una visión socioepistemológica de las argumentaciones en

Una visión socioepistemológica de las argumentaciones

en el aula. El caso de las demostraciones

por reducción al absurdo*

Cecilia R. Crespo Crespo **Rosa María Farfán***

RESUMEN

Este trabajo reporta una investigación sobre el papel que desempeñan lasargumentaciones en el aula de matemáticas y específicamente, las características deaquéllas que se realizan por reducción al absurdo, a fin de comprenderlas como unrecurso de validación de resultados en matemáticas que se logra a través de unaconstrucción sociocultural. Se ha centrado el carácter cultural en el aspecto profesional,por lo que la atención se dirigió hacia estudiantes de distintas carreras y formaciones,para determinar las distintas concepciones de alumnos y los mecanismos de sufuncionamiento.Esta investigación se ubica en la perspectiva socioepistemológica, la cual ofrece unavisión incluyente de las variables del tipo social y cultural que participan en la construccióndel conocimiento.Los resultados que se obtuvieron muestran evidencias de la construcción de lasargumentaciones como resultado de prácticas sociales, ya que fue posible, por unaparte, identificar en las respuestas obtenidas características que reflejan la formaciónprofesional, y por otra comprender que las argumentaciones por reducción al absurdono son utilizadas en problemas que exceden el ámbito académico ni siquiera por losestudiantes que son capaces de justificarlas y utilizarlas en contextos propios de lasmatemáticas.

PALABRAS CLAVE: Socioepistemología, demostración por reducción al absurdo.

ABSTRACT

This work presents a research about the role that held argumentations in mathematicsclassroom and the characteristics of the argumentation by reduction to the absurd, trying

287Relime Vol. 8, Núm. 3, noviembre, 2005, pp. 287-317.

Fecha de recepción: Febrero de 2005 /Fecha de aceptación Octubre de 2005:

*Esta investigación forma parte de los resultados del proyecto Construcción social del conocimiento matemático avanzado.

Estudios sobre la reproducibilidad y la obsolescencia de situaciones didácticas: De la investigación al aula, financiado

por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. Clave U41740-S.

**Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”. Buenos Aires, Argentina.

***Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav–IPN, México.

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to understand these ones as a resource of validation of results in mathematics that isachieved through and cultural construction. The cultural character has been centered inthe professional aspect, therefore our attention was fixed in different career students,trying to determine the different conceptions of the pupils and the operation mechanisms.This research is located in the socioepistemological perspective that offers a vision thatincludes cultural and social variables that participate in the knowledge construction. Theresults shows evidence of the social construction of argumentations as social practices,since it was possible to identify some characteristic at the answers that reflect theprofessional training, and additionally to understand that argumentations for reduction tothe absurd are not applied to problems solve that exceed the academic area not even bythe students that had been capable of justifying them and to use them in mathematiccontexts.

KEY WORDS: Socioepistemology, proof by contradiction.

RESUMO

Este trabalho apresenta uma investigação sobre o papel que desempenham asargumentações nas aulas de matemática e as características das argumentações porredução ao absurdo, tratando de compreendê-las como um recurso de validação deresultados na matemática que se alcançam por meio de uma construção sociocultural.Foi enfocado o caráter cultural no aspecto profissional, pois a atenção se concentrounos estudantes de distintas carreiras e formações, tratando de determinar as distintasconcepções de alunos e os mecanismos de seu funcionamento. Esta investigação sesitua na perspectiva sócio-epistemológica, a qual oferece uma visão que inclui as variáveisdo tipo social e cultural que participam na construção do conhecimento. Os resultadosmostram evidências da construção das argumentações como resultado de práticassociais, já que foi possível, por um lado, identificar nas respostas obtidas característicasque refletem a formação profissional, e por outro compreender que as argumentaçõespor redução ao absurdo não são utilizadas em problemas que transcendem o âmbitoacadêmico nem se quer pelos estudantes que são capazes de justificá-las e utilizá-lasem contextos próprios da matemática.

PALAVRAS CHAVE: Sócioepistemologia, demostração por redução ao absurdo

RÉSUMÉ

Ce travail reporte une recherche sur le rôle qui accomplissent les argumentations dansla salle de classe de mathématiques et les caractéristiques des argumentations parréduction à l’ absurde ; on essaye de les comprendre comme un moyen de validationdes résultats en mathématiques qui réussit à travers une construction socioculturelle.On a centré le caractère culturel dans l’ aspect professionnel, raison pour laquelle l’attention est mise sur les étudiants de différentes carrières et formations, en essayant

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de déterminer les distinctes conceptions des élèves et les mécanismes de sonfonctionnement. Cette recherche se place dans la perspective sociœpistemologique,laquelle offre une vision dont les variables du type social et culturel qui participent dansla construction de la connaissance sont incluses. Les résultats obtenus montrentévidences de la construction des argumentations comme résultat des pratiques sociales,d’ après qu’ il fut possible, par un coté, d’ identifier dans les réponses obtenues quireflètent caractéristiques de la formation professionnelle, et par l’ autre coté, decomprendre que les argumentations par réduction de l’ absurde ne sont pas utiliséesdans des problèmes qui excèdent le milieu professionnelle ni par les étudiants que soncapables de les justifier et les utiliser dans des contextes propres aux mathématiques.

MOST CLÉS: Socioepistemologie, démonstration par réduction à l’ absurde.

Intuición y razonamiento enmatemáticas

Es indudable la existencia de ciertarelación entre la lógica y las matemáticas;sin embargo, no ha sido siempreconsiderada de la misma manera. A lo largode la historia, diversos pensadores handefendido posturas diferentes sobre dicharelación: las matemáticas como un capítulode la lógica, la lógica como un capítulo delas matemáticas e incluso ambas como unamisma disciplina. Si bien se trata deposiciones que en cierto modo puedenconsiderarse encontradas, las trescoinciden en afirmar la afinidad indudableentre matemáticas y lógica. Cualquiera quesea la perspectiva adoptada, al hacerreferencia a las matemáticas es inevitablepensar en el razonamiento lógico paraadquirir sus conceptos y para desarrollary aplicarlos. En lo que sigue apuntaremosalgunos argumentos que diversos autoresesgrimen en tal dirección.

Las matemáticas han sido consideradas enlos últimos siglos como la ciencia deductivapor excelencia (Boyer, 1996), ya que enella se pueden obtener unos resultados apartir de otros mediante la aplicación deleyes lógicas. Como cualquier otra ciencia,describe y enuncia proposiciones

verdaderas acerca de los objetos de losque trata, cuya validez se sustentabásicamente en el carácter deductivo dela lógica.

A través de la historia han surgidoinnumerables polémicas entre matemáticosacerca de la aceptación o no de ciertascaracterísticas del quehacer matemático, delpapel de las demostraciones y de lasdefiniciones, del nivel de rigor necesario yde los distintos enfoques que pueden darseal conocimiento matemático.

El conocimiento matemático se origina ysustenta básicamente en dos modos decomprensión y expresión: uno se realiza deforma directa, que corresponde a la intuición,y el otro de forma reflexiva, es decir, lógica(NCTM, 2000). Estos modos deconocimiento, aunque de naturaleza distinta,son complementarios e indispensables enla matemática: el primero es creativo ysubjetivo, mientras que el segundo, analíticoy objetivo. Ambos se combinan en el procesomediante el cual se describen los objetosmatemáticos, sus relaciones y la manera enque es posible operar o interactuar conellos.

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Ahora bien, en la enseñanza de lasmatemáticas no se debe descartar a priorininguna forma de razonamiento inductivoo deductivo. Empero, no se puede ni sedebe pretender que los alumnos, sobre todoen los primeros niveles de la enseñanza,se muevan dentro de un marco axiomáticoriguroso y formal. Tal forma de razonarrequiere de una madurez que reciéncomienza a alcanzarse en los últimos añosde la adolescencia, y su pleno manejorequiere de un desarrollo más profundo delpensamiento (NCTM, 2000). Sin embargo,ya desde edades tempranas es necesarioque los niños aprendan a intuir, plantearhipótesis, hacer conjeturas, generalizar y,cuando sea posible, ensayar pequeñasargumentaciones y demostraciones, sinexigencia de formalización. En ciertosniveles y momentos del aprendizaje laforma de razonar puede tener tanto interéscomo los propios contenidos conceptualesporque el razonamiento es, en sí mismo,un gran contenido a aprender. Dichoproceso no es sencillo y no puede aislarsede los contenidos conceptuales de lasmatemáticas; se halla presente ante elabordaje de cualquier contenidomatemático, sea geométrico, aritmético,algebraico o de la rama de las matemáticasen la que queramos trabajar.

La intuición, entendida como la captaciónprimera de conceptos que nos permitecomprender lo que nos rodea, surge desdela niñez y constituye el punto de partida enla investigación y en el aprendizaje. Anteel planteo de un problema matemático debedespertarse el interés, basado en laaceptación de la incertidumbre inicial comoparte del proceso de aprendizaje. Debidoa que la intuición por momentos no sigueestrictamente los pasos del razonamientológico, este método puede conducirnos porcaminos falsos; por ello es necesarioextremar el cuidado y ejercer el control delrazonamiento, mas tiene que aprovecharse

la intuición para ayudar al aprendizaje.Además, debemos recordar que en losniveles básicos y medio no se estánformando matemáticos esencialmente;según los objetivos de los programaseducativos, se está enseñando a usar lasmatemáticas y educando en lacomprensión y manejo del método de estaciencia. Se intenta que los estudiantes seapropien de un pensamiento lógico; sinembargo, se reconoce que hace faltaeducar a la intuición y al razonamiento.

El concepto de demostración matemáticaha evolucionado notablemente a través dela historia (Arsac, 1987). La idea de quées una demostración y cuándo se laconsidera válida es relativa al escenariosociocultural en el cual nos ubiquemos yvaría considerablemente de una cultura aotra. La historia del desarrollo y evoluciónde las matemáticas es, en cierto modo, lade la relación entre los dos aspectos delconocimiento: la intuición y la lógica. Enalgunos escenarios se pone de manifiestoclaramente el predominio de uno sobre elotro; en otros ocurre a la inversa.

