Una metodología en la resolución de Problemas

y algunos problemas para pensar.

Santiago FernándezAsesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia, Bilbao

El número 123456789101112... se forma escribiendo sucesivamente los números naturales. ¿Qué dígito ocupa el lugar 2016 en dicho número?

Piensa, organízate,….

Tenemos un saco con 50 canicas blancas y en otro 50 canicas rojas.Tomamos 10 canicas del primer saco y las introducimos en el segundo. Posteriormente mezclamos bien las canicas en el segundo saco y tomamos nuevamente otras 10 canicas de él , al azar, y las llevamos al primer saco.Si comparamos las canicas rojas que hay en el primer saco con las canicas blancas que hay en el segundo saco ¿ cuál de las dos sacos tiene más ?

Para abrir boca…..

Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: -¿Cantidad de hijos? -Tres, dice ella. -¿Edades? El producto de las edades es 36, y la suma es igual al número de la casa vecina, dice ella.

El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a la mujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: tiene razón, la mayor estudia piano. Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los hijos. ¿Cuáles son esas edades?

Piensa un poco más Las tres edades

Si se multiplican las fracciones representadas por los puntos C y D de este segmento ¿qué punto representará mejor el producto C. D ?

0 1

A B C D E F

Para seguir….

Método de Eratóstenes, para calcular el radio de la tierra.

¿ cómo lo harías?

Para investigar….

Unas cestas contienen huevos de gallina y otras huevos de pato. Su número está indicado en cada cesta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. ”Si vendo esta cesta -meditaba el vendedor- me quedarán el doble de huevos de gallina que de pato”. ¿A qué cesta se refiere el vendedor?

Sigue pensando…

• Si implica un motivo o propósito que hay que conseguir con obstáculos y que requiere deliberación.

• Si representa un desafío a las cualidades deseables de una persona.

• Si No son cuestiones con trampa o acertijos.

• Si tiene interés por sí misma.

• Si No parece a primera vista algo inabordable.

• Si proporciona al resolverlo un cierto placer, difícil de explicar, pero agradable.

¿Cuándo una situación es un buen problema matemático?.

Problema

Una situación que representa una dificultad, no hay un camino automático para resolverla y se requiere deliberación e investigación de tipo conceptual o empírica para poder resolverla Mario Bunge

¿Qué necesita saber una persona para resolver un problema?

• Conocimiento lingüistico. Términos en los que está redactado el problema. Comprensión del enunciado.

• Conocimiento semántico. • Hechos, datos, etc.. Por ejemplo: 1Ha=10.000m2 Comprensión del

“lenguaje específico” matemático.• Conocimiento esquemático. Ser consciente del tipo de problema a

resolver. • Conocimiento operativo. Dominio de “herramientas matemáticas”.• Por ejemplo: cómo despejar una incógnita, cómo determinar la

ecuación de una recta, cómo manejar el compás, etc.• Conocimiento estratégico. Uso de líneas de pensamiento que se ponen

en juego al resolver problemas, en forma de elección de heurísticos, procedimientos o métodos.

• R. Mayer

!! Queremos resolver problemas en el aula !!Algunas cuestiones a plantearnos

¿Qué tipos de problemas conviene trabajar en clase? ¿Problemas como método o como contenido? ¿Cuánto tiempo dedicar a la resolución de problemas? ¿Problemas en grupo, o para resolver individualmente? ¿Es conveniente explicar un modelo que nos ayude a resolver problemas? ¿Qué modelo?( siguiente diapositiva)¿Todo el alumnado debe resolver problemas? ¿Problemas graduados, con indicaciones y sugerencias de resolución? ¿Problemas para resolver en casa?¿Cómo evaluar los problemas? ¿Problemas ligados a la materia impartida?¿ Problemas en un contexto?¿Problemas tipo’ ¿ cuáles?¿ investigaciones?

Más ESTRATEGIAS en la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS - Ensayo-error     -    Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo     -    Manipular y experimentar manualmente     -    Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar)    -    Resolver problemas análogos (analogía) - Hacer recuente (conteo) - Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación) - Experimentar y extraer pautas (inducir)    -    Seguir un método (organización)    -    Utilizar una expresión adecuada (codificar, expresión, comunicación).     -    Cambio de estado    -    Sacar partido de la simetría     -    Deducir y sacar conclusiones    -    Conjeturar    -    Principio del palomar ( ver diapositivas siguientes)    -    Analizar los casos límite, teoría del color    -    Reformular el problema - Razonar adecuadamente    -    Suponer que no (reducción al absurdo)     -    Empezar por el final (dar el problema por resuelto) - Conocer técnicas específicas de: números, azar, geometría, etc.

