carmen López BoteBegoña martínez elgarrestaPurifi cación montesinos cominoFrancisco González Díaz

coordinadoraPurifi cación montesinos comino

Revisión técnicaJ. Javier Orengo Valverdem.ª isabel de los santos Rayo

MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO • NUEVA YORK PANAMÁ • SAN JUAN • SANTA FE DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SÃO PAULOAUCLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍSSAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO

MATEMÁTICAS2

La representación de los números naturales en la recta numérica

Los números naturales se representan en una semirrecta de izquierda a derecha, ordenados de menor a mayor.

0 1 2 3 4 5

Regla de los signos

Para multiplicar dos números enteros se multiplican los valores absolutos de los factores y el signo del resultado viene dado por la regla de los signos:

+ · + = + + · – = –

– · + = – – · – = +

Potencia de números enteros

La potencia de un número entero, al igual que la potencia de un número natural, es una forma simplifi cada de expresar la multiplicación de ese número por sí mismo tantas veces como indique otro número.El número que se multiplica por sí mismo se llama base.El número que nos indica cuántas veces multiplicamos la base se llama exponente.

¿Recuerdas qué es…?

2NÚMEROS ENTEROS

El registro de las temperaturas en una estación meteorológica durante un día del mes de diciembre se describe en la tabla:

0 h 3 h 6 h 9 h 12 h 15 h 18 h 21 h 24 h

+1° 0° –4° –2° +5° +10° +7° +5° +3°

Como ves, para describir la evolución de la temperatura a lo largo del día no son sufi cientes los números naturales, es necesario utilizar los números enteros. Con ellos es posible responder a cuestiones como:

— ¿Qué temperaturas máxima y mínima se registraron en el día?

— ¿Cuál fue la diferencia entre la temperatura máxima y la temperatura mínima registrada?

— ¿Cuál fue la temperatura media del día?

Para responder a estas cuestiones es necesario alcanzar los objetivos que se proponen en esta Unidad.

Los objetivos de esta Unidad son:

• Utilizar los números enteros.

• Conocer las propiedades de las operaciones con números enteros.

198

11

199

10 Copia en tu cuaderno y completa la tabla:

PoliedroN.º de aristas que se unen en cada

vértice

Ángulos diedros (agudos, obtusos

o rectos)

Cubo

Tetraedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

11 Determina cuáles de los siguientes desarro-llos planos corresponden a un tetraedro.

a) b) c)

12 Si unes dos tetraedros por una de sus caras, ¿se obtiene un octaedro? Razona tu respuesta.

Ejercicios

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

POLIEDROS REGULARES

De todos los poliedros sólo existen cinco poliedros regulares que cumplen las tres condiciones anteriormente citadas.

33AA

13 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de un prisma recto cuadrangular de 3 cm de altura y cuya base tenga 2 cm de lado.

14 Escribe tres objetos cotidianos que tengan forma de prisma. Para cada uno de ellos describe cuál es el polígono que está en la base y da un valor aproximado de su altura.

15 ¿Cuáles de los siguientes cuerpos son pris-mas?

a) b) c)

Ejercicios

Poliedro regular Caras Vértices Aristas Las caras son Figura Desarrollo

Tetraedro 4 Triángulos equiláteros

Cubo 6 Cuadrados

Octaedro 8 Triángulos equiláteros

Dodecaedro 12 Pentágonos regulares

Icosaedro 20 Triángulos equiláteros

PRISMAS

Algunos edi� cios y envases se diseñan en forma de prisma recto. Este diseño los hace estables y fáciles de construir. Los de base rectangular son fáciles de apilar y almacenar como en el caso de los envases. También son fáciles de alinear con otros como en el caso de los edi� cios.

Un prisma es un poliedro formado por dos caras paralelas que son polí-gonos iguales, llamados bases, y por polígonos que unen las bases que son paralelogramos, llamados caras laterales.

Si las caras laterales son rectángulos o cuadrados se llama prisma recto, y si son rombos o romboides se llama prisma oblicuo.

