1 1 1 1 1 1 1

1

a

a b b a a b K K L L L k L

L

En general, si la cantidad empleada de trabajo es L en lugar de L1, y ambos factores se

combinan siempre en la proporción k 1, la cantidad producida se determinará del siguiente mo-

do:

1

a a bk L

Es decir, el nivel de output que se obtiene siempre es proporcional a la cantidad empleada

del factor trabajo elevada al exponente a+b, dado que la proporción en que se combinan am-

bos factores productivos es una constante.

Por tanto, para determinar la evolución del coste medio de producción a medida que au-

menta el nivel de output, tendremos que comparar cómo evoluciona el coste de producción

dividido por la cantidad producida cuando aumenta la cantidad empleada del factor trabajo:

1 ( )1 1

1 1*

a b

a a b a

r w L r wC C L

x k L k

En esta expresión, la fracción que aparece es una constante, por lo que el coste medio de

producción depende de la cantidad empleada de trabajo, que es tanto como decir, de la canti-

dad empleada de ambos factores productivos o del nivel de producción, pero elevada a un

exponente en el que aparecen los parámetros a y b, cuya suma define los rendimientos de es-

cala de la función de producción.

Fácilmente puede interpretarse que como el coste de producción crece proporcionalmente

con la cantidad empleada de trabajo y el nivel de producción crece también pero en una pro-

porción que depende de los rendimientos de escala de la función de producción, tendremos

tres casos:

a) a+b=1, rendimientos constantes de escala. El coste medio es constante (dado que

el exponente de la expresión anterior es cero) a medida que aumenta la cantidad

empleada del factor trabajo, y, por tanto, la cantidad producida. Esto es debido aque el coste de producción y la cantidad producida crecen siempre en la misma





proporción en que crece la cantidad aplicada del factor trabajo, y, por tanto, de am-

bos factores productivos.

b)

a+b<1, rendimientos decrecientes de escala. El coste medio es creciente (dado queel exponente de la expresión anterior es positivo) a medida que aumenta la canti-

dad empleada del factor trabajo, y, por tanto, la cantidad producida. Esto es debido

a que la cantidad producida crece en menor proporción que la cantidad aplicada del

factor trabajo, y, por tanto, que el coste de producción.

c) a+b>1, rendimientos crecientes de escala. El coste medio es decreciente (dado que

el exponente de la expresión anterior es negativo) a medida que aumenta la canti-

dad empleada del factor trabajo, y, por tanto, la cantidad producida. Esto es debido

a que la cantidad producida crece en mayor proporción que la cantidad aplicada del

factor trabajo, y, por tanto, que el coste de producción.

Ejercicio 13.6. Dada la siguiente familia de curvas de costes a corto plazo:

2

3 232 275

164

c

x x xC a

a

. Donde a es un parámetro positivo que guarda

relación con el tamaño de la planta. Obtener la función de costes a largo plazo

y la dimensión óptima de la empresa. Obtener la función de costes a corto

plazo correspondiente al tamaño óptimo de la empresa y determinar el Óptimo

de Explotación.

Para obtener la función de costes a largo plazo, debemos determinar el tamaño óptimo de

la planta en función del nivel de producción. Y esto se hace minimizando el coste de produc-

ción con respecto al parámetro a, que guarda relación con el tamaño de la planta, tomando

como un dato el nivel de producción.

Por lo que la correspondiente derivada parcial de la función del enunciado debe ser igual a

cero:

3 2

2

32 27516 0

4

c x x xC

a a

De donde obtendremos:





3 232 275

8

x x xa

Que nos permite determinar en cada caso el tamaño óptimo de la planta (que nos permite

incurrir en el coste de producción mínimo), representado mediante un determinado valor del

parámetro a, en función del volumen de output que deseamos producir.

Ahora introducimos esta expresión en la familia de curvas de costes a corto plazo del

enunciado, lo que nos permite eliminar el parámetro a; y de esta forma obtendremos la fun-

ción de costes de largo plazo que buscamos como envolvente de la familia de curvas de costes

de corto plazo de la que partíamos:

3 23 23 2

3 2

32 27532 275( ) 16 4 32 275

32 27584

8

L

x x x x x xC x x x x

x x x

Esta función de costes de largo plazo nos indica el coste mínimo de producir cada nivel de

output, puesto que siempre estamos utilizando con este objeto el tamaño óptimo de la planta

correspondiente.

La curva de costes medios a largo plazo sería entonces:

* 2( ) 4 32 275 L

L

C C x x x

x

La dimensión óptima de la empresa es el nivel de producción que minimiza el coste medio

a largo plazo. Por tanto, para obtenerla debemos calcular la primera derivada de la función delcoste medio a largo plazo con respecto al nivel de producción, e igualarla a cero:

* ( )

4 2 32 0 LdC x

xdx

De donde resulta x=16, que es la dimensión óptima de la empresa.

Efectivamente, se trata de un mínimo de la función del coste medio a largo plazo, porque

si calculamos la segunda derivada resulta que es positiva, es decir, la curva del coste medio a

largo plazo es convexa:





2 *

2

( )4 2 8 L

d C x

dx

El tamaño óptimo de la empresa se corresponde con el tamaño de la planta, es decir, el co-

rrespondiente valor del parámetro a, tal que resulta óptimo (el coste de producción correspon-

diente es mínimo) para obtener el nivel de producción denominado dimensión óptima de la

empresa, que sería, pues, el volumen de producción típico asociado al tamaño óptimo de la

empresa.

Por tanto, el tamaño óptimo de la empresa lo podemos determinar a partir de la expresión

obtenida anteriormente, que relaciona el tamaño óptimo de la planta con el nivel de produc-ción, introduciendo el valor particular x=16:

3 232 275

8

x x x

a

a=38

Por tanto, la función de costes a corto plazo correspondiente al tamaño óptimo de la em-

presa sería:

3 2 3 2

(tamaño óptimo de la empresa)32 275 32 275

( ) 16 38 6084 38 152

c

x x x x x xC x

El Óptimo de Explotación correspondiente al tamaño óptimo de la empresa es el nivel de

producción que minimiza el coste medio a corto plazo, y, por tanto, va asociado al mínimo de

la siguiente función de costes medios:

3 2(tamaño óptimo de la empresa)* (tamaño óptimo de la empresa)

32 275( ) 608( )

152

c

c

x x xC xC x

x x x

Nosotros podemos calcular entonces la primera derivada de esta función de costes medios

e igualarla a cero, para obtener el nivel de producción que minimiza el coste medio a corto

plazo. Pero sabemos de antemano que para el nivel de producción denominado dimensión

óptima de la empresa ( x=16) se alcanza el óptimo de explotación correspondiente al tamaño

óptimo de la empresa, es decir, el correspondiente mínimo de la anterior curva de costes me-dios a corto plazo. Y que, además, este coste medio mínimo a corto plazo se corresponde con





el coste medio mínimo a largo plazo, dado que la dimensión óptima de la empresa es el volu-

men de producción típico asociado al tamaño óptimo de la empresa.

No obstante, el lector puede comprobar fácilmente que el coste medio mínimo a corto pla-

zo asociado al tamaño óptimo de la empresa coincide con el coste medio mínimo a largo pla-

zo, que tiene lugar cuando la cantidad producida es x=16:

* 2(16) 4 16 32 16 275 76 L

C

Por lo que no es necesario realizar ningún cálculo adicional, en particular, obtener una de-

rivada muy complicada correspondiente a la función de costes medios a corto plazo anterior, eigualarla a cero.




CAPÍTULO 14.- MAXIMIZACIÓN DEL BENEFICIO

Ejercicio 14.1. Dada la función de demanda a la que se enfrenta una empresa y su

función de costes medios que aparecen en el gráfico, determinar para los

niveles de producción x 1, x 2 y x 3 si la empresa obtiene beneficios positivos,

pérdidas o beneficios cero.

La curva de demanda a la que se enfrenta la empresa o curva de demanda de la empresa,

nos indica la cantidad que están dispuestos a demandar los consumidores a esa empresa en

función del precio que tienen que pagar por cada unidad del bien que adquieren. O bien, la

función inversa nos indica el precio que están dispuestos pagar los consumidores por deman-

dar a la empresa la cantidad de producto de que se trate.

Y la curva del coste medio nos indica el coste medio en el que incurre la empresa en fun-

ción de la cantidad producida por esta última.

Por tanto, si consideramos el nivel de producción x1, puede observarse en el gráfico que el

coste medio de producir esta cantidad es menor que el precio que los consumidores están dis-

puestos a pagar por demandarla. Por tanto, si la empresa produce y vende la cantidad de pro-

x1 x2 x3 x

p

C *

Curva de demanda

a la que se enfrenta

la empresa

Curva de costes

medios

Figura 14.1




CAPÍTULO 14 Maximización del beneficio 2/21

ducto x1, obtendría beneficios positivos, porque el precio que están dispuestos a pagar los

consumidores es mayor que el coste medio en el que incurre la empresa al producir esta canti-

dad. Por tanto, los beneficios unitarios serían positivos (la diferencia entre el precio y el costemedio), y de ahí los beneficios totales.

Empleando un razonamiento semejante, si la empresa produce y vende el nivel de output

x2, entonces sus beneficios serían cero, porque el precio que están dispuestos a pagar los con-

sumidores coincide con el coste medio en el que incurre la empresa al producir esa cantidad

del bien. Por tanto, los beneficios unitarios serían cero, y de ahí los beneficios totales.

Y, por el mismo motivo, cuando la empresa produce y vende la cantidad de producto x3,

obtiene beneficios unitarios negativos (pérdidas), pues el precio que están dispuestos a pagar

los consumidores es menor que el coste medio de producción. Y, de ahí, los beneficios totales

también serían negativos, pues son el resultado de multiplicar los beneficios unitarios por la

cantidad de output de que se trate, en este caso x3.

Ejercicio 14.2. Demostrar que si la curva de demanda de una empresa es una curva

decreciente, entonces la correspondiente curva de ingresos marginales deberá

estar situada siempre por debajo de la primera; es decir, el ingreso marginal es

siempre inferior al precio que están dispuestos a pagar los consumidores

cuando la cantidad demandada por estos últimos es positiva, tal como aparece

en la Figura 14.2. ¿Qué sucedería si la curva de demanda de la empresa fuera

una línea recta horizontal, es decir, se tratara de una curva de demanda

perfectamente elástica?





Partamos de la expresión funcional del ingreso total de la empresa, que coincide con el

gasto en que incurren los consumidores cuando demandan a esa empresa la cantidad de pro-

ducto x que se trate:

( ) I x px

Donde a su vez el precio que están dispuestos a pagar los consumidores depende de la can-

tidad del bien que demandan a la empresa, dependencia que viene recogida por la curva inver-

sa de demanda de la empresa:

1( )e

D x

Derivemos ahora la función del ingreso total de la empresa con respecto a la cantidad de-

mandada x, para que podamos obtener la función del ingreso marginal de la empresa:

( )( )

dI x dp I x p x

dx dx

Basta interpretar ahora esta expresión: Cuando x=0, entonces el ingreso marginal coincide

siempre con el precio que están dispuestos a pagar los consumidores; por eso ambas curvassiempre coinciden cuando tocan el eje de ordenadas.

Curva de demanda de la

empresa

Curva del Ingreso Marginalde la empresa

p

I’

x

Figura 14.2





Pero cuando x>0, entonces el ingreso marginal es siempre inferior al precio que están dis-

puestos a pagar los consumidores, porque la pendiente de la curva inversa de demanda de la

empresa es finita y negativa, al ser esta última decreciente, como hemos supuesto de entrada.Por este motivo, la correspondiente curva del ingreso marginal siempre se sitúa por debajo de

la curva de demanda de la empresa cuando esta última es decreciente.

Ahora bien, supongamos que la curva de demanda de la empresa fuera una línea recta ho-

rizontal (que fuera perfectamente elástica), en lugar de una curva decreciente como habíamos

supuesto en un principio. En tal caso, como la pendiente dp/dx sería cero, entonces el ingreso

marginal siempre coincidiría con el precio que están dispuestos a pagar los consumidores,

cualquiera que fuere la cantidad demandada. Por lo que la curva del ingreso marginal de la

empresa coincidiría completamente con la curva de demanda de esta última.

Pero sabemos, además, que la curva inversa de demanda de la empresa es la curva del in-

greso medio de esta última, porque el precio que están dispuestos pagar los consumidores por

demandar una determinada cantidad de producto a la empresa es el ingreso medio que percibe

esta última al vender esa cantidad de producto.

Por lo que cuando el ingreso medio de la empresa es decreciente (curva de demanda de la

empresa decreciente, de pendiente negativa y finita), el ingreso marginal correspondiente

siempre debe ser inferior al ingreso medio, salvo cuando x=0 en que ambos coinciden. Y

cuando el ingreso medio es constante (curva de demanda de la empresa horizontal, perfecta-

mente elástica) entonces el ingreso marginal coincide siempre con el ingreso medio de la em-

presa.

Esta intuición puede demostrarse más rigurosamente del siguiente modo. Partiendo de la

expresión del ingreso medio de una empresa:

∗() =()

y derivando con respecto al nivel de producción x.

Tendremos:

∗

()

= ′

() − ()2

= ′

() − ∗

()





A partir de aquí se infiere que cuando el nivel de producción es positivo, si el ingreso me-

dio es decreciente a medida que aumenta el nivel de producción (la derivada anterior es nega-

tiva), entonces el ingreso marginal es forzosamente menor que el ingreso medio. Pero si elingreso medio es constante (la derivada anterior es igual a cero), entonces coincide con el

ingreso marginal, que, por tanto, también permanecería constante a medida que aumenta el

nivel de producción.

Ejercicio 14.3. Determinar en la Figura 14.3, donde aparecen la curva de ingresos

marginales y de costes marginales de una empresa, en cuál de los tres niveles

de producción señalados esta última maximiza el beneficio.

En primer lugar, para los niveles de producción x1 y x3, el ingreso marginal es igual al cos-

te marginal. Luego de entrada serían los dos posibles niveles de output maximizadores del

beneficio de la empresa. En cambio, para el nivel de producción x2, el ingreso marginal es

mayor que el coste marginal, luego a la empresa le interesa aumentar la cantidad producida,

pues con ello aumentarían sus beneficios.

Si tomamos ahora el nivel de producción x1, vemos que si aumentamos en una unidad la

cantidad producida y vendida, como el ingreso marginal es mayor que el coste marginal co-

rrespondiente a esa unidad adicional de producto, obtendríamos beneficios adicionales positi-

vos al producir y vender esa unidad adicional del producto. Luego el nivel de producción x1

no maximiza el beneficio de la empresa.

x1 x2 x3 x

I’

C’

Ingreso

marginal Coste

marginal

Figura 14.3





De hecho los beneficios de la empresa se verían incrementados si esta última produjera y

vendiera las unidades adicionales de producto que exceden de x1, hasta alcanzar el nivel de

output x3, pues para todas ellas el ingreso marginal es mayor que el coste marginal.

