ud_06

122

UNIDAD

En esta Unidad se estudian dos tipos de curvas: las cnicas y espirales que tie-nen identidad propia, y los valos, ovoides y volutas que las imitan, cuya razn de serradica tanto en su belleza como en su facilidad de construccin.

La elipse es la ms extensamente tratada, ya que al ser la representacin de lacircunferencia en el sistema didrico y en perspectiva, es preciso conocerla profun-damente.

Los trazados de esta Unidad adquieren gran complejidad por lo que es necesa-rio ayudarse de la escuadra y el cartabn en la construccin de paralelas y perpen-diculares a rectas dadas. Esto se ha tenido en cuenta en las ilustraciones, no dibu-jando trazos de comps en dichas construcciones.

Curvas cnicas y tcnicas61. CURVAS CNICAS: ELIPSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1.1. Superficie cnica y elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241.2. Definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241.3. Construccin por puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.4. Construccin mediante haces proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271.5. Construccin por afinidad a partir de los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281.6. Construccin por afinidad a partir de dos dimetros conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.7. Construccin de los ejes a partir de dos dimetros conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2. CURVAS CNICAS: PARBOLA E HIPRBOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.1. Parbola. Definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.2. Construccin de la parbola por puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.4. Hiprbola. Definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332.5. Construccin de la hiprbola por puntos. Obtencin de ejes y asntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3. CURVAS TCNICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.1. valo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.2. Construccin del valo dado su eje mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.3. Dos construcciones del valo dados sus ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.4. Ovoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.5. Construccin del ovoide dado el dimetro de la circunferencia de cabeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.6. Construccin del ovoide a partir del eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.7. Construccin del ovoide dado el eje y el dimetro de la circunferencia de cabeza . . . . . . . . . . . . . . 1393.8. Espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.9. Construccin aproximada de la espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.10. Espiral logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.11. Construccin de la espiral logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.12. Voluta del orden jnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.13. Construccin de la voluta del orden jnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

N D I C E D E C O N T E N I D O S

123

Curvas cnicas

Curvas tcnicas

Circunferencia Elipse Parbola Hiprbola

Construccin

valo Ovoide

Construccin

Voluta Espiral

Construccin

un punto en elinfinito

Imitacin

El trazado de las cnicas requiere la determinacin de un nmero suficiente depuntos para dibujar la curva que pasa por ellos a mano alzada o con plantilla decurvas.

Estos son los contenidos bsicos de la Unidad:

U Las curvas cnicas: elipse, parbola e hiprbola como seccin de la superficie cni-ca, como lugar geomtrico y como proyeccin de la circunferencia.

U Elementos y trazado de las curvas cnicas.

U Curvas tcnicas: valo, ovoide, espiral y voluta. Definicin y trazado.

124

CURVAS CNICAS Y TCNICAS

6UNIDAD1. Curvas cnicas: elipse1.1. Superficie cnica y elipse

Si una recta g gira alrededor de un eje e que tiene un punto comn con ella V gene-ra una superficie de revolucin llamada superficie cnica (Ilust.1 izquierda). Dichasuperficie est formada por las sucesivas posiciones de la recta generatriz g y comoella, se extiende indefinidamente en ambos sentidos desde el vrtice V, que es centrode simetra de las dos hojas de que se compone. Las lneas obtenidas al cortar lasuperficie cnica por planos que no pasan por el vrtice se llaman curvas cnicas.

Al seccionar una superficie cnica por un plano perpendicular al eje se obtie-ne una circunferencia (Ilust. 1 derecha).

Al seccionar una superficie cnica por un plano oblicuo que corte a todas lasgeneratrices se obtiene una elipse (Ilust. 1 derecha).

1.2. Definicin y elementosLa elipse es el lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a dos

puntos fijos llamados focos es constante. As pues, una elipse est determinadadando la distancia entre los focos 2c y la constante 2a. Para un punto genrico P ser

siendo F y F los focos (Ilust. 2 a, b).

