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Unidad 5

máximos, mínimos y diferenCiaLes de orden

sUperior

Objetivos

Al inalizar la unidad, el alumno:

• Identificará los puntos críticos, máximos y mínimos absolutos y relativos utilizando el criterio de la primera derivada.• Utilizará el criterio de la segunda derivada para identificar los máximos y mínimos relativos.• Encontrará puntos de inflexión y concavidad de una función. • Identificará los valores aproximados y errores a través de la diferencial. • Encontrará las diferenciales de orden superior de una función dada.

Cálculo diferencial e integral 177

Introducción

E l análisis del comportamiento de las funciones que a continuación se explicará puede aplicarse en numerosas situaciones de la vida cotidiana para conocer en qué condiciones se obtienen los resultados óptimos, máximos o mínimos,

o cómo se debe actuar para influir en las variables en la forma deseada, o en qué intervalo de variación de una de ellas la otra aumenta o disminuye más rápidamente. Como se verá, para ello bastará con escribir la relación entre las variables como una función, fijar el objetivo deseado y hacer el análisis correspondiente.

5.1. Máximos y mínimos relativos y absolutos

Se dice que la función f alcanza su valor máximo en un punto a si f x f a( ) ( )≤ para toda x de su dominio. De la misma forma se dice que la función f alcanza su valor mínimo en un punto a si f x f a( ) ( )≥ para toda x de su dominio, como se muestra a continuación.

Dada una función f(x) y dos arcos PQ y QR (figura 5.1) de la curva representativa de la función f(x), si para un valor determinado a de la variable independiente x en el intervalo [x

1, x

2] su ordenada correspondiente es mayor que la ordenada de cualquier

otro punto x del intervalo, esto es:

f x f a( ) ( )≤

Figura 5.1.

Se dice que f(a) es el valor máximo o que la función alcanza su máximo relativo en el punto a.

Asimismo, la función f(x) alcanza su mínimo relativo en el punto b dentro del intervalo [x

2, x

3], ya que para cualquier x dentro del intervalo se tiene f b f x( ) ( )≤ .

Para calcular el valor máximo absoluto de una función en un intervalo cerrado [a,b], es necesario comparar los máximos relativos de la función en ese intervalo con sus valores f(a) y f(b) y elegir el mayor de todos.

Unidad 5178

Asimismo, para calcular el valor mínimo absoluto de una función en un intervalo cerrado [a,b] es necesario comparar los mínimos relativos de la función en el intervalo con sus valores f(a) y f(b), y elegir el menor de todos.

Definición. Sea f(x) una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces c ∈ (a, b)es un punto crítico si f '(c) = 0 o f '(c) no existe.

Ejemplo 1

Determina los puntos críticos de la función f x x x( ) = − +3 23

22 .

Solución

Se tiene que la función f x x x( ) = − +3 23

22 , está definida y es derivable en

todos los reales, así los puntos críticos de f(x) se obtienen al resolver la ecuación f '(x) = 3x2 – 3x = 0

De donde 3x(x – 1) = 0

Los puntos críticos son x = 0, x = 1

Ejemplo 2

Determina los puntos críticos de f(x) = x:Solución

Se tiene que f(x) = x es derivable en todos los reales excepto en x = 0, además f '(x) = 1 para x<0.


Figura 5.2.

Luego el único punto crítico de f es x = 0.

El siguiente teorema nos proporciona un criterio para determinar los posibles máximos y mínimos relativos de una función.

Teorema. Si f(x) tiene un máximo o mínimo relativo en x = c, entonces, c es un punto crítico.

5.1.1. Criterio de la primera y segunda derivada

Para ilustrar este caso veamos la figura 5.3; aquí observamos que en el punto E, donde la función es creciente, la tangente forma un ángulo agudo, por lo tanto la derivada es positiva. En el punto F, donde la función es decreciente, la tangente forma un ángulo obtuso por lo tanto la derivada es negativa. En el punto M la tangente forma un ángulo de cero grados por lo tanto la derivada es igual a cero, en el punto m sucede lo mismo.

Figura 5.3.

Esto significa que una función es creciente cuando su derivada es positiva y decreciente cuando su derivada es negativa.

Ahora bien, el valor de una función es un máximo si es mayor que cualquiera de los valores inmediatos, antes o después, en torno al punto analizado.

Por lo tanto, f(x0) es máximo si f '(x) cambia de signo positivo a negativo.

Asimismo, el valor de una función es mínimo si es menor que cualquiera de los valores inmediatos, antes o después, en torno al punto analizado.

Unidad 5180

Por lo tanto, f(x0) es mínimo si f '(x) cambia de signo negativo a positivo.

