tubos aleteados (versión final)
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CALOR Y FRÍO INDUSTRIAL.
TUBOS ALETEADOS. CÁLCULOS CONOPTIMIZACIÓN.
Se va a realizar un estudio profundo de los tubos aleteados, empezando por analizarlas ecuaciones del texto-base, en concreto la del calor Q̇ y la de la efectividad de laaleta an. Se va a definir una ecuación para L que puede establecerse de laobservación de los problemas. Se discutirá la disposición geométrica basándose endatos de los problemas estudiados. Se plantearán situaciones de optimización porLagrange, su forma de desarrollarse y un ejemplo con resolución analíticapormenorizada, discutiendo las condiciones impuestas.
Con este trabajo se pretende abrir una vía de investigación para conseguir fabricar lostubos más eficientes en términos de calor transferido y más baratos en función delcoste, conjugando todas las variables estudiadas, cuando se desconoce más de unavariable.
ÍNDICE.
1.- INTRODUCCIÓN.2.- CÁLCULO DE Q̇ REAL.3.- DETERMINACIÓN DE L EN FUNCIÓN DE n, w.4.- ESTABLECIMIENTO DE CONDICIONES EN LA ECUACIÓN.5.- OBTENCIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS DE Q̇ SOBRE LA EC. (5).6.- EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA EFECTIVIDAD DE LA ALETA ANULAR EN TUBOS ALETEADOS.7.- CÁLCULOS DE OPTIMIZACIÓN POR LAGRANGE.
7.1.- NO EXISTEN EXTREMOS EN L,n,w CON UNOS DATOS PUNTUALES. DEMOSTRACIÓN.7.2.- EXTREMOS CONDICIONADOS EN L,n, r1.
8.- CONCLUSIONES.9.-BIBLIOGRAFÍA.
por JOSÉ MANUEL GÓMEZ VEGA,E.T.S. INGENIEROS INDUSTRIALES DE LA U.N.E.D, 2001-2002.
Ingeniero industrial en mecánica de máquinas. Revisión 2015.
1
1.- INTRODUCCIÓN.
Partiendo de la ecuación del calor transmitido por unidad de tiempo para tubos aleteados y estableciendo unaregularidad entre la separación de aletas que mantendremos constante, se pretende obtener una relación quedetermine partiendo de varias incógnitas la solución optimizada en función de datos suministrados.
Es sabido que el flujo térmico intercambiado entre un tubo aleteado y el medio fluido que le rodea es mayor que eltubo que no posee superficies adicionales. La incorporación de estas superficies para mejorar los rendimientos decalor intercambiados en los tubos será conveniente si el coste de fabricación de dichos tubos con aletas no esmayor que el beneficio que representa un aumento adicional de transmisión de calor. A menudo esto no seráposible totalmente debido a las limitaciones impuestas de longitud tanto interna como externa de los tubos (radiosinternos, radio de aletas, espesores,...) que restringirán los valores de transmisión de calor a otros inferiores acordea las imposiciones geométricas del uso o instalación particular.
La representación de la figura sombreada anterior representa el corte de un tubo aleteado. Sabemos que ri es elradio del tubo interior, mientras que r0 es el del exterior, siendo r1 el radio extremo de la aleta. La separación entreplanos medios de las aletas es y, que suponemos constante, siendo el espesor de la aleta w.
2.- CÁLCULO DE Q̇ REAL.
Los cálculos realizados para estos problemas se basaban en la aproximación de la ecuación real para U0 en (4.42)del texto-base tomando la ec. (4.43) con Aa ≃ A0.
Partimos de la ecuación que hay después de la (4.42) para el coeficiente global de transmisión U0:
U0 1
A0
Ai
1hi
A0
2..L
ln r0ri
k 1
he
1Aa
A0an − 1 1
(1)
donde an es la efectividad de la aleta anular, k la conductividad térmica del tubo, he y hi son los coeficientes detransmisión de calor exterior e interior al tubo.
El área de intercambio con el fluido exterior A0 será A0 At Aa en (4.42) y se sabe que:
Ai 2.. ri.L
Aa 2.. r12 − r0
2.n.L
At 2.. r0. 1 − n.w.L
(2)
donde Ai es el área interior del tubo, Aa el área de las aletas, At es el área exterior del tubo entre aleta y aleta, L esla longitud del tubo aleteado y n es el número de aletas por metro de tubo.
Como el calor intercambiado es:
Q̇ A0.U0. ti − t (3)
donde ti es la temperatura interior del tubo interno y t es la exterior al conjunto tubo-aletas, podemos calcular Q̇partiendo de (1) y (2) para comparar con la ecuación resultante de la aproximación de U en (4.43) del texto-base.
