una ecuacion para las leyes del movimiento la variación del momento lineal de un cuerpo es...

UNA ECUACION PARA LAS LEYES

DEL MOVIMIENTO

La variación del momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.

La primera ley dice que en ausencia de fuerzas el momento se conserva. La segunda dice como cambia en presencia de fuerzas. Ambas leyes son sintetizables en una ecuación:

SEGUNDA LEY

)( vmdt

dF

Dos aspectos importantes de la

Segunda Ley

La masa es un parámetro físico que caracteriza a un objeto.

En particular, de la ecuación de Newton se asume implícitamente

que:

LA MASA NO DEPENDE DE LA VELOCIDAD.

)( vmdt

dF

amv

dt

dmF

)(

Esta es una igualdad vectorial que corresponde en realidad a tantas ecuaciones como dimensiones hayan (en general 3)

zz

yy

xx

amF

amF

amF

Agnosticismo de las Fuerzas

Gravedad

ElásticaEléctrica

RozamientoF=FELECTRICA + FROZAMIENTO + FGRAVEDAD + FELASTICA

La fuerza resultante es la suma de fuerzas de distintos tipos. Uno de los enunciados implícitos en la ecuación de Newton es que estas fuerzas pueden tratarse, a los efectos del movimiento, como un solo objeto.

Fuerza Resultante

Tercer principio: Acción y reaccion

Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo.

F1 F2

Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos con fuerzas extensas

F1 F2

212211 )()()( FFvmdt

dvm

dt

dp

dt

d

EXTEXTEXTEXT FFFFFFvmdt

dvm

dt

d212211122211 )()(

EXTFpdt

d)(

Extensión de la segunda ley de Newton (p cambia con Fext)

UNA ECUACION PARA LAS LEYES

DEL MOVIMIENTO PROBLEMA DEL MOVIMIENTO RESUELTO?

Las ecuaciones de Newton establecen una solución al juego con los siguientes jugadores:

•tiempo (t)•espacio (x, linea, (x,y) plano, (x,y,z) etc...•velocidad (cambio de x con t)•masa (propiedad física que caracteriza la “resisitividad a la fuerza y por ende establece la inercia)•fuerza (agentes físicos que modifican el momento (la velocidad por la masa)

No es lo mismo conocer la existencia de la solución (por ejemplo asumamos que se resuelve el ajedrez y se determina que las blancas están ganadas antes de empezar) y conocer la solución. (en el caso del ajedrez, saber como ganar con blancas)

Conservación. Integrando funciones desconocidas: Saber

algo cuando no se puede saber todo.

)()( vmdt

dxF

Consideremos el caso, mas simple, en que la fuerza es solo una función de la posición, como es el caso para dos fuerzas que nos interesan: la gravedad y la elástica (y, veremos, modulo una constante también la eléctrica)

A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion

potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…

222

211 2

1)(

2

1)( mvxUmvxU

•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece constante•La fuerza es menos la derivada espacial de esta función. •La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y su energía inicial, para conocer su velocidad.

•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.

(x1,v1)

(x2,v2)



222

211 2

1)(

2

1)( mvxUmvxU



(x1,v1)

(x2,v2)dx

xdUxF

)()(



222

211 2

1)(

2

1)( mvxUmvxU



(x1,v1)

(x2,v2)dx

xdUxF

)()(

dx

xdU

dt

dvm

)(

Dos potenciales importantes: Introduciendo el mundo elástico como el

“equilibrio puntual generico” o la resistencia a alejarse.

G(Superf) = -mg U(x)=mgx

Resorte = -kx 2

)(2kx

xU

2

2mvmgxE

22

22 mvkxE

U(x)

U(x)

¿Cuales son los aspectos comunes y las diferencias fundamentales entre estos dos potenciales?

VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA En un punto dado del espacio, una función no puede más que:

• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)

• Tener un mínimo (Equlibrio estable)

• Ser constante. (Punto indiferente)

• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)






Movimiento genérico en la línea resulta de una yuxtaposición de estos operadores elementales.






A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas complejo por:1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la geometría y la dinámica.2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.

Movimiento genérico en la línea resulta de una yuxtaposición de estos operadores elementales.

Gradiente, la dirección (y cantidad de cambio, de una función escalar)

En dos dimensiones, la física es la misma y para las fuerzas conservativas puede también deducirse una función potencial. La derivada pasa a ser el gradiente que indica no solo la magnitud del cambio sino también la direccionalidad del cambio. (En una dimensión esto tiene un análogo en el signo de la derivada, que indica en que sentido uno ha de moverse para que la funcion crezca)



EmvxU 2

2

1)(

dx

xdUxF

)()(

dx

xdU

dt

dvm

)(



EvvmyxU yx )(2

1),( 22

]),(

,),(

[)],(),,([dy

yxdU

dx

yxdUyxFyxF yx

dx

yxdU

dt

dvm x ),(

dy

yxdU

dt

dvm y ),(

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2-0.5

0

0.5

Mapas Escalares: La anatomía de la función x*exp(r2)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Dos representaciones equivalentes de las “ternas” (x,y,f(x,y))

Las curvas de nivel, o las direcciones a lo largo de las cuales una función no cambia y aquellas, ortogonales, de máximo cambio.

Inferir la tendencia al cambio a partir de una función potencial

Inferir la tendencia al cambio a partir de una función potencial

Función Potencial y campo gradiente, dos conceptos hermanaos. El gradiente es el vector formado por el valor de cambio (con signo) en cada dirección. Apunta entonces en la dirección donde la función mas crece. La fuerza es inversa al gradiente y cambia el momento (alterando la tendencia a mantener la velocidad constante). Nótese que el momento evoluciona en dirección de los pozos de potencial. Nótese también que el movimiento no converge a los pozos (es decir, no se estaciona en un mínimo) porque la partícula tiene inercia. Un pozo suficientemente profundo “atrapa una particula” que oscila en este pozo.

TIEMPO DE SIMULACIONES: Experimentos in-silico.

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