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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013

UNA INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA CATEGÓRICA

Gil Alberto de Jesús Donado Núñez1, Jorge Adelmo Hernández Pardo 2,

José Reinaldo Montañez Puentes3

A la memoria del Maestro

Carlos Javier Ruiz Salguero

Resumen

Se presenta una introducción a la topología categórica, de una manera didáctica, haciendo

un estudio de la categoría de los espacios topológicos y con más precisión de las topologías

iniciales y �nales. En particular se muestran algunas propiedades de las categorías topológicas

y algunos métodos de construcción.

Abstract

An introduction to categorical topology is presented, from a study of the category of topological

spaces and more precisely of the initial and �nal topologies. In particular, we show some

properties of topological categories and some construction methods.

Palabras clave

Topologías iniciales, topologías �nales, funtor topológico.

Introducción

La teoría de categorías aparece como una rama de las matemáticas que uni�ca el trabajo de

las diferentes áreas de la misma.

Para el caso que nos ocupa, las categorías topológicas aparecen como una generalización del

estudio del funtor olvido de estructura de�nido de la categoría de los espacios topológicos en

la categoría de los conjuntos, en particular de las propiedades relacionadas con las topologías

iniciales y �nales que tiene dicho funtor. En primera instancia, en este trabajo se estudian

algunas propiedades de las categorías topológicas y se muestran nuevas formas de construcción.

Para citar algunos ejemplos, las categorías de las colecciones, de los espacios completamente

1Universidad Pedagógica Nacional, [email protected] Distrital Francisco José de Caldas, Fundación Universidad Autónoma de Colombia,

[email protected] Nacional de Colombia, [email protected]

1


regulares, de los espacios uniformes y los espacios de proximidad son categorías topológicas

�bradas sobre la categoría de los conjuntos y la categoría de los espacios topológicos punteados

lo es sobre la categoría de los espacios topológicos punteados.

Podría decirse que llevó tiempo a los investigadores, encontrar una teoría de categorías apta

para los topólogos, puesto que la elaborada era apta para los algebristas. La topología ca-

tegórica inicia con Bourbaki y es en su primer libro en donde aparecen las nociones que la

inspiran como son las de topologías iniciales y �nales. Trabajos muy completos y más recientes

se encuentran en Preuss G. [17] y Adamek, J., Herrlich, H.,y Strecker [1].

Las categorías topológicas, sus propiedades y algunos métodos de construcción son el centro

de atención de este trabajo.

Ahora bien, aunque algunos resultados, por ejemplo los encontrados en la categoría de las co-

lecciones y algunos métodos de construcción de categorías topológicas los consideramos nuevos,

el trabajo no pretende ser de carácter investigativo. El objetivo es que el cursillo sea accesible

a los estudiantes interesados y por ello hemos procurado una presentación didáctica. Con esta

idea en mente, para contextualizar al lector, varios de los conceptos clásicos y conocidos son

introducidos y en lo posible presentados con variedad de ejemplos tratando de que el cursillo

sea presentado al máximo de una forma autocontenida.

1. Conceptos básicos en categorías y funtores

En principio, el matemático estudia los conjuntos y de�ne sobre ellos funciones para analizar

algunos conceptos tales como: conjuntos �nitos, conjuntos in�nitos, etc...

En una segunda etapa, los dota de operaciones y relaciones y crea el concepto de estructura

de grupo, de anillo, de A-módulo, de espacio vectorial, etc..., a partir de éstas, se interesa en

estudiar las relaciones que existen entre objetos de la misma estructura, resultando, entre otros,

los homomor�smos de grupos, los A-homomor�smos de A-módulos, las funciones continuas en

espacios topológicos, etc...

La sistematización de este comportamiento conduce al concepto más general: el de categoría.

1.1. La noción de categoría

De�nición 1.1. Una categoría C se de�ne por:

a) Una colección no vacía cuyos elementos se llaman objetos, notada Obj(C).

b) Una colección disyunta de conjuntos Mor(A,B) para cada A,B ∈ Obj(C), las cuales

pueden ser eventualmente vacías. Los elementos del conjunto Mor(A,B) se denominan

mor�smos del objeto A (dominio) en el objeto B (codominio) y son denotados por

f : A→ B ó Af−→ B.

2


La reunión de todos éstos conjuntos de mor�smos constituye la colección de mor�smos

de la categoría C notada:

Mor(C) =⋃

A,B∈Obj(C)

Mor(A,B).

c) Una Ley de composición interna enMor(C) llamada composición (◦) tal que si A,B,C ∈Obj(C), f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,C) existe un Mor�smo g◦f ∈Mor(A,C) es decir:

Mor(A,B)×Mor(B,C) −→Mor(A,C)

(f, g) −→ g ◦ f(1)

que satisface los siguiente axiomas:

i) Para f ∈Mor(A,B), g ∈Mor(B,C), h ∈Mor(C,D)

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f (Asociatividad)

ii) Para todo A ∈ Obj(C), existe en Mor(A,A) un mor�smo identidad notado 1A tal

que para todo f ∈Mor(B,A) y para todo g ∈Mor(A,B) se tiene:

1A ◦ f = f y g ◦ 1A = g

Se puede ver fácilmente que el mor�smo de (ii) es único para cada A ∈ Obj(C).

1.2. Ejemplos

1) La categoría de los conjuntos Conj

a) Obj(Conj) es la colección de todos los conjuntos.

b) Para A,B ∈ Obj(Conj), Mor(A,B) = {f : A→ B | f es función}.

c) La ley composición entre mor�smos es la composición entre funciones y para cada

A ∈ Obj(Conj) 1A : A→ A, se de�ne por:

1A(x) = x, para todo x ∈ A y además 1∅ = ∅.

Nota: Mor(∅, ∅) = {∅}, Mor(∅, A) = {∅} y Mor(A, ∅) = {∅}.

2) La categoría de los grupos Gr

Un grupo es una pareja (G, ∗), donde G es un conjunto no vacío y (∗) es una operación

binaria sobre G, que satisface los siguientes axiomas:

i) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todo a, b, c ∈ G.

3


ii) Existe e ∈ G tal que e ∗ a = a ∗ e para todo a ∈ G.

iii) Para cada a ∈ G existe a∗ ∈ A tal que a ∗ a∗ = e.

Si además a ∗ b = b ∗ a se dice que el grupo es abeliano.

a) Obj(Gr) corresponde a la colección de grupos.

b) Para A,B ∈ Obj(Gr) si A = (G, ∗) y B = (G′, ∗′), la colección de mor�smos está

dada por Mor(A,B) = {f : A → B | f es homomor�smo de grupos}. f es un

homeomor�smo de grupos si y solo si f(a ∗ b) = f(a) ∗′ f(b) para todo a, b ∈ G.

c) Para f ∈Mor(A,B), g ∈Mor(B,C), y A,B,C ∈ Obj(C) si g◦f es la composición

usual de funciones, es claro que g ◦ f ∈Mor(A,C) y además satisfacen:

i. (f ◦g)◦h = f ◦ (g ◦ h) para h ∈Mor(A,B), g ∈Mor(B,C) y f ∈Mor(C,D).

ii. Para A ∈ Obj(Gr) si 1A(x) = x, se tiene que 1A ∈ Mor(A,A) y f ◦ 1A = f y

1A ◦ g = g para cada f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,A).

3) La categoría de los espacios vectoriales V ectK sobre un campo K

Sea K un campo, un espacio vectorial V sobre K es una terna (V,+, ·) donde (V,+) es

un grupo abeliano y (·) es una aplicación.

K × V −→ V

(k, v) −→ k · v

que satisface:

(k1 + k2) · v = k1 · v + k2 · v, para todo k1, k2 ∈ K y v ∈ V .

k · (v1 + v2) = k · v1 + k · v2, para todo k ∈ K y v1, v2 ∈ V .

k1 · (k2 · v1) = (k1 · k2) · v1, para todo k1, k2 ∈ K y v1 ∈ V .