2
Q̇ A0. ti − t
A0
Ai
1hi
A0
2..L
ln r0ri
k 1
he
1Aa
A0an − 1 1 A0
A0
ti − t
1Ai.hi
ln r0
ri
2..L.k 1
he
1Aa. an − 1 A0
ti − t
12.. ri.L.hi
ln r0
ri
2..L.k 1
he
12.. r1
2 − r02.n.L. an − 1 2.. r1
2 − r02.n.L 2.. r0. 1 − n.w.L
ti − t
12.. ri.L.hi
ln r0
ri
2..L.k 1
2..L.he
1r1
2 − r02.n.an r0.1 − n.w
finalmente, sacando factor común 2L en el denominador y llevando al numerador, resulta:
Q̇R 2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1
he
1r1
2 − r02.n.an r0. 1 − n.w
(4)
Comparando la ecuación real obtenida con la que se encuentra partiendo de la aproximación de (4.43) deltexto-base que es:
Q̇A 2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
(5)
observamos que la diferencia es que el término r0. 1 − n.w 1 no es multiplicado en la ecuación real por an, ycomo an 1 y la diferencia es satisfactoriamente insignificante para los cálculos es factible considerar laaproximación Aa ≃ A0 en los cálculos, como se ha visto.
Vamos a cuantificar estas diferencias según 3 ejemplos con sus datos:
(1) Datos del ejercicio 4.1 autocomprobación (pág.131 del texto-base) solución aproximada: n 41.8 n 42 aletasm
ti 85 oC hi 1000 kcalhm2 oC
ri 0.03 m w 0.003 m incógnita n
t 24 oC he 8 kcalhm2 oC
r0 0.033 m L 1 m nR 41.377 n 42 aletasm
Q̇ 460 kcalh
k 50 kcalhm oC
r1 0.066 m an 0.945 nA 41.908 n 42 aletasm
(2) Datos del problema 28 del libro de problemas (pág.78 prob. resueltos), solución aproximada:Q̇L
1705.29 Wm
ti 60 oC hi 5770.08 Wm2 oC
ri 0.006 m w 0.0005 m incógnita Q̇L
t 20 oC he 23 Wm2 oC
r0 0.008 m L 1 mQ̇L
R
1707.126 Wm
n 500 aletasm k 399 W
m oCr1 0.03 m an 0.87
Q̇L
A
1704.247 Wm
3
(3) Datos del ejercicio 4.5 autocomprobación (pág.132 del texto-base) solución aproximada: L 0.7 m
ti 120 oC hi 1000 kcalhm2 oC
ri 0.005 m w 0.0002 m incógnita L
t 20 oC he 25 kcalhm2 oC
r0 0.007 m n 200 aletasm LR 0.636 m
Q̇ 750 kcalh
k 326 kcalhm oC
r1 0.028 m an 0.775 LA 0.641 m
Como se ve las diferencias son mínimas, por lo que para el desarrollo posterior se usará la ecuación (5) quitando elsubíndice A de aproximada.
3.- DETERMINACIÓN DE L EN FUNCIÓN DE n, w.
Vamos ahora a observar la figura rayada y obtener una ecuación que relacione L con las demás longitudes.Sabemos que en cada longitud interaletas entre planos medios y hay un número n de aletas por metro. Por lo tantose cumple que:
y 1n (6)
N n.L (7)
donde N es el número total de aletas en el tubo.
También se ve que la distancia que separa 2 aletas es y − w, pues la mitad del espesor de cada una por 2 es w. Sitomamos 3 aletas la distancia es 2y − w; con 4 sería 3y − w. Cuando terminaran todas las aletas habría quecubrir la diferencia de las dos últimas por lo que habría que añadir w (la mitad de cada aleta borde). Además,puede existir una separación entre las dos aletas finales y los extremos superior e inferior que cuantificaremoscomo xs y xi.
En definitiva la longitud del tubo aleteado puede escribirse como:
L y − w. N − 1 w xs xi (8)Introduciendo las ecs. (6), (7):
L 1n − w. n.L − 1 w xs xi (9)
y despejando:
L n. xs xi 2.w − 1
n2.w(10)
Una situación de longitud mínima a igualdad de número de aletas N sería aquélla en la que xs xi 0 , es decir,en la que las dos aletas extremas tanto inferior como superior estuviesen en el borde del tubo tal y como seobserva en la figura que pone geometría 2.Como tenemos datos de tres problemas vamos a realizar un cálculo que nos lleve a determinar xs y xi. En unprincipio suponemos que los rebordes inferior y superior del tubo son iguales, es decir, xs xi, por lo que en laecuación (10) tendríamos:
L 2.n. x w − 1
n2.wxs xi x (10.1)
Haciendo cálculos resultaría
x 0.071793 m
x 0.00075 m
x 0.002364 m
en los ejercicios (1), (2), (3) respectivamente, notando que en los
dos primeros problemas no tenemos una longitud absoluta, sino la relativa que viene conQ̇L
en los enunciados. Si
la repartición es simétrica, tal como se ha supuesto para la distancia entre los bordes superior e inferior, loscálculos de posicionamiento de dichas aletas más externas serían los expuestos. Además parece claro que en loscálculos aparece que x ≠ 0, por lo que la geometría 2 dibujada es descartable, es decir, siempre existirá un rebordeen los extremos. Esto, aunque lo desconozco, quizás sea debido al acople de los tubos en las instalaciones que sefijará en los bordes, supongo, en muchas aplicaciones.