Investiga la forma de tu colegio o instituto para determinar si tiene forma de prisma. Busca también en un supermercado algún envase con forma de prisma. ¿Puedes encontrar alguno cuya base no sea un rectángulo?

BasesBases

Altu

ra

Caras lateralesPrisma recto Prisma oblicuo

Altu

ra

En el caso de que las bases de un prisma recto sean polígonos regulares, se llama prisma regular y en los demás casos se llama prisma irregular.

También se utiliza la forma de las bases para describir el prisma: triangular (las ba-ses son triángulos), cuadrangular (las bases son cuadrados), rectangular (las bases son rec-tángulos), pentagonal, hexagonal, etcétera.

Cuando todas las caras de un prisma son paralelogramos se llama paralelepípedo.

BB

DOBLE PÁGINA PRESENTACIÓNComenzamos la Unidad de manera didáctica y amena, con una actividad cercana para el entorno de los alumnos. A continuación aparece un breve vocabulario en el que se recogen los términos matemáticos que se van a emplear en dicha Unidad; su objetivo es el de recordar conceptos de cursos anteriores.

DESARROLLO DE LA UNIDADLa Unidad está estructurada en epígrafes que comienzan con una actividad que sirve de ejemplo para introducir el concepto a tratar.

Al fi nalizar cada apartado se proponen ejercicios para resolver para que el alumno compruebe la comprensión de los conceptos estudiados.

CÓMO SE USA EL CD

Dentro del libro está incluido un CD para el alumno con material multimedia para que trabaje en el aula y en casa. En cada Unidad didáctica, en aquellos apartados que se complementen con el CD, aparece el símbolo que indica el empleo del CD por parte del alumno para complementar su aprendizaje.

¿CÓmo SE uTiLiZa ESTE LiBro?

CÓMO SE USA EL CD

Dentro del libro está incluido un CD para el alumno con material multimedia para que trabaje en el aula y en casa. En cada Unidad didáctica, en aquellos apartados que se complementen con el CD, aparece el símbolo que indica el empleo del CD por parte del alumno para complementar su aprendizaje.

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EJERCICIOS RESUELTOS12

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1 Dibuja en tu cuaderno el cuerpo de revolución que se genera al hacer girar cada una de las siguientes � guras planas alrededor del eje indicado:

a) b)

En primer lugar se dibuja la � gura simétrica respecto al eje:

Después se dibujan, en perspectiva, los círculos que se generan al girar los vértices de la � gura plana:

Finalmente, se borran los lados de la � gura plana que han generado los círculos:

2 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de un cilindro de altura 3 cm y radio de la base 1,5 cm.

La di� cultad de este ejercicio está en el cálculo del lado de la base del rec-tángulo.

2πr = 2 · 3,14 · 1,5 = 9,42 cm

Ahora, basta dibujar dos círculos de ra-dio 1,5 cm y un rectángulo cuyos lados midan 3 cm y 9,42 cm.

3 Halla el volumen del siguiente cuerpo de revolución.

Podemos descomponer el cuerpo de revolución en tres cuerpos:

— En primer lugar, al cilindro de la parte superior, de 5 cm de radio y 5 cm de altura, lo llamamos C1.

— En segundo lugar, el cilindro de 2 cm de altura y 20 cm de radio, será C2. Debemos hallar el volumen de C1 y el de C2 y sumarlos.

— Por último, está el cilindro hueco en el interior de 4 cm de radio y 7 cm de altura, que es C3.

Este volumen debemos restarlo de la suma anterior y así obtendremos el volumen del cuerpo de revolución del enunciado.

— Volumen de C1: π · 52 · 5 = 392,5 cm3.

— Volumen de C2: π · 202 · 2 = 2 512 cm3.

— Volumen de C3: π · 42 · 7 = 351,66 cm3.

Volumen del cuerpo de revolución V = 392,5 + 2 512 − 351,66 = 2 552,84 cm3.

