Un llibre sobre la relació entre jocs i matemàtiques

Jornada ABEAM

Barcelona, 5 de novembre

de 2011

.

¿Dónde acaba el juego y dónde empieza la matemática seria?

Para muchos, la matemática, mortalmente aburrida, no tiene nada que ver con el juego.

En cambio, para la mayoría de los matemáticos, nunca deja de ser un juego, aunque, además, pueda ser muchas otras cosas.

M. de Guzmán (1988)

.

Dels jocs de taula a la Teoria de Jocs passant per les matemàtiques.

Què es pot trobar en aquest llibre?

1. Una petita història dels jocs (de taula)

Jocs de fa més de 4000 anys

Pintura egípcia que mostra una dona jugant al Senet

Jocs a l’època

medieval

Libro de juegos de Alfonso X

1283

El Renaixement: Tartaglia y Cardano

Jocs als segles XVII, XVIII y XIX

• ….

Fins als nostres dies …

.

L’Hex un joc del s. XX

Piet Hein (1942)

John Nash(1947)

2. Els jocs d’estratègia

Els grans jocs

I els petits jocs d’estratègia

Jocs tipus NIM i jocs tipus NIMBUS

3. Els jocs i l’atzar

Pauling, al rebre el segon premi Nobel va dir:

Obtenir el segon és molt més fàcil que el primer, perquè són molt pocs els que ja en tenen un.

El naixement de la probabilitat: Pascal i Fermat (s. XVII)

4. La Teoria (Matemàtica) de Jocs

No hi ha cap branca de les matemàtiques, per abstracta que sigui, que no es pugui aplicar algun dia a l’estudi dels fenòmens del món real.

Lobachevsky

Què té de “joc” la teoria de jocs?

- La idea de joc com a confrontació (també col·laboració) entre dos (o més) jugadors on tothom vol guanyar (o no perdre).

- L’ús de jocs “especials”: jugades simultànies, poc interessants com a jocs

- Els jocs com a simuladors de situacions reals (economia, política, “marketing”,…)

- La idea d’estratègia (conjunt de jugades) i d’estratègia guanyadora.

Theory of Games and Economic Behaviour (1944)

Jonh von Neumann Oskar Morgenstern

El Teorema del Minimax (o maximin)

Per a tots els jocs finits bipersonals i de suma zero, existeix un valor V, que representa la quantitat mitjana que espera guanyar el jugador A del jugador B, si tots dos actuen de manera raonable, és a dir, jugant a optimitzar els seus guanys.

John Forbes Nash (1928)

Una idea raonable: L’equilibri de Nash

“Una ment meravellosa” Ron Howard (2001)

Els dilemes de la Teoria de jocs

- Dilema del presoner- Dilema del gallina- Falcons i coloms

Competir o cooperar?

Dilema del presoner: un exemple

El joc “dilema del presoner” (Albert W. Tucker, 1950), és un dels més famosos problemes de la teoria de jocs.

Dues potències P1 i P2, que estan enfrontades, han de decidir la seva política armamentista. Cada una pot optar per dues estratègies de manera independent:

A: negar-se a cooperar, és a dir, armar-se com a preparació per a una guerra.

B: cooperar, és a dir, desarmar-se, o al menys posar-se d’ acord en la prohibició de determinades armes.

Suposem que la matriu del joc és la següent:

Potència P2OPCIÓ A OPCIÓ B

Potència P1OPCIÓ A (2 , 2) (5 , 0)

OPCIÓ B (0 , 5) (4 , 4)

Interpretant els nombres com a guanys, el dilema és evident

¿Què farà P1? Per a qualsevol opció de P2 es millor armar-se. De manera simètrica, passa el mateix amb P2.

Es diu que la solució (A, A), les dues potències s’armen és la solució d’equilibri no cooperatiu. No obstant, per a cada potència és milloror que l’altra es desarmi i, a més, el màxim benefici global s’obté quan les dues potències es desarmen.