Principio del palomar Este interesante principio fue formulado por primera vez de manera formal por Peter G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), se conoce a veces como el principio de distribución de Dirichlet o el principio de la caja de Dirichlet.

Si m palomas ocupan n nidos y m > n, entonces al menos un nido tiene dos o más palomas en él.

Versión sencilla:

a) Demuestre que si 8 personas están en una reunión, al menos dos de ellas cumplen años el mismo día de la semana.

b) ¿Cuántas veces debemos tirar un sólo dado para obtener el mismo resultado al menos dos veces?

Acercándonos al principio del palomar…

Si 11 palomas se introducen 10 nidos…Hay al menos dos palomas en un mismo nido

Si 21 palomas se introducen 10 nidosHay al menos tres palomas en un mismo nido

Si n palomas se introducen en 10 nidosHay al menos [(n-1)/10 ] +1 palomas en un mismo nido

Si n palomas se introducen en k nidosHay al menos [(n-1)/k ] +1 palomas en un mismo nido

a) Sea un cuadrado de diagonal 3 en el que marcamos al azar 10 puntos. Demostrar que siempre tenemos al menos dos puntos que están a distancia no mayor que 1.

b) Supongamos que tenemos 27 números impares menores que 100. Entonces hay al menos un par de ellos cuya suma es 102.

Utilice el principio del palomar

"Los problemas son oportunidades para demostrar lo que se sabe”

Duke Ellington (1899-1974)

Eduardo miente los miércoles, jueves y viernes y dice la verdad el resto de la semana. Andrés miente los domingos, lunes y martes y dice la verdad el resto de la semana.

Si ambos dicen "mañana es un día en el que yo miento"

¿Qué día de la semana será mañana?

Para pensar un poco…

En el triángulo ABC, dibujamos siete segmentos paralelos al lado BC, que dividen en 8 partes iguales al lado AC. Si BC = 20 centímetros, ¿cuál es la suma de las longitudes de los 7 segmentos?

Piensa un poco más…

La siguiente escalera de “3 pisos” está formada por 6 ladrillos.

¿Cuántos ladrillos se utilizarán para construir una escalera de 6 pisos? ¿Y de 10 pisos?

Piensa y organízate… busca un patrón.

Método de POLYA I. Comprender el problema II. Concebir un plan . III. Ejecución del plan IV. Examinar la solución obtenida

Tipos de estrategias heurísticas

• Buscar un patrón. • Hacer figuras. • Formular un problema equivalente. • Modificar el problema. • Escoger una notación adecuada. • Explotar la simetría. • Dividir en casos. • Trabajar hacia atrás. • Argumentar por contradicción. • Considerar casos extremos. • Generalizar.

Loren Larson “ Problem-Solving Through Problems”

MASON, BURTON y STACEY Pensar matemáticamente

POLYA Cómo plantear y resolver un problema

BRANSFORD, STEIN, y BARRY Solución I.D.E.A.L.

M. De GUZMÁN Para pensar mejor

Cuatro modelos para resolver problemas

Algunas recomendaciones a la hora de resolver problemas.

1.- Si queremos resolver problemas sólo hay un camino: resolver problemas. No vale teorizar sobre estrategias heurísticas.

2.- Además de resolver problemas hay que reflexionar sobre el proceso de resolución. De varios modos se puede estimular esta reflexión operativa: - ejercitando en las técnicas de escritura de protocolos o rótulos que ayuden al autoconocimiento. - ofreciendo guías de acción (modelos de resolución). - identificando las estrategias más usuales.

3.- La mejor manera de avanzar rápidamente en la resolución de problemas es observar a los expertos cómo ellos resuelven los problemas.

1) Una actitud inicial sana, libre en lo posible de bloqueos y barreras previas... 2) Una preparación adecuada, para afrontar el problema, que debe contemplar múltiples aspectos: afectivos, físicos, cognoscitivos... 3) La disponibilidad de estrategias variadas, de entre las que se pueden elegir aquellas que conduzcan al tratamiento más eficaz del problema. 4) Una cierta capacidad de incubación, que permita involucrar a los mecanismos subconscientes de la mente en las tareas de resolución de problemas... 5) Una constante atención a la posible iluminación, inspiración o intuición que pueden surgir en cualquier momento en el dinamismo mental como fruto de esta tensión preparatoria. 6) Una juiciosa evaluación de la situación del proceso a medida que se realiza, a fin de distribuir correctamente el esfuerzo que se debe emplear en las diferentes tareas de la resolución del problema.7) Una perseverancia tenaz, la cual viene a ser el motor que pone en conseguir tensión todos los resortes disponibles de la mente.