4 Halla el área del cuerpo de revolución.

Podemos descomponer el cuerpo de revolución en dos cuerpos: un cilindro y una semiesfera.

El área del cuerpo del dibujo se puede hallar como la suma de la mitad del área de la esfera de 3 cm de radio y el área lateral del cilindro más el área de una de las bases. Observa que la base del cilindro entre la semiesfera y el cilindro no debe sumarse, pues no queda en el exterior.

— Área de la semiesfera: 4 · π · r 2

2 =

4 · 3,14 · 92

= 1132

= 56,5 cm2.

— Área lateral del cilindro: 2 · π · r · h = 2 · 3,14 · 3 · 8 = 150,7 cm2.

— Área de una base del cilindro: π · r 2 = 3,14 · 9 = 28,3 cm2.

— Área del cuerpo de revolución: A = 56,5 + 150,7 + 28,3 = 235,5 cm2.

5 Halla la generatriz del tronco de cono cuya altura mide 1,2 m y sus radios de las bases son 60 y 90 cm.

En primer lugar, dibujamos el trapecio que forman ambos radios, la altura y la generatriz.

Observamos que trazando una línea paralela a la altura podemos construir un triángulo rectángulo, como ves en la imagen. La hipotenusa de ese trián-gulo es la generatriz g que queremos calcular, y los catetos son la altura (120 cm) y la diferencia entre los radios 90 – 60 = 30 cm. Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras:

g2 = 1202 + 302 = 15 300 cm2, luego g = Î15300 = 123,7 cm.

8 cm

2 cm

10 cm

20 cm

5 cm

6 cm

8 cm

1,2 m

90 cm

60 cm

30 cm

226

EJERCICIOS PROPUESTOS12

227

34 Dibuja el cuerpo de revolución que se genera al hacer girar cada una de las siguientes fi guras planas alrededor del eje indicado:

a) b)

35 ¿Cuáles de los siguientes cuerpos de revolución tienen desarrollo plano?

a) b)

c)

36 Un cuerpo de revolución cualquiera puede tener desarrollo plano o no. Describe de qué cuerpos de re-volución de los que has estudiado en esta Unidad tiene que estar compuesto para que tenga desarrollo plano.

Medidas

37 Halla la altura de un cono cuya generatriz mida 5 cm y el radio de la base sea 3 cm.

38 Halla la generatriz de un cilindro sabiendo que la altura es 12 cm y el radio de la base 4 cm.

39 Sabiendo que la generatriz de un cono mide 10 cm y el radio de la base 6 cm, halla su altura.

40 Compara el radio de la base de los dos conos que se describen en cada apartado:

a) Cono 1: h = 10 cm g = 14 cm

Cono 2: h = 8 cm g = 9,8 cm

b) Cono 1: h = 60 cm g = 1 m

Cono 2: h = 80 cm g = 90 cm

41 Halla la generatriz de un tronco de cono cuya altura mide 12 cm y los radios de ambas bases miden 8 cm y 4 cm.

4 cm

12 cmh g

r

R

8 cm

42 ¿Cuál es la altura de un tronco de cono si su ge-neratriz mide 20 cm y los radios de las bases son 12 cm y 9 cm?

43 Halla el área lateral y el área total de un cilindro de 2 m de altura y 30 cm de radio de la base.

44 Halla el área total de un cilindro de altura 55 cm y diámetro de la base 20 cm.

45 Calcula el área total de un cono que tiene radio de la base 15 cm y generatriz de 20 cm.

46 Halla el área lateral y el área total de un cono cuya generatriz mide 60 cm y el diámetro de la base es 30 cm.

47 ¿Cuál es el área de una esfera de radio 40 cm?

48 Halla el área y el volumen de una esfera de diá-metro 1,5 m.

49 Halla el volumen de un cilindro cuya altura sea de 5 m y su radio de la base de 2 m.

50 Un colador en forma de cono tiene una base de radio 5 cm y una altura de 14 cm. ¿Cuánta cantidad de líquido puedo colar de una vez?

