ufro 2008 master fisica medica 1 3 emitir rayos gamma y particulas
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G ió d R di ió I i tGeneración de Radiación Ionizante 1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículasy y
Dr. Willy H. GerberInstituto de FisicaInstituto de FisicaUniversidad Austral
Valdivia, Chile
Objetivos: Comprender como son emitidos rayos gammas o partículas cargadas con equipamiento empleado en radioterapia.
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Elementos
Generación de electrones(Filamento)
Emitir Rayos Gamma o Partículas
Generación de Rayos Gamma
Aceleración adicional
( )
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Emisión de electrones
De la primera parte concluimos que a temperatura T los electrones que “evaporaríamos” están dados por la ecuación de Richardson‐Dushman:
ATγ
Constante [C/m2K2s]Temperatura absoluta [K]Reflexión [‐]
ϕk
Función de trabajo [J]Constante de Boltzmann
3
Ahora debemos acelerarlos para alejarlos del cátodo y dirigirlos a donde deseemos.
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Elementos
Generación de electrones(Filamento)
Emitir Rayos Gamma o Partículas
Generación de Rayos Gamma
Aceleración adicional
( )
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Aceleradores
Las placas ”básicas”Las placas básicas‐Movimiento de una Carga ‐
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Aceleradores básicos
Principio básico:
Campo eléctrico
Ánodo (positivo)Cátodo (negativo)
Campo eléctrico
Carga eléctrica
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Aceleradores básicos
z
ztm
Posición de la partícula [m]Tiempo [s]Masa de la partícula [kg]
7
qEz
Carga de la partícula [C]Campo eléctrico [N/C]
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Aceleradores básicos
d
V E Campo eléctrico [N/C]
+‐
EzVd
Campo eléctrico [N/C]Potencial aplicado [V]Distancia entre placas [m]
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Aceleradores básicos
9Si queremos impartir mayor energía debemos aumentar el potencial.
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Aceleradores
L l ”bá i ”Las placas ”básicas”‐Movimiento de una Distribución de Cargas ‐
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Aceleración entre placas
Aceleración entre dos placas
cátodo ánodo
De las ecuaciones de Maxwell y definición de potencial:
EZV
Campo eléctrico [F/C]Potencial [V]
De las ecuaciones de Maxwell y definición de potencial:
zden
[ ]Posición en el campo [m]Distancia entre las placasCarga del electrón [C]Concentración de electrones [1/m3]
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nε0
Concentración de electrones [1/m3]Constante de campo [C2/Nm2](8.85x10‐12 C2/Nm2)
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Calculo de la concentración de electrones
Por conservación de energía tenemos
Por continuidad tenemos una corriente
mju(z)
Masa del electrón [kg]Densidad de Corriente [A/m2]Velocidad en el punto z [m/s]Velocidad inicial [m/s]u0
n0Velocidad inicial [m/s]Concentración inicial [1/m3]
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Ley de Child‐Langmuir
Con lo que se obtiene (nota j < 0 por la carga de los electrones):
Solucionando se obtiene:
Para el caso de dos placas con diferencia de potencial V y distancia d y despejando j se obtiene la ley de Child‐Langmuir:
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Ley de Child‐Langmuir
De esta forma:
20
25
0.8
0.9
1
15
0.5
0.6
0.7
y en particular:5
10
0.2
0.3
0.4
00
0.1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
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Limites
El incremento de la corriente en el tubo se incrementa en función del potencial según Child‐Langmuir.
40kV
80kV
1 0
1.5
A)
2.5
2.0
A)
No saturado T1
T2
T
0 5
1.0
rien
te en tubo
(A
1.5
1.0
rien
te en tubo
(A T3
20kV
0.0
0.5
Cor
0.5
0.0Co
rr Saturado
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Corriente en filamento (A) Voltaje Ánodo (kV)
0 20 40 60 80 100
El i l d t ió l d l “ ” l t d
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El nivel de saturación se alcanza cuando no se logran “evaporar” mas electrones de los que están dados por la ecuación de Richardson‐Dushman
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Limitaciones
La segunda limitación esta dada por el peligro de fundir el filamento.