1 · v = v, para todo v ∈ V .

a) Obj(V ectK) es la colección de espacios Vectoriales sobre K.

b) Para V,W ∈ Obj(C), Mor(V,W ) = {f : V → W | f es una una transformación

lineal}, f es transformación lineal si y solo si:

i) f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2), para todo v1, v2 ∈ V .ii) f(k · v) = k · f(v), para todo k ∈ K y para todo v ∈ V .

c) f ∈ Mor(M,N) y g ∈ Mor(M,P ) g ◦ f es la composición de funciones, se puede

ver fácilmente que g ◦ f ∈Mor(M,P ).

i) Para f ∈Mor(M,N), g ∈Mor(M,P ) y h ∈Mor(P,L) se tiene que (h ◦ g) ◦f = h ◦ (g ◦ f) (por la asociatividad de la composición de funciones).

ii) Para M ∈ Obj(V ect) es claro que 1M ∈Mor(M,M), f ◦ 1M = f y 1M ◦ g = g

para todo f ∈Mor(M,N) g ∈Mor(N,M).

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4) La categoría de los espacios topológicos Top

El par (X, τ), formado por un conjunto X y una colección τ de subconjuntos de X, es

un espacio topológico si y solo si:

i) ∅, X ∈ τ

ii) Si A,B ∈ τ entonces A ∩B ∈ τ

iii) Si Aλ ∈ τ para todo λ ∈ L, donde L es un conjunto de indices, entonces:⋃λ∈L

Aλ ∈ τ.

a) Obj(Top) es la colección de los espacios topológicos.

b) Para A,B ∈ Obj(Top), si A = (X, τ) y B = (Y, µ), Mor(A,B) = {f : f es función

continua} f(X, τ) → (Y, µ) es función continua si y solo si f !(M) ∈ τ para todo

M ∈ µ

c) Para f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,C), A,B y C ∈ Obj(Top), g ◦ f es la composi-

ción usual de funciones, para la cual se puede veri�car que como la compuesta de

funciones continuas resulta ser continua, g ◦ f ∈Mor(A,C) y que satisfacen

i) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) para h ∈Mor(A,B), g ∈Mor(B,C) y f ∈Mor(C,D).

ii) Para cada A ∈ Obj(Top) , si 1A(x) = x, se tiene que 1A es continua y que f ◦1A = f

y 1A ◦ g = g para cada f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,A).

5) La categoría de las relaciones internas Rel

El par (X,R), formado por un conjunto X y una relación R ⊆ X ×X, es una relación

binaria interna.

a) Obj(Rel) es la colección de relaciones binarias internas.

b) Para A,B ∈ Obj(Rel), si A = (X,R) y B = (Y, S), la colección de mor�smos está

dada por Mor(A,B) = {f : A→ B | f respeta las relaciones}, f : A→ B respeta

las relaciones si y solo si para todo x, y ∈ X, (x, y) ∈ R→ (f(x), f(y)) ∈ S.

c) Para f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,C), A,B,C ∈ Obj(Rel), g◦f es la composición

usual de funciones, para la cual se puede veri�car que si dos funciones respetan las

relaciones, la compuesta también lo hace, esto es, g◦f ∈Mor(A,C) y que satisfacen:

i) (f ◦ g) ◦h = f ◦ (g ◦h) para h ∈Mor(A,B), g ∈Mor(B,C) y f ∈Mor(C,D).

ii) Para cada A ∈ Obj(Rel), si 1A(x) = x, se tiene que 1A respeta las relaciones y

que f ◦ 1A = f y 1A ◦ g = g para cada f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,A).

6) La categoría de las colecciones Col

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El par (X,α), formado por un conjunto X y una colección α de subconjuntos de X, lo

llamaremos un α -espacio.

En cada α - espacio (X,α), y para cada subconjunto A de X, es posible asignarle su

interior así:

A◦

= {x ∈ A : (∃T ∈ α)(x ∈ T ⊆ A)}

Notaremos Λα a la colección formada por todos los conjuntos que coinciden con su

interior, a quienes llamaremos abiertos, esto es:

Λα = {A ⊆ X : A = A◦}

cabe resaltar que Λα es siempre estable por intersecciones y contiene al conjunto ∅.

a) Obj(Col) es la colección de α - espacios.

b) Para A,B ∈ Obj(Col), si A = (X,α) y B = (Y, β), la colección de mor�smos está

dada por Mor(A,B) = {f : A→ B | f es continua}.

f : X → Y es continua si y solo si B ∈ Λβ implica que f !(B) ∈ Λα.

c) Para f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,C), A,B y C ∈ Obj(Col), g ◦ f es la composi-

ción usual de funciones, para la cual se puede veri�car que como la compuesta de

funciones continuas resulta ser continua, g ◦ f ∈Mor(A,C) y que satisfacen:

i) (f ◦ g)◦h = f ◦ (g ◦h) para h ∈Mor(A,B), g ∈Mor(B,C) y f ∈Mor(C,D).

ii) Para cada A ∈ Obj(Col) , si 1A(x) = x, se tiene que 1A es continua y que

f ◦ 1A = f y 1A ◦ g = g para cada f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,A)

7) Una categoría C se dice pequeña, si la colección de objetos de C, Obj(C) es un conjunto.

Por ejemplo, sea X un conjunto y B la categoría de�nida por:

a) Obj(B) = P(X)

b)

Mor(A,B) =

{{(A,B)} si A ⊆ B∅ si A 6⊆ B

La ley de composición interna esta dada por la transitividad de la contenencia y 1A =

Mor(A,A).

De forma más general un conjunto parcialmente ordenado (P,≤) es una categoría pe-

queña.

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El diagrama muestra al conjunto P = {a, b}, los objetos los elementos de X y los

mor�smos las �echas que indican la relación de orden. Los bucles corresponden a los

mor�smos identidad y la �echa el único mor�smo no identidad de la categoría, que

corresponde a Mor(a, b).

8) Los monoides como categorías.

Un monoide es una terna (M, ∗, e) donde X es un conjunto y (∗) es una operación binaria

sobre M , tal que para todo x, y, z ∈ M se tiene que (x∗y)∗z = x∗(y∗z) y existe e ∈ Mtal que e∗x = x y x∗e = x para todo x ∈ X. Este monoide es una categoría donde

el único objeto es el conjunto M y donde los mor�smos son los elementos de M . Para

cada x, y ∈ M , el elemento x∗y es el mor�smo composición entre x e y como lo ilustra

el siguiente diagrama.

El módulo e de M garantiza la existencia del mor�smo identidad sobre el único objeto

M . Así por ejemplo, el conjunto de los números naturales con la operación producto y

el módulo 1, se nos presenta como otro ejemplo de categoría.

1.3. La noción de funtor

De�nición 1.2. Sean C y D dos categorías, un funtor F de la categoría C en la categoría

D, F : C −→ D, es una aplicación que envía objetos en objetos, mor�smos en mor�smos,

respecta la ley de composición y las identidades. Esto es F : C −→ D es un funtor si satisface

las siguientes condiciones:

1) Si A ∈ ObjC F (A) ∈ Obj(D).

2) Si f ∈MorC(A,B); F (f) ∈MorD(F (A), F (B)).

a) F (f ◦ g) = F (f) ◦ F (g).

b) F (1A) = 1F (A).

Nota: Si la aplicación F cumple 1), 2(a) y 2(b), F se llama funtor covariante o simplemente

funtor. Si la aplicación F cumple 1), 2(b) y en lugar de 2(a) cumple F (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f).,

F se llama funtor contravariante.

1.4. Ejemplos

1) El funtor identidad

Para cada categoría C el funtor identidad de C, 1C : C −→ C de�nida por:

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a) 1C(A) = A.

b) 1C(f) = f .

