I.E.S. Ram

Cipri

1. FUN

Las funcio

donde a y b Si

recibe el no Por último

recibe el no Geométricbasta con c

Recuerda t Ejercicios1. Rep

1f

2. Rep

1f

Algunas pr

-

0 y b a

f

món Giraldo

F

NCIONEnes afines s

b son núme

, enton

ombre de fu

, la función

ombre de fu

camente esconstruir un

también que

: presenta las

2 3x x

presenta las

x x

ropiedadesDominio:

0a

f x x

FUNC

ES AFIson funcion

eros reales n

nces la func

unción linea

n

unción cons

stos tres tipna tabla de v

e todas las f

s siguientes

2f

s siguientes

2f x x

s de las func

2

,

UIONES

INES, Les de la form

f

f

no nulos.

ción

al.

stante.

pos de funcvalores (con

funciones lin

funciones s

3

2x x

funciones y1

ciones afine

Unidad S ELE

LINEALma

:f

f x ax

:f

f x ax

:f

f x b

ciones repren dos valore

neales pasa

sobre unos m

3f

y establece l 3f x x

es, lineales y

2f x x

9: MENT

LES Y C

b

esentan reces).

n por el orig

mismos ejes

3 1f x

la relación q2x

y constantes

Dpt

TALES

CONST

ctas en el p

gen de coor

s:

que hay entr

s son:

Ma

to. de Matem

S

TANTE

plano. Para

rdenadas.

tre ellas:

2f x

temáticas I

máticas 1

ES

dibujarlas,

,

I.E.S. Ram

-

-

- Sobre la estrictamen

2. FUN

Son funcio

donde Geométricpasos:

1)

2) Secutam3) Svalo

Recuerda qabajo (es c

Ejercicios3. Rep

a)

, ,a c

món Giraldo

Imagen o r

Monotonía

Extremos r

notación: nte decrecie

NCIONEones de la fo

camente re

Se calcula

Se calculan uación mbién el punSólo se aplores a la izq

que la parábcóncava) cua

: presenta las

2 2y x x

, y b a

2ax

recorrido:

a:

relativos: N

indicente.

ES CUAorma

.

epresentan

el vértice:

los puntos

nto de corte lica si no hquierda del v

bola está abando

s siguientes 3x

Afines

Const

0

,v vV x y

0bx c

0a

y x

Funcion

Afines y

Constant

o tienen

ca que la

ADRÁT

parábolas,

de corte co. Si queremcon el eje O

hemos podidvértice y otr

bierta hacia.

funciones c

s y lineales:

antes: Com

:f

f x

donde v

x

y

2x

nes element

lineales: =

tes: b

función e

TICAS

para cuya

on el eje OXmos que laOY. do usar 2). tros dos a la

a arriba (es

cuadráticas:c) 2y x

si

mo su nombre

a

2x ax bx

2v

v v

bx

ay f x

tales

= ,

s estrictam

a representa

X, si los haya gráfica se

Se construa derecha de

convexa) cu

2 3x

0 y

e indica son

x c

sustituir

y

mente crecie

ación segui

y, para lo qa aún más

uye una tabel mismo.

uando

si 0

n constantes

a

en la funvx

0a

2x

Ma

ente y

uiremos los

que hay queprecisa, ca

bla de valor

, y está ab

s

nción

0

temáticas I

2

que es

siguientes

e resolver laalcularemos

res con dos

bierta hacia

2

s

s

a s

s

a

I.E.S. Ram

Cipri

b)

4. Rep

1f

5. Rep

a)

b)

c)

3. FUN

Para su reptrozos (“en

Ejercicios6. Rep

a)

b)

c)

7. Unadiarios dep

1) Dar la eprecio del el precio d

món Giraldo

22 1y x

presenta las 2

2, x x f

presenta las2 6y x x

2 3y x 2 4 y x

NCIONEpresentaciónn su dominio

: presenta las

f x

x

f xx

a compañía

pende del pr

expresión qbillete. 2) ¿el billete qu

2

xf x

16

f xx

10 8x

s siguientes 2

2 2x x

s siguientes 1 para x x

3 para x x

para x

ES DEFn gráfica bao”).