Los puntos V, V, que estn alineados con F y F, se llaman vrtices. Como

, la distancia entre los vrtices .2aVV' =2aFF'VF2VF'VF =+=+

a2'PFPF =+

g

V

e

Ilustracin 1

125

Los puntos W y W, que equidistan de los focos, tambin se llaman vrtices. Ladistancia entre ellos es 2b y la distancia a los focos a.

Se puede formar un tringulo rectngulo con las distancias b, c como catetos ya de hipotenusa, por lo cual dadas dos distancias es posible determinar la tercera.

Los elementos caractersticos de la elipse pueden verse en la Ilust. 2 y son:

Cuerda, cuyos extremos son dos de sus puntos (por ejemplo EF). Dimetro, es el lugar geomtrico de los puntos medios de las cuerdas para-

lelas a una direccin (AB para las cuerdas paralelas a EF).

Centro, es el punto medio de todos los dimetros y centro de simetra de laelipse (O).

Ejes, son los dimetros mximo VV y mnimo WW y sus longitudes son 2ay 2b. Son ejes de simetra de la elipse.

Dimetros conjugados, son un dimetro AB y el dimetro CD definido porlos puntos medios de las cuerdas paralelas a l. En la Ilust. 2 (c) puede verseuna circunferencia sobre el plano en la que se han trazado un par de di-metros perpendiculares AB y CD y las tangentes en sus extremos. Su pro-yeccin cilndrica sobre el plano es una elipse y las tangentes en los extre-

A

B

C

D

O

O

A C

BD

E

E

F

F

F

F

V

V

O F

F

V

V

c

ba a

W

W

P

2a

2a

(a)

(b)

(c)

Ilustracin 2

126


6UNIDADmos forman un paralelogramo cuyas paralelas medias son los dimetrosconjugados AB y CD.

Circunferencia principal, es la que tiene como dimetro 2a y centro el de laelipse.

Circunferencia focal, es la que tiene como radio 2a y centro en un foco. Sepuede definir tambin la elipse como el lugar geomtrico de los centros delas circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferen-cia focal del otro foco.

1.3. Construccin por puntos

Sea a el semieje mayor y c la semidistancia focal (Ilust. 3).

Se elige el centro O de la elipse sobre una recta cualquiera y con centro en l setrazan arcos de radios a y c que la cortan en los focos y vrtices. En se eligeny numeran algunos puntos.

Las intersecciones de los arcos de centros F y F y radios y son los pun-tos A y A de la elipse. Intercambiando los radios se obtienen A y A.

Se procede anlogamente con los puntos 2, 3,... y con O que permite determi-nar los vrtices W y W. Se traza la curva que pasa por los puntos obtenidos a manoalzada o con plantilla.

V1 1V

OF

F OV F V

W

W

a

c

1 2 3 4 5

A

A A

A

B B

B B

Ilustracin 3

127

1.4. Construccin mediante haces proyectivos

Los datos para la construccin pueden ser tanto los ejes como una pareja de di-metros conjugados. En el primer caso se parte de los ejes VV y WW previamentedibujados (Ilust. 4 izquierda).

Se construye el rectngulo cuyos lados son las tangentes a la elipse en W, V,

W, V y cuyas paralelas medias son y . Se dividen , , y enel mismo nmero de partes iguales, mayor cuanta ms precisin se desee, nume-

rndose las divisiones a partir de V. En la figura se ha dividido primero , trasla-

dando las divisiones mediante arcos a , y despus .

Se obtienen puntos del arco VW en las intersecciones de los rayos W1 con W1,W2 con W 2,... Se procede anlogamente con el arco VW y se repite todo el proce-so con la otra mitad de la curva. La elipse se traza a mano alzada o con plantilla,uniendo los puntos obtenidos.

Si los datos para la construccin son los dimetros conjugados AB y CD se pro-cede de manera anloga trazando el paralelogramo cuyos lados son las tangentes a

la elipse en A, B, C, D y cuyas paralelas medias son y (Ilust. 4 derecha).CDAB

OV'PV'

QV'

OV'QV'PV'W'WV'V

V V

W

WA

B

C

D1 1

1

1

3

3

3

3

2 2

2

2

2

2

2

2

3 3

3

3

1

1

1

1

1

1

22

3 33 322

1

1O

B

Q

P

Ilustracin 4

V V

W

W

1 1

33

2 2

22

3 3

11

1 2 3 3 2 1

O

A

B B

La elipse se puede obtener como proyeccin cilndrica de unacircunferencia. Al proyectar una figura se mantienen las proporcio-nes entre los segmentos de cualquier recta y los puntos de intersec-cin de curvas y rectas siguen sindolo en la figura proyectada.