Si tomamos ahora el nivel de producción x3, vemos que si aumentamos en una unidad la

cantidad producida y vendida, como el ingreso marginal es menor que el coste marginal para

esa unidad adicional de producto, obtendríamos pérdidas al producir y vender esta última.

Luego los beneficios se verían reducidos con respecto a los obtenidos produciendo y vendien-

do la cantidad de producto x3. En consecuencia, el nivel de producción x3 maximiza el benefi-

cio de la empresa.

Ejercicio 14.4. Dada la curva de demanda de la empresa 1 2(36 ) p , obtener la

curva de ingresos marginales de esta última. Determinar la cantidad producida

y vendida, así como el precio correspondiente, que maximiza el ingreso de la

empresa. Determinar este ingreso máximo y la elasticidad de la curva de

demanda de la empresa en ese punto. Determinar el intervalo de variación de

los posibles niveles de producción maximizadores del beneficio de la empresa,

habida cuenta de que el coste marginal de obtener cualquier nivel deproducción por parte de esta última es siempre positivo.

La función de ingresos marginales de una empresa es la derivada de la función de ingresos

totales de esta última con respecto a la cantidad vendida x, que es demandada por los consu-

midores.

Por tanto, tenemos que obtener en primer lugar la función de ingresos totales de la empre-

sa en función de la cantidad demandada x y no en función del precio del bien. Con este objeto,debemos obtener previamente la función inversa de demanda de la empresa:

1 2(36 ) p 36 p 236 x

Por tanto, la función de ingresos totales de la empresa, como función de la cantidad de-

mandada x por parte de los consumidores, sería:

2 3

( ) (36 ) 36 I x px x x x x





Ahora podemos derivar esta función respecto de x para obtener la función del ingreso

marginal de la empresa:

2( ) 36 3 I x

I x xdx

Para que el ingreso total de la empresa sea máximo, la primera derivada de esta función, es

decir, el ingreso marginal, debe ser igual a cero, por lo que obtendremos:

2( ) 36 3 0 I x

I x xdx

x=3,46

Y efectivamente se trata de un máximo de la función del ingreso total, porque al obtener la

segunda derivada de esta función:

2

2

( )( ) 6

d I x I x x

dx

resulta que es negativa para cualquier cantidad demandada mayor que cero, por lo que la fun-

ción del ingreso total de la empresa es una curva cóncava.

El precio correspondiente que maximiza el ingreso total de la empresa lo obtenemos susti-

tuyendo en la función inversa de demanda de esta última el valor x=3,46:

236 x p=24,03

Y el ingreso máximo de la empresa que se nos pide, lo obtendríamos sustituyendo en la

función del ingreso total:

3(3,46) 36 3,46 3,46 83,14 I

La elasticidad de la curva de demanda de la empresa en este punto en que el ingreso total

es máximo, la obtendríamos del siguiente modo:

x p

dp x





Obtengamos en primer lugar la pendiente de la curva de demanda:

1 1

2

x

dp dp dx x

Por lo que introduciendo los valores particulares de precio y cantidad correspondientes al

ingreso máximo de la empresa en la expresión de la elasticidad, tendremos:

2 2

1 24, 031

2 2 2 3, 46

x p p p

dp x x x x

Esto no es ninguna sorpresa, pues ya sabíamos de antemano que cuando el ingreso margi-

nal es igual a cero, la elasticidad-precio de la curva de demanda, sea la curva de demanda del

mercado, de un consumidor o de una empresa, es igual a la unidad tomada en valor absoluto.

Por este motivo, nosotros también podíamos haber obtenido el precio o la cantidad de-

mandada que hacen que el ingreso total de la empresa alcance un máximo a partir de la fór-

mula de la elasticidad-precio:

2 2

361

2 2 2(36 )

p x p

x x p

Tendríamos entonces las dos ecuaciones siguientes:

2 236 2 x x 2

3 36 x x=3,46

2(36 ) p 3 72 p p=24

Finalmente, si el coste marginal de la empresa es siempre positivo, como el nivel de output

maximizador del beneficio requiere que el ingreso marginal sea igual al coste marginal, en-

tonces el ingreso marginal debe ser también positivo.

Recordando la función del ingreso marginal de la empresa:

2( )

( ) 36 3

dI x I x x

dx





Podemos concluir entonces que el nivel de producción maximizador del beneficio debe ser

x<3,46. Porque cuando x=3,46, entonces el ingreso marginal es cero; y cuando x>3,46, el in-

greso marginal es negativo.

Se deja al lector que compruebe que cuando x<3,46, la elasticidad-precio de la curva de

demanda de la empresa es mayor que uno en valor absoluto; y cuando x>3,46, esta elasticidad

es menor que uno.

Luego el nivel de output maximizador del beneficio siempre se sitúa en el tramo elástico

de la curva de demanda de la empresa cuando, como es normal, el coste marginal al que se

enfrenta esta última es positivo, algo que ya sabíamos de antemano.

Ejercicio 14.5. Dada la siguiente función de demanda de la empresa: 1kp , donde

k es un parámetro positivo. Obtener la función del ingreso marginal de la

empresa. ¿Existe algún nivel de producción maximizador del beneficio cuando

el coste marginal es siempre positivo para cualquier nivel de producción,

incluido x =0? ¿Qué ocurriría si el precio máximo que están dispuestos a pagar

los consumidores fuera p =20?

La curva de demanda de la empresa es una hipérbola equilátera de la forma:

x k

Esto quiere decir que el gasto del consumidor o consumidores, y, por tanto, el ingreso total

de la empresa, es constante siempre e igual a k , y, por tanto, no viene afectado por la variación

del precio o de la cantidad demandada por aquéllos.

En consecuencia, si una variación de la cantidad demandada a la empresa por los consu-

midores no afecta a los ingresos de esta última, que son siempre constantes, entonces es que el

ingreso marginal es siempre cero.

Para demostrarlo formalmente, obtengamos como de costumbre la curva inversa de de-

manda de la empresa:

kx





Por lo que la función del ingreso total de la empresa sería:

1( ) I x px kx x k

En consecuencia, la función del ingreso marginal, que es la derivada respecto de x, sería:

( )( ) 0

dI x I x

dx

Luego si el ingreso marginal es cero cualquiera que fuere la cantidad demandada por los

consumidores a la empresa, y el coste marginal es siempre positivo, cualquiera que fuere la

cantidad producida por esta última, entonces no existe en principio ningún nivel de produc-

ción positivo que sea maximizador del beneficio, en el que el ingreso marginal pueda ser igual

al coste marginal.

Por otra parte, como el ingreso marginal es siempre cero, esto nos indica que la elasticidad

de la curva de demanda de la empresa es siempre unitaria en valor absoluto cualquiera que

fuere la cantidad demandada por los consumidores. Algo que ya sabíamos de antemano, por-

que tal curva es una hipérbola equilátera. Por lo que no existe ningún tramo de la misma en elque tal elasticidad pueda ser mayor que uno, condición necesaria para que el ingreso marginal

sea igual al coste marginal positivo de la empresa.

Luego con esta curva de demanda de la empresa no existe en principio ningún nivel de

producción positivo maximizador del beneficio, porque el coste marginal es siempre mayor

que el ingreso marginal, por lo que a la empresa le interesa reducir el nivel de producción

haciéndolo tender continuamente a cero.

En tal caso, sus ingresos no se verían alterados mientras x>0 (siempre son iguales a k ), pe-

ro reduciría costes al reducir el nivel de producción, porque el coste marginal es siempre posi-

tivo; por lo que los beneficios de la empresa siempre aumentarían al hacer tender el nivel de

producción a cero, pero manteniéndolo positivo. Porque si la empresa no produce nada ( x=0),

entonces sus ingresos se convierten automáticamente en cero, porque la empresa no puede

cobrar un precio positivo a los consumidores sin venderles nada a cambio.

Luego a la empresa le interesaría producir un nivel de output positivo tendente a cero si el

coste marginal de la primera unidad producida, infinitamente pequeña, que coincide con el





coste variable medio, y, por tanto, con el coste variable de esa unidad de producto, no es ma-

yor que k , que son los ingresos que obtendría al venderla.

Ahora bien, si fuera así, nosotros no podemos determinar en sí el nivel de output maximi-

zador del beneficio, pues se trata de un nivel de producción positivo pero infinitamente pe-

queño: tendente a cero, pero sin ser cero.

Sólo habría un nivel de producción maximizador del beneficio, y sería cero, en el caso de

que a la empresa le interesara cerrar en lugar de producir un nivel de output positivo tendente

a cero del que venimos hablando. Esto es, cuando el coste marginal de la primera unidad pro-

ducida, infinitamente pequeña, fuera mayor que los ingresos que obtendría al venderla, que

serían k . Dado que, como hemos visto, el coste marginal de esa primera unidad coincide con

el coste variable, y, por tanto, se cumpliría la condición de cierre de la empresa en el corto

plazo.

NOTA: Lo que parece incoherente en los razonamientos anteriores es suponer que los

consumidores puedan demandar una cantidad infinitamente pequeña del bien de que se trate,

aunque sea perfectamente divisible (por ejemplo, una diezmillonésima de gramo de azúcar).

Lo lógico es que la unidad mínima del bien demandada por los consumidores sea finita. Con

lo que existirá un precio máximo que estarán dispuestos a pagar por ella cuando la función de

demanda es una hipérbola equilátera, como hemos supuesto. Esto es lo lógico.

Porque lo que un consumidor está dispuesto a pagar como máximo por una pequeña canti-

dad del bien, depende de sus preferencias, pero también de lo que puede pagar, es decir, de su

nivel de renta. Por lo que es lógico que el precio máximo que está dispuesto a pagar un con-

sumidor por la primera unidad suficientemente pequeña del bien sea un precio finito.

En tal caso, podría haber un nivel de producción maximizador del beneficio correspon-

diente a esta cantidad mínima, finita, que los consumidores están dispuestos a demandar a un

precio también finito, el máximo que están dispuestos a pagar (en nuestro caso sería 20 según

el enunciado, con lo que la cantidad mínima demandada sería k /20).

Sin embargo, el ingreso marginal (cero) seguiría siendo inferior al coste marginal (mayor

que cero), porque esto no cambia la elasticidad-precio de la curva de demanda que estamos





manejando. Se trataría, pues, de una excepción a la regla general que debe cumplirse para que

el beneficio sea máximo.

Esto hace que una hipérbola equilátera, como tal curva de demanda, no es está bien defini-

da en sí misma, si no se especifica un precio máximo que los consumidores están dispuestos a

pagar por la primera unidad del bien, al poder ser esta última infinitamente pequeña si el bien

es perfectamente divisible, y, por tanto, el precio que están dispuestos a pagar por ella los

consumidores infinitamente grande.

Por ello, al establecer un precio máximo dentro de la propia función de demanda que es-

tamos manejando (hipérbola equilátera), que los consumidores están dispuestos a pagar, como

es lo lógico, esto equivale a establecer una cantidad finita mínima que puedan demandar estos

últimos: no tiene sentido que los consumidores, sobre todo si son muchos, aunque ni tan si-

quiera un sólo consumidor, demanden una diezmillonésima de gramo de azúcar, por ejemplo.

En resumen, una hipérbola equilátera sólo está bien definida como función de demanda, de

un consumidor o de varios consumidores, cuando fijamos un precio máximo, finito, que estén

dispuestos a pagar estos últimos, y, por tanto, exista una cantidad mínima, también finita, que

estén dispuestos a demandar los consumidores del bien de que se trate, a una empresa particu-

lar o al conjunto de empresas que operan en el mercado. Y este nivel de producción mínimo

maximizaría el beneficio de la empresa, siempre que no le interesara cerrar.

Ejercicio 14.6. Dada la función de ingresos marginales de una empresa:

2( ) 36 3 I x x . Obtener la función de ingresos totales y la función de demanda

de la empresa.

Puesto que sabemos que la función de ingresos marginales es la derivada de la función de

los ingresos totales:

2( ) 36 3 I x

I x xdx

Podemos escribir:

( ) ( )dI x I x dx

( ) ( ) ( ) I x dI x I x dx

2 3( ) 36 3 36 I x x dx x x k





Es decir, la función del ingreso total es la integral indefinida de la función del ingreso

marginal, esto es, la función primitiva de esta última función.

La constante de integración k es obviamente igual a cero, porque cuando la cantidad de-

mandada por los consumidores, y vendida por la empresa, es cero, el ingreso total de ésta es

también cero (no puede obtener ingresos la empresa si no vende nada). Por lo que la función

del ingreso total resultante sería:

3( ) 36 x x x

Y la función de demanda de la empresa la podemos deducir de la propia definición del in-greso total, resultado de multiplicar el precio que están dispuestos a pagar los consumidores

por la cantidad demandada por estos últimos:

3( ) 36 x px x x

De donde obtendríamos la función inversa de demanda de la empresa, que, por otra parte,

sabemos que es la función de ingresos medios de esta última:

2( )36

I x x

x

Y a partir de aquí, despejando x en función de p, obtendríamos la función de demanda de

la empresa:

1 2(36 ) p

Como puede verse, hemos recorrido el camino inverso al seguido en el ejercicio 14.4.

Ejercicio 14.7. Dada la función de demanda de una empresa: 1 2(36 ) p , y la

función de costes totales de esta última: 2( ) 10 100C x x x . Determinar el

nivel de producción y el precio de equilibrio de la empresa en el corto plazo.

Determinar el beneficio máximo de la empresa.

El nivel de producción de equilibrio de una empresa cualquiera en el corto plazo es aquél

en el que esta última maximiza su beneficio. Con este motivo, la primera condición que debe





cumplirse es que, para ese nivel de producción, el ingreso marginal debe ser igual al coste

marginal.

La función del ingreso total e ingreso marginal ya la obtuvimos anteriormente, en el ejer-

cicio 14.4, así que no vamos a repetir aquí el procedimiento estándar utilizado en estos casos:

( ) 36 x x x 2( ) 36 3 I x x

Obtengamos ahora la función del coste marginal:

( )

( ) 2 10dC x

C x xdx

Igualemos ambas funciones para determinar el posible nivel de output maximizador del

beneficio:

236 3 2 10 x x 2

3 2 26 0 x x

De donde obtenemos como solución de esta ecuación de segundo grado: xe=2,63.

Comprobemos que se cumple la condición de segundo orden para la maximización del be-

neficio: ( ) 6 ( ) 2e e e

I x x C x . Es evidente que se cumple esta condición porque la curva

de ingresos marginales es decreciente y la curva de costes marginales es creciente.