Si una función tiene máximo o mínimo, para un valor x de la variable independiente, la primera derivada de la función se anula para ese valor x; es decir, f '(x) = 0

Por lo tanto, para saber si una función dada tiene máximo o mínimo se puede proceder de acuerdo con los ejemplos siguientes:

Ejemplo 3

Calcula los máximos y mínimos relativos de la función f x x x x( ) = − − +2 3 12 23 2

Solución

La primera derivada se obtiene de la función f x x x x( ) = − − +2 3 12 23 2

f x x x'( ) = − −6 6 122 , luego se iguala a cero y se resuelve la ecuación:

6 6 12 02x x− − = , dividiendo por 6 se tiene:

6 6 12 0

62 0

22x x

x x− − = = − − = , resolviendo esta ecuación por factorización

resulta ( )( )x x x x+ − = − = + =1 2 0 2 0 1 0, y donde

Luego entonces, las raíces de la ecuación son: x x1 22 1= = − y

Bien, veamos si para el valor 2 existe un máximo o mínimo evaluando en un valor menor que 2, por ejemplo 1, se tiene:

f '( ) ( ) ( )1 6 1 6 1 12 12 02= − − = − <Ahora, para un valor mayor que 2, por ejemplo 3, se tiene:

f '( ) ( ) ( )3 6 3 6 3 12 24 02= − − = >Como la derivada pasa de negativa a positiva, entonces para el valor x = 2 hay un

mínimo.


Luego se calcula la abscisa del mínimo; esto es, el valor de la función para x = 2 es:

f ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 12 2 2 183 2= − − + = −Así, en las coordenadas (2, –18) está un punto mínimo de la curva.

Ahora se determinará si para el valor x =–1 hay un máximo o un mínimo, así que para un valor menor de –1, por ejemplo, –2, se tiene:

f '( ) ( ) ( )− = − − − − = >2 6 2 6 2 12 24 02

Para un valor mayor que –1, por ejemplo 0, se tiene:

f '( ) ( ) ( )0 6 0 6 0 12 12 02= − − = − <Como la derivada pasa de positiva a negativa, la función tiene un máximo para

x = –1

Luego se sustituye en la función x =–1 para encontrar las coordenadas del máximo; esto es,

f ( ) ( ) ( ) ( )− = − − − − − + =1 2 1 3 1 12 1 2 93 2

Así, el punto (–1, 9) es un punto máximo de la curva.

Ejemplo 4

Localiza los valores máximos y mínimos de la función yx

x x= + − +32

3

5

26 5 .

Solución

Derivando e igualando a cero para determinar las raíces de la función

f xx

x x( ) = + − +32

3

5

26 5 se tiene que f x x x'( ) = + −2 5 6 , igualando a cero se tiene

x x−( ) +( )=1 6 0 donde y x x= = −1 6 son puntos críticos de la ecuación.

Evaluando un valor menor que 1, por ejemplo 0, se tiene:

Unidad 5182

f '(0) (0) (0)= + − = − <2 5 6 6 0

Para un valor mayor que 1, 2 por ejemplo, se tiene:

f '(2)=(2) (2)2 5 6 8 0+ − = >Como la derivada pasa de negativa a positiva, para el valor x = 1 hay un mínimo.

Ahora, se calcula la abscisa del mínimo. El valor de la función para x = 1

f (1) = + − + =( )( ) ( )

1

3

5

21 6 1 5

11

6

32

Luego las coordenadas 111

6,

son un punto mínimo de la curva.

Para determinar si el punto x = –6 es máximo o mínimo desarrollamos el mismo procedimiento que para el caso de x = 1, esto es:

Evaluando un valor menor que –6, –7 por ejemplo, se tiene:

f '( 7)=( 7) ( 7)− − + − − = >2 5 6 8 0

Para un valor mayor que –6, –5 por ejemplo, se tiene:

f '( ) ( ) ( )− = − + − − = − <5 5 5 5 6 6 02

Como la derivada pasa de positiva a negativa, para el valor x = –6 hay un máximo,la ordenada en x = –6 es

f ( )( )

( ) ( )− = − + − − − + =66

3

5

26 6 6 5 59

32

Luego las coordenadas (–6, 59) son un punto máximo de la curva.


5.1.2. Criterio de la segunda derivada

Sea f(x) una función definida en (a, b) y c punto del intervalo tal que f ' (c) = 0

Entonces

a) Si f '' (c) > 0, la función tiene un mínimo relativo en c.

b) Si f '' (c) < 0, la función tiene un máximo relativo en c.

c) Si f '' (c) = 0, no se puede determinar si es un extremo relativo.