En la figura se ha dibujado una circunferencia cuya proyeccincilndrica es la Ilust. 4 izquierda. En ella los tringulos rectngulos3AW y 3OW son iguales y tienen sus catetos perpendiculares,luego las hipotenusas tambin lo sern. Por tanto el punto B es unpunto de la circunferencia ya que el ngulo inscrito WBW mide 90.Su proyeccin ser un punto de la elipse, lo que justifica el procedi-miento utilizado.

128


6UNIDAD1.5. Construccin por afinidad a partir delos ejes

Se parte de los ejes VV y WW dibujados (Ilust. 5).

Se trazan la circunferencia principal y la de dimetro 2b. Cualquier semirrectacon origen en O corta a las dos circunferencias en 1 y 2. Las paralelas a los ejes quepasan por 1 y 2 determinan un punto genrico P.

Obtenidos suficientes puntos por este procedimiento se traza la curva que pasapor ellos.

V V

W

W

O

2

1P

Ilustracin 5

V

V

O

P

B

2

W

C

W

1

AD

En la figura se hadibujado la construc-cin de la Ilust. 5 situa-da sobre un plano visto en perspectiva.Se ha aadido un plano, que contiene una cir-cunferencia, cuya pro-yeccin sobre es laelipse. Al girar alrede-dor de VV, dicha cir-cunferencia coincidecon la principal.

Los puntos C, B se giran hasta D, 2 y se proyectan en W, P de modo que ,ya que los tringulos rectngulos OCW y ABP son semejantes. Al girar los puntos D, W alrede-dor de O describen las circunferencias principal y de dimetro 2b hasta situarse en 1, 2. La pro-porcin anterior se convierte en y debe ser la recta P1 paralela a OA para quese cumpla el teorema de Thales. Esto justifica la construccin empleada.

APA2O1O2 =

APA2OWOD =

129

1.6. Construccin por afinidad a partir dedos dimetros conjugados

Se parte de los dimetros conjugados AB y CD dibujados (Ilust. 6).

Se traza la circunferencia que tiene como dimetro uno de los conjugados, porejemplo CD y su dimetro perpendicular AB.

Elegido un punto cualquiera M de CD, se obtienen dos puntos P y Q genricosde la elipse construyendo los tringulos MPP y MQQ semejantes a OAA y OBB.

Obtenidos suficientes puntos por este procedimiento se traza la curva que pasapor ellos.

En la figura se ha dibujado la cons-truccin de la Ilust. 6 situada sobre unplano visto en perspectiva. Se ha aa-dido un plano , que contiene una cir-cunferencia, cuya proyeccin oblicuasobre da la elipse. Al girar alrededorde CD, dicha circunferencia coincide conla de dimetro CD.

Los puntos A, P se giran hasta A, Py se proyectan en A, P de modo que lostringulos OAA y MPP son semejantes,al serlo los tringulos rectngulos OAAy MPP. Esto justifica la construccinempleada.

D

C

O

A

P

A

P

M

A P

A

B

C

D

O

A

B

P

P

Q

Q

M

Ilustracin 6

130


6UNIDAD1.7. Construccin de los ejes a partir dedos dimetros conjugados

Sean los dimetros conjugados AB y CD (Ilust. 7 izquierda).

Se gira el dimetro CD 90 alrededor de O hasta CD. Se construye la circunfe-rencia cuyo dimetro es DB y se traza la semirrecta de origen O, que pasa por sucentro y la corta en E y F.

Los ejes de la elipse tienen como direcciones las de las rectas EB, ED y por lon-gitudes , .

En la Ilust. 7 derecha se realiza la construccin inversa: dados los ejes obteneruna pareja de dimetros conjugados.