s siguientes

2

2

2 si

1 2 si

2 si

x x

x

x x

2

2

4 3

2

x x

x

a de autoburecio del bil

que nos pro¿Qué ingresue hace máx

2 si

2 si

x

x

2

2

6

x

funciones c 32, f x x

parábolas e

1,6

0, 4

, 2 2,

FINIDAasta con hac

funciones d

i 0

i 0 1

i 1

x

x

x

si 1

si 0

x

x

uses interurllete (p) seg

N oporciona loso diario se ximo los ing

2

2

x

x

si -2

si 2

x

x

d) 21

3y x

cuadráticas 2

41 y x f

en el domini

,

AS A TRcer la corres

definidas a t

rbanos ha cgún la expre

p 300 os ingresos obtiene si

gresos diario

2

3

3x

y establece 2x x

io que se in

ROZOSspondiente r

trozos:

comprobadoesión:

6p

diarios (I) el precio deos? 4) ¿Cuá

f

Dpt

la relación

dica:

S representaci

o que el nú

de esa comel billete es áles son eso

21

4x x

Ma

to. de Matem

que hay en

ión de cada

úmero de v

mpañía en f15 euros?

os ingresos m

2 2 1x

temáticas I

máticas 3

tre ellas:

a uno de los

viajeros (N)

función del3) ¿Cuál esmáximos?

3

s

)

l s

I.E.S. Ramón Giraldo Matemáticas I

Funciones elementales 4

8. La altura en metros, H, que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba, viene dada en función del tiempo en segundos por la expresión: H t 20t 2t 2 .

1) ¿Qué altura habrá alcanzado a los tres segundos? 2) ¿En qué momentos alcanzará 32 m de altura? 3) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? ¿Dónde?

9. En un estudio sobre el coste de producción de una empresa de ordenadores, se ha concluido que producir unidades de un determinado componente tiene un coste expresado por la función

. La venta de unidades de ese componente proporciona unos ingresos que

vienen determinados por la función , siendo el número de unidades

producidas. a) Calcular el número de unidades que deben producir para que los costes sean mínimos. b) Hallar la expresión, en función de , de los beneficios, suponiendo que se venden todas las unidades que se producen. c) Calcular el número de unidades que deben producir y vender para que los beneficios sean máximos.

10. El precio, en euros, que la acción de una empresa alcanza en el transcurso de una sesión de bolsa, viene dado por la función

en donde es el tiempo en horas a contar desde el inicio de la sesión. Supongamos que la sesión comienza a las 10 de la mañana y finaliza 7 horas después. Se pide: a) ¿Entre qué horas el precio de acción sube? b) ¿Entre qué horas el precio de la acción baja?

c) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza un máximo relativo? ¿Cuál es ese valor? d) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza un mínimo relativo? ¿Cuál es ese valor? e) ¿A qué hora el precio de la acción alcanza su valor más grande? ¿Cuál es ese valor?

11. El consumo de agua de un colegio viene dado por la función:

en donde t es el tiempo en horas a contar desde la apertura del colegio y f(t) es el consumo en m3. Se supone que la jornada escolar comienza a las 10 horas y finaliza a las 13,5 horas. Se pide:

1) ¿Cuándo el consumo de agua es creciente? ¿Cuándo el consumo es decreciente? 2) ¿En qué momento el consumo es máximo y en qué momento es mínimo?

4. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Son funciones de la forma

donde k es un número real no nulo. Geométricamente representan hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas son los ejes coordenados:

x

20,01 1f x x x x

6 0,25g x x x x

x

3 240 420 1200 200p t t t t t

3 2

0 0

( ) 0,1 0,675 1,35 0 3,5

0 3,5

si t

f t t t t si t

si t

: 0 0

f

kf x

x

I.E.S. Ramón Giraldo Matemáticas I

Cipri Dpto. de Matemáticas 5

* Asíntota horizontal:

* Asíntota vertical: Ejercicio: 12. Representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa:

a) 1

yx

c) 1

2y

x

b) 1

yx

d) 1

32

yx

5. FUNCIONES RACIONALES ESPECIALES

Son funciones de la forma

donde . Para su representación gráfica (que es una hipérbola equilátera) construiremos una tabla de valores y a partir de ella deduciremos sus propiedades. Estas gráficas poseen las siguientes asíntotas:

* Asíntota horizontal:

* Asíntota vertical:

Ejercicio: 13. Representa las siguientes funciones racionales:

a) 3 2

1

xy

x

d)

4 3

1

xy

x

b) 1

1

xy

x

e)

1

1

xy

x

6. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN

La función valor absoluto de una función , se define por:

Para su representación gráfica usaremos cualquiera de los siguientes dos procedimientos:

(1) Representar y los trozos de curva que estén en la parte negativa del eje OY

ponerlos positivos (mediante sus simétricos)

(2) Escribir la función como una función definida a trozos, y representar cada

uno de los trozos correspondientes.

0y

0x

ax b d

f x xcx d c

, , ,a b c d

ay

c

0d

cx d xc

f x

si 0

si 0

f x f xf x

f x f x

f x

y f x

I.E.S. Ram Ejercicio: 14. Rep

a)

b)

c)

d)

7. TRA

Este es un

de algunas

Seguiremo

(1º) Se rep

(2º) Trasla Nue

(3º) Trasla Nue

(4º) Si nue

món Giraldo

presenta las

4

x

f x x

ASLACIprocedimie

funciones b

os los siguie

resenta la fu

ciones vertiestra funció

ciones horizestra funció

stra función

3

f x

( )

x

f x x

( )

2

f x

x

h

h

0

0

k

k

s siguientes

2

2 si

2 si 0

si

x x

x

x

IONESento para rep

básicas

entes pasos:

función bási

icales: ón será de la

zontales: ón será de la

n es de la fo

213

3x

2

1

1

2

x si

x si

si

2

2

1

4 3

x

x x

(y

0 trasla

0 trasla

traslada

traslada

Funcion

funciones:

0

0 3

3

x

x

x

S DE FUpresentar de

ca (

a forma

a forma

orma

0

0 2

2

x

x

x

3

3

0

si x

si x

si x

2, , x y x y

, y x y

f x

adamos u

adamos u

h

h

f x

amos unid

amos unid

k

k

f x

nes element

UNCIONe forma ráp

. Pue

. Pue

, segu

3

0

1,...)y

x

2 , y x y

x h

unidades la g

unidades la g

x k

dades la gráf

dades la gráf

h k

tales

NES pida muchas

) que n

s bien, si

s bien, si

uiremos los

1,...

x

gráfica de

gráfica de

f

f

fica de ( )

fica de ( )

f x

f x

s funciones,

notaremos p

s pasos ante

( ) hacia ar

( ) hacia ab

f x

f x

) hacia la izq

) hacia la de

Ma

, conociend

por

eriores, en e

f x

rriba

bajo

quierda

erecha

temáticas I

6

do la gráfica

se orden

6

a

I.E.S. Ram

Cipri

Ejemplo: R

8. FUN

■ Logaritm

El logaritm

para que dé

Los logarite se llaman Propiedade 1)

2)

3)

Transform

4)

Otras prop

                     1 Actualmen

neperiano.

l

l

l

l

món Giraldo

Representar

NCIONEmo de base

mo en base

é dicho núm

tmos de basn neperiano

es:

ación de log

iedades:

                      nte, esta notac

loga MN

loga

M

N

log ma N m

lnlog

lna N

ES LOGe

mero:

se 10 se llams o naturale

garitmos:

                 ción está en

y x

a

0 y a

log la M

log loa M

log am N

n

n

N

a

GARÍT

de un n

man decimaes y se repre

desuso y se

21 2

1

loga N

loga N

og siema N

m

Paso 1º

2º

3º

4º

TMICAS

número N e

ales1 y se repesentaban po

utiliza la not

xN x a

mpre que N

os: º)

º)

º)

