t_01_CD_RecDid_2eso_mec

PGINA 34

M ltiplos y divisores

1Encuentra cuatro parejas mltiplo-divisor entre los siguientes nmeros:

1Soluciones a los ejercicios y problemasPg. 1

Unidad 1. Divisibilidad y nmeros enteros

143 y 13 124 y 31 364 y 13 364 y 52

143 12

180 31

124

52

364

13

2 Responde justificando tu respuesta.a) Es 132 mltiplo de 11?b) Es 11 divisor de 132?c) Es 574 mltiplo de 14?d) Es 27 divisor de 1 542?

a) S, 132 = 12 11

b) S, 132 : 11 = 12

c) S, 574 = 41 14

d) No, 1 542 = 57 27 + 3 8 divisin con resto.

3 Calcula.a) Los cinco primeros mltiplos de 10.b) Los cinco primeros mltiplos de 13.c) Los cinco primeros mltiplos de 31.

a) 10, 20, 30, 40 y 50.

b) 13, 26, 39, 52 y 65.

c) 31, 62, 93, 124 y 155.

4 Calcula.a) Todos los divisores de 18.b) Todos los divisores de 23.c) Todos los divisores de 32.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1 y 23.

c) 1, 2, 4, 8, 16 y 32.

5 Copia estos nmeros y selecciona:

667190103105

156220315421708

a) Los mltiplos de 2.b) Los mltiplos de 3.c) Los mltiplos de 5.

a) 66, 90, 156, 220 y 708.

b) 66, 90, 105, 156 y 708.

c) 90, 105, 220 y 315.

6 Copia estos nmeros, rodea con un crculo los mltiplos de 3 y tacha los mltiplos de 9:33 41 54 87 108112 231 341 685

33415487108

112231341685

N meros primos y compuestos

7 Escribe:a) Los diez primeros nmeros primos.b) Los nmeros primos comprendidos entre 50 y 60.c) Los nmeros primos comprendidos entre 80 y 100.d) Los tres primeros nmeros primos mayores que 100.

a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

b) 53 y 59.

c) 83, 89 y 97.

d) 101, 103 y 107.

8 Mentalmente, sin lpiz ni papel, separa los nmeros primos de los com-puestos:

47101517

2431415167

Primos: 7, 17, 31, 41 y 67.

Compuestos: 4, 10, 15, 24 y 51.

9 Descompn, mentalmente, en el mximo nmero de factores las siguien- tes cantidades:

68101415 18

2024252730 42

6 = 2 3 14 = 2 7 20 = 22 5 27 = 33 8 = 23 15 = 3 5 24 = 23 3 30 = 2 3 5 10 = 2 5 18 = 2 32 25 = 52 42 = 2 3 7

10 Descompn en factores primos.a) d) 105g) 180e) 120h) 200f ) 135i) 250a) 48 = 24 3b) 54 = 2 33c) 90 = 2 32 5d) 105 = 3 5 7e) 120 = 23 3 5f ) 135 = 33 5g) 180 = 22 32 5h) 200 = 23 52i) 250 = 2 53Descompn en el mximo nmero de factores:a) 378b) 1 144c) 1 872a) 378 = 2 33 7b) 1 144 = 23 11 13c) 1 872 = 24 32 1348 b) 54 c) 90

11

M nimo comn mltiplo y mximo comn divisor

12 Calcula.a) Los diez primeros mltiplos de 10.b) Los diez primeros mltiplos de 15.c) Los primeros mltiplos comunes de 10 y 15.d) El mnimo comn mltiplo de 10 y 15.

a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100.

b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150.

c) 30, 60, 90,

d) 30

13 Calcula mentalmente.a) mn.c.m. (2, 3)b) mn.c.m. (6, 9)c) mn.c.m. (4, 10)

d) mn.c.m. (6, 10)

a) mn.c.m. (2, 3) = 6

d) mn.c.m. (6, 10) = 30e) mn.c.m. (6, 12)

b) mn.c.m. (6, 9) = 18

e) mn.c.m. (6, 12) = 12f ) mn.c.m. (12, 18)

c) mn.c.m. (4, 10) = 20

f ) mn.c.m. (12, 18) = 36

14 Calcula.

a) mn.c.m. (12, 15) b) mn.c.m. (24, 60)

c) mn.c.m. (48, 54) d) mn.c.m. (90, 150)

e) mn.c.m. (6, 10, 15) f ) mn.c.m. (8, 12, 18)

a) mn.c.m. (12, 15) = 60b) mn.c.m. (24, 60) = 120

c) mn.c.m. (48, 54) = 432d) mn.c.m. (90, 150) = 450

e) mn.c.m. (6, 10, 15) = 30f ) mn.c.m. (8, 12, 18) = 72

15 Escribe:a) Todos los divisores de 18.b) Todos los divisores de 24.c) Los divisores comunes de 18 y 24.d) El mximo comn divisor de 18 y 24.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

c) 1, 2, 3 y 6.

d) 6

PGINA 35

16 Calcula mentalmente.

a) mx.c.d. (4, 8) b) mx.c.d. (6, 9)

c) mx.c.d. (10, 15) d) mx.c.d. (12, 16)

e) mx.c.d. (16, 24) f ) mx.c.d. (18, 24)

a) mx.c.d. (4, 8) = 4b) mx.c.d. (6, 9) = 3

c) mx.c.d. (10, 15) = 5d) mx.c.d. (12, 16) = 4

e) mx.c.d. (16, 24) = 8f ) mx.c.d. (18, 24) = 6

17 Calcula.

a) mx.c.d. (36, 45) b) mx.c.d. (48, 72)

c) mx.c.d. (105, 120) d) mx.c.d. (135, 180)

e) mx.c.d. (8, 12, 16) f ) mx.c.d. (45, 60, 105)

a) mx.c.d. (36, 45) = 9b) mx.c.d. (48, 72) = 24

c) mx.c.d. (105, 120) = 15d) mx.c.d. (135, 180) = 45

e) mx.c.d. (8, 12, 16) = 4f ) mx.c.d. (45, 60, 105) = 15

P roblemas

18 De cuntas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermelada en cajas iguales? Indica, en cada caso, el nmero de cajas necesarias y el nme- ro de botes por caja.

Los 80 botes se pueden envasar de las 10 formas distintas que corresponden a las di- ferentes formas de descomponer 80 en dos factores.80 = 24 5 = 2 2 2 2 5 8 las descomposiciones en 2 factores son:

1Soluciones a los ejercicios y problemasPg. 10

2 40

4 20

8 10

2 cajas de 40 botes 40 cajas de 2 botes

4 cajas de 20 botes 20 cajas de 4 botes

8 cajas de 10 botes 10 cajas de 8 botes

16 5

1 80

16 cajas de 5 botes 5 cajas de 16 botes

1 caja de 80 botes 80 cajas de 1 bote

19 Un rollo de cable mide ms de 150 m y menos de 200 m. Cul es su lon- gitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y tambin en tro- zos de 18 m?

La longitud del rollo es de 180 m.

mn.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer mltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200 es 180.

20 Un agricultor riega su campo cada 10 das y lo fumiga cada 18. Cada cunto tiempo le coinciden ambos trabajos en la misma jornada?

Cada 90 das.

mn.c.m. (10, 18) = 90

21 De cierta parada de autobs parten dos lneas, A y B, que inician su acti- vidad a las 7 h de la maana. La lnea A presta un servicio cada 24 minutos, y la lnea B, cada 36 minutos. A qu hora vuelven a coincidir en la parada los autobuses de ambas lneas?

A las 8 h 12 min.

mn.c.m. (24, 36) = 72

72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min

22 Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo ms grandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. Cunto medir cada trozo?

Cada trozo medir 10 metros.

mx.c.d. (20, 30) = 10

23 Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de an- cho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna. Qu medida tendr el lado de cada baldosa, sabiendo que se han empleado las mayores que haba en el almacn?

30 cm de lado.

12,3 m = 123 dm 9 m = 90 dm

8 mx.c.d. (90, 123) = 3

3 dm = 30 cm = 0,3 m

24 Julia ha formado el cuadrado ms pequeo posible uniendo piezas rec- tangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm. Cunto mide el lado del cuadra- do? Cuntas piezas ha empleado?

El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas.

mn.c.m. (12, 18) = 36

(36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectngulo en el lado del cuadrado.

(36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectngulo en el lado del cuadrado.

3 2 = 6 piezas

25 Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conser- va de pimiento en cajas del mismo nmero de botes, y sin mezclar ambos pro- ductos en la misma caja. Cul es el mnimo nmero de cajas necesarias?Cuntos botes irn en cada caja?

Se necesitan 12 cajas como mnimo.

Habr 25 botes en cada caja.

Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 o de 25 botes. Para utilizar un mnimo nmero de cajas envasaremos en cajas de 25 botes.

125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates 175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos

8 5 + 7 = 12 cajas en total

26 En un horno de bollera se han fabricado 2 400 magdalenas y 2 640 man- tecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo nmero de unida- des y sin mezclar ambos productos. Cuntas magdalenas o cuntos manteca- dos se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el nmero debe ser superior a 15 e inferior a 30?

Se pueden poner 16, 20 24 unidades por bolsa.

2 400 = 25 3 522 640 = 24 3 5 11

Divisores comunes de 2 400 y 2 640que son mayores de 15 y menores de 30 8

8 24 = 1623 3 = 2422 5 = 20

P rofundiza

27 Se dice que dos nmeros son primos entre s cuando su nico divisor co- mn es la unidad. Por ejemplo:

32 = 2 2 2 2 235 = 5 7

Son primos entre s.

Escribe otras tres parejas de nmeros primos entre s.

Por ejemplo:

4 y 15 4 = 22

15 = 3 5

14 y 15 14 = 2 7

15 = 3 5

22 y 39 22 = 2 11

39 = 3 13

28 Justifica la siguiente afirmacin:

Si a es mltiplo de b y b es mltiplo de c, entonces a es mltiplo de c.

a = (k h ) c a = k b

b = k b b = h c

8 a = ? c

b = h c

8 a = k b = k (h c ) = (k h ) c 8 a es mltiplo de c.

29Demuestra que si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a es divisor de c.

c = (m n) a b = a m

b = a m c = b n

8 c = ? a

c = b n

8 c = b n = (a m) n = (m n) a 8 a es divisor de c.

30 Si m es mltiplo de n, calcula:a) mn.c.m. (m, n)b) mx.c.d. (m, n)

a) mn.c.m. (m, n) = m

b) mx.c.d. (m, n) = n

PGINA 36

S uma y resta de nmeros enteros

31 Calcula mentalmente.a) 5 9 b) 5 11 c) 13 9d) 22 30 e) 21 33 f ) 46 52g) 8 14 h) 21 15 i) 33 22j) 13 + 18 k) 22 + 9 l) 37 + 21

a) 4b) 6c) 4

d) 8e) 12f ) 6

g) 22h) 36i) 55

j) 5k) 13l) 16

32 Calcula.a) 5 8 4 + 3 6 + 9 b) 10 11 + 7 13 + 15 6c) 9 2 7 11 + 3 + 18 10 d) 7 15 + 8 + 10 9 6 + 11

a) 1b) 2c) 0d) 8

33 Quita parntesis y calcula.a) (+5) (3) (+8) + ( 4)b) (7) (+5) + (6) + (+4)c) +(9) (+13) (11) + (+5)d) (+8) + (3) (15) (+6) (+2)

a) 4b) 0c) 6d) 4

34 Calcula.a) 3 (5 + 7 10 9)b) 4 + (8 6 10) (6 10 + 4)c) (7 11 4) (9 6 13)d) (6 3 5) ( 4 7 + 15)

a) 10b) 4c) 2d) 2

35 Opera.a) 16 + [3 9 (11 4)]b) 8 [(6 9) (7 13)]c) (6 15) [1 (1 5 4)]d) (2 12 + 7) [(4 10) (5 15)]e) [9 (5 17)] [11 (6 13)]

a) 3b) 5c) 18d) 7e) 3

36 Quita parntesis y calcula.a) 6 (5 [4 (3 2)])b) 6 (7 [8 (9 10)])c) 10 + (11 [12 + (13 14)])d) 10 (9 + [8 (7 + 6)])e) [(3 8) 5] + (11 + [7 (3 4)])a) 4b) 8c) 10d) 6e) 13

M ultiplicacin y divisin de nmeros enteros

37 Opera aplicando la regla de los signos.a) (5) (6) b) (21) : (+3)c) ( 4) (+7)d) (+42) : (6)e) (6) (8) f ) (+30) : (+5)g) (+10) (+5)h) (63) : (9)i) (9) (5) j) (+112) : (14)

a) 30b) 7c) 28d) 7e) 48

f ) 6g) 50h) 8i) 45j) 8

38 Obtn el valor de x en cada caso:a) x (9) = +9b) (5) : x = 1 c) (5) x = 45d) x : ( 4) = +3e) x (+6) = 42 f ) (+28) : x = 7

a) x = 1b) x = 5c) x = 9

d) x = 12e) x = 7f ) x = 4

39 Calcula.a) (2) [(+3) (2)] b) [(+5) (3)] (+2)c) (+6) : [(30) : (15)] d) [(+40) : ( 4)] : (5)e) (5) [(18) : (6)] f ) [(8) (+3)] : ( 4)g) [(21) : 7] [8 : ( 4)] h) [6 (10)] : [(5) 6]

a) 12b) 30c) 3d) 2

e) 15f ) 6g) 6h) 2

O peraciones combinadas con nmeros enteros

40Calcula.

a) 5 4 3b) 2 9 7c) 4 5 6 3

d) 2 8 4 5

a) 7

d) 4e) 16 4 7 + 2 5 19

b) 11

e) 21f ) 5 6 21 3 7 + 12

c) 2 f ) 0

41 Opera dentro del parntesis y, despus, multiplica.a) 3 (9 11)b) 5 (4 9)c) 5 (9 4) 12d) 1 + 4 (6 10)e) 6 (8 12) 3 (5 11)f) ) 4 (13 8) + 3 (9 15)

a) 3 (9 11) = 3 (2) = 6

b) 5 (4 9) = 5 (5) = 25

c) 5 (9 4) 12 = 5 5 12 = 25 12 = 13

d) 1 + 4 (6 10) = 1 + 4 ( 4) = 1 16 = 15

e) 6 (8 12) 3 (5 11) = 6 ( 4) 3 ( 6) = 24 + 18 = 6 f ) 4 (13 8) + 3 (9 15) = 4 5 + 3 ( 6) = 20 18 = 2

42 Calcula y observa que el resultado vara segn la posicin de los parntesis.a) 17 6 2 b) (17 6) 2c) (10) 2 (3) d) [(10) 2] (3)e) (3) (+5) + (2) f ) (3) [(+5) + (2)]

a)17 6 2 = 17 12 = 5

b) (17 6) 2 = 11 2 = 22

c) (10) 2 (3) = 10 + 6 = 4

d) [(10) 2] (3) = (12) (3) = 36

e) (3) (+5) + (2) = 15 2 = 17

f) ) (3) [(+5) + (2)] = (3) (+3) = 9

PGINA 37

43 Calcula paso a paso.a) 5 ( 4) 2 (6) + 13b) 6 (+4) + (3) 7 + 38c) (2) (+8) (5) (6) + (9) (+4)d) (9) (+5) (8) (+7) (+4) (6)

a) 5 ( 4) 2 (6) + 13 = 20 + 12 + 13 = 20 + 25 = 5

b) 6 (+4) + (3) 7 + 38 = 24 21 + 38 = 45 + 38 = 7

c) (2) (+8) (5) (6) + (9) (+4) = 16 30 36 = 82

d) (9) (+5) (8) (+7) (+4) (6) = 2 496

44 Opera.a) 5 [11 4 (11 7)]b) ( 4) [12 + 3 (5 8)]c) 6 [18 + ( 4) (9 4)] 13d) 4 (2) [8 3 (5 7)]e) 24 (3) [13 4 (10 5)]f) ) 6 (7 11) + (5) [5 (8 2) 4 (9 4)]

a) 5 [11 4 (11 7)] = 5 [11 4 4] = 5 [11 16] = 5 (5) = 25

b) ( 4) [12 + 3 (5 8)] = ( 4) [12 + 3 (3)] = ( 4) [12 9] = ( 4) 3 = 12

c) 6 [18 + ( 4) (9 4)] 13 = 6 [18 + ( 4) 5] 13 = 6 [18 20] 13 == 6 (2) 13 = 12 13 = 25

d) 4 (2) [8 3 (5 7)] = 4 + 2 [8 3 (2)] = 4 + 2 [8 + 6] == 4 + 2 [2] = 4 4 = 0

e) 24 (3) [13 4 (10 5)] = 24 + 3 [13 4 5] = 24 + 3 4 = 24 + 12 = 36 f ) 6 (7 11) + (5) [5 (8 2) 4 (9 4)] = 6 ( 4) + (5) [5 6 4 5] == 24 5 [30 20] = 24 5 10 = 24 50 = 74

45 Calcula paso a paso.a) 10 : [8 12 : (11 9)]b) 6 : (13 15) [(8 4) : (2) 6 : (3)]

a) 10 : [8 12 : (11 9)] = 10 : [8 12 : 2] = 10 : [8 6] = 10 : 2 = 5

b) 6 : (13 15) [(8 4) : (2) 6 : (3)] = 6 : (2) [4 : (2) + 2] == 3 [2 + 2] = 3

P otencias de nmeros enteros

46Calcula.a) (2)1d) (2)4g) (2)7

b) (2)2e) (2)5h) (2)8

c) (2)3f ) (2)6i) (2)9

a) 2b) 4c) 8

d) 16e) 32f ) 64

g) 128h) 256i) 512

47Calcula.a) (5)4

b) (+4)5

c) (6)3

d) (+7)3e) (8)2f ) (10)7

a) 625b) 1 024c) 216

d) 343e) 64f ) 10 000 000

48 Observa(2)3 = (2) (2) (2) = 8 (+2)3 = (+2) (+2) (+2) = +823 = 2 2 2 = 8 +23 = +2 2 2 = +8y calcula.a) (3)4 b) (+3)4 c) 34 d) +34

a) 81b) 81c) 81d) 81

49 Expresa como potencia de un nico nmero.a) 104 : 54b) 127 : ( 4)7c) (9)6 : 36

d) 26 26e) ( 4)5 (2)5f) 24 (5)4

a) 104 : 54 = (2 5)4 : 54 = (24 54) : 54 = 24b) 127 : ( 4)7 = (3 4)7 : ( 4)7 = (37 47) : ( 4)7 = 37c) (9)6 : 36 = 312 : 36 = 36d) 26 26 = 212e) ( 4)5 (2)5 = (45) (25) = 45 25 = 210 25 = 215f) 24 (5)4 = 24 54 = (2 5)4 = 104

50 Reduce a una sola potencia.a) x 4 x 6 b) m 3 m 4c) m 8 : m 6 d) x 7 : x 6e) (x 2)5 f) (m 4)3g) [a 10 : a 6]2 h) (a a 3)3i) (x 5 : x 2) x 4 j) (x 6 x 4) : x 7a) x 4 x 6 = x 10 b) m 3 m 4 = m 7c) m 8 : m 6 = m 8 : m 6 = m 2 d) x 7 : x 6 = xe) (x 2)5 = x 10 f) (m 4)3 = m 12g) [a 10 : a 6]2 = a8h) (a a 3)3 = a12i) (x 5 : x 2) x 4 = x 7 j) (x 6 x 4): x 7 = x 3

51 Expresa como una potencia nica.a) 43 4 b) 52 (5)3c) (6)8 : (6)5 d) 78 : (7)e) (52 54) : 53 f) [74 (7)4] : (7)6g) (24)3 : 29 h) ( 4)7 : (42)2i) [(3)4]3 : [(3)3]3 j) (52)5 : [(5)3]2a) 43 4 = 44 b) 52 (5)3 = 55c) (6)8 : (6)5 = 63 d) 78 : (7) = 77e) (52 54): 53 = 53 f) [74 (7)4] : (7)6 = 72g) (24)3 : 29 = 23 h) ( 4)7 : (42)2 = 43i) [(3)4]3 : [(3)3]3 = 33 j) (52)5 : [(5)3]2 = 54

52 Opera y calcula.a) [29 : (23)2] 53b) 102 : [(52)3 : 54]c) 63 : [(27 : 26) 3]2d) [(62)2 44] : (23)4a) [29 : (23)2] 53 = [29 : 26] 53 = 23 53 = 103 = 1 000b) 102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4c) 63 : [(27 : 26) 3]2 = 63 : [2 3]2 = 63 : 62 = 6d) [(62)2 44] : (23)4 = [64 44] : (23)4 = [6 4]4 : (23)4 = [3 23]4 : (23)4 == [(3 23): 23]4 = 34 = 81

R aces de nmeros enteros

53 Calcula.

a) 49

d) 152

g) 2 500

b) 72

e) 225

h) 502

c) 49

f ) 225

i) 2 500

a) 7b) 7c) No existe.

d) 15e) 15f ) No existe.

g) 50h) 50i) No existe.

54 Calcula las races siguientes:

a) x 2

d) a4

g) m 6

b) (x)2

e) (a)4

h) (m)6

c) x 2

f ) a 4

i) m 6

a) xb) xc) No existe.d) a2e) a2f ) No existe.g) m 3 h) m 3 i) No existe.

55 Calcula, si existen, estas races:

a) 31

d) 4625

b) 31

e) 4625

c) 364

f) ) 410 000

a) 1b) 1c) 4

d) 5e) No existe.f ) 10

56 Calcula.

a) 3a 3

b) 4x 4

c) 5m 5

a) ab) xc) m

57 Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar. 4x12 = x3, puesto que (x3)4 = x3 4 = x12

a) 3a 12

b) 5m10c) x10

a) 3a 12 = a4, ya que (a4)3 = a4 3 = a12

b) 5m10 = m 2, ya que (m 2)5 = m 2 5 = m 10

c) x10 = x 5, ya que (x 5)2 = x 10 y (x 5)2 = x 10