La mayoría de las ciencias, en particularlas que atañen a los campos de lasmatemáticas, parten de la inducción, unidaa la intuición, como método para enunciarsus proposiciones. El razonamientoinductivo se basa en la elaboración deconjeturas e hipótesis que, a partir de unconjunto de observaciones, conducen a lageneralización de propiedades. Tal métodoen las matemáticas puede ser el punto departida para la búsqueda de regularidadesen un grupo de datos que pueden ser denaturaleza diversa (números, gráficas,formas geométricas, etc.) hacia laformulación de generalizaciones sobre labase de lo observado. Probar unapropiedad requiere de la deducción que laindependiza de la experiencia y la tornauniversal.

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El razonamiento proporciona un modopotente para desarrollar y codificarconocimientos sobre una amplia variedadde fenómenos. Por medio del análisis esposible percibir patrones, estructuras oregularidades tanto en situaciones de larealidad como en objetos simbólicos. Laobservación de esos patrones da laposibilidad de preguntarse si sonaccidentales o si hay razones para queaparezcan. Surgen así conjeturas quedeben ser puestas a prueba y que originandemostraciones.

Con relación a la lógica, en el aula esfundamental también motivar a los alumnosen la capacidad para detectarinconsistencias en los razonamientospropios y ajenos, ya que esta mirada críticales permitirá poder avanzar hacia distintosniveles de pensamiento. Sin embargo, elproceso deductivo a nivel de enseñanzaplantea limitaciones y posibilidades, debidoa que en él intervienen tanto cierto dominiode los conocimientos como una ciertahabilidad en el manejo de principios lógicosque requieren de madurez depensamiento; de ahí que en los primerosniveles de la enseñanza no tiene sentidoplantear deducciones en el sentido rigurosode la palabra (Balacheff, 2000). Reciénhacia los diez y seis años se va formandoen el ser humano la capacidad deabstracción necesaria para comenzar ainteriorizar el pensamiento formal (Santaló,1981); para llegar a esto es imprescindibledesde un principio desarrollar habilidadesdeductivas, teniendo en cuenta laslimitaciones de cada caso (Santaló, 1966).

Demostraciones en el aula

El concepto de demostración suele serconsiderado actualmente como una de lasnociones medulares en las matemáticas,y es casi unánime que debe ser transmitida

a los alumnos a partir de los trece años.Diversas investigaciones en el área de laenseñanza de la matemática señalan suimportancia (Balacheff, 1982; Godino &Recio, 2001; Ibañes, 2001; Knuth, 2002),ya que en el quehacer matemático resultaindispensable la capacidad de razonarpara lograr la comprensión.

También los diseñadores de currículoseñalan las dificultades que involucra laadquisición de esta capacidad:

El razonamiento y la demostración nopueden enseñarse, por ejemplo, en unasimple unidad sobre lógica, o haciendodemostraciones en geometría (…). Elrazonamiento y la demostracióndeberían ser una parte consistente dela experiencia matemática durante todala escolaridad. Razonarmatemáticamente es un hábito mentaly, como todo hábito, ha de desarrollarsemediante un uso coherente en muchoscontextos.

(NCTM, 2000, 59)

En Argentina, se sugiere su construcciónen forma gradual y en espiral durante laEducación General Básica (EGB), que sesupone continuará posteriormente:

A lo largo de toda la EGB, el contrastede conceptos y relaciones, labúsqueda de regularidades en unconjunto de datos (hechos, formas,números, expresiones algebraicas,gráficos, etc.) y la formulación degeneralizaciones sobre la base de loobservado a la experiencia o a laintuición, apuntarán a la formación delrazonamiento inductivo (…). Lacapacidad de razonar lógicamentecrece con la edad y las experienciasde dentro y fuera de la escuela. En losdistintos grados se han de ir ampliandolos contextos de aplicación de la


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misma (numéricos, geométricos, deproporcionalidad, gráficos, etc.) y elrigor con que se la utilice.

(Ministerio de Cultura y Educación, 1995, 91)

Sin embargo, a menudo en la tareadocente debemos enfrentarnos asituaciones en las que los alumnos nocomprenden la necesidad de lademostración de propiedades enmatemática. En ciertas oportunidades secontentan con una simple verificación; enotras “creen” la propiedad porque lesresulta evidente o porque el docente o unlibro lo ha dicho así. Aún cuando losalumnos puedan llegar a comprender queen ciertos momentos es necesariodemostrar una propiedad, la dificultad deasumir la exigencia de las demostracionesen las ciencias formales se complica másaún cuando ellos las realizan; por ello, lasdistintas formas del pensamiento lógico nosiempre son logradas de manerasatisfactoria por los alumnos en la escuela.A continuación mostraremos algunasreferencias sobre cómo debiese orientarseel proceso en el aula, según los nivelesescolares. Cabe señalar que esta es unagran problemática no resuelta dondediversos actores, desde diferentesperspectivas, consagran sus esfuerzos.

La demostración en clase de matemáticaspresenta una gran diversidad de formas yaparece en los distintos niveles educativosa través de variados tipos deargumentaciones. Su valor en el aula varíade unos niveles a otros, pero su objetivomás amplio es ayudar a comprender lanecesidad de validar de modo objetivo elconocimiento científico; en el casoparticular de las matemáticas, a través delrazonamiento. El pensamiento deductivose va construyendo lentamente a lo largode las distintas etapas de la enseñanzaescolar, lo cual no significa que se logre

realmente su construcción de manerasólida, ya que es común encontrar alumnosuniversitarios que todavía no han logradodominar este contenido procedimental(Ibáñez, 2001).

Como los matemáticos están habituados ademostrar, consideran muchas veces quese trata de un procedimiento natural en elestudio de la matemática; sin embargo, seperciben serios obstáculos al adquirirlo. Loque para el matemático es natural y fácilpara la mayor parte de los estudiantes esalgo difícil, artificial e incluso sin sentido,ya que muchas veces no manifiestan lanecesidad de la demostración para aceptaruna propiedad. Esto pone en evidenciaconcepciones distintas con respecto a lamatemática (Godino y Recio, 2001).

A nuestro juicio, la problemática de lademostración en el aula de matemáticasdebe enmarcarse en otra problemática másamplia: el desarrollo y evaluación de lasdistintas prácticas argumentativas que serealizan en tal ámbito (Crespo, 2005).

Cabe precisar que la escuela en general ylas matemáticas en particular contribuyenal desarrollo de las ideas lógicas; sinembargo, como hemos mencionado, estono siempre se logra. Es cierto que se puedeobservar que –en el mejor de los casos–los docentes aplican en ciertas ocasioneslos procedimientos lógicos de forma nosistemática, sin un objetivo determinado ysin tener en cuenta las particularidadesesenciales que los caracterizan.

Los procedimientos lógicos máselementales son los que se relacionan conlas propiedades de los conceptos. Enprimer lugar se aíslan propiedades, dondeintervienen las operaciones racionales delpensamiento: análisis, síntesis,comparación, abstracción, concreción,generalización y particularización

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(Ministerio de Cultura y Educación, 1995).Otro procedimiento lógico elementalrelacionado (NCTM, 2000) consiste enasociar propiedades a un objeto. A medidaque aumenta la complejidad de los objetosy el grado de abstracción de laspropiedades, se hace necesario recurrir aotros procedimientos, como reconocerpropiedades, distinguir propiedadesesenciales, necesarias, suficientes ynecesarias y suficientes, identificarconceptos, definir, clasificar, ejemplificary deducir propiedades.

En los primeros años de la escuelapredomina una matemática decaracterísticas informales, por lo cual losconceptos aparecen totalmenteconectados con objetos y situaciones dela vida cotidiana y de la realidad física.Las argumentaciones poseen en estaetapa un carácter informal e intuitivo; lasactividades matemáticas orientadas afortalecerlas se refieren a justificarsoluciones y conjeturas. Los materialesconcretos ayudan a comprenderprocedimientos y algoritmos; de estamanera, los niños se apoyan muchasveces en objetos concretos para explicary justificar sus ideas y resultados.

Desde que los niños comienzan a tenersus primeras aproximaciones a losobjetos matemáticos es conveniente quecomprendan que siempre hay querazonar las afirmaciones que se hacen.Muchas veces, cuando no encuentrenotro tipo de razón, pueden apelar a otrasalternat ivas para apoyar susafirmaciones, haciendo uso de un criteriode autoridad para validar proposiciones.Posteriormente, tendrían que asumir queen el razonamiento matemáticoaparecen reglas específicas, basadas enciertas herramientas propias queconstruyan para lograr un razonamientosistemático (NCTM, 2000).

Ya en la escuela media, se espera(Santaló, 1966) que aparezcanargumentaciones de carácter empírico-inductivo y demostraciones deductivasinformales, aunque a veces elementales.A pesar de que muchos alumnos continúanteniendo a veces un pensamiento concretoque depende del contexto físico oespecífico para poder percibirregularidades y relaciones, y deben apoyarsus razonamientos en el uso de materialesconcretos, otros ya son capaces de unrazonamiento más formal en el que sealcanza un mayor grado y de abstracción.Deben fomentarse actividades orientadasa la formulación de hipótesis y alrazonamiento inductivo, así como ponergran énfasis en la importancia de laverificación deductiva.

El razonamiento se va desarrollando en lasclases en que se anima a los alumnos aexponer sus ideas para que seandebatidas; estos intercambios de ideasdeberán ser receptivos, permitiendo a losestudiantes explicar y justificar lo quepiensan, y aprender cómo detectar falaciasy ser críticos ante los pensamientos propiosy ajenos. En la clase de matemáticas, losalumnos deberían formular con frecuenciaconjeturas sobre las relaciones de losobjetos con que están trabajando,investigar dichas conjeturas y elaborarargumentaciones sobre la base de su labor.La formulación de conjeturas y sujustificación constituyen parte de laactividad matemática del aula. Debecomprenderse que aún las ideas erróneaspueden ser, con frecuencia, fuentes deimportantes discusiones y descubrimientosmatemáticos (NCTM, 2000).

Ya en el nivel superior, los objetivospropuestos dependerán de las carreras yorientaciones de los alumnos; en algunascarreras, las demostraciones se tornaránen procedimientos habituales. Sin


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embargo, aún en aquéllas donde lasmatemáticas tengan un carácter másoperatorio, no debe olvidarse nunca quees primordial el manejo de lasargumentaciones para justificarafirmaciones y procesos. Los objetivosplanteados para el nivel medio debenseguir vigentes, cualquiera que sea lacarrera en la que se encuentre elestudiante, ya que este nivel la madurezdel pensamiento lógico permitirá quedichos propósitos se alcancen másplenamente.