2) El funtor olvido de estructura de Top en Conj

O : Top −→ Conj esta de�nido por:

a) O((X, τ)) = X, para cada A = (X, τ) ∈ Obj(Top).

b) O(f) = f para cada f ∈Mor(A,B).

Es decir este funtor olvida la topología del conjunto X y por lo tanto la continuidad de

las funciones involucradas.

3) Las funciones imagen directa e imagen recíproca como funtores

Cualquier función f : X → Y determina sobre los conjuntos de partes P(X) y P(Y ),

ordenados por la relación de contenencia y las funciones f! : P(X)→ P(Y ) (imagen di-

recta) y f ! : P(Y )→ P(X) (imagen recíproca). Si se considera a los conjuntos ordenados

P(X) y P(Y ) como categorías, los funtores imagen directa e imagen recíproca quedan

de�nidas por:

a) f! : P(X) → P(Y ). Para cada A ∈ Obj(P(X)), f!(A) = {f(x) : x ∈ A} = f(A) ∈Obj(P(Y )).

Si h ∈ Mor(A,B) entonces h = {(A,B)}, lo que implica que A ⊆ B, y como

f!(A) ⊆ f!(B) entonces f!(h) = {(f(A), f(B))} ∈Mor(f!(A), f!(B)).

b) f ! : P(Y ) → P(X). Para cada B ∈ Obj(P(Y )), f !(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} ∈Obj(P(X)).

Si h ∈ Mor(A,B) entonces h = {(A,B)}, lo que implica que A ⊆ B, y como

f !(A) ⊆ f !(B) entonces f !(h) = {(f !(A), f !(B))} ∈Mor(f !(A), f !(B)).

4) El funtor subbase T

Dado un conjunto X, considerando los conjuntos P2(X) y Top(X) ordenados por la

relación de contenencia como categorías, cada conjunto α ∈ P2(X) da origen a una

topología � α� considerando a α como subbase.

El funtor T está de�nido por:

T (α) =� α� para cada α ∈ Obj(P2(X))

El hecho de que si α ⊆ β entonces τ =� α�⊆� β �= µ, permite como en el ejemplo

anterior asignar a cada mor�smo (contenencia) en P2(X) un único mor�smo en Top(X).

5) Los funtores Hom.

Para cada categoría C y cada objeto A ∈ C determinan los siguientes funtores:

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a) El funtor Hom(A,−).

i)Hom(A,−) : C → Conj

B → Hom(A,B)

ii) Si f : B → C es un mor�smo de C:

Hom(A,−)(f) : Hom(A,B)→ Hom(A,C)

h→ Hom(A,−)(f)(h) = f ◦ h

Como lo muestra el siguiente diagrama, donde Hom(A,B) = [A,B].

b) El funtor Hom(-,A).

i)Hom(−, A) : C → Conj

B → Hom(B,A)

ii) Si f : B → C es un mor�smo en C.

Hom(−, A)(f)(g) : Hom(C,A)→ Hom(B,A)

g → Hom(−, A)(f)(g) = g ◦ f

Hom(−, A) es funtor es contravariante.

2. Categorías Topológicas

2.1. La Topología como inspiradora de Categorías Topológicas

En esta sección, resaltaremos en la categoría de los espacios topológicos, aquellas propiedades

que utilizaremos para identi�car a las categorías topológicas.

Top(X) como retículo completo

En los espacios topológicos, todas las topologías posibles sobre un conjunto X, quienes se

denominan como Top(X), forman un conjunto ordenado por la relación de contenencia. Este

orden coincide con el de�nido por la relación "ser más �na"de�nida así:

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Dados los espacios topológicos (X, τ) y (X,µ) decimos que la topología τ es más �na que la

topología µ lo cual se escribe µ ≤ τ , si la función identidad i : (X, τ) → (X,µ) sobre X es

continua.

La relación (≤) dota al conjunto Top(X) de estructura de retículo completo, debido a que

dados τ, µ ∈ Top(X):

a) τ ∩ µ ∈ Top(X), y ésta es la más �na de las topologías que son menos �nas simultánea-

mente que τ y µ. Esto es τ ∧ µ = τ ∩ µ.

b) La topología generada escogiendo como base a τ ∪ µ, notada τ ∨ µ es la menos �na de

las topologías que son más �nas simultáneamente que τ y µ.

En el diagrama se ilustra al retículo Top(X) como subconjunto de P2(X), con dos topologías

τ y µ, sus correspondiente supremo e in�mo τ ∧ µ y τ ∨ µ, con la topología grosera τg como

su elemento mínimo y la topología discreta τd como su elemento máximo.

Adicionalmente, dada cualquier colección C de topologías sobreX, existen los extremos inferior

y superior de la colección, de�nidos por:

infC =⋂τ∈C

τ y supC =�⋃τ∈C

τ � .

Esto es, en la categoría de los espacios topológicos, la colección de topologías sobre un conjunto

X tiene estructura de retículo completo, con el orden inducido por la inclusión.

Existencia de topologías iniciales

En la categoría de los espacios topológicos siempre es posible resolver el siguiente problema:

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Dada un función f : X → Y y una topología µ sobre el conjunto Y , encontrar en Top(X) la

menor topología (topología inicial) que hace continua a la función f .

En efecto, siempre por lo menos la topología discreta sobre X hace continua a cualquier

función, ahora por ser Top(X) un retículo completo, es posible encontrar el extremo inferior

de todas las topologías que hacen continua a la función f .

Para que f sea continua, se requiere que para todoM ∈ µ, f !(M) sea un abierto. Y si considera-

mos al conjunto τ = {f !(B) : B ∈ µ}, como él mismo es una topología sobre X, se veri�ca que

si C = {ρ ∈ Top(X) : f : (X, ρ)→ (Y, µ), es continua} entonces τ = {f !(B) : B ∈ µ} = infC.

El diagrama muestra para una topología µ en Top(Y ) , la colección C de todas las topologías

sobre X que hacen continua a la función f : X → Y y a la topología inicial como el extremo

inferior de C.

Por ejemplo, dados X ⊆ Y y como función, la inclusión i : X → Y que asocia a cada elemento

x ∈ X al elemento i(x) = x, para cada topología µ ∈ Top(Y ) la topología inicial está dada

por τ = {i!(B) : B ∈ µ} = {B ∩X : B ∈ µ} la cual corresponde a la topología de subespacio.

Pero el mismo problema puede resolverse si en vez de una función y una topología sobre un

conjunto Y , tenemos una familia de espacios topológicos (Yλ, µλ)λ∈L donde L es un conjunto

de índices y por cada λ ∈ L una función fλ : X → Yλ, y se busca encontrar la topología menos

�na (topología inicial ) sobre el conjunto X que haga continua simultáneamente a todas las

funciones.

Si para todo λ ∈ L la función fλ : X → Yλ, debe ser continua, entonces para todo abierto

M ∈ µλ el conjunto f !(M) debe ser un subconjunto abierto de X. Como el conjunto

δ = {f !λ(M) : λ ∈ L y M ∈ µλ} no necesariamente es una topología sobre X, al considerarla

como una subbase para una topología sobre X, podemos garantizar que τ =� δ � es la

topología inicial asociada a la familia de funciones {fλ : X → Yλ}λ∈L.

Si (X, τ) es la topología inicial asociada a la familia de funciones {fλ : X → Yλ}λ∈L entonces

11


es posible caracterizar a todas las funciones continuas que tienen como recorrido a (X, τ),

debido a que cumple la siguiente propiedad universal:

Una función f : Z → X es continua si y solo si fλ ◦ f es continua para cada λ ∈ L.