Ejemplo 5

Calcula los máximos y los mínimos de la función y x x x= − − +2 3 12 23 2 .

Solución

Calculando la primera y segunda derivada de la función y x x x= − − +2 3 12 23 2 se tiene que:

y x x' = − −6 6 122 y y x'' = −12 6

Igualando a cero la primera derivada y resolviéndola se tienen los puntos críticos x x1 22 1= = −, .

Sustituyendo los puntos críticos en la segunda derivada:

y '' 2 12 2 6 18 0= − = >( ) , hay un mínimo

y '' − = − − = − <1 12 1 6 18 0( ) , hay un máximo

Evaluando en la función dada los puntos críticos se tiene:

Para el valor mínimo de la función y 2 18= −Para el valor máximo de la función = =−y 1 9

Por lo tanto las coordenadas de dichos puntos son:

punto máximo (–1, 9), punto mínimo (2, –18)

Unidad 5184

5.1.3. Criterio de la segunda derivada, concavidad y

puntos de inflexión

Concavidad y puntos de inflexión. Se dice que una función es cóncava hacia

arriba en (a,b) si su gráfica se encuentra por encima de la recta tangente a la curva en cualquier punto del intervalo.

Análogamente, si su gráfica se encuentra por debajo de la tangente a la curva en cualquier punto del intervalo (a,b), entonces la función es cóncava hacia abajo.

Figura 5.4.

Criterio de la segunda derivada. En algunas ocasiones resulta difícil averiguar el signo de la derivada de la función entorno a un punto crítico, para tal efecto se puede utilizar el criterio de la segunda derivada, el cual se expondrá a continuación.

En la proximidad del punto máximo M de la figura 5.5 la curva representativa de la función y = f(x) es cóncava hacia abajo.

Asimismo, en la proximidad del punto mínimo m la curva representativa de la función y = f(x) es cóncava hacia arriba.

Figura 5.5.

Definición. Si para todo valor de x de un intervalo (a,b) la función y = f(x) tiene f x''( ) > 0 , entonces y = f(x) es cóncava hacia arriba en ese intervalo; si la función

y = f(x) tiene f x''( ) < 0 , entonces es cóncava hacia abajo en ese intervalo; además los puntos donde varía el sentido de la concavidad de una función reciben el nombre de puntos de inflexión y satisfacen f x''( ) = 0 o no existe.


Ejemplo 6

Halla el sentido de la concavidad de la siguiente función y x x= − +3 4 14 3 .

Solución

Derivando dos veces la función y x x= − +3 4 14 3 se tiene:

y x x' = −12 123 2 ; y x x'' = −36 242

Igualando a cero resulta: 36 24 02x x− = ; factorizando 12x(3x –2) = 0 donde

x1 = 0 y x2

2

3= son puntos de inflexión. Tomando valores dentro de los siguientes

intervalos (–∞, 0) (0,2/3), (2/3, ∞), tenemos

y

y

− = − − − = + ==

−

=

12

1

3

2

36 1 24 1 36 24 60

361

324

1

3

''

''

( ) ( )

44 8 4

36 1 24 1 36 24 1212

− = −= − = − =y '' ( ) ( )

por lo tanto, f(x) es cóncava hacia abajo en (0, 2/3) y es cóncava hacia arriba en (–∞, 0) y (2/3, ∞).

Ejemplo 7

Calcula los puntos de inflexión de la curva y x x x= − − +2 3 12 23 2

Solución

Aplicando el criterio de la segunda derivada a la función y x x x= − − +2 3 12 23 2 , se tiene que:

y x x' = − −6 6 122 y y x'' = −12 6

igualando a cero la segunda derivada

12 6 06

12x x− = = y, por tanto, =0.5

Ahora, se evalúa la segunda derivada para un valor anterior y otro posterior del

de la raíz.

Unidad 5186

Para un valor anterior a 0.5, por ejemplo 0, resulta:

y ''( ) ( )0 12 0 6 6 0= − = − <Para un valor posterior al 0.5, por ejemplo 1, resulta:

y ''( ) ( )1 12 1 6 6 0= − = > Como la segunda derivada cambia de signo hay un punto de inflexión para x = 0.5Calculando la ordenada del punto de inflexión para x = 0.5 el valor de y es:

y = − − + = −2 0 5 3 0 5 12 0 5 2 4 53 2( . ) ( . ) ( . ) .

Por lo tanto, el punto de inflexión es el (0.5, –4.5)

Ejercicio 1

1. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y x x x= + − −2 3 12 73 2 aplicando el criterio de la primera derivada.