El valor de la enseñanza de lademostración matemática y de lasargumentaciones en el aula varía de unosniveles educativos a otros, pero su valorgeneral es ayudar a comprender lanecesidad de validar las diferentesproposiciones matemáticas que seaprenden y (dentro de un objetivo másamplio) poder discernir la necesidad devalidar objetivamente el conocimientocientífico. El razonamiento y lasargumentaciones no deben ser actividadesreservadas para momentos determinadoso para algunos contenidos específicos dela matemática, sino que deberían constituiruna parte natural y continua de lasdiscusiones en clase, no importa cuál seael tema de estudio (NCTM, 2000).

La intuición y el rigor, que habitualmenteson tomados como términos antagónicos,se encuentran íntimamente relacionadoscon el desarrollo de los conceptosmatemáticos, y muchas veces soncomplementarios. La intuición, producto delas imágenes conceptuales del individuo,se aproxima más a las ideas que manejala lógica cuanta más información tieneéste; ahora bien, el desarrollo de estaintuición lógica debe comprenderse comouno de los mayores objetivos de laeducación matemática avanzada(Ministerio de Cultura y Educación, 1995).

Las argumentaciones matemáticassegún el enfoque

socioepistemológico

La palabra demostración se ha utilizado,y se utiliza aún en la actualidad, dentro dedistintos contextos en los que adquierevarios sentidos; se la relaciona tambiéncon algunos términos que para algunosautores son sinónimos y para otros poseendiferencias fundamentales entre sí. Porello, es necesario diferenciar sistemáticay claramente los significados de algunostérminos relacionados con lasdemostraciones matemáticas y de losdistintos grados de importancia que tienela argumentación en la matemática y enel aula. No hay definiciones que seanaceptadas unánimemente, por ejemplo, alhacer referencia a argumentaciones,demostraciones, pruebas yrazonamientos. A veces estos términostienen matices que los diferencian unosde otros, según los autores que seconsulten y el enfoque de susinvestigaciones (Vega, 1993; Balacheff,1982; Duval, 1999). Por ejemplo, en Duval(2000) se hace hincapié en el papel de laescritura en la actividad matemática y lamanera en la que el lenguaje influye en laexpresión de las demostraciones.

En cuanto a la postura de la matemáticaeducativa –en la cual se enmarca nuestroestudio–, al afrontar la problemática de lasdemostraciones en el aula sustenta laconsideración de que se trata de unelemento más que caracteriza elfenómeno educativo llevado a cabo en elaula de matemáticas.

La matemática educativa no es laenseñanza de la matemática, ni lamatemática escolar una simplificaciónde la matemática [Su objeto de estudioson] los procesos de transmisión y

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adquisición de los diferentescontenidos matemáticos en situaciónescolar.

No nos reducimos a la búsqueda deuna «buena manera de enseñar» unacierta noción previamente fijada, sinoque nos permitimos asumir comoobjeto de estudio, por ejemplo, laorganización de una actividad cuyaintención declarada sea el aprendizajede un cierto saber.

(Cantoral, 1995, 2-3)

La línea de investigación que desarrollamosen la disciplina de matemática educativaconsidera necesario dotar a la investigaciónde una aproximación sistémica y situada, osea, atiende a las circunstancias yescenarios socioculturales particulares, quepermita incorporar las cuatro componentesfundamentales en la construcción delconocimiento: su naturaleza epistemológica,su dimensión sociocultural, los planos de locognitivo y los modos de transmisión vía laenseñanza (Cantoral y Farfán, 2004).

Tal aproximación se ha llamado formalmenteacercamiento socioepistemológico. Puededecirse que la problemática de estudio de lamatemática educativa es “el examen de losfenómenos que se suceden cuando el sabermatemático, constituido socialmente fuerade la institución escolar, se introduce y sedesarrolla en el sistema de enseñanza”(Farfán, 2003b, 5). Este proceso por el cualde incorporan los saberes matemáticos enel sistema educativo plantea una serie deproblemas de carácter tanto teórico comopráctico, que necesitan acercamientosteóricos y metodológicos adecuados.

El enfoque socioepistemológico a travésdel análisis integral desde las cuatroópticas ya citadas (Cantoral y Farfán, 2003y2004) permite comprender al

conocimiento matemático como unaconstrucción sociocultural. Con elreconocimiento de la naturaleza yconstrucción social del conocimientomatemático se prioriza la actividad humana,a diferencia de los enfoques teóricos quegiran alrededor del objeto matemático.

La aproximación socioepistemologíaadmite la existencia del discursomatemático escolar como noción, a fin deexplicar los fenómenos pertinentes en elsistema escolar. Por ejemplo, en Cantoraly Farfán (2004) se afirma que

La sensibilidad a la contradicción porparte de los estudiantes no proviene,en forma exclusiva, de la agudeza conla que juzguen los procedimientos yrazonamientos matemáticos, sino queintervienen adicionalmente elementospropios del discurso del medio escolary del discurso matemático escolar.

En el mismo artículo se reporta que losalumnos basan sus decisiones ensituaciones que pertenecen al ordencultural, aunque no siempre seancompartidas entre los participantes delproceso escolar, y únicamente se muestraa los participantes en la medida en que sepertenezca a esa cultura, ignorando suscaracterísticas y sólo reconociendo el“conocimiento” que debe ser atendido.Para llevar a cabo el proceso enseñanza-aprendizaje, los autores mencionan que enel ámbito escolar se plantean dos tipos depreguntas:

Las destinadas a controlar lainteracción, a hacer explícito elconocimiento que se supone tienen losinterlocutores; éstas sólo puedeplantearlas quien enseña a causa desu posición que ocupa en la institucióny del rol que desempeña en laconformación del discurso matemático


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escolar. Por tanto, la metáfora: si unalumno nos preguntara ¿a qué esigual el logaritmo de un númeronegativo?, carece de interpretaciónplausible para los participantes.

(…) El discurso matemático escolaracepta otras preguntas de ordenteórico, a fin de develar unacoherencia interna en el discursoargumentativo o de las eventualesimplicaciones que tendría el conduciral razonamiento bajo hipótesisinusuales: Si aceptamos esto,entonces (…) habrá que aceptar estootro (….) Una forma de abstracciónreflexiva, en el sentido de Piaget,suele usarse con frecuencia enalgunos momentos de la actividadescolar en el campo particular de lasmatemáticas escolares. Sin embargo,el riesgo de cometer errores tiende aincrementar la resistencia de losestudiantes ante esas formasinterrogativas.

El estudiante reflexiona en el aula pero,debido a la forma de preguntas a la que essometido y a la que debe responder, deacuerdo con lo que se le indica en la escuela,sus respuestas serán propias del discursoque conoce. En este caso, nospreguntamos: ¿por qué los estudiantesresponden de cierta manera? ¿Por qué estetipo de discurso matemático escolar? ¿Porqué los maestros enseñan lo que enseñan?Los actores en el sistema escolar llevan acabo sus papeles ajustándose a ciertasnormas y saberes institucionalizados queahora forman parte de su cultura e ideología;ello condiciona sus maneras de responder.Desde nuestra reflexión, afirmamos que loque induce a tal conducta es el carácternormativo de la práctica social, el cual haceque los actores del sistema escolar secomporten de manera específica respectoa los conocimientos.

En este caso, nuestro objeto de estudioson las argumentaciones matemáticas,particularmente las que util izan lareducción al absurdo. Nos interesa, portanto, hacer un análisis integral de ellascon el fin de comprender que no sonutilizadas en problemas que exceden elámbito académico, ni siquiera por losestudiantes que son capaces dejustificarlas y utilizarlas en contextospropios de la matemática. Tal visión seorienta a la comprensión de que lasdemostraciones, como parte delconocimiento matemático, son unaconstrucción sociocultural, donde cobrauna importancia fundamental el escenarioen el que se desenvuelven.

En esta etapa hemos centrado el caráctercultural en el aspecto profesional (Crespo,2005), por lo cual la atención se ha fijadoen las respuestas de estudiantes dedistintas carreras y formaciones, tratandode determinar sus diferentes concepcionesy los mecanismos de su funcionamiento.Nuestra investigación se ubica en laperspectiva socioepistemológica, la cualofrece una visión incluyente las variablesdel tipo social y cultural que participan enla construcción del conocimiento.

Las demostraciones por reducciónal absurdo

Las demostraciones por reducción alabsurdo han sido durante siglosaceptadas y utilizadas dentro de lasmatemáticas tanto por investigadorescomo por docentes. En el aula tambiénson presentadas en numerosasoportunidades, pero sin una reflexiónexplícita acerca de su significación yconsecuencias. Su significación no essencilla e involucra ideas que no sonpara nada triviales; incluso no todos losmatemáticos han aceptado su empleo

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como medio para validar proposiciones deesta ciencia.

Descripción y explicación lógica

Las argumentaciones por reducción alabsurdo, también llamadas simplementepor el absurdo, se basan en la aplicacióndel siguiente esquema:

A partir de un conjunto de premisas,que constituyen las hipótesis, sepretende probar la validez de ciertaconclusión T, que en el caso de unteorema se suele denominar tesis.

Se agrega como una nueva premisala negación de la tesis y de estamanera se tiene un nuevo conjunto depremisas ’. A partir de ’ se aplicanreglas de inferencia y se llega a unacontradicción.

De esto se infiere que el nuevoconjunto de premisas es contradictorioo no consistente, por lo que se admitela verdad de la tesis.

Dicho esquema de razonamiento, que seidentifica con una forma de razonamientohipotético, conduce a una contradicción. Alhaber incorporado al conjunto de hipótesisla negación de la tesis del teorema,presenta distintas variaciones, conocidascomo método de exhaución, método deldescenso infinito o método dedemostración por contraposición.

Es posible dar una explicación general almétodo de reducción al absurdo y sufundamento. Partamos de considerar quela forma del enunciado del teoremaconsiderado es el correspondiente a unaimplicación:

“Si A, entonces B”

Γ

Γ Γ

Lo cual significa que, bajo las condicionesque afirma A, se debe demostrar que secumplen las condiciones enunciadas porB.

La ley lógica del contrarrecíproco afirmaque el enunciado “Si A, entonces B” esequivalente al enunciado:

“Si no B, entonces no A”

Este último se conoce comocontrarrecíproco o contrapositivo delprimero.

