Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm deancho, en cuadrados lo más grandes posible.a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?

Esto es un problema que se resuelve aplicando los conocimientos de máximo común divisor.

Muchos problemas de la vida cotidiana se resuelven empleando los conocimientos del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor. En esta sección aprenderás a resolver ese tipo de problemas.

NÚMEROS PRIMOS

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El número primo es aquél que únicamente tiene como divisores exactos (al dividirlo por ellos el resto es igual a cero) el 1 y si mismo.

En cambio, el número compuesto es aquél que tiene como divisores exactos, además del 1 y de si mismo, otros números.

Por ejemplo:

El número 13 es primo porque sólo tiene como divisores exactos el 1 y el 13.

El número 8 es compuesto porque tiene otros divisores exactos: 1, 2, 4 y 8.

Algunos números primos son:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

Algunos números compuestos son:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

 

REGLAS DE DIVISIBILIDAD

 

Un número es divisible por otro cuando el resto es cero.

a) Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par o en cero.

Por ejemplo:

42 : 2 = 21 (resto = 0)

68 : 2 = 34 (resto = 0)

126 : 2 = 63 (resto = 0)

 

b) Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

Por ejemplo:

63 : 3 = 21 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 63 (6 +3) da 9 que es múltiplo de 3.

138 : 3 = 46 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 138 (1+3+8) da 12 que es múltiplo de 3.

564 : 3 = 188 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 564 (5+6+4) da 15 que es múltiplo de 3.

 

c) Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son cero o son divisibles por 4.

Por ejemplo:

624 : 4 = 156 (resto = 0) Las dos útimas cifras (24) son divisibles por 4.

740 : 4 = 185 (resto = 0) Las dos útimas cifras (40) son divisibles por 4.

516 : 4 = 129 (resto = 0) Las dos útimas cifras (16) son divisibles por 4.

 

d) Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.

Por ejemplo:

725 : 5 = 145 (resto = 0) Este número termina en 5.

650 : 5 = 130 (resto = 0) Este número termina en 0.

385 : 5 = 77 (resto = 0) Este número termina en 5.

 

e) Un número es divisible por 9 si al sumar sus cifras el resultado es múltiplo de 9.

Por ejemplo:

126 : 9 = 14 (resto = 0) La suma de sus cifras (1+2+6=9) es múltiplo de 9.

369 : 9 = 41 (resto = 0) La suma de sus cifras (3+6+9=18) es múltiplo de 9.

702 : 9 = 78 (resto = 0) La suma de sus cifras (7+0+2=9) es múltiplo de 9.

 

1.- Indica cual de los siguientes números es primo y cual es compuesto:

 FRACCIONES

 

 

La fracción se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto que ha sido dividido en partes iguales.

Por ejemplo, dividimos una pizza en 8 partes iguales y cogemos tres. Esto se representa por la siguiente fracción:

 

 

Los términos de la fracción se denominan: numerador y denominador.

 

¿Cómo se leen las fracciones? Se leen en función de cuál es su denominador:

1 / 2: un medio1 / 3: un tercio 1 / 4: un cuarto 1 / 5: un quinto 1 / 6: un sexto 1 / 7: un séptimo 1 / 8: un octavo 1 / 9: un noveno 1 / 10: un décimo 1 / 11: un onceavo1 / 12: un doceavo1 / 13: un treceavo

Veamos algunos ejemplos:

 

 

¿A cuantas unidades equivale una fracción? Para calcularlo se divide el numerador entre el denominador:

Por ejemplo:

Para ver a cuantas unidades equivale esta fracción dividimos: 2 : 8 = 0,25

Equivale a 0,25 unidades

Si una fracción tiene igual numerador y denominador representa la unidad.

Por ejemplo, divido una tarta en 4 partes y me tomo las cuatro partes:

Qiere decir que me he tomado la totalidad de la tarta. (4 / 4) equivale a la unidad (a la tarta). Si dividimos 4 : 4 = 1

 

1.- Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando equivalen a las mismas unidades.

Por ejemplo:

Estas dos fracciones son equivalente ya que equivalen a las mismas unidades:

4 : 8 = 0,5 unidades

1 : 2 = 0,5 unidades

¿Cómo sabemos cuando dos fracciones son equivalentes?

Para ello dividimos sus numeradores y sus denominadores, si guardan la misma proporción es que son equivalente:

Veamos un ejemplo:

Dividimos sus numeradores: 6 : 2 = 3

Dividimos sus denominadores: 9 : 3 = 3

Guardan la misma proporción (3) luego estas dos fracciones son equivalentes.

Podemos comprobarlo.

La primera fracción equivale a 6 : 9 = 0,66 unidades

La segunda fracción equivale a 2 : 3 = 0,66 unidades

Veamos ahora un ejemplo de dos fracciones que no son equivalentes:

Dividimos sus numeradores: 2 : 3 = 0,66

Dividimos sus denominadoress: 4 : 9 = 0,44

No guardan la misma proporción luego estas dos fracciones no son equivalentes.

Podemos comprobarlo.

La primera fracción equivale a 2 : 4 = 0,50 unidades

La segunda fracción equivale a 3 : 9 = 0,33 unidades

 

2.- Comparación de fracciones

¿Cómo puedo saber si una fracción es mayor o menor que otra?