Un caso particular de topología inicial asociada a un par de funciones, es la topología pro-

ducto. En efecto, si consideramos dos espacios topológicos (X, τ) y (Y, µ) y las proyecciones

PX((x, y)) = x y PY ((x, y)) = y de�nida del producto cartesiano X × Y en los conjuntos X

e Y respectivamente, una subbase para la topología inicial está dada por δ = {P !X(M) : M ∈

τ} ∪ {P !Y (N) : N ∈ µ}.

Esta construcción de estructuras iniciales no puede hacerse en cualquier categoría. Por ejemplo

si pensamos en los grupos, dado un grupo (G′, ∗) y un conjunto G y la función constante

k : G → G′ de�nida por k(x) = a, donde a ∈ G′ y a 6= e (e el módulo de G′), no es posible

dotar al conjunto G de una operación (◦) que sea un homeomor�smo de grupos, esto es que

para todo x, y ∈ G, se tenga que k(x ◦ y) = k(x) ∗ k(y).

Existencia de topologías �nales

Con un razonamiento dual al realizado en la sección anterior, en los espacios topológicos

siempre es posible resolver el siguiente problema:

Dada una función f : X → Y y una topología τ sobre el conjunto X, encontrar en Top(Y ) la

mayor topología (topología �nal) que hace continua a la función f .

En este caso, siempre por lo menos la topología grosera sobre Y hace continua a cualquier

función y por ser Top(Y ) un retículo completo, es posible encontrar el extremo superior escoger

como abiertos aquellos subconjuntos M de Y tales que f !(M) sea un abierto de (X, τ).

Como el conjunto {M : f !(M) ∈ τ}, es una topología sobre Y , se veri�ca que si C = {ρ ∈Top(Y ) : f : (X, τ)→ (Y, ρ) es continua} entonces {M : f !(M) ∈ τ} = supC.

El siguiente diagrama muestra para una topología τ en Top(X), la colección C de todas las

topologías sobre X que hacen continua a la función f : X → Y y a la topología inicial como

el extremo superior de C.

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Un ejemplo típico se presenta cuando sobre un conjunto X se de�ne una relación de equivalen-

cia (≡). Esta relación de�ne el conjunto cociente (X/ ≡) y la función canónica f : X → X/ ≡de�nida por f(x) = [x]. Si τ ∈ Top(X), la topología que hereda el espacio cociente es la topo-

logía �nal asociada a f , esto es τ = {M : f !(M) ∈ τ} conocida como la topología cociente.

Podemos visualizarlo en un caso particular. Si se considera a X como el subconjunto del plano

de�nido por [0, 1] × [0, 1] y la relación de equivalencia que identi�ca los puntos de la forma

(1, y) con los de la forma (0, 1− y) y los demás se identi�can consigo mismo.

Nuevamente si en vez de una función y una topología sobre el conjunto X, se considera una

familia de espacios topológicos {(Xλ, τλ)λ∈L donde L es un conjunto de índices y por cada

λ ∈ L una función fλ : Xλ → Y , y se busca la topología más �na (topología �nal) sobre el

conjunto Y que haga continua simultáneamente a todas las funciones, se puede probar que es

la topología τ = {M ⊆ Y : fλ(M) ∈ τλ para todo λ ∈ L}.

Como en el caso de las topologías iniciales, la siguiente propiedad universal que cumple la

topología �nal, permite caracterizar a todas las funciones continuas que tienen como dominio

a (Y, τ), en el sentido de que una función f : X → Z es continua si y solo si f ◦ fλ es continua

para cada λ ∈ L.

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Un ejemplo de una categoría donde no es posible hacer este tipo de construcciones, lo ofrece

la categoría Pos de los conjuntos ordenados.

El anterior diagrama muestra al conjunto ordenado (X,<), donde X = {a, b, c} con la relación

de orden cuyas parejas ordenadas son: (a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c) y la función sobre

Y = {0, 1} de�nida por f(a) = f(c) = 1 y f(b) = 0, y no es posible de�nir una relación de

orden sobre y de tal manera que sea un mor�smo entre conjuntos ordenados.

2.2. Noción de Categoría Topológica

De�nición 2.1. Sea F : C → D un funtor. Se dice que F es un funtor topológico y que C es

una categoría topológica relativa a F y a D, si se cumplen las siguientes condiciones:

a) F es �el.

b) F es apto para construir estructuras iniciales y �nales de fuentes y sumideros unitarios.

c) Para cada objeto X ∈ D, la �bra C(X) = {A ∈ C : F (A) ∈ D}, tiene estructura de

retículo completo.

Cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a la categoría topológico C sin mencionar

al funtor F y a la categoría D. En otras ocasiones diremos que C es una categoría topológica

sobre D �brada a través de F . Es de anotar que la de�nición de funtor topológico enunciada

es equivalente a la dada en [1], probar esta equivalencia es un ejercicio propuesto en la misma

referencia y su prueba se da [2], en donde además se relaciona esta noción con la noción de

constructo topológico dada en [17].

Antes de aclarar los conceptos involucrados en la noción de categoría topológica, para facili-

tar la comprensión de la de�nición, los objetos y mor�smos de una categoría topológica los

notaremos en negrilla y su imagen por el funtor los escribimos sin negrilla. Por ejemplo, en la

categoría de los espacios topológicos f: X→Y simboliza una función continua y f : X → Y

su función correspondiente en la categoría de los conjuntos.

14


Ahora bien, antes de empezar la discusión, es importante anotar que las nociones de estructura

inicial y �nal generalizan la nociones de topología inicial y �nal y que el orden exigido en la

�bra sobre cada objeto X de D está dado por X1 ≤ X2, si y solamente si, existe f : X2 → X1

tal que F (f) = 1X .

Sea F : C → D un funtor. Se dice que F es �el, si para todo par de mor�smos f,g: X→Y de C

tales que, F (f ) = F (g) se tiene que f = g. Se dice que F es pleno si para todo par de objetos

X y Y de C y todo mor�smo k : X → Y existe un mor�smo k: X→Y tal que F (k) = k.

Sea f: X→Y un mor�smo de C. Se dice que f cumple la propiedad universal inicial relativa

al funtor F , si para, todo objeto Z de C, con F (Z ) = Z y todo mor�smo g : Z → X, para el

cual existe un mor�smo h: Z→Y tal que F (h) = f ◦ g, existe un mor�smo g: Z→X tal que

f ◦g = h y F (g) = g.

Un mor�smo f : X → Y es apto para construir estructuras iniciales de fuentes unitarias si

para, todo objeto Y de C, tal que, F(Y)=Y, existe un objeto X en C, con F(X)=X y un

mor�smo f: X→Y que cumple la propiedad universal inicial; en tal caso, se dice X es la

estructura inicial relativa a f y Y .

Se dice que F es apto para construir estructuras iniciales de fuentes unitarias si todo mor�smo

de D es apto para construir estructuras iniciales de fuentes unitarias.

Sea F : C → D un funtor topológico. Una fuente relativa a F está formada por una familia de

mor�smos {fi : X → Yi}i∈I , junto con una familia de objetos {Y i}i∈I de C, tales que F (Y i) =

Yi para cada i ∈ I, I puede ser un conjunto o una clase y que notaremos {fi : X →Y i}i∈I .Una estructura inicial para una fuente {fi : X →Y i}i∈I , es un objeto X de C, tal que:

a) Para cada i ∈ I, existe un mor�smo f i : X → Yi , tal que F (f i) = fi.

b) Para cada objeto Z de C con F (Z ) = Z, y cada mor�smo h : Z → X, tal que para cada

i ∈ I, existe un mor�smo k i :Z→Y i con F (k i) = fi ◦ h, entonces existe un mor�smo

h: Z→ X con F (h) = h.

Desarrollando el razonamiento dual, se de�ne propiedad universal �nal y funtor apto para

construcción de estructuras �nales para un sumidero relativo a F .

Proposición 2.1 (2). Sea F : C → D un funtor topológico. Ces completa (cocompleta), si y

solamente si, Des completa (cocompleta).