2. Determina el sentido de la concavidad de la curva y x x x= − − +2 3 12 23 2 en el punto de abscisa 2, en el de abscisa 0 y en el de abscisa 3.

3. Determina el sentido de la concavidad de la curva y = sen x en el punto de

abscisa π4

y en el de abscisa 5

4

π.

4. Calcula los puntos de inflexión de la curva y x x x= − + −3 29 12 4 .

5. Calcula los máximos y mínimos de la función yx x

x= − − +3 2

3 22 2 por el

criterio de la segunda derivada.

5.2. Concepto de función diferenciable y de

diferencial

Supongamos que la función y = f(x) es derivable sobre el intervalo (a,b), luego entonces, en un punto x del intervalo la derivada de la función se determina por la igualdad:


lim ( )∆∆∆x

y

xf x→ =

0'

Cuando ∆x → 0 , la razón ∆∆

y

x tiende a un número determinado f ' (x) y, por lo

tanto, se diferencia de la derivada f ' (x) en una magnitud infinitamente pequeña:

∆∆

y

xf x= +'( ) α , donde α → 0 , cuando ∆x → 0 .

Multiplicando todos los términos de la última igualdad por ∆x obtenemos:

∆ ∆ ∆y f x x x= +'( ) α

Dado que en el caso general f x'( ) ≠ 0 , entonces, cuando x es constante y ∆x → 0 , el producto f x x'( )∆ es una magnitud infinitamente pequeña de primer orden respecto a ∆x. El producto α ∆x es siempre una magnitud infinitamente pequeña de orden superior a ∆x, ya que:

lim lim∆ ∆∆ ∆x x

x x→ →= = =0 0

0 0α α α

Así pues, se llama diferencial de una función f(x) al producto de su derivada por el incremento de la variable independiente x, esto es, f x x'( )∆ y se designa por dy o df (x).

De modo que si la función y = f(x) tiene derivada f ' (x) en el punto x, el producto de ésta por el incremento ∆x de la variable independiente se llama diferencial de la función y se designa con el símbolo dy, esto es:

dy f x x= '( )∆

Ejemplo 8

Obtén la diferencial de las siguientes funciones:

a) y = x3

b) y = 4x2

Unidad 5188

Solución

a) Para la diferencial de y = x3 se tiene que: dy x x= 3 2∆ b) Para la diferencial de y = 4x2 se tiene que: 4 8dy x x= ∆

Ejemplo 9

Obtén la diferencial de las siguientes funciones:

a) 1 3 23 − x

b) y = 3x2

Solución

a) Para la diferencial de 1 3 23 − x se tiene que: dyd

dxx x= −( )1 3 23 ∆

d

dxx x

x

xx

x x

x( )

( ) ( )1 3

6

3 1 3

2

1 3

23

2 23 2 23− = −

− = −− ∆ ∆ ∆

Por lo tanto, dyx x

x= −

−2

1 3 2 23

∆( )

b) Para la diferencial de y = 3x2 se tiene que: dy x x= 6 ∆

5.2.1. Interpretación geométrica

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x como se muestra en la figura 5.6, se le da un incremento ∆x y se encuentra un punto x + ∆x. Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + ∆x se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente. Si α es el ángulo que forma la tangente con el eje x, entonces:

tan ( )α = =f xAB

x' ∆


Figura 5.6. Luego entonces, la diferencial se puede entender como la aproximación del

incremento de una función ya que de la interpretación geométrica de la figura 5.6 para la diferencial, se observa que:

∆y AC dy AB= = y

∆y y dy son aproximadamente iguales cuando ∆x = PA tiende a cero. Así que se puede tomar el valor del incremento de la función para obtener su diferencial.

Ejemplo 10

Halla el incremento de área de un cuadrado cuyo lado de 4m se aumenta 3mm, como se observa en la figura 5.7.

Figura 5.7.

Solución

Valor exacto del incremento ∆x = =0 003 4 003. .m Nuevo lado m

Área del nuevo cuadrado = =( . ) .4 003 16 0240092 2 2m m

Incremento del área = − =16 024009 16 0 0240092 2 2. .m m m

Usando la diferencial, el valor aproximado del incremento de área de acuerdo con la función A = x2 (siendo x el lado).

dA xdx= = = =2 2 4 0 003 8 0 003 0 024 2( )( . ) ( . ) . m

4m

4m

Unidad 5190

Los resultados por los dos métodos son sensiblemente iguales.

Ahora bien, a continuación se enumeran algunas propiedades de la diferencial.

Primera propiedad. La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento ∆x que se ha tomado.