Desde el punto de vista lógico, laequivalencia entre una implicación y sucontrarrecíproca se basa en la tabla deverdad de este conectivo lógico. Para quela implicación

“Si A, entonces B” sea verdadera, debesuceder que siempre que A seaverdadera, B también lo sea. Si sediera que B fuera falsa, tendría que sertambién A falsa. En otras palabras, siB es falsa, entonces A debe ser falsa.De esta forma se llega a que “Si no B,entonces no A”.

Otra explicación posible se basa enconsiderar una cadena de equivalenciaslógicas, en la cual se parte de “Si A,entonces B”, y se llega a “Si no B, entoncesno A”. Para ello, escribiremossimbólicamente las proposiciones e iremosconsiderando las equivalencias sucesivas:

A B

A B

A B

B A

B A

⇒

∨

∨ ( )( )∨

⇒

(~ )

(~ ) ~ (~ )

~ (~ ) (~ )

(~ ) (~ )

Ley de la condicional disyunción

Ley de doble negación

Conmutatividad de la disyunción

Ley de la condicional disyunción

Este tipo de reducción al absurdo parte dela negación de la tesis y llega directamente


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a la negación de la hipótesis, lo cual obligaa afirmar que la tesis debe ser verdaderasi la hipótesis lo es.

Las demostraciones por contradicción opor reducción al absurdo propiamentedichas presentan un formato en el que, alagregarse la negación de la tesis a lashipótesis, se hace uso simultáneamente deambas para llegar al hecho de que laconjunción de la hipótesis y la negación dela tesis no es posible.

Si se quiere demostrar que

“Si A, entonces B”

Se parte para llegar a un absurdo de

“A, y no B”

Al llegar a un absurdo, o sea, a unenunciado falso, se infiere que laconjunción anterior es falsa, pero como lahipótesis A ha sido considerada verdaderaen el enunciado del teorema, resultanecesario que sea “no B” falsa y, por tanto,B debe ser verdadera.

Con frecuencia, la realización de unademostración por reducción al absurdo seprefiere sobre la demostración directa, aunsiendo posible la derivación directa. Enalgunos casos, sin embargo, no es posiblerealizar demostraciones directas y esnecesario recurrir a argumentaciones porel absurdo para determinar la verdad deun enunciado.

Su aparición histórica

A partir de las ideas de Parménides sefundó en Elea una escuela en la quesobresalió Zenón, quien en el siglo V a.C.utilizó el método de reducción al absurdoen la explicación de sus famosasparadojas.

Eudoxo de Cnido, quien pasó algunos añosjunto a los discípulos de Platón,fundamentó la organización deductivasobre un sistema explícito de axiomas(Eggers, 1995); asimismo, introdujo elmétodo de exahución. Este método dedemostración supone una doble reducciónal absurdo. Por ejemplo, para probar queel área de cierto recinto es A se demuestra,utilizando polígonos inscritos, que no puedeser menor que A; de la misma forma sedemuestra, recuuriendo a polígonoscircunscritos, que no puede ser mayor queA.

La demostración atribuida a los pitagóricospara la inconmensurabilidad de 2 con 1procedía, según Aristóteles, por reductio adabsurdum. Se trata de la conocidademostración que hacemos en laactualidad para la irracionalidad de 2, y quefuera incluida en algunas de las antiguasversiones de los Elementos de Euclides,como Proposición 117 del Libro X; además,es posible hallar varias demostraciones queemplean el recurso de reducción alabsurdo.

Fermat empleó el método de descensoinfinito, una variante del método dedemostración por reducción al absurdo(Kline, 1972) donde la contradicciónconsiste en definir una sucesión infinitaestrictamente decreciente de númerosenteros positivos. Dicho de otra manera:si siempre que se encuentre un númeronatural que verifica cierta propiedad hayotro menor que él, que también la verifica,entonces podrá afirmarse que ningúnnúmero natural verifica dicha propiedad,ya que el conjunto de números naturalest iene un pr imer elemento en suordenamiento según la relación “essucesor de” y no es denso. La aplicaciónque hizo Fermat de tal método tuvo comofin demostrar algunos teoremas de lateoría de números.

299

Cabe hacer notar que algunas culturas,como la china y la hindú, no utilizaron en sumatemática demostraciones por reducciónal absurdo, y que en ambos casosdesconocían e incluso negaban el principiodel tercero excluido (Ifrah, 1997), baseinnegable de esta forma de argumentación.Para los griegos y, en consecuencia, paraOccidente, sin lugar a dudas la influencia deZenón y Parménides fue decisiva para laaceptación de este principio lógico.

El absurdo como concepción filosófica

Ante la crisis de las paradojas o antinomiasproducida a fines del siglo XIX, LuitzenBrouwer y la escuela intuicionista afirmaronque ello se debió al uso ilimitado que sehacía del principio del tercero excluido; poresta causa, propusieron la limitación odirectamente su supresión. Para Brouwer,dicho principio sólo era aplicable a “conjuntosfinitos y bien determinados” (Toranzos,1943).

Efectivamente, frente a una paradoja es elprincipio del tercero excluido el que lleva aafirmar la negación de la misma, para caernuevamente en otra afirmación paradójica.Un ejemplo en el que se ve claramente estoes la conocida Paradoja de Russell acercade la existencia de conjuntos que secontienen a sí mismos como elementos.Para los intuicionistas, es posible que elprincipio del tercero excluido aplicado enrazonamientos matemáticos donde serealiza una argumentación por reducción alabsurdo, ocurra algo similar. Elintuicionisno plantea esta duda y trata dedarle solución sin postular nada al respecto(Toranzos, 1943).

Desde el punto de vista lógico, elneointuicionismo se destaca por el sentidoque da a los términos afirmativo y negativo.Para la lógica subyacente al formalismo

Lo verdadero es lo no contradictorioLo falso es lo que no es verdadero

En esta postura, verdad y falsedad son lasúnicas dos posibilidades, opuestas ycontradictorias.

Para la lógica neointuicionista basada enla visión de Brouwer:

Afirmación de una proposición: Significaque puede demostrarse porconstrucción, es decir, a través de unprocedimiento de cálculo finito

Negación de una proposición: Significaque dicha proposición implica unacontradicción.

Existe además una tercera posibilidad;se trata de aquellas proposiciones de lasque no se ha demostrado ni suafirmación ni su negación.

La negación y la afirmación brouwerianasson posibilidades contrarias que seexcluyen, pero no necesariamente sonopuestas contradictorias. Sobre la base deestas definiciones no se puede inferir lanegación de una proposición a partir desaber que la af i rmación de unaproposición conduce a un absurdo. Losintuicionistas (Haack, 1978) se vieron enla necesidad de sentar las bases de unalógica que no utilice el principio deltercero excluido; esta labor estuvo acargo de Glivenko, quien partió de lasideas de Brouwer y Heyting.

En el siguiente cuadro se sintetizanalgunas ideas de la lógica intuicionista,en comparación con las de la lógicaclásica (Toranzos, 1943). Utilizaremos elsímbolo ~ para representar la negaciónclásica y ¬ para la negación intuicionista,representará la implicación clásica y laimplicación intuicionista. (Cuadro No. 1).

⊃⇒


Relime300

Lógica intuicionista

¬ A indica la absurdidad de A

¬ (¬ A) indica la absurdidad de la absurdidadde A

A implica ¬ (¬ A), pero no se puede afirmarque ¬ (¬ A) implica A; por tanto, no se puedeafirmar que A sea equivalente a ¬ (¬ A)

Lógica clásica

~A indica la falsedad de A

~( ~A) indica la falsedad de la falsedad de A

A implica ~( ~A) ~( ~A) implica A; por tanto,A es equivalente a ~( ~A), o sea, la falsedadde la falsedad de A coincide con A

Cuadro No. 1.

Si se aplican estas ideas a las demostraciones por reducción al absurdo, se obtienen lasdescripciones que contiene el Cuadro No. 2.

Lógica intuicionista

Principio de transposición:lo que implica loabsurdo es absurdo

Si se aplica este principio a la negación

Y como

Pero comoA no implica ¬ (¬A)B no implica ¬ (¬B)

Se tiene

De esto se deduce que las demostraciones porel absurdo no son necesariamente válidas.

Lógica clásica

Principio de transposición:lo que implica lofalso es falso

Si se aplica este principio a la negación

Y como

Se tiene

( ) (~ ~ )A B B A⇒ ⇒ ⇒

(~ ~ ) (~ (~ ) ~ (~ ))A B B A⇒ ⇒ ⇒

~ (~ )

~ (~ )

A A

B B

≡

≡

(~ ~ ) ( )B A A B⇒ ⇒ ⇒

( ) ( ( ) ( ))¬ ⊃ ¬ ⊃ ¬ ¬ ⊃ ¬ ¬A B B A

¬ ¬ ⊃

¬ ¬ ⊃

( )

( )

A A

B B

( ) ( ( ))¬ ⊃ ¬ ⊃ ⊃ ¬ ¬B A A B

Cuadro No. 2.

Una consecuencia importante de la lógicaintuicionista para la lógica clásica es quepermite afirmar la independencia delprincipio del tercero excluido con respectoa los demás principios de la lógica clásica.Tal afirmación genera una ruptura desdelo epistemológico.

La visión intuicionista de la matemática(Haack, 1978) presenta a esta cienciacomo aquélla que no va más allá de losobjetos que ha construido en ella; laexistencia de los objetos matemáticos y suspropiedades sólo es demostrable a travésde su re-construcción. Ahora bien, en el

301

estudio de las construcciones matemáticasmentales, existir es sinónimo de serconstruido; de esta manera, para losintuicionistas la lógica no puede decir nadasobre la existencia de un objeto matemáticosi no es capaz de construirlo.

El absurdo como concepciónfilosófica en las culturas antiguas

La posición de los intuicionistas de la noaceptación del tercero excluido no fue unanovedad del siglo XX. Si buscamosantecedentes en culturas que no incluyeronlas argumentaciones por el absurdo, comola china y la hindú, resultan notablesalgunas aserciones filosóficas:En la China antigua, las ideas filosóficasse basaron en la coexistencia y equilibrioentre el ying y el yang (Ifrah, 1997). Todoser es combinación de lo femenino y lomasculino, de la energía pasiva y deacción; nada es totalmente ying ototalmente yang. Esto ofreció un sustentosimbólico desde el que fue posible construirdiferentes modos de oposicionesnuméricas y dio también la posibilidad parael surgimiento de objetos matemáticoscomo el cero, aunque no tuvo todas lascaracterísticas del cero hindú.

