Un poco de Geometría y Topología

25 octubre 2011Vicente Muñoz

La forma del Universo

¿Cómo es nuestro universo?

Mirando a pequeña escala, parece ser rectilíneo con tres direcciones. Pero, ¿es sólo un efecto óptico del pequeño trozo de espacio al que podemos mirar?

Pietro Vesconte, mapa de 1321 Foto actual de la Tierra

¿Cómo era y cómo es la Tierra?

El mapa de nuestro universo

?

Representación local del universo (NASA)Lado = 500 millones años-luz

Forma real de nuestro universo

La forma del Universo

• ¿Cómo representar un espacio de dimensión tres?

• ¿Cuántas posibles formas de espacios de tres dimensiones hay?

• ¿Qué propiedades de nuestro Universo nos pueden decir qué forma tiene?

Planilandia: un universo de dimensión 2

Presunta ruta de Planito

Planito cree vivir en una esfera

Segundo viaje

Primer viaje

Planilandia, ¿la superficie de un flotador?

Segundo viaje

Primer viaje

toro

Otras posibles formas

Superficie de género g = 3

Topología: estudia la forma de los objetos (se permite deformarlos)

¡Un topólogo no distingue un donut de una taza!

Un universo con “puertas inter-espaciales”

Topológicamente, es ...

... pegar un asa

Superficies (compactas, sin borde, orientables)

Las superficies se clasifican de acuerdo a su género g.

• g = 0. Esfera.

• g = 1. Toro (una esfera con un asa).

• g 2. Esfera con g asas.

¿Cómo averigua Planito el género?

Característica de Euler-Poincaré

χ = vértices – aristas + caras

Se tiene χ = 2 – 2g , de donde se obtiene g

Geometría: estudia las propiedades métricas de los objetos: longitudes, ángulos, …

Curvatura: κ = (α + β + γ 180º) /área

Geometrías isotrópicas

• Las propiedades métricas no dependen del punto de la superficie. Planito ve su universo igual en cualquier lugar.

• Las propiedades métricas no dependen de la dirección. Planito ve su universo igual en cualquier dirección.

La curvatura κ es constante.

Geometrías Elípticas. κ > 0

α + β + γ > 180º

α γ

β

La esfera, g = 0

¿Qué ve Planito?

Geometrías Euclídeas. κ = 0El plano Euclídeo

α

α + β + γ = 180º

β

γ

¡Pero no es compacta!

¿Qué superficies tienen geometrías euclídeas?

El toro, g = 1

¿Qué ve Planito?

Geometrías Hiperbólicas. κ < 0Disco de Poincaré

α γ

β

α + β + γ < 180º

¿Qué superficies tienen geometrías hiperbólicas?

Todas las superficies con g 2.

4 x90º

90º

90º 90º

90º

90º

Hexágono hiperbólico

¿Qué ve Planito?

Tipos de geometrías en superficies

• Geometrías elípticas. Esfera. g = 0.

• Geometrías euclídeas. Toro. g = 1.

• Geometrías hiperbólicas. g 2.

El Universo (de dimensión tres)

• El Universo apareció hace 13.700 millones de años con una gran explosión (big-bang).

• Tiene al menos 94.000 millones de años-luz de diámetro.

• El Universo está en expansión. El ritmo de expansión lo mide la constante de Hubble H

• Es razonable esperar que sea:• Isotrópico. ρ = densidad de materia = constante

• De volumen finito (compacto)

Topología de espacios de dimensión 3

• Clasificación topológica de los espacios de dimensión 3: problema no resuelto.

• Conjetura de Poincaré:

Si en un espacio de dimensión 3 (compacto) todos sus lazos se pueden recoger, entonces es la esfera 3-dimensional.

• Resuelta en 2004 por G. Perelman. Poincaré (1854-1912)

Asas tridimensionales(Star-gate)

Agujero negro Agujero blanco

Asas anudadas

Geometrías isotrópicas

• No todo espacio de dimensión 3 admite una geometría isotrópica.

• No se conocen todos los espacios de dimensión 3 con geometrías isotrópicas.

• La mayoría de los que tienen geometría isotrópica son hiperbólicos.

• Geometrías Elípticas. κ > 0• Geometrías Euclídeas. κ = 0• Geometrías Hiperbólicas. κ < 0

Modelo Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Tipo de geometría

Futuro del Universo

Densidad

Elíptico Big-crunch ρ > (3/8π) H2

Euclídeo

El ritmo de expansión tiende a cero

ρ = (3/8π) H2

Hiperbólico Big-rip ρ < (3/8π) H2

El proyecto WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), 2001-2010

• Se buscan imágenes repetidas en el cosmos.

• Se utiliza la radiación CMB (Cosmic Microwave Background), que es la luz de hace 13.700 millones de años.

Resultados (por el momento))

• El 23% es materia oscura, el 72% es energía oscura y solo el 5% son átomos.

• El universo se encuentra en expansión acelerada.

• A pesar de ello, la curvatura es muy posiblemente κ = 0.

• No se han encontrado imágenes repetidas en el cosmos, con lo que no se ha podido averiguar su forma (aún!).

Referencias

• Abbott, E. A., Planilandia. Una novela de muchas dimensiones, J. de Olañeta, 1999.

• Muñoz, V., Deformando las formas. La topología, RBA, 2011.

• Weeks, J.R., The shape of space, CRC Press, 2001.

• http://map.gsfc.nasa.gov/