D. Miguel de Guzmán, en su libro “Para Pensar Mejor” dice que: ”Al observar el proceder de los expertos se pueden entresacar unos cuantos rasgos característicos de su actuación de tipo general”, son éstos:

Condiciones iniciales para resolver problemas

Para abordar la resolución de un problema matemático se precisa: 

1. Conocimientos matemáticos adecuados a los problemas propuestos. ¿ Cuáles son éstos Conocimientos? 2. Conocimientos de algunas estrategias heurísticas. Se trata ante todo familiarizarse en métodos y estilos de trabajo antes que

conocer muchos resultados dispersos; en definitiva, aprender a pensar y aprender a actuar.

3.  Deseos de resolver el problema. El problema debe escogerse adecuadamente, ni muy fácil ni muy difícil, y

debe dedicarse cierto tiempo a exponerlo de un modo natural e interesante, esto aumentará el deseo de resolverlo( Polya)

a.- Dedicar un tiempo en clase a Resolver Problemas. Resolver problemas de manera esporádica no es una buena opción, hay que ser constante, no "bajar la guardia”. Dedicar un día de la semana a resolver problemas es una posibilidad interesante.b.- Plantear Problemas Interesantes, Motivadores y lo más diversos posiblesLa cantidad de problemas que tenemos a nuestro alcance es inmensa, pero no todos los problemas son igualmente interesantes. Hay que realizar esfuerzos y hurgar entre esa enorme "fauna», proponiendo aquellos que consideramos más motivadores.c. -Seleccionar los problemas, graduar su presentación. Clasificarlos

Un Método a seguir en la resolución de problemas.

JUEGO DE LA ESPIRAL

Es un juego para dos jugadoresSe coloca una ficha en A. Por turnos, se mueve la ficha entre 1 y 5 puntos a lo largo de la espiral, siempre hacia dentro (como marca la flecha)El primer jugador que llegue al punto B gana la partida.

Otros problemas análogos,…

JUEGO CON CERILLAS ( análogo)

• Es un juego para dos jugadores.• Sobre una mesa hay dos montones de cerillas, con cinco cerillas en

cada uno. Cada jugador, por turno, puede coger una cerilla de un montón o una cerilla de cada montón. Pierde el que coge la última cerilla. ¿Tiene ventaja alguno de los jugadores?

• Si es así, ¿cómo debe jugar para ganar siempre?.

COGIENDO FICHAS(análogo)

• Se colocan 21 fichas en un montón sobre la mesa y dos jugadores van cogiendo por turno 1, 2 ó 3 fichas del montón.

• Gana el jugador que coge la última ficha.

• Halla la estrategia para ganar siempre en este juego.

QUITANDO DEL MONTÓN ( análogo)

• Se colocan sobre la mesa un número determinado de fichas o botones. Se debe decidir la cantidad máxima que se puede coger cada vez.

• Dos jugadores van cogiendo las fichas por turno. El que coja la última gana (o pierde, según se decida al principio)

• ¿Existe alguna manera de ganar todas las veces?

VENENO ( análogo)

• Se trata de un juego para dos jugadores. Se empieza colocando 10 fichas en fila.

• El primer jugador coge una o dos fichas de la fila, y el segundo hace lo mismo. Así van cogiendo fichas por turnos, y la última ficha que queda es “veneno”.

• El que coge la ficha veneno, pierde. • Tiene ventaja el que sale?

d.-Procurar que los problemas puedan resolverse por varios caminos .De cara a seleccionar problemas, deberíamos entresacar aquellos proble mas que se puedan resolver de diversas maneras Si el problema sólo se puede resolver de una manera entonces no es buen candidato para proponerlo en el aula. e.-Procurar que "todo “ los alumnos y las alumnas tengan cosas que decir ante cada uno de los problemas. De cara al profesorado esta recomendación nos exige graduar muy bien la presentación:Veamos un ejemplo:

Un Método a seguir en la resolución de problemas

PROBLEMA ( TRIÁNGULO DE PASCAL)

Fíjate en la disposición de los siguientes números

1 1 ......................... 1a Fila 1 2 1................... 2ª Fila 1 3 3 1 ................ 3ª Fila1 4 6 4 1 .............. 4ª Fila

Obtén dos filas más.

a) ¿Cuántos números componen la fila 10ª Fila?b) Calcula la suma de todos los números de la 1ª Fila, de la 2ª Fila....de la 5ª Fila.