Comprobemos ahora si se cumple o no la condición de cierre de la empresa. Para ello, en

primer lugar debemos determinar el precio al que la empresa puede vender el nivel de produc-

ción xe=2,63. Sustituyendo en la función de demanda de la empresa tendremos:

1 22, 63 (36 )e e

p 2, 63 36e

p 29,08e

Obtengamos ahora el coste variable medio en el que incurre la empresa, correspondiente al

nivel de producción xe=2,63:

2( ) 10v

C x x x * ( ) 10vv

C xC x x

x * (2,63) 2,63 10 12,63

vC





Puesto que se cumple que el precio al que puede vender la empresa es mayor que el coste

variable medio en que incurre produciendo xe=2,63 unidades de producto, entonces a la em-

presa no le interesa cerrar sino lanzar al mercado este volumen de producción, que maximizasu beneficio. Se trata, pues, del nivel de producción de equilibrio de la empresa en el corto

plazo.

Calculemos ahora el beneficio de la empresa cuando produce y vende el nivel de output

xe=2,63. Para ello tendremos que calcular los correspondientes ingresos totales que obtiene la

empresa y los costes totales en los que incurre:

3( ) 36 x x x 3(2,63) 36 2,63 2,63 76,49

2( ) 10 100C x x x 2(2,63) 2,63 10 2,63 100 133,22C

Luego la empresa obtiene pérdidas (beneficios negativos):

( ) ( ) ( ) B x I x C x (2,63) (2,63) (2,63) 76,49 133,22 56,73 B I C

Y aun así le interesa mantenerse operativa, pues sus pérdidas son inferiores a los costes fi-

jos de la empresa (100), que es el importe que esta última perdería si cerrara:

(0) (0) (0) 0 100 100 B I C

Ejercicio 14.8. De acuerdo con los datos del ejercicio anterior, ¿el nivel de

producción obtenido x =2,63 puede ser de equilibrio para la empresa en el largo

plazo? Si no fuera así, ¿existe algún nivel de producción para el cual la

empresa pueda alcanzar una situación de equilibrio en el largo plazo con los

datos del enunciado? Si no fuera así, ¿qué puede hacer la empresa para

mantenerse operativa en el largo plazo?

El nivel de producción x=2,63 en el que los beneficios de la empresa son -56,73, es de

equilibrio para la empresa en el corto plazo, pero no puede serlo de ningún modo en el largo

plazo. Porque la condición que debe cumplirse para esto último es que la empresa no obtenga

pérdidas (que obtenga beneficios no-negativos), pues, en caso contrario, le interesaría no per-

manecer en el mercado y desaparecer como empresa, sin incurrir en ningún coste fijo por ello.





Hemos visto que partiendo de la función de demanda de la empresa y de su función de

costes totales, el nivel de producción x=2,63 maximiza su beneficio, y aun así la empresa ob-

tiene pérdidas. Luego es imposible que la empresa pueda alcanzar una situación de equilibrioa largo plazo con los datos del enunciado. En otras palabras, con estos datos no existe ningún

nivel de producción de equilibrio a largo plazo para la empresa que pueda alcanzar.

Luego la empresa podría soportar pérdidas a corto plazo permaneciendo operativa, dado

que perdería más si cerrara (el importe de los costes fijos). Pero estas pérdidas no son sopor-

tables en el largo plazo, pues, de seguir así, le interesaría desinstalarse y liquidar la empresa,

saliendo así definitivamente del mercado.

Luego si la empresa quiere continuar con su actividad, en el largo plazo deberá obtener

beneficios no-negativos (cero o positivos), y para ello tendrá que:

a)

Adaptar su tamaño para reducir costes: desplazamiento hacia abajo de su función

de costes totales (para todos o algunos niveles de producción los costes totales se-

rían ahora menores).

b)

Y/o tratar de ampliar la demanda del producto encontrando nuevos o mejores

clientes: desplazamiento hacia la derecha de la función de demanda de la empresa

(para el mismo precio ahora la cantidad demandada es mayor por parte de los con-

sumidores, porque su número ha aumentado o lo ha hecho su nivel de renta, o por-

que el producto se ha hecho más atractivo para ellos).

De esta forma, la empresa podría aprovechar las economías de escala, reduciendo el coste

medio de producción al aumentar la cantidad producida, siempre que pueda venderla en el

mercado a un precio positivo, que sea rentable para la empresa, y, a la vez, atractivo para los

consumidores. Porque ahora la cantidad demandada por estos últimos es mayor para cada

precio, y, por tanto, ha aumentado la dimensión del mercado al que se enfrenta la empresa.

En resumen, para que la empresa del enunciado pueda adaptarse y sobrevivir en el largo

plazo, debe cambiar la función de costes y/o la función de demanda del enunciado, con objeto

de que la empresa pueda encontrar un nivel de producción maximizador del beneficio que le

reporte beneficios no-negativos. Si no fuera así, la empresa terminaría desinstalándose en el

largo plazo, y, por tanto, desaparecería del mercado.





Ejercicio 14.9. Una empresa con la siguiente función de costes totales: 10 1C x x ,

tiene la siguiente función de demanda: 15 p . Determinar los niveles de

producción y los precios correspondientes que permiten a la empresa obtenerun beneficio igual a cero. Determinar el nivel de producción y el precio

correspondiente que maximiza el beneficio de la empresa. Determinar este

nivel de beneficio.

Si el beneficio igual a cero, es que la cantidad producida por la empresa lleva asociado un

coste medio de producción que es exactamente igual al precio que los consumidores están

dispuestos a pagar por demandar aquélla, o, lo que es lo mismo, el precio al que la empresa

puede vender a estos últimos la citada cantidad de producto.

Obtengamos, por tanto, la función del coste medio de la empresa:

1*( ) 10

C xC x

x x

Obtengamos la curva inversa de demanda de la empresa:

15 x

Lógicamente, el beneficio de la empresa es cero cuando el beneficio unitario es también

cero, es decir, cuando el coste medio de producción es igual al precio al que la empresa puede

vender la cantidad de producto de que se trate. Y esto, como es obvio, tiene lugar cuando la

curva de costes medios de la empresa coincide con la curva inversa de demanda de esta últi-

ma.

Por tanto, para que los beneficios sean cero, deberá cumplirse:

115 *( ) 10 x C x

x

115 10 x

x

De donde se obtiene la siguiente ecuación de segundo grado:

2 5 1 0 x

Cuyas soluciones son: x1=4,79, x2=0,21.





Los precios correspondientes a los que la empresa puede vender sendas cantidades de pro-

ducto los podemos determinar a partir de la función inversa de demanda:

15 x 1

15 4,79 10,21 2

15 0,21 14,79

También podíamos haber obtenido los niveles de output que hacen que el beneficio de la

empresa sea igual a cero, igualando a cero la función de beneficios, como diferencia entre la

función de ingresos totales y costes totales.

Efectivamente, la función de ingresos totales de la empresa sería:

2( ) 15 15 I x px x x x x

Y, por tanto, la función de beneficios sería:

2 2( ) ( ) ( ) 15 10 1 5 1 B x I x C x x x x x x

Igualándola a cero, obtendríamos la misma ecuación que obtuvimos anteriormente, a partir

de la cual pudimos determinar los niveles de output a los que corresponde un beneficio igual a

cero:

2 5 1 0 x

Vamos ahora a determinar el nivel de producción que maximiza el beneficio de la empre-

sa, empleando, como es lógico, el procedimiento desarrollado en el ejercicio 14.7.

La condición de primer orden para que el beneficio sea máximo es que el ingreso marginal

sea igual al coste marginal.

Obtengamos primero la función del ingreso marginal a partir de la función del ingreso to-

tal que ya obtuvimos anteriormente:

( ) 15 2 I x

I x xdx

Obtengamos en segundo lugar la función de costes marginales de la empresa:





( ) 10C x

C xdx

La condición de primer orden para la maximización del beneficio conlleva lógicamente la

siguiente igualdad:

15 2 10 x x M =2,5

Y sustituyendo en la función inversa de demanda, obtendremos el precio correspondiente

al que puede vender la empresa esta cantidad de producto:

15 x 15 2, 5 12, 5 M

Por otra parte, se cumple la condición de segundo orden para la maximización del benefi-

cio:

( ) 2 ( ) 0 M M

I x C x

No es necesario comprobar si se cumple o no la condición de cierre, pues hemos visto que

la empresa es capaz de obtener un beneficio igual a cero para ciertos niveles de producción,

por lo que el beneficio máximo no puede ser nunca negativo. Por este motivo, a la empresa no

puede interesarle nunca cerrar, porque si lo hiciera, entonces obtendría unas pérdidas de 1,

que es el importe de los costes fijos:

(0) (0) (0) 0 1 1 B I C

Determinemos ahora este beneficio máximo de la empresa como la diferencia entre los in-

gresos totales y costes totales asociados al nivel de producción que estamos considerando:

2( ) 15 I x x x (2, 5) 15 2, 5 2, 5 31, 25

( ) 10 1C x x (2, 5) 10 2, 5 1 26C

( ) ( ) ( ) B x I x C x (2, 5) (2, 5) (2, 5) 31, 25 26 5, 25 B I C





Para concluir, hemos visto que el beneficio de la empresa es cero cuando produce 0,21

unidades, alcanza un máximo cuando produce 2,5 unidades, y vuelve a ser cero cuando pro-

duce 4,79 unidades.

Por tanto, todos los niveles de producción comprendidos entre 0,21 y 4,79 podrían ser de

equilibrio a largo plazo para la empresa, pues con ellos esta última obtiene beneficios no-

negativos. Lógicamente el nivel de producción de 2,5 unidades es de equilibrio a corto plazo,

y puede ser de equilibrio largo plazo para la empresa, pues esta última no sólo maximiza su

beneficio, sino que además éste es no-negativo.

NOTA: Para obtener el nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa no

tenemos necesariamente que seguir el camino empleado hasta ahora de igualar el ingreso

marginal al coste marginal. Podemos maximizar directamente la función de beneficios, obte-

nida esta última como diferencia entre la función de ingresos totales y costes totales.

Efectivamente, la función de beneficios sería la siguiente:

2 2( ) ( ) ( ) 15 10 1 5 1 B x I x C x x x x x x

Como condición necesaria para que el beneficio sea máximo, la primera derivada de esta

función debe ser igual a cero:

5 2 0 B x

xdx

De donde resulta x M =2,5, lo mismo que obtuvimos anteriormente.

Naturalmente, se cumple la condición de segundo orden para la maximización del benefi-

cio:

2

2

( )2

d B x

dx

Como puede verse, la función de beneficios es cóncava, porque su segunda derivada es

negativa; por lo que efectivamente se trata de un máximo de esta función.

Sustituyendo en la función de beneficios obtenemos el beneficio máximo:





2(2, 5) 5 2, 5 2, 5 1 5, 25 B

Lo mismo que obtuvimos anteriormente.




CAPÍTULO 15.- COMPETENCIA PERFECTA: EQUILIBRIO

EN EL CORTO PLAZO

Ejercicio 15.1. Determinar la función de demanda a la que se enfrenta cualquiera de

las empresas que operan dentro de un mercado perfectamente competitivo, en

el que la curva de oferta agregada de la industria es: 400 p , y la curva de

demanda agregada es: 4.400 p . Obtener la curva del ingreso medio y del

ingreso marginal de una cualquiera de las empresas de la industria.

Lógicamente, el equilibrio del mercado tiene lugar cuando la oferta agregada es igual a la

demanda agregada:

400 4.400e e

p p

De donde se obtiene que el precio de equilibrio es pe=2.000 y la cantidad intercambiada es

X e=2.400 (ofrecida por el conjunto de empresas de la industria y demandada por los consumi-

dores).

En consecuencia, la curva de demanda a la que se enfrenta cualquiera de las empresas que

operan dentro de la industria, al ser todas ellas precio-aceptantes, no sería la curva de deman-

da del mercado de más arriba, sino, como sabemos, una línea recta horizontal cuya ordenada

en el origen es el precio de equilibrio del mercado: p=2.000.

Ésta sería la expresión funcional de la línea recta horizontal a la que nos estamos refirien-

do, lo que puede interpretarse como que cualquiera que sea la cantidad producida por la em-

presa, puede venderla siempre al mismo precio (2.000). Dado que la cantidad máxima que

puede producir una empresa es insignificante en relación con la oferta total de la industria.

Por lo que al alterar la empresa la cantidad ofrecida, ello no afecta al precio de equilibrio del

mercado, que es un dato para esta última. Una empresa competitiva aislada no se enfrenta ella

sola a la curva de demanda del mercado. Es el conjunto de empresas competitivas el que abas-

tece la demanda del mercado.




CAPÍTULO 15 Competencia perfecta: equilibrio en el corto plazo 2/16

Lógicamente, como también sabemos, la curva del ingreso medio y del ingreso marginal

de una empresa competitiva coincide con la curva de demanda a la que se enfrenta la empresa,

que en este caso sería p=2.000.

Ejercicio 15.2. Una empresa que opera en un mercado perfectamente competitivo

tiene la siguiente función de costes: 3 2( ) 8 48 96 200C x x x x . Obtener su

curva de oferta. Obtener la elasticidad de la curva de oferta cuando el precio de

mercado es 216.

Nosotros sabemos que la curva de oferta de una empresa competitiva es su curva de costes

marginales, en su tramo creciente, situado por encima de la correspondiente curva del costevariable medio.

Obtengamos, pues, la curva de costes marginales y la curva del coste variable medio de la

empresa en cuestión:

2( ) 24 96 96C x

C x x xdx

3 2

* 2( ) 8 48 96( ) 8 48 96v

v

C x x x xC x x x

x x

Sabemos que el coste marginal coincide con el coste variable medio cuando éste último

alcanza su valor mínimo, para el nivel de producción denominado Mínimo de Explotación.

Por tanto, para obtener este último, bien podemos igualar ambas funciones de costes y obtener

el nivel de output correspondiente, bien podemos obtener el mínimo de la curva del coste va-

riable medio, igualando su primera derivada a cero.

Empleemos este segundo método:

* ( )16 48 0v

dC x x

dx x=3

Efectivamente, se trata de un mínimo de la función del coste variable medio, porque su se-

gunda derivada es positiva (la función es convexa):

2

( )16v

d C x

dx





Por otra parte, el lector puede comprobar que el coste variable medio y el coste marginal

coinciden para este nivel de producción, que es el Mínimo de Explotación:

*(3) (3) 24v

C C

En consecuencia, la curva de oferta de la empresa competitiva que nos ocupa resultaría de

la igualdad entre el precio y el coste marginal, cuando este último es creciente y mayor o igual

que el coste variable medio; puesto que si fuera menor, se cumpliría la condición de cierre de

la empresa.

