Dirección de Tecnología Educativa

DTE

Ministerio de Educación

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN - LEÓN

Herramientas Científicas y Metodológicas para la Enseñanza de Matemática

Trigonometría Y su Tratamiento Metodológico

Unidad #2: Trigonometría Analítica Modulo: #6

Actividad de cierre: Construyendo planes de clase Tipo: Individual

Tutor: Msc. María Luisa Ruíz Fecha de envió: 15/05/15

Elaborado por: José Orontes Pérez Mayorquín

Introducción:

En esta oportunidad resolveré ejercicios propuestos sobre ecuaciones e identidades trigonométricas, después

realizare un plan de clase a través de contenidos propuestos.

Indicador de logro:

Aplica los conceptos trigonométricos básicos en la solución de ejercicios.

Diseña, conoce y aplica estrategias y técnicas para el proceso enseñanza – aprendizaje de la

Trigonometría Analítica.

Resultados:

Actividad de cierre: Construyendo planes de clases

I. Transformar cada una de las siguientes expresiones en otras equivalentes en términos de sen

10) sec

𝑐𝑜𝑡 + tan =

𝑆𝑒𝑐𝜃cos𝜃

sin𝜃+sin𝜃

cos𝜃

= 𝑠𝑒𝑐𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃+𝑠𝑖𝑛2𝜃

sin𝜃cos𝜃

=𝑠𝑒𝑐𝜃1

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

= 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∗𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

1=

1

𝑐𝑜𝑠𝜃∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

1= 𝑠𝑒𝑛𝜃

III. Demostrar las siguientes identidades

10) 𝑡𝑎𝑛 − 𝑠𝑒𝑛

𝑠𝑒𝑛3 ≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛

𝑠𝑒𝑛3 ≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛3

≡𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑛𝜃(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛3 ≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛2 ≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛2∗(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)

(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

1

𝑐𝑜𝑠𝜃(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

1

𝑐𝑜𝑠𝜃∗

1

(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠 ≡

𝑠𝑒𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠

30) tan

2 =

1−𝑐𝑜𝑠

𝑠𝑒𝑛

Realizando cambio de variable

Sea: u= 𝜃

2 ∴ 𝑢 = 2𝑢

Tan(u)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(𝑢)

cos (𝑢)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(𝑢)

cos (𝑢)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(𝑢)

cos (𝑢)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)

cos(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(2𝑢)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

Como sen(2x)=2cos(x)sen(x)

2cos (𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)

cos(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(2𝑢)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

2𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

2𝑠𝑒𝑛2(𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

Como 2sen2x=1-cos(2x)

1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)= 1−cos (2𝑢)

𝑠𝑒𝑛(2𝑢)

V) Escribe cada una de las expresiones siguientes como función de un ángulo

2) Sen30°cos30° + cos30°sen30°

Sen (𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(30° + 30°) = 𝑠𝑒𝑛60°

IX) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para 0 2

tan2x = - tanx

2𝑡𝑎𝑛𝑥

1 − 𝑡𝑎𝑛2𝑥= −

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

2𝑡𝑎𝑛𝑥

1 − 𝑡𝑎𝑛2𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= 0

𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

cos (2𝑥)+𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= 0

cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (2𝑥)

cos(2𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)=0

1

cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(2𝑥) = 0

Ordenando para aplicar identidades

Cos(2x) sen(x)+ sen(2x)cos(x) = 0

Sen (2x+x) = 0

Sen(3x) = 0

3x = 0+ 2𝜋𝑛 → 𝑥 = 2𝜋𝑛

3

3x = 𝜋+ 2𝜋𝑛 → 𝑥 = 𝜋+2𝜋𝑛

3

CLASE No.10 Prof José Orontes Pérez Mayorquín Físico – Matemático

Fecha: 15/05/15

Área: Matemáticas Décimo A:15/05/15

Unidad Nº II: Trigonometria Analítica Décimo B: 18/15/15

Grado: Décimo

Colégio: Carmela Noguera.

Tiempo: 90 min

Frecuencia: 2

Contenido: Sistema de Ecuaciones Trigonométricas Sumario:- :- Formula trigonométrica

-Actividades de aprendizajes

Indicadores de logros: Determinar con precisión sistemas de

ecuaciones trigonométricas a través actividades de aprendizaje en

la aplicación de las identidades estudiadas previamente.

ESTRATEGIA METODOLOGICA:

1.- Iniciar la clase recordando la importancia de las clases de

reforzamiento para el buen aprendizaje a través de actividades

programadas por el docente.

2.- Aplicar estrategias, de modo que permita a mis estudiantes, el

análisis cognitivo en el sistema de ecuaciones trigonométricas.

3.- Como estrategia principal:

3.1) Participación conjunta en plenario. y/o constructivista.

3.2) Fomentar el trabajo en equipo, la solidaridad y equidad en la

competencia por desempeño.

3.3) Poner atención a las intervenciones del maestro y pedir

aclaraciones si hay dudas.

4.-Como evaluación del bloque de clase: Ejercicios asignados por el

docente en el libro de texto .