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En problemas en los que desconozcamos L y x, se pueden obtener la siguientes aproximaciones para x con lacorrelación:
x y − wa (10.2)
dondea 2 si n 50 y w 0.001
a 2.9 si n 50 y w 0.001y de esta forma poder aplicar (10.1) bien directamente, bien como
condición de optimización.
Entonces los cálculos resultarían:
x 0.07194
x 0.00075
x 0.0024
donde se constata que la correlación (10.2) es válida con a 2
para los ejemplos 2 y 3 mientras que es a 2.9 para el ejemplo 1, y que los valores tienen suficiente aproximacióncon (10.1).
4.- ESTABLECIMIENTO DE CONDICIONES EN LA ECUACIÓN.
Como tenemos una ecuación para L en función de n y w, se puede establecer como condición en la ecuación (5) yconsiderar (10) en un estudio de optimización de la ecuación (5) mediante un cálculo por los extremoscondicionados de Lagrange para averiguar los valores máximos-mínimos de n y w. Si además incluimos el costede fabricación de los tubos también como condición, entonces podremos tener una idea más objetiva de lainfluencia de la geometría en dicho coste unitario por metro lineal que definiremos a continuación, y quellamaremos c; también podríamos incluir la ecuación de la efectividad de la aleta anular para extraer una idea delvalor máximo-mínimo de r1 que al intervenir con el resto de variables daría cuenta del valor más adecuado defabricación de las aletas, contando conque el resto de variables son conocidos. Las perspectivas de este métodopermitiría también calcular la propia geometría del tubo L, r0, ri. Evidentemente, se podrían tomar 3 condiciones alo sumo, la ecuación de la longitud (10.1), la ecuación de costes (11) y la ecuación de la efectividad de la aletaanular (19). Mi experiencia al realizar este trabajo me ha llevado a las conclusiones siguientes:
en algunas ocasiones intentar optimizar mediante Lagrange 3 variables, así como Q̇ ha sido una labor tediosay cualquier asignación a un dato que variaba lo más mínimo daba soluciones imposibles (valores negativos ocomplejos).
creo que con 4 o más variables y Q̇ se podría hacer pero con un superprograma de matemáticas y conexcesiva paciencia.
sobre dos variables más Q̇ sería un problema muy asequible. la ecuación (10) parece estar bien. Si se considera un problema con una L muy larga, x parecía razonable si n
es muy grande y w muy pequeño; si no se puede establecer mediante la correlación (10.2) con a 2.9. la condición del coste lineal viene en el libro de problemas. Sin embargo, podría establecerse una ecuación
que relacionase el coste por m3 y así intervinieran los radios tanto del tubo como de las aletas y sus longitudesen la ecuación; si no Co al ser lineal en (11) no se puede tomar como incógnita en optimización, puesdesaparece en las derivadas para el punto crítico.
Para el coste por metro lineal se considera que es directamente proporcional a la longitud, por lo que el coste totales Co c.L , y es así como se realizan los cálculos en los problemas del libro. De esta forma, la ecuación anteriorcobraría la forma antedicha:
Co c.L (11)
Ahora se podría realizar lo siguiente: introducir (10) en (11). Quedaría:
Co c.n. xs xi 2.w − 1
n2.w(11.1)
Si se pudiese tener conocimiento del coste por metro cúbico, sería factible establecer la ecuación del costepartiendo del volumen:
Vtubo . r02 − ri
2.L
5
Valetas r12 − r0
2.w.N . r12 − r0
2.w.n.L
quedando:C0 .L.c. r0
2 − ri2 r1
2 − r02.w.n (11.2)
5.- OBTENCIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS DE Q̇ SOBRE LA EC. (5).
Comenzamos los cálculos. En un principio vamos a plantear el problema sencillo: sin incluir las condiciones paraoperar mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, intentaremos hallar los extremos relativos de r1, n,w, an considerando la ecuación (5) una función de cuatro variables (en un principio).
Q̇ Q̇r1,n,w,an 2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
(5)
Reescribamos la ecuación anterior:
Q̇ 2..L. ti − t. r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an. ri.hi.k
r12 − r0
2.n r0. 1 − n.w. he.an . k ri.hi. lnr0ri
ri.hi.k(5.1)
Tomamos las derivadas parciales
∂Q̇∂r1
0∂Q̇∂n 0
∂Q̇∂w 0
∂Q̇∂an
0que serán los puntos críticos, hallando los valores que
presuntamente son extremos y mediante la matriz hessiana (matriz de las derivadas parciales de 2o orden) si sonextremos relativos y de qué tipo. Las derivadas las tomaremos sobre (5) y (5.1) para observar cual es más fácildebido a la implicación de una expresión larga. Al realizar los cálculos se obtienen más fácilmente de (5), por loque se escribe su valor en la forma más simplificada.