Segunda propiedad. Al ser dy f x x= '( )∆ , de la figura 5.5, se tiene que, la diferencial de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en ∆x un punto de abscisa x.

Tercera propiedad. Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f ' (x) ·∆x = 1 ∆x = ∆x . Así, dx =∆x y se puede escribir dy = df(x) = f ' (x)·dx, y si se desarrolla la razón de la diferencial

de y entre la diferencial de x se tiene dy

dxf x= '( ) .

Cuarta propiedad. Puesto que dy

dxf x

f x x f x

xx= = + −

→'( ) lim( ) ( )

∆∆∆0

, de la noción

de límite se deduce que cuando ∆x es infinitamente pequeño, el cociente dy

dx es

prácticamente igual a f x x f x

x

( ) ( )+ −∆∆ y puesto que ∆x = dx, dy es prácticamente

igual a f x x f x( ) ( )+ −∆ , es decir, dy f x x f x≈ + −( ) ( )∆ . Esta propiedad permite sustituir dy por f x x f x( ) ( )+ −∆ cuando ∆x es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

Observación: el cálculo de la diferencial de una función se reduce en realidad al cálculo de la derivada, ya que al multiplicar la última por el incremento o diferencial de la variable independiente, se obtiene la diferencial de la función, por lo tanto, la mayoría de los teoremas y fórmulas que se refieren a las derivadas, siguen siendo válidos también para las diferenciales.

Ejemplo 11

Utilizando la diferencial, calcula un valor aproximado:

a) Del incremento de volumen de un cubo de lado 3m al aumentar el lado 0.002 m.

b) Partiendo del valor 16 4= , halla 17 .

Solución

a) Sea V l= 3 la función del volumen, entonces:


dV l dl= 3 2( ) , sustituyendo l = 3 y dl = 0.002, tenemos 3 3 0 002 0 054 542 3 3( ) ( . ) .= =m dm .

Por lo tanto, el valor aproximado dV = 54 3dm .

b) Sea la función y x= , entonces como 16 4 17 16 1= = − =∆x .

Luego de y x= se tiene que dydx

x=

2, considerando x = 16, se tiene:

dy = = = =1

2 16

1

2 4

1

80 125

( ). , por lo que 17 4 0 125 4 125= + =. .

5.3. Diferenciales de orden superior

Se ha visto que la diferencial de una función y = f(x) donde x es la variable independiente se define como:

dy f x dx= '( )

Como dy es función de x, se puede hablar de la diferencial de esta función.

Luego entonces, la diferencial de la diferencial de una función se denomina segunda diferencial o diferencial de segundo orden de esta función y se designa por d2 y; esto es:

d dy d y( ) = 2

Ahora bien, en virtud de la definición de diferencial, la expresión de la segunda diferencial se expresa como:

d y f x dx dx2 = ( ( ) )' '

Puesto que dx es independiente de x, al derivar dx se escribe d y f x dx dx2 = ( ( ) )' ' , es decir, dx fuera del signo de la derivada. Así se tiene: d y f x dx2 2= ''( )( )

En la potencia de la derivada se omite el paréntesis; esto es, en lugar de ( )dx 2 se escribe dx2, sobrentendiéndose que se trata del cuadrado de la expresión dx; luego entonces, (dx3) se escribirá como dx3 y así sucesivamente.

Unidad 5192

Por lo tanto, la diferencial de segundo orden se expresa como: d y f x dx2 2= ''( ) .

Se llama tercera diferencial o diferencial de tercer orden de una función a la diferencial de la segunda diferencial de esta función:

d y d d y f x dx dx f x dx3 2 2 3= = =( ) ( ( ) ) ( )'' ' '''

En general se llama diferencial de n-ésimo orden a la diferencial de la diferencial del orden (n–1), esto es:

d y d d y f x dx dx f x dxn n n n n n= = =− − −( ) ( ( ) ) ( )( )1 1 1'

Ejemplo 12

Si y x x= − +3 13 , obtén la diferencial de orden 4.

Solución

Se tiene que:

dy f x dx x dx= = −'( ) ( )9 12

d y f x dx x dx2 2 218= =''( ) d y f x dx dx3 3 318= ='''( )

d y f x dx4 4 0= =IV ( )

Por lo tanto, la diferencial de orden 4 es cero.