Por tanto, la curva de oferta de la empresa adoptaría la siguiente expresión formal:

a)

2( ) 24 96 96C x x x para 3 , y, por tanto, 24 .

b) x=0 para p<24 (coincidiría con el eje de ordenadas).

Naturalmente, la primera se trata de una curva de oferta creciente porque la curva de cos-

tes marginales es creciente, sin más que comprobar que su primera derivada es positiva para

niveles de producción no inferiores a 3, y, por tanto, para precios de mercado no inferiores a

24:

( )48 96

dp dC x x

dx dx

Esta derivada es positiva, y por tanto la función de oferta es creciente, para valores x>2.

Obtengamos ahora la expresión funcional de la elasticidad de la curva de oferta:

dx p

dp x

En primer lugar, obtengamos la pendiente de la curva de oferta dx dp . Lo más fácil es re-

tomar dp dx , obtenida más arriba, e invertir la fracción:

1

48 96

x

dp x

Por lo que sustituyendo en la fórmula de la elasticidad, tendremos:





1 24 96 96 24 96 96

48 96 (48 96)

x x x x

x x x x

Puesto que cuando p=216, la cantidad ofrecida por la empresa es x=5, resultante de resol-

ver la siguiente ecuación de segundo grado:

2216 24 96 96 x x

224 96 120 0 x x

Entonces, sustituyendo en la expresión de la elasticidad, resultará: 0,30 .

Ejercicio 15.3. Una empresa opera en un mercado de perfectamente competitivo,

con la siguiente curva de costes marginales: 2( ) 6 24 40C x x x , donde x es la

cantidad producida. Determinar el precio de mercado y la cantidad ofrecida por

la empresa para los cuales a esta última le resulta indiferente producir ese

nivel de output o cerrar.

Como resulta evidente, se nos está pidiendo que obtengamos el Mínimo de Explotación de

la empresa, y el coste variable medio mínimo correspondiente, que sería el precio al que la

empresa le es indiferente producir ese output mínimo o cerrar.

En consecuencia, lo primero que tenemos que obtener es la curva del coste variable como

la función primitiva de la función del coste marginal:

( )( ) v

dC xC x

dx

2 3 2

( ) ( ) ( ) (6 24 40) 2 12 40v vC x dC x dC x dx x x dx x x x k

donde k =0 es una constante de integración, puesto que el coste variable es cero cuando la can-

tidad producida es cero.

Por tanto, la función del coste variable medio sería:

3 2* 2( ) 2 12 40

( ) 2 12 40vv

C x x x xC x x x

x x





Luego para obtener el Mínimo de Explotación de esta empresa, podemos igualar las fun-

ciones del coste variable medio y del coste marginal, o bien, podemos minimizar la función

del coste variable medio, calculando su primera derivada e igualándola a cero.

Procedamos de este segundo modo:

* ( )4 12 0v

dC x x

dx x=3

Efectivamente, se trata de un mínimo de la función del coste variable medio, porque su se-

gunda derivada es positiva (la función es convexa):

2 *

2

( )4v

d C x

dx

Por otra parte, el lector puede comprobar que el coste variable medio y el coste marginal

coinciden para este nivel de producción, que es el Mínimo de Explotación:

(3) (3) 22v

C C

Luego p=22 es el precio al que la empresa le resulta indiferente producir x=3 o cerrar.

Ejercicio 15.4. Consideremos una empresa perfectamente competitiva con la

siguiente función de costes totales, donde x es la cantidad producida:

2( ) 9 108 324C x x x . Determinar el precio de mercado y la cantidad ofrecida

por la empresa para los cuales esta última obtiene un beneficio igual a cero.

Como resulta evidente, se nos está pidiendo que obtengamos el Óptimo de Explotación de

la empresa, y el coste medio mínimo correspondiente, que sería el precio al que la empresa

obtendría un beneficio igual a cero.

Obtengamos en primer lugar la función del coste medio:

* 324( ) 9 108

C xC x x

x x

En segundo lugar, la función del coste marginal:





( ) 18 108C x

C x xdx

Lógicamente, el Óptimo de Explotación se alcanza cuando el coste medio es mínimo, y és-

te coincide, como sabemos, con el coste marginal. Por tanto, para obtener el óptimo de explo-

tación, bien podemos igualar ambas funciones de costes, o bien podemos minimizar la fun-

ción del coste medio, calculando su primera derivada e igualándola a cero:

*

2

( ) 3249 0

dC x

dx x

De donde resulta x=6.

Se trata efectivamente de un mínimo de la función del coste medio, porque al obtener la

segunda derivada:

2 *

2 3

( ) 6480

d C x

dx x

resulta que es positiva, luego la función del coste medio es una curva convexa.

Por otra parte, el lector puede comprobar que el coste medio y el coste marginal coinciden

para este nivel de producción:

*(6) (6) 216C C

Luego p=216 es el precio con el que la empresa obtendría un beneficio igual a cero ofre-

ciendo la cantidad x=6.

Ejercicio 15.5. En un mercado competitivo operan n empresas iguales, con la

siguiente curva de costes marginales ( )C x a bx correspondiente a una

cualquiera de estas empresas (donde a y b son parámetros positivos). Obtener

la curva de oferta de la industria.

Como puede verse la curva de costes marginales es una línea recta creciente, de pendiente

b y ordenada en el origen a.





Lógicamente, la curva del coste variable sería la primitiva de la función anterior:

2

( ) ( ) 2v

b

C x C x dx a bx dx ax x

puesto que la constante de integración es cero.

La función del coste variable medio sería:

* ( )( )

2

v

v

C x bC x a x

x

En este caso, el coste variable medio mínimo tiene lugar cuando x=0, que sería el Mínimo

de Explotación, y coincidiría con el coste marginal que es a.

Obtengamos la curva de oferta a corto plazo de una empresa cualquiera. Para ello partimos

de la igualdad entre precio de mercado y el coste marginal:

( )C x a bx

A partir de aquí, despejando x, obtenemos la curva de oferta:

1a p

b b

Lo cual implica que cuando p=a la cantidad ofrecida es cero, que es el Mínimo de Explo-

tación de esta empresa. Y sigue siendo cero la cantidad ofrecida para precios inferiores a a.

¿Cuál sería la curva de oferta de la industria?

Supongamos que X sea la cantidad ofrecida por las n empresas, todas iguales, es decir, con

la misma curva de costes marginales. Por definición, tendremos:

1

n

i

i

x

1

i

a p

b b

donde xi es la cantidad ofrecida por la empresa i-ésima.





Por tanto, la curva de oferta de la industria sería:

an n

pb b

Es fácil observar que la pendiente dp/dX de esta curva de oferta:

X n

dp b

p

dX n

tiende a cero a medida que aumenta el número de empresas.

Por lo que la curva de oferta de la industria tiende a ser completamente horizontal, es de-

cir, perfectamente elástica (al representar el precio en el eje de ordenadas), a medida que au-

menta el número de empresas que integran la industria, a pesar de que la curva de oferta de

cada una ellas sea una curva creciente.

Esto tiene sentido. Pues un determinado aumento del precio de mercado da lugar a un in-

cremento tanto mayor en la cantidad ofrecida por el conjunto de empresas establecidas en la

industria, cuando permitimos que aumente el número de empresas mediante la instalación de

otras nuevas. Porque si el número de empresas está dado, como sucede en el análisis de corto

plazo, el incremento de la cantidad producida será menor (por las limitaciones impuestas por

la capacidad productiva instalada) que si nuevas empresas se instalan en la industria, contri-

buyendo a aumentar la cantidad ofrecida en el mercado, debido a un incremento de la capaci-

dad productiva instalada en la industria, que sólo puede tener lugar dentro de un análisis de

largo plazo.

Por este motivo, la curva de oferta de la industria es más elástica en el largo plazo que en

el corto plazo, pues en el primer caso puede haber instalación de nuevas empresas que aumen-

ten la cantidad ofrecida en mayor medida ante un aumento del precio del bien; pero en el se-

gundo caso el número de empresas está dado, y, por tanto, el incremento de la cantidad ofre-

cida en las mismas circunstancias tendría lugar en una proporción menor.





Ejercicio 15.6. En un mercado perfectamente competitivo, en el que la curva de

oferta agregada de la industria es: 608 p , y la curva de demanda agregada

es: 800 p , operan, entre otras, tres empresas con las siguientes curvas decostes totales: 2

1 1 1 1( ) 4 64 64C x x x , 2

2 2 2 2( ) 36 324C x x x y

2

3 3 3 3( ) 16 32 144C x x x . Determinar en el equilibrio del mercado, el beneficio

que obtiene cada una de las empresas y la cantidad producida por cada una de

ellas.

Lógicamente, el equilibrio del mercado tiene lugar cuando la oferta agregada es igual a la

demanda agregada:

608 800 p p

De donde se obtiene que el precio de equilibrio es p=96 y la cantidad intercambiada es

X =704, ofrecida por el conjunto de empresas que operan en la industria y demandada por el

conjunto de consumidores.

Para determinar la cantidad ofrecida por cada una de las empresas del enunciado, en pri-

mer lugar debemos obtener las correspondientes curvas de oferta, es decir, sus respectivas

curvas de costes marginales:

1 1 1( ) 8 64C x x 2 2 2( ) 2 36C x x

3 3 3( ) 32 32C x x

Por tanto, para el precio de equilibrio del mercado, la cantidad ofrecida en principio por

cada una de las empresas, que maximiza su beneficio respectivo, se obtiene de la igualdad

entre ese precio de equilibrio del mercado y el coste marginal correspondiente:

1 1 196 ( ) 8 64C x x x1=4

2 2 296 ( ) 2 36C x x x2=30

3 3 396 ( ) 32 32C x x x3=2





Esto es debido a que las empresas en competencia perfecta son precio-aceptantes, es decir,

toman como dado el precio de equilibrio del mercado, de modo de cada una de ellas no tiene

ninguna influencia sobre él al variar por su cuenta la cantidad ofrecida.

Calculemos el beneficio obtenido por cada una de las empresas:

1 1 14 4 4 96 4 384 0 B I C

2 2 230 30 30 96 30 2.304 576 B I C

3 3 3(2) (2) (2) 96 2 272 80 B I C

En resumen, todas las empresas venden las respectivas cantidades producidas al mismo

precio de mercado (96), obteniendo los correspondientes ingresos. La primera obtiene benefi-

cios cero, la segunda beneficios positivos, y la tercera, pérdidas al producir un nivel de output

de 2.

Lógicamente, sólo en este último caso es pertinente contemplar la posibilidad de que esta

última empresa cierre.

Con este objeto, lo que tenemos que hacer es calcular las pérdidas que tendría la tercera

empresa si cerrara. Serían 144, el importe de los costes fijos:

3 3 30 0 0 96 0 144 144 B I C

Luego a la tercera empresa le interesa producir un output de 2 en lugar de cerrar, pues las

pérdidas en el primer caso son menores que en el segundo.

No obstante, como ejercicio, el lector puede comprobar que el Mínimo de Explotación de

cada una de las empresas se corresponde con x=0, al ser las respectivas curvas de costes va-

riables medios y costes marginales crecientes, con un mínimo, por tanto, para este nivel de

output.

Y como además sabemos que para ese nivel de producción el coste marginal y el coste va-

riable medio coinciden. Calculando el coste marginal correspondiente a x=0 para cada una de





las empresas, podemos determinar el precio correspondiente a partir del cual cada una de ellas

puede ofrecer un nivel de producción positivo:

*

1 1(0) (0) 64

vC C *

2 2(0) (0) 36

vC C *

3 3(0) (0) 32vC C

Como el precio de equilibrio del mercado es 96, lógicamente a las tres empresas les intere-

sa ofrecer un nivel de producción positivo, es decir, a ninguna empresa le interesa cerrar; por-

que el precio de mercado al que pueden vender es mayor que el respectivo coste variable me-

dio en el que incurren.

Puede observarse también, que el coste marginal en el que incurre cada una de las empre-sas al producir el correspondiente nivel de output maximizador del beneficio es el mismo,

pues coincide con el precio de equilibrio del mercado. Pero la cantidad producida por cada

una de ellas es diferente, porque las tres empresas no son iguales, dado que tienen diferentes

curvas de costes marginales.

Efectivamente, tomemos la tercera empresa. Con un nivel de producción de 2 incurre en

unos costes marginales iguales a 96, que coinciden con el precio de equilibrio del mercado.

Pero la primera empresa, con el mismo nivel de producción, incurre en unos costes margina-

les iguales a 80. Luego no se encuentra en equilibrio. Debe incrementar su nivel de produc-

ción hasta 4 para alcanzar un coste marginal exactamente igual a 96, y que coincida, pues, con

el precio de equilibrio del mercado. Y lo mismo podría argumentarse con la segunda empresa,

cuyo nivel de producción de equilibrio es 30.

Con lo que las dos primeras empresas, con menores costes marginales para el nivel de

producción x=2, producen más en el equilibrio del mercado que la tercera empresa. Por elmismo razonamiento, la segunda empresa, con menores costes marginales para x=4 que la

primera empresa, produce más en el equilibrio del mercado que esta última.

En otras palabras, las empresas más eficientes producen un nivel de output mayor que las

empresas menos eficientes en el equilibrio de un mercado perfectamente competitivo, a pesar

de que incurran en los mismos costes marginales en el punto de equilibrio.





Ejercicio 15.7. En un mercado de competencia perfecta, donde operan 800

empresas, todas iguales, con la siguiente curva de costes totales por parte de

una cualquiera de ellas:2

( ) 4 2 8C x x x . La curva de demanda agregada de laindustria es: 400 300 p . Determinar el precio de equilibrio del mercado, la

cantidad ofrecida por cada una de las empresas y el beneficio total de la

industria.

Para obtener el precio de equilibrio del mercado debemos determinar la curva de oferta

agregada de la industria, por lo que en primer lugar debemos obtener la curva de oferta de una

cualquiera de las empresas, que es en principio su curva de costes marginales:

( )( ) 8 2

dC xC x x

dx

Despejando, la curva de oferta de la empresa i-ésima sería:

1 1

4 8i

p

Puede comprobarse que el coste variable medio alcanza su mínimo para x=0 y coincide

con el coste marginal, que es 2. Por tanto, p=2 es el precio al que a la empresa le es indiferen-

te ofrecer una cantidad positiva o cerrar. Pero cuando p=2, la cantidad ofrecida por la empresa

es también cero. Por lo que a precios inferiores, la cantidad ofrecida por esta última seguiría

siendo cero.

Con lo que la curva de oferta agregada de la industria, al ser todas las empresas iguales,

adoptaría la siguiente forma:

∑

= 800(−1

4 +18 ) −200 + 100

2

Veamos ahora el precio de equilibrio del mercado, resultante de la igualdad entre oferta y

demanda agregada en la industria:

200 100 400 300 p p pe=1,5





Luego a este precio, a todas las empresas les interesa cerrar, con lo que el nivel de output

en la industria en su conjunto sería cero.