∂Q̇∂r1
∂∂r1
2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
4..L. ti − t. r1.k2.n.he.hi
2. ri2.an
k hi. ri. lnr0ri
.n.he. r0.an.w − kn.he. r12 − r0
2.an he. r0.an hi. ri − n. r12 − r0
2 r0 .he.hi. lnr0ri
. ri.an2
(12)
∂Q̇∂n ∂
∂n2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
2..L. ti − t.k2.he.hi
2. ri2.an. r1
2 − r02 − r0.w
n. r0.w − r12 r0
2. k hi. lnr0ri. ri.he.an − k. he. r0.an hi. ri − he.hi. ln
r0ri. ri. r0.an
2 (13)
∂Q̇∂w ∂
∂w2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
−2..L.n. r0. ti − t.k2.he.hi
2. ri2.an
k hi. ri. lnr0ri
.n.he. r0.an.w − kn.he. r12 − r0
2.an he. r0.an hi. ri − n. r12 − r0
2 r0 .he.hi. lnr0ri
. ri.an2
(14)
6
∂Q̇∂an
∂∂an
2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
2..L. ti − t.k2.he.hi
2. ri2. r0 n. r1
2 − r02 − n. r0.w
ann. r0.w − n. r12 − r0
2 − r0 k hi. ri. lnr0ri
.he − k.hi. ri2 (15)
∂Q̇∂L ∂
∂an
2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
2.. ti − t.k.he.hi. ri.an. n. r0.w − n. r1
2 − r02 − r0
k hi. ri. lnr0ri
.n.he. r0.an.w − k. n.he. r12 − r0
2.an he. r0.an hi. ri − n. r12 − r0
2 r0 .he.hi. lnr0ri
. ri.an
(16)
Entonces, de la observación de las derivadas anteriores, hallamos los puntos críticos:
∂Q̇∂r1
0 4..L. ti − t. r1.k2.n.he.hi2. ri
2.an 0 y solo será nulo si ti t, pero si es así, Q̇ 0, pero entonces
no existe transferencia de calor.
∂Q̇∂n 0 2..L. ti − t.k2.he.hi
2. ri2.an. r1
2 − r02 − r0.w 0
ti t no
r12 − r0
2 − r0.w 0
Despejando, resulta:r1 r0. r0 w (17)
∂Q̇∂w 0 −2..L.n. r0. ti − t.k2.he.hi
2. ri2.an 0 ti t no
∂Q̇∂an
0 2..L. ti − t.k2.he.hi2. ri
2. r0 n. r12 − r0
2 − n. r0.w 0 r0 n. r12 − r0
2 − n. r0.w 0
Despejando:
r1 r0nw r0 − 1
n (18)
pues se estima que nw r0 − 1 0 siempre para cualquier tipo de valores reales (y además necesariamenter1 0).
∂Q̇∂L 0 2.. ti − t.k.he.hi. ri.an. n. r0.w − n. r1
2 − r02 − r0 0 r0 n. r1
2 − r02 − n. r0.w 0 Idem a (18) al
despejar.
Por lo tanto, existen dos puntos críticos candidatos a extremos relativos.
P1r1,n,w,an cuando r1 r0. r0 w Q̇ 2..L.k. r0. ri.an.heti − t
k. ri − hi.k. r0.an.he r0. ri.an ln r0ri
.he
P2r1,n,w,an cuando r1 r0nw r0 − 1
n con n 1w r0
Q̇ 2..L. ti − t1k
. ln r0ri
− hiri− 1an.he n r0
2 − 1n r0. n. r0 w − 1 r0. n.w − 1
7
La matriz hessiana H nos indicaría la forma cuadrática si es definida positiva, negativa o indefinida, dando lanaturaleza de mínimo, máximo o punto de ensilladura, respectivamente. No obstante, observamos que al no haberencontrado unos puntos definidos para esas 4 variables, no podemos calcular los extremos y tenemos soloexpresiones de Q̇ sustituidas para los valores hallados para r1 sin conocer su naturaleza.