La simetría y equilibrio que preside elparadigma chino es radicalmente distintode la filosofía de la Grecia clásica. Para losgriegos no es posible pasar del ser al noser, no es posible cambiar el género o lanaturaleza de un objeto; no existe ningúnelemento identificable que esté en el límitedel ser y el no ser. De allí que en Grecia noapareció el cero.

En cuanto a la formación del cero entre losmayas, se caracterizó por la inexistencia dedicotomías que favorecieron la constituciónde la noción de cero (Farfán, 2003b). El diosde la lluvia no es a priori bueno o malo, sino

que lo es simultáneamente; de ahí que lanoción de transición entre lo uno y lo otrosea tan importante como los estadosmismos. Investigaciones recientes (Covián,2005) hechas bajo el enfoquesocioepistemológico explican la construcciónsocial del conocimiento matemático que sehalla en torno a la construcción de viviendamaya, la cual responde a ciertos contextos ycultura inherente; asimismo, señala lafunción normativa de la práctica social.

La India, cuna del cero con todas susfunciones, también se caracterizó por tenerideas filosóficas totalmente distintas a lasgriegas, en particular con relación alprincipio del tercero excluido. Historiadoresde la cultura hindú comentan:

En todas las cuestiones los filósofosbudistas llegan a responder desdeluego por la afirmación, después porla negación, después de una maneraque no es la negación ni la afirmación.A una pregunta como ésta, porejemplo: «¿Buda existe después demuerto?» responde: «Buda existedespués de muerto, Buda no existedespués de muerto, Buda no es másexistente que no existiendo despuésde la muerte».

(Le Bon, 1901, 358)

La idea de que pudiera darse en Buda laposibilidad de ser y no ser simultáneamenteno podría haber sido aceptada por losgriegos.

En los gr iegos surge también elrazonamiento acerca del ser y el no ser.Parménides compone un poema épico-didáctico destinado a persuadir, donde nopone en juego motivaciones que nosurjan por sí solas y utiliza el esquemaque Aristóteles menciona como“reducción a lo imposible”, o reducciónal absurdo:


Relime302

Que el ser es implica que no ha nacido,pero si hubiese nacido significa quepreviamente no existía el ser y, en esecaso, tendría que haber nacido de lanada, pero, aparte de que sólo puedehablarse de lo que es y no de la nada,¿qué necesidad le haría pasar de noser a ser?

(Citado por Eggers, 1995, 33)

Esta argumentación utiliza, además, unode los principios aristotélicos, que es elprincipio de necesidad. En la racionalidadclásica,“que el ser es y no puede ser queno sea”, enunciado por Parménides, surgede las bases pre-racionales (Lizcano,1993). Para Aristóteles, el principio de nocontradicción es básico e inviolable,mientras que para las filosofías china eindia no lo es. Aristóteles afirma:

El principio más firme de todos seráaquel con respecto al cual es imposiblepadecer error. Tendrá que ser el mejorconocido, necesario y no hipotético.Ahora bien, un principio que esnecesario aceptar para comprendercualquier ente, no es hipotético. Y loque es necesario para conocercualquier ente es necesario que setenga conocido de antemano.

(Aristóteles, citado por Lizcano, 1993, 158)

Esta diferenciación del principio nocontradicción por encima de los otrosprincipios lógicos se pone en evidencia conla aceptación a priori de que las cienciasdeben ser consistentes. Tal principio es labase de toda la filosofía y la lógica griegas,así como el punto de partida de toda laciencia de tradición griega.

Las bases lógicas que sustentan lasargumentaciones por reducción al absurdofueron descritas básicamente porAristóteles en sus orígenes. Este tipo de

argumentación descansa sobre dosprincipios enunciados por Aristóteles: el deltercero excluido y el de no contradicción.Por una parte, el tercero excluido afirmaque vale A o no A, una cosa o su negación;por otra, el de no contradicción dice queno pueden valer A y no A, no pueden serciertas simultáneamente una cosa y sunegación. De allí que ante una implicación: ,sea lícito para los griegos suponerque pueda ser ~T, pero al llegar a que ~T

no es compatible con H, o sea que deberíaser ~H, como no pueden serciertas; entonces no puede ser ~T, y si noes ~T deberá ser cierta T.

Claramente se observa en el párrafo anteriorque, si no se acepta el principio del terceroexcluido o el de no contradicción, lasargumentaciones por reducción al absurdocarecen de sustento lógico. Las matemáticasoccidentales que se edificaron sobre lasbases sentadas por Aristóteles aceptaron yutilizaron este tipo de argumentación durantesiglos sin cuestionarlo, pero estamos enpresencia, sin lugar a dudas, de unaconstrucción cultural fuertemente cimentadaen las ideas aristotélicas. Es decir, el saberes una construcción cultural y el método dedemostración responde a una concepciónfilosófica.

El absurdo en el aula

La demostración por reducción alabsurdo es un método de razonamientodeductivo de especial trascendencia enel quehacer matemático y presenta unaproblemática epistemológica, cognitivay también didáctica de sumo interés parala investigación en educaciónmatemática.

(Sáenz Castro, 2002, 48)

La utilización de argumentaciones por elabsurdo en el aula de matemática, según

H T⇒

H H∧ ~

303

investigaciones realizadas (Sáenz Castro,2002), genera en los alumnos una serie deobstáculos cognitivos, epistemológicos ypsicológicos en el aprendizaje de este tipode demostración; sin embargo, SáenzCastro no reporta los resultados que haobtenido en sus experimentaciones.

Desde el punto de vista epistemológico,hemos visto que no todas las ideasfilosóficas desarrolladas por el hombreaceptan este tipo de argumentación; desdeel cognitivo, que en el método por reducciónal absurdo hay que falsear la tesis comopunto de partida y comprender aprofundidad el significado de un enunciadocondicional, mientras que desde elpsicológico podría decirse que el métodode argumentación por reducción al absurdoproduce en los alumnos cierto desconcierto,ya que parte de negar lo que se quieredemostrar.

Con el objetivo de observar y analizar cuálesson las actitudes de los alumnos de diversaformación ante las argumentaciones por elabsurdo presentadas en distintos contextos,se diseñó una serie de actividades dediferente tipo que describiremos acontinuación. La experimentación se realizóen dos fases. La primera tuvo como findeterminar cuál es el papel quedesempeñan las figuras de análisis en lasdemostraciones por reducción al absurdo;la segunda se concentró en analizar si eraposible reconocer a las argumentacionespor reducción al absurdo como unaconstrucción sociocultural.

Primera fase de experimentación: Lasfiguras de análisis en las

argumentaciones por reducción alabsurdo

Objetivos, diseño de la secuencia,destinatarios

Esta fase de exploración se diseñó a fin

de poner en juego una de nuestras hipótesisrelacionadas con las argumentaciones porreducción al absurdo: las figuras de análisisdificultan la comprensión de losrazonamientos cuando se util izanargumentaciones por el absurdo. Dichaafirmación se basó en que, en estos casos,se hace difícil el aprovechamientocoherente de las figuras de análisis, puesal comenzar suponiendo que la tesis no severifica, no es posible realizar una figura queverifique todas las condiciones impuestaspor la hipótesis.

Para confrontar esta hipótesis y analizar lasopiniones que este tipo de figuras motivaen futuros profesores de matemáticas, sehizo la siguiente secuencia, que retoma eltexto de la demostración de la Proposición2 del Libro III de los Elementos de Euclides.La afirmación presentada a los estudiantesfue la siguiente:

La demostración de la Proposición 2 delLibro III de los Elementos de Euclides(1991) afirma:

...“Sea el círculo y sobre sucircunferencia tómese al azar dospuntos A, B.

Digo que la recta trazada desde A hastaB caerá dentro del círculo.Puessupongamos que no, entonces si esposible, caiga fuera como AEB y tómeseel centro del círculo , y sea , ytrácese y , y prolónguese .Así pues, como es igual a ,entonces también el ángulo esigual al ángulo ; y como un ladoAEB del triángulo ha sidoprolongado, entonces el ángulo esmayor que el ángulo .

Pero el ángulo es igual al ángulo . Por tanto, el ángulo esmayor que el ángulo . Ahora bien,

ABΓ

ABΓ ∆∆A ∆B ∆ZE

∆A ∆B∆AE

∆BE∆AE

∆EB∆AE

∆AE∆BE ∆EB

∆BE


Relime304

el ángulo mayor lo subtiende el ladomayor, entonces es mayor que .Pero es igual que . Por tanto, es mayor que , el menor que elmayor, lo cual es imposible.

Entonces la recta trazada de A a B nocaerá fuera del círculo. De la mismamanera, demostraríamos que tampococaerá sobre la misma circunferencia;por lo tanto caerá dentro.

Por consiguiente, si se toman dospuntos al azar en la circunferencia deun círculo, la recta que une los puntoscaerá dentro del círculo.

Que es lo que había que hacer”...

a.Explique la estrategia deargumentación utilizada en esteteorema por Euclides

b.Realice la construccióncorrespondiente y explique el papely las dificultades de las figuras deanálisis en este tipo dedemostraciones

c.Enuncie en términos matemáticosactuales el correspondiente teorema

d.Justifique cada paso, enunciandolas propiedades previas de las quehace uso Euclides, si las hubiera

Los destinatarios de esta secuencia fueronlos alumnos de la materia Fundamentosde la Matemática, correspondiente a lacarrera de Profesor de Matemática yAstronomía del Instituto Superior delProfesorado “Dr. Joaquín V. González” deBuenos Aires, Argentina. Los alumnos seencuentran terminando sus estudios delúltimo año de la carrera mencionada, y enla asignatura Fundamentos de la

∆B ∆E∆A ∆Z

∆Z ∆E

Matemática han abordado temáticas comológica proposicional y de predicados ysistemas formales durante el primercuatrimestre, al igual que el análisis dealgunos núcleos temáticos medulares enlos fundamentos de la matemática, comola axiomática de Euclides y de Hilbert parala geometría, la fundamentación delanálisis, las geometrías no euclidianas, lasposiciones frente a la crisis de losfundamentos en el siglo XX, entre otras.

Como la experimentación se realizó sobrefinal del curso, podemos afirmar que losalumnos involucrados poseen ciertomanejo de la lectura, interpretación yanálisis de teoremas, así como de las ideaslógicas que subyacen en ellos. Además,están acostumbrados a realizar análisismetamatemáticos de propiedades yconceptos matemáticos.