¿Qué observas?c) ¿Sabrías cuánto vale la suma de los elementos de la fila 9.ª? ¿Y la 20ª Fila?d) Si te fijas en una de las diagonales aparecen los siguientes números; 1, 3, 6,10.

¿Cuáles son los tres números siguientes? ¿Podrías encontrar una regla o fórmula para encontrar cualquier número de esta serie?

f.-.No adelantar soluciones sin más ni más. En muchas ocasiones el profesor no puede estar «callado» y adelanta alguna pista esencial para resolver el problema, actuar así no suele ser muy recomendable. Todo problema lleva su tiempo y conviene que el alumnado se pelee un cierto con él.g.- Procurar dar «pistas» cuando sea provechoso. En algunas ocasiones los alumnos se sienten bloqueados, no son capaces de continuar, se encuentran en un «callejón sin salida»; si esto ocurriera el profesor puede proporcionar alguna «pista» que les permita continuar.

h.-Alternar problemas— Para clase — En gran grupo— Para casa — En pequeño grupo— Individualmente.

Método a seguir en la resolución de problemas

i.-.Valorar el proceso seguido (la Investigación) frente al resultado (la solución). Algunas ideas:

-En Primer Lugar:Explicar a los alumnos en qué consiste resolver problemas, por lo que es

necesario que describan sus ideas, operaciones, logros, etc., con la mayor claridad posible, lo más fielmente posible

-En Segundo Lugar:Explicar al alumnado cómo van a ser evaluados, concretamente se valorarán

los siguientes apartados:• Respecto a la Comprensión del problema.• Respecto al ataque del problema, primeros intentos, resultados obtenidos,

organización, etc.• Respecto a la explicación de lo que se ha intentado y de lo que se ha

obtenido.• Respecto a la obtención de reglas generales (de tipo verbal, o algebraico)• Respecto a la fase de revisión: si el alumno comprueba los resultados

obtenidos, si es capaz entender todo el proceso, etc.• Respecto a la presentación del informe realizado• ….

Un Método a seguir en la resolución de problemas

j.-. Valorar la originalidad, la brevedad. En algunas ocasiones existe un método de solución verdaderamente original, el valorar adecuadamente dicho método suele motivar al resolutor y animarle a seguir resolviendo problemas.

Veamos un ejemplo:

«Dos jugadores disponen, cada uno de ellos, de un montón de monedas de 2 euros. De forma alternativa las van situando sobre una gran mesa circular. Las monedas no se pueden poner encima de otras ya existentes sobre la mesa. Poco a poco la mesa se irá llenando de monedas y llegará un momento en el que no se pueda poner ninguna otra moneda más. Gana el jugador que pone la última moneda. ¿Quién tiene ventaja, el que sale o el que responde?»

Un Método a seguir en la resolución de problemas

k.- Reflexionar en grupo de aula. Realizar una puesta en común de las soluciones aportados por los alumnos y las alumnas, dándoles oportunidad para que anoten, revisen y reflexionen sobre su manera de resolver el problema. El profesorado debería explicar con toda claridad el proceso de resolución e intentar conexiones con otros problemas o situaciones problemáticas.

l.-Seguir el proceso lo más rigurosamente posible. Anotar las dificultades surgidas a la hora de resolver tal o cual problema. Sondear entre el alumnado el interés que ha despertado el problema; cómo lo han resuelto, qué método han utilizado, etc.

m.- No desanimarse. Un problema supone un reto intelectual, la mayoría de las veces nos resulta cómodo abandonar, no sufrir ante el problema. Hay que educar la voluntad para que el desánimo no cunda, no es tarea fácil pero sí necesaria, sus consecuencias trascienden al mundo de la matemática.

Un Método a seguir en la resolución de problemas

¿ Cuántos rectángulos hay en este tablero?

Sigue pensando…

Problema de Lorenzo Mascheroni  Lorenzo Mascheroni fue sin duda un matemático singular. En su libro Geometria del Compasso (Pavia, 1797), probó que cualquier construcción geométrica que pueda ser hecha con regla y compás, puede ser hecha únicamente con compás. Si bien , el primero en probar ese resultado fue el danés Georg Mohr, quien publicó sus investigaciones en 1672.