Proposición 2.2 (2). En una categoría topológica C toda fuente tiene estructura inicial y todo

sumidero tiene estructura �nal.

Demostración. En efecto, sea {fi : X →Y i}i∈I una fuente. SeaXi la estructura inicial para fi.

Entonces el ín�mo de la familia {Xi}i∈I correspondiente a la estructura inicial para la fuente

dada.

De manera dual, todo sumidero tiene estructura �nal.

15


2.3. La categoría Ore y el clasi�cador de las categorías topológicas

Un hecho importante en el estudio de las categorías topológicas es que cada una de ellas es

construida a partir de un funtor topológico universal, Op : Ore → Ore, del que haremos una

breve descripción, no sin antes mencionar que este funtor fue presentado por el profesor Carlos

Javier Ruiz S. en el VII Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, evento realizado en la

Universidad Pedagógica Nacional en el año 1992.

La categoría Ore tiene por objetos las clases con estructura de retículo completo. En Ore

un mor�smo con dominio (X,≤) y codominio (Y,≤), consiste de un par (s, d), donde

d : (X,≤) → (Y,≤) y s : (Y,≤) → (X,≤) son funciones monótonas no decrecientes y d es

adjunto a derecha de s. Dados dos mor�smos (s, d) : (X,≤)→ (Y,≤) y (f, g) : (Y,≤)→ (Z,≤)

su composición se de�ne como el mor�smo de(f, g) ◦ (s, d) := (s ◦ f, g ◦ d).

A partir de la categoría Ore, se determina la categoría Ore, cuyos objetos son de la forma

(X,≤, x0), siendo (X,≤) un objeto de Ore y x0 un elemento de X. En Ore un mor�smo con

dominio (X,≤, x0) y codominio (Y,≤, y0), consiste de un par (s, d) donde (s, d) : (X,≤) →(Y,≤) es un mor�smo de Ore y s(y0) ≤ x0. La composición en los mor�smos de Ore se de�ne

de igual manera que en la categoría Ore.

Entonces, se determina el funtor Op : Ore → Ore, que se asigna a cada objeto (X,≤, x0) el

objeto (X,≤) y a cada mor�smo (s, d) el mismo (s, d); el cual resulta un funtor topológico.

Veamos ahora la manera que se genera un funtor topológico a partir de Op. Sea G : D → Ore

un funtor. Sea (C, F,H) el producto �brado de los funtores G y Op.

C Ore

D Ore?

F

-H

?

Op

-G

Un objeto en C es una pareja (X,x), donde X es un objeto de D y x es un elemento de la clase

ordenada G(X). Un mor�smo φf : (X,x) → (Y, y) en C está determinado por un mor�smo

f : X → Y de D sujeto a que el mor�smo G(f) = (s, d) : G(X) −→ G(Y ) de Ore asociado a

f veri�que s(y) ≤ x. El funtor F : C → D se de�ne por F (X,x) = X y F (φf ) = f y F resulta

un funtor topológico. Ahora dado un funtor topológico F : C → D se determina un funtor

G : D → Ore que asigna a cada objeto X el objeto G(X) = Fib(F,X) y a cada mor�smo

f : X → Y el mor�smo (f#, f#) : Fib(F,X) → Fib(F, Y ) siendo f# y f# las funciones que

se describen a continuación. La función f# : Fib(F, Y ) → Fib(F,X) asigna a cada objeto

Y el objeto f#(Y ) := X, donde X es la estructura inicial para la fuente {f : X → Y }. Lafunción f# : Fib(F,X)→ Fib(F, Y ) asigna a cada objeto X el objeto f#(X) := Y , donde Y

corresponde a la estructura �nal para el sumidero {f : X → Y }. Sea (C0, F0, H0) el producto

�brado de los funtores Op y G. Entonces, F0 : C0 −→ D es un funtor topológico y C0 resulta

isomorfa a C.

16


La categoría topológica asociada a los subobjetos en una categoría C

Sea C una categoría con imágenes inversas e intersecciones. Entonces, para cada objeto X de

C la colección de los subobjetos de X, que se nota Sub(X), resulta un retículo completo con el

orden dado por : "f ≤ g, si y solamente si, existe un mor�smo h tal que f ◦ h = g". Entonces,

se determina el funtor Sub : C → Ore que asigna a cada objeto X la colección Sub(X) y a cada

mor�smo f : X → Y el par adjunto (f#, f#) : Sub(X)→ Sub(Y ), donde f# es la función que

asigna a cada subobjetos A de X su imagen directa por f y f# la función que asigna a cada

subobjeto B de Y la imagen recíproca por f .

Al efectuar el producto �brado de los funtores Sub yOp se obtiene la categoría de los subobjetos

de C, Sub(C). Un objeto de Sub(C) es una pareja (X, (A, h)) donde (a, h) es un subobjeto

de X y un mor�smo φf : (X, (A, h)) → (Y, (B, k)) está determinado por un mor�smo de

f : X → Y que veri�ca la condición f#(k) ≤ h, siendo este el orden natural de�nido en

Sub(X). Finalmente se determina el funtor topológico OSub : Sub(C) → C que asigna a cada

objeto (X, (A, h)) el objeto X y a cada mor�smo φf el mor�smo f .

2.4. Ejemplos

1. La categoría de los espacios topológicos Top

El funtor olvido O : Top→ Conj de�nido por O((X, τ)) = X, para cada A = (X, τ) ∈Obj(Top), y O(f) = f para cada f ∈Mor(A,B). le da el carácter de categoría topológica

a Top, debido a que O es �el, ya que para todo par de funciones continuas f ,g : X→ Y

de Top, como, F (f) = f y F (g) = g, si F (f) = F(g) se tiene que f = g.

O es apto para construir estructuras iniciales de fuentes unitarias, debido a que para toda

función f : X → Y y para todo objeto Y = (Y, µ) de Top, tal que, F (Y) = Y , existe

un objeto X en Top de�nido por X = (X, τ) donde τ es la topología inicial asociada al

espacio topológico (Y, µ) por la función f , la cual hace de f un mor�smo f : X→ Y con

propiedad universal inicial, como se vio en la sección 2.1.

Similarmente es apto para construir estructuras �nales para sumideros unitarios, consi-

derando la topología �nal.

Para cada objeto X ∈ Conj , la �bra Top(X) es un retículo completo.

2. La categoría de las relaciones simétricas Rels

Esta categoría de relaciones simétricas Rels, es una subcategoría de Rel, donde los

objetos son pares (X,S), con S ⊆ X × X, una relación simétrica. Esto es, para todo

x, y ∈ X, si (x, y) ∈ S entonces (y, x) ∈ S. Los mor�smos Rels son como en la categoría

Rel.

El funtor olvido O : Rels→ Conj de�nido por O((X,S)) = X, para cada A = (X,S) ∈Obj(Rels) y O(f) = f para cada f ∈Mor(A,B); le da el carácter de categoría topológica

17


a Top. En efecto F (f) = f y F (g) = g, si F (f) = F (g) se tiene que f = g, esto hace que

O sea �el.

Como la intersección y la unión de relaciones simétricas, son también relaciones simétri-

cas, dada cualquier familia de relaciones simétricas {(X,Sλ)}λ∈L sobre un conjunto X,

se cumple que∧λ∈L Sλ =

⋂λ∈L Sλ y

∨λ∈L Sλ =

⋃λ∈L Sλ. Por lo tanto Rels(X) es un

retículo completo.

Adicionalmente, como para cada relación simétrica Y = (Y, S) y para función f : X →Y existe por lo menos una relación simétrica sobre X (la relación ∅) que hace que

f : (X, ∅) → (Y,S) sea un mor�smo, la existencia de extremos superiores de relaciones

simétricas sobre el conjunto X garantiza la existencia de S∗ = sup{T ∈ Rels(X) | f :

(X,T )→ (Y, S), sea un mor�smo}.