Esta secuencia no pudo ser experimentadaen otras poblaciones de alumnos, ya querequiere de ciertos procedimientos yhabilidades cuya formación se apunta enla asignatura mencionada, pero nogeneralmente en otras.

Los alumnos que intervinieron fueron doce.Una vez hecha la resolución de lasecuencia por escrito, se prosiguió con unaentrevista oral a algunos de ellos paraprofundizar en las ideas vertidas en eltrabajo.

Resultados obtenidos en la primerafase de experimentación realizada

Los alumnos que accedieron a responderlas preguntas presentadas, excepto uno,identificaron que se trataba de unademostración por reducción al absurdo.Formularon la explicación de este métodode argumentación, afirmando en algunoscasos:

305

Utiliza demostración por reducción alabsurdo. Niega la tesis que es que AB

es interior a la circunferencia y llegaa una contradicción, entonces es lanegación de la negación de la tesis.

Euclides util iza para estademostración una prueba indirecta odemostración por reducción alabsurdo. Las demostracionesindirectas constituyen un tipo habitualdel razonamiento matemático. Paraestablecer la verdad de unaproposición A se hace la hipótesis deque la proposición A´ contraria a lo deA es cierta. Entonces mediante unacadena de razonamientos se llega auna contradicción con A, lo queprueba lo absurdo de A´. Enconsecuencia, apoyándose en elprincipio lógico fundamental deltercero excluido, la falsedad de A´

establece la verdad de A.

Cuando los alumnos intentaron realizar lafigura de análisis correspondiente a lademostración presentada por Euclides,dudaron y expresaron primeramente enforma oral las dificultades que acarrea estafigura de análisis. Luego, diez de los doceparticipantes presentaron figuras de análisisque denotaban la inconsistencia de lasuposición hecha por Euclides.

La figura de análisis que presenta Euclides(1991 p.294) es la que muestra la Figura 1.

Figura 1.

Debe notarse que la recta AEB es “curva”,pues para poder realizar el razonamientopor reducción al absurdo se supone quetal segmento es exterior a la circunferenciay, por tanto, no es posible realizar el trazadocorrespondiente, ya que esta suposición noes consistente con el resto de las hipótesis.

Presentamos a continuación algunasfiguras de análisis realizadas por losalumnos encuestados en esta etapa, quenos parece pueden brindar una idea sobrelas distintas dificultades surgidas y lasmaneras en las que cada uno las solucionó.

Figura 2.

En el caso de la Figura 2, se observa que sibien en el razonamiento se está suponiendoque el punto E es exterior al círculo, en lafigura que presenta esta alumna E es interior.Al explicar, afirma que el punto “se ve en elinterior del círculo, pero está afuera”.

Una figura de análisis distinta fue presentadapor otro alumno que intervino en laexperiencia (Figura 3).

Figura 3.


Relime306

Se trata de una construcción muy similara la presentada por Euclides, donde seevidencia la necesidad de “curvar la recta”para poder responder a la suposición dela negación de la tesis.

Una situación parecida quedó evidenciadaen la siguiente figura de análisis (Figura 4):

Figura 4.

Aquí podemos observar que, si bien existegran similitud con la figura de Euclides, unasuave línea una B con E, ya que de estamanera se pone en evidencia que “la rectano es curva”.

La Figura 5 muestra otra representaciónanáloga.

Figura 5.

En este caso, aparece el punto E en elexterior del círculo, pero además de utilizaruna línea curva para representar la recta,se unen los puntos A y E, y B y E consegmentos. Para poder seguir losrazonamientos de Euclides es necesarioque se realice una figura auxiliar en la queA, E y B estén alineados.

La Figura 6 presenta otra figura de análisismuy particular:

Figura 6.

En ella, el punto E figura en dos lugares delplano simultáneamente: uno en el interior delcírculo y el otro en el exterior. La alumna quela dibujó afirmó que consideraba una u otraposición según el momento de lademostración. Al preguntársele sobre si estono era un problema, dijo que “es la únicamanera de ver intuitivamente lo que sucede”y de poder “mantener al punto E fuera de lacircunferencia”, pues “como estamosrazonando sobre una afirmación falsa, no esposible pensar coherentemente”.

Una situación similar se dio en lapresentación de la figura de análisis de laFigura 7. En ella, la alumna que la hizoubicó en dos lugares simultáneos a lospuntos A y B.

Figura 7.

La autora de esta figura de análisis dijo quele resultó esto más natural que “curvar unarecta”, pues lo consideraba “muy poco

307

euclidiano”. Sin embargo, para poderseguir el razonamiento lo hacíasimultáneamente sobre ambas figuras,afirmando que “la incompatibilidad deambas afirmaciones, hipótesis y negaciónde la tesis, se ponía de manifiesto en lanecesidad de ambas figuras”.

La Figura 8 presenta característicascomunes a varias de las que hemospresentado. El segmento AZB presentatres casos, ya que es curvo y quedarepresentado por dos segmentos AZ y ZB,simultáneamente, mientras que en lafigura auxiliar aparece el punto Z interiorpara visualizar la alineación de los trespuntos:

Figura 8.

Otro caso donde aparecieron dosubicaciones simultáneas para el punto Bfue el que ilustra la Figura 9, en el que elpunto B era considerado alineado con E yA para poder seguir ciertos razonamientosde Euclides.

Figura 9.

En las figuras de análisis propuestas porlos estudiantes que intervinieron en laexperimentación se observa claramenteque, para poder representar la situaciónpropuesta por Euclides mediante ungráf ico, es necesario que algunoselementos pierdan sus característicaseuclidianas: rectas curvas, puntos quese ven en el interior, pero que están enel exterior de la circunferencia, puntosque se encuentran simultáneamente endos lugares, puntos de la circunferenciaque están ubicados fuera de ella, etc.

La suposición de que no se verifica latesis propuesta, se ref leja en unainconsistencia en la figura de análisis, dela misma manera que en el razonamientosurge una contradicción que dará origena la afirmación sobre el absurdo de lasuposición realizada.

Al explicar las dificultades en el uso defiguras de anál isis en este t ipo dedemostraciones, algunas respuestasobtenidas fueron:

“La figura de análisis no ayuda”.

“Una dificultad es establecer dóndeubicar el punto E. Al caer fuera,surgen las contradicciones”.

“Las figuras de análisis no siemprepueden mostrarnos la verdad ya que,como su nombre lo dice, son paraanalizar sobre los datos y lo quequiero llegar”.

Como puede inferirse de las respuestasanteriores, los alumnos son conscientesde las dificultades que surgen al usarfiguras de análisis en demostraciones porreducción al absurdo, y de cómo estasfiguras son engañosas a la intuición alrealizar una demostración.


Relime308

En la siguiente expl icación puedeobservarse cómo comprenden que loúnico que se está negando es que elsegmento sea interior, pero el resto desus propiedades se mantienen y puedenser aplicadas en cualquier momento dela demostración:

Para suponer que la recta AEB caefuera de la circunferencia, debodeformar la recta porque si nosiempre está dentro de lacircunferencia. Esto implica que larecta AEB en el gráfico no se veacomo recta, pero en teoría tiene todaslas propiedades de la recta.

Las dos preguntas restantes delcuestionario apuntaban básicamente aque los alumnos identificaran los pasosdel proceso deduct ivo que real izaEuclides dentro del sistema axiomáticopropuesto y a la identificación de cuál esla propiedad demostrada: “Si se tomandos puntos al azar de una circunferenciade un círculo, la recta que une los dospuntos caerá dentro del círculo”(Euclides, 1991). No hubo problemasgraves en las respuestas dadas. Elenunciado fue expresado en esa formau otra equivalente y los pasos efectuadospor Euclides en la demostración fueronjustificados de manera correcta por lamayoría de los alumnos mediante lospostulados, nociones comunes,def inic iones y propiedadescorrespondientes.

Con posterioridad se hicieron algunasentrevistas a algunos de los alumnospart ic ipantes en esta etapa deexperimentación. El diálogo se orientóprimero a la expl icación de lascaracterísticas de la figura de análisisreal izada y poster iormente en laexpl icación lógica de lasargumentaciones por el absurdo.

En estas entrevistas se puso enevidencia que la total idad de losencuestados era capaz de identificar eltipo de argumentación, como lo habíanhecho por escrito, y de explicar las baseslógicas que sustentan su uso enmatemática. Más de la mitad del grupose refirió correctamente al principio deltercero excluido y al de no contradicción;asimismo, fueron capaces de identificarla aparic ión de una proposicióncontrarrecíproca de la dada en elenunciado a lo largo de la demostración.

Segunda fase de experimentación:La utilización de argumentaciones

directas y por reducción al absurdo

Objetivos, diseño de la secuencia,destinatarios

La segunda fase de la experimentaciónse orientó, en primer lugar, a determinarsi los sujetos que fueron capaces deidentificar y explicar la presencia deargumentaciones por reducción alabsurdo en un escenario académico, conel análisis de la obra de Eucl ides,identificaban y utilizaban correctamenteeste t ipo de argumentaciones antepreguntas y situaciones no académicas.Para ello, se sometió al mismo grupo aotra encuesta.

En esta misma fase de experimentaciónse compararon los resultados obtenidosen el mismo grupo de alumnos de laprimera fase con los de un segundogrupo, proveniente del Instituto NacionalSuperior del Profesorado Técnico de laciudad de Buenos Aires, Argentina. Losalumnos involucrados cursan el segundoaño de la carrera de Profesorado enInformática, tienen algunas nociones delógica en su formación, aunque en menormedida que el pr imer grupo, y su

309

orientación es distinta porque estudianuna carrera informática.

El tercer grupo de alumnos que intervinoen esta fase de experimentación seencuentra terminando sus estudios denivel medio, ya que cursa el tercer añode nivel polimodal en un bachillerato conorientación en Ciencias Sociales yHumanidades. En este año tienen unaasignatura denominada Introducción alConocimiento Científico, donde estudianciertos conceptos básicos de lógica ysus aplicaciones a las ciencias y a laresolución de situaciones problemáticas,que corresponden a juegos de ingenio yestrategias lógicas de resolución.

Sobre el cuestionario diseñado para estafase de experimentación, se basó en lapropuesta de estudio experimentalconocida como “tarea de las cuatrotar jetas”, que combina vocales yconsonantes con números pares oimpares, según cierta consigna.