De acuerdo a Mascheroni intenta resolver el siguiente problema:

“Tenemos dibujada una circunferencia sobre una superficie y disponemos únicamente de un compás, ¿ cómo harías para encontrar el centro de dicha circunferencia? “ 

Estruja tu cabeza mucho más,…

EL Castillo y los lógicos.

Un malvado monarca capturó a dos famosos profesores de lógica y los encerró en celdas separadas e incomunicadas en la torre de su castillo. Una de las celdas estaba orientada hacia el norte y la otra hacia el sur.

Alrededor del castillo hay un campo en el que hay plantados árboles. Entre ambos, les informó el monarca, alcanzarán a ver todos los árboles, pero ningún árbol será visible por ambos a la vez.

Además, les informó el rey, que hay plantados 10 árboles o bien 13. Todas las mañanas yo me acercaré a preguntarles por el número preciso de árboles que hay en total; cuando lo deduzcan serán liberados.

Así pasaron varios días. A la mañana del quinto día , uno de los profesores dio la respuesta correcta.

¿ Qué razonamiento llevó a la solución?¿ Cuántos árboles hay plantados en el campo?¿ Cuántos árboles alcanza a ver cada profesor?

Estruja tu cabeza….

Adrian y Berta están en plena partida de un juego donde se tienen que conseguir 6 puntos para ganar, y en el que cada uno de los jugadores tiene las mismas oportunidades para vencer en una ronda y llevarse un punto. Adrián está ganando por 5 a 3, cuando de repente se interrumpe la partida. Si cada uno aportó 32 doblones. ¿Cómo deberán repartirse las apuestas depositadas?

[problema propuesto por Fibonacci (1180-1250 en su Liber Abaci , mal resuelto por Luca Pacioli (1445-1514), que sostenía que la repartición debería ser de 5 a 3, cuando, realmente, debe ser de 7 a 1]

El problema del reparto

Sigue estrujando tu cabeza,…

Problemas de razonamiento. Tipos de razonamiento

- Directo

a) Marcha adelante

b) Marcha atrás

- Por contraposición

- Supongamos que no

Teoremas y razonamientoAl teorema de partida se lo llama teorema directo; el que se obtiene permutando la Hipótesis con la Tesis se denomina teorema recíproco; el que tiene por Hipótesis la negación de la Hipótesis del directo y por Tesis la negación de la Tesis del directo, es el teorema contrario; y el contrario del recíproco se llama contra recíproco.

Ejemplos.

Teorema directo: Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos. (p q).Teorema recíproco: Si un punto equidista de los extremos de un segmento, pertenece a la mediatriz. ( q p ).Teorema contrario: Si un punto no pertenece a la mediatriz de un segmento, no equidista de los extremos. (p (q))Teorema contra recíproco: Si un punto no equidista de los extremos de un segmento, no pertenece a la mediatriz. (q (p))

Directo

Contra recíproco o contraposición

Recíproco

contrario

Reducción al absurdo. SI consideremos como elemento de partida la equivalencia lógica entre el

teorema directo y el contra recíproco, (columnas 5 y 8 de la tabla anterior).

Es decir tenemos el siguiente teorema:

H) p q T) q (p).

Si Suponemos falsa la Tesis, es decir "no q no implica no p". En ese caso "no q implica p".Pero por Hipótesis p q, es decir q y no q son verdaderas. Lo cual es un absurdo que provino de suponer falsa la T). Luego la tesis es cierta.

Esta forma de razonamiento se denomina por reducción al absurdo y se ha usado secularmente como un recurso primitivo de argumentación.

Algunos resultados demostrados por reducción al absurdo

1.-Infinitud de los números primos

2.-La irracionalidad de 2

El método inductivo es muy interesante, pero hay que andar con ojo

Ejemplo dado por L.Euler

Principio de Inducción Matemática

Inducción débil

Christian Huygens le propuso a W. Leibniz la siguiente suma

S= 1+ 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 +...

Leibniz empezó por dividir la serie por 2, obteniendo:

(1/2)S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...

(1/2)S=(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + (1/5-1/6) + ...

quitando los paréntesis, tenemos :

(1/2)S=1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6+ ...

(1/2)S =1,

luego S = 2 ¿ No es genial?Seguirá…