La relación S∗ que corresponde a la estructura inicial de la fuente unitaria puede ca-

racterizarse como S∗ = {(x, y) : (f(x), f(y)) ∈ S}. En efecto, X = (X,S∗) ∈ Rels y

f : X→ Y es un mor�smo que cumple la propiedad universal inicial porque para todo

Z = (Z,R) y toda función g : Z → X para el cual existe h ∈ Mor(Z,X) tal que

F (h) = f ◦ g, g : (Z,R)→ (X,S∗) es un mor�smo debido a que si (a, b) ∈ R, como f ◦ ges un mor�smo ((f ◦ g(a)), (f ◦ g)(b)) = (f(g(a)), f(g(h)) ∈ S y así (g(a), g(b)) ∈ S∗.

Un razonamiento similar nos permite ver que es apto para estructuras �nales.

3. La categoría de las colecciones Col

En la categoría Col descrita anteriormente, por la misma razón que en Top y Rels, el

funtor olvido O : Rels → Conj de�nido por O((X,α)) = X, para cada A = (X,α) ∈Obj(Col) y O(f) = f para cada f ∈Mor(A,B), es un funtor �el.

Además, dada la familia de objetos {(X,αi) : i ∈ I} donde αi ⊆ P(X) para cada i ∈ I,los objetos (X,

⋂i∈I αi) y (X,

⋃i∈I αi) corresponden al in�mo y supremo respectivamen-

te, dándole estructura de retículo completo a Col[X].

De manera muy similar a lo que sucede en topología, el funtor olvido es apto para

construir estructuras iniciales de fuentes unitarias, puesto que para cada función f :

X → Y y para todo objeto Y = (Y, β), existe X = (X,α) donde α = {f !(B) : B ∈ β},tal que f : X→ Y es un mor�smo con propiedad universal inicial.

La estructura �nal de sumideros unitarios la podemos obtener de la siguiente manera:

Para cada función f : X → Y y para cada objeto X = (X,α) existe Y = (Y, {B :

f !(B) ∈ α}) tal que f : X→ Y es un mor�smo con propiedad universal �nal.

4. La categoría de los espacios uniformes Unif

Una uniformidad diagonal sobre un conjunto X es una colección U de subconjuntos de

X ×X que satisface:

18


a) D ∈ U , entonces ∆ ⊂ D.

b) D1, D2 ⊂ U , entonces D1 ∩D2 ∈ U .

c) D ∈ U , entonces E ◦ E ⊂ D para algún E ∈ U .

d) D ∈ U , entonces E−1 ⊂ D para algún E ∈ U .

e) D ∈ U y D ⊂ E, entonces E ∈ U .

En tal caso se dice que la pareja (X,U) es un espacio uniforme. Sean X e Y dos conjuntos

provistos de uniformidades diagonal U y V , respectivamente. Una función f : X → Y es

uniformemente continua si y solo si para cada E ∈ V existe D ∈ U tal que si (x, y) ∈ D,

entonces (f(x), f(y)) ∈ E. La categoría de los espacios Unif tienen por objetos a los

espacios uniformes y por mor�smos las funciones uniformemente continuas. El funtor

O : Unif → Conj es topológico y por lo tanto Unif es una categoría topológica.

En efecto, el funtor olvido de estructura O : Unif → Conj, O es funtor �el. La uniformi-

dad que satisface la condición de estructura inicial para un espacio uniforme (Y, E) y una

función f : X → Y es D = {DE | E ∈ E} donde DE = {(a, b) ∈ X ×X | (f(a), f(b)) ∈E}. La uniformidad que satisface la de�nición de estructura �nal para un espacio (X,A)

y una función f : X → Y es B = {H ∪ ∆ | H ∈ B∗}, en donde B∗ es una relación

en Y de�nida por "T ∈ B∗, si y sólo si, existe A ∈ A tal que si (x, y) ∈ A, entonces

(f(x), f(y)) ∈ T".

Sean (X,D1) y (X,D2) espacios uniformes, se dice que (X,D1) ≤ (X,D2), si y solo si,

la función de inclusión i : (X,D1) → (X,D2) es uniformemente continua. Es de notar

que (X,D1) ≤ (X,D2), si sólo si, D1 ⊆ D2. Este orden corresponde al orden de la �bra

sobre un conjunto X y resulta ser un retículo completo.

Por lo tanto Unif es una categoría topológica �brada sobre la categoría de los conjuntos,

[4].

El funtor T : Unif → Top

Sea (X,D) es un espacio uniforme para cada x ∈ X y D ∈ D, se de�ne:

D[x] = {y ∈ X | (x, y) ∈ D}

La colección Ux = {D[x] | D ∈ D} forman una base de vecindades de x, haciendo de x

un espacio topológico.

La topología asociada a un espacio uniforme (X,D) la notaremos τD. Cuando un espacio

topológico se obtiene de esta forma se dice que el espacio es uniformizable. Finalmente

se determina el funtor:

T : Unif → Top

19


de�nido por

T (X,D) := (X, τD) y T (f) := f

Ahora bien, un espacio topológico es uniformizable sí y solamente si, es completamente

regular. Por lo tanto la imagen de T son los espacios completamente regulares, ver [20].

5. La categoría de los espacios de proximidad Prox

Un espacio de proximidad es un par (X, δ) donde X es un conjunto y δ es una relación

en P(X) que satisface, para A, B y C subconjuntos de X:

a) ∅�δA,

b) {a}δ{a}, para cada a ∈ A,

c) Si AδB entonces BδA,

d) Aδ(B ∪ C) si y solo si AδB o AδC,

e) Si A�δB entonces existen C,D ⊂ X tal que C ∩D = ∅ y A�δ(X − C) y B�δ(X −D).

Si (X, δ) y (Y, δ′) son de proximidad, una función f : X → Y es una función de proxi-

midad si y solo si AδB, implica f(A)δ′f(B) en Y .

La categoría de los espacios de proximidad tienen por objetos a los espacios de proximidad

y por mor�smos las funciones de proximidad continuas. El funtor olvido O : Prox →Conj es topológico y por lo tanto Prox es una categoría topológica, como se puede ver

a continuación.

Sea (Y, p) un espacio de proximidad y f : X → Y es una función. En el conjunto de

partes de X, se de�ne la siguiente relación: si A y B son subconjuntos de X, entonces

Ap′B, si sólo si, f(A)pf(B). Esta relación es de proximidad y corresponde a la estructura

inicial para f y (Y, p).

Veamos ahora la construcción de las estructuras �nales. En un espacio de proximidad

(X, p) se escribe A ⊂⊂ B, sí y solamente si, A�p(X−B) y se llama a B un p−vecindad deA o una vecindad de proximidad de A. Esta relación satisface las siguientes propiedades:

i. ∅ ⊂⊂ A

ii. Si A ⊂⊂ B, entonces A ⊆ B.

iii. A ⊂⊂ (B ∩ C), si solamente si, A ⊂⊂ B y A ⊂⊂ C.

iv. Si A ⊂⊂ B, entonces para algún C,A ⊂⊂ C ⊂⊂ B.

Por lo tanto determina una relación de proximidad p en P(X) la cual se de�ne por ApB,

si solamente si, A ⊂6⊂ (X −B).

Sea (X, p) un espacio de proximidad y sea f : X → Z una función sobreyectiva. En el

conjunto de partes de Z se de�ne la relación ⊂⊂2 así:

20


Dados C y D subconjuntos de Z, se dice que:

C ⊂⊂2 D, sí y solamente si; para cada racional binario s en [0, 1] existe algún Cs

subconjunto de Y tal que C0 = C, C1 = D y si t es un racional binario en [0, 1] y s < t,

entonces Cs ⊂⊂1 Ct. La relación ⊂⊂2 satisface i. a iv. La relación de proximidad sobre

Z inducida por la relación ⊂⊂2, es llamada proximidad cociente y será notada como q2.