El texto presentado a los sujetos de laexperimentación fue el siguiente:

Una sociedad secreta está formadapor miembros y tiene un reglamentoque r ige las condiciones muypart iculares y estr ictas para elingreso a la misma. Una de lascláusulas de este reglamento dice:

“Si el nombre de un miembrotermina en vocal, su apellidocomienza con consonante”

En una reunión concurren cuatropersonas que son miembros de lasociedad y que se presentan de lasiguiente manera:

Persona 1: “Mi nombre es Nuria”Persona 2: “Mi nombre es Raquel”

Persona 3: “Mi apellido es Pérez”Persona 4: “Mi apellido es Álvarez”

a) ¿Qué datos necesitaríaobligatoriamente preguntar a estaspersonas, miembros de la sociedad,para saber si la cláusulaanteriormente citada del reglamentode ingreso se está cumpliendo?

b) Explique cuáles son las ideaslógicas en las que se basa para darla respuesta anterior

Los alumnos del Profesorado deMatemática que intervinieron fueron 12(los llamaremos en adelante Grupo A); losdel Profesorado de Informática, 17 (nosreferiremos a ellos como Grupo B), y losque están terminando su escuela media,17 (constituyen el Grupo C).

Una vez realizada la resolución de lasecuencia por escrito se prosiguió comoen la primera fase de la experimentación,haciendo entrevistas orales a lospart ic ipantes, que se or ientaron aprofundizar o aclarar algunas ideas quesurgieron en las respuestas a estecuestionario.

Resultados obtenidos en la segundafase de experimentación realizada

Describiremos pr imeramente porseparado los resultados obtenidos encada grupo que intervino en esta fase deexperimentación.

La respuesta esperada para la primeracuest ión se ref iere a que debepreguntársele a la Persona 1 cuál es suapellido, y a la Persona 4 cuál es sunombre. En el primer caso, se espera eluso de una forma directa de razonar:partir de la verdad del antecedente de la


Relime310

imp l icac ión (e l nombre de es temiembro de la sociedad termina convocal) y si el consecuente es verdadero(el apell ido de este miembro de lasociedad comienza con consonante),se tendrá la verdad de la implicación,o sea, la cláusula del reglamento deingreso de la sociedad. En caso de quela información obtenida indique que elconsecuente es falso, la cláusula delreglamento de ingreso de la sociedadno se estará cumpliendo. Para el casode la Persona 4, se trata de una formaindirecta de razonar; se conoce el valorde verdad de l consecuente de laimplicación es falso, ya que el apellidono comienza con consonante. Portanto, deberá ser el antecedente falsopara que la implicación se mantengaverdadera . En los casos de lasPersonas 2 y 3 no es necesario hacerpregunta alguna, pues se trata decasos donde la imp l icac ión esverdadera , ya que en un caso e lnombre termina con consonante, de ahíque no importe con qué comienza suape l l ido , y en e l o t ro e l ape l l idoempieza con consonante, por lo cualno importa la condición de terminaciónde su nombre.

Las respuestas dadas por los alumnosde cada uno de los grupos fueron lassiguientes:

En el Grupo A:

Cinco alumnos propusieronpreguntar los datos faltantes a lasPersonas 1 y 4

Tres propusieron preguntar a lasPersonas 1 y 3 los datos faltantes

Tres respondieron que debían

preguntar a los cuatro miembrospresentes de la sociedad

Uno se abstuvo de responder

En el Grupo B:

Dos alumnos propusieronpreguntar los datos faltantes alas Personas 1 y 4

Dos propusieron preguntar a lasPersonas 1 y 3 los datosfaltantes

Ocho respondieron que debíanpreguntar a los cuatro miembrospresentes de la sociedad

Cuatro propusieron preguntarsólo el nombre de la Persona 1

Uno se abstuvo de hacerpreguntas porque arguyó que “setrata de una sociedad secreta”

En el Grupo C:

Uno de los alumnos propusopreguntar los datos faltantes alas Personas 1 y 4

Uno propuso preguntar a lasPersonas 1 y 3 los datosfaltantes

Quince respondieron que debíanpreguntar a los cuatro miembrospresentes de la sociedad

Al traducir las respuestas a un cuadrocomparativo, encontramos la siguientesituación (Cuadro No. 3):

311

Grupo

AB

C

Personas 1 y 4

520

%41,711,70

Personas 1 ,3 y 4

001

%006

Personas 1 y 3

321

%2511,76

Personas 1,2,3 y 4

3815

%254788

Personas 1

040

%0

23,60

Noresponde

110

%8,360

Cuadro No.3.

Indudablemente, algo que llama laatención a primera vista es que menos dela mitad del Grupo A haya dado larespuesta correcta a esta pregunta,cuando en la primera fase de laexperimentación habían identificada yexplicado correctamente la maneraindirecta de razonar. Sin embargo, en elGrupo 2 la cantidad de respuestascorrectas es proporcionalmente casi a lacuarta parte de las dadas por el Grupo A,mientras que en el C no hubo ningunarespuesta correcta.

Otro dato relevante es la gran cantidad dealumnos del Grupo B que respondió queera necesario preguntar los datos faltantesa las cuatro personas, y de quienespropusieron sólo preguntar el apellido dela Persona 1. En el caso del Grupo C, lamayoría decidió que era necesariopreguntar todos los datos faltantes.

Sólo uno de los alumnos del Grupo Aexplicó desde la lógica el fundamento dela respuesta dada:

“Las ideas lógicas son la implicación:p=el nombre de un miembro terminaen vocalq=su apellido comienza conconsonante

p q

que es equivalente a:~ q ~p”

Durante la entrevista con este alumno, dijoque esta última proposición es “ lacontrarrecíproca de la primera” y que “la

⇒

⇒

manera de razonar para llegar en cadacaso es una de manera directa: parto delantecedente (que actúa como hipótesis) ysi la tesis es verdadera, la cláusula deingreso es verdadera”, mientras que alpreguntar el nombre de la Persona 4“estamos razonando por el absurdo: partode que la tesis es falsa y si llego a que lahipótesis es falsa, la cláusula es verdadera,pero si no es falsa”.

Otra de las alumnas del Grupo A justificóde la siguiente manera:

“Necesito saber el apellido de laPersona 1 para verificar si su apellidoempieza con consonante.

A la Persona 2 no necesito preguntarlenada porque, como su nombre notermina con vocal, no tengo ningunacondición sobre su apellido.

A la Persona 3 no necesito preguntarnada, ya que si su nombre termina convocal se cumple la regla de la sociedad,y si no termina con vocal no hay reglasobre su apellido.

A la Persona 4 le preguntaría elnombre, ya que si terminara en vocalestaría incumpliendo la regla. En casode terminar en consonante, no importael apellido”.

Una de las alumnas del Grupo A cuyarespuesta fue que se debían preguntar losdatos de las Personas 1 y 3 afirmó:


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“Persona 1: El apellido. Para que secumpla el reglamento, la respuesta debeser un apellido que comienza conconsonante.Persona 2: No le preguntaría nadaporque su nombre no termina con vocal.No cumple el reglamento.

Persona 3: ¿Cuál es su nombre? Larespuesta debe ser un nombre quetermine con vocal para que se cumplael reglamento.

Persona 4: No le preguntaría nadaporque su apellido comienza con vocal.No cumple el reglamento”.

Puede observarse claramente en este casoque lo que está pidiendo es el cumplimientosimultáneo del antecedente y el consecuentede la implicación, que atañe a la cláusula deingreso. Desde el punto de vista de la lógica,estaría considerando que una implicación esequivalente a su recíproca.

En el Grupo B, uno de los alumnos quepropuso preguntar los datos a las Personas1 y 3, justificó de la siguiente manera:

“Utilicé el sentido común. Si el nombretermina con una vocal su apellido debeempezar con una consonante, de formainversa no lo tomo en cuenta, por esono hice preguntar a las Personas 2 y 4”.

Al ser entrevistado, las respuestas que diofueron similares a las presentadas por laalumna anterior del Grupo A.

Con relación a quienes propusieronpreguntar sólo el apellido de la Persona 1,una de las justificaciones dadas por unalumno del Grupo B fue:

“Al no tener otras condiciones más quela citada, solamente la Persona 1termina en vocal, y el resto o bien

termina en consonante o da el apellidoy por eso se infiere que cumplen conla cláusula citada”.

La explicación obtenida a partir de laentrevista se refiere a la manera depreguntar y tomar decisiones en unprograma de computación, en el que “seevalúa el antecedente y, de acuerdo a laverdad o falsedad de éste, se dispara ono el consecuente en un if...then...” Alabrir tal comentario al grupo, todosapoyaron esta argumentación yfortalecieron las expl icacionesconstruidas en el reconocimiento y usode esta estructura de decisióncomputacional.

Uno de los alumnos del Grupo B quepropuso obtener todos los datos faltantesjustificó por escrito:

“Preguntaría esto para saber si laspersonas pueden o no pertenecer ala sociedad. Porque si algunas de laspersonas no cumplen con dichorequisito, no pueden pertenecer a lasociedad y si lo hacen la cláusula nose cumple”.

De manera oral, explicó que en realidad loque propone es atender al valor de verdadde cada caso y, si alguno es falso, lacláusula de ingreso no se cumple. Para él,la única manera de verificar si se cumple ono consistiría en comprobar los datos detodos los miembros de la sociedad.

Las explicaciones del Grupo C se limitarona indicar a quiénes les pedirán los nombresy a quiénes los apellidos, justificando queesos eran los datos faltantes. Noincorporaron en las respuestasfundamentaciones lógicas, con excepcióndel alumno que dio la respuesta en la quesugería pedir los datos de las Personas1, 3 y 4:

313

“A la segunda persona no es necesariohacerle ninguna pregunta debido aque su nombre termina conconsonante y el reglamento sóloexpresa que aquellos nombresterminados con vocal deben tenerapellido que no empiece con vocal. Ala tercera persona es necesariopreguntarle el nombre para saber sitermina en vocal y a la cuarta tambiénpara averiguar lo mismo y saber si faltaal reglamento”.

En la indagación oral, este alumnorelacionó su razonamiento con la tabla deverdad de la implicación, afirmando quela Persona 2 es la que correspondería alas líneas de la tabla de verdad conantecedente falso y, por tanto, laimplicación es verdadera. No identificó queen el caso de la Persona 3 el consecuentees verdadero, por lo cual también se tratade implicación verdadera, sin depender delvalor de verdad del antecedente.