51 El volumen de un cono es 30 cm. Sabiendo que el área de la base es 18 cm, calcula su altura.

52 Un cilindro tiene de altura 15 cm y de radio de la base 3 cm. Un cono tiene también de altura 15 cm y de radio de la base 3 cm. Halla el volumen de los dos cuer-pos. ¿Qué relación tienen los dos números entre sí?

(Orientación: observa y compara las dos expresiones para calcular los volúmenes.)

53 En una caja con forma de cilindro de altura 30 cm y radio de la base 5 cm se guardan tres pelotas de diá-metro 10 cm. Calcula el volumen de la parte de la caja que queda desocupada.

30 cm

R: 5 cm

10 cm

54 En una caja con forma de cilindro de 1 m de alto y 30 cm de diámetro se guarda un cono de 1 m de alto y 30 cm de diámetro de la base. Calcula el volumen de la parte de la caja que queda desocupada.

1 m

1 m

30 c

m

30 c

m

55 Calcula y compara la cantidad máxima de agua que pueden contener cada uno de los siguientes vasos:

a) Uno de ellos tiene forma de cilindro de altura 15 cm y radio de la base 3 cm.

b) El otro tiene forma de tronco de cono obtenido al seccionar un cono imaginario de altura 20 cm por un plano paralelo a la base a 5 cm de distancia del vértice. Los radios de las bases del tronco son 2 y 4 cm.

56 Un cono de altura 20 cm y cuyo radio de la base es 4 cm, se corta paralelamente a la base suprimiendo así un cono de altura 5 cm. Sabiendo que el radio de la base del cono suprimido es 1 cm, calcula la generatriz de ambos conos. Halla también el área lateral y total del tronco de cono obtenido al cortar.

57 Halla el volumen del tronco de cono del ejercicio anterior.

58 Halla el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar la fi gura plana alrededor del eje (las unidades se expresan en metros):

2

234

3

59 Halla el área del cuerpo de revolución del ejer-cicio anterior.

60 Una torre está formada por un cilindro de altura 4 m y radio de la base 1,2 m, sobre la que se apoya un cono con el mismo radio de la base y altura 1,5 m. Halla el área y el volumen de la torre, teniendo en cuenta que, las ventanas y la puerta ocupan en total una superfi cie de 5 m2.

1,2 m

4 m

1,5 m+

=+

5 m2

172

PARA REPASAREN GRUPO9

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CURIOSIDADES,JUEGOS Y DESAFÍOS

Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.

CONCEPTO DEFINICIÓN

Sistema de medida del tiempo

Es sexagesimal porque una hora equivale a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos.

Segundo Es la unidad principal para medir el tiempo.

Forma compleja de expresar el tiempo Viene dada en horas (h), minutos (min) y segundos (s).

Forma decimal de expresar el tiempo

Viene dada por un número decimal y una sola unidad de medida.

Grado sexagesimal Es la unidad principal de medida de ángulos y corresponde a cada una de las noventa partes en que se divide un cuadrante.

Sistema de medida de ángulos

Es sexagesimal porque un grado equivale a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos.

Forma compleja de expresar un ángulo Viene dada en grados (°), minutos (‘) y segundos (‘’).

Forma decimal de expresar un ángulo

Viene dada por un número decimal y una sola unidad de medida.

Ángulos complementarios Dos ángulos que suman 90°.

Ángulos suplementarios Dos ángulos que suman 180°.

Ángulos opuestos por el vértice Uno se forma al prolongar los lados del otro a partir del vértice.

Ángulos consecutivos Son los que tienen un lado común.

Ángulos adyacentes Son consecutivos y suplementarios.

Medida del ángulo central Es la del arco que abarcan sus lados.

Medida de un ángulo inscrito Es la mitad del arco que abarcan sus lados.

Medida de un ángulo circunscrito Es la mitad de la diferencia de los arcos que abarcan sus lados.

Medida de un ángulo semiinscrito Es la mitad del arco que abarcan sus lados.

Medida de un ángulo interior Es la mitad de la suma de los arcos que abarcan sus lados.