Sean VV Y WW los ejes. Se utiliza el mtodo de afinidad para obtener los pun-tos A, B, C, D, a partir de dos dimetros perpendiculares GF y GF de la circunferen-cia principal. Los dimetros AB y CD sern conjugados, pues son proyeccin de dosdimetros perpendiculares GF y GF de una circunferencia.

Si giramos el dimetro DC y el tringulo EDF 90 alrededor de O, obtendremosla figura de la Ilust. 7 izquierda, sin ms que trazar la circunferencia circunscrita alrectngulo. Esto justifica el procedimiento empleado.

OE2OF2

D D

C CA A

B B

O O

C

D90

E E

F F

E

F

G

G

V

V

W

W

Ilustracin 7

131

Aplicacin

2. Curvas cnicas: parbola e hiprbola

2.1. Parbola. Definicin y elementos

Al seccionar la superficie cnica por un plano paralelo a una de las generatricesse obtiene una parbola. En la Ilust. 8 b, la generatriz a es paralela al eje e de la par-bola que tiene un punto en el infinito. Se define as:

Se desea obtener un par de dimetros con-jugados y los ejes de una elipse a partir deldibujo de la curva.

Se trazan dos cuerdas a, b paralelas y eldimetro AB que pasa por sus puntosmedios.

El punto medio de AB es el centro O y porel pasa el dimetro CD, conjugado con AB,por ser paralelo a las cuerdas a, b.

Una circunferencia de centro O y radiocualquiera determina las cuerdas MN y NP,cuyas mediatrices son los ejes, por ser susextremos puntos simtricos.

a

e

FD

M P

V

d

e

v

(a) (b)

Ilustracin 8

abA

B

C

D

O

M N

P

132


6UNIDADLa parbola es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto

fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. La curva queda determinadadando la distancia entre el foco y la directriz. Para un punto genrico P ser

siendo F el foco, d la directriz y M el pie de la perpendicular trazada desdeP a sta.

Los elementos caractersticos de la parbola que pueden verse en la Ilust. 8 a, son: Directriz d y foco F. Se puede definir tambin la parbola como el lugar geo-

mtrico de los centros de las circunferencias que pasan por el foco y son tan-gentes a la directriz.

Vrtice V, equidistante de la directriz y el foco. Eje e, que contiene al foco y al vrtice y es perpendicular a la directriz. Es

eje de simetra de la parbola.

La tangente v en el vrtice V. Es perpendicular al eje.

2.2. Construccin de la parbola por puntosSea la distancia entre el vrtice y el foco (Ilust. 9 izquierda).Se trazan la directriz y el eje perpendiculares entre si, llevando sobre ste

y iguales a partir de D.Se traza una paralela al eje, eligiendo y numerando puntos de ella a partir de la

directriz, cuidando de que la primera divisin sea mayor que .Dos puntos genricos P y P se obtienen en las intersecciones de la circunferen-

cia de centro F y radio 02 con la paralela a la directriz por la divisin 2. Obtenidossuficientes puntos por este procedimiento se traza la curva que pasa por ellos, amano alzada o con plantilla.

DV

VFDV

VF

PMPF =DF

FD

P

P

P

P

V

V

d

e

e

v

v

0 1 2 3 4 5

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

VF

A

Ilustracin 9

133

2.3. Construccin de la parbola mediantehaces proyectivos

Sea P un punto de la parbola, V su vrtice y e el eje (Ilust. 9 derecha).

Se traza la paralela al eje por P y su perpendicular por V, que se cortan en A. Sedividen y en el mismo nmero de partes iguales, numerando las divisionesde a partir de A y las de desde V.

Se obtienen puntos del arco PV en las intersecciones del rayo V1 con la parale-la al eje desde 1, del rayo V2 con la paralela desde 2,... Se procede anlogamentecon el arco VP, siendo P el simtrico de P respecto al eje.