Hr1,n,w,an
∂2Q̇∂r1
2
∂2Q̇∂r1n
∂2Q̇∂r1w
∂2Q̇∂r1an
∂2Q̇∂nr1
∂2Q̇∂n2
∂2Q̇∂nw
∂2Q̇∂nan
∂2Q̇∂wr1
∂2Q̇∂wn
∂2Q̇∂w2
∂2Q̇∂wan
∂2Q̇∂anr1
∂2Q̇∂ann
∂2Q̇∂anw
∂2Q̇∂an
2
Concluimos que habría que replantear el problema y buscar una función de varias variables en las cuales llegar aunos puntos bien definidos y en base a ellos determinar su naturaleza (máximo, mínimo o punto de ensilladura). Noobstante, este problema no es el buscado pues lo que intentamos es optimizar la producción en base al coste, porlo que se trata de un problema de extremos condicionados que puede resolverse por Lagrange o aplicandoprogramación lineal, convirtiendo en este último caso, las ecuaciones en lineales.
6.- EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA EFECTIVIDAD DE LA ALETA ANULAR EN TUBOSALETEADOS.
La ecuación de la efectividad de la aleta anular era según (4.38) del texto:
an1 Q̇
2.. r12 − r0
2.he. t0 − t(19)
donde t0 es la temperatura en la superficie donde r0.Podemos despejar t0 a través de las ecuaciones que aparecen en el texto en la pág.
127:
ti − ts Q̇ 12.. ri.L.hi
ts − t0 Q̇ln r0
ri
2..k.L
t0 ti −Q̇
2..L1
ri.hi
ln r0ri
k(20)
Introduciendo la ecuación (20) en la (19):
an1 Q̇
2.. r12 − r0
2.he. ti −Q̇
2..L1
ri.hi
ln r0ri
k− t
(21)
expresión únicamente válida para un tubo con una aleta y no para el caso que nos ocupa.
Ahora bien, si usamos el ejemplo (3) con la ecuación (20) obtenemos: an1 103.832 y comoN n.L 200 ∗ 0.642 128.2, resulta analíticamente que an
an1
n.L 0.80, valor muy próximo a an 0.775,
que había sido obtenido de manera gráfica.
8
En los dos ejemplos restantes, resulta:
ejemplo 1 ejemplo 2
an1 47.95 an1 441.88
an 0.945 (gráfico)
an 1.14 (analítico)
an 0.88 (gráfico)
an 0.87 (analítico)
por lo que estimo finalmente que an ≠an1
n.Lpues no se cumple en el ejemplo (1) a no ser que ocurra un error de
cálculo que no detecto, aunque sería una buena aproximación en bastantes casos quizás (66,6 % de losanalizados, 3).
7.- CÁLCULOS DE OPTIMIZACIÓN POR LAGRANGE.
7.1.- NO EXISTEN EXTREMOS EN L,n,w CON UNOS DATOS PUNTUALES.DEMOSTRACIÓN.
Iniciamos el cálculo mediante Lagrange tomando la ecuación (5) y las (10) y (11) en la forma:
L,n,w,, 2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
fn,L, r1 gn,L, r1 (22)
donde las condiciones son:
fL,n,w 2.n. x w − 1
n2.w− L (23)
gL,n,w L.c − Co (24)
y se han construido sobre las ecuaciones (10.1) y (11), donde L,n,w,, es la función auxiliar de Lagrange.Trataremos de determinar los extremos relativos de dicha función de tres variables L,n,w que son condicionadosa su longitud y a su coste. Las demás variables serán datos en cada problema. Estimamos que xs xi x y que lageometría del dibujo 1 es la real.
L,n,w,, 2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
2.n. x w − 1
n2.w− L L.c − Co (25)
Como el resultado de los cálculos de estas derivadas parciales es bastante complejo, vamos a tomar unos datos ydespejaremos para algunas incógnitas. De esta forma la resolución es más fácil. En definitiva, se trataría dedeterminar las mejores condiciones para 3 variables diferentes, en lugar de una sola con la resolución analíticanormal de (5). Sabremos que habrá que partir de la ecuación (25), sustituir los datos, tomar los puntos críticos ysobre ellos verificar las condiciones de extremo con la matriz hessiana (de derivadas parciales segundas).
Suponemos que para este problema son conocidos los siguientes datos: ti, t,hi,he,k, ri, r0, r1,c,x,an
Quedan 5 variables por conocer: Q̇,Co,L,n,w
Con los datos siguientes:
9
(3) Datos del ejercicio 4.5 autocomprobación (pág.132 del texto-base)
ti 120 oC hi 1000 kcalhm2 oC
ri 0.005 m c 9 euros/m incógnita L
t 20 oC he 25 kcalhm2 oC
r0 0.007 m x 0.2 m incógnita n
incógnitas Q̇ y Co k 326 kcalhm oC
r1 0.028 m an 0.775 incógnita w
en los que aparte de las variables intrínsecas, podremos hallar Q̇ , resolvemos en total 3 variables en un problemade optimización en donde deberemos definir el coste total Co, que haremos posteriormente, el cual nos permitiráhallar L. (o bien, suponemos una L determinada que nos fija Co mediante (11)).