Sea (X, p) un espacio de proximidad y f : X → Y es una función. En el conjunto de

partes de Y , se de�ne una relación q así:

Si Z y W son subconjuntos de Y , entonces ZqW , si sólo si, se cumple alguna de las

siguientes condiciones:

i. (Z − f(X)) ∩ (W − f(x)) 6= ∅, o,

ii. (Z ∩ f(X))q2(W ∩ f(x))

donde q2 es la proximidad cociente antes de�nida.

La relación q es de proximidad sobre Y y es la estructura �nal para f y (X, p).

Sean (X, ρ) y (X, q) espacios de proximidad, se dice que (X, ρ) ≤ (X, q), sí y solamente

si, la función de inclusión i : (X, ρ) → (X, q) es de proximidad. En otras palabras

(X, ρ) ≤ (X, q), sí solamente si, ρ ⊂ q. Este orden corresponde al orden de la �bra sobre

el conjunto X y resulta ser un retículo completo.

Por lo tanto Prox es una categoría topológica �brada sobre la categoría de los conjuntos,

ver [3], [15] y [20].

El funtor T : Prox→ Top

En un espacio de proximidad (X, δ) se de�ne A := {x | {x}δA}. De esta manera se

determina un operador de clausura en P(X), que genera una topología sobre X llamada

la topología inducida por δ y que notaremos τD. Así se determina el funtor:

T : Prox→ Top

de�nido por

T (X, δ) := (X, τρ) y T (f) := f

Si un espacio topológico proviene de un espacio de proximidad de la manera descrita se

dice que el espacio topológico es proximable.

Es de anotar que los espacios topológicos proximizables son precisamente los espacios

complemente regulares. Por lo tanto la imagen del funtor T son los espacios completa-

mente regulares, ver [3], [15] y [20].

21


6. La categoría de los espacios bornológicos como categoría topológica Bor

En el conjunto de los números reales R con su orden usual, la colección de sus subcon-

juntos acotados veri�can las siguientes propiedades:

Los conjuntos unitarios son acotados, un subconjunto de un acotado es acotado. Y la

unión �nita de acotados es acotado. Este hecho motiva la noción de espacio bornológico.

De�nición 2.2. Una bornología sobre un conjunto X es una colección B de subconjuntos

de X, a los que se denominan acotados, que satisfacen los siguientes axiomas:

a) {x} ∈ B para todo x ∈ X.

b) Si A ∈ B y B ⊂ A entonces B ∈ B.

c) Si A,B ∈ B entonces A ∪B ∈ B.

Al par (X,B) se le llama espacio bornológico.

Una función acotada entre dos espacios bornológicos (X,BX) y (Y,BY ) es una función

f : X → Y que envía acotados en acotados, esto es, para todo A ∈ BX , f(A) ∈ BY . Lacomposición de funciones acotadas es acotada y para cada espacio bornológico la función

identidad es acotada.

Los espacios bornológicos y las funciones acotadas de�nen la categoría de los espacios

bornológicos notada Bor.

Sea X un conjunto. El conjunto de partes de X es una bornología sobre X, llamada la

bornología discreta sobre X. La colección formada por los subconjuntos �nitos de X es

una bornología sobre X, que llamaremos la bornología �nita sobre X.

La categoría de los espacios bornológicos Bor es una categoría topológica �brada sobre

la categoría de los conjuntos, como se muestra a continuación.

Veamos que el funtor olvido O : Bor → Conj donde O(X,B) = X y O(f) = f es

topológico. En primer lugar, es evidente que el funtor O es �el.

Estructuras iniciales

Sea (Y,BY ) un espacio bornológico y f : X → Y una función, la estructura inicial para

(B,By) y f es:

Sea

BX = {A ⊂ X | f(A) ∈ BY }

Estructuras �nales de sumideros unitarios

Sea (X,BX) un espacio bornológico y f : X → Y una función.

Sea

K1 = {B ⊂ Y | ∃A ∈ BX ,∧, B ⊂ f(A)}

22


y

K2 = {B ⊂ Y ⊂ (Y − f(X)) | B es �nito}

Claramente K2 es una bornología sobre Y − (f(X)). También, K1 es una bornología

sobre f(x). Ahora de�nimos

BY = {B ∪ E | D ∈ K1,∧, E ∈ K2}

BY es una bornología sobre Y . Por lo tanto (Y,BY ) es la estructura �nal para (X,BX)

y f .

Las �bras en BorEn la colección de bornologías sobre X, que notaremos Fib(X), se de�ne la relación

(X,B1) ≤ (X,B2), si y sólo si B1 ⊂ B2

de�nición que inicialmente es la natural, pues es la inducida por la relación de contenencia

usual.

Esta relación resulta de orden y en términos de funciones acotadas se puede expresar de

la siguiente manera:

(X,B1) ≤ (X,B2), si y sólo si iX : (X,B1)→ (X,B2)

donde iX es la función identidad de X.

Es de notar que la formulación equivalente en términos de mor�smos de la relación de

categoría topológica, sin embargo este hecho no se altera el desarrollo de la teoría.

Para un conjunto X, el mínimo y el máximo en la �bra corresponden a las bornologías

�nitas y discretas respectivamente.

Dada una familia de bornologías, puesto que la intersección de bornologías es bornología,

el mínimo corresponde a la intersección de la familia dada y el máximo a la intersección

de las bornologías que contienen a la reunión de dicha familia, ver [21].

3. Algunos métodos de construcción de categorías topológicas

3.1. Construcción de categorías topológicas a partir de topologías iniciales

y �nales

Haciendo uso de topologías iniciales y �nales, veremos la forma de construir una clase de

endofuntores de Top, que generan mediante sus puntos �jos subcategorías topológicas de Top.

23


De�nición 3.1. [9] Sean W y X espacios topológico. En la colección de funciones

continuas f : W → X al olvidar la topología de X se tiene el sumidero que notamos:

s(W,X) = {f : W → X|f ∈ [W,X]Top}

la topología �nal para s(W,X) la notamos Fs(W,X) = X.

Es de anotar que la topología �nal obtenida corresponde a la mayor topología sobre X que

hace continua a las funciones seleccionadas en cuestión. Ahora bien, de la de�nición topología

�nal para un sumidero, se tiene que:

Lemma 3.1. Sean W y X espacios topológicos, entonces:

a) X ≤ Fs(W,X), para cada X.

b) [W,X]Top ∼= [W,Fs(W,X)]Top

Teorema 3.1. Sea W un espacio topológico. La aplicación

EW : Top −→ Top

X −→ EW (X) = Fs(W,X)

EW (f) = f

hace de EW un funtor como lo ilustra el siguiente diagrama.

Demostración. Sea f : X → Y una función continua se debe ver que EW (f) : EW (X) →EW (Y ) debe ser continua para esto basta demostrar que para toda g ∈ s(W,X) la función

f ◦ g : W → EW (Y ) es continua. En efecto sea g ∈ s(W,X), entonces g : W → X es continua,

luego f ◦ g : W → EW (Y ) es continua, entonces por de�nición de estructura �nal para un

sumidero, se tiene que f : EW (X)→ EW (Y ) es continua.

24


Puesto que EW es idempotente, con las condiciones del teorema anterior se tiene el siguiente

resultado:

Teorema 3.2. EW (Top) es una categoría topológica, en el sentido de [1].

Demostración. Las topologías iniciales y �nales así como los supremos y los ín�mos deEW (Top)

se construyen en Top y luego se trasladan a EW (Top) a través del funtor EW

De manera dual haciendo uso de topologías iniciales se construyen subcategorías topológicas

de Top.