La parbola se traza a mano alzada o con plantilla, uniendo los puntos obtenidos.Aplicacin

2.4. Hiprbola. Definicin y elementosAl seccionar la superficie cnica por un plano paralelo a dos generatrices se

obtiene una hiprbola. En la Ilust. 10 b, el plano es paralelo a las generatrices a, by la curva presenta dos ramas, una en cada hoja de la superficie. Las tangentes a lahiprbola en los puntos del infinito, t y t, llamadas asntotas, son las paralelas a lasgeneratrices a y b. La curva se define as:

La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de dis-tancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. As pues, una hiprbola

AVAPAVAP

P

Q

F

r

r

O

d1

d2

Se desea obtener el eje y la directrizde la parbola conocido su foco F y lospuntos P y Q.

Con centro en los puntos P, Q yradios , , se trazan dos circunfe-rencias. Las tangentes comunes aambas son las dos directrices posibles d1y d2. Se obtienen mediante la homote-cia de centro O, definida por los radiosparalelos r y r, hallando las tangentesdesde O a la circunferencia de centro Q,que tambin lo sern a la de centro P.

Los dos ejes posibles sern las per-pendiculares desde F a d1 o d2.

QFPF

134


6UNIDADest determinada por la distancia entre los focos 2c y la constante 2a. Para un puntogenrico P (Ilust. 10 a) ser siendo F y F los focos.

Los elementos caractersticos de la hiprbola (Ilust. 10 a y c) son: Los vrtices V, V, que estn alineados con F y F. La distancia entre ellos es

2a ya que .

La hiprbola tiene dos ejes, el real VV de longitud 2a y el imaginario WW delongitud 2b, que son ejes de simetra de la hiprbola y se cortan en su cen-tro O, que a su vez es centro de simetra.

En la Ilust. 10 d, puede verse el tringulo rectngulo formado con las distan-cias a, b como catetos y c de hipotenusa. Esta se superpone a la asntota t,por lo que es un buen mtodo para obtenerla.

Circunferencia principal, es la que tiene como dimetro 2a y centro el de lahiprbola.

Circunferencia focal, es la que tiene como radio 2a y centro en un foco. Sepuede definir tambin la hiprbola como el lugar geomtrico de los centrosde las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunfe-rencia focal del otro foco.

a2'VV'VFVF ==

a2'PFPF =

ab

tt

F

F F

V

V V

F

F F

V

V V

P

2a

2a

2c

O O

cbb

b

aa

Detalle

Detallet

t

t

t

W

W

(a) (b)

(c) (d)iLUSTRACIN 10

135

2.5. Construccin de la hiprbola por puntos.Obtencin de ejes y asntotas

Sea a el semieje mayor y c la semidistancia focal (Ilust. 11 izquierda).

Se elige el centro O de la hiprbola sobre una recta cualquiera y con centro enl se trazan arcos de radios a y c que la cortan en los vrtices y focos. Sobre el ejereal, a la izquierda de F, se eligen y numeran algunos puntos.

Las intersecciones de los arcos de centros F y F y radios y son los pun-tos A y A de la hiprbola. Intercambiando los radios se obtienen A y A. Se procedeanlogamente con los puntos 2, 3,... y se traza la curva, que pasa por los puntosobtenidos, a mano alzada o con plantilla.

Para obtener las asntotas (Ilust. 11derecha) se traza la circunferencia de centroO y radio c, que corta a la perpendicular al eje real por V en los puntos A y B. Lasasntotas son las rectas OA y OB.

El eje real es VV y el eje imaginario WW es perpendicular a l y pasa por O. Susextremos se determinan trazando los arcos de radio y centro O.

Aplicacin

B'V

'V1V1

F FV VF FV VO O

1234

c

a

BA

BA

BA

BA

t

t

B

AW

W

iLUSTRACIN 11

V

t

t

FVF

BW

W

O

Se desean obtener los ejes y focos de la hiprbo-la conocidas sus asntotas t, t y el vrtice V.

La perpendicular por V a la recta OV corta a t enB. Se trazan dos arcos con centro en O y radio OBque cortan al eje en los focos F y F.