La ecuación (24) queda:
2..L ∗ 120 − 20
10.005 ∗ 1000
ln 7
5 326
10.0282 − 0.0072.n 0.007. 1 − w.n. 25 ∗ 0.775
2.n. 0.2 w − 1
n2.w− L L.c − Co (25.1)
114633.Ln.w − 0.105. n 358.829
0.4. n − 2.5.
n2.w− L.n. − 9. 347.274 n.Co. − 2.
n (25.2)
Comprobemos que es factible la aplicación de Lagrange, si las dos condiciones son variedades diferenciables quees un prerrequisito.
1a condición.
Sea la función fL,n,w 2.n. 0.2 w − 1
n2.w−L y el conjunto M L,n,w ∈ R3 :
2.n. 0.2 w − 1n2.w
− L 0
El gradiente de f es: ∇fL,n,w −1,−2nw 0.02 − 1
n3.w,−2.n.x − 1
n2.w2 ≠ 0,0,0 pues la primera componente es
siempre distinta de 0, por lo que M es una variedad diferenciable y tiene rango máximo (1).
2a condición.
Sea la función gL,n,w c.L − Co y el conjunto N L,n,w ∈ R3 : c.L − Co 0
El gradiente de g es: ∇fL,n,w −c, 0,0 ≠ 0,0,0 y, como antes, la primera componente nunca es 0, por lo queN es una variedad diferenciable y tiene rango máximo (1).
Al ser ambas condiciones variedades, se puede aplicar Lagrange.
Hallamos las derivadas parciales primeras y los puntos críticos, así como las expresiones de en todas y en laderivada sobre L :
∂∂L
114633n.w − 0.105. n 358.829
− 9. 347.274 0 (26)
9.n. 347.274.w − 0.105. n. 347.274 358.829. 9.21711
n.w − 0.105. n 358.829(27)
n. − 3125.46.w − 0.105. n. − 3125.46 358.829. − 82.954
9. n.w − 0.105. n 358.829(28)
∂∂n
−114633.L. w − 0.105
n. w − 0.105 − 37.67712− 2.. w 0.2
n2.w 2.
n3.w 0 (29)
−57316.4.L.n3.w. w − 0.105
n.w 0.2. n − 5. n.w − 0.105. n 358.8292(30)
∂∂w −114633.L.n
n.w − 0.105. n 358.8292− 0.4.. n − 2.5
n2.w2 0 (31)
−286582.L.n3.w2
n − 2.5. n.w − 0.105. n 358.8292(32)
10
Recordando la ec. (10.1) para el dato x 0.2:
L 2.n. 0.2 w − 1
n2.w(10.1)
reescribiéndola para w y con el valor de x y L:
w 0.2. n − 2.5n. 50.n − 1
(33)
Ahora introducimos el dato que falta para resolver el sistema de ecuaciones. Suponemos que hemos fabricadoanteriormente un tubo con un coste total Co 900 euros, y queremos optimizar la geometría para conocer las aletasy su anchura para la máxima transferencia.
Realmente con este dato y mediante la ecuación (11) podemos hallar directamente L, luego:
Co c.L L 100 m
Introduciendo la ecuación (10.1) en (30) y (32) quedan expresiones de n,w:
−114633.n. w − 0.105. n.w 0.2. n − 2.5
n.w 0.2. n − 5. n.w − 0.105. n 358.8292 (30.1)
−573164.n.w. n.w 0.2. n − 2.5
n − 2.5. n.w − 0.105. n 358.8292(32.1)
Igualando (30.1) y (32.1) hallamos n:
n 0.5. w 0.105
w2 3.4894.10−15 0.021ó n 0.5
w 0.2ó n 0 (34)
Introduciendo la ec. (33) en la (34) y despejando para n, resulta:
n 2.5 ó n 0.32737 ó n −0.28737 ó n −0.28737
y ningún valor de n es válido, pues el primero anula la (33) y el 2o hace w 0, mientras que los otros son valoresnegativos. Esto quiere decir que no existen puntos críticos y por lo tanto no existen extremos condicionados eneste problema. Además, no existen extremos independientemente del valor de L pues esta variable se simplifica aldespejar.
7.2.- EXTREMOS CONDICIONADOS EN L,n, r1.
L,n, r1,, 2..L. ti − t
1ri.hi
ln r0
ri
k 1r1
2 − r02.n r0. 1 − n.w.he.an
2.n. x w − 1
n2.w− L L.c − Co (25)
Suponemos que para este problema son conocidos los siguientes datos: ti, t,hi,he,k, ri, r0,w,c,x,an
Quedan 5 variables por conocer: Q̇,Co,L,n,w. Una vez determinadas las derivadas, definimos Co o L quedandofijadas ambas mediante la ec. (11).