¿Cuál sería el beneficio de la empresa i-ésima? Lógicamente, si permanece cerrada obten-

dría una pérdida equivalente al importe de sus costes fijos, que son 8:

0 0 0 0 8 8i i i

B I C

Por lo que las pérdidas totales de la industria serían: 8 800 6.400 .

Ejercicio 15.8. En un mercado de competencia perfecta, con la siguiente función de

demanda agregada: 2.250 625 p , operan dos grupos de empresas. Hay

3.000 con la siguiente función de costes totales por parte de una cualquiera de

ellas: 2

1 1 1 1( ) 4 2 8C x x x , y 2.000 con la siguiente: 2

2 2 2 2( ) 8 4 16C x x x .

Determinar el precio de equilibrio del mercado y los beneficios de cada grupo

de empresas.

Para obtener el precio de equilibrio del mercado debemos determinar la curva de oferta

agregada de la industria, por lo que en primer lugar debemos obtener la curva de oferta de unacualquiera de las empresas de cada grupo, que es en principio su curva de costes marginales:

11 1 1

1

( ) 8 2C x

C x xdx

22 2 2

2

( )( ) 16 4

dC xC x x

dx

Despejando, la curva de oferta de una empresa cualquiera de cada grupo sería respectiva-

mente:

1

1 1

4 8 p

2

1 1

4 16 p

Puede comprobarse que el coste variable medio alcanza su mínimo cuando el nivel de

producción es cero en ambos casos, y coincide con el coste marginal correspondiente, que esrespectivamente 2 y 4. Por tanto, p=2 y p=4 son, respectivamente, el precio mínimo al que a





la empresa de cada grupo le es indiferente ofrecer una cantidad positiva o cerrar. Pero cuando

p=2 o p=4, respectivamente, la cantidad ofrecida por la empresa de cada grupo es también

cero. Por lo que a precios inferiores la cantidad ofrecida seguiría siendo cero en ambos casos.

Con lo que la curva de oferta agregada para el primer grupo de empresas, adoptaría la si-

guiente forma:

1 1

1 13.000 3.000 750 375

4 8 x p p

2

Y para el segundo grupo de empresas sería la siguiente:

2 1

1 12.000 2.000 500 125

4 16 x p p

4

En consecuencia, para que ambos grupos de empresas ofrezcan una cantidad positiva en el

mercado, el precio de equilibrio no puede ser nunca igual o menor que 4. Si fuera así, sólo

ofrecería una cantidad positiva el primer grupo de empresas, y, por tanto, la curva de oferta

agregada de la industria coincidiría con la de este grupo, siempre que el precio de equilibriodel mercado no fuera igual o menor que 2. Pues en ese caso, ni siquiera el primer grupo de

empresas ofrecería una cantidad positiva.

Por todo ello, la curva de oferta agregada de la industria en su conjunto quedaría bien de-

finida del siguiente modo:

a) X =0 cuando 0 2 p .

b)

1 750 375 X p cuando 4 2 p . Sólo ofrece el primer grupo de empre-

sas, el segundo grupo de empresas cierra.

c) 1 2

750 375 500 125 1.250 500 X X p p p cuando 4 . Ambos

grupos de empresas ofrecen, aunque el segundo sólo ofrece una cantidad positiva

cuando el precio de mercado es mayor que 4.

Luego, dada la curva de demanda del mercado, es decir, referida a toda la industria, vamos

a probar con la tercera curva de oferta a ver qué precio de equilibrio resulta:





1.250 500 2.250 625 p p p=3,11

Con este precio el segundo grupo de empresas no ofrecería nada (todas las empresas de es-

te grupo cerrarían); por tanto, este precio de equilibrio resulta inconsistente con la curva de

oferta manejada.

El verdadero precio de equilibrio del mercado sólo podrá obtenerse con la curva de oferta

de la industria referida al primer grupo de empresas:

750 375 2.250 625 p p pe=3

Éste será, pues, el precio de equilibrio del mercado, que es consistente con las curvas de

oferta y demanda manejadas. Y la cantidad total demandada por los consumidores será:

X e=375, ofrecida en su totalidad por el primer grupo de empresas. Por lo que la cantidad ofre-

cida por una cualquiera de ellas sería:

1

3750,13

3.000e

Resultado que nosotros también podíamos haber obtenido a partir de la curva de oferta de

una empresa del primer grupo (la correspondiente curva de costes marginales), introduciendo

el precio de equilibrio del mercado:

1 1 13 ( ) 8 2C x x 1 0,13

e

Determinemos ahora el beneficio de una de las empresas de este grupo:

2

1 1 1(0,13) (0,13) (0,13) 0,13 3 4 0,13 2 0,13 8 0, 39 8, 33 7, 94 B I C

Luego la pérdida total soportada por el primer grupo de empresas sería:

3.000 7, 94 23.820





Como las empresas del segundo grupo cerrarían, sus pérdidas equivaldrían al importe de

los costes fijos correspondientes. Las pérdidas de una cualquiera de las empresas del segundo

grupo serían:

2 2 2(0) (0) (0) 0 16 16 B I C

Y las pérdidas del conjunto de empresas de este segundo grupo serían:

2.000 16 32.000

Por lo que las pérdidas totales en la industria resultan ser:

23.820 32.000 55.820




CAPÍTULO 16.- COMPETENCIA PERFECTA: EQUILIBRIO

EN EL LARGO PLAZO

Ejercicio 16.1. Una empresa que opera en un mercado perfectamente competitivo,

que se encuentra en una situación de equilibrio en el largo plazo, tiene la

siguiente función de costes: 2( ) 2 4 200C x x x . Determinar el precio de

equilibrio en el largo plazo y la cantidad producida por la empresa. Si la curva

de demanda de la industria o mercado es: 10.440 10 p . Determinar la

cantidad ofrecida por el conjunto de empresas de la industria y demandada por

los consumidores, así como el número de empresas que tienen cabida en la

industria en el equilibrio del largo plazo.

Nosotros sabemos que si un mercado competitivo se encuentra en equilibrio en el largo

plazo, todas las empresas que operan en la industria adoptan como tamaño de la planta el ta-

maño óptimo de la empresa, que lleva asociado la correspondiente curva de costes a corto

plazo. Y todas las empresas de la industria lanzan al mercado el nivel de producción denomi-

nado dimensión óptima de la empresa o escala mínima eficiente.

Además, este nivel de producción es el óptimo de explotación del tamaño óptimo de la

empresa, es decir, el coste medio de producción a corto plazo alcanza su mínimo; y lo mismo

sucede con el coste medio de producción de largo plazo para este nivel de producción, pues la

dimensión óptima de la empresa es a su vez el volumen de producción típico correspondiente

al tamaño óptimo de la empresa.

Dado esto, la curva de costes totales del enunciado está referida al corto plazo, pues apare-

cen costes fijos, por lo que se trata de la curva de costes asociada al tamaño óptimo de la em-

presa, al encontrarse todas las empresas de la industria en situación de equilibrio en el largo

plazo, de acuerdo con el enunciado.

En tal caso, debemos determinar en primer lugar la dimensión óptima de la empresa, que

se correspondería con el mínimo de la curva de costes medios a corto plazo del enunciado,

pues se trata del óptimo de explotación asociado al tamaño óptimo de la empresa.




CAPÍTULO 16 Competencia perfecta: equilibrio en el largo plazo 2/7

La función de costes medios a corto plazo sería pues:

2* ( ) 2 4 200 200

( ) 2 4C x x x

C x x x x x

El mínimo de esta función tiene lugar cuando su primera derivada es igual a cero:

*

2

( ) 2002 0

dC x

dx x x DO=10

Obtengamos la segunda derivada:

2 *

2 3

( ) 4000

d C x

dx x

que nos indica que la función del coste medio es convexa, por lo que se trata efectivamente de

un mínimo de tal función.

En consecuencia x DO=10 es la dimensión óptima de la empresa dentro de este mercado

perfectamente competitivo en situación de equilibrio en el largo plazo. Y, por tanto, es el ni-vel de output que esta empresa, y todas y cada una de las empresas que forman parte de la

industria, lanza al mercado en el largo plazo.

Por otra parte, el precio de equilibrio en el largo plazo en la industria coincidiría con el

coste medio asociado a este nivel de producción, que es el coste medio mínimo a corto y largo

plazo, puesto que todas las empresas de la industria obtienen un beneficio de cero en el equi-

librio del mercado en el largo plazo:

* 200(10) 2 10 4 44

10e C

Ahora, si tomamos la curva de demanda del mercado, podemos determinar, dado el precio

de equilibrio a largo plazo, la cantidad total demandada por los consumidores del producto de

que se trate, y ofrecida por el conjunto de empresas que forman parte de la industria competi-

tiva; cada una de ellas, a su vez, lanzando al mercado el nivel de output denominado dimen-

sión óptima de la empresa (o escala mínima eficiente) obtenido anteriormente.





La cantidad total demandada por los consumidores será:

(44) 10.440 10 44 X e=10.000

Por lo que si la dimensión óptima de la empresa es x DO=10, el número de empresas que

tienen cabida en la industria en el largo plazo será de:

10.0001.000

10

e

DO

X

x empresas, todas ellas iguales.

Ejercicio 16.2. La función de costes a largo plazo a la que tiene acceso cada una de

las empresas que forman parte de una industria en competencia perfecta es:

3 2( ) 10 40 L

C x x x x . Y la curva de demanda del mercado es: 26.000 400 p .

Se pide determinar el número de empresas que forman parte de la industria en

una situación de equilibrio en el largo plazo.

Se trata de un ejercicio semejante al anterior, con la diferencia de que en el enunciado se

nos da la curva de costes a largo plazo de las empresas de la industria y no la curva de costes a

corto plazo de una de ellas asociada al tamaño óptimo de la empresa. Pero como la correspon-diente curva de costes medios a corto plazo alcanza su mínimo para el nivel de producción

denominado dimensión óptima de la empresa, y lo mismo sucede con la curva de costes me-

dios a largo plazo, ahora en este ejercicio habrá que obtener el mínimo de esta última curva de

costes medios.

La función de costes medios a largo plazo sería:

3 2* 2( ) 10 40( ) 10 40 L

L

C x x x xC x x x

x x

Calculando su primera derivada e igualándola a cero obtenemos la dimensión óptima de la

empresa:

* ( )2 10 0 L

dC x x

dx x DO=5

Es fácil comprobar que la función del coste medio a largo plazo es convexa. Se deja esto

en manos del lector.





Por otra parte, sabemos que el precio de equilibrio a largo plazo en la industria se corres-

pondería con el coste medio mínimo a largo plazo, pues todas las empresas tendrían entonces

un beneficio igual a cero:

* 2(5) 5 10 5 40 15e L

C

Ahora, dada la curva de demanda del mercado, determinamos la cantidad total demandada

por los consumidores a este precio de equilibrio de largo plazo, que es ofrecida por el conjun-

to de empresas de la industria:

15 26.000 400 15 X e=20.000

Por lo que si la dimensión óptima de la empresa es x DO=5, el número de empresas que tie-

nen cabida en la industria en el largo plazo será de:

20.0004.000

5

e

DO

X


Ejercicio 16.3. Consideremos una industria competitiva donde todas las empresastiene acceso a la siguiente familia de curvas de costes a corto plazo:

2

3 28 20( )

C

x x xC x a

a

, donde x representa el nivel de output, y a es un

parámetro positivo relacionado con el tamaño de la planta. Obtener la curva de

costes medios a largo plazo a la que tienen acceso todas las empresas de la

industria. Si la curva de demanda del mercado es: 100.000 100 p , y éste se

encuentra en situación de equilibrio en el largo plazo, obtener la curva decostes medios a corto plazo de una cualquiera de estas empresas, y el número

de empresas que tienen cabida en la industria en el equilibrio del largo plazo.

Tenemos una familia de curvas de costes a corto plazo, asociadas cada una de ellas a un

determinado tamaño de la planta representado por el correspondiente valor del parámetro a.

Nosotros ya sabemos obtener la curva de costes a largo plazo, a la que tienen acceso todas

las empresas de la industria, como la envolvente de esta familia de curvas de costes a corto plazo.





Para ello debemos minimizar la función de costes del enunciado con respecto al parámetro

a, tomando como dado el nivel de producción, igualando la primera derivada a cero:

3 2

2

8 20( )1 0C

x x xC x

a a

De donde resulta la expresión que relaciona el tamaño óptimo de la planta con el nivel de

producción que queremos obtener:

3 2( ) 8 20a x x x x

Introduciendo ahora esta expresión en la función de costes del enunciado, resulta la fun-

ción de costes a largo plazo que buscamos:

3 2

3 2 3 2

3 2

8 20( ) 8 20 2( 8 20 )

8 20 L

x x xC x x x x x x x

x x x

dado que, como puede observarse, han desaparecido los costes fijos.

Esta función de costes a largo plazo nos indica, como sabemos, el coste mínimo de pro-

ducción del nivel de output de que se trate, pues para obtenerlo estamos utilizando el corres-

pondiente tamaño óptimo de la planta (el valor óptimo del parámetro a).

Con lo que la función del coste medio a largo plazo que se nos pide sería:

3 2* 2( ) 2( 8 20 )

( ) 2( 8 20) L

L

C x x x xC x x x

x x

Obtengamos ahora el nivel de producción denominado la dimensión óptima de la empresa,

que se corresponde con el mínimo de esta curva de costes medios a largo plazo. Calculemos

entonces su primera derivada e igualémosla a cero:

* ( )2(2 8) 0 L

dC x x

dx x DO=4

Se trata efectivamente de un mínimo de esta función porque su segunda derivada (4) es

positiva (la función del coste medio a largo plazo es convexa).





Puesto que hemos determinado el nivel de producción que va a lanzar al mercado cual-

quiera de las empresas que operan dentro de esta industria competitiva en situación de equili-

brio en el largo plazo, podemos determinar el tamaño óptimo de la empresa, es decir, el valorcorrespondiente del parámetro a:

3 2(4) 4 8 4 20 4 16a

Introduciendo este valor en la familia de curvas de costes del enunciado, obtenemos la

función de costes a corto plazo de cualquiera de las empresas que operan en la industria, pues

en ella aparecen los costes fijos asociados al tamaño óptimo de la empresa, que es el que

adoptan todas ellas:

2

3 28 20

( ) 1616

TOE

C

x x xC x

Con lo que la función de costes medios a corto plazo de una cualquiera de las empresas de

la industria que se nos pide sería:

2

3 2

* 8 20( ) 16

( )16

TOE

TOE C

C

x x xC xC x

x x x

Ahora se nos pide el número de empresas que operan en la industria en una situación de

equilibrio de largo plazo.