V es simtrico de V respecto a O. El eje real esVV y el eje imaginario WW se determina cortando ala perpendicular a VV por O mediante los arcos deradio y centro O.B'V

136


6UNIDAD3. Curvas tcnicas3.1. valo

El valo es una curva cerrada, plana y convexa, formada por arcos de circunfe-rencia tangentes en los puntos de enlace, que tiene dos ejes de simetra perpendi-culares. La construccin del valo de cuatro centros debe cumplir ciertas condicio-nes (Ilust. 12 izquierda) que se derivan de su simetra y del enlace de sus arcos:

Los centros de los arcos deben estar en los ejes de simetra. Los puntos de enlace T de dos arcos y sus centros deben estar alineados. Los tringulos AO1T4, del T3O2D y sus simtricos deben ser issceles.

3.2. Construccin del valo dado su eje mayorSi se desea construir el valo a partir del eje mayor AB (Ilust. 12 derecha), se

dividir ste en tres partes iguales. Con centro en las dos divisiones intermedias O1,O3 y radio O1A se trazan dos de las circunferencias del valo. Sus puntos de cortesern los centros O2, O4 de los otros dos arcos, que enlazarn en T1, T2, T3, T4, obte-nidos al alinear los centros dos a dos.

3.3. Dos construcciones del valo dados sus ejesSean AB y CD los ejes del valo, que se dibujarn perpendiculares entre s en

su punto medio. La primera construccin (Ilust. 13 izquierda) se inicia trazando cua-tro arcos de radio menor que el semieje menor y centros A, B, C, D, que cortan al eje

O1 O1O3 O3O2

O2

O4

O4

T1

T1

T4

T4

T2

T2

T3

T3

A A

D

B B

C

AB

Ilustracin 12

137

mayor en O1 y O3, y al eje menor en E y F. La mediatriz de corta al eje menoren O2. Obtenido O4 por simetra; O1, O2, O3 y O4 son los centros de los arcos delvalo y las rectas O2O1,... las que determinan los puntos de enlace T4,...

La segunda construccin (Ilust. 13 derecha) se inicia trazando la circunferenciade dimetro el eje mayor. Determinado F mediante el arco de radio AO y centro A, sehalla O2 construyendo el tringulo DT4O2, semejante al issceles EFO. El lado T4O2,corta al eje mayor en O1. Por simetra se obtienen O4, O3 y los puntos de enlace ali-neando los centros dos a dos.

3.4. Ovoide

El ovoide es una curva cerrada, plana y convexa, formada por arcos de circun-ferencia tangentes en los puntos de enlace, que tiene un eje de simetra.

La construccin del ovoide de cuatro centros (Ilust. 13 izquierda) debe cumplirciertas condiciones que se derivan de su simetra y del enlace de sus arcos:

Los centros de las circunferencias de cabeza y de pie deben estar en el ejede simetra y los de los arcos laterales sern simtricos respecto a l.

Los puntos de enlace T de dos arcos y sus centros deben estar alineados. Los tringulos T2O1T3, T1O2A y sus simtricos deben ser issceles.

3FO

Ilustracin 13

138


6UNIDAD

3.5. Construccin del ovoide dado eldimetro de la circunferencia de cabeza

La construccin del ovoide a partir del dimetro de la circunferencia de cabeza

considera los centros O1, O4 y O3 alineados, estando situados O1 y O3 en los extre-

mos del dimetro perpendicular al eje.

El procedimiento (Ilust. 14 derecha) se inicia trazando la circunferencia de cabe-

za y dos dimetros perpendiculares, los extremos del horizontal son O1, O3 y el ver-

tical ser el eje del ovoide que corta a la circunferencia en O2. El arco de centro O2se traza despus de los de centros O1 y O3, determinando los puntos de enlace T2 y

T1 mediante las rectas O1O2 y O3O2.

3.6. Construccin del ovoide a partir del eje

Situado el eje AB en posicin vertical (Ilust. 15 izquierda) se divide en seis par-

tes iguales. Contando a partir de B, la divisin segunda es O4 y la quinta O2. Los cen-

tros O1 y O3 se obtienen, alineados con O4, mediante arcos de centro O4 y radio O4A.

Los puntos de enlace T4 y T3 estn alineados con O1 y O3. Las rectas O1O2 y O3O2permiten obtener T2 y T1.