º)

S

s el expone

presentabanor o L.

tación p

2y x

1y x

y x

y x

x N

ln

0

log

Dpt

ente al que h

n por log, y

para represen

21

21

21 2

Ma

to. de Matem

hay que ele

los logaritm

ntar el logarit

temáticas I

máticas 7

evar la base

mos de base

tmo natural o

7

e

e

o

I.E.S. Ram

5) L

6) cua

■ Función

Propiedade

1)

2)

3) 4)

5)

6)

Ejercicio: 15. Rep

a) y

b) y

log

món Giraldo

Los logaritm

Conocidos alquier otra

n logaritmo

es: Dom

Img

Continua yBiyectiva,

Curvatura:

presenta laslogy x

10logy x

g : 0,

la

x

loga

loga

liSi 1

li

liSi 1

li

x

x

x

x

a

a

mos de un n

los logaritbase.

o de base

y estrictameluego tiene

s siguientes

a

loga x

0,

0

0

im log

im log

im log

im log

a

a

a

a

x

x

x

x

'

''

f xx

f x

Funcion

número en d

tmos en un

nte monótoinversa que

funciones lc) y d) ly

0 y 1

2

1log

1log

a

a

ex

ex

nes element

dos bases inv

na base ma

ona (creciene es la funci

ogarítmicaslog x

1

2

log x

es f x

tales

versas

ayor que 1

nte si yión exponen

s:

y a

1a

convexa s

cóncava s

son opu

se pueden

y decrecientncial de bas

1

a

si

si

a e

a e

Ma

uestos.

n hallar fác

te si ) se .

1a a

temáticas I

8

cilmente en

8

n

I.E.S. Ram

Cipri

9. FUN

■ Dos func

Propiedade

1) D

2) I

3)4) 5)6)7)

8)

9)

10)

1) D

2) I

3) 4) 5) 6) 7)

8)

9)

10) ■ Dos func

f

g x

f

f

f

f

f

lx

f

g

g

g

g

g

lx

g

f

g

món Giraldo

NCIONEciones expo

es: Dom

Img

está acotano es par

es continues estrictano tiene ex

) es sobrey

Dom

Img

está acot no es pares continu es estrict no tiene

) es sobre

ciones expo

2

1

2

x

x

x

x

f

f f

f

f

f

f

lim f x

1 logf x f

g

g g

g

g

g

g

lim g x

1 logg x

g

(do

10

x

x

x e

x

ES EXPonenciales

da inferiormni impar

ua amente crecixtremos rel

yectiva y co

tada inferiorr ni impar ua tamente decextremos re

eyectiva y c

onenciales

+

0 y limx

2g x

+

y limx

1

2

g x

1nde ln f

PONEN

mente, pero

iente y por tativos

omo consecu

rmente pero

creciente y pelativos

como consec

especiales

m f x

m 0g x

: xf e y

NCIALE

no superior

tanto inyect

uencia, es b

o no superio

por tanto iny

cuencia, es

0

ln )x y

ES

rmente

tiva (luego t

biyectiva

ormente

yectiva (lue

biyectiva

Dpt

tiene invers

ego tiene inv

Ma

to. de Matem

sa)

versa)

temáticas I

máticas 99

I.E.S. Ram

Propiedade

1)

2)

3) 4) 5)

6)

7)

8)

■ Función

Propiedade

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ejercicio: 16. Rep

:

f

f

món Giraldo

es: Dom

Img

son est son

son

n Exponenc

es: Dom

Img

es contin

Curvatura:

presenta las

f

f y f g

y f g

y f g

limx

f x

y f g

1 lnf x

0,

:=xf x a e

f

f 0 1 yf

f x y f

es estricf

Para 0

Para 1

a

a

Dom

Img

n estrictametán acotadasn continuas

n sobreyect

cial

nua

s siguientes

g

g

limx

g x

n y x g

ln con x ae a

y 1f a

f x f y

cctamente

d

1 se tien

1 se tiene qu

a

es cof x

Funcion

ente creciens inferiorme

ivas y por t

funciones e

0 y limx

1 logg x

0 y a a

x ya

creciente si

decreciente s

a

limne que

lim

limue

lim

x

x

x

x

f

f

onvexa

nes element

ntes y comoente pero no

tanto, biyect

exponencial

m lx

f x

g x

1

x ya a

1

si 0 1

a

a

m 0

m

0

f x

f x

x

x

tales

consecuenco superiorm

tivas

les:

lim g x

cia inyectivmente

Ma

vas

temáticas I

100

I.E.S. Ram

Cipri

a) y

b) y

10. FU

■ Función

Propiedade

1)