Sabemos que todas ellas lanzan al mercado el nivel de producción denominado dimensión

óptima de la empresa. Pero necesitamos saber la dimensión del mercado, es decir, la cantidad

demandada por los consumidores y producida y ofrecida por el conjunto de empresas. Para

ello debemos determinar el precio de equilibrio del mercado en el largo plazo y echar mano a

continuación de la curva de demanda agregada del mercado o de la industria del enunciado.

El precio de equilibrio de largo plazo no es más que el coste medio mínimo a largo plazo

que, a su vez, coincide con el coste medio mínimo a corto plazo asociado al tamaño óptimo de

la empresa, pues los beneficios de todas y cada una de las empresas son cero.





Por otra parte, ambos costes medios mínimos tienen lugar, como sabemos, cuando la em-

presa lanza al mercado el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa (o

escala mínima eficiente):

* 2(4) 2(4 8 4 20) 8e L

C

El lector puede comprobar que el coste medio a corto plazo asociado al tamaño óptimo de

la empresa es también 8 para el mismo nivel de producción. El que este coste medio alcance

su mínimo es más difícil de comprobar, pues habría que calcular la primera derivada de la

función e igualarla a cero, y esto es complicado. Así que mejor es creerse lo que dice la teoría.

Luego la cantidad total demandada por los consumidores a las empresas de la industria, y

producida y ofrecida por estas últimas, será:

(8) 100.000 100 8 X e=99.200

Por lo que si la dimensión óptima de la empresa es x DO=4, el número de empresas que tie-

nen cabida en la industria en el largo plazo será de:

99.20024.800

4

e

DO

X


NOTA: Como habrá observado el lector, en todos los ejercicios de este capítulo se nos pide lo

mismo: determinar la dimensión óptima de la empresa, el precio de equilibrio de largo plazo,

y el número de empresas que operan en la industria. Lo único que cambia es el enunciado y,

por tanto, el tipo de curvas de costes que se nos proponen. Una veces es la curva de costes a

largo plazo a la que tienen acceso todas las empresas de la industria; otras veces es la curva de

costes a corto plazo asociada al tamaño óptimo de la empresa, que es el que adoptan todas las

empresas en el equilibrio del largo plazo; y otras veces es la familia de curvas de costes a cor-

to plazo asociadas al tamaño de la planta correspondiente a la que tienen acceso todas las em-

presas de la industria.




CAPÍTULO 17.- EL MONOPOLIO DE OFERTA

Ejercicio 17.1. Una empresa monopolista abastece el mercado de un producto cuya

curva de demanda es:87

12 12

p . Además, emplea un tamaño de planta tal que

la curva de costes variables es: 3 2( ) 12 60v

C x x x x . Determinar el precio de

equilibrio y la cantidad producida e intercambiada en el mercado, así como el

importe de los costes fijos que hace que el beneficio obtenido por la empresa

sea positivo. Calcular la elasticidad de la curva de demanda del mercado en el

punto de equilibrio.

Una empresa monopolista, que maximiza su beneficio en el corto plazo, lanza al mercado

un nivel de producción de equilibrio tal que el ingreso marginal es igual al coste marginal.

Por tanto, debemos obtener primero la curva de ingresos marginales de la empresa y a

continuación la curva de costes marginales.

En primer lugar, obtengamos la función del ingreso total de la empresa a partir de la curva

inversa de demanda del mercado, con objeto de que la variable independiente sea el nivel de

producción y no el precio de mercado:

87 12 x

2( ) 87 12 I x px x x

De donde la función del ingreso marginal resultante es:

( )( ) 87 24

dI x I x x

dx

Obtengamos ahora la función del coste marginal:

2( )( ) 3 24 60v

dC xC x x x

dx




CAPÍTULO 17 El monopolio de oferta 2/28

El equilibrio del monopolio de oferta tiene lugar cuando el ingreso marginal es igual al

coste marginal:

287 24 3 24 60 x x x xe=3

Para este nivel de producción se cumple la condición de primer orden para la maximiza-

ción del beneficio por parte de la empresa monopolista. Veamos si se cumple la condición de

segundo orden:

( ) ( )( ) 24 6 24 ( )

e e e

dI x dC x I x x C x

dx dx

Efectivamente se cumple, porque la pendiente de la curva del coste marginal para el nivel

de producción xe=3 es -6 (el coste marginal es decreciente).

Nótese que la maximización del beneficio por parte de esta empresa tiene lugar para un

nivel de producción en el que el coste marginal es decreciente. Esto es posible en el monopo-

lio de oferta y no en competencia perfecta, porque en el primer caso la curva del ingreso mar-

ginal es decreciente, pero a mayor ritmo, que la del coste marginal. En cambio, en competen-cia perfecta el ingreso marginal es constante siempre, lo que obliga a que el coste marginal

sea creciente para el nivel de producción en el que la empresa maximiza su beneficio.

Veamos ahora otra curiosidad. Obtengamos el nivel de producción denominado Mínimo

de Explotación (término más apropiado para la competencia perfecta, por lo que veremos a

continuación), es decir, aquel nivel de output para el cual el coste variable medio alcanza su

mínimo.

Obtengamos primero la curva del coste variable medio:

* 2( )( ) 12 60v

v

C xC x x x

x

El nivel de producción que minimiza la función del coste variable medio se obtiene de

igualar la primera derivada de esta función a cero:

* ( )2 12 0v

dC x x

dx x ME =6





La segunda derivada es positiva, lo que indica que se trata efectivamente de un mínimo,

porque la curva del coste variable medio es convexa.

La conclusión que se obtiene de este cálculo adicional es que la empresa monopolista del

enunciado lanza al mercado un nivel de output de equilibrio que es inferior al Mínimo de

Explotación, algo imposible en el marco de la competencia perfecta. ¿Por qué?

Porque no se cumple para la empresa monopolista la condición de cierre , dado que el

precio de mercado al que puede vender el nivel de producción de equilibrio xe=3, que se ob-

tiene a partir de la curva inversa de demanda del mercado, es:

(3) 87 12 3 pe=51

Y este precio de equilibrio es mayor que el coste variable medio correspondiente a xe=3:

* 2(3) 3 12 3 60 33 51v eC p

Como puede apreciarse, es perfectamente posible que una empresa monopolista lance al

mercado un nivel de producción inferior al Mínimo de Explotación, algo que no era posible encompetencia perfecta, puesto que automáticamente se cumplía la condición de cierre de la

empresa. Ya que el precio de mercado, que era igual al coste marginal, era automáticamente

inferior al coste variable medio en que incurría la empresa (para niveles de producción infe-

riores al Mínimo de Explotación, el coste marginal es siempre menor que el coste variable

medio).

Pero en el monopolio de oferta, para el nivel de output de equilibrio, el precio de mercado

al que la empresa puede vender es mayor que el coste marginal en el que incurre, así que tam-

bién puede ser mayor que el coste variable medio en el que incurre la empresa cuando lanza al

mercado un nivel de producción inferior al Mínimo de Explotación. Y así sucede en este caso

que nos ocupa.

Veamos ahora el posible beneficio que obtiene la empresa al lanzar al mercado el nivel de

output de equilibrio xe=3 al precio pe=51.

En primer lugar, determinemos los ingresos totales que obtiene la empresa:





2(3) 51 3 87 3 12 3 153e e

I p x

En segundo lugar, los costes totales en los que incurre la empresa al producir ese nivel deoutput:

3 2( ) ( ) 12 60vC x C x CF x x x CF

3 2(3) (3) 3 12 3 60 3 99v

C C CF CF CF

Por tanto, si la empresa obtuviera un beneficio positivo, los costes fijos deberían ser:

(3) (3) (3) 153 (99 ) 0 B I C CF CF <54

En consecuencia, si los costes fijos de la empresa en los que incurre en el corto plazo, da-

do el tamaño de la planta adoptado, son inferiores a 54, la empresa tendrá beneficios positi-

vos. Si son mayores que 54, tendrá pérdidas; y si son iguales a 54, tendrá beneficios cero.

Pero en el caso que la empresa tuviera pérdidas porque los costes fijos fueran mayores que

54, aun así, a la empresa no le interesará cerrar, porque perdería menos si no cerrara que los

costes fijos, cualquiera que fuere el importe de estos últimos, que serían las pérdidas en que

incurriría si cerrase. Dado que el precio de equilibrio del mercado al ser mayor que el coste

variable medio para xe=3, como hemos visto anteriormente, nos indica que la empresa está

sufragando una parte de los costes fijos, una vez cubiertos los costes variables en que incurre

la empresa al producir ese nivel de output; por lo que las pérdidas siempre serían mayores si

cerrara.

Obtengamos ahora la elasticidad de la curva de demanda del mercado en el punto de equi-

librio del monopolio:

1 511, 42

12 3

dx p

dp x

Como puede apreciarse, la elasticidad es mayor que uno en valor absoluto, algo que ya sa-

bíamos de antemano; porque la empresa monopolista se sitúa siempre en el equilibrio, cuando

maximiza su beneficio, en el tramo elástico de la curva de demanda del mercado a la que se

enfrenta.





Nosotros también podíamos haber llegado al mismo resultado empleando la expresión que

relaciona el ingreso marginal con la elasticidad-precio de la curva de demanda:

1( ) 1 I x p

1(3) 87 24 3 15 51 1 I

51

1, 4251 15


curva de demanda es: 3012

p . Además, emplea un tamaño de la planta tal

que la curva de costes es: 3 2( ) 12 60 600C x x x x . Determinar el precio de

equilibrio y la cantidad producida e intercambiada en el mercado, así como el

beneficio o pérdida obtenido por la empresa. Calcular la elasticidad de la curva

de demanda en el punto de equilibrio.

Se trata de un ejercicio semejante al anterior, sólo que ahora se nos da la curva de costes

totales en lugar de la curva de costes variables. Se trata, además, de una curva de costes de

corto plazo, pues aparecen costes fijos.

La maximización del beneficio tiene lugar, como sabemos, igualando el ingreso marginal

al coste marginal.

Curva de ingresos marginales de la empresa:

360 12 x

2( ) 360 12 I x px x x

( )( ) 360 24

dI x I x x

dx

Curva de costes marginales:

2( )( ) 3 24 60

dC xC x x x

dx





Equilibrio del monopolio de oferta en el corto plazo (ingreso marginal igual al coste mar-

ginal):

2360 24 3 24 60 x x x xe=10



segundo orden:

( ) ( )( ) 24 6 24 ( )

e e e

dI x dC x I x x C x

dx dx

Efectivamente se cumple, porque la pendiente de la curva del coste marginal para el nivel

de producción xe=10 es 36 (el coste marginal es creciente).

En este ejemplo, la maximización del beneficio por parte de la empresa tiene lugar para un

nivel de producción en el que el coste marginal es creciente, siendo la curva del ingreso mar-

ginal decreciente, como es normal.

Obtengamos el nivel de producción denominado Mínimo de Explotación, es decir, aquel

nivel de output para el cual el coste variable medio alcanza su mínimo.

Obtengamos primero la curva del coste variable medio:

3 2* 2( ) 12 60

( ) 12 60v

v

C x x x xC x x x

x x

El nivel de producción que minimiza la función del coste variable medio se obtiene de

igualar la primera derivada de esta función a cero:

* ( )2 12 0v

dC x x

dx x ME =6


porque la curva del coste variable medio es convexa.





Ahora la empresa monopolista lanza al mercado un nivel de producción superior al Míni-

mo de Explotación. Porque no se cumple para la empresa monopolista la condición de cierre,

dado que el precio de mercado al que puede vender el nivel de producción de equilibrio xe=10, que se obtiene a partir de la curva inversa de demanda del mercado, es:

(10) 360 12 10 pe=240

Y este precio de equilibrio es mayor que el coste variable medio correspondiente a xe=10:

(10) 10 12 10 60 40 240v e

C p

Veamos ahora el posible beneficio que obtiene la empresa al lanzar al mercado el nivel de

output de equilibrio xe=10 al precio pe=240.

En primer lugar, determinemos los ingresos totales que obtiene la empresa:

2(10) 240 10 360 10 12 10 2.400e e I p x

En segundo lugar, los costes totales en los que incurre la empresa al producir ese nivel deoutput:

3 2(10) 10 12 10 60 10 600 1.000C

Por tanto, el beneficio de la empresa es:

(10) (10) (10) 2.400 1.000 1.400 B I C

También podríamos haber obtenido un equilibrio a corto plazo para la empresa monopolis-

ta con pérdidas, o con beneficios cero. Bastaría con incrementar convenientemente el importe

de los costes fijos de la empresa, tal como procedimos en el ejercicio anterior.

Se deja al lector que calcule la elasticidad-precio de la curva de demanda del mercado en

el equilibrio: 2 .







p . Además, se enfrenta a la siguiente curva de

costes de largo plazo: 3 2( ) 12 60C x x x x . Determinar el precio de equilibrio

en el largo plazo y la cantidad producida e intercambiada en el mercado; así

como el beneficio de la empresa. ¿Existe exceso capacidad, capacidad óptima

o capacidad insuficiente en el tamaño de la planta seleccionado por la empresa

en el equilibrio del largo plazo?

El equilibrio en el largo plazo tiene lugar cuando la empresa maximiza su beneficio, igua-

lando el ingreso marginal al coste marginal.

Puesto que ambas funciones son las mismas que las del ejercicio anterior, obtendremos:

xe=10 pe=240

Como puede observarse fácilmente, han desparecido los costes fijos (600) en la función de

costes del ejercicio anterior, por tratarse de una función de costes de largo plazo. Por tanto, el

beneficio de la empresa en el equilibrio de largo plazo se ha incrementado en esa cantidad.Por lo que pasa ahora a ser de 2.000. Puede comprobarlo fácilmente el lector.

Vamos a centrarnos, pues, en la planta seleccionada por la empresa y, por tanto, en el gra-

do de utilización de la capacidad productiva instalada en el equilibrio del largo plazo por

aquélla.

Como tenemos la curva de costes a largo plazo, sabemos que cuando la empresa quiere

obtener el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa, esta última se-

lecciona en el largo plazo el tamaño de la planta denominado tamaño óptimo de la empresa.

De forma que el nivel de output dimensión óptima de la empresa (o escala mínima eficiente)

que hace que el coste medio a largo plazo alcance su mínimo, se corresponde con el óptimo

de explotación del tamaño óptimo de la empresa. Por eso se dice que la empresa de tamaño

óptimo tiene una capacidad productiva instalada óptima, es decir, que no hay exceso de capa-

cidad o capacidad ociosa, ni capacidad productiva insuficiente.