Tenemos los datos siguientes:
11
(3) Datos del ejercicio 4.5 autocomprobación (pág.132 del texto-base)
ti 120 oC hi 1000 kcalhm2 oC
ri 0.005 m c 9 euros/m incógnita L
t 20 oC he 25 kcalhm2 oC
r0 0.007 m x 0.2 m incógnita n
incógnitas Q̇ y Co k 326 kcalhm oC
w 0.0002 an 0.775 incógnita r1
∂∂L 0
−n. r12 − 0.00005. − 9. 347.274 0.26374. − 9. 9.21711
n. r12 − 0.00005 0.26374
(35)
9. n. r1
2 − 0.00005. 347.274 0.26374. 9.21711n. r1
2 − 0.00005 0.26374(36)
∂∂n 0
802.43.n3. L − 2.49492. r12 − 0.00005.. r1
2 − 0.00005 12.4621.n2. r12 − 0.105652. r1
2 − 0.00005.
n3. n. r12 − 0.00005 0.263742
6.57352.n. r1
2 − 0.026451. 0.866849.
n3. n. r12 − 0.00005 0.263742
(37)
0.400814.L.n3. r1
2 − 0.00005
n3. r12 − 0.000052 − 4.995.n2. r1
2 − 0.105652. r12 − 0.00005 − 2.63476.n. r1
2 − 0.026451 − 0.347445(38)
∂∂r1
0 0.201802. r1.. n2 − 5232.93.n 4.95536.10−10
n. n. r12 − 0.00005 0.263742
−10−14.L.n. r1. n − 1.60486.1017
n. r12 − 0.00005 0.263742 (39)
−L.n2. n − 1.60486.1017
L.n2 − 2.01802.1013. n2 − 5232.93.n 4.95536.10−10(40)
L 2.n. 0.2 0.0002 − 1
n2. 0. 0002(10.1)
Considerando una aplicación para un tubo de L 6 m, el coste total es Co 54 euros según (11). De esta formadespejando en la ecuación (10.1) resulta: na 331.15 ó nb 2.51648 . Al despejar en (40), tenemos los valoresde siguientes: a 3223.56 ó b 22.9573 y llevando los valores anteriores a (38), obtenemos:
r1a no existe ó r1b1 0.323744 ó r1b2 0.007514 . Finalmente, en la ec. (36) podemos hallar , de tal formaque obtenemos: 1 −175.658 ó 2 −6.68584 . Los valores hallados quedan reflejados en la tabla siguiente,que son los puntos críticos:
n r1
na 331.15 a 3223.56 r1a no existe no hay punto crítico
nb 2.51648 b 22.9573 r1b1 0.323744 1 −175.658
nb 2.51648 b 22.9573 r1b2 0.007514 2 −6.68584
Construimos la función auxiliar de Lagrange con los valores , y hallamos las derivadas parciales segundas paraconstruir la matriz hessiana y así analizar el signo que nos determinará la naturaleza del extremo relativocondicionado (máximo, mínimo o ensilladura). En un principio lo analizaremos según la 3a condición de suficienciaestudiada en los cursos de cálculo.
1er. punto crítico.
Consideramos los valores L 6,n 2.51648, r1 0.323744, con b 22.9573,1 −175.658
12
La matriz hessiana es:
HL,n, r1
∂2∂L2
∂2∂Ln
∂2∂Lr1
∂2∂nL
∂2∂n2
∂2∂nr1
∂2∂r1L
∂2∂r1n
∂2∂r1
2
H6,2.51648,0.323744
0 302.258 4701.2
302.258 −12126.3 2.41659
4701.2 2.41659 −87174.4
El signo de la matriz lo dan los subdeterminantes k, según:
si Δk 0 ∀ k 0,1,2, . . ,n matriz definida positiva, es mínimo
si −1kΔk 0 ∀ k 0,1,2, . . ,n matriz definida negativa, es máximo
Como en este caso tenemos: Δ1 0,Δ2 −91359.9,Δ3 2.7598.1011 , la matriz es indefinida y necesitamos otrocriterio de suficiencia (el segundo según lo estudiado en cálculo, aunque existiría otro método con derivaciónimplícita).
Partiendo de la matriz hessiana anterior, podemos construir la forma cuadrática asociada, según:
H6,2.51648,0.323744; h, j,k h j k
0 302.258 4701.2
302.258 −12126.3 2.41659
4701.2 2.41659 −87174.4
h
j
k
(41)
El espacio tangente a las variedades M y N (que son las expresiones de las condiciones f y g introducidas en lademostración de la aplicación de Lagrange) en el punto 6,2.51648,0.323744 está formado por el conjunto devectores v h, j,k tales que:
∇f6,2.51648,0.323744
∇g6,2.51648,0.323744
h
j
k
0 (42)
Recordando f y g :fL,n, r1
20002. n − 2.4975n2 − L
gL,n, r1 L.c − Co
Tenemos:∇fL,n, r1 −1,
20002. n − 4.995n3 , 0 ∇f6,2.51648,0.323744 −1,311.37,0
∇gL,n, r1 c, 0, 0 ∇g6,2.51648,0.323744 9,0,0
Particularizando en (42), tenemos:
−1 311.369 0
9 0 0
h
j
k
0 311.369. j − k 0
9.h 0
h 0
j 0(43)
Llevando el resultado anterior a (41):
H6,2.51648,0.323744; 0,0,k 0 0 k
0 302.258 4701.2
302.258 −12126.3 2.41659
4701.2 2.41659 −87174.4
0
0
k
−87174.4.k2 (41)
Como el resultado ∀ k ≠ 0 es −87174.4.k2 0 se trata de una forma cuadrática definida negativa por lo que se
13
obtiene un máximo relativo estricto en dicho punto para y entonces posee un máximo relativo estrictocondicionado para Q̇ en el punto.
