unamesh: un sistema experimental para generar mallas no estructuradas en regiones planas irregulares...
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UNAMESH: Un Sistema Experimental para Generar Mallas no Estructuradas
en Regiones Planas Irregulares
Luis Carlos Velázquez GuerreroPablo Barrera SanchezGuilmar G. Gonzalez Flores
Regiones irregulares.
Mallas no estructuradas, mallas de calidad.
Motivación a la generación de malla de calidad.
Unamesh, sistema semiautomático.
Filosofía de integración, formato de orden parcial.
Tratamiento de contorno.
Método de la ecuación de equilibrio de fuerzas.
Ejemplo de las aplicaciones, Ecuación de Laplace.
Esquema de la presentación
Regiones irregulares
Son regiones delimitadas por polígonos irregulares.
Basta con dar una lista ordenada de las coordenadas euclidianas sus vértices. Suelen tener muchos ángulos interiores de más de 180º, no convexidades. De alta varianza en la longitud de sus lados.
Mallas No-estructuradas
Mallas Estructuradas. Presenta explícitamente una estructura de adyacencia entre los nodos.
Mallas No-Estructuradas. Requieren el almacenamiento de la estructura de adyacencia entre los nodos.
Mallas de Calidad
Se desea tener una malla cuyos elementos sean lo más parecido posible a triángulos equiláteros.
Características de una buena malla
Característica Topológica. Número de nodos adyacentes a cada nodo interior, 6 es mejor.
Característica Geométrica. Cociente inradio / exradio de cada triángulo, ½ es mejor.
Motivación
¿Para qué mallas de calidad?
Para la modelación de problemas físicos es necesario conocer la solución algunas ecuaciones diferenciales parciales.
Considerando que en una región irregular no es posible obtener una solución analítica, se recurre a los métodos numéricos para aproximar la solución.
La discretización del dominio es un problema a resolver necesario para algunos método numérico.
Cuando se tiene una malla no-estructurada, la técnica más usual para resolver numéricamente EDP’s es el método de elemento finito (FEM).
La precisión del método mejora si la calidad de la malla es buena.
Unamesh
Sistema semiautomático
Sistema experimental para generar mallas de calidad en regiones irregulares, empleando el método de equilibrio de fuerzas (modificado).
UNAMESH
Tratamiento de contorno Solución Numérica de EPD’s
Generador demalla inicial
Generador deMalla óptima
Generador de malla
Adhesiónde nodos
Suavizamiento spline cónico Selección del
problemaValores
de frontera.
Visualización de la solución.BUEN TERMINO
Filosofía de la malla
Formato de orden parcial
El sistema Unamesh tiene una filosofia de integración de los módulos, es decir, se desea que el contorno de la región que define el tratamiento sea útil para la solución numérica de ecuaciones elipticas.
Las mallas no-estructuradas no necesariamentes contemplan orden alguno sobre el listado de nodos.
Sin embargo, el formato .tri con el cual trabaja Unamesh considera parcialmente un orden, primero enlista los nodos de frontera (sin cerrar la región) y posteriormente procede a enlistar los nodos interiores sin criterio de orden.
El formato de orden parcial facilita la manipulación de los datos principalmente a la hora de definir las condiciones de frontera de una EDP.
Tratamiento de contorno
Suavizamiento spline cónico
1. curva paramétrica (x(t),y(t)) compuesta de trozos de cónicas que suavice los picos del polígono.
2. Se hace una reparametrización de la curva por longitud de arco para buscar nodos equiespaciados del contorno con tratamiento.
La implementación en Unamesh del suavizamiento spline cónico fue tomada de Carreón [3]
Método de la ecuación
de equilibrio de fuerzas
Método diseñado en 2005 por Perl-Olof Persson [1], para ser usado en regiones de geometría implícita.
Método modificado
Modificación para ser implementado en Unamesh [3], usado en regiones de geometría irregular, en 2009.
1. Los nodos de frontera se mantienen fijos a lo largo de las iteraciones .
2. No hay uso de fuerza de corrección, los nodos interiores que son expulsados de la región son depurados de la malla
EDP’s con condiciones de frontera
La técnica empleada para la solución de las EDP’s fue tomada de Alberty. J, Carstensen C. & Funken S. A. [2] para su implementación en Unamesh.
Ecuación de Poisson Ecuación de Calor
Ecuación de Ginzburg–Landau
¡¡ GRACIAS !!
Bibliografía
[1] Per Olof, Strang G., A variational hexaedral grid generator with control metric. Journal of Computational Physics 218 (2006), pp. 720-747.
[2] Jochen Alberty, Carsten Carstensen and Stefan A. Funken, Remarks around 50 lines of Matlab: short finite element implementation. Numerical algorithms 20 (1999), pp. 117-137.
[3] Carreón, O. C., Un módulo para el tratamiento de contornos en el sistema UNAMALLA. Tesis Licenciatura, Facultad de Ciencias, UNAM
[4] Velazquez Guerrero Luis Carlos, Un Sistema Experimental para Generar Mallas no Estructuradas en Regiones Planas Irregulares. Tesis de Maestría en Ciencias (Matemáticas)), Facultad de Ciencias-UNAM.
Visite:
http://www.matematicas.unam.mx/computocientifico/