Ejercicio 2

1. Aplicando la definición de diferencial, calcula la diferencial de la función siguiente: y x= sen2 .

2. Aplicando la definición de diferencial, calcula la diferencial de la función siguiente: y x x x= − + −2 3 8 13 2 .

3. Calcula un valor aproximado del aumento que sufre el área de una esfera de 10cm de radio cuando el radio aumenta 2mm.


4. Halla el incremento de volumen de un cubo de lado 4.5m al aumentar el lado 0.004m.

Ejercicios resueltos

Máximos y mínimos relativos y absolutos

1. Determina los máximos y mínimos de la función y x x x= − + +3 26 9 1.

Solución

Se halla la primera derivada de la función y x x x= − + +3 26 9 1:

y x x' = − +3 12 92

Se iguala a cero y se resuelve la ecuación 3 12 9 02x x+ + = , dividiendo entre 3 se

tiene 3 12 9 0

34 3 0

22x x

x x− + = = − + = , resolviendo esta ecuación por factorización

resulta ( )( )x x x x− − = − = − =1 3 0 1 0 3 0, donde y .

Finalmente, las raíces de la ecuación son: x x1 21 3= = y .

Ahora se determina si para el valor 1 existe un máximo o mínimo.

Evaluando la función en un valor menor que 1, por ejemplo 0, se tiene:

y ' = − + = >3 0 12 0 9 9 02( ) ( )

Para un valor mayor que 1 y menor que 3, por ejemplo 2, se tiene:

y ' = − + = − <3 2 12 2 9 3 02( ) ( )

Como la derivada pasa de positiva a negativa, para el valor x = 1 hay un máximo.

Cálculo de la ordenada del máximo. El valor de la función para x = 1

y = − + + =( ) ( ) ( )1 6 1 9 1 1 53 2

Luego las coordenadas (1, 5) es un punto máximo de la curva.

Unidad 5194

Ahora se determinará si para el valor x = 3, hay un máximo o un mínimo.

Para un valor menor de 3, por ejemplo 2, se tiene:

y ' = − + = − <3 2 12 2 9 3 02( ) ( )

Para un valor mayor que 3, por ejemplo 4, se tiene:

y ' = − + = − + = >3 4 12 4 9 48 48 9 9 02( ) ( )

Como la derivada pasa de negativa a positiva, la función tiene un mínimo para x = 3.

Cálculo del mínimo: Se sustituye en la función x = 3 y 3

3 23 6 3 9 3 1 17= − + + = −( ) ( ) ( )

Luego el punto (3, –17) es un punto mínimo de la curva.

2. Prueba que la función y x= −3 8 no tiene máximos o mínimos.

Solución

Derivando e igualando a cero para determinar las raíces de la función se tiene

y x x x x' = = = = =3 3 00

30 02 2 2, donde entonces, finalmente, , ; es un punto crítico.

Pero al tratar de determinar el cambio de signo al evaluar en un valor anterior y uno posterior a este punto se obtiene

y y' '= − = > = = >3 1 3 0 3 1 3 02 2( ) ( ) y

Luego y no tiene valor máximo ni valor mínimo. Por lo tanto, la curva tiene un punto de inflexión en x= 0.

3. Halla el sentido de la concavidad de la siguiente función y =x3.

Solución

Derivando dos veces se tiene que: y x' = 3 2 ; y x'' = 6 .

Ahora bien, para 6 0x > , entonces, x > 0 y 6x < 0, entonces, x < 0, así que la gráfica de la función cúbica es cóncava hacia arriba en los puntos ( , )0 +∞ y cóncavo hacia abajo en ( , )−∞ 0 .


4. Halla los puntos de inflexión de la curva y x x= − +3 4 14 3

Solución

Aplicando el criterio de la segunda derivada pero ahora para la derivada

y x x' = −12 123 2; y x x'' = −36 242 , cuyas raíces se obtienen igualando a cero, así que:

36 24 0 12 3 2 02x x x x− = − =, factorizando ( )

12 0 3 2 02

31 2x x x x= − =, , entonces, =0 y = donde

Las ordenadas de los puntos de inflexión son: y y0 23

111

27= = y

Por lo tanto, los puntos de inflexión de la función son: ( , ) ,0 12

3

11

27 y

5. Calcula los máximos y mínimos de la siguiente función y x x x= − + −2 6 6 13 2 por el criterio de la segunda derivada.

Solución

Calculando la primera y segunda derivada de la función y x x x= − + −2 6 6 13 2 se tiene que: y x x' = − +6 12 62 y y x'' = −12 12 .

Igualando a cero la primera derivada 0 6 12 62= − +x x y resolviendo la ecuación se tiene que las raíces son: x1 1= doble.

Sustituyendo esta raíz en la segunda derivada, y 1 12 1 12 0'' = − =( )

Como y '' 1 0= , no se puede usar el criterio de la segunda derivada. Entonces hay que recurrir al criterio de la primera derivada para determinar máximos y mínimos.