5. La vida es joc: aplicacions de la Teoria

- Economia- Política- Conflictes- Publicitat- Evolució- Ecologia

Robert AxelrodMatemàtic i doctor en ciència política, és un expert en problemes de cooperació.

Les estratègies que utilitzen les persones tendeixen a evolucionar cap a d’altres cada vegada més efectives, en les quals la cooperació és necessària.

Jocs i ensenyament de les matemàtiques: alguns exemples

• Al capítol 2 del llibre (jocs d’estratègia i resolució de problemes) es poden trobar nombrosos jocs que admeten una anàlisi completa, amb la determinació d’una estratègia guanyadora per a un dels dos jugadors.

• També al primer llibre d’activitats d’Estalmat hi ha un capítol amb una proposta per treballar amb petits jocs d’estratègia.

Els petits jocs d’estratègia

• Retirar fitxes d’una o vàries piles o d’un tauler (també dits jocs tipus NIM)

• Jocs d’aliniacions (tres en ratlla, marro,…)• Jocs de cercar (jeux militaire, la guineu i

les oques, l’assalt, …)• Jocs de conectar (SIM, els ponts, …)• Jocs amb taulers diversos (Reversi, Hex)• Els pseudojocs

Jocs per primària

• Una pila de fitxes. Dos jugadors. Cada jugador en pot agafar només una a cada jugada. Qui guanyarà?

• Ara el nombre de fitxes és parell i cada jugador en pot agafar dues a cada jugada. Què és millor, jugar primer o segon? Què passaria si el nombre de fitxes fos senar?

Més jocs per primària

En un tauler quadrat de 9 caselles (3 x 3), cada jugador escriu un nombre de l’1 al 9 en una casella buida (no es pot repetir cap nombre). El primer jugador que aconsegueix que tres nombres aliniats (vertical, horitzontal o diagonal) sumin 15 guanya la partida.

Variant: el primer jugador, en la primera jugada, no pot esriure un nombre a la casella central. Com pot jugar per guanyar sempre?

Una activitat amb jocs tipus NIM• 1. A) El 14 guanya. Joc per a dos jugadors.

Col·loquem 14 fitxes sobre la taula. Cada jugador, al seu torn, retira una o dues fitxes (les que vulgui). El jugador que aconsegueix retirar l’última fitxa de la taula és el guanyador de la partida.

• Com s’ha de jugar per guanyar? Quin dels dos jugadors, el primer o el segon, té avantatge? Què passa si variem el nombre de fitxes inicial, i es juga amb 16 o amb 18 fitxes?

Un joc similar però una mica especial

• El 20 guanya. És un joc per a dos jugadors.

• Col·loquem 20 fitxes sobre la taula. Cada jugador, al seu torn, retira una, tres o cinc fitxes (les que vulgui) de la taula. El jugador que aconsegueix retirar l’última fitxa de la taula és el guanyador de la partida.

• Quin dels dos jugadors, el primer o el segon, té avantatge?

• Aquest joc és com els anteriors, o bé hi ha alguna cosa diferent? Sabríeu explicar què passa?

La margarida: Igual o diferent?Joc d’estratègia per a dos jugadors. Dibuixeu una

margarida gran amb 9 pètals en un full de paper blanc. Situeu una fitxa a cada pètal (necessitareu 9 fitxes del mateix color). Al seu torn, cada jugador ha de treure una o dues fitxes, però si en vol treure dues han de ser veïnes (han d’estar juntes). El jugador que aconsegueixi treure l’última fitxa guanya la partida.

Penseu quin jugador té avantatge (el primer o el segon) i com s’ha de fer per guanyar.

Què passa si en lloc de 9 pètals la margarida té 10 pètals? Què passa si la quantitat de pètals és un nombre qualsevol superior a tres?

Un joc una mica més complicat:Joc per a dos jugadors. Es practica en un tauler

format per 6 caselles quadrades aliniades.La posició inicial consisteix a posar tres fitxes en

les caselles 1, 3 i 5 respectivament. Al seu torn, cada jugador mou una fitxa cap a la dreta tantes caselles com vulgui (com a mínim una casella i com a màxim fins a la casella sis); és possible situar la fitxa en una casella que ja estigui ocupada per una altra. El jugador que col·loca l’última fitxa sobre la casella 6 guanya la partida.