4.1) Verificar el uso correcto de los cálculos (antes, durante y después

del desarrollo de mi clase).

5.-Procedimiento de Evaluación: Expone y discute en clase los trabajos realizados de

forma individual o en equipos, con respeto, cortesía, tolerancia,

honestidad y creatividad. Verificar en las y los estudiantes el dominio de las

identidades trigonométricas básicas. Observar y estimular la participación, el respeto, la

responsabilidad, la solidaridad de las y los estudiantes en la

realización de los diferentes ejercicios. Muestra respeto y responsabilidad ante sus compañeros y

compañeras al resolver ejercicios y problemas de manera

colectiva.

FICHA DE CONTENIDO

Introducción del tema:

No siempre cuando tenemos sistemas de ecuaciones trigonométricas,

podemos eliminar directamente los senos y/ los cosenos. Realizaremos

algunos ejercicios donde se pueden eliminar directamente y en otros

recuremos al método de sustitución de sistemas de ecuaciones.

Otros de los grandes errores que se cometen es que no se encuentran

todo los ángulos en el sistema, recordemos que es toda una vuelta

entera en la circunferencia.

. Preguntas de exploración.

1) ¿Qué utilidad tiene la TRIGONOMETRIA en la vida diaria?

2) ¿Qué significa la palabra TRIGONOMETRIA?

3) ¿A que llamamos circunferencia Gonio métrica?

ACTIVIDAD Nº1: Copiar Formula trigonométricas

ACTIVIDADNº2: Resolver

Ejemplo Nº1:

{𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 1𝑥 + 𝑦 = 90°

EjemploNº2:

PROCEDIMIENTO REALIZACIÓN

1.-Despejamos y en la segunda

ecuación. y = 90° - x

2.- Sustituyendo en la primera

ecuación. senx + sen(90° -x) =1

3.- Aplicando identidades,

transformación de suma en

productos.

2sen𝑥+(90°−𝑥)

2𝑐𝑜𝑠

𝑥−(90°−𝑥)

2 = 1

4.- Simplificando 2sen45°*cos(x-45°)=1 de donde

Cos(x-45°)= √22

Por tanto x-45°={45° + 360°𝐾 → 𝑥 = 90° ± 360°𝐾

−45° + 360°𝐾 → 𝑥 = 0° ± 360°𝐾

de donde y = 0° +360°𝐾

y= 90° + 360°𝐾

{

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 =

√3 + 1

2

𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 = √3 − 1

2

PROCEDIMIENTO REALIZACIÓN

5.-sustituyendo

sen(x)=√𝟑

𝟐 𝒆𝒏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑵º𝟐

𝑠𝑒𝑛𝑦 =√3

2−√3 − 1

2

6.- reduciendo sen(y) 𝑠𝑒𝑛𝑦 =

√3 − (√3 − 1)

2

𝑠𝑒𝑛𝑦 =√3 − √3 + 1)

2

𝑠𝑒𝑛𝑦 =1

2

7.- esto implica que 𝑠𝑒𝑛𝑦 =

1

2 {

𝑦 = 30° ± 360°𝐾𝑦 = 150° ± 360°𝐾

ACTIVIDADES Nº3:

PROCEDIMIENTO REALIZACIÓN

1) Reducimos los sen(y)

2) Sumamos el lado derecho

de la igualdad.

{

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 =

√3 + 1

2

𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 = √3 − 1

2

2senx= √3+1

2+√3−1

2

2.- Reducimos el lado derecho de

la igualdad.

2senx= √3+1+√3−1

2

2senx= 2√3

2

2senx=√3

3.- despejando senx Senx = √3

2

4.-lo que implica que Senx = √3

2 {

𝑥 = 60° ± 360°𝐾𝑥 = 120° + −360°𝐾

5.-sustituyendo

sen(x)=√𝟑

𝟐 𝒆𝒏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑵º𝟐

𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 = √3 − 1

2

√3

2− 𝑠𝑒𝑛𝑦 =

√3−1

2

Bien! llego el momento,

de triangular los

conocimientos

adquiridos…colabora

activamente con tu

grupo y toda saldrá

bien.

ACTIVIDADES Nº3: Trabajo en grupo

1) {𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 1

𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑦 =1

2

2) {𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = √2

𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 1

2

Auxiliarse de:

Evaluación: Resolver en casa ejercicios de la actividad Nº3

BIBLIOGRAFIA

1.- Elementos de Álgebra( Tercera Edición-1952)…Colegio Centro América-Granada.

2.- La Biblia de las Matemáticas...... Editorial LEXUS

3.- Libro para el maestro de secundaria--- Comunidad E magíster

4.- Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica-----Swokowski/cole 13ª. Edición.

5.- Trigonometría y Geometría Analítica ---Universidad de TARAPACA (Chile)

6.- Programa de matemáticas 10`-------------MINED

chorotegadirangen@gmal.com

Observaciones: Para reforzar el contenido, de esta clase suscribirse al Canal de: José Orontes Pérez Mayorquín en You Tube. y/o Faceboo