Unidad 5196

Observación

Aunque aplicar el método de la segunda derivada generalmente es más cómodo, no siempre se puede aplicar, pues a veces la segunda derivada es cero en el punto crítico y conviene más aplicar el método de la primera.

6. Encuentra dos números positivos cuya suma sea 100 y su producto sea máximo.

Solución

Si x y y son los números buscados, la función de la cual se debe encontrar su máximo es f x y xy( , ) = .

La función depende de dos variables, pero con los datos del problema se puede poner una variable en función de la otra. Como x y+ =100 , entonces, y x= −100 , sustituyendo esta expresión la función f es:

f x x x( ) ( )= −100

Se procede ahora a encontrar el máximo de la función f x x x x x( ) ( )= − = −100 100 2 , entonces la primera derivada es f x x'( ) = −100 2 , igualando a cero la derivada y resolviendo la ecuación se tiene que:

f x x x'( ) ,= − = =0 100 2 0 2 100, entonces donde y, por lo taanto, x = 50 , por lo que x = 50 es en punto crítico de la función.

Derivando una vez más se tiene f x''( ) = −2 , evaluando el punto crítico en la segunda derivada se tiene f ''( )50 2 0= − < ; f tiene un máximo en x = 50; el otro número es y x= − = − =100 100 50 50

Por lo tanto, los números buscados son x y= =50 50,

7. Desde el suelo se lanza hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30m por segundo. Calcula la altura máxima alcanzada.

Solución

De la teoría de la caída libre, la función que expresa la altura en función del

tiempo es y v t gt= −021

2, sustituyendo se tiene: y t t= −30

1

210 2( ) , (tomando g = 10),

y está expresada en m y t en segundos.


Como la función es de una sola variable se aplican los criterios estudiados, es decir, derivando se tiene: y t' = − =30 10 0 , igualando a cero resulta:

30 10 030

103− = = −

− =t t s, por lo tanto, y y '' = − <10 0 para cualquier valor de t.

Luego, para t = 3 s hay máximo, cuyo valor es

y m3230 3

1

210 3 90 45 45= − = − =( ) ( )( ) .

Por lo tanto, la altura máxima alcanzada es 45 m.

8. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de perímetro 72km y área máxima?

Solución

Sea A el área y x, y las dimensiones del rectángulo buscado, la expresión matemática de la función área es A = xy.

Como la función es de dos variables tenemos que encontrar una relación entre x y y. Según los datos del problema se tiene: el perímetro es 2 2 72 36x y x y+ = + =, donde , por lo tanto, y x= −36 . Sustituyendo este valor de y en la función área resulta:

A x x x x= − = −( )36 36 2 .

Ahora bien, aplicando los métodos estudiados en esta unidad:

f x A x x x' '( ) ;= = − − = =36 2 36 2 0 18, por lo tanto

f x A x'' ''( ) = = − <2 0 para todo valor de .

Luego, para x =18 hay un máximo.

Entonces, las dimensiones se obtienen si x = 18km, se tiene que y x= − =36 18km

Esto nos dice que el rectángulo de área máxima con un perímetro dado es el cuadrado.

Área = =18 18 324( ) km2

Unidad 5198

9. Un móvil se desplaza según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Queremos conocer los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre 7 y 7+(1/3) segundos.

Solución

Diferenciando la expresión s = 5t2 + t se obtiene ds = (10t + 1) dt; por otro lado,

dt = + − =71

37

1

3, sustituyendo en ds se tiene que: ds = + =(( )( ) ) .10 7 1

1

323 66m.

Ahora bien, se observa que en realidad recorre algo más de 23.66 metros, dado que evaluando el desplazamiento para el tiempo final menos el desplazamiento para el tiempo inicial se tiene que:

s = +

+ +

− + =5 7

1

37

1

35 7 7 24 18

22(( ) ) . m

Por lo tanto, se ha cometido un error de 24.18m – 23.66m = 52cm

10. Calcula el valor aproximado de (3.05)2 y el error a través de la diferencial.

Solución

Para encontrar un resultado aproximado de (3.05)2 se considera la función y = x2. Diferenciando esta función se tiene: dy = 2x dx.

Por la proximidad de 3.05 a 3 (5 centésimas), se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión dy.

En este caso dx = 3.05 – 3 = 0.05, sustituyendo en dy se tiene que

dy|3 = 2 · 3 · 0.05 = 0.30

Por lo tanto, 3.052 = 9 + 0.30 = 9.30, aproximadamente.