El valor de Q̇ es Q̇ 27749.38 kcalh
2º punto crítico.
Consideramos los valores L 6,n 2.51648, r1 0.007514, con b 22.9573,2 −6.68584
La matriz hessiana particularizada es:
H6,2.51648,0.007514
0 0.069903 436.215
0.069903 −11405.8 1039.94
436.215 1039.94 347572
y es indefinida pues Δ1 0,Δ2 −0.004886,Δ3 2.1704.109.
Para hallar las ecuaciones del espacio tangente, observamos como al ser n la misma, el cálculo es idéntico. Por lotanto, tenemos:
H6,2.51648,0.007514; 0,0,k 0 0 k
0 0.069903 436.215
0.069903 −11405.8 1039.94
436.215 1039.94 347572
0
0
k
347572.k2 (41)
Como el resultado ∀ k ≠ 0 es 347572.k2 0 se trata de una forma cuadrática definida positiva por lo que se obtieneun mínimo relativo estricto en dicho punto para y entonces posee un mínimo relativo estricto condicionado para Q̇en el punto.
El valor de Q̇ es Q̇ 18624.87 kcalh
Como en el problema parece interesar que exista la mayor transferencia de calor, habría que elegir el punto críticoprimero. El número de aletas habría que redondearlo para el siguiente entero, por lo que n realmente sería 3, valormuy pequeño en comparación con lo visto en los problemas y, de hecho, no válido técnicamente.
Se ha visto que el radio r1 es muy grande en comparación a r0 y a ri que compensa posiblemente el menor
número de aletas.Probablemente esta solución no es totalmente válida por varias razones:
1ª tanta largura de las aletas podría frenar el fluido exterior; no he visto en los problemas del libro aletas con eseexceso.
2ª si realmente el coste total es el mismo y el número de aletas también, variando r1 en los dos casos no deberíaser Co el mismo, pues la mayor extensión de las aletas debería de incrementar el coste. Este planteamiento lo hebarajado durante todo el trabajo, por lo que intenté realizar los cálculos mediante la otra ecuación del coste quecuantifica el volumen tanto del tubo como de las aletas, pues L está relacionada con n,w pero no con r1 en laecuación por mí ideada; si no lo he hecho ha sido porque en los problemas del libro se toma el valor lineal; sinembargo este es un caso en el que la influencia del radio de la aleta influye en la mayor transferencia de calor yque debería incrementar el coste de fabricación. Un valor bastante aceptable hubiera sido el de n 331.15 perolamentablemente los valores para r1 daban números complejos.
3ª la ecuación ideada para L cuantifica un incremento de xs y xi conforme aumenta L y esto no sería del todocorrecto. Sirve como una aproximación. Podría corregirse el valor de x con la correlación (10.2) y recalcular elproblema; lo mejor sería estimar x a priori con dicha ecuación si n y w son conocidos y si no estimar otra vez con(20.1) y ver si el valor tomado de x cuadra con (10.2) una vez obtenidos n y w.
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8.- CONCLUSIONES.
Se pueden plantear problemas similares con estas técnicas y observar los resultados, por lo que considero quepara optimizar este tipo de ejercicios con más de una variable desconocida el planteamiento formal de cálculo deberealizarse con rigor pues son cálculos bastante largos (intenté automatizarlos en balde en un programa).
Las optimizaciones de estos problemas requieren mucha paciencia pues todo el proceso es muy farragoso. Seríainteresante obtener la optimización del tubo con las incógnitas r0 y ri, pero las condiciones dadas no incluyen estasvariables, por lo que serían extremos relativos que como vimos no tienen valores extremos. Deberían buscarsenuevas condiciones relacionando otras ecuaciones.
9.- BIBLIOGRAFÍA.
”CALOR Y FRÍO INDUSTRIAL I” , tomo 1o, de D. Juan A. de Andrés y Rodríguez-Pomatta y D. Santiago ArocaLastra. U.U.D.D de la Uned, 1a reimpresión noviembre 1.994.
”PROBLEMAS RESUELTOS DE CALOR Y FRÍO I”, DE Da Ma Isabel Andrés Rodríguez-Pomatta, colecciónCuadernos de la Uned, noviembre del 2.000.
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