2) 3)

4)

5)

6)

7)

8)

■ Función

sen

cos

món Giraldo

1

2

x

y

2xy

NCIONn seno

es: La función

Es continu

Es pe

Tiene máx

Cortes con

tal que

n coseno

n : 1,

sen x x

sen 1 x

2

sen es estri

sen : ,2

1sen

sen

s : 1,

cosx x

NES TR

n seno es im

a , e

eriódica:

imos relativ

n el eje OX:

Función sen

1x

x sen

ictamente

1,12

arcsen :

n arcsen x

1x

c) y e

d) y e

RIGONO

mpar:

es decir, est

vos en

biyectiva

no

sen

n 2x

creciente en

decreciente

2

conx k

1

1,12

arcsenx

xe

xe

OMÉT

tá acotada

y m

a

sen x x

sen x

3n 2

2

e en 22

2 ,1k

n k

,2 2

n sen x

RICAS

mínimos rel

Fun

1 ,2

3, 2

2

k

k

Dpt

S

lativos en

nción arco sen

2 k

k

Ma

to. de Matem

no

32 ,

2k

temáticas I

máticas 11

. 1

I.E.S. Ram Propiedade

1)

2) 3)

4)

5)

6)

7)

8)

■ Función

Propiedade

1) La

2) Es 3) No 4) Es

5) Cor6) 7) No

8)

tg :

tg

tg :

món Giraldo

es: La función

Es continu

Es pe

Tiene máx

Cortes con

n tangente

es: función tan

continua está acotad

periódi

rtes con el e

tiene extrem

cos 1 x

2

cos es estri

cos : 0,1cos

:

tg

k

x x

es estrictam

: ,2 2

x

n coseno es p

a , e

eriódica:

imos relativ

n el eje OX:

b

Func

ngente es im

da ni superioica:

eje OX:

mos relativo

biyec

x co

ictamente

1,1

arccos :

:2

k

tg x x

mente crecie

tg x

Funcion

par:

es decir, est

vos en

biyectiva

ción coseno

mpar:

or ni inferio

os

ctiva

cos x

s 2x

creciente en

decreciente2 k

2x k

1,1 0,

cos arc

tg x

tg x con k k

ente

tg

nes element

tá acotada

y mínim

tal que

o

ormente

cos x x

cos x

n 2 1

e en 2 ,

k

k

,1k

con k k

ccos x x

tg x x

1g arctg :

tales

mos relativo

Fu

, 2

2 1

k

k

arccos co

,2

os en

unción arco

tal que

2k

os x

2

Ma

.

coseno

1 , 1k

temáticas I

122

I.E.S. Ram

Cipri

Ejercicio: 17. Rep

Función se

Completa decimales.

x

0º

0

y  

x

195

13

12

y  

 

Función co

Completa decimales.

x

0º

0

y

món Giraldo

Func

presenta las

eno: sey

la siguient

15º

12

5º 210º

2

7

6

oseno: y

la siguient

15º

12

ión tangent

s funciones c

en x

te tabla (x

30º 45º

6

4

225º 240º

5

4

4

3

cos x

te tabla (x

30º 45º

6

4

e

circulares

viene dad

60º 7

3

5

º 255º 2

17

12

3

viene dad

60º 7

3

5

tg arctg

da en grado

75º 90º

5

12

2

270º 285º

3

2

19

12

da en grado

75º 90º

5

12

2

g arcx x

Fun

os sexages

105º 12

7

12

2

3

300º 3

5

3

7

os sexages

105º 12

7

12

2

3

ctg tg x

Dpt

nción arco t

imales y e

20º 135º

3

3

4

15º 330º

7

4

11

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temáticas I

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I.E.S. Ramón Giraldo Matemáticas I

Cipri Dpto. de Matemáticas 17

Problemas: 1. La factura del gas de una familia, en septiembre, fue de 24,82 euros por 12 m3, y en octubre, de 43,81 por 42 m3.

a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m3 consumidos y represéntala. b) ¿Cuánto pagarán si consumen 28 m3?

2. La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máximo de 15 g. Representa la función peso del paciente-cantidad de medicamento y halla su expresión analítica.

3. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula 280 64 16h t t (t en segundos y h en metros).

a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura máxima que alcanza la pelota. c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?

4. Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 electrodomésticos menos.

a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) ¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos?

5. Un vendimiador ha de recoger 10 000 kg de uva que hoy vendería a 50 céntimos el kilo. Cada día que pasa se estropean 500 kg y el precio aumenta en 5 céntimos el kg. ¿Cuánto ha de vendimiar para obtener el máximo beneficio y cuál será éste? 6. Los controles de calidad de una cadena de montaje de ordenadores han obtenido que el porcentaje de ordenadores que siguen funcionando al cabo de t años viene dado por:

4100

5

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a) Representa gráficamente esta función. b) ¿Tiene sentido real toda la gráfica obtenida? c) ¿Qué porcentaje de ordenadores siguen funcionando al cabo de dos años? ¿Y al cabo de cinco años? d) ¿Qué significado tiene el punto de corte con el eje de ordenadas? e) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el porcentaje de ordenadores que sigan funcionando sea del 80 %? ¿Y para que funcionen la mitad?

7. Algunas flores como los tulipanes se reproducen por medio de bulbos. Supongamos que un bulbo de tulipán origina otros 5 nuevos que se plantan al año siguiente. Calcula el número de tulipanes que habrá al cabo de 5 años. ¿Cuántos años han de pasar para que haya 15 625 tulipanes? Encuentra la fórmula que describe la multiplicación de los tulipanes.

8. Un cultivo de bacterias comienza con 100 células. Media hora después hay 435. Si ese cultivo sigue un crecimiento exponencial del tipo ty ka (t en minutos), calcula k y a y representa la función. ¿Cuánto tardará en llegar a 5 000 bacterias?

I.E.S. Ram 9. En profundida

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10. De

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temáticas I

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I.E.S. Ramón Giraldo Matemáticas I

Cipri Dpto. de Matemáticas 19

La función que relaciona la cantidad de calor C t , contenida en un gramo de agua, con la

temperatura t de dicho gramo de agua cuando 10º ,10ºt , es:

0,5 si 10º 0º

45 si 0º

85 si 0º 10º

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C t t

t t

Representa gráficamente dicha función.

16. La función f x 400x 400

x 18 nos da el número de pulsaciones por minuto de una persona

que está aprendiendo a teclear en un ordenador en función del número de clases particulares (x), de una hora, a las que asiste.

a) ¿Cuántas pulsaciones por minuto da al comienzo de las clases y cuántas dará al cabo de 20 clases?

b) ¿Cuántas horas debe practicar para dar 300 pulsaciones por minuto? c) ¿Cuál es el límite de pulsaciones, independientemente del número de clases recibidas?

17. Sobre un segmento AB , que mide 20 cm, toma un punto P a una distancia de x cm del extremo A , que divide al segmento en dos partes. Sobre cada una de las partes se construye un triángulo equilátero. Escribe la expresión de la función que nos da el área delimitada por los dos triángulos, en función de la distancia x . Determina su dominio y describe sus características generales. ¿Habrá algún valor para el que la función alcance un valor mínimo? En caso afirmativo calcúlalo y halla el área mínima que determinan los dos triángulos. Indicaciones:

1) La situación que se describe es la del dibujo.

20 m

20 xx

 2) La fórmula que da el área de un triángulo equilátero en función del lado a es:

23Área

4a