Ahora bien, si la empresa produce en el equilibrio del largo plazo un nivel de output infe-

rior a la dimensión óptima de la empresa, entonces en el largo plazo está seleccionando nece-





sariamente un tamaño de planta inferior al tamaño óptimo de la empresa, y, además, el nivel

de producción que obtiene se sitúa por debajo del óptimo de explotación de la planta utilizada

(se dice que la empresa trabaja por debajo del óptimo de explotación). Por eso se dice tambiénen este caso que la empresa funciona con exceso de capacidad, que hay capacidad ociosa, o

que la capacidad productiva instalada se encuentra infrautilizada.

En cambio sucede todo lo contrario si la empresa obtiene en el equilibrio del largo plazo

un nivel de producción superior a la dimensión óptima de la empresa. Se dice que esta última

funciona con capacidad productiva insuficiente, porque trabaja por encima del óptimo de ex-

plotación de la planta instalada.

Por tanto, para contestar a lo que se nos pregunta, debemos determinar en primer lugar el

nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa, para el cual el coste medio

de producción de largo plazo alcanza su valor mínimo.

Pero esto ya lo hicimos en el ejercicio anterior al obtener el nivel de producción que mi-

nimizaba el coste variable medio, dado que ahora, al no existir costes fijos, ambos tipos de

coste medios coinciden. Por este motivo, la dimensión óptima de la empresa resultante sería:

x DO=6.

Por tanto, la empresa del enunciado obtiene en el equilibrio del largo plazo un nivel de

producción superior a la dimensión óptima de la empresa. Luego está trabajando con capaci-

dad productiva insuficiente, es decir, está sobreutilizando por encima del óptimo de explota-

ción la capacidad productiva instalada.

Naturalmente el lector puede comprender fácilmente que pueden construirse situaciones

de equilibrio en el largo plazo en las que el monopolio de oferta, obteniendo beneficios posi-

tivos (o al menos no negativos), trabaja con capacidad óptima y con exceso de capacidad pro-

ductiva instalada.

Ahora bien, si una empresa monopolista obtiene beneficios cero en el largo plazo, forzo-

samente funcionará con exceso de capacidad, porque al ser la curva de demanda de mercado

decreciente, sólo puede ser tangente a la curva del coste medio a largo plazo en su tramo des-

cendente (con el que el beneficio de la empresa sería cero en ese punto), precisamente para

niveles de producción inferiores a la dimensión óptima de la empresa. Esto se ve con más





detalle en los ejercicios dedicados al tipo de mercado denominado “competencia monopolis-

ta” del capítulo 18.



p . Además, emplea en el largo plazo un tamaño

de la planta tal que la curva de costes es: 2( ) 10 60 600C x x x . ¿Existe exceso

capacidad, capacidad óptima o capacidad insuficiente en el tamaño de la

planta seleccionado por la empresa en el equilibrio del largo plazo?

Se trata de un ejercicio semejante al anterior, sólo que ahora se nos da la curva de costes a

corto plazo, pues aparecen costes fijos, correspondiente al tamaño de la planta seleccionado

por la empresa en el equilibrio del largo plazo.

Para ver si existe exceso de capacidad por parte de la empresa, capacidad insuficiente o

capacidad óptima instalada, debemos determinar el nivel de output de equilibrio que la em-

presa lanza al mercado y compararlo con el correspondiente al Óptimo de Explotación asocia-

do al tamaño de la planta seleccionado.

El nivel de output de equilibrio se obtiene al igualar ingreso marginal y coste marginal,

como sabemos, como consecuencia de la maximización del beneficio por parte de la empresa.

Curva de ingresos marginales de la empresa:

300 10 x

2

( ) 300 10 I x px x x

( ) 300 20 I x

I x xdx

Curva de costes marginales:

( )( ) 20 60

dC xC x x

dx

Equilibrio del monopolio de oferta (ingreso marginal igual al coste marginal):





300 20 20 60 x x xe=6



segundo orden:

( ) ( )( ) 20 20 ( )

e e

dI x dC x I x C x

dx dx

Efectivamente, se cumple, porque la curva del coste marginal es creciente y la del ingreso

marginal decreciente.

Veamos si se cumple o no la condición de cierre de la empresa. En primer lugar debemos

determinar el precio de equilibrio al que la empresa vende el nivel de output xe=6:

(6) 300 10 6 pe=240

En segundo lugar, debemos determinar el coste variable medio correspondiente al nivel de

output de equilibrio:

2* ( ) 10 60

( ) 10 60v

v

C x x xC x x

x x

*(6) 10 6 60 120v

C

Por tanto, a la empresa no le interesa cerrar, y le conviene, pues, lanzar al mercado el nivel

de output de equilibrio, dado que se cumple:

*240 120 (6)e vC

El lector puede comprobar por su cuenta que la empresa obtiene beneficios positivos, lo

cual es lógico en el equilibrio de largo plazo por parte del monopolio de oferta:

2(6) (6) (6) 240 6 (10 6 60 6 600) 1.440 1.320 120 B I C





Obtengamos ahora el nivel de producción denominado Óptimo de Explotación, es decir,

aquel nivel de output para el cual el coste medio correspondiente al tamaño de la planta utili-

zado alcanza su mínimo.

Obtengamos primero la curva del coste medio:

2* ( ) 10 60 600 600

( ) 10 60C x x x

C x x x x x

El nivel de producción que minimiza la función del coste medio se obtiene de igualar la

primera derivada de esta función a cero:

*

2

( ) 60010 0

dC x

dx x xOE =7,75


porque la curva del coste medio es convexa:

2 *

2 3

( ) 1.200

0

d C x

dx x

En consecuencia, el nivel de output de equilibrio a largo plazo de la empresa monopolista

está situado por debajo del Óptimo de Explotación asociado al tamaño de la planta utilizado.

Luego hay exceso de capacidad , capacidad ociosa, infrautilización de la capacidad producti-

va instalada.

Ejercicio 17.5. Una empresa monopolista emplea en el largo plazo un tamaño de la

planta tal que la curva de costes es: 2( ) 10 60 1.000C x x x . Obtener una

posible curva lineal de demanda del mercado, de pendiente -2 por ejemplo, tal

que haga que la empresa emplee la capacidad óptima.

El lector puede deducir fácilmente, a tenor de los dos ejercicios anteriores, que dentro del

monopolio de oferta se pueden construir ejemplos en los que la empresa emplea la capacidad

óptima, es decir, lanza al mercado un nivel de producción que coincide con el óptimo de ex-

plotación de la planta utilizada. Y ese nivel de producción sería, además, la dimensión óptima





de la empresa en el equilibrio del largo plazo, por lo que el tamaño de la planta utilizado sería

el denominado tamaño óptimo de la empresa.

Por tanto, lo que tenemos que diseñar es una curva de ingresos marginales decreciente (lo

más fácil sería una línea recta) que cortara a la curva del coste medio en su punto mínimo,

para que coincidiera con la curva de costes marginales; de forma que el nivel de output de

equilibrio sería precisamente el óptimo de explotación de la planta dentro de la curva de cos-

tes medios a corto plazo, o la dimensión óptima de la empresa, dentro de la curva de costes

medios a largo plazo.

En el ejercicio que nos ocupa se nos da la curva de costes a corto plazo, puesto que apare-

cen los costes fijos. Por tanto, lo que tenemos que obtener es el Óptimo de Explotación co-

rrespondiente al tamaño de planta utilizado.

La función del coste medio sería:

2* ( ) 10 60 1.000 1.000

( ) 10 60C x x x

C x x x x x

Y el óptimo de explotación correspondiente tiene lugar para el siguiente nivel de produc-

ción:

*

2

( ) 1.00010 0

dC x

dx x xOE =10

El lector puede comprobar que la función del coste medio es convexa, y, por tanto, se trata

efectivamente del coste medio mínimo:

* 1.000(10) 10 10 60 260

10C

El lector puede comprobar también que el coste marginal coincide con este coste medio

mínimo a corto plazo, como sabemos, para el nivel de producción correspondiente al óptimo

de explotación.





En consecuencia, si queremos que el nivel de output de equilibrio de la empresa monopo-

lista sea xOE =10, entonces el ingreso marginal debe ser igual al coste marginal, y, de ahí, al

coste medio mínimo. Es decir, la curva del ingreso marginal debe pasar por el punto:

(10, 260)

Al tratarse de una línea recta decreciente, puede tener cualquier pendiente que sea negati-

va; por ejemplo, elegimos arbitrariamente -2 de acuerdo con el enunciado.

Obtengamos ahora la ecuación de esta recta:

( ) ( ) 2OE OE

I x I x x x

( ) 260 2 10 I x x

De donde resulta la siguiente función de ingresos marginales:

( ) 280 2 I x x

Nosotros, además, podemos estar seguros de que la empresa se encontrará en equilibrio

lanzando al mercado el nivel de producción xOE =10, porque, como sabemos, el precio de mer-

cado que están dispuestos a pagar los consumidores es mayor que el ingreso marginal, cuando

el nivel de producción es positivo. Y como el ingreso marginal coincide en nuestro caso para

ese nivel de producción con el coste medio, resulta que el precio de mercado será mayor que

este último, con lo que la empresa obtendrá beneficios positivos y, por tanto, en ningún caso

le interesará cerrar.

Una vez que obtengamos la curva de demanda del mercado podremos comprobar que esta

conjetura es correcta.

Ahora ya tenemos la curva de ingresos marginales de la empresa, por lo que es fácil obte-

ner, mediante cálculo integral, la función de ingresos totales, y de ahí, la curva de demanda

del mercado.

Efectivamente, por definición tenemos que:





( )( )

dI x I x

dx ( ) ( )dI x I x dx

Por tanto, la función del ingreso total no es más que la primitiva de la función del ingreso

marginal:

2( ) ( ) ( ) (280 2 ) 280 I x dI x I x dx x dx x x

siendo la constante de integración cero, por cuanto que los ingresos totales son cero cuando el

nivel de producción es cero, es decir, cuando la empresa no vende nada.

Con lo que la curva inversa de demanda del mercado, no es más que la función de ingresos

medios de la empresa:

( ) I x px 2( ) 280

280 I x x x

x x x

Y, por tanto, la curva de demanda del mercado que se nos pide sería:

280 p

A partir de aquí, se puede determinar el precio de equilibrio al que el monopolista vende el

nivel de producción xOE =10, que sería evidentemente: pe=270.

Con lo que los ingresos totales de la empresa serían:

2( ) 270 10 280 10 10 2.700OE e OE

I x p x

Y los costes totales:

2(10) 10 10 60 10 1.000 2.600C

Luego la empresa obtendría un beneficio de 100, con lo que en ningún caso le interesaría

cerrar, y estaría empleando la capacidad óptima.

El lector puede comprobar que se habrían obtenido resultados semejantes al haber elegido

arbitrariamente otro valor negativo para la pendiente de la curva de ingresos marginales. Ha-





bríamos obtenido otra curva de demanda del mercado diferente, con un nuevo precio de equi-

librio y distinto nivel de beneficios.

Ejercicio 17.6. Una empresa monopolista emplea en el largo plazo un tamaño de la

planta que tiene asociada una determinada curva de costes medios y de costes

marginales estándar a corto plazo. Demostrar que si la empresa opera con

capacidad óptima o con capacidad insuficiente, forzosamente obtiene

beneficios positivos en el largo plazo con ese tamaño de la planta, cualquiera

que fuere la curva estándar de demanda del mercado a la que se enfrente. En

cambio, si la empresa opera con exceso de capacidad, depende de la curva de

demanda del mercado que existan beneficios positivos, beneficios cero o

pérdidas.

En el ejercicio anterior vimos que una empresa monopolista que opera con capacidad óp-

tima obtenía beneficios positivos. Esto no era una simple casualidad, como ya se apuntó en su

momento. Ahora exponemos el argumento completo y detallado.

Si una empresa monopolista ha seleccionado un tamaño de la planta, que lleva asociado

una curva estándar de costes medios y marginales a corto plazo, y emplea la capacidad ópti-

ma, quiere decir que está lanzando al mercado el nivel de producción correspondiente al óp-

timo de explotación de la planta.

Puesto que la empresa está maximizando su beneficio, el ingreso marginal debe ser igual

al coste marginal. Por lo que el ingreso marginal debe ser igual al coste medio mínimo a corto

plazo correspondiente al tamaño de la planta utilizado, dado que para el óptimo de explota-

ción el coste medio mínimo a corto plazo coincide con el coste marginal.

Nosotros sabemos, además, que dado este ingreso marginal, el precio de mercado al que el

monopolista puede vender la cantidad producida es siempre mayor que el primero, cuando el

nivel de producción es positivo, pues la curva del ingreso marginal siempre se sitúa por deba-

jo de la curva de demanda del mercado.

En consecuencia, podemos concluir que el precio de mercado al que el monopolista vende

el output de equilibrio es mayor que el coste medio en el que incurre al producirlo. Por tanto,





el monopolista que opera con capacidad óptima necesariamente obtiene beneficios positivos,

cualquiera que fuere la curva de demanda del mercado a la que se enfrente.

Este resultado es más evidente analizando simplemente la Figura 17.1.

El monopolista selecciona como tamaño de planta el llamado tamaño óptimo de la empre-

sa y lanza al mercado el nivel de producción denominado dimensión óptima de la empresa

( x DOE ), que es a su vez el óptimo de explotación de la planta seleccionada, donde ingreso mar-

ginal y coste marginal coinciden, pues está maximizando su beneficio. Es obvio entonces que

el precio de mercado p M al que puede vender el monopolista es mayor que el coste marginal y

que el coste medio en el que incurre, pues ambos coinciden para ese nivel de producción, por

lo que necesariamente esta empresa obtiene beneficios positivos.

Repitamos ahora el mismo razonamiento para el caso en que el monopolista opera con ca-

pacidad productiva insuficiente, es decir, cuando existe sobreutilización de la capacidad pro-

ductiva instalada.

Ingreso Marginal

Coste marginallargo plazo

Coste Mediolargo plazo

Curva de demandadel mercado

Coste Mediocorto plazo

Coste Marginalcorto plazo

p

x x DOE

Óptimo de Explotación Dimensión óptima de la empresa

p M

C*( x DOE )

Figura 17.1. Equilibrio a largo plazo de una empresa monopolista

con capacidad óptima

C’ ( x DOE )

Tamaño óptimo dela empresa





En tal caso, el monopolista lanza al mercado un nivel de producción de equilibrio que ex-

cede al correspondiente al óptimo de explotación de la planta que utiliza. Por lo que el coste

marginal en el que incurre es mayor que el coste medio, dado que a partir del óptimo de ex- plotación la curva del coste marginal se sitúa por encima de la curva del coste medio.

Como para el nivel de producción de equilibrio el monopolista está maximizando su bene-

ficio, el ingreso marginal debe ser igual al coste marginal, y de ahí, el primero resulta ser ma-

yor que el coste medio en el que incurre el monopolista al producir el citado nivel de produc-

ción de equilibrio.