Si se calcula con exactitud el valor de 3.052, se obtiene 9.3025. Podemos observar que se ha cometido un error de 9.3025 – 9.30 = 0.0025, esto es 25 diezmilésimas.


Ejercicios propuestos

1. Calcula el volumen de la caja abierta de base cuadrada y capacidad máxima que puede construirse con una pieza cuadrada de cartón de 2 metros de lado.

2. Aplicando la definición de diferencial, calcula la diferencial de la función

siguiente: y x= 1

26cos

3. Calcula un valor aproximado del cambio de volumen de un cubo de hielo de 10cm de lado cuando éste disminuye a 9.95cm.

4. En una página de un libro el texto impreso debe ocupar 360cm2. Los márgenes superior e inferior deben ser iguales a 2cm, los de izquierda y de derecha deben ser de 3cm. Si se toma en consideración sólo la economía del papel, ¿qué dimensiones de la página serían las más ventajosas?

Unidad 5200

Autoevaluación

1. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y x x x= + + −3 212 45 52 aplicando el método de la primera derivada:

a) Mínimo (–3 , –106); máximo (–5, –102)b) Mínimo (3, 105); máximo (–5, 102)c) Mínimo (–3, –105); máximo (5, –102)d) Mínimo (–4, –106); máximo (6, 106) 2. Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y x x= − + −2 8 2

aplicando el método de la primera derivada:

a) Máximo (–4, 14) b) Máximo (4, 14)c) Mínimo (4, –14)d) Máximo (–4, 15)

3. Determina, por el signo de la segunda derivada, si la curva y x x= − +2 12 es cóncava hacia arriba o hacia abajo en el punto de abscisa –2, y en el de abscisa –3:

a) Cóncava hacia abajo en los dos puntos.b) Cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. c) Cóncava hacia arriba en los dos puntos.d) Cóncava hacia abajo y cóncava hacia abajo. 4. Determina el sentido de la concavidad de la curva y x x x= − + −3 29 24 7 en el

punto de abscisa 2, de abscisa 3 y de abscisa 4:

a) Inflexión, cóncava hacia abajo, inflexión.b) Cóncava hacia abajo, inflexión, cóncava hacia arriba.c) Cóncava hacia abajo, cóncava hacia arriba, inflexión.d) Cóncava hacia arriba, inflexión, cóncava hacia abajo.

5. Calcula los puntos de inflexión de la curva y x x= − +2 6 53 :

a) (0, 5)b) (0, –5)c) (0, 4) d) (5, 0)


6. Calcula los máximos y mínimos de la función y x x x= + − +2 3 36 123 2 por el criterio de la segunda derivada:

a) Máximo (3, –93); mínimo (–2, 32)b) Máximo (–3, –93); mínimo (–2, –32)c) Máximo (–3, 93); mínimo (2, –32)d) Máximo (–2, 92); mínimo (3, 33)

7. Calcula los máximos y mínimos de la función y x x= + −1 7 2 2 por el criterio de la segunda derivada:

a) − −

7

4

57

8,

b) 7

4

57

8,

c) −

7

3

57

8,

d) 7

4

57

9,−

8. Aplicando la definición de diferencial, calcula la diferencial de la siguiente función: y x= −1 4 :

a) − −2

1 4

dx

x

b) 2

1 4

dx

x−c) − −

3

1 4

dx

x

d) − −4

1 4

dx

x

9. Aplicando la definición de diferencial, calcula la diferencial de la siguiente función: y x= 3 4 .

a) −12 3x dx

b) 12 3x dx c) 11 3x dx d) 13 3x dx

Unidad 5202

10. Halla el incremento de volumen de un cubo de lado 4.5m al aumentar el lado 0.004m:

a) 0.245 m3

b) 0.247 m3

c) 0.243 m3

d) 0.240 m3


Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. Mínimo (1, –14); máximo (–2, 13)2. Cóncava hacia arriba; hacia abajo; hacia arriba.3. Cóncava hacia abajo; cóncava hacia arriba.4. (3, –22)

5. Mínimo 24

3,−

; máximo −

1

19

6,

Ejercicio 2

1. 2 2cos xdx

2. ( )6 6 82x x dx− +3. 16 50 262 2πcm cm= .4. 0.243m3

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. 16

27 m3

2. −3 6sen xdx 3. –15 cm3

4. ( ) ( )6 15 6 4 15 4+ +cm cm

Unidad 5204

Respuestas a la autoevaluación

1. a)2. b) 3. c) 4. b) 5. a) 6. c) 7. b) 8. a) 9. b)10. c)

un i d a d 5 · puede aplicarse en numerosas situaciones de la vida cotidiana para conocer en qué...

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