La temperatura del filamento se determina en función que la energía irradiada sean igual a aquella generada por la resistencia eléctrica:
σ Constante de Stefan Boltzmann [5 6704x10‐8 J/sm2K4]σεST
Constante de Stefan Boltzmann [5.6704x10 8 J/sm2K4]Grado de emisión [‐]Superficie del filamento [m2]Temperatura del filamento [K]
T0IR(T)
Temperatura ambiental [K]Corriente [A]Resistencia en función de la temperatura [Ohm]
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Limitaciones
La densidad de resistencia puede ser modelada, por ejemplo para el Tungsteno, en función de la temperatura mediante:
17Su temperatura de fusión es de 3695 K.
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Modelo de Filamento
Modelamiento del sistema filamento‐placas(p: placa, f: filamento, a: ánodo)
Superficie del filamento [m2]S Superficie del filamento [m2]Sección del filamento [m2]Largo del Filamento [m]Constante de Stefan Boltzmann
SALσ
C T t
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[5.6704x10‐8 J/sm2K4]Grado de emisión [‐]ε
Caso Tungsteno:
Aceleradores
El Betatrón
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Betatrón
Vista superior Vista lateral
Imanes de control
FilamentoÁnodo
I bImanes base
Orbita de almacenamiento
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Betatrón
La variación del campo magnético índice un potencial:
UindR
Potencial inducido [V]Radio de la orbita [m]
lo que genera un campo
Bt
Campo magnético [Tesla=Vs/m2]Tiempo [s]
lo que genera un campo:
UindREz
Potencial inducido [V]Radio de la orbita [m]Campo eléctrico [V/m]
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z
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Betatrón
lo que genera una fuerza sobre los electrones
con lo que
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Betatrón
Para mantener el electrón en la orbita debe de existir un campo magnético B0 tal que
De ambas ecuaciones del impulso
Se obtiene la condición de Wideroe:Se obtiene la condición de Wideroe:
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Que se satisface diseñando el imán de modo de lograr los respectivos campos en las distintas orbitas.
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Betatrón
Como la velocidad es cercana a la de la luz la energía cinética es:
y el impulso:y el impulso:
con lo que se obtiene
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Betatrón
y la energía es
o para altas velocidades (υ ~ c)p ( )
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Aceleradores
El Ciclotrón
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Ciclotrón
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Ciclotrón
Vista de arriba Vista lateral
Campo magnéticoCampo magnéticopermanente
Campo eléctricoalternanteSINCRONIZADOcon el haz.
“Inyección de iones”
“Salida de iones”
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Ciclotrón
Velocidad angula independiente del radio
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independiente del radio
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Fuentes
Radiación
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Radiación
Decaimiento de Cobalto
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Radiación
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Radiación
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Accesorios
Klistrón
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Klistrón
Bunch deelectrones
Flujo eléctrico Flujo eléctrico
R jill 1 R jill 1 Rejilla 2R jill 2R jill 2
35
Rejilla 1 Rejilla 1 Rejilla 1 Rejilla 2Rejilla 2Rejilla 2
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Klistrón
Cavidad de Cavidad deCañón de entrada salidaelectrones
“Buncher” “Catcher”
z
V0V1
f(z)
Señal
ωV1sin(ωt) d
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Señal
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1 ( )
Klistrón
Si la masa es m, la velocidad inicial u0, la carga del electrón e y el potencial del canon de electrones V0 la energía inicial será:
La energía tras cruzar el “buncher” que esta a un potencial V1 y oscila con la a e e g a t as c u a e bu c e que esta a u pote c a 1 y osc a co afrecuencia angular ω será:
en donde u es la velocidad en este punto y M el factor de acoplamiento.
La velocidad es entonces:
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Klistrón
Si al tiempo t1 esta en el buncher, llegara al catcher a una distancia l en el tiempo:
o como fase:
con
el llamado Bunching parameter
38
el llamado Bunching parameter
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Klistrón
Para calcular el M debemos asumir la forma de la perturbación en el buncher:
con Em el valor máximo y f(z) una función de forma. El potencia V1 seria entonces:
ósea
La ecuación de movimiento del electrón será:
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Klistrón
Si se integra la ecuación en z desde 0 a la distancia del canal d:
como la primera integral se puede integrar de la forma:
y el camino recorrido es
con lo cual
y el camino recorrido es
siendo
40
siendo
factor de propagación del haz
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Klistrón
pero dado que
Se concluye que (omitiendo el factor sin)y q
Para un campo constante y simétrico en torno al eje del haz el M se reduce a:
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Klistrón
El factor
se denomina el ángulo de transito y representa el cambio de fase de la onda durante el paso de la partículael paso de la partícula.
La energía del electrón varié en
Con lo que
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Fuentes
Magnetron
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Magnetrón
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