O1

O1

O3

O3

O2O2

O4O4

T1 T1

T4T4

T2 T2

T3T3

AA

B

B

2r

r

Ilustracin 14

139

3.7. Construccin del ovoide dado el eje yel dimetro de la circunferencia de cabeza

Se inicia la construccin (Ilust. 15 derecha) trazando la circunferencia de cabe-za, un dimetro, y el eje AB perpendicular a l. Con centro en T4, T3 y A, se trazantres arcos de igual radio, pero menor que r, obteniendo los puntos E, F y O2. Lamediatriz de corta al dimetro T4T3 en O1. Obtenido O3 por simetra, se trazanlos arcos hasta los puntos de enlace T1, T2, determinados por las rectas O1O2, O3O2y el arco de pie.

3.8. Espiral de Arqumedes

2FO

O1O1 O3O3

O2O2

O4O4

T1 T1

T4T4

T2 T2

T3T3

A

B 1 2 3 4 5 6

A

B

E F

AB AB

r

2r

Ilustracin 15

1 2 3 4 5 6 7 8OP

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

12

3

45

6

A

B

Ilustracin 16

140


6UNIDADLa espiral es una curva generada por un punto P que se aleja de otro fijo O,

llamado polo, a la vez que gira alrededor de l. Se llama espira a la porcin de curvacomprendida entre dos posiciones sucesivas del punto P, por ejemplo A y B (Ilust. 16

izquierda), que estn alineadas con el polo O. Paso de la espiral es . Si la veloci-dad con que P gira alrededor de O es uniforme, y tambin lo es la velocidad con quese aleja de l, la espiral se llama de Arqumedes. En ella el paso es constante.

La construccin de la primera espira de la espiral de Arqumedes (Ilust. 16izquierda) se realiza trazando ocho circunferencias, la primera con el radio deseador, la segunda con radio 2r, la tercera 3r, la cuarta 4r,... y numerndolas de dentrohacia afuera. Se dividen las circunferencias en ocho arcos iguales trazando ochoradios numerados consecutivamente. Los sucesivos puntos de la curva a partir de Oson aquellos en que coincide el arco 1 con el radio 1, 2 con 2,... Los puntos se unena mano alzada o con plantilla de curvas.

3.9. Construccin aproximada de la espiralde Arqumedes

Existen construcciones aproximadas a la espiral de Arqumedes realizadasmediante arcos de circunferencia a partir de un polgono regular, o un segmento,situando los centros en los vrtices del polgono o en los extremos del segmento. Enla Ilust. 16 derecha se ha elegido el hexgono regular para construir una espiral deeste tipo. Dibujado el hexgono y numerados sus vrtices, se traza el primer arco concentro en 1 y radio el lado del hexgono, desde el vrtice 6 hasta el punto de cortecon la recta 21 (punto de enlace A). El siguiente arco enlazar con el anterior en A ysu centro ser 2, trazndose hasta el punto de corte con la recta 32. Y as sucesiva-mente.

3.10. Espiral logartmica

AB

O A E

A B

CD

E F

G

MQ

R

S

T

U

B

C

D

Ilustracin 17

141

Si la velocidad con que el punto gira alrededor de O es uniforme, y la velocidadcon que se aleja de l, es directamente proporcional a su distancia al polo, la espiralse llama logartmica. En ella el paso es variable.

En la Ilust. 17 izquierda se ha construido una espiral logartmica tal que la raznentre las distancias al polo, de dos puntos separados un paso (pulsacin radial), esel nmero de oro = 1,618... Desde una posicin cualquiera A, el punto genrico gira90 y se desplaza a una nueva posicin B, tal que . En general se

obtiene un nuevo punto multiplicando la distancia del anterior al polo por =1,128...

La poligonal directora ...A B C D..., cuyos vrtices son puntos consecutivos de la

espiral, facilita su construccin, pues los ngulos , , , ... = 90.

3.11. Construccin de la espiral logartmicaLa espiral de la figura 17 derecha est formada por arcos de circunferencia como

el AC obtenidos a partir de cuadrados como el ABCD. En ella los puntos A, C, Q, R,...coinciden con los de una espiral logartmica, de la cual sta es una aproximacin.Para construirla se parte del rectngulo de oro, llamado as por la belleza de sus pro-porciones, cuyos lados estn en razn . Este tiene la propiedad de que al sustraer-le un cuadrado el resto es un rectngulo de idnticas proporciones.