Con respecto al alumno que propusoaveriguar los datos de las Personas 1 y 3,afirmó:

“Sólo debe preguntarle a esas dospersonas porque son las únicas quetienen condiciones relacionadas conesa cláusula”.

En las entrevistas a los alumnos del GrupoC no se ampliaron significativamente lasrespuestas dadas por escrito, la mayoríase limitó a explicar la necesidad deexaminar todos los casos presentados.

Discusión

Como resultado de las dos fases deexperimentación, podemos enunciar lassiguientes conclusiones:

La totalidad de los alumnos que cursan elúltimo año de Profesorado de Matemáticareconocen la presencia deargumentaciones por reducción al absurdoen un contexto matemático, siendocapaces de explicar correctamente sufundamento lógico. Al encontrarse con estetipo de demostraciones en un contextomatemático, pueden incluso indicar cuálesson sus características y dificultades; sinembargo, sólo menos de la mitadargumentaron por reducción al absurdo ensituaciones fuera del contexto matemático.Ello demuestra que reservan este tipo deargumentaciones al escenario académicoy las conciben como una forma natural derazonamiento lógico.

Pocos alumnos con formación informáticaefectúan argumentaciones indirectas pararesolver situaciones problemáticas, ya queprefieren las argumentaciones directas. Noutilizan la forma de razonar indirecta eincluso la cuestionan, a pesar de haberestudiado las ideas lógicas que lasustentan. La forma de razonar de losestudiantes de informática en condicionalesestá unida, según ellos, a la estructura“if...then...”, necesitando evaluar elantecedente antes del consecuente. Estomuestra cómo una práctica profesionalcondiciona la manera de razonar.

Ninguno de los alumnos del último año dela escuela media que intervinieron en laexperimentación, pudo argumentarcorrectamente por el contrarrecíproco. Parala mayoría de ellos, la única manera dedemostrar que una implicación esverdadera consiste en probar todos loscasos, lo cual indica que no tienen aúnincorporada la idea de demostracionesgenerales que no impliquen razonar casopor caso. Si bien alguien podría plantear laposible influencia de la falta deconocimientos formales de este grupo, yaque sus integrantes han estudiado las


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maneras en las que se validan losresultados de las distintas ciencias,consideramos que se trata de un grupocuyas respuestas pueden ser tenidas encuenta en la investigación.

A través de los resultados obtenidos puedeobservarse la influencia de las prácticasprofesionales en las argumentaciones yreconocer a la argumentación por reducciónal absurdo como una construcción cultural.Ello lo hemos realizado bajo la mirada de lasocioepistemología, que permite el estudiode las interacciones entre la epistemologíadel conocimiento, la dimensión sociocultural

y los procesos cognitivos asociados a losmecanismos de institucionalización vía laenseñanza (Cantoral y Farfán, 2004).

Nuestros estudios nos permiten interpretarla construcción social del conocimientomatemático avanzado y su difusióninstitucional, reconociendo que la matemáticaescolar está al servicio de otros dominioscientíficos y de otras prácticas de referencia,de donde a su vez adquiere sentido ysignificación (Cantoral y Farfán, 1998). Detodo ello se deriva nuestra hipótesis principal:las prácticas sociales son las productoras delconocimiento matemático.

Bibliografía

Aleksandrov, A. D. (1994). Visión general de la matemática. En Guénard, F. y Lelièvre,G.. (Ed.). La matemática: su contenido, métodos y significado. Madrid: Alianza.

Arsac, G. (1987). El origen de la demostración: ensayo de epistemología didáctica.Recherches en Didactique des Mathématiques 8 (3), 267-312.

Balacheff, N. (1982). Preuve et démonstration en mathématiques au collège. Recherchesen Didactique des Mathématiques 3 (3), 261-304.

Boyer, C. (1996). Historia de la matemática. Madrid, España: Alianza Editorial.

Cantoral, R. (1995). Matemática, matemática escolar y matemática educativa. En R.Farfán (Ed.), Publicación de la Novena Reunión Centroamericana y del Caribe sobreFormación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa (volumen 1, pp. 1-10). La Habana, Ministerio de Educación: Cuba.

Cantoral, R. y Farfán, R. (2003) Mathematics education: a vision of its evolution.Educational Studies in Mathematics 53 (3), 255-270.

Cantoral, R., y Farfán, R. (2003) Matemática educativa: una visión de su evolución.Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 6 (1), 27- 40.

Cantoral, R., y Farfán, R. (2004). La sensibilité à la contradiction: logarithmes de nombresnégatifs et origine de la variable complexe. Recherches en Didactique des Mathématiques24 (2-3), 137-168.

Covián O. (2005). El papel del conocimiento matemático en la construcción de la viviendatradicional: el caso de la cultura maya. Tesis de maestría. México: Cinvestav.

315

Crespo, C. (2003). Las demostraciones como contenido matemático. Trabajo presentadoen la VII Escuela de Invierno y el VII Seminario de Investigación en Didáctica de lasMatemáticas, Chilpancingo, Guerrero, México.

Crespo, C. (2004). Argumentar matemáticamente: su importancia en el aula. Trabajopresentado en el II Congreso Virtual de Enseñanza de la Matemática, Guadalajara,Jalisco, México.

Crespo, C. (2005). El papel de las argumentaciones matemáticas en el discurso escolar.La estrategia de deducción por reducción al absurdo. Tesis de maestría. México: Cicata-IPN,

Crespo, C., y Ponteville, C. (2002). Pensar en matemática para enseñar matemática. EnC. Crespo (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 15 (2), 1163-1168.México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Crespo, C., y Ponteville, C. (2004a). Las concepciones de los docentes acerca de lasdemostraciones. En L. Díaz, (Ed.) Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 17(1), 39-44. México: Clame.

Crespo, C. y Ponteville, C. (2004b). Demostraciones matemáticas: funciones y lenguajeutilizado. Trabajo presentado en la IV CAREM, Buenos Aires, Argentina.

Duval, R. (1999). Argumentar, demostrar, explicar: ¿continuidad o ruptura cognitiva?México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Duval, R. (2000). Écriture, raisonnement el découverte de la démostration enmathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques 20 (2), 135-170.

Eggers, C. (1995).El nacimiento de la matemática griega. Buenos Aires, Argentina: EUDEBA.

Euclides (1991). Elementos. Libros I-IV. Madrid, España: Gredos.

Farfán, R. M. (2003a). Matemática educativa: un camino de filiaciones y rupturas. En R.Delgado (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 16 (1), 5-10.

Farfán, R.M. (2003b) Uma pesquisa em educação matemática. Da propagação do calorà noção de convergência. Revista Educação Matemática Pesquisa 5 (2), 39-58.

Gheverghese Joseph, G. (1996). La cresta del pavo real: Las matemáticas y sus raícesno europeas. Madrid, España: Pirámide.

Godino, J. D., y Recio, Á. M. (1997). Significado de la demostración en educaciónmatemática. En: E. Pehkonen (Ed.), Proceedings of the 21th International Conferenceof PME (volumen 2, pp. 313-321). Lahti, Finland.


Relime316

Godino, J. D., y Recio, Á. M. (2001). Significados institucionales de la demostración.Implicaciones para la educación matemática. Enseñanza de las Ciencias 19 (3), 405-414.

Haack, S. (1978).‘Filosofía de las lógicas. Madrid, España: Cátedra.

Hanna, G. (1996). The ongoing value of proof: arguments from physics. En M. deVilliers (Coord.), Proofs and prooving: Why, when and how? (pp.1-14), The Associationfor Mathematics Education of South Africa (AMESA).

Ibañes, M. (2001). Aspectos cognitivos del aprendizaje de la demostración matemáticaen alumnos de primer curso de bachillerato. Tesis doctoral, Universidad de Valladolid,España.

Ifrah, G. (1997). Historia de las cifras. Madrid, España: Espasa Calpe.

Kline, M. (1972). El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días (Vols.I, II y III). Madrid, España: Alianza Universidad.

Knuth, E. (2002). Teacher’s conceptions of proof in the context of secondary schoolmathematics. Journal of Mathematics Teacher Education 5 (1), 61-88.

Le Bon, G. (1901). Las civilizaciones de la India (tomos 1 y 2). Barcelona, España:Montaner y Simón Editores.

Legrand, M. (1988). Rationalité et démonstration mathématiques, le rapport de la classeá une communauté scientifique. Recherches en Didactique des Mathématiques 9 (3),365-406.

Lizcano, E. (1993). Imaginario colectivo y creación matemática. Barcelona, España:Gedisa.

Ministerio de Cultura y Educación (1995). Contenidos básicos comunes para laeducación general básica. Buenos Aires: Ministerio de Cultura y Educación.

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principios y estándares para laeducación matemática. Sevilla, España: Sociedad Andaluza de Educación MatemáticaThales.

Recio, Á. M. (1999). Una aproximación epistemológica a la enseñanza y aprendizajede la demostración matemática. Resumen de tesis doctoral presentado en el III SIDM,Madrid, España, El Escorial.

Sáenz Castro, C. (2002). Sobre conjeturas y demostraciones en la enseñanza de lasmatemáticas. En M. F. Moreno, et al. (Ed.), Actas del Quinto Simposio de la SociedadEspañola de Investigación en Educación Matemática (pp. 47-62) Almería, España:Universidad de Almería.

317

Santaló, L. (1966). La matemática en la escuela secundaria. Buenos Aires, Argentina:EUDEBA.

Santaló, L. (1981). La enseñanza de la matemática en la escuela media. Buenos Aires,Argentina: Proyecto Cinae.

Soto Rivera, R. (2003). El argumento por reducción al absurdo en Parménides yNagarjuna. La Torre. Revista de la Universidad de Puerto Rico 8 (27), 93-105.

Toranzos, F. I. (1943). Introducción a la epistemología y fundamentación de la matemática.Buenos Aires, Argentina: Espasa Calpe.

Vega, L. (1993). ¿Pruebas o demostraciones? Problemas en torno a la idea dedemostración matemática. Mathesis IX (2), 155-177.

Cecilia CrespoInstituto Superior del Profesorado“Dr. Joaquín V. González”Buenos Aires, Argentina

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Rosa María FarfánDepartamento de Matemática EducativaCinvestav-IPNMéxico

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una visión socioepistemológica de las argumentaciones en

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