Medida de un ángulo exterior Es la mitad de la diferencia de los arcos que abarcan sus lados.

Todas las civilizaciones se han basado en la regularidad de los movimientos del Sol o la Luna para la elaboración de sus calendarios.

Los egipcios hacia el 4 000 a.C. se regían por un calendario cuyo año duraba 12 meses de 30 días y 5 días más que no pertenecían a ningún mes.

Los romanos en el siglo VII a.C. utilizaban un calendario de 304 días, distri-buidos en 10 meses. Como la Tierra tarda 365 días 6 h 9 min 9,5 s en dar una vuelta alrededor del Sol, las estaciones no se su cedían en las mismas fechas y tuvo que añadirse al calendario dos meses más.

En el año 45 a.C., Julio César encargó a los astrónomos mejorar el calendario y se adoptó el calendario juliano, en el que la duración del año es de 365

días, más 14

de día. Cada año tenía 12 meses de distinta duración. Cada 4 años

se añadía un día al año.

Con el calendario juliano se acumulaba un error de 1 día cada 128 años, por lo que el Papa Gregorio XIII, en el año 1582, mandó reformarlo.

El calendario gregoriano es el que se utiliza en la actualidad. El error que se acumula con este calendario es de 1 día en 3 226 años.

Los dos relojes

Lewis Carroll, profesor de Matemáticas en la Universi-dad de Oxford y autor de Alicia en el País de las Mara-villas, escribió un cuento que planteaba la siguiente cuestión:

«¿Cuál de estos relojes da mejor la hora? ¿El que atrasa un minuto diario o el que está parado?»

Lewis Carroll llegó a la conclusión de que el reloj parado daba mejor la hora. ¿Sabrías explicar por qué?

DESAFÍO MATEMÁTICO

Polígono regular estrellado

Si se divide una circunferencia en partes iguales y se unen los puntos de di-visión de dos en dos, o de tres en tres, etc., se obtiene una línea poligonal. Si esta línea poligonal se cierra, recorriendo la circunferencia un número entero de veces, se obtiene un polígono regular estrellado.

Eneágonos regulares estrellados

Si se divide una circunferencia en nueve partes y se unen las divisiones de 2 en 2 y de 4 en 4 se obtienen dos eneágonos estrellados.

Si observas los eneágonos estrellados puedes comprobar que hay diferentes ángulos en la circunferencia. Describe qué tipos de ángulos son y calcula su medida sin utilizar un transportador.

¿Cómo sabemos si un año es bisiesto?

Un año es bisiesto si el número formado por las dos últimas cifras es divisible entre 4, excepto cuando ambas son cero.

Si el número formado por las cuatro cifras del año es divisible por 400 entonces el año es bisiesto aunque sus dos últimas cifras sean cero.

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3

4

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9

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CDEn la pestaña Actividades/Unidad 9, encontrarás la actividad Sopa de letras unidad 9, para repasar los conceptos más importantes de la circunferencia.

CDEn la pestaña Actividades/Unidad 9, encontrarás la actividad Relación unidad 9, para repasar los conceptos más importantes de la unidad.

EJERCICIOS RESUELTOSBatería de actividades en las que se recoge una recopilación de estrategias de resolución de problemas, teniendo en cuenta la relación entre diferentes conceptos, desarrollada para cada una de las Unidades del libro, cuya fi nalidad es la de transmitir y aclarar al alumno los procedimientos para su resolución.

EJERCICIOS PROPUESTOSSituados al fi nal de cada Unidad, están adaptados al nivel de conocimientos de los alumnos. Se han estructurado manteniendo el orden de los diferentes epígrafes del tema objeto de estudio, marcando los mismos por nivel de difi cultad para que resulte sencillo abordar su resolución.

PARA REPASAR EN GRUPO, CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOSEstas secciones tienen como fi nalidad ayudar al alumno a ordenar los conceptos fundamentales de la Unidad motivándole para emplear correctamente el lenguaje matemático dentro de su contexto.