CASELLAFINAL

Generalitzem el joc anterior: El NIM• El joc anterior equival a jugar amb tres piles

de 1, 3 i 5 fitxes i treure les que es vulgui d’una sola pila.

• Es pot complicar tant com es vulgui variant el nombre de piles i el de fitxes de cada pila. Per exemple:

• Tenim cinc piles amb 1, 2, 3, 4 i 5 fitxes respectivament A cada jugada un jugador pot agafar totes les fitxes que vulgui d’una mateixa pila. El que agafa la darrera guanya

• Qui guanyarà en aquest cas? Com s’ha de fer per aconseguir-ho?Hi ha una estratègia general que sigui vàlida per a tots els casos?

L’estratègia per guanyar al NIMHi ha una estratègia per guanyar:1 12 10 2 10 2 10 2 103 11 3 11 3 11 3 114 100 4 100 3 11 3 115 101 5 101 5 101 2 10

En aquest cas guanya el primer si agafa la fitxa de la primera pila. A cada jugada ha de procurar que després de jugar, els nombres expressats en base 2 siguin tals que al sumar per columnes sempre quedi un nombre parell.

Jocs equivalents?Tsyanshidzi. Aquest antic joc d’origen xinès es juga partint de

dues piles de fitxes amb una quantitat diferent a cada pila (es pot començar amb 6 i 7 fitxes i després anar variant el nombre de fitxes). Cada jugador, al seu torn, pot retirar totes les fitxes que vulgui d’una de les piles, o bé treure fitxes de les dues piles, però en aquest cas la quantitat de fitxes que s’eliminin ha de ser el mateix per a les dues piles. El que aconsegueix retirar l’última fitxa guanya la partida.

Salvar la reina. Sobre un tauler d’escacs es situa una reina en una casella qualsevol de la fila superior o de la columna de la dreta, excepte en les caselles dels vèrtex. Al seu torn, cadascun dels dos jugadors va movent la reina tantes caselles com vulgui, horitzontalment (cap a l’esquerra), verticalment (cap avall), o en diagonal (cap a l’esquerra i cap avall). El jugador que aconsegueixi situar la reina en la casella inferior esquerra del tauler és el guanyador de la partida.

Sobre els pseudojocs

• Dibuixem quadrats i cercles en una fila. A cada jugada un jugador pot canviar:– Dues figures iguals per un cercle– Dues figures diferents per un quadratDos jugadors van jugant alternativament. Si la

darrera figura que queda és un quadrat guanya el primer, i si és un cercle guanya el segon.

Donada una configuració inicial, quin dels dos jugadors té avantatge? Com s’ha de jugar?

Què passa amb aquest tipus de jocs?

Dividint un cercle

Dibuixem 8 punts sobre una circumferència. Al seu torn cada jugador uneix dos punts amb un segment, que no talli a cap dels segments ja dibuixats. El primer jugador que no pot tirar perd la partida.

Quin jugador té avantatge? Com s’ha de jugar per guanyar?

Què passa si variem el nombre de punts?

Sempre hi ha una estratègia?• Teòricament si es donen certes condicions si, però a la

pràctica és més complicat. Per exemple, el joc ideat el pel creador francès Bruno Faidiutti, Babylon, és una mostra de joc senzill pel qual és molt complicat trobar l’estratègia guanyadora.

• Sobre una taula es posen 12 fitxes, de quatre colors diferents, tres de cada color. Al seu torn, cada un dels dos jugadors pren una pila (inicialment totes les piles són d'altura 1) i la posa damunt d'una altra pila, amb les següents condicions: és possible posar una pila sobre una altra si tenen la mateixa alçada o bé si la fitxa superior de les dues piles és del mateix color.

• El jugador que no pot posar una pila sobre una altra

Si la gent no creu que les matemàtiques són senzilles, és només

perquè no s’adonen de com de complicada és

la vida

John von Neumann