Como el precio de mercado al que este último vende la cantidad producida es siempre ma-

yor, por los motivos expresados anteriormente, que el ingreso marginal. Resulta que este pre-

cio de mercado de equilibrio es mayor que el coste medio en el que incurre el monopolista,

por lo que este último obtiene necesariamente beneficios positivos, cualquiera que fuere la

curva de demanda del mercado a la que se enfrente, siempre que ello conlleve que el mono-

polista esté operando con capacidad productiva insuficiente.

Este hecho se observa directamente consultando la Figura 17.2. Hemos eliminado la curva

de costes marginales a largo plazo para facilitar la representación gráfica.

Coste Mediolargo plazo

Ingreso Marginal

Coste Mediocorto plazo


Coste Marginalcorto plazo

p

x x M

p M

C’ ( x M )

Óptimo de Explotación

Figura 17.2. Equilibrio a largo plazo de una empresa monopolista

con capacidad insuficiente

C*( x M )

Dimensión óptima

de la empresa





Ahora la igualdad entre ingreso marginal y coste marginal tiene lugar para un nivel de

producción x M que es mayor que el óptimo de explotación de la planta elegida y que la dimen-

sión óptima de la empresa. El coste medio de producción correspondiente a este nivel de output es menor que el coste marginal e ingreso marginal, que son iguales, y el precio de merca-

do al que vende el monopolista es mayor que este último. Por tanto, la empresa obtiene nece-

sariamente beneficios positivos.

Se deja al lector que repita el razonamiento aplicándolo al caso en que el monopolista ope-

ra con exceso de capacidad, es decir, cuando existe infrautilización de la capacidad productiva

instalada; lo que conlleva que lanza al mercado un nivel de producción de equilibrio inferior

al óptimo de explotación de la planta utilizada. Este caso está representado en la Figura 17.7

del texto teórico.

Llegará a la conclusión de que se pueden dar todos los casos posibles: que el monopolista

obtenga beneficios positivos, pérdidas, o bien, beneficios cero, dependiendo de la curva de

demanda de mercado que se maneje (en la citada figura el monopolista obtiene beneficios

positivos). Pues aunque el precio al que puede vender el monopolista el nivel de output de

equilibrio, cuando este último es positivo, es siempre mayor que el ingreso marginal, puedemuy bien este precio de mercado ser mayor, menor o igual que el coste medio en el que incu-

rre el monopolista. Todo depende de la curva de demanda de mercado a la que se enfrente.

Esto es debido a que cuando una empresa lanza al mercado un nivel de producción de

equilibrio por debajo del óptimo de explotación de la planta utilizada, entonces el coste mar-

ginal es inferior al coste medio, porque la curva de costes marginales se sitúa por debajo de la

curva de costes medios para los niveles de producción inferiores al óptimo de explotación.

Por tanto, el ingreso marginal, que es igual al coste marginal para el nivel de output de

equilibrio, sería inferior al coste medio, de ahí que el precio de mercado, al ser mayor que el

ingreso marginal, puede ser mayor, menor o igual que el coste medio. Y entonces el monopo-

lista obtendría beneficios positivos, pérdidas o beneficios cero, respectivamente.

Para finalizar, y como conclusión de todo lo anterior, pensemos en lo que ocurre cuando la

curva de demanda del mercado se desplaza hacia la derecha, es decir, cuando aumenta la can-

tidad demandada por los consumidores para cada precio de mercado, y el monopolista ya tie-





ne instalada una planta de un determinado tamaño para hacer frente a esa demanda; con lo que

las curvas de costes medios y marginales a corto plazo están dadas y no sufren alteración.

Lo que sucede es que el monopolista pasará normalmente de tener exceso de capacidad, a

operar con capacidad óptima, para finalmente, si la curva de demanda del mercado se despla-

za mucho hacia la derecha, pasar a tener capacidad productiva insuficiente para abastecer la

demanda del mercado.

Porque la curva de ingresos marginales también se desplaza hacia la derecha siguiendo es-

trechamente el desplazamiento realizado por la correspondiente curva de demanda del merca-

do, con lo que el punto de corte con la curva de costes marginales conlleva un nivel de pro-

ducción de equilibrio cada vez mayor. De ahí que la empresa pueda pasar de operar con exce-

so de capacidad a operar con capacidad productiva insuficiente: debe producir una cantidad

mayor de output para abastecer la demanda creciente del mercado empleando el mismo tama-

ño de la planta, lo que incrementa el grado de utilización de la capacidad productiva instalada.

Si esto es así, lo lógico es que los beneficios del monopolista aumenten a medida que au-

menta el grado de utilización de la capacidad productiva instalada debido al aumento de la

demanda de los consumidores. Por eso, cuando la capacidad productiva instalada es óptima o

insuficiente, el monopolista obtiene necesariamente beneficios positivos, tal como hemos de-

mostrado; en cambio, cuando hay exceso de capacidad, pueden darse todos los casos posibles.




CAPÍTULO 17 Discriminación de precios en el monopolio de oferta 21/28

DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS DENTRO DEL MONOPOLIO DE

OFERTA

Ejercicio 17.7. Consideremos una empresa monopolista que se enfrenta a la

siguiente curva de demanda del mercado: 1.000 10 p . Esta empresa tiene

previsto vender 600 unidades de producto a un precio uniforme, pero también

contempla la posibilidad de vender las 200 primeras unidades a un primer

grupo de consumidores, las 300 siguientes unidades a otro grupo y las 100

últimas unidades de producto a otro grupo distinto de consumidores,

aplicando un precio de mercado en cada caso compatible con la curva dedemanda de partida. Se pide determinar los ingresos que percibiría esta

empresa: a) si se comportara como un monopolista ordinario, es decir,

vendiendo a un precio uniforme; b) si discriminara precios vendiendo de la

forma indicada a los tres grupos de consumidores descritos anteriormente; y

c) si se comportara como un monopolista discriminador perfecto.

Obtengamos primero la curva inversa de demanda del mercado:

10010

x

Lógicamente si la empresa trata de vender 600 unidades de producto a un precio uniforme,

al comportarse como un monopolista ordinario, deberá hacerlo al precio que están dispuestos

a pagar los consumidores de acuerdo con la curva de demanda del mercado a la que se enfren-

ta esta empresa:

xO=600600

100 4010

O

Por tanto, los ingresos que percibiría la empresa como monopolista ordinario serían:

600 40 24.000O

I

Si la empresa discriminara precios vendiendo a los tres grupos de consumidores señalados,

entonces, para determinar sus posibles ingresos, debemos determinar el precio de mercado al

que la empresa vende respectivamente a cada grupo de consumidores (véase la Figura 17.3).





Si vende las 200 primeras unidades al primer grupo de consumidores, estos estarán dis-

puestos a pagar el precio de mercado que pagarían si la empresa vendiera esas 200 unidades a

un precio uniforme, establecido por la curva de demanda del mercado:

x1=2001

200100 80

10

Por tanto, los ingresos de la empresa serían:

1 200 80 16.000 I

Si la empresa vende las 300 unidades siguientes al segundo grupo de consumidores, lo

tendrá que hacer al precio de mercado que están dispuestos a pagar los consumidores si la

empresa vendiera 200+300 unidades de producto a un precio uniforme, establecido por la

curva de demanda del mercado:

x2=3002

200 300100 50

10



p

x200

80

40

100

1.000600500

50

O

A

dx j

p j= D-1( x j)

Figura 17.3





2 300 50 15.000 I

Y si la empresa vende finalmente las 100 últimas unidades de producto al tercer grupo de

consumidores, tendrá que hacerlo al precio uniforme al que vendería las 200+300+100 unida-

des de producto:

x3=1003

200 300 100100 40

10


3 100 40 4.000 I

En consecuencia, los ingresos totales de la empresa al discriminar precios vendiendo a los

tres grupos de consumidores serían:

16.000 15.000 4.000 35.000 D

I

Como puede observarse, el monopolista que discrimina precios siempre obtiene un ingreso

mayor al vender la misma cantidad de producto que el monopolista ordinario, que vende a un

precio uniforme todo lo que produce. Esto ya lo sabíamos de antemano.

Determinemos ahora los ingresos que percibiría la empresa si fuera capaz de llevar a cabo

lo que se entiende por discriminación perfecta de precios, es decir, si logra vender cada uni-

dad sucesiva de producto, infinitesimalmente pequeña, al precio marcado por la curva de de-

manda del mercado, que es el que están dispuestos a pagar sucesivamente los diferentes con-

sumidores que compran el producto.

Estos ingresos se corresponderían con el área del trapecio O-100-A-600 de la Figura 17.3,

de bases: el precio máximo que están dispuestos a pagar los consumidores cuando la cantidad

vendida es cero (100), y el precio que están dispuestos a pagar los consumidores cuando la

cantidad vendida es 600 (40); y con una altura igual a la cantidad total vendida (600):

100 40600 42.000

2 DP I





Como puede apreciarse, los ingresos de la empresa monopolista discriminadora perfecta

de precios son todavía mayores. Y serían, además, los ingresos máximos que puede obtener el

monopolista discriminando precios en cualquier caso, por eso se habla de discriminación perfecta de precios.

Estos ingresos del monopolista discriminador perfecto pueden obtenerse de una forma más

general y elegante, haciendo uso del cálculo integral.

¿Cuáles son los ingresos del monopolista cuando vende una unidad infinitesimalmente pe-

queña de producto, tal que dx (véase la Figura 17.3)? Se trata del área sombreada que allí apa-

rece: el área de una barra vertical de base dx y altura el precio correspondiente que están dis-

puestos a pagar los consumidores, que daría lugar a la siguiente ecuación diferencial:

( ) ( )dI x p x dx ( ) 10010

xdI x dx

Es decir, los ingresos del monopolista discriminador perfecto al vender una unidad infini-

tesimalmente pequeña de producto dx son el resultado de multiplicar esta cantidad de produc-

to por el precio que están dispuestos a pagar los consumidores, de acuerdo con la curva de

demanda del mercado; el cual varía en cada caso, pues depende de las unidades de producto

vendidas con anterioridad. Y se corresponde geométricamente con el área de un rectángulo,

que en límite tiende a ser una barra vertical, de base dx y altura p( x), la ordenada correspon-

diente, que es el precio que están dispuestos a pagar los consumidores por esa unidad de pro-

ducto.

Por tanto, los ingresos totales del monopolista discriminador perfecto son la suma de estas

infinitas barras verticales comprendidas entre el nivel de producción 0 y el nivel de produc-

ción 600, que serían los sucesivos precios que están dispuestos a pagar los consumidores por

las sucesivas unidades de producto, infinitesimalmente pequeñas, que les vende el monopolis-

ta.

Desde un punto de vista matemático, se trata de la integral definida de la curva inversa de

demanda del mercado, comprendida entre cero y 600, que es la cantidad de output total que

vende el monopolista:





600 600 2 2

0 0 0

600( ) 100 100 100 600 42.000

10 20 20

x x

DP

x x

x x I dI x dx x

Lo mismo que obtuvimos anteriormente al calcular el área del trapecio O-100-A-600.

La ventaja de este procedimiento es que el cálculo integral nos permite obtener los ingre-

sos del monopolista discriminador perfecto en todos los casos, en particular cuando se enfren-

ta a una curva de demanda del mercado que no es una línea recta, que es el caso más sencillo,

pues se reduce, como hemos visto, al cálculo del área de un trapecio.

Ejercicio 17.8. Un monopolista discriminador perfecto, cuya curva inversa dedemanda del mercado a la que se enfrenta es: 900 3 x , utiliza una planta

cuya curva de costes a corto plazo es:2

( ) 200 50.0004

xC x x . Determinar los

beneficios o pérdidas que obtiene la empresa. Obtener la curva del ingreso

medio del monopolista discriminador perfecto. Determinar la elasticidad de la

curva de demanda en el punto de equilibrio.

La curva de costes marginales es:

( )( ) 200

2

dC x xC x

dx

La maximización del beneficio y, por tanto, el equilibrio de la empresa tiene lugar cuando

el ingreso marginal es igual al coste marginal. Pero cuando aquélla se comporta como un mo-

nopolista discriminador perfecto, la curva de demanda del mercado es la curva del ingreso

marginal de la empresa. Por tanto, el nivel de output de equilibrio debe cumplir la siguiente

condición: que el precio de mercado que están dispuestos a pagar los consumidores por la

última unidad vendida del bien debe ser igual al coste marginal. Es decir, el nivel de output de

equilibrio para el monopolista discriminador perfecto tiene lugar en el punto de corte de la

curva de demanda del mercado y la curva de costes marginales:

( ) ( ) I x p C x 900 3 2002

x x xe=200 pe=300





Es fácil comprobar que la curva de ingresos marginales es decreciente, por tratarse de la

curva de demanda del mercado, y la curva de costes marginales es creciente. Por tanto, se

cumple la condición de segundo orden para la maximización del beneficio.

Determinemos ahora los beneficios o pérdidas que obtiene el monopolista discriminador

perfecto, y, por tanto, si se cumple o no la condición de cierre.

En primer lugar, sus ingresos totales equivaldrían al área de un trapecio de bases: el precio

máximo que están dispuestos a pagar los consumidores (900), cuando el nivel de producción

tiende a cero, y el precio que pagan los consumidores que consumen la última unidad de la

cantidad total de output vendida por el monopolista (300); y con una altura igual a la cantidad

total de producto vendida por el monopolista (200):

900 300(200) 200 120.000

2 I

Lógicamente, los ingresos totales que obtiene el monopolista discriminador perfecto en

general, cuando vende una cantidad de output tal como x, se obtienen de la siguiente forma

(véase el ejemplo que aparece en epígrafe 17.6 del texto teórico):

= 900 + 2 = 900 + 900 − 3

2 = (900 − 32 )

Por lo que la función de ingresos medios de este monopolista sería:

∗ = = 900 − 3

2

Por otra parte, los costes totales en los que incurre el monopolista al producir 200 unidades

de producto resultan ser:

2200(200) 200 200 50.000 100.000

4C

Por tanto, el monopolista discriminador perfecto obtendría un beneficio de:

(200) (200) (200) 120.000 100.000 20.000 B I C





El lector puede determinar también los beneficios que obtendría el monopolista ordinario,

y realizar las pertinentes comparaciones entre ambas asignaciones de recursos.

Sólo indicaremos que si la empresa se comporta como un monopolista ordinario, en este

ejemplo obtendría pérdidas al lanzar al mercado un nivel de producción menor a un precio

mayor. Pero aun así no le interesaría cerrar.

Por otra parte, la elasticidad-precio de la curva de demanda del mercado en el punto de

equilibrio es mayor que uno en este caso, como corresponde.

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