Se construye el rectngulo ureo AFGD a partir de un cuadrado cualquiera ABCD,hallando el punto medio E de AB y trazando con centro en el y radio EC un arco quecorta a AB en F. El vrtice G se obtiene llevando sobre DC a partir de C.

Para ir sustrayendo cuadrados ordenadamente se utilizan las diagonales, prime-ro AC, despus CQ perpendicular a AC, luego QR perpendicular a CQ,... Y se obtie-ne una poligonal directora del tipo de la de la espiral de pulsacin radial . Por lti-mo se trazan los arcos haciendo centro en los vrtices de los cuadrados que quedanen el interior.

3.12. Voluta del orden jnicoLa voluta de orden jnico es una aproximacin a una espiral de paso variable,

realizada con arcos de circunferencia de radio creciente, que se utiliza en los capite-les del orden jnico.

En el interior de la voluta (Ilust. 18 izquierda) se halla un crculo llamado ojo, deradio r, siendo 8r la distancia entre ste y el punto de arranque de la espiral P, situa-do en la prolongacin del dimetro vertical del ojo.

BF

CBA

4 4OAOB =

142


6UNIDAD3.13. Construccin de la voluta del ordenjnico

Para construirla (Ilust. 18 derecha) se dibuja el ojo con el radio deseado y en suinterior un cuadrado inscrito, que presente una diagonal en posicin vertical. Se tra-zan las paralelas medias del cuadrado y se dividen en seis partes iguales, numern-dolas segn el dibujo.

Se traza el primer arco con centro en 1 y radio 1a hasta la recta 21, obteniendoel punto de enlace B. El segundo arco con centro en 2 y radio 2B hasta la recta 32(C). El tercero con centro en 3 y radio 3C hasta 43 (D). El cuarto con centro en 4 yradio 4D hasta 54 (E). Y as sucesivamente hasta completar tres espiras.

1

1

5

5

2

2

6

6

3

3

7

7

4

4

8

89

9

1010

11

11

12

12 r

8 r

P

A

B

C

D

E

AE

B

C

D

Ilustracin 18

R e c u e r d a

U Las secciones de la superficie cnica son elipses, parbolas o hiprbolas si el planocorta a todas las generatrices, o es paralelo a una o dos de ellas.

U Si son F y F los focos y P un punto genrico, en la elipse PF + PF = 2a, en la hiprbo-la PF - PF = 2a, y en la parbola PF = PD donde PD es la distancia a la directriz.

U La proyeccin cilndrica de una circunferencia es una elipse y dos dimetros perpendi-culares de aquella se proyectan como dos dimetros conjugados de sta.

U Las cnicas y las espirales no son circunferencias y por tanto no se pueden trazar concomps.

U Los valos, ovoides y las aproximaciones de la espiral, son curvas formadas por arcosde circunferencias tangentes entre s, que se trazan con comps, determinando previa-mente los centros y los puntos de tangencia.

143

A c t i v i d a d e s

1. Construir el ovoide inscrito en el rec-tngulo dado.

2. Construir la elipse conocidos losfocos F, F' y uno de sus puntos P.

F F

P

3. Obtener los focos, ejes y vrtices delas parbolas que comparten la direc-triz d, y los puntos P y Q.

4. Construir la elipse conocido el ejemenor y uno de sus puntos P.

Q

P

d

P

W

W

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sig:

GT35: -GT35: Es el lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.GT36: -GT36: Es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.GT37: -GT37: Es el lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.GT38: -GT38: Es una curva cerrada, plana y convexa, formada por arcos de circunferencia tangentes en los puntos de enlace, que tiene dos ejes de simetra perpendiculares.GT39: -GT39: Es una curva cerrada, plana y convexa, formada por arcos de circunferencia tangentes en los puntos de enlace, que tiene un eje de simetra. GT40: -GT40: Es una curva generada por un punto, que se aleja de otro fijo llamado polo, a la vez que gira alrededor de l.SG5: SG6: SG7: SG8: -SG5: -SG6: -SG7: -SG8: inicio1:

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