Para ello vamos a distinguir:

Comparar fracciones con el mismo denominador

Comparar fracciones con distinto denominador

 

a) Comparar fracciones con el mismo denominador

Es mayor la fracción que tenga mayor el numerador.

Podemos comprobar que 2 / 4 = 0,5 mientras que 1 / 4 = 0,25, luego la primera fracción es mayor.

También podemos comprobar que 5 / 9 = 0,55 mientras que 3 / 9 = 0,33, luego la primera fracción es mayor.

 

b) Comparar fracciones con distinto denominador

En este caso puede ocurrir que tengan el mismo numerador o no.

b.1.- Si tienen el mismo numerador es mayor la que tenga menor denominador.

En este caso comprobamos que 8 / 3 = 2,66 mientras que 8 / 5 = 1,60, luego la primera fracción es mayor.

También podemos ver que 6 / 2 = 3,00 mientras que 6 / 4 = 1,50, luego la primera fracción es mayor.

b.2.- Si tienen distinto numerador entonces para poder comparalas hay que expresarlas con el mismo denominador:

Si los dos términos de una fracción se multiplican por el mismo número la fracción resultante es equivalente.

¿Y por qué número multiplicamos cada fracción? la primerafracción la multiplicamos por el denominador de la segunda, y la segunda por el denominador de la primera.

Veamos un ejemplo:

Para comparar estas dos fracciones, vamos a multiplicar los dos términos de la primera fracción por 2 (denominador de la segunda).

Podemos comprobar que al multiplicar numerador y denominador por el mismo número la fracción no cambia: 3 / 7 = 0,428 mientras que 6 / 14 = 0,428.

Y vamos a multiplicar los dos términos de la segunda fracción por 7(denominador de la primera).

Ahora las dos fracciones ya tienen el mismo denominador, luego podemos compararlas:

Vemos que la segunda fracción es mayor que la primera porque su numerador es mayor.

b.3.- Si tienen distinto numerador también se pueden calcular fraciones con el mismo denominador utilizando el método del Mínimo Común Múltiplo.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Calculamos los múltiplos de cada denominador:

Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70...

Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90...

Hemo señalado en rojo el número 30 porque es un múltiplo común de ambos números y es el menor de los múltiplos comunes (por ejemplo, 60 también es un múltiplo común pero es mayor que 30).

Utilizaremos este Múltiplo Común Múltiplo como denominador común de ambas fracciones, pero para que las nuevas fracciones sean equivalentes a las anteriores tenemos que ajustar los numeradores ¿Cómo lo hacemos?

En la primera fracción vamos a sustituir su denominador 10 por 30, en definitiva, vamos a multiplicar por 3 su antiguo denominador, luego para que la fracción sea equivalente a la original tendremos también que multiplicar por 3 su numerador.

En la segunda fracción vamos a sustituir su denominador 15 por 30, por lo que vamos a multiplicarlo por 2, luego tendremos también que multiplicar por 2 su numerador.

Ya podemos comparar ambas fracciones:

 

 

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1.- Calcula las unidades a las que equivalen las siguientes fracciones:

 

2.- Indica si los siguientes pares de fracciones son equivalentes o no:

 

3.- Compara los siguientes pares de fracciones e indica cual es mayor y cual es menor:

2.- Responde si es verdadero o falso:

http://primaria.aulafacil.com/matematicas-sexto-primaria/Curso/Lecc-10.htm

OPERACIONES CON FRACCIONES

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1.- Fracciones de una cantidad

 

Para calcular la fracción de una cantidad se multiplica la cantidad por el numerador y se divide por el denominador.

Veamos un ejemplo:

Multiplicamos 20 por el numerador: 20 x 5 = 100

El resultado lo dividimos por el denominador: 100 : 6 = 16,66

Luego:

 

2.- Suma y resta de fracciones

 

Para sumar y restar fracciones hay que distinguir entre:

Fracciones con igual denominador

Fracciones con distinto denominador

 

a) Fracciones con igual denominador

En este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores.

Veamos un ejemplo:

Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

Veamos otro ejemplo:

Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

 

b) Fracciones con distinto denominador

En este caso para sumar o restar fracciones:

Lo primero que hay que hacer es buscar un denominador común a todas ellas.

Luego sustituir las fracciones originales por fracciones equivalentes con este denominador común.

Y ¿cómo se calcula este denominador común? utilizaremos el método delmínimo común múltiplo (MCM).

Una vez obtenido el denominador común hay que calcular las fracciones equivalentes. Para cada fracción haremos lo siguiente.

Sustituimos su denominador por el denominador común.

Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el denominador común por el denominador original de cada fracción.El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original,obteniendo el numerador de la fracción equivalente.

Es más fácil ver todo esto con un ejemplo:

Vamos a calcular las fracciones equivalentes:

Primero calculamos el denominador común: si calculamos los múltiplos de 4, de 3 y de 5 vemos que el MCM es 60.

Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fracción:

Primera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 4 =15

Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 =30

Segunda fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 3 = 20

Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 =120

Terecra fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 5 =12

Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 =36

 

Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:

Y procedemos a la suma:

 

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1.- Resuelve la siguientes operaciones:

 

2.- Resuelve la siguientes operaciones: