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TURBULENCIA

SIMPLIFICACIÓN DE LAS ECUACIONESDE CONTINUIDAD Y DE NAVIER-STOKES

PARA FLUJO TURBULENTO

CONTENIDO

1. CARACTERÍSTICAS DEL FLUJO TURBULENTO 2

2. FLUCTUACIONES Y MAGNITUDES ALISADASTEMPORALMENTE 2

3. AJUSTE DE TIEMPO DE LAS ECUACIONES DEVARIACIÓN PARA UN FLUIDO INCOMPRESIBLE 7

4. EXPRESIONES SEMIEMPÍRICAS PARA LOSESFUERZOS DE REYNOLDS 10

5. APÉNDICE 12

6. BIBLIOGRAFÍA 13

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Fenómenos de Transporte / Turbulencia / Simplificación de las ecuaciones de cambio para…

2

TURBULENCIA

1. CARACTERÍSTICAS DEL FLUJO TURBULENTO

Hasta este punto se ha abordado el estudio de problemas de flujo laminar. Como se ha visto, el

único factor que limita la aplicación de las ecuaciones de variación es la complejidad matemática que se

encuentra en los sistemas de flujo laminar en los que intervienen varios componentes de la velocidad.

El flujo de un fluido en régimen turbulento está constituido por torbellinos, que son de tamaños u

órdenes distintos, donde un torbellino de mayor tamaño se compone de otros de menor orden hasta llegar

a tamaños microscópicos. Los diferentes torbellinos no mantienen por mucho tiempo su identidad (su

duración es más o menos efímera según su tamaño) ya que pierden la misma cuando recorren una

distancia del orden de su diámetro, dando lugar a la formación de nuevos torbellinos con distintos

tamaños. Por consiguiente en el seno de un flujo turbulento hay un espectro de turbulencia debido a los

diversos tamaños de los torbellinos coexistentes en un momento dado.

En un tiempo y volumen determinado existe una amplia gama de tamaños de torbellinos. El

tamaño del torbellino máximo es del mismo orden que la dimensión mínima de la corriente turbulenta, el

de los torbellinos más pequeños es de alrededor de 1 milímetro, mientras que tamaños menores

desaparecen rápidamente por acción de las fuerzas viscosas. Teniendo en cuenta que los torbellinos

menores contienen alrededor de 1016 moléculas, la turbulencia no es un fenómeno molecular sino que es

microscópico, es decir, no puede tratarse por observación de las moléculas individuales.

En consecuencia, las ecuaciones de continuidad y movimiento son aplicables al flujo turbulento, lo

cual es lógico, si se tiene en cuenta que el tamaño medio de los remolinos es en este caso grande en

comparación con el recorrido libre medio de las moléculas del fluido. Si se pudiesen resolver estas

ecuaciones se obtendrían los valores instantáneos de la velocidad y la presión, que en el caso del flujo

turbulento presentan grandes fluctuaciones alrededor de sus valores medios.

En este capítulo se indicará cómo pueden promediarse las ecuaciones de variación en un intervalo

de tiempo corto, para obtener las ecuaciones de variación de «tiempo ajustado». Estas ecuaciones

describen las distribuciones de velocidad y presión de tiempo ajustado; estos perfiles corresponderían a la

velocidad medida con un tubo de Pitot (dispositivo de medición de velocidad en un campo de flujo) y las

presiones determinadas con un manómetro.

2. FLUCTUACIONES Y MAGNITUDES ALISADAS TEMPORALMENTE

Teniendo en cuenta que la descripción del movimiento turbulento es difícil por su naturaleza

aleatoria, resulta oportuno intentar una descripción mediante un estudio estadístico del comportamiento

de un flujo.

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Fig. 1. Turbulencia en el vórtice de punta en el ala de un avión.

Fig. 2. Flujo alrededor de un objeto sumergido; el flujo aguas arriba es laminar.

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4

De esta manera, si representamos la variación de un componente de la velocidad instantánea en un punto

dado del campo de flujo turbulento en función del tiempo, para ese punto y también en distintos puntos

del mismo campo, los modelos de velocidad en un instante dado son distintos, tal como se puede observar

en la Fig.3.

Por consiguiente, habrá que definir una velocidad para un momento y posición determinada, quellamaremos velocidad instantánea, que representará el valor que adquiere en el punto en ese momento

determinado y que cambiará inmediatamente para un instante posterior .

Si se toma un lapso lo suficientemente prolongado, tal que pueda ser tratado estadísticamente

pero que por otra parte no sea afectado por perturbaciones externas a las condiciones de flujo

(modificaciones rápidas del caudal, por ejemplo), los valores de la velocidad instantánea se pueden

promediar para ese lapso.

Observando la figura mencionada podemos notar que en cada momento, la velocidad instantánea

puede considerarse la suma algebraica de dos velocidades: (i) una es el promedio de

V e l o c i d a d

Tiempo

0.05 s

Velocidad de fluctuación,

Velocidad alisada, z v

Velocidad instantánea, z v

,

z v

Fig.3 . Oscilación del componente de velocidad para el flujo turbulento en estadoestacionario.

velocidad en el lapso considerado y que se denomina velocidad alisada temporalmente o de tiempoajustado y (ii) otra es la diferencia entre la velocidad instantánea y la alisada, que puede estar por debajo o

por encima de esta última y que se conoce como velocidad fluctuante o de fluctuación turbulenta,

originada por el efecto de la turbulencia y la existencia de torbellinos.

La representación de la Fig. 3 corresponde a una componente de la velocidad ( z v ), pero el

resultado es similar para las otras direcciones. Por lo tanto se puede escribir:

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(Ec. 1)

Iguales consideraciones se pueden formular para la presión local, obteniendo una representación similar,

donde la presión instantánea es la suma de una presión alisada (tal como la indicaría un instrumento

ordinario) y una presión fluctuante originada en la turbulencia.

(Ec. 2)

Si fijamos nuestra atención sobre el comportamiento del fluido en un punto de un tubo en el que el

flujo es turbulento, y suponiendo que para dicho punto se observa que la diferencia de presión que da lugar

al flujo aumenta lentamente, de manera que la velocidad media aumenta también lentamente, se tendrá

que el componente axial de la velocidad se comportará en la forma que se indica en la Fig. 4. La velocidad

instantánea v z , es una función que oscila irregularmente.

,

x x xvvv

,

y y yvvv

,

z z z vvv

, p p p

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V e l o c i d a d

Tiempo 0.05 s

Velocidad de fluctuación,

Velocidad alisada, z v

Velocidad instantánea, z v

,

z v

Fig.4 . Oscilación del componente de velocidad para el flujo turbulento en estadotransitorio.

Definimos la velocidad de tiempo ajustado z

v , tomando un promedio de tiempo de v z , en un

intervalo de tiempo Δt que es grande con respecto al tiempo de oscilación turbulenta, pero pequeño en

relación con el tiempo de variación de la diferencia de presión que da lugar al flujo:

(Ec. 3)

Igualmente podrá definirse:

(Ec. 4)

Debe destacarse que si pretende alisar las magnitudes fluctuantes (velocidad o presión), el resultado es

cero, ya que oscilan alrededor de un valor medio (la velocidad o la presión ajustada) y su promedio en el

tiempo será nulo, o en otras palabras, su suma algebraica es cero.

Δt t

t

z z dt v

Δt

1v

Δt t

t

dt p Δt 1 p

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7

(Ec. 5)

Por otra parte, cabe mencionar que el valor medio cuadrático de las velocidades o presiones instantáneas

no es nulo.

(Ec. 6)

Una forma de medir la intensidad de la turbulencia consiste en utilizar la raíz de la velocidad cuadrática

media y relacionarla con algún valor característico, tal como la velocidad alisada media de flujo, quedando:

(Ec. 7)

Que es una medida de la magnitud de la perturbación turbulenta. Esta relación, que se conoce con el

nombre de «intensidad de turbulencia», puede alcanzar valores de 1 a 10 por ciento para el flujo en un

tubo.

3. AJUSTE DE TIEMPO DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA UN FLUIDO INCOMPRESIBLE

En esta sección se deducen las ecuaciones que describen la velocidad y presión de tiempo ajustado

para un fluido incompresible. Para ello, se expresan las ecuaciones de continuidad y movimiento,

substituyendo x

v por ,

x xvv , y p por , p p :

0 Δt t

t

,

z

,

z dt v

Δt

1v

0 Δt t

t

, , dt p Δt

1 p

022

Δt t

t

,

z

,

z dt v

Δt 1v 0

22

Δt t

t

, , dt p Δt 1 p

z

Δt t

t

z ,

z

,

z

v

dt v Δt

1

v

v2

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Ecuación de continuidad

(Ec. 8)

Ecuación de movimiento

(Ec. 9)

Los componentes y y z pueden expresarse de una forma análoga. Al tomar el promedio de tiempo de lasEcs. 8 y 9, de acuerdo con la Ec. 3, se obtiene:

Ecuación de continuidad de

tiempo ajustado

(Ec. 10)

0 z

v

y

v

x

v z y x

0vv z

vv y

vv x

,

z z

,

y y

,

x x

)()()(

g ρv μ p.vv. ρv ρt

2

x

,

x x

2

,

, x x , z z

,

x x

,

y y

,

x x

,

x x

,

x x

ρg

)vv( μ

) p p( x

)vv )( vv ρ( z

)vv )( vv ρ( y

)vv )( vv ρ( x

)vv ρ( t

0 z

v

y

v

x

v z y x

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Ecuación de

movimiento de

tiempo ajustado

(Ec. 11)

Éstas son las ecuaciones de continuidad de tiempo ajustado y movimiento de tiempo ajustado para el

componente x . Comparándolas con las ecuaciones de continuidad y movimiento que se obtuvieron para

flujo laminar, se observa que la ecuación de continuidad es la misma que antes, salvo que los componentes

de la velocidad de tiempo ajustado substituyen a los componentes de la velocidad instantánea. También en

la ecuación de movimiento, v x, v y , v z y p se han substituido por x

v ,y

v ,z

v y p ; pero, además, intervienen

nuevos términos, que están relacionados con las fluctuaciones de velocidad turbulenta, a saber:

Introduciendo la notación:

(Ec. 12)

Estos términos son los componentes de la densidad de flujo turbulento de cantidad de movimiento, que

generalmente se denominan esfuerzos de Reynolds.

Las ecuaciones de continuidad y movimiento de tiempo ajustado pueden expresarse con notación

vectorial de la siguiente manera:

Ecuación de continuidad de tiempo ajustado

(Ec. 13)

x x

2 ,

x z x y x x

x z x y x x x

ρg v μ ) p p( x

vv ρ z

vv ρ y

vv ρ x

vv ρ z

vv ρ y

vv ρ x

v ρt

,,,,,,

x ,

x ,(t)

xxvv ρτ y

, x ,(t)

xyvv ρτ

,,,,,,

x z x y x xvv ρ

z vv ρ

yvv ρ

x

0 )v.(

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10

Ecuación de

movimiento de

tiempo ajustado

(Ec. 14)

4. EXPRESIONES SEMIEMPÍRICAS PARA LOS ESFUERZOS DE REYNOLDS

Para hallar los perfiles de velocidad mediante la Ec. 14 es preciso disponer de alguna expresión para(t)

yxτ . Con este fin se han utilizado diversas relaciones semiempíricas que aquí mencionaremos solamente.

Viscosidad de remolino de Boussinesq

Una de las expresiones más antiguas propuestas por analogía con la ley de Newton de la viscosidad, es:

(Ec. 15)

siendo (t) μ un «coeficiente turbulento. de viscosidad» o «viscosidad de remolino» que, en general, varía

considerablemente con la posición.

Longitud de mezclado de Prandtl

Suponiendo que los remolinos se mueven en un fluido de igual forma que lo hacen las moléculas en un gas

(en realidad es una analogía muy incorrecta), en 1925 Ludwig Prandtl obtuvo una expresión para la

transmisión de cantidad de movimiento en un fluido, en la que la longitud de mezcla juega un papel

aproximadamente equivalente al del recorrido libre medio en la teoría cinética de los gases. Con esta

suposición Prandtl obtuvo la relación

(Ec. 16)

La longitud de mezcla (o de mezclado) l también es una función de la posición, y Prandlt obtuvo algunos

éxitos considerando que l es proporcional a la distancia y medida desde la superficie sólida. Taylor llegó

también a un resultado análogo al de la Ec. 16 mediante la teoría del transporte de vorticidad.

g ρ.. p. Dt

v D ρ

(t)(l)

dy

vd μτ

x(t)(t)

yx

dy

vd

dy

vd l τ

x x2(t)

yx

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Fig.5 . Longitud de mezclado de Prandtl

La velocidad de fluctuación se supone que es originada por el movimiento en dirección y de un

“paquete” de fluido a través de la distancia l . En su traslado, este paquete de fluido, mantiene la misma

velocidad media de flujo que en su punto de partida. Al alcanzar su punto de llegada, a una distancia l , elpaquete de fluido deferirá en su velocidad media de flujo con respecto a elementos de volumen de fluido

adyacentes en una cantidad | y-l - | y . Si el paquete de fluido es originado en y+l , la diferencia de

velocidad será | y+l - | y. El valor instantáneo de velocidad v’ x| y es el signo de l dependerá

del origen con respecto a y 1.

1 Para más detalles sobre la longitud de mezclado de Prandtl ver Welty J. R., Wicks C. y Wilson R. E, Fundamentos de transferencia de momento,

calor y masa, Editorial Limusa, (1997).

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Apéndice

En las Figs. 3 y 4 se observaron perfiles de velocidades en intervalos de tiempo extremadamente pequeños

(del orden de los 0.05 s) en los que las fluctuaciones de velocidad pueden ser apreciadas con dispositivoscomo los que se muestran en la Fig. A.1

mA

La corriente de fluido se encuentra a una

temperatura de 200 °F por debajo de latemperatura de la resistencia.

Fuente de corriente continua

Miliamperímetro

Amplificador

Fig. A 1. Esquema de un anemómetro de hilo caliente cuyo funcionamiento se basa en el llamado puente de Wheatstone.

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Bibliografía:

1. Bird R. B., Stewart W. E. y Lightfoot E.N., Fenómenos de transporte, Editorial Reverté, (1976).

2. Welty J. R., Wicks C. y Wilson R. E, Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa, Editorial

Limusa, (1997).

3. Geankoplis, Ch. Transport Processes and Unit Operations, Prentice Hall Englewood Cliffs New Jersey (3rd

edition), (1993).

4. Costa Novella E. y col. Ingeniería Química, Vol. 2 Fenómenos de Transporte, Vol. 3 Flujo de fluidos ,

Editorial Alhambra Universidad, (1985).

Ing. Mario A. Barrera

La Plata, mayo de 2010

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