3.2. Ejemplos

1. Dado un espacio discreto, haciendo uso de topologías iniciales se generan los espacios

discretos.

2. Dado un espacio con topología grosera , haciendo uso de topologías �nales se generan

los espacios con topología grosera.

3. Al considerar el espacio de Sierpinski y haciendo uso de topologías iniciales se obtienen

la categoría de los espacios topológicos.

4. Se dice que un espacio X es secuencial, si cada subconjunto secuencialmente abierto

de X es abierto [18]. Un subconjunto A de X es secuencialmente abierto si cada suce-

sión en X que converge a un punto de A esta eventualmente en A, en otras palabras,

por fuera de A solo hay un número �nito de términos de la sucesión. Consideremos

N∞ = {0, 1, 12 ,13 , · · · ,

1n , · · · } como subespacio del conjunto de los números reales con

su topología usual. La categoría EN∞(Top) corresponde a la categoría de los espacios

secuenciales.

5. Un espacio topológico X es completamente regular, si solo si, para todo subconjunto A

cerrado de X y para todo x ∈ X con x /∈ A, existe una función continua f : X→ I tal

que f(x) = 0 y f(A) = 1, siendo I = [0, 1] con su topología usual [20].

25


En [20] se demuestra que un espacio topológico X es completamente regular, si y solo

si, tiene la topología inicial inducida por la familia de funciones continuas y acotadas de

valor real. De este hecho se sigue que la categoría CI(Top) corresponde a la categoría de

los espacios completamente regulares.

3.3. Construcción de categorías topológicas a partir de funciones continuas

Los endofuntores construidos en esta sección, se pueden considerar como construidos a partir

de la función identidad de dicho espacio. Con esta idea en mente en este aparte se generaliza

este hecho, así que los resultados obtenidos son de carácter más general.

Sea h : W1 →W2 una función continua, para cada espacio topológico X, sea SX = {g : W2 →X; g ∈ [W2, X]Top} y sea SX ◦ h = {g ◦ h : W1 −→ X; g ∈ SX}.

Consideremos en Top la aplicación Eh que asignan a cada espacio topológico X el espacio

Eh(X) = FsX◦h y a cada función continua f la función Eh(f) = f . Dada una función f :

X −→ Y , la función f : Eh(X)→ Eh(Y ) resulta continua.

Esto determina el funtor:Eh : Top −→ Top

X −→ Eh(X)

Eh es idempotente y en forma similar al apartado anterior se tiene que Eh(Top) es una sub-

categoría topológica de Top.

Para cada espacio topológico W , se cumple:

EW = EIW

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Por lo tanto, un espacio y su función identidad, generan la misma subcategoría topológica de

Top.

3.4. Algunos métodos de construcción de categorías topológicas en Top∗

En esta sección se muestran nuevas formas de construir categorías topológicas , usando una

técnica muy particular, como lo es el de agregar o quitar abiertos a un espacio topológico

punteado usando su punto base. Es de anotar que estas nuevas técnicas, no se pueden utilizar

en Top y por lo tanto amplían la teoría expuesta en [13] y en general en la sección anterior.

Consideraremos la categoría de los espacios topológicos punteados Top∗, cuyos objetos son

ternas (X, τ , x0), donde X es un conjunto, τ una topología sobre X y x0 ∈ X y un mor�smo

f entre dos espacios punteados f : (X, τX , x0) −−→ (Y, τ Y , y0) es una función continua y

f(x0) = y0, es de anotar que, trabajaremos con una de�nición un poco más fuerte.

De�nición 3.2. La categoría de los espacios topológicos punteados, Top∗,está de�nida por:

a) Los objetos son ternas (X, τ, x0), X es un conjunto, τ una topología sobre X y x0 es un

punto de X

b) Los mor�smos en Top∗ son funciones f : X −→ Y , continuas y tales que

f−1{y0} = {x0}

A continuación se ilustra la manera de ampliar una topología agregando nuevos abiertos, los

cuales se construyen agregando el punto base de un espacio topológico punteado a cada uno

de sus abiertos iniciales. En seguida se muestra como esta construcción genera un elevador y

por lo tanto una subcategoría topológica.

Si (X, τ, x0) es un objeto de Top∗, se de�ne τ∗ = τ ∪ {A ∪ {x0} | A ∈ τ}, es claro que, τ∗ es

una topología sobre X.

Proposición 3.1. La aplicación E : Top∗ → Top∗ de�nida por E(X, τ, x0) = (X, τ∗, x0) y

E(f) = f es un funtor idempotente. La subcategoría plena formada por sus puntos �jos forman

una subcategoría topológica de Top∗.

En particular, si (X, τ, x0) es conexo y {x0} no es cerrado en τ , entonces, (X, τ∗, x0) es conexo.

Ahora, si (xn)n∈N es una sucesión convergente (X, τ, x0), entonces la sucesión (xn)n∈N no

necesariamente es convergente en (X, τ∗, x0). Un ejemplo de esta situación es la siguiente. En

(R, µ, 0), donde R es el conjunto de los números reales y µ es la topología usual. La sucesión1n converge a 0, 1

n → 0. En τ∗ = τ ∪ {A ∪ {0} | A ∈ τ} el abierto (−∞, 0) ∪ {0} no contiene

elementos de la sucesión.

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Ahora bien, dados (X,x0, τ) un espacio topológico y (xn)n∈N una sucesión que converge a l,

l 6= x0, entonces, la sucesión (xn)n∈N en (X,x0, τ∗) es también convergente a l.

Las siguientes dos proposiciones ilustran la manera de reducir una topología, en el sentido de

quitar abiertos, eliminando los abiertos que contienen al punto base de un espacio topológico

punteado. En seguida se muestra como esta construcción genera un funtor idempotente y por

lo tanto una subcategoría topológica de Top∗.

Si (X, τ, x0) es un espacio topológico punteado, la colección τ∗ = τ r {A ∈ τ | x0 ∈ A} ∪ {X},es una topología sobre X.

La prueba de la siguiente proposición es inmediata.

Proposición 3.2. La aplicación C : Top∗ −→ Top∗, de�nida por C (X, τ, x0) = (X, τ∗, x0)

y C(f) = f , es un funtor idempotente y por tanto la imagen de dicho funtor, es una

subcategoría topológica.

Proposición 3.3. Todo espacio topológico punteado (X, τ, x0) se puede sumergir en un

espacio topológico conexo.

Demostración. Sea (X, τ, x0) un espacio topológico y se considera (X, τ∗, x0) donde τ∗ = τ r{A : A ∈ τ ; x0 ∈ A} ∪ {X} entonces τ∗ ⊆ τ por tanto i : (X, τ, x0)→ (X, τ∗, x0) es continua.

Proposición 3.4. Todo espacio topológico punteado se puede sumergir en un espacio

topológico compacto.

Conclusiones

Finalmente como se puede observar la topología categórica sigue ofreciendo temas de tra-

bajo. Para el caso que nos ocupa, nótese que el trabajo enriquece la topología en aspectos

poco conocidos y que giran alrededor de las topologías iniciales y �nales, como por ejemplo

la construcción de subcategorías topológicas de Top, que aunque no lo mencionamos pues di-

reccionamos el trabajo hacia otra parte, resultan subcategorías re�exivas y corre�exivas. Pero

además nótese que en el trabajo se presentan algunas técnicas que dan posibilidades de cons-

truir ejemplos de espacios topológicos especiales y categorías topológicas. A su vez al mostrar

que estás teorías no son exclusivas de los espacios topológicos enriquece la teoría de categorías.

Agradecimientos

Los autores agradecemos al comité organizador del evento el habernos brindado un espacio

para exponer este trabajo y de manera muy especial al profesor Carlos Javier Ruiz Salguero

Q.E.P.D el habernos introducido en estos temas con sus valiosas discusiones en el seminario

del grupo Vialtopo.

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